y la integral definida - cálculo ii · la integral definida como el límite de una suma ejercicio:...

Universidad Diego Portales CALCULO II

1

Aplicaciones prácticas de la antiderivacióny la Integral Definida


2

Aplicaciones prácticas

A continuación se presentan algunos problemas en que se conoce la razón de cambio de una cantidad y el objetivo es hallar una expresión para la cantidad misma.

Como la razón de cambio es la derivada de la cantidad, la expresión

para la cantidad misma se hallamediante la antiderivación

Ejemplo: Un fabricante descubrió que el costo marginal cuando se producen q unidades es 3q2 -60q+400 dólares por unidad.Si el costo total de producción de las 2 primeras unidades es U$900, ¿Cuál es el costo total de producción de las 5 primeras unidades?


3

Solución;Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función de costo total C(q). Así

C`(q)=3q2-60q+400y por tanto C(q) debe ser la antiderivada

KqqqdqqqdqqCqC ++−=+−== ∫ ∫ 40030)400603()`()( 232

Para alguna constante K.El valor de K está determinado por el hecho de que C(2)=900.En particular

212K donde de )2(400)2(302900 23 =++−= K

Por tanto 21240030)( 23 ++−= qqqqC


4

Y el costo de producción de las 5 primeras unidades es

1587$212)5(400)5(305)5( 23 UC =++−=

Ejercicio: Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón de personas por mes. Si la población actual es 5000 personas, ¿cuál será la población dentro de 9 meses?

x62 +

Compruebe con la calculadora el resultado de dqqq )400603( 2 +−∫


5

Ejercicio:Después de aplicar los frenos, la aceleración de cierto automóvil disminuye a una razón constante de 22 pies por segundo. Si en elmomento de aplicar los frenos el automóvil viaja a 45 millas porhora ( 66 pies por segundo) ¿cuánto recorre el automóvil antes de detenerse por completo?

Utilizar una calculadora gráfica para representar s(x). Plantear una hipótesis acerca de qué efecto tendría en la gráfica y en s(3) el hecho de que la velocidad inicial fuera 50 millas por hora. Verificar mediante la representación gráfica.

Nota: Recuerde que si un objeto se mueve en línea recta con desplazamiento s(t), su velocidad está dada por v=ds/dt y su aceleración por a = dv/dt .


6

Ecuaciones diferenciales

Toda ecuación que contenga una derivada se denomina ecuación diferencial. Por ejemplo

son ecuaciones diferenciales. Muchas situaciones prácticas se expresan mediante ecuaciones diferenciales.La clase más sencilla de ecuaciones diferenciales tiene la forma

en la que la derivada de la cantidad en cuestión está dada explícitamente como una función de la variable independiente. Tal ecuación diferencial se calcula al hallar la integral indefinida de g(x).

xeydxdykPx

dxdy =++

=+= 23dxdy

dtdP 53

22

)(xgdxdy =


7

Por ejemplo la ecuación diferencial

tiene la solución general

xxdxdy 32 +=

Cxxdxxxy ++=+= ∫232

23

31)3(

Una ecuación diferencial puede aparecer junto con una condición inicial de la forma y(x0)=y0

Esta condición específica el valor y=y0 que la función solución y(x) debe tener en x= x0.. Una vez que hemos determinado la solución general de la ecuación podemos encontrar el valor de la constante C sustituyendo y=y0 cuando x= x0

Ejercicio: Resuelva el problema con condición inicial

2y(1) 32 =+= xdxdy


8

Introducción a la integral definida

Supóngase que se conoce la razón f(x)=F(x)/dx a la que cambia cierta cantidad F y se desea encontrar la cantidad en la cual cambiará la cantidad F entre x=a y x=b.Veremos que si hallamos F mediante la antiderivación y luego calculamos la diferencia

Cambio de F entre x=a y x=b = F(b)-F(a)

el resultado numérico de este tipo de cálculo se llama integral definida de la función f y se representa por el símbolo

∫b

a

dxxf )(


9

Veremos que la integral definida de f desde a hasta b es la diferencia

∫ −=b

a

aFbFdxxf )()()(

Donde F es una antiderivada de f. Es decir la integral definida es el cambio neto producido en la antiderivadaentre x=a y x=b

