xvii.- radiación térmica

8/6/2019 XVII.- Radiacin Trmica

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XVII.- RADIACIN TRMICA FUNDAMENTOS Y FACTORES DE FORMA

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XVII.1.- INTRODUCCIN

La forma radiativa de la transmisin del calor se caracteriza porque la energa se transporta en for-ma de ondas electromagnticas, que se propagan a la velocidad de la luz. El transporte de energa porradiacin se puede realizar entre superficies separadas por el vaco; as por ejemplo, el Sol transmiteenerga a la Tierra por radiacin a travs del espacio que, una vez interceptada por la Tierra, se trans-forma en otras fuentes de energa.

La teora ondulatoria establece que la radiacin se comporta como una onda que oscila con una fre-cuencia y una longitud de onda .

El producto de la frecuencia por la longitud de onda es la velocidadr c de la luz: c =

La teora corpuscular admite que la energa radiante se transporta en forma de fotones. Cada fotnse propaga con la velocidad de la luz a un nivel energtico de la forma: e = h en la que h es la constantede Planck.

Los fotones de mayor frecuencia poseen ms energa que los de menor frecuencia. Cuando un cuerpose calienta, los electrones libres pueden saltar a niveles de mayor energa o niveles excitados; cuando unelectrn vuelve a su nivel energtico inferior emite un fotn cuya energa es igual a la diferencia energ-tica entre el estado excitado y el estado fundamental. En toda superficie y en cualquier instante existennumerosos electrones que experimentan cambios en su nivel energtico y, por lo tanto, la energa queabandona esta superficie se distribuye dentro de un espectro de frecuencias.

La energa se emite solamente en funcin de la temperatura del cuerpo; la energa que abandona lasuperficie se llama radiacin trmica. En el extremo del espectro correspondiente a longitudes de ondapequeas estn los rayos X, mientras que en el otro extremo del espectro estn las ondas de radio; entreestos lmites est la radiacin trmica que se emite por un cuerpo que depende exclusivamente de sutemperatura; el intervalo completo de todas las longitudes de onda constituye el espectro electromagn-tico, que se subdivide en un cierto nmero de intervalos de longitudes de onda, correspondientes a unasfenomenologas caractersticas, como ultravioleta, visible, infrarrojo, etc.

La radiacin trmica emitida por una superficie en funcin de su temperatura se corresponde con lasXVII.-311


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longitudes de onda comprendidas entre, 10 -7 m y 10 -4 m.El ojo humano es capaz de detectar las ondas electromagnticas comprendidas en el intervalo,

3,8 .10 -7 m 7,6 .10 -7 m, que constituye la radiacin visibledel espectro electromagntico; es una porcinmuy pequea del espectro completo que, a su vez, se encuentra en el intervalo correspondiente a la ra-

diacin trmica.Las longitudes de onda se miden en distintas unidades de longitud:

1 = 1 Angstrom = 10-10 m = 10-8 cm1 m = 1 micrn = 10-6 m = 10 4

XVII.2.- FSICA DE LA RADIACIN

Cuerpo negro.- No todas las superficies emiten o absorben la misma cantidad de energa radiante

cuando se calientan a la misma temperatura. Un cuerpo que emite (radiacin difusa) o absorbe la mxi-ma cantidad de energa a una temperatura determinada es un cuerpo negro, que no es ms que un mode-lo ideal al que se pueden aproximar en la prctica los cuerpos reales recubriendo su superficie con deter-minadas pinturas o modificando su forma; es, por lo tanto, un cuerpo estndar con el que pueden com-pararse otros cuerpos radiadores.

Ley de Planck.- Cuando un cuerpo negro se calienta a una temperatura T, emite fotones desde su

superficie, los cuales poseen una distribucin determinada de energa que depende de la temperatura su-perficial; Max Planck en 1900 demostr que la energa emitida por un cuerpo negro a una longitud deonda y temperatura T es de la forma:

Eb (T ) =

C1

5 ( eC 2 T - 1 )

, siendo: C1= 3,7418x10-16 W .m 2

C 2 = 1,4388 x10-2m K

en la que E b es la potencia emisiva espectral o monocromtica del cuerpo negro a la temperatura T, en

W/m 3 .La variacin de la potencia emisiva monocromtica del cuerpo negro con la temperatura y con la

longitud de onda, se denomina ley de Planck,Fig XVII.1. La energa radiativa emitida por una superficienegra aumenta con la temperatura; la potencia emisiva pasa por un valor mximo para una longitud de

onda determinada que depende de la temperatura a que se encuentre; la longitud de onda disminuyecuando la temperatura de la superficie aumenta.

