zalamea – signos triádicos - parte 2

8/14/2019 Zalamea Signos Tridicos - Parte 2

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3.1Matta y Lindstrm:

Estructuras lmite

En las ltimas tres secciones de este ensayo, pasamos de la nocin deconfiguracin espacio de correlaciones donde puede enfatizarse natu-

ralmente la segundidad peirceana: procesos de accin-reaccin a lanocin de estructura, entendida como espacio de relaciones terceras, tantoen el nivel de su arquitectura global como en el nivel de la mediacin y elengranaje.1 En la nocin de estructura resaltamos la conciencia del sistema,de la armazn, de las transformaciones que gobiernan su arquitectura, ascomo el tinglado de acoples, ligaduras, enlaces, que permite sostener laarmazn y colorear su haz de transformaciones.

Roberto Matta (Chile, 1911), arquitecto ya a los 21 aos, introduceen su pintura el diseo estructural tpico de su profesin. Matta organi-za croquis gigantescos, croquis a la vez de la mente humana y del espa-cio sideral, donde se tensionan fuerzas sociales y fuerzas naturales,donde se reflejan el tomo y la galaxia, en pugna constante entre lmitesinteriores y exteriores. En Matta, lo no visto encarna [Paz 1985a, 18],

en medio del espacio tensionado, elctrico y vertiginoso ms originalde este siglo [Traba 1994a, 70]. Matta organiza una nutica generaldel ser, donde los signos en la tela se encuentran en constante tensingeogrfica, entre su desparrame y su equilibrio, y en constante tensinplstica, expuestos con colores fros y cidos. Los espacios de Matta nose encuentran llenos de materia; sin embargo, la tirantez de la estructuraes evidente, repleta de fuerzas invisibles en tres niveles: cosmolgico,humano, atmico. Matta consideraba a sus obras como obras exponen-ciales (distinguindolas de obras controladas con operaciones linea-les), obras cercanas a lmites explosivos.

Bombardeando el yo con paradojas [Matta 1985a, 282], Mattahace explotar lo humano, lmite entre el cosmos y el tomo, borde inter-ior y exterior:

Deseo mostrar la vida interior y sus conflictos con el mundo exterior, loque separa el yo profundo del yo manifiesto, ese huracn de dudas que

1. Como ya lo habamos comentado anteriormente, esta presentacin escoge algunosnfasis por encima de otros. Es obvio, por ejemplo, que todas las lecturas lgicas pue-den verse como terceras (y, en muchas, es natural otra sub-entonacin tercera: 3.3...):sonestructurales ms que configuracionales o conjuntivas (hilacin de hilos col-gantes). Sin embargo, as como sub-enfatizamos hilos y configuraciones en las sec-ciones anteriores, procedemos ms especficamente a sub-enfatizar estructuras en loque sigue.


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llevamos en la cabeza y esa evidencia material contra la que nos cho-camos incesantemente.1

Sus lneas concntricas, espirales, planos transparentes, objetos flotan-tes, bulbos y germinaciones [Traba 1994a, 70] son algunos recursospara construir un hiperespacio voltil y dinmico donde confluyen elespacio estelar, el mental y el subatmico, y donde fluye y renace la

vida en su ms amplio espectro, desde la evolucin galctica hasta lageneracin espontnea de las partculas elementales, pasando por elhuracn de dudas del cerebro,2 retratado en inmensos leos que pue-den parecer tomas macroscpicas de la actividad mental.

Matta intenta pintar el momento del cambio, como tratando dedejar trazas visibles del movimiento y de la velocidad en el hiperespa-cio de la pintura:

Pintar el momento del cambio, el cambio mismo: me he consagrado aello sin interrupcin y lo he visto desarrollarse ahora en ciencias, enmatemticas, en filosofa, la morfologa de la forma, la relatividad: estodo el mismo problema [Matta 1985a, 266].

Cambio, flujo de la vida o fluxiones matemticas: formas todas de

paso al lmite, son las formas que sistemticamente tratar Matta decaptar en su obra. Para lograrlo, Matta construir una estructura pictri-ca plenamente relacional un paisaje, una entidad lquida, una emul-sin de color atravesada de fuerzas y relmpagos, un espacio tensiona-do y elctrico, un modo de ver y sentir por golpes de sangre [Traba1984a, 193] que torna visible el proceso de paso al lmite y que refle-ja la colosal estructura de la vida, as como las estructuras extremasdel sentido y de todo lo intermedio:

Crear una pintura es una experiencia fenomenal, colosal, en el sentidoen que es el hombre quien inventa, como la naturaleza inventa. Es comoparticipar en el avance de los tiempos futuros. Esta experiencia nos lle-ga a los sentidos por una percepcin directa, la percepcin insistente delo fenomnico que utilizamos como ley de referencia [...]. Hay que te-ner un sentido estructural de la vida, lo mismo que tenemos una con-cepcin esfrica de la tierra [...]. Hay que pintar la colosal estructura dela vida, como la ciencia pone una ciudad en correlaciones geomtricas.3

Deseo reemplazar la perspectiva por una suerte de prospectiva y simul-tneamente reemplazar el espacio de las distancias por un espacio del

1. Roberto Matta, Entrevista con Alain Jouffroy (1953),[Matta 1985a, 278].2. Es impactante comparar las tres vertientes de Matta (cosmos, humanidad, mundo

atmico) con la evolucin de los signos generales en Peirce, dentro de un registrotremendamente similar (cosmos, humanidad, protoplasma). Ver p. 25.

3. Roberto Matta, Entrevista con Sidney Janis, [Matta 1985a, 273].


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sentido. Le doy un ejemplo: tomemos cuatro personas alrededor de unamanzana, es lo que vemos en perspectiva; pero tambin tenemos las re-laciones de esas cuatro personas con la manzana: es lo que vemos enprospectiva. Uno est enfermo, el otro tiene hambre, el tercero es un ni-o [...]. Eso lo cambia todo! En vez de una estructura de hechos, te-nemos una estructura de la necesidad. Es eso lo que importa: la necesi-dad, el deseo. El deseo cambia al hombre, lo puede cambiar en unmonstruo. Pero el hombre puede tambin desaparecer, si se encuentra

en una situacin que no excita en l ningn deseo, ninguna necesidad,ninguna aspiracin. Estn all las estructuras extremas del deseo: elhombre como ausencia y el hombre como monstruo. Los extremos ytodo lo que se encuentre entre ellos deben ser vistos en prospectiva ydeben expresarse en un espacio especial: el espacio del sentido. Una es-tructura de hechos es un trompe-loeil. Lo que yo busco es ms bien untrompe ltre.1

Al tratar de develar la estructura de lo no visto, ms all de la estruc-tura de los hechos, Matta inventa un peculiar diseo tercero (estructural)para hacer emerger la primeridad (lo no visto). El espacio estructuradodonde convergen sentido y sentidos, donde sobre un continuo coliga cos-mos, hombre y tomos, donde traza mapas geogrficos de la naturalezahumana y de sus energas [Matta 1985a, 306], donde como GuimaraesRosa busca lo desconocido y slo se contenta con mitos primordia-

les o con el universo todo,2 ese espacio visto en prospectiva es unade las encarnaciones ms asombrosas realizadas en este siglo del mbi-to pleno de la terceridad peirceana: relacionalidad, universalidad, conti-nuidad, convergencia.

Matta, en un principio estrechamente relacionado con el surrealismoparisino alrededor de Breton, termina por resistir al clich y a la frmu-la3 y crea los milagros independientes de su pintura.4 Surrealistamucho ms hondo y original que sus maestros, Matta revela una reali-dad compleja, colosal, que trasciende los hechos y las circunstancias,que se eleva con mucho por encima del calembour ldico, y que abreal espectador una dimensin sideral a la vez sorprendentemente incrus-tada en una diseccin cerebral. En su estructura pictrica sobre-real,

1. Roberto Matta, Entrevista con Ingemar Gustavson (1959), [Matta 1985a, 287].2. Slo me interesa lo desconocido y trabajo para mi propio asombro. Pienso que cada

artista est en la tierra para crear un mito o, ms bien, para buscar de manera originalun mito primordial, y que toda su vida, toda su investigacin, debe ser vista como unaOdisea [...]. Debemos siempre regresar a nuestro perro, pero esto slo vale si hemosconsagrado todas nuestras energas a realizar un giro del universo antes de volver sobrenosotros mismos [Matta 1985a, 287] .

3. Matta es expulsado del surrealismo el 25 de octubre de 1948 por descalificacinintelectual e ignominia moral (!).[Matta 1985a, 281].

4. Picasso dira de Matta: Siento algo en su pintura. S, usted es San Antonio. Por favor,mustreme milagros [Matta 1985a, 266]..


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Matta logra hacer flotar y confluir los lmites, los extremos del univer-so, alrededor de su gran intermediario: el ser humano. El amplsimoespectro de su tentativa supera cualquier posible reducibilidad de laobra a un solo contexto de interpretacin. As, enriquecedora y variabledesde la ptica de la mxima pragmtica peirceana, la obra de Mattapuede verse como verdadero signo general de la esttica, como lmite

evolutivo, como smbolo pleno del crecimiento continuo de la poten-cialidad, como encarnacin privilegiada del summum bonum de laesttica segn Peirce.

Las estructuras pictricas evolutivas (o rels dinmicos) que explo-ran lo limtrofe como las telas de Matta tienen referentes naturalesen muchos otros dominios del conocimiento. En lgica, la nocin con-tempornea de cuantificador, como lmite evolutivo de fragmentos de louniversal, cumple ese papel. La introduccin de los cuantificadoresuniversales y de clculos adecuados para su manejo se debe, simult-neamente, a Frege y a Peirce, a fines del siglo XIX. El cuantificadoruniversal (para todo) se introduce como un operador matemtico quepermite determinar el rango general de validez de una propiedad orelacin matemtica definida sobre un universo dado. En un segundo

nivel de anlisis (versando sobre la generalidad de lo general) Frege yPeirce proponen reglas generales de manejo axiomtico para la mismanocin de generalidad presente en el cuantificador universal. Ese trata-miento axiomtico y formal (ya que se ocupa de las formas de inser-cin, iteracin y eliminacin del cuantificador, independientemente delos dominios a los que posteriormente se aplique), refinado posterior-mente por diversos matemticos en las primeras dcadas del siglo XX,ha venido a llamarse clculo de predicados,1 o, ms precisamente, cl-culo de primer orden. En primer orden, lo particular y lo universal, lavalidez local y la validez global son ya plenamente distinguibles y con-trastables tcnicamente. El clculo clsico de primer orden incorpora,adems, una clara dialctica de opuestos a la que se someten el cuanti-ficador universal (para todo) y el cuantificador particular (existe).