∫b

a

dxxf )(

Límite superior de integración

Límite inferior de integración

Integral de f de a ba

La función es el integrando

x es la variable de integración

Signo de integral


10

La integral definida como el límite de una suma

Ejercicio: Considere . Aproxime el área bajo la curva para 0≤x ≤2 dividiendo el intervalo en cuatro subintervalos. El comienzo de cada subintervalo será 0, 0.5, 1 y 1.5. Hallar la altura de la función en cada uno de estos valores. Luego, aproximar el valor de al hallar la suma del área de los rectángulos formados.

¿cómo calcular el área bajola curva entre

x=0 y x=2 ? 13)( 2 += xxf

13)( 2 += xxf

A

dxx )13(2

0

2 +∫


11

Supóngase que f(x) es no negativa y continua en el intervalo [a,b]. El área bajo la gráfica de f entre x=a y x=b puede aproximarse como sigue: primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales de ancho ∆x, y se toma xj como el comienzo del j-ésimo subintervalo; luego se dibujan n rectángulos tales que la base del j-ésimo rectángulo sea el j-ésimo subintervalo y la altura del j-ésimo rectángulo sea f(xj)


12

El área del j-ésimo rectángulo es f(xj) ∆x y es una aproximación al área bajo la curva desde x=xj hasta x=xj+1 . La suma de las áreas de todos los rectángulos es

xxfxxfxxfxxf n ∆+∆+∆+∆ )(.......)()()( 321

Esta suma es una aproximación al área total bajo la curva entre x=a y x=b y por tanto, es una aproximación a la integral definida correspondiente

∫b

adxxf )(

Es decir:

∫≈∆+∆+∆+∆b

an dxxfxxfxxfxxfxxf )()(....+...)()()( 321

Y como se muestra en las figuras, la aproximación mejora a medida que n crece.


13

Si el proceso continúa indefinidamente, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área real bajo la curva. Es decir cuando n ∞ se tiene que

∫→∆+∆+∆+∆b

an dxxfxxfxxfxxfxxf )()(.......)()()( 321

Esta es una versión un poco restringida de una caracterización más general de las integrales definidas.

En general no necesitamos rectángulos de igual anchura.Comenzamos subdividiendo el intervalo [a,b] en n subintervalos menores, eligiendo puntos de división x0, x1, x2, ....., xn de modo que

bxxxxa n =<<<<= −1210 ........


14

Entonces los n subintervalos son

] , [,........, ] , [ ], , [ , ] , [ 1322110 nn xxxxxxxx −

Esta subdivisión se llama partición de [a,b] y la representamos por P

Sean la longitud de i-ésimo subintervalo1−−=∆ iii xxx

{ } , ,, ,máx 321 nxxxxP ∆∆∆∆= la longitud del subintervalo más largo ( la norma de P)

Consideremos un número en cada subintervalo [xi-1,xi] y formemos un rectángulo Ri cuya base es ∆xi , y su altura es

*ix

)( *ixf


15

*ix

a b1−ix

ix

Cada punto puede estar en cualquier lugar de su subintervalo: En el extremo derecho, en el extremo izquierdo o en algún lugar intermedio

*ix

El área del i-ésimo rectángulo es iii xxfA ∆= )( *


16

Los n rectángulos R1, R2, .....,Rn, forman una aproximación poligonal a la región S.Aproximamos la idea intuitiva de un área S sumando las áreas de esos rectángulos;la cual es

nni

n

ii

n

ii xxfxxfxxfxxfA ∆++∆+∆=∆=∑∑

==)(...)()()( *

2*21

*1

1

*

1

Ejercicio:a) Si se divide el intervalo [0,3] en subintervalos mediante la partición P y el conjunto de puntos de partición es {0, 0.6, 1.2, 1.6, 2, 2.5, 3 }determine II P IIb) Si f(x)=x2 -4x+5 y se elige como el extremo izquierdo de i-ésimo subintervalo, encuentre la suma de las áreas de los rectangulos de aproximaciónc) Trace los rectangulos de aproximación

