S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N

Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

ESTUDIO DE ESFUERZOS POR ELEMENTO FINITO DE LA UNION EJE- CUBO POR INTERFERENCIA BAJO EL EFECTO DE CARGAS DE

FLEXIdN, TORSIÓN Y CARGAS COMBINADAS

T E S I S PARA O B T E N E R EL G R A D O D E M A E S T R O E N C I E N C I A S EN I N G E N I E R f A M E C A N I C A

E S E N T A. P R MG. MANUEL FRANCISCO MATA COTO

DIRECTOR DE TESIS: DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK

0 1 - 0 5 7 3

CUERNAVACA, MOR. SEPTIEMBRE 2001

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA

Cueriiavaca. Mor.

DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRAN. PRESIDENTE DE LA ACADEMIA DE INGENIERIA MECANICA. P R E S E N T E .

AT" : DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK JEFE DEL DEPTO. DE MECÁNICA.

P R E S E N TE.

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revision el trabajo de tesis titulado:

"Estudio de esfuenos por elemento finito de la unión eje-cubo por interferencia bajo el efecto de cargas de flexión, torsión y cargas combinadas''

Desarrollado por el Ing. Manuel Francisco Mata Coto, y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y I fecha de examen de grado. g, Sin otro particular, quedamos de usted.

D.G.I.1 RO MACIONAL DE INVESTGACIOF~ DESARROLLO TECNOLOGICO CLEDIRECCION ACADEMICA

DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK RODRiGUEZ LELIS

MC JORGE = BEDOLLA HERNÁNDEZ ' 6 R T í N E Z RAYÓN

cenidet

SOP Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca, Mor.

ING. MANUEL FRANCISCO MATA COTO. Candidato al Grado de Maestro En Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N T E .

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:

“ESTUDIO DE ESFUERZOS POR ELEMENTO FINITO DE LA UNION EJE-CUBO POR INTERFERENCIA BAJO EL EFECTO DE CARGAS DE FLEXIÓN, TORSIdN Y CARGAS COMBINADAS”

Y habiendo cumplido las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular, quedo de usted.

p*+ #? @& &&3t9 %$:&+6

&A@ D.Q.i.1 S E P CENTRO NAC!ONAL DE I N V E ~ Q A ~ O N

y DE-%Rf?OLI.O TECNOL001CO SüBD!f?ECCfOW ACADEMICA

A T E N T A M E N T E

RAMIREZ

DEL CENIDET

C.C.P.: Serv. Escolares Expediente.

rPmRlOR MTERNAE PALMIIU SM. NERNAVACA. MOR. MCXlCO APARTADO POSTAL 5-164 CP 61050. CUERNAVACA. E L F . Y FAX O1 (71) I 2 16.13 EMAIL ani&l@infml.m.mx

cenidet

Agradecimientos

La realización de esta tesis no habría sido posible sin la ayuda de varias

personas. Mi gratitud, amor y respeto los externo a Encka Avendaño y Mana Jesús

Mata por su comprensión. Los sacrificios desinteresados que ellas han hecho para

que yo concluyese esta tarea son innumerables. También, expreso mi gratitud a mi

madre M a r í a Teresa Coto y a mi padre Luis Guillermo Mata, por que me han

brindado su amor y apoyo durante toda mi vida.

Agradezco al Dr. Dariusz Smedowicz Wasik, director de la tesis. Su guía

durante mi investigación y su contribución a mi educación han sido invaluables. A

el y a los profesores del Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

acredito el propiciar mi desarrollo como estudiante y profesional, durante el tiempo

que permanecí en este centro de investigación.

Debo dar gracias, de manera especial a los al Dr. José María Rodriguez Lelis,

al M.C. Jorge Bedoila Hernández y al M.C. Eladio Martinez Rayón quienes formaron

parte de mi comité revisor por sus consejos, guía y apoyo. También doy las gracias

a la M.C. Claudia Cortés Garcia quien forma parte del jurado del examen.

Me gustaría agradecer también a todos los buenos amigos que he hecho

durante mi tiempo de estudio en el Cenidet. Además, por su apoyo durante mi

estancia en México agradezco a la Secretaría de Educación Wblica en especial al

personal la Dirección de Relaciones Exteriores de esta Institución.

ÍNDICE

I CAPiTULO I

IATRODUCCION I

1.2 Objetivo general 9

1.3 Revisión de trabajos previos 10

1 1.3 Introducción

9 1.3 Alcances

CAPiTULO II 14

BASES T E ~ R I C A S 14

2.1 Introducción 14

2.2 Ecuaciones que describen el comportamiento de los cilindros de pared gruesa- 15

2.3 Ecuaciones generales de esfuerzo 24

CAPiTULO III 28

MODELADO 28

3.1 Modelo de la unión por interferencia 28

3.2 Modelado con elementos axisimétncos 30

3.3 35

3.4 Simulación numérica del modelo 46

Generación de geometrías de la unión utilizando elementos tipo Gap

CAPiTLJLO IV 47

RESULTADOS 47

4.1 Resultados obtenidos con elementos axisimétricos 47

4.2 Modelado en elemento finito de la geometría del cubo con aristas utilizada por Peterson

y Wahl. 55

4.3 Resultados obtenidos con desplazamientos prescritos y elementos de contacto para la geometría del cubo con aristas planas. 59

59 62

4.3.1 4.3.2

Cubo con sujeción en una fila dc nodos.

Cubo con la mitad de los nodos exteriores totalmente rcsningidos.

4.4

1.9mm. 4.4.1 4.4.2

Resultados obtenidos de las modelaciones para el caso de ia geometría con radio de 64

64

66

69 4.4.1 Cubo con sujeción en una fila de nodos. 69

4.4.2 70

Comparación de los resultados obtenidos para el modelado con elementos de contacto y 13

Cubo con sujeción en una fila de nodos.

Cubo con la mitad de los nodos exteriores del cubo totalmente restringidos.

4.4 Resultados para el caso de la geometría con ranura de 3.8mm de radio.

Cubo con sujeción en la mitad de los nodos exteriores.

4.5

desplazamientos prescritos para los tres modelos.

CAPiTULO Y 77

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 77

5.2 Conclusiones I7

5.2 Recomendaciones 79

REFERENCIAS BIBLIOGR.~FICAS 80

APÉNDICE A 82

APÉNDICE B 86

TABLA DE FIGURAS 2 ~i~~~ 1. I U,i;onespoi.presión~f,.iccióir de USO contún. R e s h h i (1985).

Figura 1.2, ~ ~ r i o n e s porpresión+iccicin con aros elásticos deforniables, a) juego de aros. h! Con l'n

tornillo de apriete sujeto al eje, y c)tornillos de apriete st<jetos 01 cubo, Reshito, (1985). 2

~i~~~ 1.3. (/,lionespor engrane, o) con chaseta. b)dentadas y C) porpasador. Reshétov (1985). - 2 ~i~~~ 1.4. Coniparación de la resistencia o lo fatigo de distintos tipos de uniones mecánicos. PJ@

(1980). 5

Figuro 1.5. a)Cubo recto, b) cubo con ranuras de 7.8mm y c) cubo con radios de 1.9mm 7

Figuro 1.6. AnBlisis fotoelristico de esfuerzos, a) Ensamble simple acoplado por interferencia, b)ensomble de ajuste forzado por interferencia con un cubo ranurado: Norton (1 999). - I I

Figura 1.7. Modelospor interferencia, con unidades en pulgadas. o) Cubo plano; b) cubo con ranura. Pilkey (1997). I1

(I 999). I2

I5

21 29 30

Figura 1.8. Concentración de esfuerzos en un cubo ajustado a presión por encogimiento, Norton

Figura 2.1. Cilindro de pared gruesa, Popov (2000). Figura 2.2. Cilindro de pared gruesa, Norton (1999). Figura 3.1. Modelo de la union por interferencia. Figura 3.2. Modelo axisimétrico. (DocuTech. 2000). Figura 3.3. Diograma estructural del programa "Deformación-Presión "realizado en Mathcad 2000.

31 Figura 3.4. Modelo axisimetrico para cubo recto. 32 Figura 3.5. Generación del modelo axisimétrico para cubo recto. 32 Figura 3.6. Modelos discretos. o) Geometria con radio de I.9mm. b)Geometria con ranura de 3.8mm.

34 3.7. Modelo utilizado para probar la factibilidad de utilizar elementos ~ o ~ p a r a modelar los

esfuerzos por cantada entre el cubo y la flecha, a)Modelo tridimensional, b) Corte donde se muestran los elementos Gap. 36

Figuro 3.8. Modelos tridimensionales con elementos Gap, o) Cubo recto, b)Cubo con ranura de

3.8mm. 38 Figura 3.9. Modelos del cubo con ranura de 3.8mm donde se genera la mitad de la geomdria. a)con

momenlo torsional aplicado, b)con momentojlexionante aplicado. 40

Fipro 3,10 D;stribuci,jn de e.fllcEo.y ell c/ cubo coli ranura de 3.8nini al aplicar un torqlle dist~ihirido 41 de 4302, 9 1 ~ ~ ~ ~ ittilirorido elementos ~ o p . a) Vista isométrica, b)corte porcial

3, I 1 ~oi7dicioiles de fi.O)ltera paro el modelo tridimensional Con contacto en la iilter:foz de la 45 union.

~i~~~ 4.1, A la izquierda se presentan los zonos donde se localiza las Huirimas conce>l~rOciolles de

esfuerzo para geonletríos con elementos axisintétricos a velocidad cero, a [a derecho la

distribución de esfuerzospara estas geometrías, a)cuboplono, b)cubo con rodio de 1.9nlnl y , c)cubo con ranura de 3.8nim de radio. 53

Figura 4.2. A la izquierda se presentan las zonas donde se localiza las rnbximas concentraciones de esfuerzo y a la derecha la distribución de esfuerzos para geometrias con elementos axisimétricos, a 36000 rpm, a)cuboplano. b)cubo con radia de 1.9mm y. c)cubo con ranura de 3.8mm de radio. 54 /

Figura 4.3. Condiciones de frontera utilizadas para realizar el modelo con las condiciones utiliiadas por Peterson y Wahl. 55

Figura 4.4. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl, aljunta sin momento deflexión aplicado, b) junta con momento de

flexión aplicado de 5553.ION 56 Figura 4.5. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por

Peterson y Wahl cuando se restringen los grados de libertad de una fila de nodos en el cubo, a)junta por interferencia. b) junta con momento deflexión aplicado de 5553.10N. 57

Figura 4.6. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl cuando se restringen los grados de libertad de la mitad de los nodos exteriores en el cubo, a)junta por interferencia, b) junta con momento de flexión aplicado

de 5553.,ION 58 Figura 4.7. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por

Peterson y Wahl cuando se tienen diferentes condiciones de frontera, a)Nodos erternos del cubo totalmente restringidos. b) con fila de nodos externos con todos sus grados de

libertad restringidos y c)con la mitad de los nodos restringidos. 59 Figura. 4.8. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con aristas planas cuando se

restringe su movimiento en una fila de nodos. 60 Figura. 4.9. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo recto cuando se restringen

todos los grados de libertad en a mitad de los nodos perféricos del cubo. 62

Figura. 4.10 Distribución dc esjierzos obtenida para el caso del cubo con radio de ~.9111111 cuando se

restringe su moi'imierito en unafila de nodas. a)geoi,ieiria tridimensional, b) corle. - 64

Figura 4. I I . Dislribucion de esfirerzos obtenida para el caso del cuba con radio de l.9nim cuando Se restringen todos los grados de libertad en a mitad de los nodos exteriores del cubo. - 67

Figura 4.13. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con ranura de 3.8nlnl.- 69 Figura. 4.14. Distribución de esfuenos obtenida para el caso del cubo con ranura de 3.8mm Con

sujecion de la mirad de los nodos de laperferia, a)ijista conlpleta, b)corte. 71

Figura. 4. I S . Distribución de esfuerzos obtenida la junta por interferencia. a)cubo con aristas recfas. 74 b) cubo con radio de 1.9mm, y e) cubo con ranura de 3.8nini.

Figura. 4.16. Distribución de los esfuerzos resultantes de Von Mises en la junta por interferencia a torsión para una relación entre la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal ajlexión- torsión igual a I , a)cubo con aristas rectas, b) cubo con radio de 1.9mm. y e) cubo con ranura de 3.8mm. 74

Figura. 4.1 7. Distribución de esfuerzos resultantes de Von Mises obtenidos en la junta por interferencia ajlexión para una relación entre la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal ajlexión-torsión igual a 1. a)cubo con aristas rectas, b) cubo con radio de 1.9mm, y c) cubo con ranura de 3.8mm. 75

Gráfico 1. Esfuerzos de Von Mises Teóricos para'las tres geometrías a regímenes de velocidad

diferentes 83 Gráfieo 2. Esfuerzos de Von Mises teórico versus esfuerzo de Von Mises calculado con Algorpara el

modelo del cubo con aristasplanas. 83 Gráfico 3. Esfuerzo de Von Mises teórico versus esfuerzo de Von Mises calculado eon Algorpara

modelo con radio de I . 9mm. 84 Gráfico 4. Esfuerzo de Von Mises teórico versus esfuerzo de Von Mises calculado'con Algorpara

modela con ranura de 3.8mm de radio. 84 Gráfico 5. Porcentajes de error obtenidos para las tres geometrías utilizando elementos misimétricos.

85 Grájco 6. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con

Algor para el cuba con aristas planas con los grados de libertad restringidos en una fila de nodos. para diferentes relaciones depresión nominal de ajuste entre el esfuerzo

nominal ajlexión-torsión. 87

.

Grafico 7. Coeficientes dc coriceiifraciórt de csjiicrzos obfenidospara lajunta par infe@rcrtcio para el cubo con arisfas planas coil los grados de liberrad restriitgidos en toiafila de nodos para diferentes relaciones de presión nominal de ajusfc cnfre cl esfuerzo nominal aflexióii- torsión. 87

Gráfico 8. Esfuerzos de Voii Mises obtenidos en la zona de confactopora la simulación numérico con Algorpara el cubo con aristas planas con los grados de libertad restringidos para la mitad de los nodos exieriores. 88

Gráfico 9. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para lojunto por interferenciaparo el cubo con aristas planos con los grados de libertad resiringidos para la mitad de los nodos exteriores. 88

Grajco 10. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérico con Algorpara el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos en uno

fila de nodos. 89 Gráfico 11. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junto por interferencia para

el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos para una fila de

nodos. 89 Gráfico 12. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con

Algorpara el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad resfringidos en la mitad

90 de los nodos exieriores. Gráfico 13. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junta por interferencia para

el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos para la mitad de los nodos exteriores. 90

Gráfico 14. Esfuerzos de Yon Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica

con Algorpara el cubo con ranura de 3.8mm con los grados de libertad restringidos en

unafila de nodos. 91 Gráfico IS. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junta por interferencia paro

el cubo con ranura de 3.8mm con los grados de libertad resiringidos para una fila de

nodos. 91 Gráfico 16. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con

Algar para el cubo can ranura de 3.8mm de radio con los grados de liberfad restringidos en la mitad de los nodos exteriores. 92

. .

Grafico 17. Coeficicn/es de concentración de e.yfis/rteizos obtenidos para la junto por ii7tei:ferencia para el cubo coli ranuro de 3.8inm de radio con los grados de libertad restringidos para la

initad de los nodos exteriores. 92 ,

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Fuerzas y momentos teóricos obrenidos para las relaciones depresión de ajuste en la interface entre el esfuerzo nominal a flexión-torsión para la junto por inierferencia flecha- cubo. 39

Tabla 4.1. Esfuerzos equivalentes de Von Mises obtenidos con elementos axisimétricos para las tres geometrias del cubo a diferentes velocidades en la zona de contacto. 48

Tabla 4.2. Esfuerzos de Von Mises analiticos obtenidos para las tres configuraciones en la zona de contacto para diferentes velocidades. 50

Tabla 4.3. Porcentajes de error obtenidos para los esfuerzos de Von Mises calculados con Algory los 51

Tabla 4.4. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con arisíasplanas con los grados de libertad restringidos en unafila de

nodos. 61

obtenidos de manera analiiica en la zona de contacto.

Tabla 4.5. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para lar relaciones depresión de ajuste en la interface versus el esfuerzo nominal a flexión-torsión con restricción total de los

grados de libertad en una fila de nodos del cubo. 61

Tabla 4.6. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto por simulación numérica con

Algorpara el cubo con aristas planas con la mitad de los nodos exteriores del cubo

restringidos. 63 Tabla 4.7. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para las relaciones depresión de

ajuste en la interface versus el esfuerzo nominal a flexión-iorsión con la mitad de los nodos

exteriores del cubo restringidos. 63 Tabla 4.8. Esfuerzos de Von Mises obtenidos por simulación numérica para la geometria con el cubo

con radio de 1.9mm cuando se restringen todos los grados de libertad en una f i la de nodos

del cubo. 65

. .