El cuantificador universal clsico distingue el todo de la parte.Sin embargo, es en la frontera entre la globalidad y las sumas parcialesde lo local donde yace a menudo la mayor riqueza que poseen los con-

1. Realmente se trata, de manera crucial, de un clculo de predicados y de relaciones. El

sesgo predicativo en el nombre clculo de predicados es rezago de toda una poca enque haca furor la reconstruccin atomstica russelliana de la filosofa. En efecto, puedepredicarse de tomos y elementos de una manera muy natural, cosa que empieza avolverse muy difcil si tenemos que tratar de comprender secciones o entornos noatomsticos de la realidad.


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ceptos. En un giro radical y de una enorme fertilidad tcnica, en losaos sesenta, se producen amplias generalizaciones del concepto clsi-co de cuantificador universal, motivadas en la definicin de PerLindstrm (Suecia, ) de cuantificador abstracto como una clase gene-ral de estructuras con ciertas propiedades mnimas de correlacin estruc-tural. Los cuantificadores generalizados permiten detectar un espesor

adecuado en el trnsito entre lo local y lo global, as como obtener diversostipos de control sobre delicadas distinciones fronterizas: tamaos interme-dios, niveles de amalgamacin, jerarquas computacionales. La lgicamatemtica se enfrasca desde entonces en estudios profundos y comple-jos sobre lo intermedio.1

Una lgica abstracta L,en el sentido de Lindstrm, se define por unacoleccin de sentencias S y una relacin de satisfacibilidad (o verdad)= entre estructuras (matemticas) y sentencias, sometidas a dos condi-ciones mnimas: preservacin de la verdad bajo isomorfismos y posibi-lidad de extender oportunamente una estructura a otra con un lenguajems rico. La lgica puede adicionalmente contar con diversas propieda-des estructurales: booleanidad (Bool(L)), en caso de que S sea cerrada bajo conjun-

ciones y negaciones

eliminacin (Elim(L)), en caso de que S pueda reducirse a un lengua-je relacional relativizacin (Rel(L)), en caso de que los predicados mondicos de

S puedan referenciarse y relativizarse en un apropiado vaivn sin-tctico-semntico compacidad (Comp(L)), en caso de que la satisfacibilidad de TS

equivalga a la satisfacibilidad de todos los subconjuntos finitos de T propiedad de Lwenheim-Skolem (LS(L)), en caso de que toda sen-

tencia satisfacible pueda serlo tambin sobre una estructura a lo sumoenumerable.

Uno de los teoremas fundamentales de Lindstrm caracteriza a lalgica clsica de primer orden (L) por sus propiedades estructurales:si una lgica L extiende a L y verifica Bool(L), Elim(L), Rel(L)(propiedades tcnicas menores), as como Comp(L) y LS(L) (propieda-des matemticas relevantes), entonces Lequivale a L . Dicho de otramanera, el teorema de Lindstrm afirma que si se quiere realizar una

teora de modelos con toda la riqueza clsica contenida en las propieda-des de compacidad y de Lwenheim-Skolem (garantes de muy ricosvaivenes entre finitud, infinitud enumerable y diversos tipos superioresde infinitud), entonces hay que reducirse a la lgica clsica de primerorden. El teorema tambin indica que si consideramos una lgica razo-nable (que satisfaga las propiedades menores tcnicas sealadas), peroque vaya ms all de la lgica de primer orden, tendr necesariamenteque fallar compacidad o Lwenheim-Skolem y ser mucho ms delica-do el trnsito en la escala de tamaos que esa lgica pueda detectar.

1. Vase la seccin 2.3 dedicada a la obra de Caicedo.


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Los teoremas de Lindstrm muestran que los espacios de la lgica estu-diados en la teora de modelos tienen encadenamientos estructuralesmuy peculiares. Reformulndolo una vez ms, su primer teorema afir-ma que si tenemos una clase estndar de tales espacios que satisfacecompacidad (es decir, si es tal que si todos los pedazos finitos de unateora son modelables entonces la teora completa lo es, pudindose

pegar en un modelo global las realizaciones locales) y si satisface lapropiedad de Lwenheim-Skolem (es decir, si es tal que para adecuadasteoras sus clases de modelos cubren todo el transfinito) entonces esaclase tiene que ser necesariamente la clase de modelos de la lgicaclsica de primer orden. De alguna manera, se demuestra as el papelineludible de una cierta lgica si se desean cubrir ciertos fines matem-ticos muy precisos: el poder contar con un salto de lo finito a lo infini-to y el poder manejar testigos en todo el transfinito. El conocimientonatural de los lmites entre lo finito y lo infinito y de los diversos lmi-tes intermedios en la escala del transfinito queda as estructuralmenteligado con la lgica clsica de primer orden. sta puede verse tensadaplenamente por sus propiedades estructurales fundamentales

(Comp(L

) yLS(L

)),propiedades que llenan completamente su dominio. Cualquier extensinde ese dominio resquebraja la malla estructural y genera una energaexplosiva.

Iterando peirceanamente esta situacin en el dominio de la pinturade Matta, podemos ver cmoLe Vertige dros (1944) es una notablerepresentacin de lo que puede sentirse al captar los teoremas deLindstrm. Los crculos concntricos que tensionan la estructura pue-den verse como vrtices de compacidad, mientras el encaje de paredeslaterales puede recordar a Lwenheim-Skolem; los slidos estticos,que a pesar de su peso evidente flotan como en el aire, recuerdan elpeso y las rocosas exigencias de la lgica clsica. El equilibrio se rom-pera con un poder de expresividad adicional, si aparecieran otros quie-bres en la tela. De manera similar, Le Cube ouvert(1949)1 refleja latensin y la rigidez de una estructura general a la que no le cabran msmovimientos que el expresado en el centro del cuadro. La maximalidadde la obra, presente enLe Vertige por medio de cables elctricos que serepelen y en Le Cube por medio de paredes estructurales encajadas,refleja las inquietudes fundamentales de Matta, quien desea captarsutiles marcas de tiempo y espacio por medio de bifurcaciones y re-

1. [Matta 1985a, 119] (Vertige), [161] (Cube).


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composiciones vibrantes, que sirvan de rel a lo no visto. Lo invisiblese vuelve explcito, no a travs de una descripcin imposible, sino atravs de las tensiones estructurales que yacen en lo visible y que per-miten intuir todo aquello que se omite.

En los viajes de Palomar (3.1), Calvino nos introduce al jardn derocas y arena del templo de Ryoanji de Kioto, un pequeo patio cu-

bierto de una arena blanca de grano grueso, casi de guijarros, rastrilladaen surcos rectos paralelos o en crculos concntricos, en torno a cincogrupos irregulares de guijos o peas bajas [Calvino 1997a, 83]. Eljardn es lugar de traslacin del alma, de paso de lo singular a lo univer-sal, de cruce, de reconstruccin de lmites:

Si absorbemos nuestra mirada interior en la visin de este jardn explica el volante que se ofrece a los visitantes, en japons y en ingls,firmado por el superior del templo nos sentiremos despojados de larelatividad de nuestro yo individual, y la intuicin del Yo absoluto nosllenar de serena maravilla, purificando nuestras mentes ofuscadas [...].Podemos considerar el jardn de arena como un archipilago de islas ro-cosas en la inmensidad del ocano, o bien como cimas de altas monta-as que emergen de un mar de nubes. Podemos verlo como un cuadroenmarcado por las paredes del templo, o bien olvidar el marco y con-

vencernos de que el mar de arena se extiende sin lmites y cubre todo elmundo [Calvino 1997a, 83-84].

Entre el jardn despojado que se extiende sin lmites y que evoca lainmersin de lo singular (yo) en un continuo universal (Yo) y eljardn enmarcado que se inserta en las paredes del templo y que in-troduce un juego de representaciones y correspondencias entre macro ymicrocosmos (mundo, cuadro), entre el despojamiento y el aco-tamiento, en la frontera, se sita el marco, el lmite que permite iterarrecursivamente la imagen del jardn:

Tanto los leos de Matta como los teoremas de Lindstrm construyenmarcos muy precisos gracias a los cuales tensan el espacio, permiteniterar visiones locales en perspectivas globales (una de las caractersti-


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cas fundamentales de la recursividad) y, con ello, hacen explotar lacomplejidad de sus universos respectivos. Los marcos de Matta suslneas, espirales, planos, flotamientos y transparencias permiten in-tuir la traslacin entre el tomo, el hombre y el cosmos: la conversinactual de un choque local de partculas elctricas en una ecografa delcerebro o en una toma global de la galaxia. Similarmente, los marcos de

Lindstrm sus jerarquas de condiciones para las lgicas abstractaspermiten estudiar la traslacin entre lo finito, lo enumerable y lo trans-finito: la conversin posible de pegamientos locales de lo finito enmodelos enumerables o en modelos genricos globales.

El marco que tensa la estructura, que la enrigidece, no por ello laempobrece. En efecto, la tirantez estructural de los leos de Matta (es-pacios de alta tensin elctrica: cidos y veloces) o de la lgica clsicade primer orden (espacio de alta tensin lgica: compacto con la pro-piedad de Lwenheim-Skolem), es a su vez la tirantez que les otorga aesos espacios su peculiar riqueza. Al maximizar, al saturar los lmitesde sus mbitos respectivos, las tcnicas de Matta y de Lindstrm sirvenpara completar evoluciones en el arte y en la lgica.

El rico proceso creativo que se obtiene al saturar un determinado

espacio haba sido estudiado detenidamente por Lautman1 en el campode las matemticas de la primera mitad del siglo XX. Lautman trata decaracterizar la edificacin de la matemtica como proceso genticopeculiar entre esencia y existencia. Considerando, en la base, a lalgica como teora general de las relaciones que unen las considera-ciones estructurales a las afirmaciones de existencia [Lautman 1977a,87], mediante una regulacin y constante superacin de los entramadostericos van superponindose entes matemticos, hasta adecuar maxi-malmente sus relaciones con el entorno. En esta articulacin del hacermatemtico, cada entorno estructural genera conceptos, funciones,nmeros, todo un universo de seres matemticos, el cual, tratando deasimilar los polos de tensin de la estructura, da lugar a los mixtos,sostenes del andamiaje. Estos mixtos, a su vez, originan nuevos entor-nos y dominios donde pueden situarse no ya como mixtos sino comoentes primarios que dan lugar a la iniciacin de otro ciclo gentico.

Lautman concreta su filosofa de la matemtica en una combinatoriade configuraciones: los objetos y su posicin en las estructuras, lasrelaciones, los mixtos; de ah que los ajustes, regulaciones, correlacio-nes, superposiciones parciales de las estructuras resulten ser motor de

1. Albert Lautman (Francia, 1908-1944) es uno de los ms grandes filsofos de la mate-mtica en el siglo XX. Sin embargo, su enorme originalidad es an poco conocida.


