Yupana DigitalJennylee Dayan Murillo Zambrana

Ingeniería de Sistemas, UDABOLLa Paz, Bolivia

jenny_dmz@hotmail.comjennydmz@gmail.com

Abstract— La cultura INCA, fue una de las culturas más desarrolladas en esta área del continente americano, habiendo logrado muchos avances que mejoraban y facilitaban su vida, entre estos grandes avances se encuentra la YUPANA; la cual es una herramienta que los Incas usaban para realizar cálculos matemáticos, siendo de gran ayuda, por ejemplo, en los censos, al realizar cobros, etc. En si la YUPANA era el semejante de la calculadora de nuestros tiempos.

En base a este gran desarrollo Inca y a estudios de arqueólogos reconocidos, se presenta la YUPANA Digital, una aplicación interactiva para que los niños aprendan las cuatro operaciones básicas de la matemática.

I. INTRODUCCIÓN

En la antigüedad, en el Imperio INCA, los cálculos matemáticos eran realizados mediante una herramienta muy sencilla y eficaz, denominada actualmente como YUPANA que en quechua significa “contar o contador”.

En nuestro país actualmente las escuelas y colegios utilizan el Ábaco para la enseñanza de los cálculos matemáticos básicos; entre estos tenemos la suma, resta, multiplicación y división, pero poco a poco, al igual que en el país hermano del Perú, se empieza a utilizar la YUPANA, para la enseñanza de estos cálculos, quedando demostrado que es un método igualmente eficaz y dándole el valor agregado de cultivar nuestra propia cultura en los niños.

II. LA YUPANA DE LOS INCAS

La YUPANA es conocida como el ábaco Inca, y servía como el complemento del Quipu; con la YUPANA los matemáticos incas podían sumar, restar, multiplicar y dividir, antes de poner esta información numérica en los Quipus. En la Fig. 1 se muestra un dibujo del cronista Guaman Poma de Ayala, la YUPANA aparece al lado del Khipukamayoc (encargado de las estadísticas en el imperio Inca) como otra herramienta matemática.

William Burns Glynn (ingeniero textil) dio el nombre de YUPANA a la tabla de cálculo de los Incas, basado en que YUPAY (vocablo quechua) significa contar.

Con la invasión española, mucha de la información sobre la matemática Inca y el uso de los Quipus y la YUPANA fue perdida. Por esta razón, no hay consenso sobre exactamente cómo usar la YUPANA, sino que historiadores y antropólogos han formado diferentes conclusiones sobre su uso.

Fig. 1 Dibujo de Guaman Poma de Ayala y una YUPANA

A. Propuesta decimal de Charles Wiener (1877)

Cada piso de la YUPANA eleva diez veces; de manera que un grano o piedrecilla en una división indicaba un valor que podía ser diez o cien veces mayor que el de otra división.

Esto, inicialmente, fue aceptado por los historiadores, pero luego el mismo Wiener modificó su propuesta por otra y en consecuencia se dejó de lado.

B. Propuesta de Henry Wassén (1931) y difundida por Hyatt Verrill (1945)

El investigador sostenía que en este instrumento el valor numeral se expresaba verticalmente y según una progresión decimal que iba de 1 a 10 000.

El cálculo se hacía horizontalmente, empleándose una progresión de 5, 15, 30.

C. Propuesta exponencial de Nicolino De Pasquale (2003)

Habla de un sistema de base 40, lo cual no deja de ser interesante si tenemos en cuenta que los Mayas se basaron en una base de 20 y que la cosmovisión inca, estaba basado en el número cuatro: Los cuatro suyos: Antisuyo, Collasuyo, Chinchaysuyo y Contisuyo.

III. FORMAS DE USO DE LA YUPANA

A. Operatoria Exponencial

La idea del ingeniero Nicolino De Pasquale, profesor de un instituto técnico de Pescara, es realmente interesante.

Las representaciones numéricas en la YUPANA no son unívocas, por lo que una misma cantidad puede representarse de maneras diversas.

Todos los números comprendidos entre 1 y 39, se representan posicionando piezas numéricas en los espacios de la tabla YUPANA de la manera siguiente.

Casillero 2

Casillero 3 y 1

Fig. 2 Dos maneras de representar el número 4.