*ix


17

Ejercicio: Considere las figurasa) Estime el área de la región achuradab) Estime una aproximación del área considerando las áreas de los rectángulos que se aprecian en la figura

Estime con la calculadora el valor de ∫ +3

1)12( dxx


18

El área de la región se define como el valor límite (si existe)de las áreas de los polígonos de aproximación

i

n

iiP

xxflimA ∆= ∑=→

)(1

*

0

El límite en la ecuación anterior puede existir o no. Veremos que si f es continua este límite si existe. El significado preciso de límite en la definición anterior es que por cada ε>0, hay un número correspondiente, δ>0, tal que

En otras palabras, se puede aproximar el área mediante una suma de áreas de rectángulos hasta alcanzar un grado arbitrario de exactitud ( ε ) si se toma la norma de la partición lo suficientemente pequeña

δε <<∆−∑=

P que siempre )(1

*i

n

ii xxfA


19

Ejemplo: Calculemos el área bajo la parábola y=x2+1, de 0 a 2

Como f(x)= x2+1 es continua existe el límite que define el área, para todas las particiones posibles del intervalo [0,2], siempreque IIPII 0 A fin de simplificar el cálculo, consideremos la partición P quedivide a [0,2] en n subintervalos de igual longitud. Entonces, los puntos de partición son

n

nnx

nix

nx

nxx ni

2x.....x.....xxx

y 22 ...., ,2 ......, ,4 ,2 ,0

ni321

210

=∆==∆==∆=∆=∆

======

Así que la norma de P es { }n

xP i2máx =∆=


20

Se puede escoger el punto en cualquier lugar dentro del i-ésimo subintervalo. Elegiremos el extremo derecho

*ix

nixx ii

2* ==

Como IIPII =2/n, la condición IIPII 0 equivale a n ∞Por lo tanto

3142)2(

3421211

34

26

)12)(1(8128

28212

2)2()(

31 1

23

1

2

31

2

11

*

0

=+=

+

+

+=

+++=

+=

+=

+

=

=∆=

∞←

∞←= =∞←

=∞←=∞←

=∞←=→

∑ ∑

∑∑

∑∑

nnlim

nn

nnnn

limn

in

lim

nnilim

nnilim

nniflimxxflimA

n

n

n

i

n

in

n

in

n

in

n

ini

n

iiP


21

De igual forma podemos designar al extremo izquierdo; es decir xi-1=2(i-1)/n. Con esta elección verifique que A=14/3

*ix

Nota; Observa que se obtiene la misma respuesta con las distintas opciones para De hecho, habríamos llegado a la misma respuesta si estuviera en el punto medio de [xi-1, xi] o en cualquier otro punto del intervalo.

*ix

Ejercicio: Verifica con la calculadora que

2

1)n(n i 6

)12)(1( 2

1)n(n i 2n

1i

3

1

2n

1i

+=++=+= ∑∑∑===

nnnin

i

*ix


22

Definición de una integral definida

Si f es una función definida en un intervalo cerrado [a,b], sea P una partición de [a,b] cuyos puntos de partición sonx0, x1, x2, ....., xn , en donde

Se eligen puntos en [xi-1,xi] y se define y Entonces, la integral definida de f, de a a b es

si existe ese límite. Si lo hay, entonces se dice que f es integrable en el intervalo [a,b]

bxxxxa n =<<<<= −1210 ........*

ix 1−−=∆ iii xxx{ } , ,, ,máx 321 nxxxxP ∆∆∆∆=

i

n

iiP

b

axxflimdxxf ∆= ∑∫

=→)()(

1

*

0


23

Ejercicio. Exprese cada uno de los límites que siguen como una integral definida en el intervalo dado.

( ) [ ]

[ ]1,4 ,

0,1 , )52(

*

10

*

1

2*

0

ii

n

iP

ii

n

iiP

xxlim

xxxlim

∆

∆−

∑

∑

=→

=→

OBS: La suma se llama suma de Riemann. La integral definida se conoce como integral de Riemann en honor al matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866)

i

n

ii xxf ∆∑

=)(

1

*


24

Debemos distinguir que:una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida

es una función

Ejercicio: Sea f(x)=1+5x y sea la partición P del intervalo [-2,1] definida por los puntos de partición {-2, -1.5, -1, -0.3, 0.2, 1}Suponga que elige Estime la suma de Riemann

7.0 ,0 ,3.0 ,2.1 ,8.1 *5

*4

*3

*2

*1 ==−=−=−= xxxxx


25

En el ejercicio anterior f no esuna función positiva

¿la integral sigue representando área?