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progreso para el conocimiento matemtico. Pero este anlisis internodebe ser tambin reflejo de una ms vasta empresa, donde se encuen-tran metafsica y matemticas:

Se ve as cul debe ser la tarea de la filosofa matemtica e, incluso, dela filosofa de las ciencias en general. Se trata de edificar la teora de lasideas y ello exige tres tipos de investigacin: las que surgen de lo que

Husserl llamaba eidtica descriptiva, es decir, la descripcin de esas es-tructuras ideales encarnadas en las matemticas y cuya riqueza es in-agotable. El espectculo de cada una de estas estructuras es ms que unejemplo nuevo que se aporta para apoyar una misma tesis, pues no estexcludo que sea posible y all reside la segunda tarea de la filosofamatemtica establecer una jerarqua de las ideas y una teora de lasgnesis de unas a partir de las otras, como lo haba previsto Platn.Queda, en fin, la tercera de las tareas anunciadas, rehacer el Timeo, esdecir, mostrar, en el seno de las ideas mismas, las razones de su aplica-cin al universo sensible [Lautman 1989a, 577].

La gnesis de los seres matemticos, que cobran vida propia desgajn-dose de las estructuras madre, sobre cuyo tejido van excretndose comoperlas adheridas a sus conchas, lleva a la incisiva dinmica de la mate-mtica en accin. Las construcciones tcnicas, que permiten ir generan-

do nuevos entes matemticos, dependen de un alto grado de completi-tud, de saturacin, de maximalidad en las estructuras: el movimientono es posible sino cuando la estructura del ser, de donde procedernotros seres, ha sido llevada antes a un cierto estado de perfeccin[Lautman 1977a, 73]. Esto explica la envoltura de edificios sucesivosque tiene que ir creando la matemtica en sus procesos de conocimien-to; la abstraccin, lejos de resultar gratuita, es una de las lneas de ten-sin naturales, necesarias, que tienden a saturar el saber. Ese procesohacia la plenitud hace que se desgajen, de las estructuras acabadas,nuevos desarrollos conceptuales; stos, en un nuevo posicionamiento,necesitarn de otros ambientes que los cotejen e impulsen hacia sunuevo devenir.

Visualizando en la obra de Matta los procesos lautmanianos de

gnesis y existencia, encontramos enLa Banale de Venise (1956) [Mat-ta 1985a, 177] diversos niveles de saturacin con los cuales se constru-ye la estructura de la obra. Separados por tres franjas de paneles hori-zontales se encuentran los polimembrados y polirtmicos entes-seres deMatta, enfrentados agitadamente a las telas que pretenden exponer en labanal Bienal. En un primer nivel, las telas son saturadas como obrasde arte autctonas; luego, el panel en que se encuentra situado cadaente-ser es saturado por su desatada actividad gestual; finalmente, elespacio entero de la Bienal es saturado como rompecabezas dondeencajan ajustadamente los diversos paneles, sugirindose en el trans-


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fondo la tramoya con que se construye el escenario de la banalidad.En tres niveles, de la tela local, al panel como entorno y al espacioglobal de la Bienal, se satura recursivamente el ambiente pictrico. Enuna de las telas, un poli-ser ejecuta su autoretrato: entramados demiembros, gestos y movimientos, pulpos que tratan de superar laslimitantes que yacen en toda representacin del cambio, el poli-ser, su

representacin y la representacin de esa representacin dan inicio a uncomplejo haz recursivo de autoreferencias que invaden la Banale. Laautoreferencia invita al entrelazamiento del yo minsculo y del Yomaysculo, y el venal y banal juego de expectativas e ilusiones de laBienal se satura en una esquina de la obra, donde uno de los brazos delos poli-seres es levantado en alto en signo de victoria en la competi-cin. El Gran Tramoyista y el mismo Matta su reflejo local seburlan de la danse macabre (otro ttulo de la obra) de las vanidadeshumanas.

Similarmente, en la lgica clsica de primer orden, pueden detectar-se diversos niveles de saturacin1 en todo el entramado. En un primernivel, la rgida semntica de tablas de verdad para los conectivos clsi-cos asegura la completitud del clculo proposicional clsico: una satu-

racin fuerte (Post) obtenida con el uso de unas mismas herramientasen el clculo formal y en el metalenguaje informal.2 En un segundonivel, el teorema de completitud de Gdel para la lgica clsica deprimer orden muestra que el manejo clsico de los cuantificadores esttambin fuertemente saturado. En un tercer nivel, el teorema deLindstrm indica que la lgica clsica de primer orden se encuentrasaturada, en el mbito de las lgicas abstractas que pretendan extender-la, por propiedades estructurales de fondo (compacidad, Lwenheim-Skolem) que se derivan del teorema de completitud.

El proceso de saturacin en las obras de Matta y en los teoremas deLindstrm es un movimiento de acumulacin en fronteras dadas: unproceso de paso al lmite. Matemticamente, un conglomerado deacumulacin con respecto a una propiedad dada es una configuracindonde los objetos dejan progresivamente de ser discernidos por esapropiedad:

1. Contrariamente a lo que sucede, por ejemplo, en la lgica intuicionista, cuyos intrnse-cos procesos de no saturacin y de constante acumulacin parcial reflejan el hondomisticismo evolutivo de Brouwer, vase: Stigt 1990a.

2. La completitud de la semntica de los modelos de Kripke para el clculo proposicionalintucionista utiliza, en cambio, muy diversas herramientas en el lenguaje y en el meta-lenguaje: la saturacin slo es parcial.


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En el caso de Matta y de Lindstrm, las configuraciones de acumula-cin y de saturacin adquieren un matiz estructural an ms hondo: esematiz que transforma la contemplacin de aislados lmites espacialesen su aprovechamiento para diagramar estructuralmente el espacio yconstruir con ellos toda una arquitectura es el que sostiene la peculia-ridad de sus creaciones. En la pintura y en la lgica, Matta y Lindstrmhan sabido crear asombrosas arquitecturas de lmites, encajes y satura-ciones que han renovado completamente nuestra visin.


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3.2Borges y Tarski:

Estructuras esqueleto

El Arquetipo como lmite de los diversos tipos que engloba, la Ideacomo lmite de las mltiples ideas que agita, el Tiempo y el Espacio

como lmites de infinitas vecindades de correlacin, se encuentranestrechamente ligados con la nocin de esqueleto en un entorno sintti-co relacional dado.1 Dada una categora matemtica, un esqueletopara esa categora consiste en una subcoleccin de objetos de la catego-ra con una propiedad universal de representabilidad: para cualquierobjeto dado de la categora, debe existir un nico objeto del esqueleto,isomorfo a ese objeto dado. Como todo esqueleto puede siempre cons-truirse matemticamente como un adecuado lmite categrico, puedeesperarse analgicamente que en otros campos de la cultura relacio-nados con problemas de representacin aparezcan tambin esqueletosnaturales como lmites en el enfrentamiento de esos problemas. Lasobras de Borges y de Tarski hacen emerger fascinantes esqueletos enla literatura y en la lgica.

La obra de Jorge Luis Borges (Argentina, 1899-1986) puede versecomo notable creacin en el mbito de la terceridad peirceana. Inver-samente a Rulfo,2 quien decanta al extremo y erradica la malla de an-clajes de su narrativa, Borges construye directamente frente al lec-tor la amplia red de mediaciones culturales que sirve para apoyar suescritura. Producto de una trama y un lugar,3 una Biblioteca y un Jardn,tanto mticos (Babel, Edn) como autobiogrficos,4 la obra de Borges se

1. Uno de tales entornos es una categora, en el sentido de la teora matemtica decategoras. Una categora matemtica consiste en una coleccin de objetos y en unacoleccin de morfismos entre los objetos con ciertas propiedades minimales (asociati-vidad, existencia de identidades). En una categora los objetos se conocen por sus rela-ciones sintticas con el entorno (propiedades universales) y no por una eventual des-composicin en elementos, mirada analtica en principio vetada. Dentro de una catego-

ra dada, dos objetos son isomorfos si son indistinguibles (indiscernibles) con lasherramientas sintticas del entorno.2. Borges dira de Rulfo, en el esqueleto general de la literatura: Pedro Pramo es una

de las mejores novelas de las literaturas de lengua hispnica, y aun de la literatura; en:Borges 1996a IV, 495.

3. Lugar que es un no-lugar, as como Rulfo sealaba que su tiempo era un no-tiempo.Borges cita a Quevedo: Llmola Utopa, voz griega cuyo significado es no hay tallugar; en: Borges 1996a II, 68 Utopa de un hombre que est cansado.

4. Durante muchos aos, yo cre haberme criado en un suburbio de Buenos Aires, unsuburbio de calles aventuradas y ocasos visibles. Lo cierto es que me cri en un jardn,detrs de un largo muro, y en una biblioteca de ilimitados libros ingleses [...]. Suelopensar que, esencialmente, nunca he salido de esa biblioteca y de ese jardn [Mosca1983a, 137].


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ramifica sobre una red multiplicativa de libros y de diversas combinato-rias espacio-temporales:

La literatura no es agotable, por la suficiente y simple razn de que unsolo libro no lo es. El libro no es un ente incomunicado: es una relacin,es un eje de innumerables relaciones.1

El jardn de senderos que se bifurcan es una imagen incompleta, pero

no falsa, del universo tal como lo conceba Tsui Pn [algn otro Bor-ges]. A diferencia de Newton y Schopenhauer, su antepasado no creaen un tiempo uniforme, absoluto. Crea en infinitas series de tiempos,en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentesy paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cor-tan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades.2

La red de innumerables relaciones, la trama de todas las posibilida-des es potenciada en la narrativa de Borges con mltiples recursos:evocacin constante de la infinitud y su articulacin con lo universal,juego de traslapes entre utopas y mundos alternativos, aceleraciones ypausas en un tiempo plstico, tejido polivalente de referencias reales eimaginarias, combinatoria de rdenes diversos (ajedrez, laberintos),multiplicidad de espejos, hilvanaciones y deshilvanaciones. La trama

relacional que va construyendo Borges en sus mixtos (relatos-ensayos-poemas-parodias) incorpora aspectos fundamentales de logeneral:

La base de la aritmtica [de Tln] es la nocin de nmeros indefinidos.Acentan la importancia de los conceptos de mayor y menor, que nues-tros matemticos simbolizan por > y por


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El plural es inevitable, porque la hiptesis de un solo inventor de uninfinito Leibniz obrando en la tiniebla y en la modestia ha sido des-cartada unnimemente [Borges 1996a I, 434].