. .

Tohla 4.9. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junta por interfcrertcia con radio de 1.9mni cuando se sujeta el cubo en unafila de nodos. 66

Tabla 4. IO. Esfuerzos de VOJJ Mises obtenidos por simulación numérica para la junio por irtteiferencia con un radio de 1.9n1n~ cuando se restringen todos los grados de libertad en la mitad de los

nodos exieriores del cubo. 68

Tabla 4. I1. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junta por inteifereitcia con

radio de 1.9nlm cuando se sujetan la mitad de los nodos del cubo. 68 Tabla 4.12: Esfuerzos de VOIJ Mises obtenidos con Algor para el cubo con ranura de 3.8rnnJ de radio

cuando se restringen todos los grados de libertad en una fila de nodos. 70

Tabla 4.13.Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la unión por interferencia cuando se restringen todos los grados de libertad en una fila de nodos. 70

Tabla 4.14. Esfuerzos de Von Mises obtenidos con Algorpara la junta por interferencia con ranura de 3.8mm de radio cuando se restringe todos los grados de libertad de la mitad de los nodos exteriores del cubo. 72

Tabla 4. IS. Coejcientes de concentración de esfuerzos obtenidos para las relaciones de presión de ajuste en la interface versus el esfuerzo nominal ajlexión-torsión para el cubo con ranura de 3.8mm de radio. 72

NOMENCLATURA

Ai

A2

c2 I d

dr

d4

E

J

Kt

I

1

M

i

UP

Y

Constante

Constante

Constante

Constante

Diámetro de la flecha

Diferencial de radio

Diferencial de ángulo

Módulo de Young del material.

Momento polar de inercia

Coeficiente de concentración de esfuerzos

Momento de inercia de la sección transversal

Longitud del cubo

Momento

Presión normal ejercida por el cubo sobre el eje

Presión interna

Presión externa

radio nominal

radio interno

radio externo

Desplazamiento radial a un radio r

Solución particular homogénea para el desplazamiento radial

Unidades

[adimensional

[adimensional

[adimensional

[adimensional

[ml

iml

["I

Pal

b 4 1 [adimensional]

Im'l

Iml

lN.ml

[Pal

[Pal

,,IPal

[ml

Iml

lml

Iml

lml

distancia desde el plano neutral a la supeñicie exterior flecha

de la [m]

6

El

El

Ex

Z Fr

Interferencia diametral total entre las dos piezas

Deformación unitaria en la dirección radial

Deformación en la dirección tangencial

Deformación axial restringida la deformación axial

Suma de fuerzas radiales

Coeficiente de fricción entre la flecha y el cubo

Módulo de Poisson del material

Densidad de masa

Esfuerzo nominal

Esfuerzo normal radial.

Esfuerzos, normales y tangencides.

Esfuerzo axial en dirección X.

Magnitud del esfuerzo de Von Mises

Esfuerzos principales

Esfuerzo cortante

Velocidad angular constante del disco.

Interferencia diametral total entre las dos piems

Símbolos griegos

Unidades

íml

imiml

Introducción

Capítulo 1

1.3 Introducción

En los sistemas mecánicos se utilizan ampliamente uniones por interferencia

como un acoplamiento tipico. Las sujeciones por interferencia son elementos

importantes en la cadena de transmisión de potencia en una máquina. Las flechas

y elementos mecánicos, por ejemplo, cubos y rodamientos conectados por este medio transmiten torque y fuerzas de un elemento a otro. De esta manera, las

uniones mecánicas transmiten el momento de torsión de la flecha al cubo o del cubo a la flecha.

El tipo de unión por presión se divide en: uniones por presión donde existe interferencia entre el cubo y el eje y, uniones donde se utiliza un tercer elemento deformable, por ejemplo, aros elásticos deformables. Ejemplos de este tipo de uniones se muestran en las figuras 1.1 y 1.2.

1

Introducción

En la figura ] . l a se muestra un sistema cubo-flecha donde el eje y el cubo tienen secciones cónicas, el apriete se logra por medio del tornillo que se encuentra

en el extremo. Este tipo de uniones tiene como desventaja el tener que maquinar

las superficies cónicas con tolerancias muy pequeñas.

Flecha -

6) C) 4

Figura 1.1 Uniones por presión-fricción de uso común, Reshétov (1985).

Figura 1.2. Uniones por presión-fricción con aros elásticos deformables, a) juego de aros, b) con un tomillo de apriete sujeto al eje, y c)tomillos de apriete sujetos ai cubo, Reshétov (1985).

Fleche

Figura 1.3. Uniones por engrane, a) con chaveta, bldentadas y c) por pasador, Reshétov (1985)

2

e l

Introducción I

La fiera l . l b muestra una Union flecha-blela, el apriete se logra disminuir

el Claro que existe entre la biela Y la flecha con el’tornillo que muestra la figura, el caso de transmitir cargas por fricción, éste tipo unión transmite un torsionante Pequefio. El apriete del brazo con la fecha depende del apriete máximo que se logra con el tornillo, también, depende de la magnitud del claro que se

elimina entre las dos piezas y de la longitud del brazo. Por último, la figura l . l c muestra la unión mecánica por interferencia diametral, en la que el par que puede

transmitir esta junta, queda determinado en función de la presión en la interfaz,

superficie de contacto, que crea una fuerza de fricción entre la flecha y el cubo.

En la figura 1.2 se presentan las uniones mecánicas por medio de aros

deformables, éstas permiten el montaje de los cubos de la rueda en la flecha, en cualquier posición angular y axial, con lo que se asegura buen centrado y un fácil

montaje y desmontaje. Como desventaja, se encuentra que estas uniones requieren

que la geometría de los aros se debe construir con una alta precisión y se debe

aplicar una precarga axial a los aros.

A i respecto, las uniones por chaveta (ver figura 1.3), como causa de su sencillez de construcción, tienen una amplia difusión, además son de fácil montaje-

desmontaje y son de bajo costo. Como desventaja, este tipo de unión presenta:

e Reducción de la capacidad de carga transmisible de los elementos unidos,

como causa de la disminución de sus secciones provocada por las ranuras,

rebajos y agujeros para el alojamiento y sujeción de las chavetas.

Generación de concentraciones de esfuerzos en zonas de las chavetas y del

chavetero.

Dificultad de fabricación de las piezas cuando existen dos o mas chavetas en

una unión flecha-cubo.

Las uniones estriadas o dentadas que se presentan en la figura 1.3b, se

utilizan cuando se impone la necesidad de transmitir mayor carga y cuando las cargas a transmitir son dinámicas. esta unión da como resultado una mayor

e

e

3

Introducción

superficie de contacto entre los dientes y un mejor centrado de los elementos

acoplados. Como inconveniente, éste tipo de unión presenta:

Necesidad de maquinado y de un estricto control de calidad para la fabricación de las flechas y de los cubos dentados.

Las uniones con pasador se emplean para transmitir cargas pequefias con

respecto de las cargas que transmiten las uniones dentadas, a causa de que la

capacidad portante se determina por el diámetro del pasador, por tanto, el campo de

aplicación de estas uniones es muy limitado. Sus inconvenientes son:

Por otro lado, las uniones por interferencia eliminan el uso de métodos

mecánicos de fijación entre el cubo y el eje, evitan los efectos de concentración de

esfuerzos que se producen en los sistemas cuando se utilizan chavetas o ejes

estriados, permiten obtener uniones rígidas fiables con buena alineación entre

rodamientos o cojinetes y, el efecto de la interferencia en esta unión permite que las

cargas que se aplican se distribuyan a lo largo de la interface lograda por la compresión de ambas piezas. La desventaja que presentan es que en la interface

(zona de interferencia) de la unión se produce vibrocorrosión.

La flecha se debilita como causa de la disminución de su sección.

Se generan áreas de gran concentración de esfuerzos en el pasador.

En la figura 1.4 se compara el porcentaje de conservación de la vida útil de

los distintos tipos de uniones mecánicas, como referencia de Comparación se utiliza

una probeta lisa, la que cuenta con un 100% de vida útil.

La figura 1.4a muestra la flecha lisa que presenta un 100% de resistencia a la fatiga, ésta se toma como patrón de comparación con los otros tipos de uniones. En la figura 1.4b se muestra el caso de una unión mecánica con aros elástico- deformables, del tipo por fricción, éste tipo de unión presenta una reducción de la resistencia a la fatiga de un 15%. Con respecto de la flecha lisa, la figura 1.4c,

unión mecánica por interferencia, presenta una reducción de la resistencia a la fatiga de un 40% y, en las siguientes figuras 1.4d, 1.4e y 1.4f, las que en orden

4

introducción

secuencial son, unión por chaveta, por eje estriado y unión mecánica cónica con

chaveta, se reduce la resistencia a la fatiga en 50%, 55% y 60% respectivamente.

10W

+ 85%

Figura 1.4. Comparación de la resistencia a la fatiga de distintos tipos de uniones mecánicas. Puig (1980).

Con base a las características mencionadas de las uniones mecánicas se puede resumir que en el diseño general de sistemas mecánicos se deben tomar en

cuenta aspectos de peso, máxima transmisión de potencia, flexibilidad, distribución

uniforme de esfuerzos y vida útil. Así, la unión por interferencia es una de las mejores uniones desde el punto de vista de fatiga, por lo que es importante analizarla numéricamente con el fin de obtener diseños óptimos. También, aunado

a lo anterior, se debe considerar que la mayoría de las transmisiones mecánicas utilizan ruedas para la transmisión de potencia como catarhas, poleas, engranes, etc.; entonces, es importante considerar en la fase conceptual del diseño que las máquinas cuenten con diseños óptimos para obtener máxima eficiencia y mejores desempeños, con la finalidad de reducir costos.

El proceso de análisis del comportamiento de diferentes geometrías del cubo para una unión por interferencia, conlleva el obtener coeficientes de concentración

I

introducción

de esfuerzos entre un cubo con perfiles planos y cubos con perfiles ranurados, además, mediante este estudio se obtiene información de la distribución de;

esfuerzos, se logran uniones con mejores características elástico-flexibles. Todos los

aspectos anteriores son de gran importancia para los casos de transmisión de

cargas dinámicas, problema de fatiga, etc.

Con el cambio de la geometria en la unión por interferencia cubo-flecha se influye de manera directa en la distribución de los esfuerzos, en especial en la zona

de contacto, y se puede obtener una unión más flexible con lo que se mejora el comportamiento dinámico de la junta. Además, el obtener superficies de los cubos

con diferentes geometrías, con una reducción de la cantidad del material utilizado,

se logra una disminución de los efectos inerciales, se influye de manera directa en la

economía cuando se fabrican grandes lotes de piezas, tanto por la utilización de

menos material como por el menor consumo de energía por parte de las maquinas

durante su funcionamiento.

Por tanto, el propósito de esta investigación es analizar tres geometrías del

cubo, para la unión por interferencia. Se utiliza el método del elemento fmito,

donde el conjunto eje cubo se analizará bajo el efecto de cargas a flexión, torsión y a combinaciones de estas para condiciones cuasiestáticas. Las configuraciones que

se van analizar se presentan en la siguiente figura 1.5.

En las tres configuraciones se utiliza una relación igual a uno entre el diámetro del eje versus el ancho del cubo (50/50=1) como se observa en figura

1.5a. Para determinar los coeficientes de concentración de esfuerzo, se mantiene el

largo del cubo y se modifka el diámetro de la flecha, en éste caso se toma la razón de uno para tener un punto de comparación con los estudios realizados por fotoelasticidad en el año de 1935 por Peterson y Wahl, Norton (1999).

En la figura 1.5b la unión se ve modificada con una ranura con radio igual a una décima parte de la altura de la cara del cubo (38/3.8=1/10). La ranura se ubica

también a una décima parte de la altura del cubo partiendo de la zona de interferencia. Esta geometría se utiliza para obtener.

.,I.

I

o @q - \ v /

n \ V

Detalle A c>

1

Figura"l.5. a)Cubo recfo; b) cubo.con ranuras de 7.8mm y c) cubo con radios de 1.9mm

La dimensión de la ranura es diferente a la utilizada por Peterson y Wahl con el fin de obtener la distribución de los esfuerzos en lajunta bajo estas dimensiones.

En la unión presentada en la figura 1 . 5 ~ se incluye un radio interno de 1/20 de la dimensión que corresponde a la altura de la cara del cubo. Se determinó utilizar

esta geometría porque los fabricantes de rodamientos utilizan radios internos para facilitar el montaje de éstos en las flechas, el radio de 1.9mm se dimensiona con base a los radios que utiliza SKF para diámetros internos de los rodamientos de SOmm, SKF(1997).

Así, se busca caracterizar y cuantificar los efectos combinados de torsión y flexión estática para las configuraciones de la unión por interferencia, aplicando el método del elemento finito, para tal, se compararán los esfuerzos obtenidos de la

7

Introducci6n

union clásica por interferencia, ver figura 1.5a, contra los obtenidos para las otras

dos geometrías de la figura 1.5.

El análisis Por elemento finito es un método numérico en el que un cuerpo p d c u l a r es dividido en particiones discretas (llamadas elementos). Cada uno de los

elementos se conecta a los elementos adyacentes por medio de los nodos. El metodo

del elemento finito requiere que las ecuaciones diferenciales fundamentales que

gobiernan el problema global sean reducidas a un sistema de ecuaciones

algebraicas de las que se obtiene una solución general. Se aplican las condiciones

de frontera ai modelo dividido. Las ecuaciones que gobiernan los elementos

individuales se combinan y se resuelven para obtener la solución para el problema

global. En este estudio numérico de las uniones por interferencia se aplica el método

del elemento finito y el paquete comercial utilizado es el Algor v. 13.

Con la finalidad de localizar las zonas donde existen las máximas

concentraciones de esfuerzos en los elementos mecánicos, en el Departamento de

Ingeniería Mecánica del Cenidet, se han venido desarrollando investigaciones

concernientes a la distribución de esfuerzos en sólidos, tanto de forma numérica

como de forma experimental.

A continuación se hara una breve descripción del contenido de los diferentes

capitulos que incluye esta tesis.

El capítulo dos, expone las ecuaciones de flexión para vigas redondas. Se

analizan las ecuaciones de las teorías de falla de Von Mises, y se incluyen las ecuaciones de las uniones por interferencia.

En el capítulo tres, se detalla el proceso de modelado y se presenta una descripción de los modelos que se utilizan, esta descripción, incluye las premisas así como las diferentes Características de cada uno de los modelos utilizados.

En el cuarto capítulo, se presentan los resultados obtenidos por simulación

numérica de los modelos analizados y se realizan las observaciones relevantes obtenidas.

8

I

I

Introducción

Por último en el quinto, se comentan los resultados obtenidos, se establecen las conclusiones de este estudio y se listan las recomendaciones para trabajos

futuros.

1.2 Objetivo general

Analizar la distribución de esfuerzos para tres diferentes geometrías de cubo,

utilizando una unión mecánica por interferencia cubo-flecha bajo, el efecto de

cargas de flexión, torsión y cargas combinadas.

I. 3 Alcances

En este estudio se realiza un diserío conceptual por medio del análisis numérico

por elemento finito con Algor v.13, software comercial existente en el

Departamento de Ingeniería Mecánica del CENIDET, para condiciones

cuasiestáticas.

. Se determina la distribución de esfuerzos que se desarrolla en la unión de las

geometrías flecha-cubo que se presentan en la figura 1.5 de este capítulo fajo el efecto de cargas a flexión, torsión y combinaciones de torsión-flexión.

Se obtienen los coeficientes de concentración de esfuerzos se utilizaran relaciones de O , , ~ ~ / P de 1, 0.8, 0.4 y 0.2, donde onom es el esfuerzo nominal

flexionante o el esfuerzo nominal torsionante aplicado a la flecha y p es la presión normal ejercida por el cubo sobre el eje. Para tal fin, se mantiene la

presión constante y se variará la fuerza de flexión o para el caso de torsión, el torque aplicado a la flecha.

9

Introducción

Se describe una metodología para modelar por anáiisis numérico la junta por interferencia.

1 .3 Revisión de trabajos previos

En general no existe una gran variedad de bibliografia que haga referencia a este tema. En los libros de diseño mecánico se puede encontrar las ecuaciones y

teorías que permiten calcular el problema de la unión por interferencia para el caso

de un cubo con aristas planas, sin embargo, para diferentes geometrías del cubo bajo el efecto de cargas flexionantes, torsionales y combinadas no se encuentra

referencia en la literatura.