En ese caso la suma de Riemann no representa la suma de las áreas de los rectángulos. Pero sí denota la suma de las áreas de los rectángulos arriba del eje x menos las áreas de los rectángulos abajo del eje

1-1-2

y=1+5x


26

Una integral no necesita representarun área, pero cuando las funcionesson positivas, se puede interpretar

como un área

Si f(x) ≥ 0,

ba dxxfb

a a de f, de gráfica la bajo área el )( =∫

En general, una integral definida se puede interpretar como una diferencia de áreas

donde A1 es el área de la región sobre el eje de las x y bajo la gráfica de f, y A2 es el área de la región bajo el eje de las x y sobre la gráfica de f

21)( AAxfb

a−=∫

+ +

-


27

El significado preciso de límite, que define la integral es:

para todas las particiones P de [a,b], donde IIPII<δ para todas las elecciones posibles de

( )( )

<∆−>∃>∀⇔= ∑∫=

)( 0 0)(1

* εδεn

iii

b

axxfIIdxxf

] , [ 1*

iii xxx −∈

Ejercicio: Evalúe las integrales interpretándolas en términos de áreas.

Ejercicio: Grafique en la calculadora la función f(x)=senx en el intervalo [0,2π] b) calcule el área bajo f entre 0 y πc) calcule la integral de f entre 0 y 2 π ¿ qué puede observar?

Ejercicio: Hallar el área de la región limitada por la recta y=2x, el eje x y la recta vertical x=2, y escriba en términos de integral

dxdxdx )x-(1 )x-9(1 x-42

2

0

3

22

2

2∫∫∫ −−−

+


28

Propiedades:

0)( entonces ,

)( )( entonces ,

==

−=>

∫

∫∫

b

a

a

b

b

a

dxxfbaSi

dxxfdxxfbaSi

¿Cuáles funciones son integrables?

Teorema: Si f es continua o monótona en [a,b],

es integrable en [a,b]; esto es, existe la integral

definida ∫b

adxxf )(


29

OBS; Si f es discontinua en ciertos puntos de [a,b], entonces podría existir o no. Si f sólo tiene una cantidad finita

de discontinuidades y todas son de salto, entonces f se llama continua en secciones y es integrable.Si f es integrable en [a,b], debe ser una función acotada en [a,b]. En particular, si f tiene una discontinuidad infinita en algún punto en [a,b], f no es acotada y, por lo tanto, no es integrable.

∫b

adxxf )(

Ejercicio: ¿Cuáles de las funciones siguientes son integrables en el intervalo [0,2]

( )

=≠−=

≤≤<≤+

=

==

1 xsi 11 xsi 1)( )

2x1 six -21x0 si 1

)( )

sec)( )sen)( )

2-

2

xxfd

xxfc

xxfbxxxfa


30

Ejercicio: Sea

a) Demuestre que f no es continua en [0,1]b) Demuestre que f no es acotada en [0,1]c) Demuestre que f no es integrable en [0,1]

0 xsi 0

1x0 si 1)(

=

≤<= xxf

Ejercicio: Sea

Demuestre que f es acotada, pero no integrable en [a,b]

irracional es x si 1

racional es x si 0)(

=xf


31

Con fines de cálculo, muchas veces conviene definir P como partición regular; es decir, que todos los subintervalos tengan la misma longitud, ∆x. En este caso,

Si definimos como el extremo derecho del i-ésimo subintervalo, entonces

Ya que vemos que IIPII 0 cuando n ∞y según la definición se tiene

xiaxaxaayn

abxxxx n

∆+=∆+=∆+==

−=∆==∆=∆=∆

i210

21

x...., ,2 x, x, x

.......