La pluralidad y la multivocidad, en Borges, llevan de forma natural alaniquilamiento de la identidad. Mary Lusky Friedman ha explicitado

meticulosamente [Lusky 1990a, 62] diversos textos y recursos con loscuales se hace patente esa desintegracin: por medio de engaos, espejos, cicatrices, mscaras, disfraces, enceguecimientos, fotografas,prismas, Borges deshace sistemticamente el yo. La irrealidad de laidentidad surge de manera particularmente impactante en su narrativay es motivo de mucho del sabor paradjico e inquietante de su escritura.A la irrealidad de una esencia esttica se contraponen el flujo, el cam-bio, el devenir, integrados todos en las permanentes reescritura yrelectura en que se convierte la obra de Borges:

Emerson dijo que una biblioteca es un gabinete mgico en el que haymuchos espritus hechizados. Despiertan cuando los llamamos; mien-tras no abrimos un libro, ese libro, literalmente, geomtricamente, es unvolumen, una cosa entre las cosas. Cuando lo abrimos, cuando el libroda con su lector, ocurre el hecho esttico. Y aun para el mismo lector elmismo libro cambia, cabe agregar, ya que cambiamos, ya que somos(para volver a mi cita predilecta) el ro de Herclito, quien dijo que elhombre de ayer no es el hombre de hoy y el de hoy no ser el de maa-na. Cambiamos incesantemente y es dable afirmar que cada lectura deun libro, que cada relectura, cada recuerdo de esa relectura, renuevan eltexto. Tambin el texto es el cambiante ro de Herclito.1

Todo en Borges es mediacin y terceridad su incesante relectura delos clsicos, su reinvencin de lo paradjico, su percepcin continua delcosmos, su conciencia de la necesaria composibilidad leibniziana demundos alternativos, su construccin relacional de la cultura comocambiante autoreflejo de s misma y todo en Borges es universalidadsu apasionado conocimiento de la tradicin europea, su admiracin

por el siglo XIX norteamericano, su fervorosa recopilacin de mitos ysagas de cualquier latitud, su construccin de una literatura profunda-mente influyente allende Amrica. El Prncipe de las letras hispni-cas del presente,2 como le llama acertadamente Gutirrez Girardot, essmbolo pleno de la ms alta tradicin universal y tercera de AmricaLatina.

1. Siete noches (1980) [Borges 1996 II, 254].2. Los olvidados: Amrica sin realismos mgicos (1985); en: Gutirrez 1989a, 183..


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La riqueza meditica de Borges, su pluralidad y multivocidad, sepotencian en el rel de su escritura, mientras simultneamente sevislumbra el esqueleto primordial que subyace en el rel. Una finamalla de citas, sugerencias, recuerdos, potencia el acto de creacin, y ala vez ancla sus modalidades diversas en un tejido esqueltico: lainagotabilidad de la literatura y de su innumerable relacionalidad en

los cuadernos cuadriculados de Pierre Menard,1

las modulaciones delinfinito y de todo lo simultneo en la pequea esfera tornasolada, decasi intolerable fulgor delAleph,2 el extraamiento y la disolucin delyo en el otro Borges.3

En contraposicin entre el rel literario mltiple y movible de Bor-ges, y su esqueleto filosfico, uno y permanente, se sitan grandesobsesiones metafsicas:

El carcter fantasmagrico, alucinatorio, del mundo; la identidad, a tra-vs de la persistencia de la memoria; la realidad de lo conceptual, quepriva sobre la irrealidad de los individuos, y, sobre todo, el tiempo, elabismal problema del tiempo, con la amenaza de sus repeticiones, desus regresos, con la nota enfermiza de su ineludible poder que arrastra ydevora y quema [Nuo 1986a, 10].

En la obra de Borges, la biblioteca y el jardn, alucinados y bifurcados,los otros yo, los seres soados, los regresos eleticos al infinito, viveny se multiplican en permanente tensin entre una combinatoria de sm-bolos arquetpicos e inmutables y una inventiva cambiante, concreta,cotidiana. Irredento platonista y asombroso fabulista, en el mixto entreel esqueleto de lo eterno y el rel de lo diario yace una de las grandesfortalezas de su narrativa:

1. Pierre Menard, autor del Quijote (1941) [Borges 1996a I, 450].2. El Aleph (1949) [Borges 1996a I, 625].3. El otro (1975) [Borges 1996a III, 11].


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En uno de sus mixtos inclasificables (parodia-narracin-ensayo-resea),Borges nos revela la estructura tridica de la obra de Herbert Quain:

Las ramificaciones artificiales y burlonas de la estructura (una novelade carcter simblico; otra, sobrenatural; otra, policial; otra, psicolgi-ca; otra, comunista; otra, anticomunista, etctera), as como su exa-men:

Previsiblemente, alguno de los nueve relatos es indigno de Quain; elmejor no es el que originariamente ide, elx 4; es el de naturaleza fan-tstica, el x 9. Otros estn afeados por bromas lnguidas y por seudoprecisiones intiles. Quienes los leen en orden cronolgico (verbigra-cia:x 3, y 1,z) pierden el sabor peculiar del extrao libro. Dos relatoselx 7, elx 8 carecen de valor individual; la yuxtaposicin les pres-ta eficacia...

son luego modulados hacia una combinatoria totalmente arbitraria:

Quain se arrepinti del orden ternario y predijo que los hombres que loimitaran optaran por el binario

x 1y 1

x 2

zx 3

y 2x 4

y los demiurgos y los dioses por el infinito: infinitas historias, infinita-mente ramificadas.1

1. Examen de la obra de Herbert Quain (1941) [Borges 1996a I, 463].


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La infinita vanidad de la crtica y la implausibilidad de cualquier inter-pretacin (desesperanzadoras limitantes en las que este mismo ensayose inserta) quedan cidamente patentes en el examen de la obra deQuain. Crtico feroz de crticas artificiales, el examen sin embargodeja abierta una compuerta hacia la naturalidad del sentido comn.1

La fugaz ilusin de que este ensayo no quede sumergido en el desliz

combinatorio de lo improbable segn Quain (tres-dos-infinitud), radicaen que nuestros exmenes se han basado en el sistema por excelenciaque reivindica el sentido comn: el pragmatismo peirceano. La natu-ralidad de los puentes que hemos evocado (no su trivialidad) es nuestratenue esqueltica luz de esperanza.

En el siglo XX, Alfred Tarski (Polonia, 1902-1983) es uno de losgrandes propulsores del estudio de la naturalidad en lgica. Su legenda-ria precisin y elegancia, su fina capacidad para delimitar problemaselementales no triviales, su ingente esfuerzo por eliminar toda artificia-lidad en las pruebas de resultados matemticos, su visin global y sucapacidad de sntesis para ordenar e impulsar enteros campos de trabajoen lgica (teora clsica de modelos, cardinales infinitos, clculos pro-posicionales, interpretaciones topolgicas, lgica algebraica), son todos

ejemplos de una forma fluida de aprehender la creatividad matemtica:entrelazamiento natural de problemas, mtodos y soluciones, y elimina-cin o reformulacin de problemticas y tcnicas ad hoc.

Entre 1924 y 1950, Tarski estudia sistemticamente el esqueleto dela categora de conjuntos: la coleccin de cardinales finitos e infinitos,junto con los principios de tricotoma, axioma de eleccin (AE) e hip-tesis generalizada del continuo (HGC)2 que sirven para delimitar yordenar ese esqueleto.

1. Le pareca que la buena literatura es harto comn y que apenas hay dilogo callejeroque no la logre [Borges 1996a I, 461].

2. Axioma de Eleccin (AE): para toda coleccin no vaca de conjuntos no vacos existeotro conjunto que selecciona exactamente un elemento de cada conjunto de la colec-cin. Hiptesis del Continuo (HC): no existe ningn tamao infinito diferente entre eltamao del conjunto de los naturales y el tamao del continuo cantoriano (1 = 20).Hiptesis Generalizada del Continuo (HGC): no existe ningn tamao infinito diferen-te entre y 2 (+1 = 2).


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La categora usual de conjuntos V (construida con iteraciones finitase infinitas de partes y uniones: el rel matemtico) puede expandir-se lenta o explosivamente dependiendo de las acotaciones que se im-pongan al rel. Gdel (1937-40) mostr que si el rel se acota construc-tivamente (V=L) entonces el esqueleto cardinal crece minimalmente yvalenAEyHGCen ese modelo acotado (demostracin de la consis-tencia relativa del axioma de eleccin y de la hiptesis del continuo,con respecto a los dems axiomas de la teora de conjuntos).

En el curso de sus primeras investigaciones sobre el esqueleto car-dinal,1 Tarski descubre (1926) que aun las ms elementales propiedadesde la aritmtica cardinal dependen del axioma de eleccin y, de hecho,demuestra que la mayoras de ellas son plenamente equivalentes aAE,como sucede por ejemplo con las implicaciones siguientes:

si


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do, hondo vaivn entre lo abstracto y lo concreto, misterioso ascenso ydescenso entre lo uno y lo mltiple. El rel engrana una sofisticadadialctica entre constantes intentos globales de depuracin y generali-zacin y constantes esfuerzos locales por alimentar el espesor de loparticular.

Otro resultado de Tarski (1933) tal vez su teorema ms conoci-

do muestra que no es posible definir, en una teora formal lo suficien-temente potente, una nocin de verdad para la teora misma sin caer encontradicciones. As, para definir las nociones semnticas de un lengua-je dado no slo se debe recurrir a un metalenguaje sino debe irse anms all: el metalenguaje debe tener medios de expresin esencialmen-te ms ricos que los del lenguaje objeto. Dentro de la aritmtica dePeano esto puede verse compactamente haciendo referencia a los nme-ros de Gdel de las frmulas aritmticas: mientras el conjunto de losnmeros de Gdel de las sentencias demostrables en la aritmtica esrepresentable en la aritmtica misma (haciendo uso de las tcnicas de lateora de la recursin), en cambio, el conjunto de los nmeros de Gdelde las sentencias verdaderas en la aritmtica no puede ser representadocon sus propios medios.1 El teorema de indefinibilidad de la verdad de

Tarski puede verse tambin como una situacin que contrapone unesqueleto (lmite) y un rel (tejido): el tejido de correlaciones semnti-cas de la aritmtica no puede ser captado por un esqueleto interno, yrequiere una mayor riqueza externa (conjuntista) para poder ser expre-sado, manejado y controlado adecuadamente.

Las finas interpretaciones algebraicas y topolgicas de Tarski parael clculo intuicionista (1938) y para el clculo modal S4 (1944) mues-tran que un esqueleto matemtico comn subyace a la posibilidad deinterpretar2 el clculo intuicionista en el sistema S4. El esqueleto con-siste en lgebras de clausura, que pueden representarse tanto algebrai-ca como topolgicamente, y cuya representacin topolgica resulta seruniversal dentro de esa clase de estructuras. Similarmente, Tarski

1. Para mayores precisiones, vase [Mangione 1993a, 582-583]. Mangione indica que elteorema de Tarski confirma la imposibilidad en general de reflejar apropiadamente,en un nivel sintctico, el momento semntico, la imposibilidad de que la nocin (se-mntica) de verdad pueda ser substituida in toto por aquella (sintctica) de demostrabi-lidad. Esta imposibilidad de traduccin aritmtica es, por otra parte, la confirmacindel carcter irremediablemente infinitario y no efectivo de las nociones semnticas quedeben as ser tratadas en teoras particularmente potentes, como la teora de conjuntos[Mangione 1993a, 583].