Para la industria en general es deseable obtener procesos de producción más económicos, se hace necesario buscar cómo y en qué manera se pueden optimizar las uniones mecánicas tipicas ya que cada día se investigan y se utilizan nuevos

materiales. Se debe tomar en cuenta que las máquinas requieren de diseños

óptimos, con el objeto de tener una alta funcionalidad, y que en su mayona los sistemas mecánicos o en las transmisiones mecánicas se puede encontrar una o más uniones mecánicas, por lo que se subraya la importancia de este estudio.

Para la unión flecha-cubo se han obtenido coeficientes de concentración de esfuerzos por fotoelasticidad. Los primeros trabajos de fotoelasticidad fueron

realizados por Sir David Brester, quien en 1816 publicó sus primeras observaciones

(Juvenal, 1967). Peterson y Wahl (1935), obtuvieron la distribución de esfuerzos para un ensamble simple (cubo con caras planas) acoplado por interferencia y un ensamble de ajuste forzado por interferencia con un cubo ranurado por medio de un anáiisis fotoelástico, los resultados obtenidos en esta investigación se pueden

observar en la figura 1.6.

Peterson y Wahl, para el estudio fotoelástico, Pilkey (1997). consideraron relaciones de 1~,,,/p=1.36, dónde onom es el esfuerzo nominal flexionante en el eje y

p es el promedio de la presión normal ejercida por el cubo sobre el eje para el

10

Introducción

modelo plano. Como resultado obtuvieron que el coeficiente de concentración de

esfuerzos para el caso del elemento plano es de 1.95, esto es Kt=1.95, y para el cubo con ranura se obtuvo un Kt= 1.34. En los modelos utilizados.

la,figura 1.7, se observan las dimensiones de

. . . ~ .~

flecha . . ..

. . ...., . . . .

, ..... . . .

.. . .. , .

. .

Figura 1.6. Análisis fotoelástico de esfuenos, a) Ensamble simple acoplado por interferencia, b)ensamble de ajuste forzado por interferencia con un cubo ranurado; Norton (1999).

Para el caso del ensamble del cubo con aristas planas, los resultados obtenidos por Peterson y Wahl se presentan en la figura 1.8, la grática muestra los factores de concentración de esfuerzos para el ajuste por interferencia diferentes

relaciones entre la longitud del cubo versus el d i h e t r o de la flecha.

I i

.-1.5-

i

¡TI-' );M

, L i . S - - 24

Figura 1.7. Modelos por interferencia, con unidades en pulgadas. a) Cubo piano; b) cubo con ranura. Pilkey (1997).

introducción

Para el caso del cubo ranurado, sólo analizaron la geometna para la razón a,,,,,,/p=1.36. Estos resultados son válidos para condiciones de cargas estáticas o

condiciones cuasiestáticas, para cargas dinámicas se debe considerar la sensibilidad a las muescas del material, Norton (1999). Estudios similares

realizados mediante fotoelasticidad se realizaron por Horger y Maulbetsch (1936) y Horger y Nelson (1937).

pnsi4n nominal del ajuste n presión e s h i m nnmbal a fkaibn plo =

longitud de la masa diámetro de la flecha I l d =

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0. 1.2 1.4 I l d

Figura 1.8. Concentración de esfuerzos en un cubo ajustado a presión por encogimiento, Norton (1999).

Las ecuaciones matemáticas que describen el comportamiento del ajuste por

interferencia para cilindros de pared gruesa fueron obtenidas por el ingeniero

francés Lame en el año de 1833 cuando resolvió originalmente este problema. Un cilindro de pared delgada es definido como aquel en cual el esfuerzo tangencial

puede ser considerado como constante con el espesor, esto, dentro de ciertos límites prescritos. Si el espesor de pared excede el radio interno por mas de un lo%, el cilindro es generalmente clasificado como de pared gruesa, como lo indica Ugural y

Fenster (1995).

Al realizar este tipo de juntas, se pueden colocar a presión sólo piezas pequeñas debido a las limitaciones de diseño de las prensas de taller, para no exceder así la capacidad de fuerza de la prensa. Para piezas grandes, se realiza un ajuste por encogimiento, calentando el cubo con el fin de obtener un mayor

12

introducción

diámetro interior. Otra opcion es realizar un ajuste por expansión, donde se procede a enfriar la flecha para reducir su diemetro. Las piezas Caliente Y fría se Pueden

introducir una dentro de la otra con muy poca fuerza axial, Ya ah%nZad0

equilibrio a la temperatura ambiente, la interferencia deseada se logra por el cambio dimensional, obteniéndose por tanto un contacto por fricción, Norton( 1999).

Volfson(l983), analizó las combinaciones críticas de esfuerzos para ejes

ranurados, para el caso del análisis propuesto, según Volfson, el efecto de fuerzas axiales en la flecha normalmente no es significante y puede omitirse, pero, no pueden ignorarse los esfuerzos causados por la flexión, ya que sus valores para sistemas mecánicos en funcionamiento pueden ser del orden del 25% de aquellos

causados por torque.

Ast, M., et al. (1998), realizan un estudio que describe la importancia del ajuste por interferencia ya que éste es utilizado con frecuencia en transmisiones de :

potencia para la transmisión de grandes cargas torsinales y alternantes en las

conexiones eje-cubo. Además, realizan la observación de la necesidad de obtener cálculos más exactos en las predicciones de esfuerzos en las piezas mechicas y, por

lo complejo de requerimientos como anáiisis de contacto, deformaciones globales y microdeslizamiento entre otros, se ha incrementado el uso de métodos numéricos,

por ejemplo los programas por elemento finito. También ai respecto, Pikey (1997) escribe que las efectivas capacidades computacionales, usualmente basadas en el método del elemento finito, han alterado el uso y la necesidad de los factores de concentración de esfuerzo, así, el uso de técnicas experimentales para determinar el efecto de factores de concentración de esfuerzo han sido virtualmente remplazadas por las más flexibles y más eficientes técnicas computaciondes. De tal manera que en este estudio numérico de las uniones por interferencia se aplica el método del elemento finito y el paquete de software comercial utilizado es el Algor v. 13.

13

Soporte Teórico

Capítulo I 2

BASES TE~RICAS

2.1 Introducción

Al realizarse el acople de las dos piezas de la unión por interferencia, la deflexión elástica tanto de la flecha como la del cubo actúan para crear en las piezas

fuerzas normales y fuerzas de ficción. La fuerza de fricción que se da en la interface de la unión permite transmitir el par de torsión de la flecha ai cubo.

La norma 9003-A91 de la “American Gear Manufacturers Association” (AGMA) propone O. 15<p<0.20, donde p es el coeficiente de fricción entre la flecha y

el cubo para cubos encogidos o ajustados a presión, para obtener estos coeficientes se recomienda un acabado superficial de 1.6 pm &, lo que requiere un terminado

rectificado en ambos diámetros.

La interferencia para crear una unión apretada varía según el diámetro de la flecha. La recomendación según las normas ANSI B4.2-1978 y normas ANSI B4.3- 1978 toman en cuenta el sistema de agujero único (base agujero) y base flecha.

14

Soporte Teónm

Estos factores se establecen para que se conserve el ajuste, los esfuerzos deben

mantenerse por debajo de los límites elásticos de los materiales. En caso de que 10s materiales cedan, el cubo se aflojará de la flecha.

Por la geometría del acoplamiento, un ajuste forzado por interferencia genera

el mismo estado de esfuerzos en la flecha que la resultante de aplicar una presión

externa uniforme sobre su superficie. El cubo experimenta esfuerzos iguales a un cilindro de pared gruesa sujeto a una presión interna.

2.2 Ecuaciones que describen el comportamiento de los cilindros de pared gruesa

Para el anáiisis de la distribución de esfuerzos en una unión por interferencia se aplica la teona de cilindros de pared gruesa. Las ecuaciones de esfuerzo y deformación para elementos mecánicos cargados axisimétricamente se derivan a partir de un cilindro largo con los extremos axialmente restringidos sometida a presión uniforme, como se muestra en la figura 2.1, donde el radio interno de este

cilindro es ri; el radio externo es r.; pi es la presión interna en el cilindro y po la presión externa. En este problema se calculan los esfuerzos en la pared del cilindro

causados por esas presiones.

du

íbl

Figura 2.1. Cilindro de pared gruesa, Popov (2000).

15

Soporte Teórico

Debido a que el cilindro es largo, el anillo de espesor unitario en su totalidad esta sometido al mismo estado de esfuerzo. Un elemento infinitesimal estará

definido por los radios r y r+dr y un ángulo dQ. El esfuerzo normal radial que actúa

sobre el elemento infinitesimal a una distancia r es or, y a una distancia r+dr es

o,+(do,/dr)dr. Ambos esfuerzos, normales y tangenciales, que actúan sobre los otros dos planos del elemento son ot. Por la condición de simetna del problema todo

elemento que se ubica a la misma distancia radial desde el centro debe estar sometido al mismo estado de esfuerzo, por lo que ningún esfuerzo cortante actúa sobre el elemento. Además, los esfuerzos axiales sobre los dos planos del elemento

son iguales y opuestos.

Para expresar las fuerzas que dan el equilibrio estático, se multiplican los

esfuerzos por sus áreas respectivas. El área sobre la cual actúa or es ldr; sobre la

que actúa o,+dr es l(r+dr)d@ y cada área sobre la que actúa ot es ldr. El peso del elemento no se toma en cuenta y como el ángulo incluido entre los lados del elemento es d@, ambos esfuerzos tangenciales están inclinados %dQ respecto de la

línea perpendicular a OA. Así, la suma de fuerzas en sentido radial es, 2 F, = O, Popov (2000),

a,rd$+ 20,dr - - o, + L d r (r +dr)dt$ = O ("1 [ ) si se simpM1ca la expresión anterior

infinitesimaies de orden superior, Popov (ZOOO), y no se toman' en cuenta los

(2)

las ecuaciones presentadas tienen como incógnitas los esfuerzos cr, y or.

Ahora se toman en cuenta las deformaciones unitarias del elemento en la dirección radial y tangencial, donde u representa el desplazamiento radial a un radio r; u +(du/dr) representa el desplazamiento que se obtiene a una distancia

16

Soporte Teórim

r+dr, así, la deformación unitaria en la dirección radial del elemento estudiado es ,

Popov (20001,

(3)

procediendo de igual manera, la deformación en la dirección tangencial resulta de

la resta de la longitud de la circunferencia de la superficie cilíndrica deformada de

radio r+u la circunferencia de la superficie no deformada de radio r y dividiendo el resultado entre la longitud de la circunferencia en r, por lo que se obtiene,

u 2x(r+u)-2xr &, = - = (4)

r 2nr

se ha obtenido en las ecuaciones (3) y (4) las deformaciones unitarias expresadas en

terminos de la variable desconocida u.

Para el cilindro de pared gruesa con deformación axial restringida la deformacion axial EPO (problema de deformación unitaria en un plano); también la

ley de Hooke generalizada, ecuaciones (5), (6) y (7) relacionan las deformaciones

unitarias con los esfuerzos, Popov (2000),

1 E

E, =-(o, -vat -vox )

1 E

E , = - ( - vq +o, -v.,)

1 E

E, =--(-vo, -vo, +o,) (7)

entonces, sustituyendo en la ecuación (7) EPO, la misma ecuación resulta, Popov

(2000L

17

Soporte Teórico

Este resultado se introduce en (5) y (6) y resolviendo estas en forma simultánea se obtiene, Popov (ZOOO),

E (3, = [O-V)E, +.&,I (1 + v)(l - 2v)

E o, = [VEr +(l-V)Etl (1 + v)(l - 2v)

(9)

Las que son las ecuaciones de deformación unitaria en un plano para un material

elástico.

A continuación E~ y et se expresan en términos de u, ai igual que las

ecuaciones (3) y (4), dando como resultado, Popov (ZOOO),

or = (1 + v)(l E - 2v) [(l-v)z+v; du "I o, =

(1 + .)(I - 2v) dr (12)

ai sustituir (1 1) y (12) en (2) y realizando las simplificaciones pertinentes, se obtiene

la ecuación diferencial gobernante, Popov (2000),

d2u 1 du u - + = Q dr2 r dr r

por sustitución se puede verificar que la ecuación diferencial tiene por solución general, Popov (ZOOO),

18

Soporte Teónm

la que permite calcula el desplazamiento radial u de cualquier punto sobre el cilindro, donde las constantes AI y A2 deben determinarse a partir de las

condiciones en las fronteras del cuerpo.

Se debe considerar que para determinar las constantes A I y Az, no se conoce

el desplazamiento u en la frontera interna ri ni en la frontera externa de las paredes del cilindro ro. Pero se debe tomar en cuenta que las presiones son iguales a los

desplazamientos radiales que actúan sobre los elementos en los radios respectivos, Popov (2000), de manera tal que,

en estas ecuaciones los signos negativos indican esfuerzos de compresión. Como ya

se conoce u y se puede calcular el valor de du/dr=Ai-Az/rZ, pueden sustituirse en la expresión para or de la ecuación (1 l), Popov (2000), resultando,

' (I i .)(I - 2v) or (Ii) = -p. =

E (1 + v)(l - 2v)

or (rol =-Po =

resolviendo estas dos ecuaciones de manera simultánea, se obtienen los valores de

AI y AI, POPOV (2000).

19

Soporte Teórim

Al sustituir estas constantes en la ecuación (13) se obtiene de manera directa el valor del desplazamiento radial de cualquier punto sobre el cilindro elástico bajo

presiones específicas.

Si la derivada de la ecuación (14) y las ecuaciones (18)-(19) se sustituyen en

las ecuaciones (11) y (12), se obtienen las ecuaciones para los esfuerzos radial y tangencial en cualquier punto del cilindro, Popov (2000),

2 2 Piri -Poro ( P i -P,)ri2r02

' +-- o, =

r,, - r,

se debe observar que cr+ot es constante sobre todo el área transversal del cilindro, lo

que significa que el esfuerzo axial dado por la ecuación (8) es de igual manera

constante sobre todo el área del cilindro de pared gruesa.

Para calcular el desplazamiento radial y así obtener las dimensiones a las que se deben dibujar la flecha y el cubo, para el caso donde existe presión interna

únicamente, Ugural y Fenster (1995),

E ro - r,

para el caso donde existe presión externa únicamente, Ugural y Fenster

(1995),

20

Soporte Teórico

al sumar las ecuaciones (22) y ( 2 3 ) , se obtiene la interferencia radial total, Ar, para

la unión por interferencia.

Con las ecuaciones anteriores, considerando materiales con diferentes

propiedades y tomando en cuenta condiciones de frontera, se puede calcular la presión p creada por un ajuste forzado por interferencia,

0.56 (24) P = 2

como se observa en la figura 2.2, la dimensión 6=2Ar es la interferencia diametral

total entre las dos piezas, r es el radio nominal de la interfaz entre las dos piezas, n

es el radio interior (si es que existe) de la flecha hueca y ro es el radio exterior del cubo, E y v son respectivamente los módulos de Young y de Poisson de las piezas.

Soporte Teórico

Cuando se desea incluir el efecto de la inercia en cilindros compuestos por

interferencia, este es incluido como fuerza de cuerpo. Los esfuerzos son distribuidos de manera simétrica respecto del eje de rotación y se asume

independiente del grosor del disco. De tal manera que se incluye en la ecuación (2) la fuerza de cuerpo por unidad de volumen igualada a la fuerza centrífuga pa%,

Ugural y Fenster (1995), se obtiene,

2 +PO r = O dr r

donde p es la densidad de masa y w es la velocidad angular constante del disco en

radianes por segundo. Al igual que para el caso que no incluye la fuerza centrífuga, un elemento infinitesimal estara definido por los radios r y r+dr y un ángulo d$. El

esfuerzo normal radial que actúa sobre el elemento infinitesimal a una distancia r es or, y a una distancia r+dr es a,+(da,/dr)dr; u representa el desplazamiento radial a

un radio r, u +(du/dr) representa el desplazamiento que se obtiene a una distancia

r+dr. Ambos esfuerzos, normales y tangenciales, que actúan sobre los otros dos planos del elemento son at. En la ecuación (25) la fuerza de cuerpo pg no se ha

tomado en cuenta. Ahora, se sustituyen las ecuaciones (1 1) y (12) en la ecuación (25) obteniéndose la ecuación (26), después de reordenar los términos resulta, Ugural y Fenster (1995),

- - + - - - - = - I d 2 U , 1 du u ( - " 2 ) d r ~

dr2 r dr r2 E

que requiere de una solución particular homogénea, up, Ugural y Fenster (1995),

Por lo que la solución completa, Ugural y Fenster (1995), es:

22

Soporte Teóncm

Para el caso del cubo, si se considera el efecto de la fuerza centrífuga de inercia y por tanto se tienen condiciones de presión interna y externa igual a cero (referirse a la figura 2.1), se tiene que el esfuerzo radial en la frontera ri y ro, son iguales a

cero, por lo que los valores de CI y c2 son, Ugural y Fenster (1995),

(r,’ + ro2) (1 - v ) (3 + v) c, = p a E 8

(29)

Con lo que los esfuerzos y los desplazamientos son, Ugural y Fenster (1995),

2 2 I + v I + v r , r , U = ri +r, -~

8E (33)

Para el caso del disco sólido (flecha) ri=O y las condiciones de frontera son, Ugural y Fenster (1995),

Entonces para satisfacer las condiciones de frontera, es claro que en la ecuación (26) c2 debe ser cero, así de la ecuación (27) se obtiene,

23

Soporte Teónm

, ro2 (1 - v)(3 + v) (35) c = Po- -- -___~-- E 8 I

Combinando estas constantes en las ecuaciones de esfuerzos, se obtienen los

siguientes resultados, Ugural y Fenster (1995),

Ai sumar las ecuaciones (33) y (38), se calcula la interferencia radial total, Ar, para

este tipo de unión.

