XXXII CAP-TPICOS SELECTOS DE TRANSFERENCIA DE MASA

XXXII CAP-TPICOS SELECTOS DE TRANSFERENCIA DE MASAFIQ-UNAC

Universidad Nacional del CallaoFacultad de Ingeniera QumicaEscuela Profesional de Ingeniera Qumica

TRANSFERENCIA DE MASA

GRUPO N5

TEMA: DIFUSION CONVECTIVA EN GASES Y LIQUIDOS Integrantes:

Cabrera Gutirrez Eduardo ngel Gmez Lpez Gilver Guadiamus Castillo Jorge Francois Huaraca Godoy Juan Pablo Meza Javier Henry Junior Reyes Palomo, Rosa Emilia

INTRODUCCINEn este trabajo hablaremos de la transferencia de masa por conveccin, es decir cuando un fluido fluye a travs de una superficie slida, en condiciones en las cuales por lo general prevalece la turbulencia, hay una regin inmediatamente contigua a la superficie en donde el flujo es predominantemente laminar. Al aumentar la distancia de la superficie, el carcter del flujo cambia de modo gradual y se vuelve cada vez ms turbulento, hasta que en las zonas ms externas del fluido, prevalecen completamente las condiciones de flujo turbulento. Tambin se ver que la rapidez de transferencia de una sustancia disuelta a travs del fluido depender necesariamente de la naturaleza del movimiento del fluido que prevalezca en las diferentes regiones. Adems se ver el clculo de los coeficientes de transferencia de masa y su relacin con los grupos adimensionales.En la regin turbulenta, las partculas del fluido ya no fluyen de forma ordenada, como en la subcapa laminar. Por lo contrario, porciones relativamente grandes del fluido, llamadas remolinos, se mueven con rapidez de una posicin a otra; un componente apreciable de su velocidad se orienta perpendicularmente a la superficie a travs de la cual est fluyendo el fluido. En estos remolinos existe material disuelto; por lo tanto, el movimiento de remolino contribuye apreciablemente al proceso de transferencia de masa. Puesto que el movimiento del remolino es rpido, la transferencia de masa en la regin turbulenta tambin es rpida, mucho ms que la resultante de la difusin molecular en la subcapa laminar. Debido al rpido movimiento de remolino, los gradientes de concentracin en la regin turbulenta sern menores que los que existen en la pelcula.En la mayora de las situaciones practicamente tiles interviene el flujo turbulento. Por lo general, en dichas situaciones no es possible calcular el coeficiente de transferencia de masa, debido a la imposibilidad para describir matematicamente las condiciones de flujo, en lugar de eso se confa en datos experimentales, los datos son de aplicacin limitada tanto con respecto a circunstancias y situaciones como el rango de las propiedades del fluido, es por eso que se tendr las condiciones del fluido para cada geometra diferente y las analogas que nos ayudarn a evaluar el coeficiente convectivo de transferencia de masa.

NDICE Transferencia Convectiva de masa..................................................3 Mecanismo de transferencia Convectiva.............................................5 Parmetros importantes en la transferencia Convectiva de masa..7 Coeficiente de transferencia en flujo turbulento....................................10 Transferencia de A a travs de B estancado.....................................14 En gases En lquidos Contradifusin equimolar.....................................................................14 En gases En lquidos Relaciones entre los coeficientes de transferencia de masa ...16 Grupos adimensionales correspondientes a la transferencia de masa y calor.............................................................................................................17 Transferencia de masa para casos sencillos................................18 Flujo ilimitado paralelo a placas planas.........................................19 Flujo de un gas confinado paralelo a una placa plana en una tubera.19 Perpendicular a cilindros individuales (Gases solamente).20 Perpendicular a cilindros individuales (Lquidos solamente)..20 A travs de esferas individuales (Gases y lquidos)....21 A travs de esferas individuales (Lquidos)......21 A travs de esferas individuales (Gases)......21 A travs de un lecho fijo de pellets... 22 Anlisis Dimensional de la Transferencia Convectiva de Masa...............24 Transferencia hacia una fase cuyo movimiento es debido a la conveccin natural. ........................................................................................................26 Anlisis exacto de la capa limite laminar de concentracin.........................28 Anlisis aproximado de la capa limite de concentracin..............................39 Analogas de transferencia de masa, calor y momentum............................43 Analoga de Reynolds..43 Analogas de Prandtl y VonKarman....45 Analoga de ChiltonColburn......49TRANSFERENCIA DE MASA POR DIFUSIN CONVECTIVATransferencia Convectiva de masaLa transferencia de masa entre una superficie y un fluido en movimiento o entre dos fluidos inmiscibles en movimiento, separados por una interface mvil (como sera el caso de un lquido y un gas o un lquido con otro lquido), generalmente es facilitada por las caractersticas dinmicas del fluido en movimiento. Esta forma de transferencia de masa se denomina transferencia demasa por conveccin, que es muy similar a la transferencia de calor porconveccin, con la diferencia de que ahora la transferencia se lleva a cabo de una regin de alta concentracin a otra de ms baja concentracin. Y, al igual que la transferencia de calor por conveccin, la transferencia de masa por conveccin se debe, adems de las propiedades de transporte tambin depende de las caractersticas dinmicas del fluido en movimiento. Y, siguiendo con las similitudes entre la transferencia de calor y la transferencia de masa, tambin aqu se definen los dos mecanismos principales de la conveccin, es decir, la conveccin forzada y la conveccin natural o libre. En general, la transferencia de masa por conveccin se define matemticamente en forma similar a la Ley de Newton de enfriamiento, es decir:

= Es el coeficiente de transferencia de masa

: Son las concentraciones de soluto en la superficie y en el fluido respectivamente, o entre un fluido y el otroEste coeficiente de transferencia de masa es muy parecido al coeficiente de transferencia de calor h y es funcin de la geometra del sistema, de las propiedades del fluido y de su velocidad.Dadas las caractersticas de la conveccin como un fenmeno interfacial, Kc viene siendo un coeficiente de pelcula, considerando que existe una regin muy pequea denominada interface, que es la separacin entre dos fases, en donde ocurre la transferencia y en donde el flujo es laminar y las molculas estancadas o en reposo. Basado en lo anterior, el mecanismo de transferencia de masa entre una superficie y un fluido involucra a la transferencia de masa molecular a travs de un fluido estancado o en movimiento laminar. La resistencia que controla la transferencia de masa es por lo general el resultado de dicha pelcula de fluido y del coeficiente Kc, por lo que se le conoce como el coeficiente de pelcula para la transferencia de masa.Es necesario reforzar que tanto el coeficiente de transferencia de calor por conveccin como el coeficiente de transferencia de masa por conveccin son cantidades muy similares dada la similitud del mecanismo de transferencia.Se ha visto que cuando un fluido fluye a travs de una superficie slida, en condiciones en las cuales por lo general prevalece la turbulencia, hay una regin inmediatamente contigua a la superficie en donde el flujo es predominantemente laminar. Al aumentar la distancia de la superficie, el carcter del flujo cambia de modo gradual y se vuelve cada vez ms turbulento, hasta que en las zonas ms externas del fluido, prevalecen completamente las condiciones de flujo turbulento. Tambin se ha visto que la rapidez de transferencia de una sustancia disuelta a travs del fluido depender necesariamente de la naturaleza del movimiento del fluido que prevalezca en las diferentes regiones.En la regin turbulenta, las partculas del fluido ya no fluyen de forma ordenada, como en la subcapa laminar. Por lo contrario, porciones relativamente grandes del fluido, llamadas remolinos, se mueven con rapidez de una posicin a otra; un componente apreciable de su velocidad se orienta perpendicularmente a la superficie a travs de la cual est fluyendo el fluido. En estos remolinos existe material disuelto; por lo tanto, el movimiento de remolino contribuye apreciablemente al proceso de transferencia de masa. Puesto que el movimiento del remolino es rpido, la transferencia de masa en la regin turbulenta tambin es rpida, mucho ms que la resultante de la difusin molecular en la subcapa laminar. Debido al rpido movimiento de remolino, los gradientes de concentracin en la regin turbulenta sern menores que los que existen en la pelcula. En la figura se muestran gradientes de concentracin de este tipo. En el experimento del cual se tomaron estos datos, est fluyendo aire en movimiento turbulento a travs de una superficie de agua y el agua se evapora en el aire. Se tomaron muestras del aire a diferentes distancias de la superficie y se determin la concentracin agua-vapor mediante anlisis. En la superficie del agua, la concentracin de agua en el gas fue la misma que la presin de vapor del agua pura a la temperatura de trabajo.

MECANISMO DE TRANSFERENCIA CONVECTIVASiempre tiene lugar entre fases inmiscibles y es debida a la mezcla fsica entre ellas, conjuntamente con los remolinos del flujo turbulento (porciones macroscpicas de materia que se mueven formando remolinos).Conveccin natural: Provocada por la diferencia de concentraciones Conveccin forzada: Intervienen fuerzas externasEs decir es un mecanismo por el cual se produce la transferencia de materia cuando los fluidos se desplazan en rgimen turbulento. Entonces se tiene 2 zonas para el rgimen turbulento:Zona turbulenta: Menor resistenciaSubcapa laminar: Mayor resistenciaEjemplo 1

El aire fluye sobre una placa slida de dixido de carbono congelado, hielo seco, con una superficie expuesta de . El dixido de carbono. El dixido de carbono sublima en la corriente que fluye a 2 m/s a una velocidad de liberacin total de . El aire se encuentra a 293 K y de presin. A esa temperatura, la difusividad del dixido de carbono en el aire es y la viscosidad cinemtica del aire es Determine el valor del coeficiente de transferencia de masa del CO2 sublimando hacia el aire que fluye a las condiciones de los experimentos.

Solucin

Por la ecuacin (4.38) , consecuentemente.

A 293 K y .

Si suponemos que ,

Ejemplo 2Nitrgeno gaseoso fluye paralelamente a una superficie plana de 0.6 m2 de acetona lquida depositada en un tanque abierto. La temperatura de la acetona se mantiene a 290K. Si el coeficiente de transferencia de masa Kc para acetona en nitrgeno es de 0.0324 m/s. Calcular el flujo de acetona que se evapora en unidades de kmol/s.SolucinEl flujo de acetona evaporada se calcula mediante:

La temperatura de la acetona es de 290K, por lo que a esta temperatura la acetona ejerce una presin de vapor de 161 mmHg o 2.148xPa. Por lo que la concentracin de acetona en la fase gaseosa, cercana a la superficie lquida es:

Mientras que la concentracin de acetona en el seno del nitrgeno, fuera de la regin de la interface, es cercana a cero, dado que el flujo molar del gas se encuentra en gran exceso en relacin al flujo de transferencia de acetona. Por tanto el flujo de transferencia se calcula:

PARMETROS IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASAParmetros adimensionales son usados frecuentemente para correlacionar datos de transporte convectivo. En transferencia de momentum encontramos los nmeros de Reynolds y de Euler. En la correlacin de datos de transferencia de calor Convectiva, los nmeros de Nusselt y Prandtl fueron importantes. Algunos de los mismos parmetros, junto con algunas relaciones adimensionales definidas nuevas, sern usadas en la correlacin de datos de transferencia de masa Convectiva. En esta seccin, consideraremos la interpretacin fsica de tres relaciones.La difusividad molecular de los tres fenmenos de transporte ha sido definida como:

Difusividad de momentum;

Difusividad trmica;

Difusividad de Masa:

Como hemos notado antes, cada una de las dimensiones tiene las dimensiones de , as, una relacin de cualesquier dos de estos parmetros deben ser adimensionales. La relacin de la difusividad molecular de momentum a la difusividad molecular de masa es designada el nmero de Schmidt.

. (1)El nmero de Schmidt juega un papel en transferencia Convectiva de masa anlogo a aquel del nmero de Prandtl en transferencia Convectiva de calor. La relacin de la difusividad trmica a la difusividad molecular de masa es designada como el nmero de Lewis:

. (2)El nmero de Lewis es encontrado cuando un proceso involucra la transferencia Convectiva simultnea de masa y calor. Los nmeros de Lewis y de Schmidt son vistos como combinacin de propiedades de fluido, as, cada nmero puede ser tratado como una propiedad del sistema en difusin.Considere la transferencia de masa del soluto A desde un slido a un fluido circulando sobre la superficie del slido. El perfil de concentracin es ilustrado en la figura1.Para tal caso, la transferencia de masa entre la superficie y el fluido puede ser escrito como:

(3) Figura 1 Perfiles de concentracin y velocidad para fluidos en superficies slidos.Como la transferencia de masa en la superficie es por difusin molecular, la transferencia de masa puede tambin ser descrita como:

Cuando la concentracin de frontera, CAs, es constante, esta ecuacin se simplifica a:

. (4)Las ecuaciones (3) y (4) pueden ser igualadas, ya que definen el mismo flujo del componente A dejando la superficie y entrando al fluido. Esto da la relacin:

= (5)Esto puede ser arreglado en la siguiente forma:

.. (6)Multiplicando ambos lados de la ecuacin 6 por una longitud caracterstica L, obtenemos la siguiente expresin adimensional.