2. Refirindonos a los modelos de Kripke para las lgicas modales, el clculo S4 es aqueldeterminado por los marcos modales sobre relaciones reflexivas, simtricas y transiti-vas (ver p. 49). La primera interpretacin del clculo intuicionista en el sistema S4 sedebe a Gdel [1933a].


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(1935) haba demostrado que toda lgebra booleana completa y atmicapuede ser representada por un lgebra booleana conjuntstica del tipo(X). De diversas maneras, Tarski se acerca as a esqueletos de arque-tipos o invariantes para diversas clases de estructuras. Los esqueletosse obtienen como lmites (3) que se van descarnando progresivamenteen un proceso reactivo (2) de ascenso y descenso entre abstraccin y

realidad.En El modelo de los modelos (3.2), el seor Palomar pasa progre-sivamente de la cmoda certeza que produce un modelo enfrentado conuna realidad, a una pragmtica general donde una multiplicidad demodelos capta parcialmente la multiplicidad de la realidad y donde elesqueleto de las correlaciones combinatorias entre los diversos modeloses el que otorga de vuelta una cierta unidad a la visin, al disolver pasa-jeramente la pluralidad:

En la vida del seor Palomar hubo una poca en que su regla era sta:primero, construir en su mente un modelo, el ms perfecto, lgico,geomtrico posible; segundo, verificar si el modelo se adapta a los ca-sos prcticos observables en la experiencia; tercero, aportar las correc-ciones necesarias para que modelo y realidad coincidan. [...].

La construccin de un modelo era para l un milagro de equilibrioentre los principios (que permanecan en la sombra) y la experiencia(inasible), pero el resultado deba tener una consistencia mucho ms so-lida que los unos y la otra. En un modelo bien construido, en realidad,cada detalle debe estar condicionado por los dems, con lo cual todo sesostiene con absoluta coherencia, como en un mecanismo donde si sebloquea un engranaje todo se bloquea. [...].

La regla del seor Palomar poco a poco haba cambiado: ahora nece-sitaba una gran variedad de modelos, tal vez transformables el uno en elotro segn un procedimiento combinatorio, para encontrar aquel quecalzase mejor en una realidad que a su vez estaba siempre hecha de mu-chas realidades diversas, en el tiempo y en el espacio. [...].

El modelo de los modelos ansiado por Palomar deber servir paraobtener modelos transparentes, difanos, sutiles como telas de araa; talvez directamente para disolver los modelos, incluso para disolverse[Calvino 1997a, 94-97].

Los modelos de Calvino son por antonomasia los modelos de Borges yde Tarski: escritura y lgica modelsticas a ultranza, sus modos decreacin se insertan perfectamente en la combinatoria de Palomar,desde su bsqueda de la perfeccin lgica y geomtrica, hasta su sutildisolucin en lo indefinible, pasando por la coherencia absoluta de losdetalles y por la clara identificacin del espectro de la diversidad.

Modelos que resaltan la infinita multiplicidad del tiempo y del espa-cio y la inagotabilidad del amplio rango de lo posible, los arquetipos,los esqueletos de Borges sus espejos al acecho, textos y autores in-existentes, duplicaciones arquitectnicas, Pierre Menard, cuya admira-


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ble ambicin es componer no otro Quijote sino de nuevo, palabra porpalabra, El Quijote sus recursos narrativos como reflejos permiten irdecantando una geometra peculiar que aprovecha la vaguedad multi-plicatividad del laberinto para reflejar la vaguedad explosiva del uni-verso entero. En Borges van adecundose los laberintos de la invencinliteraria, rboles de infinitas ramificaciones, a los laberintos de combi-

natorias de imgenes espaciales1

que geometrizan el recuerdo. Desdeuna nota a pie de pagina de Tln que slo podr ser leda en algn futu-ro, hasta la subdivisin infinita de los sueos enLa escritura de Dios,pasando por el laberinto griego que es una nica lnea recta, los pro-cesos geomtricos de inversin, adicin y fragmentacin, la multiplica-cin de los puntos de fuga, son constantemente usados para envolver allector en un haz de perspectivas que rompen la orientacin y la dimen-sin.

Similarmente, la descomposicin Banach-Tarski de una esfera des-truye la dimensionalidad (lo uno aparentemente se torna doble) y laorientabilidad (los fragmentos de la descomposicin no son medibles,an menos orientables). A su vez, Tarski recorre el laberinto del infinitoy muestra que las complejidades de su esqueleto (la coleccin de los

cardinales infinitos) dependen en buena medida de las complejidadesdel universo en que ese esqueleto se inserta (formas diversas del axio-ma de eleccin y de los axiomas que gobiernan el crecimiento del uni-verso). El reflejo de la vaguedad explosiva del universo conjuntista ensu esqueleto cardinal es uno de los grandes temas que hubiera deleitadoa Borges. Igualmente, el manejo de los cardinales inaccesibles segnTarski hubiera probablemente fascinado al autor2 de El Aleph: un cardi-

1. Una excelente presentacin del espacio y la arquitectura segn Borges se encuentra en

[Grau 1989a]. La puntillosidad y la sensibilidad de Grau se encuentran presentes, porejemplo, en el detallado estudio que realiza de las variantes que Borges introdujo en lareedicin deLa Biblioteca de Babel (1a ed., 1942; 2a ed., 1956). Dos pequeas modifi-caciones amplan, de una edicin a otra, el tamao de la inconmensurable biblioteca

hacia una doble infinitud: hacia lo alto y hacia lo ancho, mientras que en la primeraedicin slo se poda inferir la altura infinita de la biblioteca; las escaleras, los pozos,las espirales de la biblioteca, son objeto de un estudio que explica la desorientacin, elhorror, la desesperanza ante una infinitud que se convierte en vaco.

2. El debate sobre la capacidad de Borges para realmente entender algunos caucestcnicos de la matemtica se encuentra abierto. Muchos intrpretes piensan que sucomprensin era muy limitada. Una expresin extrema es la de Sbato (quien, doctoren fsica, conoca de cerca las dificultades tcnicas de la abstraccin): [Borges] lui-mme avoue quil recherche dans la philosophie, dans un but purement esthtique, cequi peut sy trouver de singulier, amusant ou tonnant: quAchille au pied lger nepuisse atteindre la tortue; quen un temps infini, amoncelant des lettres au hasard unsinge puisse crire loeuvre de Dante. Les paradoxes logiques, le regressus in infini-tum, le solipsisme sont les thmes de contes achevs. Et de mme quil


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nal inaccesible (no accesible por sumas o exponenciales de cardinalesprevios: cardinal que queda ms all del universo conjuntista usual Vy que asegura su consistencia) es el smil perfecto del aleph borgiano,de la esfera tornasolada que incorpora todo el universo en su casiintolerable fulgor:

V

universouniverso

conjuntistageneral

El inaccesible tarskiano El aleph borgiano

En el pleno sentido de la mxima pragmtica peirceana que trata deverticalizar y coordinar combinatoriamente la multiplicidad de modelosque surgen en todo proceso de representacin y de interpretacin delmundo Borges y Tarski construyen sofisticadas pragmticas. Susengranajes, autoreferencias, reescrituras, revisiones, muestran la reubi-cacin permanente de los modelos y su traslado continuo de un lugar aotro del universo, reorganizacin siempre til para realzar una perspec-tiva o presentar un novedoso escorzo. Las diversas ubicaciones de losmodelos (cardinales desperdigados o linealmente acotados, lenguajesnivelados o estratificados, personajes o autores-lectores, sub-textosimaginarios o reales) van dejando un esqueleto de trazas que simboliza,a la vez, la pluralidad del universo (las movibles trazas en el faneron) ysu honda y escondida unidad (el permanente esqueleto sobre el cualpuede referenciarse el cambio).

fera un rcit inspir de lempirisme de Berkeley pas plus quil ne voudra perdrelopportunit den laborer un autre avec la sphre de Parmnide galement tonnante,son clectisme est invitable. Cet clectisme est aid para son imparfaite connaissance,lui faisant confondre selon les ncessits littraires le dterminisme avec le fina-lisme, linfini avec lindfini, le subjectivisme avec lidalisme, le plan logique avec leplan ontologique. Il parcourt le monde de la pense comme un amateur la boutiquedun antiquaire; et ses pices littraires sont meubles avec le mme got exquis maisaussi le mme mlange htroclite que lintrieur de ce dilettante [Sbato 1981a, 173].


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3.3Torres Garca y Freyd:

Estructuras universo

Signo general que hemos querido evocar en estas pginas, el universoamericano, como signo del universo todo, es el signo que Joaqun To-

rres-Garca (Uruguay, 1874-1949) haba intentado construir en su ma-gisterio para devolverle a Amrica su lugar en el mbito amplio de lacultura (El signo, o espectro del artista, debe estar inscrito en la Ar-mona, que es lo Universal)1:

De toda Amrica hoy surge un gran deseo de unificacin. [...]. Una ver-dadera cultura debe reemplazar a esto que aqu se suele llamar cultura.No, pues, una amalgama de conocimientos y principios dispares, sincohesin, a la buena de Dios; sino algo maduro, con unidad: una estruc-tura. Algo integral, con una idea matriz por base, en conjunto armnico.[...]. La idea de estructura, de construccin, ha sido lanzada, y, sobreella, ya se han realizado trabajos plsticos. El principio geomtrico hahecho su aparicin, y esto ya es una reintegracin a la cultura arcaica.Lo mismo la idea de cosmos, de universalidad. Y como antes de estetiempo, aqu, no existan tales ideas, podemos decir que ahora comienzaesa vuelta a la tradicin del Continente.2

Torres-Garca trata de elaborar una gramtica plstica que supere loslmites locales del pensamiento. El subttulo de su compendio tericofundamental Universalismo constructivo explicita la directriz unitariade su programa: Contribucin a la unificacin del arte y la cultura deAmrica, donde propone signos y jeroglficos que compartimenten yestructuren la obra, produciendo un lenguaje visible para todos. SegnTorres-Garca la naturaleza puede ser ordenada, pueden visualizarse lasleyes de unidad que presiden el cosmos y pueden ser descubiertas lasformas plsticas y las estructuras universales que se esconden detrs delas apariencias mltiples de la realidad:

Qu es, pues, el Arte Constructivo? [...]. Todo aqu es UNO. Por esto

me apresuro a decir que nuestras obras de plstica no son pinturas niesculturas, en el sentido corriente de la palabra. No se quiera ver enellas otra cosa que diversas estructuras que ms o menos felizmentequieren ponerse de acuerdo con la Armona a la cual el artista puedeprestar lo vital de su alma y de su temperamento. Y siendo la regla co-mn, la diversidad se produce. Porque tal como el alfabeto, que siendoel mismo siempre, permite todas las imaginables expresiones. [...]. Puesesa regla una, andando el tiempo, puede dar las expresiones ms insos-pechadas. [...]