2.3 Ecuaciones generales de esfuerzo

La ecuación para calcular el esfuerzo dt ido a la íiexión en una viga es, Popov

(2000):

o=- MY I

(39)

donde u es el esfuerzo axial normal al plano de la sección transversal, M es el

momento aplicado a la barra, y es la distancia desde el plano neutral a la superficie exterior de la barra, I es el momento de inercia de la sección transversal. Para una

sección circular redonda el momento de inercia es, Popov (2000):

/'

I 24

Soporte Teórico

El esfuerzo cortante debido a las cargas de torsión en una barra de sección

transversal redonda se calcula con la siguiente ecuación, Popov (2000):

Tr J

T = -

donde K es el esfuerzo cortante debido al torque aplicado, r es la distancia radial del

plano neutral a la superficie exterior de la barra y J es el momento polar de inercia de la barra. Para una barra prismática con una sección transversal redonda, Popov

(20001,

m4 J = - 2

Dependiente de la razón entre flexión y torsión, el esfuerzo por Von Mises es

ei esfuerzo efectivo que representa la magnitud global del esfuerzo en un punto, sin tener en cuenta o sin importar la orientación en la cual el esfuerzo es considerado. El esfuerzo de Von Mises esta definido por, Cook y Warren (1989):

o’==[(ox 1 -o,,)2 +(o, -oz? +(o, - o x y +6(rzXy +r 2 +r2,)] 112 (43)

2

La ecuación (43) describe el estado general de esfuerzos en tres dimensiones en un punto en la configuración. Se asume que el material bajo consideración exhibe comportamiento mecánico lineal, es isotrópico homogéneo. Es supuesto que las cargas de flexión en el sistema producirán desviaciones o deflexiones que no son significativas por lo que no alteran la geometría. Cualquier efecto cortante producido por cargas transversales es ignorado. El esfuerzo cortante se asume que varía de manera radial desde el eje de la flecha, proporcionando esto que el esfuerzo es

Soporte Teónm

considerado en una sección transversal normal al eje de la flecha. Así, la ecuación (43) resulta en:

en esta ecuación o’ representa ahora la magnitud del esfuerzo de Von Mises, ox el

esfuerzo axial desarrollada en la sección transversal debido a la flexión, y , TXZ es el

esfuerzo cortante en el eje debido al torque aplicado. Note, que esta ecuación

determina la forma en que se distribuyen los esfuerzos en una flecha bajo cargas combinadas de flexión y torsión.

Si se tiene una condición de esfuerzo plano, el esfuerzo de Von Mises

resultante es, Ugural y Fenster (1995),

o’ = , 1 0 2 1 + 0 2 2 -oio2

De manera similar, Algor utiliza la ecuación, (Docutech, ZOOO),

(45)

o‘ = IO 5((oX -oy) +(u, -oz) 2 + (oz -ox )2)+3(zZxy + T 2 y7 + 7 2 a) (46) 1’ ’

La teona del esfuerzo cortante máximo o simplemente la teoría del cortante

máximo, parece haber sido propuesta originalmente por C.A. Coulomb en 1973, pero a menudo lleva el nombre de Tresca, ya que, fue H. Tresca quien presentó su trabajo sobre flujo de metales sometidos a grandes presiones a la academia Francesa en 1868. Como es mencionado en, Popov (2000), esta teoría es el resultado de que en un material dúctil aparecen cristales durante la fluencia, a lo largo de planos criticamente orientados. Lo que supone que la fluencia del material depende únicamente del máximo esfuerzo cortante que se alcanza dentro del elemento, por lo que a cierto valor critico T~~ se inicia la fluencia en un elemento. En

los materiales, por lo común, este valor es igual al esfuerzo cortante de fluencia en compresión o tensión simples.

I 26

Soporte Teórico

Considerando los esfuerzos principales en diferentes casos se analizan estos en el circulo de Mohr, esto es, cuando o]= kh f O y ay= r,=O, cuando los signos 01 y 02 son iguales con 0 3 igual a cero, y, el tercero y último caso cuando 01 y 0 2 son

opuestos siendo O F O , se obtiene la siguiente ecuación, Popov(2000),

o, para fluencia inminente

si se grafican las condiciones oi/o,=fl, y o2/o,=+l como dos líneas verticales y dos

horizontales se obtiene un hexágono, de la que se pueden obtener las siguientes conclusiones, si un punto definido alp, y o2p, cae sobre el hexágono, el material

comienza a fluir y continua en este proceso, por otro lado si el esfuerzo representado

por un punto cae dentro del hexágono la condición indica que el material se esta

comportando de manera elástica.

I 27

Modelado

Capítulo 3

MODELADO

3.1 Modelo de la unión por interferencia

El modelo en estudio, se presenta en la figura 3.1, este modelo del sistema mecánico real incluye un rodamiento que permite el deslizamiento en la dirección axial y un rodamiento fijo. Entre los rodamientos esta ubicada la flecha y en esta colocado un cubo, que como elemento mecánico puede transmitir potencia o cambiar la dirección del movimiento. Este modelo se escoge por la aplicabilidad del

mismo en sistemas mecánicos de transmisión de potencia. Para el modelado se

analizaran dos situaciones, en la primera se considera que el cubo tiene restringidos totalmente una lííea de nodos longitudinal, con lo se obtiene un modelo discreto de

la situación cuando un diente empuja a otro diente (pifión-rueda), en la segunda situación, se restringen los grados de libertad de la mitad de los nodos de la periferia del cubo, con lo que se intenta tener una situación similar del modelo real de un cubo impulsor o impulsado por una banda flexible. Estas dos condiciones de

frontera son diferentes a las utilizadas por Peterson y Wahl, ya que ellos a las placas planas de material birrefringente les aplicaban presión en la parte superior y mantienen en apoyo fijo la superficie inferior, lo que es aproximado para el modelado a tener un cubo con los grados de libertad totalmente restringidos en todos los nodos de la periferia

28

Modelado

Rodamlent que perm& desllzamlento axial

Figura 3.1. Modelo de la union por interferencia.

Dentro de la cadena cinemática, el cubo puede ser impulsado o impulsar otro elemento mecánico. El material que se utiliza para realizar las modelaciones es el

acero designado por la "American Iron and Steel Institute", (AiSI) 4140, las razones

por las que se escogió el acero son: es un acero especial para componentes de grande y mediano diámetro en los cuales se requiere alta resistencia a la tracción y

tenacidad, es utilizado en la industria automotriz para la construcción de motores,

partes y repuestos sometidos a muy altos esfuerzos como cigüeñales ejes de leva, árboles de transmisión, barras de acoplamiento, pinones, ruedas dentadas, estructuras soldables. Así, por las razones discutidas con anterioridad, el acoplamiento por interferencia, tanto el eje como el cubo se modelan con este

material.

Para el caso de la unión por interferencia en este estudio se tomara como

referencia que el esfuerzo de fluencia para el acero 4140 normalizado, 655MPa, Shigley y Mischke (1999). sea menor o igual que el esfuerzo equivalente de Von Mises.

29

Modelado

3.2 Modelado con elementos awisimétdcos

Los primeros modelos de la unión por interferencia fueron realizados con elementos &simétricos. Las estructuras axisimétricas, son similares a las estnicturas tridimensionales bajo condiciones de esfuerzo plano o deformaciones planas, así, las estructuras modeladas con este tipo de elementos cargadas de manera axisimétrica pueden ser analizadas como sistemas en dos dimensiones,

Spyrakos (1995).

Es importante hacer notar que para el caso de estructuras asiximétricas, el

modelo en el programa Algor debe dibujarse en el plano Y-2, además, para que el modelo quede definido de manera correcta, el sólido debe tener geometría, cargas y condiciones de frontera simétricas respecto del eje Z. Algor no admite coordenadas negativas en el eje Y. Las cargas nodales son normalizadas por el número de

radianes en un círculo (carga dividida por radianes). Por último, los elementos cuadriláteros y tnangulares axisimétricos tienen dos grados de libertad de traslación

por nodo. las coordenadas radiales están defuiidas a lo largo del eje Y.

Como se observa en la figura 3.2,

J ’ X

Figura 3.2. Modelo axisimétnco, (DocuTech, 2000).

La presión que se aplica a la interfaz, zona de contacto, se calcula mediante

la ecuacion (24) del capítulo 2. Para determinar el valor de la deformación entre el cubo y el eje se realiza un programa en Mathcad 2000, llamado “Deformación- Presión” el que permite calcular la interferencia diametral cuando se varía la presión o en caso contrario la presión cuando se varia la interferencia diametral (ver figura 3.3). La interferencia diametral, se determina tomando en cuenta el diámetro de la

30

Modelado

flecha y las recomendaciones de las normas ANSI B4.2-1978 y normas ANSI B4.3- 1978, normas que toman en cuenta el sistema de agujero único (base agujero) 0

base flecha. Estos factores se establecen para que se conserve el ajuste, los

esfuerzos deben mantenerse por debajo de los límites elásticos de los materiales. En caso de que los materiales cedan, el cubo se aflojará de la flecha.

En el programa “Deformación-Presión”, para las configuraciones estudiadas,

se tiene que el radio interno en la flecha es iguala cero, el radio de la flecha es r, el diámetro exterior del cubo es ro, los módulos de elasticidad para los materiales, Eo

y Ei son iguales ya que el material con el que se realiza el modelado es igual para el cubo y la flecha, acero AIS1 4140.

interferecia diametral O.lOmrn

6 := 0.00010m

n := Om Datos

r := 0.025111

Ecuación

Resultado

ro := 0.063m

Eo := 206840000000 Pa

E¡ := 206840000000 Pa v o := 0.30 vi := 0.30

0.5.6 p := 2 2 ro + r

r - ri

8 p = 1.743 x 10 Pa

Figura 3.3 Diagrama estructural del programa “Deformación-Presión” realizado en Mathcad 2000

I 31

Modelado

Para dibujar la unión cubo-flecha por interferencia en la primera etapa es necesario dibujar la geometría del cubo en dos dimensiones, utilizando las

herramientas CAD del paquete Algor. La primera geometría que se dibujó fue la del cubo recto. El modelo obtenido se presenta en la en la figura 3.4, para este caso y para todos los casos subsiguientes el mallado de las geometrías en Algor se realiza de manera manual.

Figura 3.4. Modelo &simétrico para cubo recto

Para generar el modelo de la figura 3.4 se realizan los siguientes pasos:

1. Se dibuja la geometría del cubo utilizando las herramientas CAD de Algor en

la ventana "Superdraw". En este caso el cubo se dibuja a 0.025111 del eje 2 hacia el eje Y como consecuencia de la dimensión del radio de la flecha.

i

I 0.050

--j I L-.L.ü~~---L--[J.[J3H~- J 0, ', -> L v ~~ ~ ____ r

Figura 3.5. Generación del modelo axisimétrico para cubo recto,

32

Modelado

2. se discretiza el modelo, para esta operación se realiza el mallado de la para el caso presentado en la figura 3.4 se dividen las h e a s superficie.

exteriores generadas.

3 . Se aplica una presión igual a 174.3MPa, a la superficie de interfaz entre el cubo y el eje, para realizar esta operación se deben seleccionar los elementos

de la interface, zona de contacto entre el cubo y la flecha, y definirlos en una superficie diferente a la superficie donde se encuentra dibujado todo el modelo.

4. Se definen las propiedades de los elementos y de los materiales utilizados, se secciona el tipo de elemento 2-D, y dentro de la opción "Data" de Algor se

selecciona el tipo de geometna asiximétrica, todas las demás variables no se modifican, debido a que por defecto el material esta definido como isotrópico

y el espesor viene definido como un radian.

5. Para introducir el valor de la presión dentro de la ventana control de datos

del modelo (Model Data Control) en la opción superficie se introduce el valor de la presión para los elementos en dos dimensiones.

6 . Por último dentro de "Global", se definen los parámetros que se desean obtener en los archivos de salida después de haber realizado los cáiculos.

En la figura 3.6 se representan los modelos discretizados para los casos del cubo con un radio de 1.9mm y con una ranura de 3.8mm, para realizar estos

modelos se siguen los pasos que se describen para generar la geometría del cubo

con aristas planas, pasos del 1 al 6 , a excepción del numero de elementos y el tipo

de elementos, debido a que las geometrías son diferentes. En la figura 3.6a y 3.6b se observa que se utilizaron elementos triangulares en dos zonas para lograr la

transición de la geometría curva a la recta.

En síntesis para estos modelos se dibujaron las tres geometrías que aparecen en la figura 1.5 del capítulo 1. El mallado se realizó de manera manual y el tipo de

elementos utilizados son elementos 2-D con geometría axisimétrica. La presión se aplica a la superficie en la zona de contacto entre los dos elementos (cubo-flecha) del

33

Modelado

sistema y debido ai tipo de modelado que se utiliza no se restringe el modelo en ningún nodo, ya que el procesador define la estructura como una sección transversal en revolución.

Figura 3.6. Modelos discretos, a) Geometna con radio de 1.9mm, b)Geometria con ranura de 3.8mm.

Para observar el efecto de la fuerza centrífuga, se realizaron 36 simulaciones,

8 para cada modelo para diferentes regímenes de velocidad rotativa. Se modelaron las tres configuraciones a velocidades O, 1200, 2400, 3600, 12000, 18000, 25000,

30000 y 36000 revoluciones por minuto, para estos casos la fuerza centrífuga actúa como carga cuasiestática. Para definir la velocidad y observar su efecto dentro del paquete Algor es necesario activar la opción “Centrifugal Load” en la opción “Global” de la pantalla “Model Data Control”, en la ventana se incluye el efecto de la carga centrífuga especificada, el eje de rotación y la velocidad de rotación a la cual se desea simular el modelo.

34

..

Modelado

3.3 Generación de geometrías de la unión utilizando elementos tipo

W P Para observar el efecto de las cargas que resultan en momentos fiexionantes Y

las cargas que dan como resultado momentos de torsión, al ser estas condiciones no simétricas se procedió a realizar modelos tridimensionales.

Para obtener las geometrías discretas del modelo de la unión, se determinó realizar modelos simplifcads con elementos tipo Gap, con el fin de verificar en

primera instancia el funcionamiento de estos elementos, para después continuar el

modelado con geometrías en tres dimensiones.

En el primer modelo generado se dibujó un eje cuadrado y un cubo con una configuración interna también cuadrada, éste modelo se utiliza para observar el efecto de la presión de contacto mediante elementos Gap de tipo compresión. Los elementos Gap se defmen por dos nodos terminales especificados en un espacio tridimensional. Únicamente las fuerzas axiaies aplicadas a los elementos son

consideradas para los cálculos del procesador de Algor. Los elementos Gaps, después de ser definidos se activan en los cálculos cuando las fuerzas de compresión se desarrollan en el elemento, Spyrakos (1995). Es necesario subrayar que el elemento tipo Gap permite modelar la zona de contacto entre los elementos

en la unión. La desventaja de este elemento en el programa Algor es que solo permite la definición de fuerzas en una dirección, ya sea compresión o tensión, dejando de lado las fuerzas tangenciales. El primer modelo de la unión realizado se

presenta en figura 3.7.

Para generar este modelo en Algor se realizan los siguientes pasos:

1. Se crea el ambiente de trabajo para tal, se define el parámetro de tolerancia de comparación en 1x10-10 y se selecciona la vista predefinida Y 2 derecha.

2. Se dibuja la geometría del cubo y de la flecha en dos dimensiones utilizando el plano Y 2 derecho por medio de las herramientas CAD de Algor, ambas piezas se defmen en grupos diferentes.

35

Modelado

\ Elemento G ~ P

Figura 3.7. Modelo utilizado para probar la factibilidad de utilizar elementos Gap para modelar los esfuerzos por contacto entre el cubo y la flecha, a)Modelo tridimensional, b) Corte donde se muestran los elementos Gap.