(7)

El lado derecho de la ecuacin 7 es la relacin del gradiente de concentracin en la superficie a un gradiente de concentracin de referencia o total. De acuerdo a esto, puede ser considerado una relacin de la resistencia al transporte molecular de masa a la resistencia al transporte de masa Convectiva del fluido. Esta relacin es llamada como el nmero de Sherwood, Sh. Ya que el desarrollo de la ecuacin7 es semejante al de la ecuacin (3.106) para el nmero de Nusselt, encontrado en la transferencia Convectiva de calor, la relacin ha sido tambin referida como el nmero de Nusselt de transferencia de masa, NuAB.Estos tres parmetros, Sc, Sh y Le sern encontrados en el anlisis de la transferencia Convectiva de masa en lo que sigue. Ejemplo 3 Determine el nmero de Schmidt para el metanol en el aire, a 298 K y 1.013 x 105 Pa en agua lquida a 298 K.SolucinA 298 K, la difusividad del metanol en el aire puede ser evaluada usando valores reportados

La viscosidad cinemtica del aire es:

Consecuentemente, el nmero de Schmidt del metanol en el aire es:

La difusividad en fase lquida del metanol a 298 K esta reportada en la literatura como 1.28x10-9 m2/s. Este valor puede ser usado para encontrar la difusividad en fase lquida a 298 K por:

Los valores de la viscosidad fueron obtenidos de tablas. El valor de la viscosidad cinemtica del agua lquida a 298 K es 0.912x10-6 m2/s; as el nmero de Schmidt para el metanol en agua lquida es:

COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA EN FLUJO TURBULENTOEn la mayora de las situaciones prcticamente tiles interviene el flujo turbulento. Por lo general, para dichas situaciones no es posible calcular coeficientes de transferencia de masa, debido a la imposibilidad para describir matemticamente las condiciones de flujo. En lugar de esto, se confa en datos experimentales. Sin embargo, los datos son de aplicacin limitada a tanto con respecto a circunstancias y situaciones como al rango de las propiedades del fluido. Por lo tanto, es importante que su aplicacin pueda extenderse a situaciones no cubiertas experimentalmente y que pueda utilizarse como ayuda el conocimiento sobre otros procesos de transferencia (particularmente, de calor). En este sentido, hay muchas teoras que tratan de interpretar o explicar el comportamiento de los coeficientes de transferencia de masa; por ejemplo, la teora de la pelcula, la de penetracin, la de renovacin de la superficie y otras. Todas ellas son hiptesis que constantemente se estn revisando. Es til recordar que los coeficientes de transferencia, tanto para transferencia de calor como de masa, son medios utilizados para trabajar con situaciones que no se comprenden completamente; as que incluyen en una nica cantidad efectos que son el resultado tanto de la difusin molecular como de la turbulenta. La contribucin relativa de estos efectos, y ms an el carcter detallado de la difusin turbulenta en s, difiere de una situacin a otra, Se obtendr interpretacin o explicacin final de los coeficientes de transferencia, slo cuando queden resueltos los problemas de la mecnica de fluidos; entonces ser posible abandonar el concepto del coeficiente de transferencia. La conveccin es un fenmeno de transferencia que combina los aportes por transporte con los aportes por transferencia molecular. En transferencia de masa, la conveccin promueve el transporte de las molculas de un sitio a otro mediante diferentes medios, todos ellos debidos a la turbulencia de un fluido, en contacto con la superficie de donde parte la transferencia.

En el grfico se esquematiza la transferencia de masa entre una y otra fase Donde

= concentracin de A en la fase 1.

= concentracin interfacial de i en la fase 1.

= concentracin de A en la interface de la fase 2, que est en equilibrio con CAi.

= concentracin de A en la fase 2.

= espesor efectivo de la capa en la que sucede la transferencia.El mecanismo del proceso de flujo en que intervienen los movimientos de los remolinos en la regin turbulenta no se ha entendido completamente. Sucede lo contrario con el mecanismo de la difusin molecular, al menos para gases, el cual se conoce bastante bien, puesto que puede describirse en funcin de una teora cintica que proporciona resultados que estn de acuerdo con los experimentales. Por lo tanto, es natural que la rapidez de la transferencia de masa a travs de varias regiones desde la superficie hasta la zona turbulenta, se trate de describir de la misma forma en que, por ser adecuados, se describi la difusin molecular. As, la C/z, que es caracterstica de la difusin molecular, se reemplaza por F, un coeficiente de transferencia de masa. Para soluciones binarias: Ecuacin 1

Ecuacin 2

En donde es la concentracin en fraccin mol, para lquidos, para gases. Como en el caso de la difusin molecular, la relacin se establece generalmente por consideraciones no difusionales (depende del caso con el cual se trabaje). Es posible que no sea plana la superficie a travs de la cual sucede la transferencia; si as sucede, la trayectoria de difusin en el fluido puede tener una seccin transversal variable; en ese caso, N se define como el flux en la interface de la fase, en donde la sustancia abandona o entra a la fase para la cual el coeficiente de transferencia de masa es F. es positiva cuando est en el principio de la trayectoria de transferencia y en el final. De cualquier forma, una de estas concentraciones se encontrar en el lmite de la fase. La forma en que se defina la concentracin de A en el fluido modificar el valor de F; generalmente se establece de forma arbitraria. Si la transferencia de masa ocurre entre un lmite de fase y una gran cantidad de fluido no limitado, como cuando una gota de agua se va evaporando al mismo tiempo que va cayendo a travs de un gran volumen de aire, la concentracin de la sustancia que se difunde en el fluido se toma generalmente como el valor constante que se encuentra a grandes distancias del lmite de la fase.La F de la ecuacin 2 es un coeficiente de transferencia de masa local, definido para un lugar particular sobre la superficie lmite de la fase. Puesto que el valor de F depende de la naturaleza del movimiento del fluido, que puede variar a lo largo de la superficie, algunas veces se utiliza un valor promedio de Fpr en la ecuacin 2.Las dos situaciones que se observaron en la difusin molecular, la contradifusin equimolar y la transferencia de una sustancia a travs de otra que no se transfiere, suceden con tanta frecuencia que, generalmente, se utilizan coeficientes de transferencia de masa especiales. stos se definen por ecuaciones de la forma: Flux = coeficiente (diferencia de concentracin)