1. El espectro de nuestro signo (1934), en: Torres-Garca 1944a, 51.2. El nuevo arte de Amrica (1942), [Torres- Garca 1944a, 991, 993].


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Por el aspecto que tal arte presenta ha merecido el reproche de la ge-neralidad, acostumbrada a gustar los frutos de un momento, en mi sen-tir, de decadencia, pongo por ejemplo la Grecia de Pericles o el Rena-cimiento. Y puesto que la caduca civilizacin de Europa se descomponey se hunde, pues perdi el camino de la sabidura, hallndolo nosotros,y que es el de esa ciencia universal, vieja como el mundo, podemos,cumpliendo una eterna ley de equilibrio, restablecerla nuevamente aqu.[...]. Veremos, entonces, que hay que volver, si queremos ser salvados,

a la entraa de su profunda estructura, que sera entrar, en todo orden decosas, en la construccin geomtrica; partir, por esto, de lo puro ele-mental, para ir construyendo (creando) con base propia y segn nuestrasnecesidades, situndonos, por este hecho, en el verdadero plano en quepuede y debe afirmarse una verdadera cultura. La cual, y siguiendo lams antigua tradicin, levantara de nuevo al Hombre Universal, porencima del hombre-individuo, pues tal fe es la que corresponde a unpueblo joven que aun debe escribir la historia de sus ms altos valores.1

Levantar al Hombre Universal, por encima del hombre-individuo esun intento ms de concrecin de la mxima de Peirce segn la cual logeneral debe terminar siempre primando sobre lo particular (inte-grndose en el continuo peirceano donde se funden los individuos).La bsqueda de la Armona, la construccin del Hombre, la restitucinde un Lugar, son algunos de los grandes y permanentes procesos arque-

tpicos universales de la cultura en los que se inserta el programa deTorres-Garca. En las correspondencias de esos arquetipos generales(muy cercanos a los objetos libres de la teora matemtica de catego-ras) con los signos constructivos del cosmos yace la dinmica profundadel arte:

La fe en el ritmo es lo profundo del arte. Pero hay que hacer una aclara-cin importante: no basta que una obra sea bien estructurada en cuantoa que sus partes estn bien acordadas; si este acorde no est, a su vez,en total armona, esto es, en correspondencia o relacin con un concep-to de universo, podr ser an una obra perfecta, pero le faltar profun-didad y grandeza, que no puede venir sino de estar configurada al un-sono con esa universal armona.2

Lo ms importante en la obra es el funcionalismo de los elementos que

la integran ya que en eso reside la vida de la plstica: desplazamientosde planos por la proporcin, la dimensin y el color en la pintura yde volmenes en la escultura y la arquitectura.3

Pues bien, para que una obra de arte tenga tan perfecta unidad como unobjeto cualquiera, tiene que realizar slo una cosa y sta no puede serms que una estructura, sin que en ella intervenga nada ms. Podr ser-

1. Qu es el arte constructivo? (1938), [Torres-Garca 1944a, 744-745].2. El espectro de nuestro signo (1934), [Torres-Garca 1944a, 50].3. Funcionalismo (1934), [Torres-Garca 1944a, 108].


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virse de una forma cualquiera, sea abstracta o de objeto, o ser vivo, perolo que deber realizar ser slo una estructura.1

La creacin de zonas y de contextos de interpretacin, para la gramticageneral2 de los arquetipos de Torres-Garca, antecede como vere-mos a muchas ideas posteriores de la teora matemtica de categor-as. Los signos plsticos peculiares y locales, vistos como reflejos de

contextos generales, se encuentran tambin muy cerca de la dialcticacategrica entre lo local y lo universal. En Construccin universal[1932] [Traba 1994a, 4], Torres-Garca encajona signos libres (balan-za, sol, croquis de hombre y mujer, reloj, ancla, casa, etc.) en un entre-lazamiento plstico que debe poder estar en las bases de cualquier cul-tura. En Grafismo [1936] [Traba 1994a, 377] aparecen, adems demltiples arque-signos, palabras que toda Amrica debe poder interpre-tar (alma, mito, nadie,...). Los signos encajonados deben poderluego recomponerse relacionalmente en la mente de los diversos espec-tadores para ofrecerles indicaciones acerca de su identidad, o de su faltade identidad, cultural.

La mezcla de Regla y Libertad vaivn (adjuncin) entre geome-

tra y sensibilidad se encuentra siempre presente en la obra de To-rres-Garca. En Formas abstractas [1938] [Ramrez 1992a, 95], dosespacios de la tabla pintada al temple se atraen y se repelen en un vai-vn plstico entre acople natural y forzamiento. Las fronteras de lasformas, fronteras claramente delineadas y delimitadas en blanco,neutras para ayudar a posibles traslapes, son curvas suaves en la mayorparte del contorno,3 excepto en el centro de la composicin donde lasfronteras se endentan y encajan la una con la otra como en una crema-llera. El contraste de los picos forzados de la cremallera con la suavi-dad natural de las dems fronteras evoca un general frotamiento de lo

1. Fundamento del arte plstico: una estructura (1935), [Torres-Garca 1944a, 181].2. Segn Marta Traba, Torres-Garca se consideraba un pintor realista, a salvo, gracias a

su pasin por la geometra, el ordenamiento, el sintetismo, la construccin y el rit-mo, de la banalidad del naturalismo. Las posteriores declaraciones de discpulos co-mo Gonzalo Fonseca y Julio U. Alpuy siempre coinciden en describir su enseanzacomo un sistema, pero apoyado en la vida y la realidad, lo cual la tie de un fuerte tonoutpico. Para el crtico uruguayo Juan Flo, esa utopa fue buscar un arte casi annimoque partiendo de cero entronque con las civilizaciones del rito csmico, de las que sonun ejemplo las precolombinas. Sealando los ideogramas visibles en las pinturas deTorres-Garca el crtico Angel Kalenberg lo considera un pionero de las gramticasplsticas estructurales, un verdadero inventor de nociones cualitativas lingsticas[Traba 1994a, 77].

3. Las formas y sus fronteras, si se deforman continuamente, evocan un par de grficospeirceanos gama (coloreados) que entran en pugna por delimitar zonas de posibilidadplstica.


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diverso, liberador de energa, en contraste con la armona de lo uno elequilibrio del resto de la composicin consumidor de la energa libe-rada. En Formas entrelazadas sobre fondo rojo [1938] [Ramrez 1992a,96], las lneas fronterizas se liberan y se entrelazan las unas con lasotras, en un juego dinmico que permite la emergencia de formas devida: el perfil de una vaca, el contorno de un rostro, el vaivn osmtico

de lo celular y de lo csmico.1

La vida emergiendo de la abstraccin, lalibertad surgiendo de la regla, el movimiento elevndose de la esttica,son algunos de los desplazamientos que logra construir plsticamenteTorres-Garca para explicitar acordes estticos armonizar ritmosentre los desplazamientos naturales del universo y los de la obra de arte.

La perfecta unidad estructural que incesantemente busca Torres-Garca logra plasmarse felizmente en Tres figuras constructivas primitivas[1937] [Ramrez 1992a, 99]. Temperas sobre cartn, en un registro acota-do de color (gris, rojo, ocre, blanco), la composicin encaja todo tipo derectngulos monocromticos y unos pocos contornos ovales, para hacersurgir una plena armona plstica: nada ms [...] que una estructura. LasTres figuras encarnan adecuadamente el summum bonum de la estticasegn Peirce: independientemente de que en la composicin se evoquen un

hombre, una mujer, un animal, un sol, una torre y un pez, ms all de unaforma cualquiera y sin que en ella intervenga nada ms, la estructurauniverso de Torres-Garca hace explotar el continuo de las posibilidadesplsticas (las impregnaciones y contrastes de color, las correlaciones ycontraposiciones geomtricas, las correspondencias y disociaciones de lossignos) y logra hacer encarnar el global summum bonum peirceano elcrecimiento continuo de la potencialidad en el espacio local de unaobra dada. Por algo que es ms que una mera casualidad de la cultura, laprimera forma de la trada peirceana (I, Thou, It: yo, t, ello)2 reaparecesetenta y seis aos despus en la estructura de Torres-Garca, tambincomo trada3 arquetpica elemental, como arque-signo de todo el Uni-verso.

1. El trasvase local de las Formas entrelazadas es como una representacin visual deltrasvase general de los signos peirceanos entre el protoplasma y el cosmos (p. 25).

2. I, It and Thou. A book giving instruction in some of the elements of thought (1861),en: [Peirce 1982-1993a I, 45].

3. Torres-Garca pretendi en un momento (1929-30) definir su universalismo constructi-vo como una sntesis tridica de cubismo, neoplasticismo y surrealismo. Aunque lasntesis obedeca seguramente a razones de legitimacin ad hoc de una obra originaly ex-centrada que tena que tratar de ser encauzada en las corrientes de la poca, setrata tambin de una coherente sntesis interna entre dos grandes grupos tridicos decontradicciones que Torres-Garca intentaba constantemente resolver: tradicin, espon-taneidad y realidad visual, por un lado, geometra, estructura y razn, por el otro lado.Vase: Flo 1992a, 29-30.


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El Taller Torres-Garca, grupo de artistas que se rene alrededor delgran patriarca cuando regresa a Montevideo (1934) despus de cuatrodcadas de exilio, es uno de los ms peculiares movimientos artsticosdel continente:

El Taller vivi una mstica sin paralelo en ningn otro pas. [...]. Sola-mente admitiendo la conviccin apostlica de su enseanza [ms de

600 conferencias] puede explicarse el fenmeno del mimetismo del Ta-ller, donde cerca de veinte artistas de talento y sensibilidad se plegaronde manera casi literal a sus sistemas expresivos. [...]. El carcter epigo-nal de los miembros del Taller, incluso los ms importantes, no es ano-tado como factor en contra. Por el contrario, el Taller cre las variablesnecesarias a un lenguaje demasiado rgido, pese a la condicin sensiblede la compartimentacin y los signos incluidos [Traba 1994a, 77].

Amalia Nieto, una de las integrantes del Taller y segunda esposa deFelisberto Hernndez,1 realiza un hermosoHomenaje a Felisberto Her-nndez [1936] [Ramrez 1992a, 89], madera tallada y pintada en la queuna escala bsica (escalera subyacente, a su vez, a un premonitoriotemplo o balcn)2 sirve para componer los bloques musicales quearman la estructura de la obra. Sntesis compacta, mutacin de lo circu-

lar y lo triangular sobre lo rectangular tejido reflejo de contrapuntosy desdoblamientos sorpresivos la estructura universo de AmaliaNieto es una visualizacin posible del mundo fluctuante de Felisberto:ligero movimiento (crculo, tringulo) sobre el hondo, fijo y pesadosilencio (rectngulos) que subyace en toda su narrativa.