3. Se maiian tanto el cubo como la flecha, como se observa en la figura 3.7 el

mallado utilizado es burdo, no refinado, ya que se trata de un modelo sencillo

que permite verifcar el funcionamiento del elemento Gap en el proceso de

modelado de las uniones mecánicas.

4. Se dibujan los elementos Gap entre los nodos del cubo y la flecha. Los elementos Gaps se deben definir dentro de un grupo diferente al grupo donde se definen los elementos del cubo y la flecha, ya que se trata de otro tipo de elemento. Despues, se introducen las fuerzas de compresión y las condiciones de frontera para los elementos. Es importante a la hora de definir las condiciones de frontera de los elementos, la orientación del elemento Gap, ya que de la ubicación en el espacio del elemento dependerán las traslaciones de los nodos de los elementos.

36

Modelado

5, se ubican las geometrias en las coordenadas correspondientes Y se realiza las copias de 10s elementos de manera independiente ubicando estos entre 10s

nodos del cubo y de la flecha.

6. Se introducen las condiciones de frontera para el eje, que como se observa en la figura 3.6, se restringen en su totalidad las traslaciones y rotaciones de la

flecha en uno de sus extremos.

7. Se selecciona el tipo de modelado “linear static stress”.

8. Se definen las propiedades de los elementos utilizados, para tal se secciona el tipo de elemento ladrillo (brick) para el cubo y flecha y, el elemento de tipo

Gap en compresión para los elementos Gap.

9. Se seleccionan las características del material para el cubo y el eje.

10.Dentro de la opción “Data” se selecciona la rigidez en N/m y el número de

iteraciones para los elementos Gap, en este caso se utilizb el valor del módulo

de elasticidad para el acero AIS1 4140.

11.Por último dentro de la opción “Global”, se definen los parámetros que se desean obtener en los archivos de salida después de haber realizado los cálculos.

Los elementos Gap utilizados tienen una longitud de 5x10-5m, lo que equivale

a la mitad de la interferencia diametral. Para calcular las dimensiones a las que se deben dibujar la flecha y el cubo se utilizan las ecuaciones (22) y 123) del capítulo

2. Para el caso donde existe presión interna únicamente, el radio interno de este cilindro es ri, como se trata del cubo, ri=0.025m; el radio externo es r0=0.063m y pi es la presión interna en el cilindro, pi=1.743xlO*Pa; u es el desplazamiento que se

obtiene bajo estas condiciones, para este caso es igual a 3.52557~10-5m. Por lo que la dimensión del diámetro interno del cubo de 0.0250353m. Para el caso donde

existe presión externa únicamente, el radio interno de este cilindro como se trata de la flecha es igual a cero; el radio externo es ro=0.025m; y la presión externa p0=1.743x108Pa, para este caso u es igual a -1.47443xlO%n, por tanto, el valor obtenido para el diámetro de la flecha es de 0.0249953m.

Modelado

Para modelar con elementos Gap se debe prestar atención especial a las tolerancias de comparación utilizadas para generar el dibujo, a causa del orden de las dimensiones utilizadas.

Con el modelo presentado en la figura 3.7 se obtuvo una distribución de esfuerzos aceptable, por lo que se procedió a generar las geometrías en tres dimensiones para la unión por interferencia. Con el valor del diámetro de la flecha y del diámetro interno del cubo se generan las geometrías presentadas en la figura 1.5 del capítulo 1. En la figura 3.8 se presentan el modelo con el cubo con aristas planas y el modelo con ranura de 3.8mm de radio. La longitud totai de la fecha es de 0.49m y la del cubo es de 0.05m. Se debe recordar que en estos modelos es necesario que los elementos Gaps estén construidos entre los nodos tanto del cubo como de la flecha.

I Figura 3.8. Modelc

al

tridimension: s con t nentos Gap, a) Ci )recto, bj o con ranura de 3.8mm.

38

Modelado

Presión ajuste/ esfuerzo nominal

0.20

0.40

0.80

1.00

Los resultados obtenidos para los modelos representados en la figura 3.8

respecto de los obtenidos con la modelación con elementos &simétricos varían en promedio en 1.5%. Por lo que procedió a generar los modelos para realizar las simulaciones numéricas. Con el objetivo ahorrar tiempo de simulación numérica,

para los modelos presentados en la figura 3.8 se decidió utilizar la mitad de las geometrías con lo que aprovecha una condición de simetría. Luego de haber

comparado la exactitud de los resultados obtenidos de estas simulaciones respecto de los obtenidos con elementos &simétricos, a los modelos resultantes se les

incluyó fuerzas a flexión y torsión obtener una relación entre la presión de ajuste versus el esfuerzo nominal a flexión-torsión de 1.00, 0.80, 0.40, 0.20. Las fuerzas

de flexión resultantes para estas relaciones se colocan de manera puntual en un nodo del modelo, mientras que las fuerzas resultantes para obtener el torque se dividen entre el número total de nodos que se tienen en la superficie de la flecha.

En la tabla 1, se presentan las fuerzas y los momentos que se obtienen para las relaciones entre la presión de ajuste versus el esfuerzo nominal a flexión y la presión de ajuste contra el momento nominal a torsión.

Momento Fuerza Momento Fuerza de Flexionante Flexionante Torsionante Torsión

(Nm) (NI (Nm) (NI

430.29 1955.88 860.58 2147.16

860.58 3911.76 1721.16 4294.31

1721.17 7823.48 3442.33 8588.65

2 15 1.47 9779.35 4302.91 10735.80

39

Modelado

La figura 3.9 presenta dos geometrías en los que se genera únicamente la

mitad del sistema cubo-flecha, en estos modelos se pueden observar las condiciones de frontera utilizadas, para el caso del cubo, se restringe una línea de nodos y en las secciones transversales de la flecha y el cubo donde se realiza el corte se restringe el movimiento en el eje X.

Figura 3.9. Modelos del cubo con ranura de 3.8mm donde se genera la mitad de la geometria, alcon momento torsional aplicado, bjcon momento flexionante aplicado.

La simulación numérica de los modelos con elemento Gap (ver figura 3.9) con f i i ó que los elementos tipo Gap se pueden usar para el caso cuando se utilizan cargas flexionantes pero no para el caso cuando se aplican momentos torsionaies.

La orientación de los elementos de tipo Gap determina las traslaciones de sus nodos, por lo que los elementos ortogonales no permiten que se deslice la fecha, obteniéndose así zonas de máxima concentración de esfuerzos en los nodos donde

se ubicaban los Gaps que se encuentran en cuadratura. Como ejemplo de lo antenor se presenta en la figura 3.10 el caso del cubo con aristas planas y un torque aplicado de 4302.91Nm.

I

i 1

También, se procedió a generar las geometrías giradas 11.25" respecto del eje Con los modelos resultantes tampoco se obtuvieron los resultados esperados, Y.

40

i !

i I. 'I

ii

1 i

i

1

I

i 4 i 1, I

Modelado

para los casos donde se aplicó el momento torsional el sistema no convergió. Las razones, los elementos Gap se orientan en el plano YZ, por lo que las translaciones no se restringen en estos sentido, como consecuencia la flecha gira. Otra

consecuencia es que en Algor no existe la posibilidad de definir coeficientes de

fricción entre los Gaps y las superfcies.

bl

Figura 3.10 Distribución de esfuerzos en el cubo con ranura de 3.8mm al aplicar un torque distribuido de 4302.91Nm utilizando elementos Gap, a)Vista isométrica, b)corte parcial

Además, los elementos Gap de Algor no modelan fuerzas tangencides en los

nodos de contacto. Como resumen de este proceso de modelado, se puede concluir que los elementos Gap de Algor pueden ser útiies en el proceso de simulación numérica de las uniones cubo-flecha para los casos de las cargas a flexión, compresión y tensión, pero no para el caso de torsión. Eso h i t a su aplicación para realizar el modelado de la unión cubo flecha pero no lo limita para el caso del

modelado de la unión cubo-flecha.

Modelado

3.4 enemción de geometrias só l ida de la unión utilizando

desplazamientos prescritos y elementos tipo contacto

Los elementos de contacto de Algor son elementos que se construyen entre

una superficie y otra, Para realizar modelaciones superficie-superficie se debe definir el modelo como Simulación de un Evento Mecánico (MES, por sus siglas en Inglés). Los datos de entrada se especifican al utilizar el menú desplegable “FEA Add: Stress and Vibration Análisis: Nonlinear Extensions: General Surface-to- Surface Contact”. Antes de accesar este menú es necesario que se haya definido lo siguiente:

Un único número de superficie para las superficies que van a trabajar en contacto.

El tipo de elementos a utilizar y los datos de estos en la pantalla “Global” de Algor.

Después de que la pantalla de contacto superficie-superficie aparece, se utilizan

las opciones desplegables en “Available Groups for Contact” para especificar el

grupo y la superficie para el primer grupo en contacto. Después, se selecciona el número del grupo y el numero de superficie para el segundo grupo en contacto.

Para especificar los parámetros para el contacto entre superficie-superficie, se debe hacer “click” en la columna con nombre “Parameters” para el par de superficies en contacto de interes. Las opciones más importantes que se utilizan para el

modelado de la unión cubo-flecha con este tipo de elementos son:

1 “General”, en esta opción se introducen los datos de:

Tolerancia de contacto, la que es la distancia entre los grupos a la cual el contacto se inicia.

Rigidez de contacto, es la rigidez utilizada para la simulación numérica del contacto. Esta es normalmente el promedio de las rigideces de los materiales que están en contacto.

42

Modelado

2 “Friction”, para esta opción se introducen los siguientes datos:

Efectos de fricción incluidos, esta opción se activa para incluir la fricción

en los cálculos.

Coeficiente de fricción estática, coeficiente de fricción utilizado cuando no

existe movimiento relativo entre las superficies en contacto.

Coeficiente de fricción dinámico, coeficiente de fricción utilizado cuando

existe movimiento relativo entre las superficies en contacto.

3 “Advanced”, en esta opción se introduce el dato de:

Tipo de contacto, indica ya sea que el contacto ocurre cuando los nodos

del segundo grupo intentan pasar a través de la superficie del primer grupo (“Point to Surface”), o ya sea que se previene que los nodos de las dos superficies pasen a través de otras superficies, (“Surface to Surface”).

Los desplazamientos prescritos permiten definir desplazamientos nodaies. Para aplicar un desplazamiento nodal se debe seleccionar un vector (para especificar

una dirección), una magnitud, una curva de carga y de un rango de actividad (se

especifica el intervalo de tiempo en el que el desplazamiento del nodo esta activo).

Todos los datos de los desplazamientos prescritos se definen en la pantaila “Prescibed Displacements” la que se ubica en el menú desplegable ”FEA Add” en la opción ”Nonlinear Extensions” de “Stress and Vibration Análisis”.

Para el modelado se realizan los siguientes pasos:

1. Se crean las condiciones de trabajo para tal, se define el parámetro de tolerancia de comparación en lxlO-~O y se selecciona la vista predefmida Y2 derecha.

2. Se dibujan la geometría del cubo y de la flecha en dos dimensiones en el plano Y2 derecho, (para el caso del cubo con aristas planas, para las otras dos geometrías se dibuja el perfil del cubo en el plano X Z derecho) utilizando

~

43

Modelado

las herramientas CAD de Algor, ambas piezas se definen en grupos diferentes y tienen un diámetro en la zona de contacto de 0.02505m.

3. Se elabora el mallado, tanto del cubo como de la flecha.

4. Se ubican las geometrías en las coordenadas correspondientes y se realizan las copias de los elementos de manera independiente para obtener el modelo.

5. Se definen las superfkies de contacto.

6 . Se introducen los desplazamientos prescritos con un valor de 2.5xlOsm en los nodos del cubo y de la flecha.

7. Se introducen las condiciones de frontera para la mitad del cubo generado para el modelo.

8. Se definen las propiedades de los elementos, para tal se secciona el tipo de elemento ladrillo para el cubo y flecha, y en la columna “material” se selecciona el acero AIS1 4140.

9. Se incluyen las fuerzas que generan el torque o el momento flexionante.

10.Se introducen los datos de entrada para definir el contacto, para tal fin se

utiliza el menú desplegable “FEA Add: Stress and Vibration Análisis: Nonlinear Extensions: General Surface-to-Surface Contact”.

11.Por último dentro de “Global”, se definen los parámetros que se desean

obtener en los archivos de salida después de haber realizado los cálculos.

Con el modelado de las geometrías por medio de desplazamientos prescritos con elementos de contacto en la interface, zona de contacto cubo-flecha, se obtuvieron resultados satisfactorios en comparación con los obtenidos con

elementos Gap y se verificó el coeficiente de concentración de esfuerzos del modelo con cubo con aristas planas utilizado por Peterson y Wahl (ver figura 1.7 del capítulo I ) , con simulación numérica se obtuvo un valor de 1.9667 mientras que Peterson y Wahl encontraron un valor de 1.95 por fotoelasticidad lo que resulta en

44

Modelado

una diferencia de un 0.85%. Como se indicó en la sección 3.1 para el modelado se

analizaran dos situaciones, en la primera se considera que el cubo se tiene

restringidos totalmente una línea de nodos longitudinal, con lo que se obtiene un modelo discreto de la situación de un diente empujando a otro diente (pinón-

rueda), en la segunda situación, se restringen los grados de libertad de la mitad de los nodos de la periferia del cubo, con lo que se intenta tener una situación similar de modelado al modelo real de un cubo impulsor o impulsado por una banda

flexible. para cada una de las

condiciones de carga que se detallan en la tabla 1, tanto para condiciones de momento flexión-torsión independientes como para condiciones combinadas.

Así, se realizaron las simulaciones numéricas

El modelo final que se presenta en la figura 3.11 incluyó 192 desplazamientos prescritos, las condiciones de frontera de la parte donde se reaiizó el corte para generar la mitad de la geometría total (por condiciones de simetría del

modelo) se restringen únicamente para la traslación en el eje X. Las traslaciones en el eje Y y Z se dejan libres para que el modelo pueda desplazarse en esos sentidos

por el efecto de la interferencia de la unión. Estas condiciones de frontera se observawen la figura 3.11, es importante poner atención a la linea de nodos del cubo (orientados hacia el eje Z) que están restringidos totalmente.

... ..

Figura 3.11 Condiciones de frontera para el modelo tridimensional con contacto en la interfz de la unión.

,

45

Modelado

3.4 Simulación numérica del modelo

Después del proceso de generación de la geometría de la unión y de la aplicación de las cargas y las condiciones de frontera del modelo, Algor concierte la

información proporcionada por el usuario en un conjunto de ecuaciones elásticas

que son resueltas luego para obtener los desplazamientos y por tanto también, esfuerzos. Este proceso de conversión se logra usando el subprograma de Algor

llamado ”Stress Decoder” (Decods). En el Decodificador de esfuerzos, el usuario proporciona los datos del modelo de elemento finito como el tipo del elemento, el

orden de formulación de elemento deseado, temperatura, densidad del material, la razón de Poisson y el módulo elástico.

El programa usa esta información para crear un banco de datos maestro de

información sobre el modelo que es utilizado entonces directamente por el “solver”

de Algor para calcular los esfuerzos y deformaciones. El proceso de modelado de la unión cubo-flecha con desplazamientos prescritos y con elementos de contacto en la interfaz de la unión por interferencia se terminó con buenos resultados que

permiten la simulación numérica de la transmisión de la flexión y el torque por la unión cubo-flecha. En el siguiente capítulo se presentan los resultados obtenidos con los modelos axisimétricos, la comprobación de los resultados obtenidos por

fotoelasticidad con el modelo del cubo con aristas planas realizado por Peterson y Wahl, Norton (1999), y los modelos de las tres geométrias analizadas con

desplazamientos prescritos y elementos de contacto.

46

Resultados

Capítulo 4

RESULTADOS

4.1 Resultados obtenidos con elementos misimbtrfcos

Con el fin de comparar los resultados analíticos contra los resultados

obtenidos mediante el modelado en elemento finito y de determinar los coeficientes de concentración de esfuerzos entre el modelo plano y los otros dos modelos, se

realzaron las simulaciones de las tres configuraciones de la figura 1.5 a velocidades de O, 1200, 2400, 3600, 12000, 18000, 25000, 30000 y 36000 revoluciones por

minuto utilizando elementos axisimétricos.

En la tabla 2 se representan los esfuerzos obtenidos en las simulaciones para

los diferentes regímenes de velocidad.