Teniendo en cuenta que es muy difcil conocer el espesor efectivo de la capa en que sucede la transferencia zf, el flux de transferencia de masa se suele expresarse utilizando con un el coeficiente convectivo de transferencia de masa kc, y la ecuacin se de transferencia en cada una de las fases se reduce a:Ecuacin 3

Ecuacin 4

De manera que todos los parmetros geomtricos y de transferencia se pueden agrupar en un coeficiente global de transferencia, denotado con FA. Puesto que la concentracin de una solucin puede expresarse en diferentes unidades (fracciones mol o presiones parciales en gases, entre otras), es posible tener diferentes coeficientes de transferencia, dependiendo de la relacin de concentracin utilizada. Otro aspecto a considerar es si existe difusin en un fluido estancado o contradifusin equimolar, por lo que se generan mltiples posibilidades para la ecuacin de transferencia. A continuacin se presentan algunas ecuaciones comunes para casos especficos de transferencia. TRANSFERENCIA DE A A TRAVS DE B ESTANCADOEn gasesEcuacin 5

En lquidosEcuacin 6

CONTRADIFUSIN EQUIMOLAR

En gasesEcuacin 7

En lquidosEcuacin 8

Una expresin de este tipo fue sugerida desde 1 897 con respecto a la disolucin de slidos en lquidos. Por supuesto, tales expresiones son anlogas a la definicin de un coeficiente de transferencia de calor, h: . Aunque el concepto de coeficiente de transferencia de calor puede aplicarse, generalmente, al menos en la ausencia de transferencia de masa, los coeficientes de las ecuaciones 5 y 6 son ms restringidos. As, k, en la ecuacin 5 puede considerarse como un reemplazo de de la difusin molecular.

Por lo tanto, los coeficientes de las ecuaciones 5 y 6 son generalmente tiles solo para rapideces de transferencia de masa bajas. Los valores medidos bajo un nivel de rapidez de transferencia deben convertirse a F, a fin de utilizarlos con la ecuacin 2, antes de aplicarlos a otra. Para obtener la relacin entre F y las k, obsrvese que para los gases, por ejemplo, F reemplaza a en la ecuacin 1, y que reemplaza a en la ecuacin de difusin molecular para los gases. De aqu, . De esta forma se obtuvieron las conversiones de las ecuaciones anteriores

Por otro lado el trmino de flujo total de la ecuacin de difusin molecular es cero para la Contradifusin equimolar, (gases), y (lquidos); en este caso, las ecuaciones 7 y 8 son idnticas a la ecuacin 2.

Muchos de los datos de transferencia de masa en donde no es ni la unidad, ni infinito, se han descrito, no obstante, en funcin de los coeficientes de tipo k. Antes de que stos puedan utilizarse para otras situaciones, deben convertirse a F.

RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA

Ecuacin para gasesCASO ICASO IIUnidades del coeficienteDifusin de A a travs de B que no se difundeContradifusin equimolar

Conversiones

Ecuacin para lquidosCASO ICASO IIUnidades del coeficienteDifusin de A a travs de B que no se difundeContradifusin equimolar

Conversiones:

GRUPOS ADIMENSIONALES CORRESPONDIENTES A LA TRANSFERENCIA DE MASA Y CALOR Transferencia de masa Transferencia de calor

Nmero de Reynolds Nmero de Reynolds

Nmero de Schmidt Nmero de Prandtl

Nmero de Sherwood Nmero Nusselt

Nmero de Grashof Nmero de Grashof

1 = densidad de la solucin = densidad del lquido puro Nmero de Peclet Nmero de Peclet

Nmero de Stanton Nmero de Stanton

Transferencia de masa para casos sencillos Dentro de tubos circulares (evaporacin de un lquido en un gas)

Rango:

Ecuacin:

Rango:

Ecuacin:

Flujo ilimitado paralelo a placas planas Rango:

(Donde la transferencia empieza desde el lado principal) Ecuacin:

Rango:

Ecuacin:

Rango:

Ecuacin:

Flujo de un gas confinado paralelo a una placa plana en una tubera

Rango:

Ecuacin:

Perpendicular a cilindros individuales (Gases solamente) Rango:

Ecuacin:

Rango:

Ecuacin:

Perpendicular a cilindros individuales (Lquidos solamente) Rango:

Ecuacin:

Rango:

Ecuacin:

A travs de esferas individuales (Gases y lquidos) Rango:

Ecuacin:

A travs de esferas individuales (Lquidos) Rango

Ecuacin:

A travs de esferas individuales (Gases)Rango: Re < 48000 Sc = 0.6 2.7Ecuacin:

A travs de un lecho fijo de pellets Rango: Re``= 90 - 4000 Sc = 0.6 Ecuacin:

Rango: Re``= 5000 - 10300 Sc = 0.6 Ecuacin:

Rango: Re`` = 0.0016 - 55 Sc = 168 70600Ecuacin:

Rango: Re``= 5 - 1500Sc = 168 70600Ecuacin

* Utilizar cuando no hay informacin para evaluar el nmero de Grashof** Para lechos fijos la relacin y dp es:

a = Es la superficie especfica del slido por superficie de volumen del lechodp = Es el dimetro de la esfera o partcula

NMERO DE REYNOLDSLONGITUD CARACTERSTICAReD = dimetro de la tuberaX = longitud de la placade = dimetro equivalenteRe`D = dimetro cilindroRe``dp = dimetro de la esfera o partcula