*ix

nabiaxiaxx ii

−+=∆+==*

nabxP −=∆=

nab

nabiaflim

xxflimdxxf

n

in

i

n

iiP

b

a

−−+=

∆=

∑

∑∫

=∞→

=→

)(

)()(

1

1

*

0


32

Teorema: Si f es integrable en [a,b], entonces

Ejercicio: Evalúe las siguientes integrales aplicando el teorema anterior

Ejercicio: Demuestre

)()(1∑∫

=∞→

−+−=n

in

b

a nabiaf

nablimdxxf

( )dxdxcdxb

a∫∫ ∫−

−7

2

4

1

2 2x-6 )2(x

3

2

332

22 abdxxabxdxb

a

b

a

−=−= ∫∫

Ejercicio: Evaluar el límite).....(1 /3/6/3 nnnn

neee

nlim +++

∞→


33

Regla del punto medio

Ejercicio: Use la regla del punto medio, con n=5, para aproximar

∫2

1

1 dxx

[ ]ii

n

n

i

b

a

xxy

xfxxfxfxxfdxxf

,x de medio punto )(x 21 x

na-bx dondeen

))(...)()( ( ) x ()(

1-i1-ii

211

i

=+=

=∆

++∆+∆=∆≈ ∑∫=


34

Propiedades de la integralSupongamos que existen todas las integrales siguientes, entonces

Ejercicio: Demuestre las propiedades y luego calcule

[ ]

[ ]

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∫

+=

−=

=

+=+

−=

b

c

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

f(x)dx f(x)dxf(x)dx.

g(x)dxf(x)dx dxf(x)-g(x).

constante c f(x)dxccf(x)dx.

g(x)dxf(x)dx dxg(x)f(x).

constante c a) c(bcdx

5

4

3

2

.1

dxx∫ −3

053


35

Propiedades de orden de la integral

Supongamos que existen las integrales siguientes, y que a≤b

∫∫

∫

∫∫

∫

≤

≤≤

≤≤≤≤

≥≤≤≥

≥≤≤≥

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxf(x) f(x)dx .

M(b-a)f(x)dxa) m(b-

ces b, entonxdo aM cuanf(x). Si m

g(x)dx f(x)dxces b, entonxcuando ag(x) (x). Si f

f(x)dxes b , entoncx a cuando (x). Si f

9

8

7

006

Ejercicio: Demuestre las propiedades y luego aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la integral

dxx∫ +2

0

3 1


36

Ejercicio:Escribe cada una de las sumas o restas que siguen como una integral de la forma ∫

b

adxxf )(

∫∫

∫∫

−

+

7

2

10

2

5

0

8

5

)()(

)()(

dxxfdxxf

dxxfdxxf

EjercicioEmplear las propiedades de las integrales para comprobar cada una de las desigualdades siguientes

2212

3sen

6

15

1

1

2

2/

6/

2

1

2

1

≤+≤

≤≤

+≥−

∫

∫

∫∫

−dxx

xdx

dxxdxx

ππ π

π


37

Teorema fundamental del cálculoEl teorema fundamental del cálculo establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El teorema fundamental del cálculo proporciona la relación inversa precisa entre la derivada y la integral.

Teorema fundamental del cálculo ( Primera Parte):Si f es continua en [a,b], la función g, definida por

es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) y g´(x) = f(x)

bxa f(t)dtg(x)x

a≤≤= ∫

Con la notación de Leibniz para las derivadas, podemos escribir )()( xfdttf

dxd x

a=∫


38

x1

1 )cos53(

2

0

1

0 2∫ ∫ ++

πdxdxxx

Ejercicio: Aplique la primera parte del teorema fundamental para determinar la derivada de las siguientes funciones

dt 2 g(x) dt )1()(1

x

1-

3253∫ ∫ +=−=x

ttxg

Teorema fundamental del cálculo ( Segunda Parte):Si f es continua en [a,b],entonces

en donde F es cualquier antiderivada de f, esto es, F´=f

F(a)-F(b) f(x)dxb

a=∫

Ejercicio: Calcular las siguientes integrales


39

¿Cuál es el error en elsiguiente cálculo?