Para realizar los cálculos analíticos se obtienen los esfuerzos tangenciaies y radiales por medio de las ecuaciones (20) y (Zl), el esfuerzo resultante de Von Mises se obtiene ai incluir estos en la ecuación (45) del capítulo 2. En los casos donde se incluye el efecto de la fuerza centrifuga se utilizan las ecuaciones (31)-(32) y el

esfuerzo resultante se obtiene con la ecuación (45), también del capítulo 2 . La zona donde se obtienen los esfuerzos para calcular los coeficientes de concentración de

47

. . Resultados

esfuerzos es la zona donde inicia el contacto entre el cubo y la flecha, ya que es la

zona donde se da la máxima concentración de esfuerzos en la junta.

De los datos para las tres geometrías a velocidad cero se calculan los

coeficientes de concentración de esfuerzos, donde el valor del esfuerzo nominal se toma como el esfuerzo para la geometría plana, mientras que los esfuerzos para los

otros dos casos se toman como los esfuerzos máximos, así se obtiene un coeficiente

de concentración de esfuerzos, K t = ~ m a x / ~ n o m , de 0.96 para el caso del cubo con

radio de 1.9mm y de 1.27 para el caso con ranura semicircular de 3.8mm de radio.

Tabla 4.1. Esfuenos equivalentes de Van Mises obtenidos con elementos axisimetncos para las tres

geomeirias del cubo a diferentes velocidades en la zona de contacto

Esfuerzos obtenidos según configuración geométrica

48

. ..~ Resultados . .. . . .

La tabla 4.1 presenta los esfuerzos máximos de Von Mises obtenidos por

simulación numérica con elementos axisimétricos para las tres geometnas del cubo a diferentes velocidades en la zona de contacto. En ella se observa que para las

geometrias en estudio se obtienen esfu'erzos por menores que el esfuerzo de

fluencia para regímenes de velocidad por debajo de 30000rpm, excepto para la

geometría con ranura de radio de 3.8mm. Los coeficientes de concentración de

esfuerzos para los esfuerzos de Von Mises se mantienen para el intervalo de O a 3600 rpm, para velocidades mayores el coeficiente de concentración de esfuerzos

para la geometría del cubo con radio de 1.9mm tiene un comportamiento ascendente (0.97 para 12000 rpm y 0.99 para 36000 rpm), al contrario, la geometría

con ranura de 3.8mm de radio presenta un comportamiento descendente (1.24 para

12000 rpm y 1.08 a 36000 rpm), este comportamiento se debe a que la zona con

máxima concentración de esfuerzos se obtiene en el punto donde inicia el contacto

entre el cubo Y la flecha de la junta por interferencia, como consecuencia, al aumentar la velocidad por el efecto de la fuerza centrífuga la junta con ranura de

3Jhm al ser más elástica presenta una reducción gradual del esfuerzo máximo en

esta..zona,. mientraS..qUe. d aumentar la velocidad para la geometría con radio de 1.9mm la máxima concentración de esfuerzos se desplaza de la zona de contacto a

la zona central del cubo (efecto de la fuerza centrífuga).

La tabla 4.2 resume los valores analíticos de los esfuerzos equivalentes de

Von Mises. Los valores de esfuerzo para regímenes de velocidad de 1200 a 36000 se

calculan tomando el valor del esfuerzo equivalente a Orpm y se les suma el esfuerzo resultante del efecto de inercia debido a la velocidad. Los coeficientes de

concentración de esfuerzos se comportan de manera similar a 10s obtenidos Por simulación numérica. h s esfuerzos resultantes, también, son menores que el esfueru, de fluencia para el acero AIS1 4140 hasta 30000 rpm, a excepción

esfueru, equivalente para la geometría con ranura de 3.8mm

Resultados . .

Plano

Tabla 4.3. Esfuerzos de Von Mises analiticos obtenidos para las tres configuraciones en la zona de contacto para diferentes velocidades

Radio de 1.9mm Ranura 3.8mm de radio

Velocidad(rpm)

398.80

447.28

O

385.09 495.04

433.57 543.52

1200

2400

3600

12000

18000

25000

30000

36000

I 346.30 I 456.26 360.01

I 346.69 I 456.65 360.40

I 347.85 I 457.81 361.56

I I 459.75 363.50 349.79

I I 624.59 528.35 514.63

I I 698.66 602.41 588.70

I I 805.31 709.07 695.36

Con los resultados de las tablas 4.1 y 4.2 se obtiene la tabla 4.3, en la que se

presenta el porcentaje de error obtenido entre los valores de los esfuerzos

equivalentes de Von Mises teóricos versus los resultados obtenidos de manera numérica con el paquete de elementos fmitos Algor.

50

Resultados

Velocidad(rpm)

Tabla 4.3. Porcentajes de error obtenidos para los esfuerzos de Von Mises calculados con Algor y los obtenidos de manera analítica en la zona de contacto.

Porcentaje de error

(Yo)

Plano Radio de 1.9mm Ranura 3.8mm de radio

De los datos de la tabla anterior se pueden hacer las siguientes

observaciones,

. El porcentaje de error para las tres configuraciones es prácticamente es

cero hasta 3600 rprn.

A partir de 12000 el efecto de inercia hace que los porcentajes sean mayores.

Las desviaciones para el caso de la ranura con radio de 3.8mm siempre

son positivas, lo que indica que el efecto de inercia hace que se reduzcan los valores del esfuerzo equivalente de Von Mises en la zona donde inicia el contacto obtenido por Algor.

.

.

Resultados

Los datos de las tablas 4.1, 4.2 y 4.3 se presentan graiicados en el apéndice A. En el gráfico 5 de esta sección se puede observar la reducción de los esfuerzos pa velocidades mayores, lo que indica que la inercia hace que la zona donde se incia el contacto sean menores.

En las figuras 4.1 y 4.2 se observan las distribuciones de esfuerzos para las

geometrías a O revoluciones por minuto y a 36000 revoluciones por minuto, el

máximo esfuerzo resultante de Von Mises para velocidades menores o iguales se

obtiene en la zona donde se inicia el contacto para la unión.

Ai comparar la figura 4. la con la figura 4.2a se observa que la máxima

concentración de esfuerzos para el .primer caso se obtiene en la arista donde se aplica la presión, para el caso donde se tiene fuerza centrífuga, el esfuerzo inducido

por rotación hace que el máximo esfuerzo equivalente de Von Mises se obtenga en

esa misma arista pero en el centro de la misma.

Para las figuras 4. lb y 4.2b se obtienen los máximos esfuerzos en la zona

central de la superficie donde se aplica la presión, para ambos casos es debido al efecto del radio, la geometria da como resultado la no aplicación de presión en las

zonas donde esta el radio, por lo que la presión se concentra hacia el centro.

En las figuras 4.lc y 4 . 2 ~ se obtienen comportamientos iguales, ya que la

máxima concentración de esfuerzos se obtiene en la zona de contacto en el punto

donde inicia el cubo.

52

Resultados

Figura 4.1. A la izquierda se presentan las zonas donde se localiza las máximas concentraciones de esfuerzo para geometrías con elementos axisimétricos a velocidad cero, a la derecha la distribución de esfuerzos para estas geometrías, alcubo plano, b)cubo con radio de 1.9mm y, c)cubo con ranura de 3.8mm de radio.

53

Resultados

c)

Figura 4.2. A la izquierda se presentan las zonas donde se localiza las máximas concentraciones de esfuerzo y a la derecha la distcibucion de esfuenos para geometrías con elementos axisimétricos, a 36000 rpm, a)cubo plano, b]cubo con radio de 1.9mm y? c)cubo con ranura de 3.8mm de radio.

54

..

. . Resultados . .

4.2 Modelado en elemento finito de la geometna del cubo con aristas utilizada por Peterson y Wahi.

Para verificar los valores de los esfuerzos equivalentes obtenidos por

simulación numérica se procedió a obtener el modelo de la geometría utilizada por

Peterson y Wahl en el año de 1935 (ver figural.7 del capítulo I). Para iealizar este modelo se deben de tomar en cuenta las condiciones experimentales utilizadas.

Peterson y Wahl utilizaron dos placas planas de material birrefringente a las que aplicaban presión en la parte superior y mantienen en apoyo rijo la superficie

inferior. Para estas condiciones ellos determinaron la presión promedio en la zona

de contacto, presión que se utiliza para calcular el desplazamiento prescrito, las

condiciones utilizadas en laboratorio por estos dos investigadores son equivalentes a

tener un cubo con grados de libertad totalmente restringidos en todos los nodos de su periferia En la figura 4.3 se muestra el modelo discreto utilizado para la simulación numérica.

Figura 4.3. Condiciones de írontera utilizadas para realizar el modelo con las condiciones utilizadas por Peterson y Wahl.

55

Resultados

Para realizar este modelo se siguió el procedimiento descrito en la sección 3.4

del capítulo 3, el diámetro de la flecha y el diámetro interno del cubo tienen una dimensión de 0.041305m, los desplazamientos prescritos son de 1.5xIO-Sm, con los que se obtiene una presión en la zona de contacto de 117.93MPa. El cálculo

anaiítico del momento para obtener una relación de 1.36 entre el esfuerzo nominal

flexionante en la flecha dividido entre la presión ejercida por el cubo sobre la flecha,

esto es a,,/p=1.36, es de 11 10.69Nm, con lo que se obtiene una fuerza de flexión

de 5553.10N para la flecha con claro de 0.22m.

Los esfuerzos resultantes se presentan en la figura 4.4. En la figura 4.4a se presenta la distribución de esfuerzos para la junta por interferencia y en la figura 4.4b se presenta la distribución de esfuerzos para la junta cuando se aplica la

fuerza de 5553.10N.

I I nJlus5

Figura 4.4. Distribución de esfuenos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl, aljunta sin momenm de flexión aplicado, b) junta con momento de flexión aplicado de 5553.10N.

El valor obtenido con Algor de los esfuerzos equivalentes de Von Mises es de 313.366MPa para el caso que se muestra en la figura 4.4a y de 616.32MPa cuando se aplica el momento flexionante, con estos dos valores se obtiene un coeficiente de concentración de esfuerzos de 1.97. Al comparar el valor de 1.95 obtenido por

56

Resultados

Peterson y Wahl, con el de 1.97 obtenido por simulación numérica se obtiene una diferencia de un 0.86%.

La misma geometría se modeló con las condiciones de frontera utilizadas para

esta investigación(ver sección 3.1 del capítulo 3), cuando se considera que el cubo

tiene restringidos totalmente una línea de nodos longitudinal, con lo se obtiene un

modelo discreto de la situación cuando un diente empuja a otro diente (piñón-

rueda), en la segunda situación, se restringen los grados de libertad de la mitad de los nodos de la periferia del cubo, con lo que se intenta tener una situación similar

del modelo real de un cubo impulsor o impulsado por una banda flexible.

En al figura 4.5, se presentan los resultados obtenidos cuando se restringen

todos los grados de libertad en una fila de nodos.

Figura 4.5. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl cuando se restringen los grados de libertad de una fda de ncdos en el cubo, abunta por interferencia, b) junta con momento de flexión aplicado de 5553.10N.

Los valores de los esfuerzos obtenidos por simulación numérica son de 263.771MPa para la junta por interferencia y de 349.91MPa cuando se aplica el momento flexionante de 5553.10Nm. Con lo que se obtiene un coeficiente de concentración de esfuerzos de 1.33.

La figura 4.6, muestra la distribución de esfuerzos obtenida cuando se restringen todos los grados de libertad de la mitad de los nodos exteriores del cubo.

57

Resultados

Figura 4.6. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl cuando se restringen los grados de libertad de la mitad de los ncdos extenores en el cubo, agunta por interferencia, b) junta con momento de flexión aplicado de 5553.10N.

Los valores de los esfuerzos obtenidos por simulación numérica para este caso

son de 387.89MPa para la junta por interferencia y de 576.92MPa cuando se aplica

el momento flexionante de 5553. lONm, obteniéndose un coeficiente de

concentración de esfuerzos de 1.49.

En resumen el modelado con el software comercial Algor de la junta por interferencia con desplazamientos prescritos da resultados que varían en 0.86% de

los obtenidos por fotoelasticidad por Peterson y Wahl, de tal manera que el

procedimiento es válido para obtener los coeficientes de concentración de esfuerzos para las geometrias de la figura 1.5 del capítulo 1. Además, los esfuerzos máximos equivalentes de Von Mises resultantes así como los coeficientes de concentración de esfuerzos en la junta dependen de las condiciones de frontera en el modelo como se observa en la figura 4.7.

58

I Resultados

Figura 4.7. Distribución de esfuerzos obtenidos por simulación numérica para el modelo utilizado por Peterson y Wahl cuando se tienen diferentes condiciones de frontera, a)Nodos externos del cubo totalmente restringidos, b) con fila de nodos externos con todos sus grados de libertad restringidos y c)con la mitad de los nodos restringidos.

4.3 Resultados ohnidos con despíazarnientos prescritos y elementos de contacto para la geometría del cubo con aristas plan&.

En las siguientes secciones se detaiian los resultados obtenidos en las simulaciones numéricas para las geometrias bajo las dos condiciones de frontera

estudiadas.

4.3.1 Cubo con sujeción en una fila de nodos.

En la figura 4.8a se presenta el modelo del cubo con aristas planas, en esta modelación se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises de 360.78MPa, al compara este valor con el obtenido con elementos axisimétxicos (360.01MPa) y el valor teórico de 359.74MPa se obtuvo una diferencia de 0.21% y 0.29 respectivamente. También en esta figura, se observa un detalle de un corte que presenta la distribución de esfuerzos de la junta en su interior, la zona donde se localiza la máxima concentración de esfuerzos es el sitio de la interface donde inicia

59

. . Resultados

el cubo; al comparar la figura 4.8b con la figura 1.6 del capítulo 1 se obsenra que la distribución de los esfuerzos obtenida por Peterson y Wahl por medio de

fotoelasticidad es similar.

Figura. 4.8. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con aristas pianas cuando se restringe su movimiento en una fia de nodos.

A continuación en la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos de los esfuerzos para la modelación del sistema con el cubo con caras planas con una fila

de nodos totalmente restringidos, bajo el efecto de momentos de torsión, flexión y la combinación de torsión-flexión para obtener una relación entre la presión de ajuste

en la zona de contract0 versus el esfuerzo nominal a flexión-torsión de 1.00, 0.80, 0.40, 0.20.

En la tabla 4.4 se obtienen que es mayor el esfuerzo obtenido por torsión que el obtenido por flexión para relaciones de presión de ajuste entre el esfuerzo nominal de 0.20 y 0.40, lo contrario ocurre para los otros dos casos.

La tabla 4.5 lista los valores de los coeficientes de concentración de esfuerzos,

k, =%,que se obtienen para los esfuerzos resultantes bajo las diferentes

condiciones de carga. El valor del esfuerzo nominal es el valor obtenido para la junta

ffnom

60

Resultados

Momento a torsión

(Nm)

cuando no se han aplicado cargas, 359.74MPa, y el valor del esfuerzo máximo es el

que se tabula en las c o l u m n a s 4,5 y 6 de l a t a b l a 4.4.

Esfuerzo a torsión

( M W

Tabla 4.4. Esfuenos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con aristas planas con 10s grados de libertad restringidos en una fila de nodos

Presión ajuste J esfueno nominal

0.20

0.40

0.80

1 .o0

Momento a flexión

(Nm)

430.29

860.58

172 1.17

2 15 1.47

860.58 380.81

1721.16 394.82

3442.33 464.65

4302.91 507.55

Esfuerzo flexión

(MPa)

389.36

404.67

451.27

475.37

Esfuerzo lexión-torsión

(Pa)

393.77

431.40

534.86

59 1.86

Tabla 4.5. Coeficientes de concentración de esfuenos obtenidos para las relaciones de presión de ajuste en la interface versus el esfueno nominal a flexión-torsión con restricción total de los grados de libertad en una fila de nodos del cubo.

flexión-torsión

En la tabla 4.5 se observa que el coeficiente de concentración de esfuerzos para el caso de torsión se incrementa en 0.35, para el caso de flexión en 0.24 y para

el caso de tors ión y flexión combinados en 0.55.

61

Resultados

4.3.2 Cubo con la mitad de los nodos exteriores totalmente restringidos.

La figura 4.9 muestra el modelo del cubo con caras planas con la mitad de los nodos totalmente restringidos. Con esta modelación se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises de 422.53MPa, este valor de esfuerzo es mayor que el obtenido para el caso anterior como consecuencia de haberse modificado las condiciones de frontera.

El máximo esfuerzo de Von Mises en la junta se obtiene en a zona donde se inicia la interferencia.

Figura. 4.9. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo recto cuando se restringen todos los grados de libertad en a mitad de los nodos periféncos del cubo.

La tabla 4.6 resume los valores de los esfuerzos obtenidos para la modelación del sistema, bajo el efecto de momentos de torsión, flexión y la combinación de torsión-fiexión.