De nuestras discusiones anteriores tratando con un fluido circulando sobre una superficie. Podemos recordar que las partculas de fluido adyacentes inmediatamente a la frontera slida son estacionarias, y una capa delgada de fluido prxima a la superficie estar en flujo laminar independientemente de la naturaleza de la corriente libre. La transferencia de masa proceso convectivo. Si el flujo del fluido es laminar, todo el transporte entre la superficie y el fluido que se mueve ser por mecanismos moleculares. Si, por otra parte, el flujo es turbulento, la masa ser transportada por los remolinos presentes dentro del ncleo turbulento de la corriente. Como en el caso de la transferencia de calor, velocidades de transferencia de calor ms elevadas, estn asociadas con condiciones turbulentas. La distincin entre flujo laminar y turbulento, ser una consideracin importante en cualquier situacin Convectiva.La capa limite hidrodinmica, juega un mayor papel en la transferencia de masa convectiva. Adicionalmente, definiremos y analizaremos la capa lmite de concentracin, la cual ser vital para el anlisis del proceso de transferencia de masa convectiva. Esta capa es similar, pero no necesariamente igual en grosor a la capa limite trmica.Existen cuatro mtodos para evaluar coeficientes convectivos de transferencia de masa, los cuales sern discutidos en este captulo. Ellos son:

1.- Anlisis dimensional acoplado con experimentos.2.- Anlisis exacto de la capa limite laminar.3.- Anlisis aproximado de la capa limite.4.- Analogas entre las transferencias de momentum, calor y masa.Cada uno de estos mtodos ser considerado en las secciones que siguen.

ANLISIS DIMENSIONAL DE LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASAEl anlisis adimensional predice los diversos parmetros adimensionales que son tiles para correlacionar datos experimentales. Existen dos procesos de transferencia de masa importantes los cuales consideraremos, transferencia de masa hacia una corriente fluyendo bajo conveccin forzada y transferencia de masa hacia una fase movindose bajo condiciones de conveccin natural.Transferencia en una corriente fluyendo bajo conveccin forzada. Considere la transferencia de masa desde las paredes de un conducto circular a un fluido circulando a travs del tubo. La transferencia es un resultado de la fuerza impulsora de concentracin (CAs CA). Las variables importantes, sus smbolos, y su representacin dimensional son listadas aqu.

Las variables de arriba incluyen trminos descriptivos del sistema de geometra, la velocidad del fluido, las propiedades del fluido, y la cantidad que es de primer inters, kc.Por el mtodo de Buckingham, de agrupar las variables, podemos determinar que habra tres grupos adimensionales, con DAB, y D, como las variables del ncleo. Los tres grupos a encontrar son:

Escribiendo en forma dimensional:

Igualando los exponentes de las dimensiones fundamentales sobre ambos lados de la ecuacin, tenemos,

La solucin de estas ecuaciones para los tres exponentes incgnitas produce:

As, el cul es el nmero de Sherwood, Sh o su equivalente, el nmero de Nusselt de transferencia de masa, NuAB. Los otros dos grupos , se determinan de la misma manera, obtenindose:

El nmero de Schmidt. Dividiendo entre 3 obtenemos:

El nmero de Reynolds. El resultado del anlisis dimensional de transferencia de masa por conveccin forzada en un conducto circular indica una correlacin podra ser de la forma:

Esto es anlogo a la correlacin de transferencia de calor.

TRANSFERENCIA HACIA UNA FASE CUYO MOVIMIENTO ES DEBIDO A LA CONVECCIN NATURAL.Las corrientes de conveccin natural se desarrollarn si existe cualquier variacin en densidad dentro de una fase lquida o gaseosa. Las variaciones de densidad pueden ser debidas a diferencias en temperatura o a diferencias de temperatura relativamente grandes. En el caso de conveccin natural incluyendo transferencia de masa desde una placa plana vertical hacia un fluido adyacente, las variables sern diferentes de aquellas usadas en el anlisis de conveccin forzada. Las variables importantes, sus smbolos, y representaciones adimensionales son listados abajo.

Por el teorema de Pi Buckinham, habr tres grupos adimensionales. Con DAB, L y como el ncleo de variables, los tres grupos para ser formados son:

Resolviendo para los tres grupos , obtenemos:

El numero de Sherwood.

El reciproco del numero de Sherwood y

Multiplicando y obtenemos un parmetro el cual es anlogo al nmero de Grashoff en transferencia de calor con conveccin natural.

= El resultado del anlisis dimensional de transferencia de masa con conveccin natural sugiere una correlacin de la forma:

Tanto para conveccin natural como forzada, las relaciones han sido obtenidas por anlisis dimensional, el cual sugiere que una correlacin de datos experimentales puede estar en trminos de esas variables en lugar del conjunto original.

ANLISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR DE CONCENTRACINBlassius desarroll una solucin exacta de la capa lmite hidrodinmica para flujo laminar paralelo a la superficie plana. En una manera exactamente anloga, debemos extender la solucin de Blassius para extender la transferencia convectiva de masa para la misma geometra y flujo laminar.

Las ecuaciones de capa lmite consideradas en la transferencia de momentum estado estacionario, incluyeron las ecuaciones de continuidad incompresibles y bidimensionales.

y las ecuaciones de movimiento en la direccin x para presin y viscosidad constante,

Para la capa lmite trmica, la ecuacin describiendo la transferencia de energa, en un flujo estacionario, incompresible, bidimensional e isobrico, con difusividad trmica constante, es:

Una ecuacin diferencial anloga aplica a la transferencia de masa dentro de una capa limite de concentracin, si no ocurre produccin de un componente que se difunde, y si la segunda derivada de CA con respecto a x, es muy pequea en magnitud comparada con la segunda derivada de CA con respecto a y. Esta ecuacin, escrita para flujo estacionario, incompresible y bidimensional con difusividad de masa constante es:

La capa lmite de concentracin es mostrada en la figura 4.15. Las siguientes son las condiciones de frontera para las tres capas limite.

Figura 2 Capa lmite de concentracin para flujo laminar sobre un plato plano.Momentum:

O como la velocidad en la direccin x en la pared, vxs es cero,

en y = 0, y en y =

en y = 0, y en y =

en y = 0, y en y = Las ecuaciones pueden ser escritas en trminos de las siguientes relaciones adimensionales de concentracin, temperatura y velocidad.

o bien, si definimos:

Con las condiciones de frontera V = 0 a y = 0 y V = 1 a y = Y similarmente si

Con las condiciones de frontera en y = 0, y , en y = Y si definimos:

Con las condiciones de frontera C = 0, a y = 0 y C = 1, a y =

La similaridad en las tres ecuaciones diferenciales y las condiciones de frontera sugieren que soluciones similares deben ser obtenidas para los tres fenmenos de transferencia. La solucin de Blassius para la ecuacin fue modificada y exitosamente aplicada para explicar transferencia de calor convectiva cuando la relacin de la difusividad trmica al momentum es . El mismo tipo de solucin debe tambin describir la transferencia de masa convectiva cuando la relacin de las difusividades de masa a momentum .

y

La solucin de Blasius para la capa lmite de momentum.