Para los primeros 39 números, la manera de representarlos corresponde con la serie de Fibonacci, donde el número siguiente es igual a la suma de los anteriores.

Luego, y del mismo modo que en Mesoamérica los números se harían en filas superiores, de modo que para indicar un número natural cualquiera se efectúa usando una base que en este caso es base 40, y esto lleva a la forma bidimensional de la YUPANA esquematizada en la siguiente figura:

TABLA IVALOR DE CASILLEROS

o o o o o o o o o o o 402 (40000,14400,6400,1600)o o o o o o o o o o o 401 (1000, 360, 160, 40)o o o o o o o o o o o 400 (25,9,4,1)

8000 4800 3200 1600200 120 80 405 3 2 1

Fig. 3 Valor de cada pieza.

Se trata por lo tanto de una representación de cantidades donde la notación posicional se desarrolla en columnas y la progresión exponencial en filas, cosa que también se da en las culturas mesoamericanas, mientras que el cero es simplemente la ausencia material del grano o pieza numérica.

B. Operatoria Decimal

La YUPANA ha sido estandarizada como una herramienta pedagógica en las escuelas de Perú, mediante el método de operación decimal.

La YUPANA es girada en posición horizontal de la siguiente forma:

… Centena Decena Unidad

104 103 102 101 100

Fig. 4 Valor por columna en la operación decimal.

La primera fila es para la “memoria”, y las otras para ubicar las semillas que ayudan a contar. Cada columna tiene un valor múltiplo de 10, y cada círculo tiene un valor de uno multiplicado por el valor de su columna.

Siempre se llena la YUPANA de abajo hacia arriba, y cada vez que se llenan los diez círculos de una columna, los barre y se coloca una semilla en la memoria. Esta después se mueve hasta la siguiente columna, Fig. 4.

Fig. 5 Representación de números en la Yupana, operatoria decimal

IV. LAS OPERACIONES BÁSICAS CON LA YUPANA

A. La Suma

Se representa el primer número en la YUPANA y el segundo arriba con semillas. Por ejemplo si sumamos 328 + 124., colocamos las semillas en la YUPANA para representar 328, con una semilla arriba de la columna de centenas, dos arriba de las decenas y cuatro arriba de las unidades, representamos el segundo número 124. De estas añadimos todas las que sean posibles, hasta llenar una columna de diez, luego borramos y transferimos a la columna siguiente.

Fig. 6 Suma con la Yupana, 328 + 124 = 452.

B. La Resta

Empezamos con el primer número representado en la YUPANA, y el segundo arriba. Ahora, necesitamos sacar de cada columna de la YUPANA tantas semillas como hay arriba. Ejemplo: 525 – 127, vemos que en este caso las semillas no son suficientes.

Fig. 8 Resta con la Yupana, 525 – 127 = 398.

Tomamos una semilla de la siguiente columna que las tiene (centenas), y añadimos diez a la anterior (decenas), repetimos esto sacando una semilla de las decenas y añadiendo diez a las unidades, así ya tenemos suficientes semillas para restar las que faltaban.

C. La Multiplicación

Para realizar la multiplicación colocamos el multiplicando en una columna fuera de la Yupana, al lado del margen vertical izquierdo, y el multiplicador en la parte superior fuera de la Yupana, ejemplo 254 x 137.

Fig. 9 Representación del multiplicando y multiplicador.

Se realizan multiplicaciones uno a uno por ejemplo 7 x 4 = 28, el cual se anota 8 en las unidades y se lleva 2 a la siguiente columna, y de la misma forma se prosigue con todos los números. Una vez terminadas todas las multiplicaciones se procede a simplificar el resultado que se tiene.

Fig. 10 Multiplicación con la Yupana, 254 x 137 = 34798.

D. La División

Al efectuar una división practicamos la sustracción. Ya que esta consiste en encontrar el número de veces que está contenido un número en otro. El número de restas no es tan grande como inicialmente parece.

Así al dividir 7862 entre 581. El resultado que vamos a

obtener es 13.

Observemos el divisor: Se compone de 3 cifras y es menor que el numero compuesto por las tres primeras cifras del dividendo. Se comienza entonces quitando 581 de 786. De lo que quede se restará de nuevo 581 hasta que no se pueda más.