La tabla 4.7 lista los valores de los coeficientes de concentración de esfuerzos que se obtienen para los esfuerzos resultantes bajo las diferentes condiciones de carga, para este caso se toma el valor de 422.53MPa como el esfuerzo nominal y los esfuerzos máximos son los obtenidos cuando se aplican los momentos.

62

Resultados

~~

Esfuerzo a torsión

( M W

Tabla 4.6. Esluerzos de Yon Mises obtenidos en la zona de contacto por simulación numérica con

Algor para el cubo con aristas planas con la mitad de los nodos exteriores del cubo restringidos

Esfuerzo flexión

( M W

Presión ajuste/

esfuerzo nominal

4302.9 1

I 0.20

1.36 1.32

I 0.40

I 0.80

I 1.00

Momento a flexión

(Nm)

430.29

860.58

1721.17

2 151.47

Momento a torsión

(Nm)

860.58

1721.16

430.0 1 441.41

441.61 461.71

3442.33 I ,505.08 1 505.84

4302.91 I 546.80 I 529.36

Esfuerzo flexión-torsión

(Pa)

432.32

447.40

544.87

599.49

De la tabla 4.6 se observa que el esfuerzo a flexión para todos los tres primeros casos de carga es mayor que el esfuerzo a torsión, lo que indica que ai

sujetarse la mitad de los nodos exteriores del cubo la junta se comporta de manera

menos elástica que cuando se sujeta una línea de nodos.

Tabla 4.7. Coeficientes de concentración de esfuenos obtenidos para las relaciones de presión de

ajuste en la interface versus el esfueno nominal a flexión-torsión con la mitad de los nodos extenores del cubo restringidos.

flexión esfueno nominal

0.20 430.29

860.58

1721.17

I 1.00 1 2151.47

Momento a torsión

torsión flexión

860.58

1721.16 1.15

K t flexión-torsión

1.13

1.12

1.36

1.49

63

Resultados

4.4 Resultados obtenidos de las modeladones para el caso de la g e o w ’ a con radio de 1.9mm.

4.4.1 Cubo con sujeción en una füa de nodos.

En la figura 4.10a se presenta el modelo con un radio de 1.9mm, en esta modelación se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises de 346.38MPa. L a figura 4.10b presenta un corte longitudinal que muestra la distribución de esfuerzos de la

junta en su interior, la zona donde se localiza la máxima concentración de esfuerzos en esta figura es el sitio de la interface donde inicia el cubo. Si se compara la

distribución de esfuerzos con los obtenidos para el caso de cubo con aristas planas, (ver figura 4.8) se observa que los esfuerzos máximos se localizan en una pequeiia

zona mientras que para el cubo con aristas planas se obtiene una mejor distribución de los esfuerzos, aunque con esta geometría cuando no se aplican cargas se obtiene esfuerzos equivalentes de Von Mises menores que para el caso del cubo sin ninguna modiiicación.

Figura. 4.10 Distribución de esfuenos obtenida para el caso del cubo con radio de 1.9mm cuando se restringe su movimiento en una fda de nodos, a]geometría tridimensional, b) corte.

64

Resultados

430.29

860.58

1721.17

2151.47

La tabla 4.8 presenta los valores de los esfuerzos obtenidos para la

modelación del sistema bajo el efecto de momentos de torsión, flexión y la

combinación de torsión-flexión. . En la tabla 4.9 se listan los valores de los coeficientes de concentración de

esfuerzos, obtenidos para los esfuerzos resultantes bajo las diferentes condiciones de carga, como esfuerzo nominal se toma el valor de 346.302MPa, y como esfuerzos máximos los obtenidos en el sistema cuando se aplican los diferentes valores de los

momentos. Ai analizar los valores de los coeficientes de concentración de esfuerzos

que se obtienen para esta junta en torsión, se observa que son altos al compararlos

con los obtenidos con el cubo con aristas planas, el aumento en el esfuerzo resultante es de un 63 por ciento lo que obedece a que al realizar un radio en el cubo el área de contacto entre las piezas disminuye, entonces al disminuir el área el

torque que la junta puede transmitir se reduce, así se obtiene un aumento en el

esfuerzo cuando se aplica un momento torsional. Cuando se aplica flexión el radio ayuda a que se deflexione la flecha, obteniéndose así que los valores de los esfuerzos equivalentes son mayores.

860.58 355.89

1721.16 391.63

3442.33 501.65

4302.91 585.87

Tabla 4.8. Esfuenos de Von Mises obtenidos por simulación numérica para la geometria con el cubo

con radio de 1.9mm cuando se restringen todos los grados de libertad en una fila de nodos del cubo.

Presiónajuste/ 1 Momentoa I Momentoa I Esfuerzos torsión I torsión I flexión esfuerzo nominal I

0.20

0.40

0.80

1 .o0

Esfuerzo flexión

í M W

367.89

394.00

496.47

550.62

Esfuerzo

376.60

437.97

627.69

730.84

65

Resultados

Momento a Momento a K t K t flexión torsión torsión flexión (Nm)

Tabla 4.9. Coeficientes de concentracion de esfuerzos obtenidos para la junta por interferencia con radio de 1.9mm cuando se sujeta el cubo en una fila de nodos.

Kt

flexión-torsión Presión ajuste/

esfuerzo nominal

0.20

0.40

0.80

1 .o0

430.29 860.58 1 .O3 1 .O6 1 .o9

860.58 1721.16 1.13 1.14 1.26

1721.17 3442.33 1.45 1.43 1.81

2 15 1.47 4302.91 1.69 1.59 2.11

Si se comparan los datos de la tabla 4.9 los de la tabla 4.7 se obtiene que

para el caso de carga con una relación de presión entre esfuerzo nominal igual a 1,

para flexión y torsión se aumenta el coeficiente de concentración de esfuerzos en un 20 'YO y para el caso de torsión y flexión combinados se aumenta en un 28%.

4.4.2 Cubo con la mitad de los nodos exteriores del cubo totalmente restringidos.

La figura 4.11 muestra el modelo del cubo radio de 1.9- con la mitad de

los nodos totalmente restringidos. Con esta modelación se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises de 397.06MPa, este valor de esfuerzo es mayor que el

obtenido para el caso anterior, situación análoga se presenta con la geometna del cubo con caras planas, como consecuencia de haberse modificado las condiciones de frontera. La distribución de esfuerzos al interior de la junta se muestra en la figura 4.12.

66

Resultados

Figura 4.11. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con radio de 1.9mm cuando se restringen todos los grados de libertad en a mitad de los nodos exteriores del cubo.

La tabla 4.10 resume los valores de los esfuerzos obtenidos para la modelación del sistema, bajo el efecto de momentos de torsión, flexión y la

combinación de torsión-flexión. Como en el caso del cubo con aristas planas cuando se sujeta la mitad de los nodos extenores se aumenta el esfuerzo máximo.

La tabla 4.11 lis& los valores de los coeficientes de concentración de esfuerzos que se obtienen para los esfuerzos resultantes bajo las diferentes condiciones de carga, para este caso se toma el valor de 422.53MPa como el esfuerzo nominal y los esfuerzos máximos son los obtenidos cuando se aplican los momentos.

Como en el caso donde se sujeta una fila de nodos, los coeficientes de concentración de esfuerzos son mayores que los obtenidos con la geometría con aristas planas del cubo. Ai cambiar las condiciones de frontera el esfuerzo máximo de Von Mises aumenta pero el sistema tiene un mejor comportamiento ante las cargas de torsión y flexión, ver tablas 4.5, 4.7,4.9 y 4.1 1.

Resultados

Presión ajuste/

esfuerzo nominal

0.20

0.40

0.80

1 .o0

Tabla 4.10. Esfuerzos de Von Mises obtenidos por simulación numérica para la junta por interferencia con un radio de 1.9mm cuando se restringen todos los grados de libertad en la mitad de los nodos extenores del cubo.

Momento a Momento a Esfuerzo a Esfuerzo Esfuerzo flexión torsión torsión flexión flexión-torsión

(Nm) (Nm) (MPai (MPa) (Pa)

430.29 860.58 418.40 434.76 415.27

860.58 1721.16 454.36 476.16 472.23

172 1.17 3442.33 570.39 566.77 560.39

2 151.47 4302.91 637.56 614.86 762.85

Momento a torsión

860.58

1721.16

3442.33

4302.91

Tabla 4.11. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para la junta por interferencia con radio de 1.9mm cuando se sujetan la mitad de los nodos del cubo.

Kt Kt

torsión flexión

1 .O5 1 .o9

1.14 1.19

1.44 1.43

1.61 1.55

flexión esfuerzo nominal

1 0.20 I 430.29

I 0.40 I 860.58

I 0.80 I 1721.17

I 1.00 I 2151.47

Kt

flexión-torsión

1 . O 5

1.19

1.41

1.92

68

Resultados

4.4 Resultados para el caso de lar geometn'a con ranurn de 3.8mm de d i o .

4.4.1 Cubo con sujeción en una fila de nodos.

Para este caso de modelado se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises de 455.98MPa, si se compara este valor con el obtenido con elementos axisimetricos (456.26MPa) se obtuvo una diferencia de 0.21%. En la figura 4.12 se observa un

corte longitudinal que presenta la distribución de esfuerzos de la junta en SU

interior, en éste se puede observar que existe una mejor distribución de esfuerzos en esta junta respecto de las distribuciones del cubo con radio de 1.9mm y el cubo con aristas planas, aunque el esfuerzo máximo es mayor en un 26.39% respecto de la geometría con aristas planas y de un 31.72% mayor que en el caso del cubo con

radio de 1.9mm cuando en la junta no se aplica carga. Como en todos los casos la zona de máxima concentración de esfuerzos es la zona donde se inicia la interferencia entre el cubo y la flecha. En la tabla 4.13 se listan los coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para esta junta, estos coeficientes son menores que los obtenidos para el caso de las otras dos juntas cuando se tienen las

mismas condiciones de frontera (ver tabla 4.5 y 4.9). Por lo que esta geometría es más flexible ante cargas de torsión y flexión por lo que responde mejor a condiciones dinámicas.

Figura 4.13. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con ranura de 3.8mm.

69

Resultados

Presión ajuste/ Momento a Momento a Esfuerzo a Esfuerzo flexión torsión torsión flexión esfuerzo nominal (Nm) (Nmi ( M W (MP4

0.20 430.29 860.58 460.22 480.61

0.40 860.58 1721.16 480.07 506.96

0.80 1721.17 3442.33 539.71 563.72

1.00 2 15 1.47 4302.91 576.84 593.68

Esfuerzo flexión-torsión

(Pa)

484.58

524.61

628.38

686.73

Tabla 4.13.Coeficientes de concentración de esfuenos obtenidos para la unión por interferencia cuando se restringen todos los grados de libertad en una fila de nodos.