Espacios de sntesis, las estructuras universo del Taller de Torres-Garca prefiguran importantes desarrollos de la lgica matemtica queempezaran a explicitarse un par de dcadas ms tarde. Aunque la ma-yora de los lgicos que hemos estudiado en este ensayo se sitan enuna tradicin analtica de las matemticas (capturan el mundo de lasmatemticas desde adentro, analizando ciertos conceptos en componen-tes primarias y recomponindolos luego: trabajos que se insertan en lateora de conjuntos cantoriana, a travs de descripciones por medio de

elementos en diversos niveles), otro camino complementario se abrira

1. Segn Saad, Felisberto ha construido algunas de sus obras con el rigor que el granpintor [Torres-Garca] se impona a s mismo y enseaba a sus alumnos [Saad 1997a,11].

2. El balcn de Felisberto aparece enNadie encenda las lmparas en 1947. Invirtiendola premonicin, Felisberto inventa a Amalia enLa cara de Ana en 1930: Yo pensabasiempre en Amalia [...]. Un da antes de salir a pasear, con la alegra de lo que veramosy como ponindonos de acuerdo para ir a muchos lugares lindos nos dimos un beso corto.Despus nos dimos muchos besos ms. Pero cuando nos besbamos ella miraba para unlado como si pensara a dnde ira a pasear y yo tena los ojos muy abiertos y la mirabafijo como si estuviera distrado por cosas simples [Hernndez 1983a I, 60].


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en los aos sesenta, cuando la teora matemtica de categoras recupera-ra las grandes tradiciones sintticas y creara una novedosa gama deinstrumentarios para estudiar tcnicamente las nociones de universali-dad, acotamiento contextual y proximidad relacional.

En la teora de categoras los objetos no son descritos en s, en unespacio absoluto (como el que pretende otorgar la teora cantoriana de

conjuntos), sino a lo largo de adecuadas categoras. Las categoras sebasan sobre un lenguaje descarnado, universal, que describe fenme-nos generales de los objetos por medio de sus relaciones con el medioambiente. En categoras concretas los objetos generales encarnan enobjetos especficos: por ejemplo, una misma nocin general de objetoinicial puede encarnar en el conjunto vaco (cardinal 0), en un grupounitario (cardinal 1), o en el anillo de los enteros (cardinal 0), a lolargo de las diversascategoras de conjuntos, grupos o anillos, respec-tivamente. Los objetos categricos son cajas negras, objetos parciales,que slo van alcanzando su plena dimensin semntica al ir represen-tndose en diversas categoras que les dan vida.

Las ideas ms originales de la teora matemtica de categoras sedeben principalmente a dos brillantes y sui generis matemticos, muy

activos desde los aos sesenta: Bill Lawvere y Peter Freyd. Dentro delamplio programa de trabajo de Freyd, se han logrado caracterizar im-portantes categoras por medio de su poder de representacin o capacidadexpresiva. Las lgicas abstractas deben verse all, desde un punto de vistamuy general, como invariantes de adecuados teoremas de representacin.La lgica se comprende as como una teora general de las representacio-nes, respondiendo de manera precisa al sueo de Peirce, quien defina a lalgica como una semitica universal, que deba poder enfrentarse a losproblemas generales de la representacin sgnica.

En el pensamiento categrico, la dialctica de lo uno y lo mltiplealcanza una de sus expresiones ms felices: un objeto uno cons-truido por medio de propiedades universales, es a su vez mltiple a lolargo de la pluralidad de categoras donde encarna. Lawvere descubrique la lgica intrnseca de ciertas categoras (topos), que surgan natu-ralmente en el cruce de conjuntos y geometra, era la lgica intuicionis-ta [vase: Lambek 1986a], acercando as las categoras a un programaconstructivista del que parecan desligadas al comienzo. La maquinariacategrica relacional de Freyd (su red de alegoras) proporcion luegoaxiomatizaciones para categoras intermedias, de ms bajo poder derepresentabilidad que los topos, que haban pasado desapercibidas hastaentonces, y mostr que esas categoras podan verse, a su vez, como


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modelos naturales para lgicas intermedias entre algunas lgicas mi-nimales y la lgica intuicionista.1

Los teoremas de representacin de Freyd para diversas clases decategoras se basan en un eje conceptual fundamental de la teora, segnel cual toda categora pequea puede ser adecuadamente sumergida enuna categora de prehaces, donde aparecen objetos ideales, o no

estndar, que completan el universo (proceso de completamiento deYoneda):

La aparicin natural de lo ideal al tratar de captar lo real, aparicinpermanente y penetrante en toda forma de creatividad matemtica,concuerda con la actitud de Torres-Garca quien, definindose comorealista pero no naturalista, permite que el mbito general de los signosy de las ideas se introduzca al modo peirceano dentro de una reali-dad extendida. En el caso de Freyd, su extendido realismo va ms allde lo que hubieran podido imaginar Torres-Garca o el mismo Peirce:con un procedimiento ubicuo en lgica categrica muestra que, partien-do de teoras puras de tipos con ciertas propiedades estructurales (regu-laridad, coherencia, primer orden, orden superior), pueden construirseuniformemente mediante una jerarqua arquitectnica completamentecontrolada categoras libres que reflejan las propiedades estructuralesdadas en un comienzo (categoras regulares, pre-logos, logos y topos).2Al obtener categoras libres, se consiguen las ms descarnadas cate-goras posibles, reflejables en cualquier otra categora con propiedades

1. [Freyd 1990a]. La obra tard casi veinte aos (1972-90) en culminarse. Sin lugar adudas, se trata de una de las cumbres de la matemtica en el siglo XX, altura sin em-bargo an poco apreciada por la comunidad matemtica en general.

2. Procedimiento T(teora) AT(alegora) MapSplitCor(AT) (categora), que entregaun resultado libre cuando se parte de una teora pura de tipos, y que muestra en cadauna de sus etapas (relacionalidad, subsuncin en la identidad, invertibilidad parcial,funcionalidad) cmo se va filtrando un determinado conglomerado matemtico[Freyd 1990a, 277].


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similares: Freyd logra as construir nada menos que los arquetipos ini-ciales de la teorizacin matemtica. Como a menudo sucede con losgrandes giros de la matemtica, los asombrosos resultados de Freydslo sern plenamente comprendidos dentro de unas dcadas, pero,desde ya, es fcil predecir su inusitada importancia.

Las obras de Torres-Garca son, en sus propios trminos, lecciones

racionales que insinan ordenamiento, sintetismo, construccin yritmo1 detrs de las mltiples manifestaciones de una naturaleza apa-rentemente catica. La teora de categoras ha encontrado, por otroscaminos, esos jeroglifos y arquetipos que permiten ordenar sinttica-mente la aparente multiformidad de la matemtica contempornea. Losteoremas de representacin de Freyd apuntan, entre otros, a los siguien-tes aspectos que pudimos vislumbrar en la obra pionera de Torres-Garca: representabilidad: la obra se ve como un tejido relacional, coninmersiones y demarcaciones sgnicas; universalismo: la obra se basaen esquemas abstractos (generales), antes de ser contextualizada (parti-cularizada); constructivismo: la obra requiere de un montaje a la vistapara que el espectador detecte y complete su construccin.

ElMonumento csmico (1935) y elHombre abstracto (1939) [Mas-

lach 1998a, 586-587] representan, respectivamente, el hombre en elcosmos y el cosmos en el hombre, e invierten los reflejos del uno en elotro. En la primera tinta sobre papel, el signo del hombre es uno ms delos signos del cosmos; en la segunda, los signos del cosmos son unosms de los signos del hombre. La combinacin de las dos tintas dalugar a una autoreferencia, codificada ad infinitum, similar a un par deespejos de Borges enfrentados. Las antiguas y siempre vivas corres-pondencias entre macro y microcosmos renacen en las estructuras uni-verso de Torres-Garca. Desde una perspectiva sinttica (Freyd) o sin-tetista (Torres-Garca), Calvino retoma esa problemtica del universo yel yo, en El mundo mira al mundo y en El universo como espejo(3.3), segn Palomar:

Pero cmo se hace para mirar una cosa dejando de lado el yo? Dequin son los ojos que miran? Por lo general se piensa que el yo es al-

1. Insiste Torres-Garca: Vamos a regirnos por las leyes universales de la razn y no por

lo que nos aconseje nuestro inters personal. Y con esto se dice que se debe estar en louniversal y no en lo particular, y que, por lo tanto, existe un mundo de abstracciones enel cual queremos estar, contenido en: Lo abstracto y lo concreto [1935], op.cit. (no-ta 310), 271. Es admirable, en Torres-Garca, la bsqueda de lo universal, allende elinters personal, algo inimaginable cincuenta aos despus con las reivindicacionesparticularizantes del postmodernismo, que colapsan inmediatamente con el dictado deTorres-Garca: la libertad es la fidelidad a la Regla y no lo que se crey [Freyd1990a, 573].


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guien que est asomado a los propios ojos como al antepecho de unaventana [influencia de Felisberto en Calvino?] y mira el mundo que seextiende delante en toda su vastedad. Por lo tanto: hay una ventana quese abre al mundo. Del otro lado est el mundo, y de ste? Siempre elmundo: qu otra cosa va a haber? Con un pequeo esfuerzo de con-centracin Palomar consigue desplazar el mundo de all delante y aco-modarlo asomado al antepecho. Entonces, fuera de la ventana, ququeda? Tambin el mundo, que en esta ocasin se ha desdoblado en

mundo que mira y mundo mirado. Y l, llamado tambin yo, es de-cir, el seor Palomar? No es tambin l un fragmento de mundo queest mirando otro fragmento de mundo? [Calvino 1997a, 100].

Al amigo del universo, el universo le es amigo. Ojal suspira Palomarpudiera tambin yo ser as! Decide tratar de imitarlos. Todos sus esfuerzos,de ahora en adelante, tendern a lograr una armona tanto con el gnerohumano prximo a l como con la espiral ms lejana del sistema de las ga-laxias [...]. Trata de conseguir que sus pensamientos tengan presentes con-temporneamente las cosas ms cercanas y las ms alejadas: cuando en-ciende la pipa, la atencin a la llama del fsforo, que la prxima vez deberadejarse aspirar hasta el fondo del hornillo iniciando la lenta transformacinen brasas de las hebras de tabaco, no debe hacerle olvidar ni un instante laexplosin de una supernova que se est produciendo en la Gran Nube de

Magallanes en este mismo momento, es decir, hace unos millones de aos.La idea de que todo en el mundo se vincula y se responde no lo abandonanunca [Calvino 1997a, 101-102].