341

31

11

3

1

13

12 −=−−=

−=

−

−

−∫

xdxx

Ejercicio: Trace el área representada por g(x). A continuación determine g´(x) con dos métodos.a) la primera parte del teorema fundamentalb) evalúe con la segunda parte y derive a continuación

cos2g(x) )1()(0

2∫∫ +=+=xx

tdtdttxgκ


40

f, F´es decir

de f, derivada ier antis cualquonde F eF(a), dF(b)f(x)dx.

f(x)(x)nces g´, entof(t)dtg(x). Si

b

a

x

a

=

−=

==

∫

∫

2

1

Teorema fundamental del cálculo


41

Ejercicio:Aplique la primera parte del teorema fundamental del cálculo para determinar la derivada de la función dada

( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−==

=−=

x

tanx

x

x

dtdtt

dttdttxg

sen

5

317

4

22

1

202

ttcosy seny

cosF(x) )1()(

Ejercicio:Calcule el área de la región limitada por la curvay=-x2+4x-3 y el eje x.

Grafique en la calculadora verifique el cálculo del área achurada


42

Ejercicio:Use la segunda parte del teorema fundamental del cálculo a fin de evaluar la integral, o determine cuando no exista

2x1 si x1x0 si x

f(x) donde )(

secxtanxdx sen

)x2-(x x 2

1 1

5

42

0

2/

3/

4/

2

1

2

46

3

2

22

1

2

≤≤

<≤=

−+

∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−

−

dxxf

tdt

dxdx

dxxdxx

x

π

π

π

π


43

Ejercicio: Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes

dtt

x

tanx∫

∫

+=

+=

2

4

3x

2x

2

1g(x)

du 1u1-ug(x)

Ejercicio: Si

Calcule F´´(2)

1 donde2

1

4

1 du

uu f(t) , f(t)dtF(x)

tx

∫∫+==


44

Ejercicio: Calcular el área encerrada por las curvas de ecuacionesy=cosx, x=0, x=π, y=0

Ejercicio: Calcular

4x2 si 42x1 si 21x0 si

)(

por definidafunción la es f donde )(

2

4

0

≤≤−≤<≤≤

=

∫

x

xxf

dxxf

Ejercicio: Hallar el área de la región R, en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva y=1/x y está limitada por esta curva y las rectas y=x, y=0, y x=2


45

Regla de sustitución para integrales definidas

Si g´es continua en [a,b] y f es continua en el recorrido de g, entonces

∫∫ =)(

)()()´()((

bg

ag

b

aduufdxxgxgf

Ejercicio: Demuestre la regla de sustitución anterior

Ejercicio: Evalúe aplicando la regla de sustitución para integrales definidas

dxx∫ +5

172


46

Integrales de funciones simétricas

Cuando f es continua en [-a,a]

∫

∫∫

−

−

==

==

a

a

aa

a

f(x)dx b

f(x)dxf(x)dxa

0 entonces -f(x),f(-x)impar es f Cuando )

2 entonces f(x),f(-x)par es f Si )0

Ejercicio:Demuestre las propiedades anteriores

Ejercicio:Calcule las siguientes integrales

1senx )1(

3

3

1

1-2

4∫ ∫− +

+ dxx

dxx


47

Ejercicio:Si f es continua y calcule

Ejercicio:Si f es continua en IR, demuestre que

Trace un diagrama para el caso en que f(x)>0 a fin de interpretar geométricamente esta ecuación como una igualdad de áreas

∫ =9

04)( dxxf ∫

3

0

2 )( dxxxf

∫∫−

−=−

a

b

b

adxxfdxxf )()(

Ejercicio:Si a y b son números positivos, demuestre que

∫∫ −=−1

0

1

0)1()1( dxxxdxxx abba


48

Ejercicio:Considere la sustitución u=π-x para demostrar que

Aplique el resultado anterior para evaluar la integral

∫∫ =ππ π00

)(sen2

)(sen dxxfdxxxf

dxx

xx∫ +

π

0 2cos1sen

Ejercicio:Sea f:[0,a] IR integrable. Demostrar que

∫ ∫

∫∫

=

=

a

a/2

a/2

0

a

0

a

0

x)dx-f(af(x)

x)dx-f(af(x)dx


49

Integración Aproximada

Hay dos situaciones en que es imposible calcular el valor exacto de una integral definida.