Sugiere una solucin anloga para la capa lmite de concentracin:

..()La ecuacin () puede ser arreglada para obtener una expresin para el gradiente de concentracin en la superficie:

()Es importante recordar que la solucin de Blasius para la ecuacin no involucro una velocidad en la direccin y en la superficie. De acuerdo con esto, la ecuacin ( involucra la importante suposicin de que la velocidad a la cual la masa entra o sale de la capa lmite en la superficie es tan pequea que no altera el perfil de velocidad predicho por la solucin de Blasius.Cuando la velocidad en la direccin y en la superficie, vy es esencialmente cero, el trmino de contribucin global en la ecuacin de Fick, para el flujo de masa en la direccin y es tambin cero. La transferencia de masa desde la superficie plana hacia la capa lmite laminar es descrito por:

..()Sustituyendo la ecuacin () en la ecuacin () obtenemos:

o bien:

.. (4.51)El flujo de masa del componente que se difunde fue definido en trminos del coeficiente de transferencia de masa por:

(4.41)Los lados derechos de las ecuaciones (4.51) y (4.41) pueden ser igualados para dar:

o bien:

. (4.52)La ecuacin (4.52) es restringida a sistemas con numero de Schmidt, Sc, de uno, y bajas velocidades de transferencia de masa entre la placa plana y la capa lmite.

Una representacin grfica de la solucin para la ecuacin de capa lmite de concentracin ecuacin (4.45) por Hartnett y Eckert es ilustrada en la figura 4.16. Las curvas representando valores positivos y negativos de los parmetros de la superficie de frontera son mostradas. Los valores positivos aplican cuando la transferencia de masa desde la placa plana es hacia la capa lmite y los valores negativos describen la transferencia de masa desde el fluido a la placa. Conforme estos parmetros de la superficie fronteriza se acercan a cero, la velocidad de transferencia de masa disminuye hasta que es considerada no tener efecto sobre el perfil de velocidad. La pendiente de la lnea cero evaluada a y = 0, es 0.332, como lo predice la ecuacin (4.48).

Figura 3. Perfiles de concentracin para la transferencia de masa en una capa lmite frontera sobre un palto plano.En la mayora de las operaciones incluyendo transferencia de masa, los parmetros de superficie de frontera son despreciables, y la solucin de baja transferencia de masa, tipo Blasius, es usada para definir la transferencia hacia la capa lmite laminar. La vaporizacin de un material voltil hacia una corriente de gas fluyendo a baja presin es un caso en el cul la suposicin de poca transferencia de masa no puede ser hecha.

Para un fluido con un nmero de Schmidt diferente a la unidad, curvas similares a aquellas mostradas en la figura 4.16 pueden ser definidas. La similaridad en ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera sugiere un tratamiento para transferencia convectiva de masa anlogo a la solucin de Pohlhausen para transferencia convectiva de calor. La capa lmite de concentracin es relacionada a la capa lmite hidrodinmica por:

. (4.53)

Donde es el grosor de la capa lmite hidrodinmica y es el grosor de la capa lmite de concentracin. As el termino de Blasius, debe ser multiplicado por . Un grfico de la concentracin adimensional contra para vy,s =0, es mostrado en la figura 4.17. La variacin de la concentracin dada en esta forma conduce a una expresin para el coeficiente convectivo de transferencia de masa similar a la ecuacin (4.52). A y = 0, el gradiente de concentracin es:

(4.54)

Figura 4. Variacin de concentracin para flujo laminar sobre un planto plano.El cul cuando usado con la ecuacin (4.50) d:

.(4.55)

El coeficiente de masa promedio, , el cul aplica sobre una placa de ancho W y longitud L, puede ser obtenida por integracin. Para una placa de esas dimensiones, la velocidad de transferencia de masa total WA puede ser evaluada por:

De acuerdo con esto:

.. (4.56)El nmero de Sherwood local a una distancia x, aguas abajo, es relacionado al nmero promedio de Sherwood para la placa plana por la relacin:

.(4.57)Las ecuaciones (4.55) y (4.56) han sido verificadas experimentalmente. Es interesante notar que este anlisis enteramente diferente ha producido resultados de la misma forma predichos en secciones anteriores por anlisis dimensional para transferencia de masa por conveccin forzada.

.. (4.58)

Reconsiderando los perfiles de concentracin adimensionales de Harnett y Eckert presentados en la figura 4.16, podemos observar que la pendiente de cada curva, cuando es evaluada a y = 0, decrece conforme el parmetro positivo de frontera superficial se incrementa. Como la magnitud del coeficiente de transferencia est directamente relacionado a la pendiente por la relacin:

La disminucin en la pendiente indica que el sistema con valores ms altos del parmetro de la superficie de frontera tendrn coeficientes de transferencia de masa menores.Cuando ambas masa y energa son transferidas a travs de la capa lmite laminar, el perfil adimensional en la figura 4.16 puede tambin representar los perfiles de temperatura adimensional si los nmeros de Prandtl y de Schmidt para el sistema son ambos la unidad. En el prrafo previo, fue indicado que el coeficiente de transferencia de masa disminuye en magnitud conforme la masa es transferida hacia la capa lmite desde la superficie. De acuerdo con esto, debemos esperar tambin que el coeficiente de transferencia de calor disminuya conforme la masa es transferida hacia la capa lmite. Esto puede ser logrado forzando un fluido a travs de una placa porosa hacia la capa lmite o sublimando la placa. Los procesos simultneos de transferencia de calor y masa, con frecuencia son referidos como enfriamiento y calentamiento de transpiracin, respectivamente, fueron usados para ayudar a reducir los grandes efectos de calor durante la reentrada de misiles hacia la atmsfera de la tierra.Ejemplo 4El coeficiente de transferencia de masa para una capa limite turbulenta formada sobre una placa plana ha sido correlacionado en trminos de un nmero local de Sherwood por:

(4.59)Dnde x es la distancia aguas abajo del filo frontal de la placa plana. La transicin desde el flujo laminar a turbulento ocurre a Rex = 2x105.1.- Desarrolle una expresin para el coeficiente de transferencia de masa promedio para una placa plana de longitud L. Por definicin:

. (4.60)Donde Lt es la distancia medida desde el filo frontal hasta el punto de transicin. Adems, kc,lam es definido por la ecuacin (4.55).