Presión ajuste/

nominal

0.20

0.40

0.80

1 .o0

esfuerzo

~~~~ ~~

Momento a Momento a Kt Kt K t flexión torsión torsión flexión flexión-torsión iNm1

430.29 860.58 1.01 1.051 1 .O6

860.58 1721.16 1.051 1.111 1.15

1721.17 3442.33 1.181 1.24 1.38

2 15 1.47 4302.91 1.261 1.30 1.51

4.4.2 Cubo con sujeción en la mitad de los nodos exteriores.

Para esta modelación se obtuvo un esfuerzo máximo de Von Mises d e

489.41MPa. Al igual que con las d o s geometr ías anter iores se obtienen esfuerzos de

Von Mises mayores c u a n d o se restringen los g rados de libertad de la mi tad de los

70

Resultados

nodos exteriores del cubo. También los coeficientes de concentración de esfuerzos

se reducen respecto de la condición cuando se restringen todos los grados de libertad de la una fila de nodos. En la tabla 4.14 se presentan los valores de los

esfuerzos equivalentes de Von Mises para las diferentes condiciones de carga.

En la tabla 4.15 se listan los valores de los coeficientes de concentración de

esfuerzos obtenidos al dividir los valores de esfuerzos de Von Mises para las diferentes condiciones de carga entre el valor de 489.41MPa obtenido al realizar la junta por interferencia. Los coeficientes encontrados son menores que los calculados cuando se sujeta el cubo en una fiia de nodos, como en todos los

modelos analizados.

En la figura 4.14a se presenta la distribución de esfuerzos obtenidos en la junta y en la 4.14b la distribución de esfuerzos al interior de la junta.

a) bl

Figura. 4.14. Distribución de esfuerzos obtenida para el caso del cubo con ranura de 3.8mm con sujeción de la mitad de los nodos de la periferia, alvista completa, b)corte.

71

Resultados

Momento a íiexión

(Nm)

Tabla 4.14. Esfuerzos de Von Mises obtenidos con Algor para la junta por interferencia con ranura de 3.8mm de radio cuando se restringe todos los grados de libertad de la mitad de los nodos exteriores del cubo.

Momento a Esfueno a torsión torsión

(Nm) iMP4

Presión ajuste/

esfuerzo nominal

Momento a torsión

860.58

I 0.40

Kt Kt K t

torsión íiexión íiexión-torsión

1 .O3 1.05 1 .O4

I 0.80

1721.16

3442.33

4302.91

1.00 I

1 .O7 1 .o9 1.11

1.20 1.21 1.31

1.28 1.27 1.42

~~

430.29 1 860.58 1 503.67

860.58 I 1721.16 1 525.51

1721.17 I 3442.33 I 587.92

2151.47 I 4302.91 I 625.98

Esfuerzo íiexión

( M W

512.98

537.50

592.90

624.24

Esfuerzo íiexión - torsión

(Pa)

507.81

544.41

640.87

695.23

Tabla 4.15. Coeficientes de concentración de esfuerzos obtenidos para las relaciones de presión de ajuste en la interlace versus el esfuerzo nominal a flexion-torsión para el cubo con ranura de 3.8mm de radio.

Presión ajuste/

esfuerzo nominal

0.80

Momento a flexión

(Nm)

430.29

860.58

1721.17

2 151.47

72

Resultados

4.5 Comparación de los resultados obtenidos Para el modelado COR

elementos de contacto y desplazamientos prescritos Para 10s tres

modelos.

En general los esfuerzos obtenidos por simulación numérica con Algor son mayores para los modelos con la mitad de nodos de la periferia totalmente

restringidos que para los modelos con las condiciones de frontera donde se sujeta solo una fila de nodos.

La distribución de esfuerzos para las tres geometrías de la junta por

interferencia cuando no se ha aplicado carga y se restringe el cubo en una línea de nodos se muestra en la figura 4.15. Es importante observar la mejor distribución de

esfuerzos obtenidos para el caso del cubo con ranura de 3.8mm (figura 4.15c), para

las otras dos geometrías la máxima concentración de esfuerzos es mas localizada (ver figuras 4.15a y 4.15b). En general para las tres geometrías de la junta por

interferencia la zona de máxima concentración de esfuerzos se localiza en el sitio donde inicia el contacto con el cubo.

Al observar las tablas donde se listan los factores de concentración de

esfuerzos se obtiene que la elasticidad de la junta se mejora para el caso del cubo con ranura de 3.8mm, por ejemplo, para el cubo con aristas planas para la condición de la mitad de los nodos sujetos, se obtiene un coeficiente de concentración de esfuerzos de 1.36 cuando se aplica el torque y 1.32 (ver tabla 6 ) cuando se aplica la carga flexionante mientras que para la junta con ranura de

3.8mm de radio bajo las mismas condiciones de frontera se obtienen valores para el coeficiente de concentración de esfuerzos de 1.28 (ver tabla 16).

En la figura 4.16 se presenta la distribución de esfuerzos obtenida para la junta cuando se aplica el momento de torsión para una relación entre la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal a torsión igual a 1, al igual que en la figura 4.15 se observa una mejor distribución, de los esfuerzos para el caso del cubo cuando se

realiza en este una ranura de 3.8mm.

73

Resultados

Figura. 4.15. Distribución de esfuerzos obtenida la junta por interferencia, a)cubo con aristas rectas, b) cubo con radio de 1.9mm, y c) cubo con ranura de 3.8mm.

Para la geometría con radio de 1.9mm de la figura 4.16, cuando se aplica un momento torsional el esfuerzo aumenta, la razón es que al realizar el radio, el cubo

queda con una dimensión de 2.31cm la que es menor que la dimensión de 2.5 de las otras dos geometrías, así, el área de contacto que soporta el esfuerzo de torsión se disminuye mientras que se mantiene la relación de la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal a torsión igual a 1 para las tres geometrías.

Figura. 4.16. Distribución de los esfuenos resultantes de Von Mises en la junta por interferencia a torsión para una relación entre la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal a flexión- torsión igual a 1, a)cubo con aristas rectas, b) cubo con radio de 1.9mm, y c) cubo con ranura de 3.8mm.

74

Resultados

La distribución de esfuerws obtenida por simulación numérica cuando se

aplica cargas de flexión se presenta en la figura 4.17. El esfuerzo de Von Mises máximo se da en la zona donde se inicia el contacto entre la fecha y el cubo de la junta por interferencia.

Para este caso, que ai igual que en las otras dos íiguras, la mejor distribución

de esfuerzos se obtienen para la geometría del cubo con ranura de 3.8mm, aunque el esfuerzo obtenido es mayor para este caso el coeficiente de concentración de esfuerws obtenido es de 1.26(ver tabla 4.13 de la sección 4.4)

Figura. 4.17. Distribución de esfuerzos resultantes de Von Mises obtenidos en la junta por interferencia a flexión para una relación entre la presión de ajuste contra el esfuerzo nominal a flexión-torsión igual a 1, a)cubo con aristas rectas, b) cubo con radio de 1.9mm, y c) cubo con ranura de 3.8mm.

Los esfuerzos resultantes de los momentos de flexión, torsión y la combinación torsión-flexión con la geometría del radio de 1.9mm son mayores que los obtenidos en los otros dos casos. Al respecto, el esfuerzo de Von Mises resultante del momento torsinal aumenta en promedio un 15.2% cuando se compara con el modelo plano debido a que se reduce la superficie de contacto en un 7.6% como consecuencia del radio. También, cuando se aplican cargas de flexión, el radio permite que se flexione con mas facilidad la flecha, lo que conlieva a obtener esfuems más altos debido a las dtflexiones del sistema.

75

Resultados

Las distribuciones de esfuerzo obtenidos para los casos del cubo con caras planas y el cubo con ranura de 3.8mm (ver figura 4.15 de este capitulo) son

similares a las obtenidas para elementos planos por elasticidad por Peterson y Wahl (ver figura 1.6, capítulol).

Los valores de los coeficientes de concentración de esfuerzos dependen de la geometría, llama la atención que en el caso de flexión para el cubo con aristas planas se obtuvo un valor menor que el presentado en la figura 1.8 del capítulo 1,

esta diferencia es debida a las condiciones de frontera utilizadas como se demostró en la sección 4.2.

76

Conclusiones y Recomendaciones

Capítulo 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.2 Conclusiones

El anáiisis numérico de las geometrías para los casos de momento flexionarte

o torsional con razones de 1.00, 0.80, 0.40, 0.20 entre la presión de ajuste versus el esfuerzo nominal a flexión-torsión de la junta flecha-cubo se llevó a cabo con

desplazamientos prescritos y elementos de contacto en la zona de interface. De la simulación numérica con estos elementos se obtiene que el cubo con ranura de 3.8mm es la junta mas elástica y flexible para las condiciones de momentos

flexionantes, torsionales o la combinación de estos aplicados a la junta tanto para la condición de frontera cuando el cubo tiene restringidos totalmente los grados de libertad en una linea de nodos longitudinal (modelo discreto de la situación cuando un diente empuja a otro diente, piñón-rueda), o cuando se restringen los grados de libertad de la mitad de los nodos de la periferia del cubo(situación similar del modelo real de un cubo impulsor o impulsado por una banda flexible). Así, aunque el modelado fue realizado para condiciones cuasiestáticas, con base a los resultados obtenidos, se concluye que este tipo de geometría tiene un mejor comportamiento

77

Conclusiones y Recomendaaones

para los Casos de transmisión de cargas dinámicas o en sistemas donde se Presenta

fatiga.

La geometna del cubo con radio de 1.9mm da como resultado un aumento de

los esfuerzos para los tres casos de carga y para los dos casos de condiciones de frontera, debido a que el radio disminuye el k e a de contacto de la interface de la junta y el mismo radio ayuda a que se flexione la flecha ante una carga a flexión.

En este trabajo se encontraron los coeficientes de concentración de esfuerzos

para una relación longitud del cubo entre el diámetro de la flecha (L/D) igual a uno, para el caso de la junta cubo-flecha con aristas planas Peterson y Wahl por medio de un estudio fotoelástico para L /D=l , para el caso de flexión, encontraron que el valor del coeficiente de concentración de esfuerzos es de 2.2, por medio de las simulaciones numéricas hechas en este estudio se encontró que es de 1.32, esta diferencia es debida a las condiciones de frontera utilizadas.

Las distribuciones de esfuerzo obtenidos para la geometría del cubo con aristas planas y a la geometria con ranura son semejantes a las obtenidas con elementos planos por fotoelasticidad por Peterson y Wahl en el año de 1935.

Se verificó la capacidad del paquete de análisis por elemento finito Algor v. 13 para modelar la unión cubo-flecha por interferencia cuando se aplican cargas de

torsión, flexión y torsión-flexión. Los resultados obtenidos ai compararse con los resultados analiticos para el caso del cubo con aristas planas demuestran una

buena aproximación del software comparada con la solución teórica. Los elementos axisimétricos del software comercial Algor dan soluciones altamente precisas en comparación con los las soluciones analíticas clásicas, por ejemplo, para el caso de la geometría el cubo con aristas planas con la simulación numérica se obtiene un porcentaje de error de 0.08 YO respecto de los resultados teóricos.

Con este software comercial se elaboraron los modelos en elementos finitos de los elementos que conforman la junta por interferencia con los que se determinó la forma de las distribuciones de esfuerzo en la interface de contacto de la junta.

Conclusiones y Recomendaciones

La simulación numérica de la interface entre el cubo y la flecha con elemento

Gap confirmó que estos elementos se pueden usar cuando se utilizan cargas flexionantes pero no para el caso donde se aplican momentos torsionales. La

orientación de los elementos de tipo Gap determina las traslaciones de sus nodos,

por lo que este tipo de elementos cuando se orientan de manera ortogonal en el modelado de la junta cubo-flecha no permiten que se deslice la fecha. Así, la

desventaja de este elemento en el programa Algor es que solo permite la definición de fuerzas en una dirección, ya sea compresión o tensión, dejando de lado las fuerzas tangenciaies.

5.2 Recomendaciones

Para trabajos futuros se dan a continuación algunas recomendaciones:

Encontrar por simulación numérica los coeficientes de concentración de

esfuerzos para las geometrías con ranura de 3.8mm y con aristas planas

para relaciones longitud del cubo de la flecha entre el diámetro de la

flecha (L/D) iguales a 0.20,0.40, 0.60,0.80 y 1.20.

Para completar el estudio de la junta con ranura, estudiar de manera

numérica, geometnas con diferentes radios de ranura, con la ubicación de ésta a diferentes alturas a partir de la zona de contacto de la junta

cubo-flecha, para las relaciones longitud del cubo de la flecha entre el diámetro de la flecha (L/D) iguales a 0.20, 0.40, 0.60, 0.80, 1.00 y 1.20.

Para un conocimiento más amplio del funcionamiento de este tipo de unión se sugiere realizar un andisis dinámico, tanto de manera experimentan como numérica.

79

Referencias Bihlioyrúficus

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Ast, M., Rosle, H., Schenk, R., 1998, Finite element Analysis of Shrink-Fit Shaft-

Hub Connections, Voith Turbo Antriebstechnik GmbH, Germany, pp. 1- 15.

Cook, R.D., Warren C. Y.; 1985, Advanced Mechanics of Materials. Macmillan

Docutech, 2000, Technical Documentation Access and Search (Docutech), v. 13,

(CD-ROM).

Horger, O.J., Maulbetsch, J.L., 1936, Increasing the Fatigue Strength of Press-Fitted Axle Assemblies by Surface Rolling, Jounal of mechanical Design, Vol. 58, p. A-91.

Horger, O.J., Nelson, C.W., 1937, Design of Press and Shrinh-Fitted Assemblies,

Jounal of mechanical Design, Vol. 59, p. A-183.

Juvenal, R., 1967, Engineering considerations of Stress, Strain and Strength, Ed. McGraw-Hill, New York, pp. 370 - 37 1.

Norton, R., 1999, Diseno de Maquinas, Prentice-Hall, México.

Peterson, R.E.,;Wahl, A.M., 1935, Fatigue of Shafts at Fitted Members with a Related Photoelastic Analysis, Jounal of mechanical Design, Vol. 57, pp. A-1 y A-69.

Pilkey, W. D., 1997, Peterson's Stress Concentration Factors, Second Edition, John Wiley & Sons, New York.

Popov, E. P., 2000, Mecánica de Sólidos, Prentice-Hall, México.

Reshétov , D. N., 1985, Atlas de elementos de máquinas y mecanismos, CEAC, Barcelona España.

Shigley, J. E., Charles R. M., 1999, Diseño en Ingeniería Mecánica, Quinta Edición, McGraw Hill, México.

SKF, 1997, Catálogo general 4000/II Sp, Stamperia Artistica Nazionale, Torino, Italia.

80

Referencias Bibliográficas

Spyrakos, C., 1995, Finite Element Modeling in Engineering Practice, Includes Examples with Algor, Algor Publishing Division, Pittsburgh.

Ugural, A. C., Fenster, S . K., 1995, Advanced Strength and Applied Elasticity, 3th Edition, Prentice-Hall, New Jersey.

Volfson, B.P., 1983, Stress Sources and Critical Stress Combinations for Splined Shaft, Journal of Mechanical Design. Vol. 104, No. 551, pp. 65-72.

81

Apéndices

APfiNDICE A

(GRAFICAS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS POR SIMULACION NUMÉRICA

CON ELEMENTOS AXISIMI?TTRICOS)

82

Apéndices

I Esfuenos de von Mlses Te6ricos para las tres geometría a regímenes

de velocldad dlferentes

BMl.WE.6

sW.WEt6

7W.OOEtb

SW.WE.6

MO.WE.6

1 W.OOE.6

0W.WEM

t Plano

+Radio 1.9mrr

+- Ranur a 3.8mrr

Gráfico 1 . Esfuerzos de Von Mises Teóricos para las tres geometrías a regímenes de velocidad diíerentes

Gráfico 2. Esíuerms de Von Mises teórico versus esíueno de Von Mises calculado con Algor para el modelo del cubo con aristas planas.

83

Apéndices

--____ 4Calculad

con Algo

-C Te6rico

Gráfico 3. Esfuem de Von Mises teórico versus esfuerzo de Von Mises calculado con Algor para modelo con radio de 1.9mm.

+Calculado con Algor

+Te6nw

Grafico 4. Esfuerzo de Von Mises teórico versus esfuem de Von Mises calculado con Algor para modelo con ranura de 3.8mm de radio.

84

Apéndices

- 8 3

0 0.00 .- g ff 2 Y - 1 . o o . J p -2.00 __

-3.00

-4.00

Velocldad (rpm)

+Plano

t Radio 1.9mrn

t Ranura 3.8mm

Gráfico 5. Porcentajes de error obtenidos para las tres geometrías utilizando elementos axisimetncos.

85

Apéndices

APÉNDICE B

(GRÁFICAS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS POR SIMULACION NUMÉRICA

CON DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS Y ELEMENTOS DE CONTACTO)

86

Apéndices

+Esfuerzo flexión

+Esfuerzo flexión-

0.2 0.4 0.8 1 Presión nominal de ajustelesfueno nominal flexión-

torsión

Gráko 6. Esfuenos de Von Mises obtenidos en la mna de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con aristas planas con los grados de libertad restringidos en una fila de nodos, para diferentes relaciones de presión nominal de ajuste entre el esfueno nominal a flexión-torsión.

GI

1.2 1.1

0.2 0.4 0.8 1

Presión nominal de ajustelesfuerro nominal flexión-torsión

+-Esfuerzo a torsión

+Esfuerzo flexión

-+-Esfuerzo flexión- torsión

7. Coeficientes de concentración de esfuenos obtenidos para la junta por interferencia para el cubo con aristas planas con los grados de libertad restringidos en una fila de nodos para diferentes relaciones de presión nominal de ajuste entre el esfueno nominal a flexión- torsión.

87

Apéndices

u> Y 200.00E+6

100.00E+6

+Esfuerzo

Gráfico 8. Esfuenos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con aristas planas con los grados de libertad restringidos para la mitad de los nodos exteriores.

2 1.9 1.8 - - 1.7 -

0 1.6.

2 1.4. 1.3. 1.2 1.1 -

1 ,

torshin

+Esfuerzo flexi6n

-3- Esfuerzo flexi6n- torsi6n

la

g 1.5.

0.2 0.4 0.8 1 Pres1611 nominal de ajustelesfueno nominal flexlón-

torsibn

Gráfico 9. Coeficientes de concentracih de esfuerws obtenidos para la junta por interferencia para el cubo con aristas planas con los grados de libertad restringidos para la mitad de los nodos exteriores.

I 88 i

I

Apéndices

800.00Et6 - 700.00E16 A 600.00E+6.

500.00E+6

400.00E+6. _ _ torsi6n

+Esfuerzo

- flexbin o)

2 300.00Et6. - Y 200.00E+6 +Esfuerzo

100.00E+6 ..

000.00Et0,

nexi6n-

0.2 0.4 0.8 1 Presión nominal de ajustelesfuetzo nominal flexión-

torsión

Gráfico 10. Esfuenos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos en una fila de nodos.

1.8 Id

1 i 0.2 0.4 0.8 1

Presi6n nominal de alustelesiueizo nominal flexi6n-toreión

+Esfuerzo 1 nexi6n- torsión

Grafico 11. Coeficientes de concentración de esfuenos obtenidos para la junta por interferencia para el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos para una fila de nodos.

89

Apéndices

700.00E+6 - 2 600.00E+6

C 400.00Et6

* 300.00E16

- o 500.00E+6

c

w

I 'I

( -C Esfuerzo a : j torsión : j

- . ~~ ~-

-- /-- .

__ ~

.-

200.00€+6

100.00E+6 -

000.00E+O 0.2 0.4 0.8 1

Presión nominal de ajustelesfuerzo nominal flexión- torsión

A Esfuerzo 1 1 flexión- torsión !I I¡

Gráfico 12. Esfuenos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numerica con Algor para el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos en la mitad de los nodos exteriores.

2 - 1.9 1 .8 1 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1

I J J 0.2 0.4 0.8 1

Presión nominal de ajuste/esfueno nominal flexión- torsión

I -t Esfuerzo a 1

torsión i / +Esfuerzo I /

flexión I /

Esfuerzo flexión- torsión

Gráfico 13. Coeficientes de concentración de esíuerzos obtenidos para la junta por interferencia para el cubo con radio de 1.9mm con los grados de libertad restringidos para la mitad de los nodos exteriores.

90

Apéndices

__

.- ... ... . ~ - __ . .

r- i +Esfuerzo a

800.00E+6

. 700.00€+6

600.00E+6

I 500.00E+6

i 8 400.00E+6 I 3 300.00€+6

200.00€+6

1 100.00E+6

! 000,00E+O

! -

u)

torsión

t Esfuerzo flexián

.-+-Esfuerzo flexián- torsi6n

0.2 0.4 0.8 1 Presión nominal de ajustelesfuerro nominal fiexión-

torsión

Gráfico 14. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con ranura de 3.8mm con los grados de libertad restringidos en una fía de nodos.

I ! i

I

.. .

1.9

1.2

1 0.2 0.4 0.8 1

Presión nominal de aJustelesfuerzo nominal flexión- torsión

~ - ~

/+ Esfuerzo a 1 1 j torsión

/ I I I \+Esfuerzo ' 1 1 flexión 1 ! I ,

I ! I

, Esfuerzo

. .. _. . .

Gráfico 15. Coeficientes de concentracion de esfuerzos obtenidos para la junta por interferencia para el cubo con ranura de 3.8rnm con los grados de libertad restringidos para'una fila de nodos.

91

Apéndices

800.00E+6 -

4W.OOE+6. - 300.00E+6. 200.00E+6 -

100.00E+6. 000.00E+07

0.2 0.4 0.8 1 Preslón nomlnal de ajustelesfuerzo nomlnal flexión

torslón

-C Esfuerzo i torsl6n

t Esfuerzo nexi6n

--k- Esfuerzo flexlón- Ionidn

Gráfico 16. Esfuerzos de Von Mises obtenidos en la zona de contacto para la simulación numérica con Algor para el cubo con ranura de 3.8mm de radio con los grados de libertad restringidos en la mitad de los nodos exteriores.

2 1 .Q 1.8 - 1.7

0 1.6 O g 1.5 .$ 1.4

1.3

m

.,

1.2 I 1.1 1

I

I

I 4 Esfuerzo a

t Esíverzo flexkin

toni6n

0.2 0.4 0.8 1

Presl6n nomlnal de alustelesfuerzo nomlnal flexlón- torsl6n L

Gráfico 17. Coeficientes de concentración de esfuerws obtenidos para la junta por interfei a para c cubo con ranura de 3.8mm de radio con los grados de libertad restringidos para la mita de los nodos exteriores.

92 , ,- ~

sg;p C@;Tq'oitir#ET, U.GE