La primera es consecuencia de que para evaluar ∫b

a

dxxf )(

con el teorema fundamental del cálculo , necesitamos conocer una antiderivada de f ; sin embargo , a veces es difícil , o hasta imposible , encontrarla. Por ejemplo , es imposible evaluar con exactitud las integrales siguientes:

∫1

0

2

dxe x

dxx∫−

+1

1

31

La segunda situación se presenta cuando la función se determina con un experimento científico utilizando las indicaciones de instrumentos. Puede no haber fórmula para la función


50

Recordaremos que la integral definida es el límite de las sumas de Riemann , así que cualquier suma de Riemann servirá como una aproximación . En especial definamos una partición de [a,b] en nsubintervalos de igual longitud , ∆ = (b – a)/n . Entonces,

( ) xxfdxxfb

a

n

ii ∆≈∫ ∑

=1

*)(

en donde es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo ,*ix [ ]ii xx ,1−

de la partición .En caso de elegir como el punto medio del

Intervalo , tenemos que se aproxima a un

valor con la Regla Punto Medio.

*ix

[ ]ii xx ,1− ∫b

a

dxxf )(


51

Regla del punto medio

∫

++

+

∆≈−−−b

anxfxfxfxdxxf ...)( 21

donde

nabx −=∆

( )iii xxx += −

−

121

y


52

Ejercicio:

a) Emplee la regla del punto medio , con n = 5 , para calcular aproximadamente

∫2

1

1 dxx

Otra aproximación es consecuencia del promedio de las aproximaciones con extremos izquierdos y extremos derechos , representadas por:

( ) ( ) ( ) ( )( )

+∆=

∆+∆≈ ∑∫ ∑ ∑=

−= =

−

n

iii

b

a

n

i

n

iii xfxfxxxfxxfdxxf

11

1 11 22

1)(


53

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]nn xfxfxfxfxfxfxfxfx ++++++++∆−1322110 ....

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn xfxfxfxfxfx +++++∆

−1210 2.....222

Regla del trapecio

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn xfxfxfxfxfx +++++∆−1210 2.....22

2

donde

nabx −=∆ y xiaxi ∆+=

La causa del nombre de la regla del trapecio se puede ver en la figura 2 , que muestra el caso cuando f(x) ≥ 0. El área del trapecio sobre el í-ésimo subintervalo es:


54

( ) ( )( )

+∆∑

=−

n

iii xfxfx

112

Y si sumamos las áreas , de esos trapecios obtenemos el lado derecho de la regla del trapecio

Ejercicio:

Emplee la regla del trapecio , con n = 5 , para calcular

aproximadamente

∫2

1

1 dxx

fig 2


55

Aplicando el teorema fundamental del cálculo

en , se tiene,

∫2

1

1 dxx

El error al emplear una aproximación se define como la cantidad que se necesita sumar a la aproximación para volverla exacta.

El error cometido en la aproximación de la regla del trapecio ( ) se define:

( ) ( ) 693147,02lnln 2

1≈=x

TE

TE

n

b

a

Tdxxf −= ∫ )(

donde representa el valor obtenido al aproximar dicha integral por el método del trapecio .

nT


56

El error cometido en la aproximación de la regla del punto medio ( ) , de define :

ME

n

b

aM MdxxfE −= ∫ )(

donde representa el valor obtenido al aproximar dicha integral por el método del trapecio .

nM

Ejercicio:

Para , verificar que los errores obtenidos en las

aproximaciones de la regla del trapecio y del punto medio ,

para n = 5 , son:

∫2

1

1 dxx

002488,0−≈TE y 001239,0≈ME


57

Límites de error

Supongamos que cuando a ≤ x ≤ b. Si y son los errores en que se incurre con las reglas del trapecio y del punto medio , entonces

( ) Kxf ≤'' TE ME

( )2

3

12 nabKET

−≤ y ( )2

3

24nabKEM

−≤

Ejemplo: La estimación de error a la aproximación de es:

∫2

1

1 dxx ( ) 006667,0

1501

5121222

3

≈=⋅−≤TE

Nota: ( ) Kx

xf ==≤= 212233

''


58

Ejercicio:

¿Qué valor debe tener n para garantizar que las aproximaciones a

, con las reglas del trapecio y del punto medio , tengan

0,0001 de exactitud ?