Y kc,turb es definido por la ecuacin (4.59).

Sustituyendo esas dos ecuaciones en nuestra ecuacin para el coeficiente de transferencia promedio, obtenemos:

Donde Lt es la distancia desde el filo frontal de la placa al punto de transicin donde Re=2x105.

(4.61)b).- Un contenedor de acetona fue derramado accidentalmente, cubriendo la superficie lisa superior del banco del laboratorio. El ventilador produce un flujo de aire paralelo con 6 m/s, a la superficie del banco con 1 m de ancho. El aire fue mantenido a 298 K y 1 atm. La presin de vapor de la acetona a 298 K es 3.066x104 Pa.1.- Determine el coeficiente de transferencia de masa a 0.5 m aguas abajo del filo frontal del banco de laboratorio.2.- Determine la cantidad de acetona evaporndose de un rea superficial de un metro cuadrado cada segundo.A 298 K la viscosidad cinemtica del aire es 1.55x10-5 m2/s y la difusividad de masa de la acetona en aire es 0.9310-5 m2/s. Para este sistema:

El numero de Reynolds el punto a 0.5 m aguas abajo es calculado como:

Como el nmero de Reynolds es menor que el valor de transicin, el flujo es an en flujo laminar y el nmero de Sherwood local puede ser evaluado por la ecuacin (4.55).

Para determinar la cantidad de acetona evaporando desde la longitud de 1 m., necesitamos evaluar el nmero de Reynolds para esta longitud.

Como esto es mayor que 2x105, reconocemos que hay un punto de transicin donde la capa limite cambia de flujo laminar a turbulento. Este punto de transicin puede ser evaluado en el numero de Reynolds de transicin, Ret = 2x105.

Podemos evaluar el coeficiente promedio de transferencia de masa usando la ecuacin (4.61) deducida en parte (a).

La concentracin de acetona en el vapor inmediatamente arriba de la superficie lquida puede ser evaluada por:

La cantidad de acetona abandonando la superficie es:

ANLISIS APROXIMADO DE LA CAPA LIMITE DE CONCENTRACINCuando el flujo es distinto al laminar o la configuracin es diferente que una placa plana, pocas soluciones exactas a la fecha existen para el transporte en una capa lmite. El mtodo aproximado desarrollado por Von Karman para describir la capa lmite hidrodinmica para ser usada para analizar la capa lmite de concentracin.

Considere un volumen de control localizado en la capa lmite de concentracin como se ilustra en la figura 4.18. Este volumen, designado por las lneas punteadas, tiene un anchor de , una altura igual al grosor de la capa lmite de concentracin c, y una profundidad unidad.

Figura 5. Volumen de controlen la capa lmite de concentracin.Un balance de masa molar en estado estacionario sobre el volumen de control produce la relacin.

Donde WA es velocidad molar de transferencia de masa del componente A. En cada superficie, la velocidad molar es expresada como:

Re-arreglando, dividiendo cada trmino por x, y evaluando los resultados en el lmite conforme x se acerca a cero, obtenemos:

o bien:

. (4.62)Con el objetivo de resolver la ecuacin (4.62), los perfiles de velocidad y concentracin deben ser conocidos; normalmente esos perfiles son desconocidos y deben ser supuestos. Algunas de las condiciones de frontera las cuales debes ser satisfecha por las condiciones de frontera supuestas son:

(1)

(2)

(3)

(4)El perfil de concentracin supuesto debe satisfacer las condiciones correspondientes en trminos de la concentracin.

(1).- (4.63)

(2).- (4.64)

(3).- (4.65)

(4).- (4.66)

Si reconsideramos el flujo laminar paralelo a la superficie plana, podemos usar la ecuacin integral de VonKarman (4.62) para obtener la solucin aproximada. Los resultados pueden ser comparados a la solucin exacta, ecuacin (4.55), y as verificar que tan bien hemos supuesto los perfiles de velocidad y de concentracin. Como nuestra primera aproximacin, consideramos una expresin en serie de potencias para la variacin de concentracin con y:

La aplicacin de las condiciones de frontera resultar en la siguiente expresin:

. (4.67)Si el perfil de velocidad es supuesto en la misma forma de series de potencias, entonces la expresin resultante es:

Al sustituir las ecuaciones (4.67) y (3.56) en las expresiones integrales (4.62) y resolviendo, obtenemos:

lo cual es cercano a la solucin exacta expresada en la ecuacin (4.55).Aunque este resultado no es la relacin correcta, es suficientemente prxima a la solucin exacta para indicar que el mtodo integral puede ser usado con algn grado de confianza en otras situaciones en la cual una solucin exacta es desconocida. Lo adecuado de este mtodo depende completamente de la habilidad para suponer buenos perfiles de velocidad y concentracin.La ecuacin integral de VonKarman (4.62) ha sido usada para obtener una solucin aproximada para la capa lmite turbulenta sobre una placa plana. Con el perfil de velocidad aproximado por:

y el perfil de concentracin aproximado por:

y el nmero de Nusselt local para la capa turbulenta es:

. (4.68)

ANALOGAS DE TRANSFERENCIA DE MASA, CALOR Y MOMENTUMEn los anlisis previos de transferencia de masa convectiva, hemos reconocido las similaridades en las ecuaciones diferenciales para la transferencia de masa, momentum y calor y en las condiciones de frontera donde los gradientes de transporte fueron expresados en trminos de variables adimensionales. Estas similaridades han permitido predecir soluciones para los procesos de transferencia similares. En esta seccin, consideraremos varias analogas entre fenmenos de transferencia los cuales han sido propuestos debido a las similaridades en sus mecanismos. Las analogas son tiles para entender el fenmeno de transferencia y como un medio satisfactorio para predecir el comportamiento del sistema para el cul datos cuantitativos limitados son disponibles.Las similaridades entre el fenmeno de transferencia y concordantemente, la existencia de las analogas, requiere que las siguientes cinco condiciones existen dentro del sistema.1.- No hay energa o masa producida dentro del sistema. Esto por supuesto, infiere que ninguna reaccin homognea ocurre.2.- No hay emisin o absorcin de energa radiante.3.- No hay disipacin viscosa.4.- El perfil de velocidad no es afectado por la transferencia de masa, as, existe nicamente una velocidad baja de transferencia de masa. 5.- Las propiedades fsicas son constantes. Como puede haber cambios ligeros en las propiedades fsicas debido a las variaciones en temperatura o concentracin, esta condicin puede ser aproximada usando concentracin promedio y propiedades de temperatura promedio (1, 2, 3, 4).