De lo anterior se deduce que el cociente tendrá dos cifras o

sea que constará de unidades y decenas. Se comienza empleando la columna de las decenas de una Yupana auxiliar anotando en ella, de uno en uno, las veces que 581 es restado de 786. Cuando ya no sea posible efectuar nuevas restas, se considera la siguiente cifra del dividendo, el 2, procediendo a calcular la cifra de las unidades correspondiente al cociente.

Fig. 11 División con la Yupana, 7862 - 581 = 2052.

Fig. 12 División con la Yupana, 7862 / 581 = 13.

V. IMPLEMENTACIÓN

La implementación de la “YUPANA DIGITAL” se realizó en Visual Basic.Net 2005 Express Edition, dando al niño o usuario una manera didáctica de aprender estas operaciones básicas, al mismo tiempo que se entretiene jugando.

La “YUPANA DIGITAL” consta de:

A. Algo de Historia

Un video donde el niño podrá aprender cómo los Incas utilizaban la YUPANA (operatoria exponencial), además de conocer de esta forma, más acerca de la cultura Inca.

B. Modo Clase

En este el niño tendrá que superar niveles para llegar a ser un EXPERTO! en la realización de las cuatro operaciones básicas, cada nuevo nivel tiene un tutorial, el cual enseña al niño como realizar la operación pertinente.

Los números mostrados en las operaciones son generados aleatoriamente, en rangos de 1-99, 100-999, 1000-9999, 10000-99999, dependiendo del nivel de avance del niño.

El nivel de avance se mide por la operación realizada; siendo lo más básico el aprender a representar números en la YUPANA, seguido por aprender a sumar, restar, multiplicar y por último dividir. Además dentro de cada operación los niveles se miden por la cantidad de dígitos que utilice el niño desde la decena, hasta la decena de mil.

C. Sumar, Restar, Multiplicar y Dividir

Cada uno de estos brindará la opción de acceder directamente a los ejercicios de suma resta, multiplicación y división, respectivamente, para la práctica inmediata y mejora del nivel del niño.

Fig. 13 Yupana Digital, Menú.

Fig. 14 Yupana Digital, Suma.

VI. CONCLUSIONES

Al desarrollar un proyecto basado en la ciencia ancestral, pude darme cuenta que nuestros ancestros, en este caso

particular la cultura “Inca”, tuvo un avance espectacular ya que estos desarrollaron bastantes técnicas para simplificar su vida, mas aun encontrándose ubicados en una zona no muy favorecedora, para el desarrollo de la agricultura y fauna.

Entre estos avances científicos y que ayudaban en su vida diaria se encontraba la YUPANA.

La “YUPANA DIGITAL” brinda la posibilidad de que todos los niños en edad de aprendizaje escolar puedan aprender jugando sencilla y didácticamente, de manera que para ellos este proceso no sea complicado o tedioso, sino en cambio, sea una forma natural y bonita para que ellos por su propio interés aprendan a realizar las cuatro operaciones básicas.

REFERENCIAS[1] Matemática Andina, [Online]. Disponible: http://matematicaandina.wordpress.com/la-yupana/[2] Yupana, [Online]. Disponible: http://www.comfama.com/contenidos/bdd/7838/yupana.pdf[3] Sistema de Numeración, [Online]. Disponible: http://www.angelfire.com/planet/lindadro/numeracion.html[4] IV Coloquio Internacional, Enseñanza de las matemáticas, 2009, Universidad Católica del Péru, [Online]. Disponible: http://www.pucp.edu.pe/irem/publicaciones_archivos/Actas-2009.pdf[5] Yupana Dinámica, Carlos A. Hernandez Garcia, [Online]. Disponible: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Yupana_dinamica.pdf[6] Instrumentos Prehispánicos de Cálculo, Diego Pareja, [Online]. Disponible: http://matematicas.uis.edu.co/integracion/rint- html/volumen/vol4%281%291986/vol4i86-art3.pdf[7] La Yupana o ábaco peruano, un elemento del patrimonio cultural en la clase de matemáticas, María Elena Saenz, [Online]. Disponible:

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[8] Quipus y Yupanas, [Online]. Disponible: http://quipusyyupanas.blogspot.com/[9] Abaco Inca, [Online]. Disponible: http://www.encyclopediawebsite.com/disc/entries/abacus.doc[10] Yupana Historia, [Online]. Disponible: http://historia.mforos.com/720862/7791212-yupana/