∫2

1

1 dxx

Ejercicio:

a) Aplique la regla del punto medio para ,con n = 10 para hallar aproximadamente , la integral

b) Establezca una cota superior para el error cometido en esta aproximación.

d xe x∫1

0

2

Ejercicio:a) Halle las aproximaciones para

b) Estime los errores en las aproximaciones del inciso (a).

c) ¿Qué tan grande tendrá que ser n para que las aproximaciones

y a la integral del inciso (a) tenga una exactitud del orden de 0,00001?

8T y 8M ( )dxx∫1

0

2cos

nT nM


59

Regla de Simpson

Otra regla para aproximar resultados de integración emplea segmentos parabólicos en lugar de segmentos de recta . Como antes, tomaremos una partición de [a,b] en n subintervalos de igual longitud , h = ∆x = (b-a)/n; pero esta vez supondremos n par. Entonces , en cada par consecutivo de intervalos , aproximamos la curva y = f(x) ≥ 0 por medio de una parábola


60

Si y1 = f(xi) , entonces P(xi,yi) es el punto de la curva que está arriba de xi . Una parábola característica pasa por tres puntos consecutivos Pi , Pi+1 y Pi+2.

Para simplificar cálculos , examinaremos el caso en que x0 = -h, xi=0 y x2 = h.

Sabemos que la ecuación de la parábola que pasa por P0 , P1 y P2 tiene la forma y = Ax2+Bx+ C; por consiguiente el área bajo la parábola , desde x = -h hasta x = h es:

( )dxCBxAxh

h∫−

++2


61

( ) ( )dxCAxdxCBxAxhh

h∫∫ +=++

− 0

22 2

( )CAhhChhACxxA

h

6233

2 3

2 23

0

3

+=

+=

+=

Como la parábola pasa por P0 , P1 y P2 , tenemos ( )

CBhAhyCy

CBhAhChBhAy

++=

=+−=+−+−=

22

1

220 )(

asi CAhyyy 624 2210 +=++

El área bajo la parábola queda expresada como:

( )210 43

yyyh ++


62

De igual forma , el área bajo la parábola pasa por P2 , P3 y P4 , desde x = x2 hasta x = x4 , es: ( )432 4

3yyyh ++

Si calculamos de este modo el área bajo todas las parábolas y sumamos los resultados, llegamos a

( ) ( ) ( ) ( )nnn

b

a

yyyhyyyhyyyhdxxf +++⋅⋅⋅⋅++++++= −−∫ 12432210 43

43

43

( )nnn yyyyyyyyh +++⋅⋅⋅+++++= −− 1243210 4224243

Regla de Simpson

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnn

b

a

xfxfxfxfxfxfxfxSdxxf +++⋅⋅⋅++++∆=≈ −−∫ 123210 424243

En donde n es par y ∆x =(b-a)/n


63

Ejercicio:

Aplique la regla de Simpson , con n = 10 , para hallar ,

aproximadamente

∫2

1

1 dxx

Límites de error para la regla de Simpson

Supongamos que cuando a ≤ x ≤ b. Si es el error cometido al aplicar la regla de Simpson

( ) ( ) Kxf ≤4SE

4

5

180)(

nabKES

−≤

Ejercicio: ¿Qué valor ha de tener n para garantizar que la

aproximación , mediante la regla de Simpson , de tenga una exactitud de 0,0001?

∫2

1

1 dxx


64

Ejercicio:

a) Emplee la regla de Simpson , con n = 10 , a fin de aproximar la

integral

b) Estime el error cometido en esta aproximación.

dxe x

∫1

0

2

Ejercicio: use las reglas del trapecio , del punto medio y de Simpsonpara aproximar las siguientes integrales con n = 10.

a) b) c)

dxe x∫

−1

0

2

dxx∫ +

2

031

1 dx

xe x

∫4

2

y la integral definida - cálculo ii · la integral definida como el límite de una suma ejercicio:...

Documents