ANALOGA DE REYNOLDS

El primer reconocimiento de el comportamiento anlogo de transferencia de momentum y energa fue reportada por Reynolds. Aunque esta analoga es limitada en aplicacin, ha servido como para el catalizador buscar mejores analogas y ha sido usada exitosamente en analizar el fenmeno de capa limite compleja de aerodinmica.Reynolds postul que los mecanismos para transferencia de energa y momentum fueron idnticos. Hemos observado en nuestra discusin anterior sobre capas lmites laminares que esto es verdad si el nmero de Prandtl, Pr, es la unidad. De nuestras consideraciones previas, en la seccin 4.4.5, podemos extender la postulacin de Reynolds para incluir el mecanismo para la transferencia de masa si el nmero de Schmidt, Sc, es tambin la unidad. Por ejemplo, si consideramos el flujo laminar sobre una placa plana donde Sc=1, los perfiles de concentracin y velocidad dentro de la capa lmite estn relacionados por:

(4.69)Recordando que en la frontera inmediata a la pared, donde y = 0, podemos expresar el flujo de masa en trminos de la difusividad de masa o el coeficiente de transferencia de masa por:

(4.70)

Podemos combinar las ecuaciones (4.69) y (4.70) y aprovechar que cuando el nmero de Schmidt iguala a la unidad para lograr una expresin que relacione el coeficiente de transferencia de masa al gradiente de velocidad en la superficie.

.(4.71)El coeficiente de friccin superficial fue relacionado a este mismo gradiente de velocidad por:

Usando esta definicin, podemos arreglar la ecuacin (4.71) para obtener la analoga de Reynolds de transferencia de masa para sistemas con un nmero de Schmidt igual a uno.

.. (4.72)La ecuacin (4.72) es anloga a la analoga de Reynolds para transferencia de energa para sistemas con un nmero de Prandtl de uno. Esta analoga puede ser expresada por:

. (3.152)La analoga de Reynolds, ecuacin (4.72), fue obtenida usando la solucin exacta para el flujo laminar sobre una placa plana, ecuacin (4.69), la ecuacin de flujo de masa escrita en la frontera inmediata a la placa resultando en la ecuacin (4.71) y la ecuacin que define al coeficiente de friccin superficial. As, la analoga de Reynolds satisface la solucin exacta, si y solo si el nmero de Schmidt iguala a la unidad y la resistencia al flujo es debida a la friccin superficial (el arrastre de forma no es incluido). Esto fue verificado experimentalmente por VonKarman para un flujo turbulento completo (el ncleo turbulento completo) donde el nmero de Schmidt, as como el nmero de Prandtl iguala a la unidad. ANALOGAS DE PRANDTL Y VONKARMAN

La analoga de Prandtl para la transferencia de momentum y calor fue desarrollada cuando consideracin fue dada al efecto de ambos el ncleo turbulento y la subcapa laminar. El mismo razonamiento con respecto a la transferencia de masa y momentum puede ser usada para desarrollar una analoga similar. Para la subcapa laminar, las difusividades de remolino de momentum y masa son despreciables y en la superficie, el esfuerzo cortante y el flujo de masa, NAys son constantes. La ecuacin (4.74) puede ser integrada sobre el grosor de la subcapa para dar:

o bien:

(4.78)La ecuacin (4.77) puede tambin ser integrada sobre el grosor de la subcapa para dar:

o bien:

. (4.79)Eliminando de esas ecuaciones obtenemos:

.. (4.80)

La analoga de Reynolds, puede ser usada en el ncleo turbulento, desde y = hasta y en las condiciones globales. El flujo de masa en el ncleo turbulento es:

(4.81)

Eliminando entre las ecuaciones (4.80) y (4.81), obtenemos:

.. (4.82)Sustituyendo las siguientes definiciones:

en la ecuacin (4.82), podemos simplificar la relacin a:

, o en una forma un poco diferente:

.. (4.83)

Notar que la ecuacin (4.83) se simplifica a la analoga de Reynolds con la restriccin que Sc = 1. Recordar que la subcapa laminar fue definida por: , donde:

, entonces:

. (4.84)

Sustituyendo en la ecuacin (4.83), obtenemos una analoga transferencia de masa convectiva similar a la analoga de Prandtl para transferencia convectiva de calor.

(4.85)

Rearreglando y multiplicando ambos lados de la ecuacin (4.85) por donde L es la longitud caracterstica, obtenemos:

o bien:

..(4.86)Si el Nmero de Nusselt de transferencia de masa equivalente, NuAB fuera usado en lugar del nmero de Sherwood, la ecuacin (4.86) sera anloga a la analoga de transferencia de energa y momentum de Prandtl, ecuacin (3.172)Von Karman extendi la analoga de Prandtl considerando la llamada capa de transicin en adicin a la subcapa laminar y al ncleo turbulento. Esto llev al desarrollo de la analoga de Von Karman.

.. (3.173)Para transferencia de momentum y energa. El anlisis de Von Karman para transferencia de masa produce:

.(4.87)o bin:

(4.88)La ecuacin (4.88) es anloga a la ecuacin (3.173).Los resultados de la mayora de las analogas pueden ser puestos en una forma general, como se ilustra en las ecuaciones (4.85) y (4.88) en la cul el denominador del lado derecho es un grupo complejo de trminos los cuales sirven como una correccin de la analoga simple de Reynolds.

ANALOGA DE CHILTONCOLBURN

Chilton y Colburn usaron datos experimentales, buscaron modificaciones a la analoga de Reynolds que no tuvieran las restricciones de que los nmeros Pr y Sc deban ser igual a uno. Ellos definieron el factor j para la transferencia de masa.

Este factor es anlogo a el factor j para transferencia de calor definido por la ecuacin (3.154). Basado en los datos colectados en ambos regimenes de flujo laminar y turbulento, ellos encontraron

.. (4.89)La analoga es vlida para gases y lquidos dentro del rango de 0.6