Expresiones del principio de continuidad leibniziano, la eliminacin delyo aislado, la correspondencia entre igniciones en el macro y micro-cosmos, o la influencia de una variacin de luminosidad en la Nebulo-sa del Cangrejo en la frescura de las hojas de berro en su plato deensalada [Calvino 1997a, 101-102], son otras formas ms de la conti-nua evolucin de los signos generales peirceanos en todos los mbitosdel cosmos. La continuidad del universo es una de las formas ms con-tundentes (summum) de expresar plenamente la terceridad peirceana.En el sustrato de las obras de Torres-Garca y de Freyd yace hondamen-te esa plena terceridad: los traslados semnticos que pretende conseguirTorres-Garca entre sus arque-signos y los signos del cosmos requierenun principio de continuidad, as como los teoremas de representacin de

Freyd pueden verse como instanciaciones discretas de teoremas decontinuidad uniforme subyacentes.Torres-Garca proclamaba, como hemos visto, que la fe en el ritmo

es lo profundo del arte, y sus obras en una justa correspondenciapragmtica con la Regla son fino ejemplo de cmo conseguir impac-tantes ritmos plsticos. Igualmente, en Freyd, si hay algo que impacta almatemtico que por vez primera se acerca a sus teoremas, ese algo es elritmo sincopado, violentamente alto y rpido de su estilo de prue-ba. Pero el ritmo, en el fondo, no es ms que otra modulacin peculiar


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de la terceridad peirceana, como bien lo analiza Theodor Lipps en suArticulacin trplice del conjunto rtmico:

Las acentuaciones del ritmo no se descomponen, sino que el todo expe-rimenta una diferenciacin, a saber, una diferenciacin de momentoscualitativamente diferentes, los cuales estn frente a frente en el conjun-to. [...]. Estos momentos cualitativamente diferentes ya han sido desig-

nados. Primero como principio, medio y fin, o como impulso al movi-miento, curso del mismo y final o terminacin. Pero ya hicimos notarque el movimiento rtmico, no slo es un mero hecho, sino que es unaaccin. Y la accin corresponde a la oposicin, la presin que trata devencer un obstculo, el trabajo interior, la tensin. [Excelente expresinde la segundidad, sin conocer a Peirce].

Y cuanto ms viva es la accin, tanto ms se destaca el momento dela tensin y de la victoria, y tanto ms encierra el curso del movimientouna tensin de este gnero. Si reflexionamos sobre esto, podemos dis-tinguir tres momentos: el primero es el punto de partida o, como decaantes, la base; el segundo, la tensin, o, en tanto sta se manifiesta en laposicin de la voz, la altura; la tercera es la resolucin, la vuelta al re-poso. Con esto se da una posible diferenciacin que est en la naturale-za del todo rtmico. Consiste en la configuracin independiente de esostres momentos cualitativamente diferenciados.

Tal diferenciacin puede luego realizarse en las unidades rtmicas demovimiento elementales. Vimos que en cuanto el anfmaco [unin de dos

acentuaciones relativamente de igual valor] se diferenciaba en s perfecta-mente, nace en l, entre las dos acentuaciones principales, la acentuacin delprincipio y la del fin, una entonacin principal. Esta puede, a consecuenciade su peso, acercar cada vez ms entre s aquellas entonaciones. De estemodo tenemos aqu una diferenciacin de una unidad en el principio, en elcentro y en el fin. Slo de este modo llega a completa expresin la esen-cia ntima de la unidad [Lipps 1923a, 324-325].

Las combinatorias de la trada indisoluble pero siempre potencial-mente abierta a la acentuacin de sus componentes, integral pero siem-pre susceptible de diferenciacin sustentan el vaivn siempre com-plementario entre la unidad y la diversidad. En el leo sobre cartnEstructura universal tres arcos (1945) [Maslach 1998a, 594] se con-densa simblicamente este ensayo: gramtica general del cosmos, laestructura universal de Torres-Garca imbrica signos figurativos y abs-tractos bajo la gida de tres arcos entrelazados el tercero de ellos cobi-jando a los otros dos, as como nosotros hemos querido imbricar aqu lasfiguraciones de la esttica y las abstracciones de la lgica matemtica bajola gida de la arquitectura tridica peirceana. Si en el centro de la estructurade Torres-Garca aparecen los signos del sol y del hombre, irradiando suscomplejos reflejos en el resto de la composicin, no quisiramos aqu dejarde mencionar explcitamente el centro vital de nuestro ensayo: un sentidohomenaje a la sobrecogedora unidad de la obra humana, tan hondamente


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encarnada en la diversidad y la universalidad de los notables creadores quehemos recorrido en estas pginas.


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Referencias

ANSA Fernando. 1970a.Las trampas de Onetti. Montevideo: Alfa.ALISEDA-LLERA, Atocha. 1997a. Seeking Explanations: Abduction in

Logic. Philosophy of Science and Artificial Intelligence. Ph.D. The-sis, Stanford University.

ARROYO, Miguel. 1992a. El puro mirar de Revern. en: Armando

Revern (1889-1954). Exposicin antolgica. Catlogo, Madrid:Museo Nacional Reina Sofa.ARRUDA,Ayda. 1980a. A survey of paraconsistent logic. en: Arruda /

Chuaqui / da Costa (eds.). Mathematical Logic in Latin America.Amsterdam: North-Holland. (Traduccin al espaol en: AA.VV.

Antologa de la lgica en Amrica Latina. Valencia / Madrid: Uni-versidad de Carabobo / Fundacin Banco Exterior. 1988).

BAJTIN, Mijail.1986a. Problemas de la potica de Dostoievski. Mxi-co: Fondo de Cultura Econmica.

____________. 1989a. Esttica de la creacin verbal. Mxico: SigloXXI.

____________.1991a. El problema del contenido, el material y laforma en la creacin literaria. en: M. Bajtin. Teora y esttica de la

novela. Madrid: Taurus / Santillana.BELAVAL, Yvon. 1978a. Leibniz critique de Descartes. Paris: Galli-

mard.BOBENRIETH,Andrs. 1996a.Inconsistencias por qu no? Un estudio

filosfico sobre la lgica paraconsistente. Bogot: Tercer Mundo -Colcultura..

BORGES, Jorge Luis. 1996a.. Obras completas. Barcelona: Emec., 4vols.

____________. 1999a. Un ensayo autobiogrfico. Barcelona: GalaxiaGutenberg / Crculo de Lectores.

BOULTON,1979a. Alfredo.Revern. Caracas: Ediciones Macanao.BURCH,Robert. 1991a.A Peircean Reduction Thesis. The Foundations

of Topological Logic. Lubbock: Texas Tech University Press.CAICEDO, Xavier. 1978a. A formal system for the non-theorems of the

propositional calculus. Notre Dame Journal of Formal Logic 19:147-151.

____________. 1978b. Maximality and interpolation in abstract lo-gics. Ph.D. Dissertation. University of Maryland.

____________. 1980a. Back-and-forth systems for arbitrary quantifi-ers. en: A.I. Arruda. R. Chuaqui. N. da Costa (eds.).Mathematical

Logic in Latin America. Amsterdam: North-Holland..


37/55


Mathesis

____________. 1981a. Independent sets of axioms of L(Q1). Ca-nadian Mathematical Bulletin24: 219-223.

____________. 1981b. Congruences in regular categories (con W.D.Burgess).Revista Colombiana de MatemticasXV: 43-64.

____________. 1985a. Failure of interpolation for quantifiers of mo-nadic type. en: C. Di Prisco (ed.).Methods in Mathematical Logic.

New York: Springer.____________. 1988a. Logics and pseudogroups (con A.M. Sette).en: W.A. Carnielli, L.P. de Alcantara (eds.).Methods and Applica-tions of Mathematical Logic. Providence: American MathematicalSociety.

____________. 1990a. Definability properties and the congruenceclosure.Archive for Mathematical Logic30: 231-240.

____________. 1993a. La paradoja de Berry revisitada, o la indefini-bilidad de la definibilidad y las limitaciones de los formalismos.

Lecturas Matemticas XIV: 37-48.____________. 1993b. Compactness and normality in abstract logics.

Annals of Pure and Applied Logic 59: 33-43.____________. 1995a. Continuous operations on spaces of struc-

tures. en: M. Krynicki, M. Mostowski, L.W. Szczerba (eds.).Quantifiers: Logics, Models and Computation. volume I, Dordrecht:Kluwer.

____________. 1995b. Lgica de los haces de estructuras.Revista dela Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fsicas y NaturalesXIX 74: 569-585.

____________. 1995c. Investigaciones sobre los conectivos intuicio-nistas. Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas,Fsicas y Naturales XIX 75: 705-716.

CALVINO,Italo. 1992a. Por qu leer los clsicos. Barcelona: Tusquets.____________. 1997a. Palomar. Madrid: Siruela.CANDIDO, Antonio. 1991a. El hombre de los contrarios. en: Antonio

Candido. Crtica radical. Caracas: Biblioteca Ayacucho.CARPENTIER,Alejo. 1977a. Amrica Latina en la confluencia de coor-

denadas histricas y su repercusin en la msica. en: Isabel Aretz(comp.). Amrica Latina en su msica. Mxico: Unesco - SigloXXI.

CHAGROV A., ZAKHARYASCHEV M. 1997a.Modal Logic. Oxford: Ox-ford University Press.

CORBUSIER, Le. 1962a. Larchitecture et lesprit mathmatique. en:Franois Le Lionnais (ed.). Les grands courants de la pensemathmatique. Paris: Albert Blanchard.


38/55

Signos tridicos 149

III 11 (2006)

COSTA,Newton C.A. da. 1993a. Sistemas formais inconsistentes. Curi-tiba: Editora da Universidade Federal do Paran.

COUTINHO, Eduardo de Faria. 1995a. Grande sertao: veredas. en:Jos Ramn Medina (director). Diccionario Enciclopdico de las

Letras de Amrica Latina. Caracas: Biblioteca Ayacucho / MonteAvila.

COUTURAT,Louis. 1985a.La logique de Leibniz. Hildesheim: Olms.DAUBEN, Joseph: 1995a. Peirce and History of Science. en: K.L.Ketner (ed.). Peirce and Contemporary Thought. New York: Ford-ham University Press.

DAWSON, John W. 1997a. Logical Dilemmas. The Life and Work ofKurt Gdel. Wellesley: A K Peters.

DELEUZE,Gilles. 1988a.Le pli. Leibniz et le Baroque. Paris: Editionsde Minuit.

DELEUZE, Gilles y GUATTARI, Flix. 1997a. Rizoma (introduccin).Valencia: Pre-Textos.

DAZ,Jos Pedro. 1967a. f.h.: una conciencia que se rehusa a la exis-tencia. en: Felisberto Hernndez. Tierras de la memoria. Montevi-deo: Arca.

EISELE, Carolyn. 1976a. Econometrics. en: C.S. Peirce. The NewElements of Mathematics (ed. Eisele). The Hague: Mouton.

____________. 1979a. St

zalamea – signos triádicos - parte 2

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