Ley del desplazamiento de Wien.- La longitud de onda a la cual la potencia emisiva del cuerpo ne-gro alcanza un valor mximo para una temperatura dada, se deduce de la ley de Planck imponiendo lacondicin de mximo:

dEb ( T )d =

dd {

C1

5 ( eC 2 T - 1 )

}T = Cte= 0

El resultado de esta operacin es: mxT = 2,898.10-3 (mK), en la que mx es la longitud de ondacorrespondiente al mximo de potencia emisiva monocromtica, de una superficie negra, a la tempera-tura T. Esta ecuacin expresa la ley del desplazamiento de Wien; el valor mximo de la potencia emisivamonocromtica del cuerpo negro se puede obtener sustituyendo la ecuacin del desplazamiento de Wien

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en la ecuacin de la ley de Planck, resultando:

( Eb )mx = 1,287.10-5T 5 (W/m 3 )

Para comprender los resultados de la ley del desplaza-miento de Wien vamos a recurrir al siguiente ejemplo: Supongamos que una corriente elctrica pasa a travs deun filamento haciendo aumentar su temperatura; a temperaturas relativamente bajas, por debajo de 600C, lalongitud de onda correspondiente al mximo de potencia emisiva del filamento es de unos 3,2.10-6 m, 3,2 m 32000 en la regin del infrarrojo; se puede apreciar que el filamento emite energa radiante con solo acercar lamano, pero nuestros ojos son incapaces de detectar radiacin visible, pues slo una cantidad insignificante de energa corresponde al intervalo de longitudes de onda del espectro visible; si la temperatura del filamento sigue cre- ciendo, la cantidad de energa radiante aumenta y una

mayor parte de ella se emite a longitudes de onda ms cortas. Por encima de 700C, una pequea canti-dad de la energa se encuentra comprendida en el intervalo de longitudes de onda largas (extremo rojo del espectro visible); nuestros ojos pueden detectar ya esta radiacin, apareciendo el filamento de un color rojo oscuro. Si la temperatura se incrementa todava ms, una mayor parte de la energa cae en la regin visi-ble del espectro y por encima de los 1.300C se incluyen todas las longitudes de onda visibles de modo que

el filamento aparece al rojo blanco.Un ejemplo de fuente energtica a alta temperatura es el Sol; su superficie exterior posee una tem-

peratura del orden de 5.800K; de acuerdo con la ley de Wien el valor de mx a esta temperatura es de

5,2 .10 -7 m, 0,52 m, prximo al centro de la regin visible.

El ojo humano no responde a la energa radiante fuera del intervalo visible, y slo puede predecir elcomportamiento superficial en un intervalo de longitudes de onda muy restringido; existen algunas su-perficies que se comportan como buenos absorbentes en el intervalo visible y, por tanto, aparecen decolor oscuro a nuestros ojos; en cambio, su comportamiento puede modificarse en la zona del infrarrojo yser aqu malos absorbentes.

Por el contrario, existen superficies que son pobres absorbentes de radiacin en el intervalo corres-pondiente al espectro visible y aparecen blancas a nuestra vista, mientras que son unos absorbentesexcelentes a longitudes de onda fuera del intervalo del espectro visible. Un objeto se considera cuerpo cuasiblanco cuando refleja casi todas las radiaciones del espectro visible sin absorber prcticamenteninguna; un cuerpo negro absorbera todas las radiaciones del espectro visible y no reflejara ninguna.

Ley de Stefan-Boltzman.- La cantidad total de energa radiativa que por unidad de rea emite una

superficie a la temperatura absoluta T y a todas las longitudes de onda, se denomina poder emisivo to-tal. Si la superficie corresponde a un cuerpo negro, el poder emisivo total viene dado por la integral de la

distribucin de Planck para todas las longitudes de onda:

Eb (T ) = 0

Eb (T ) d = 0

C1

5 ( eC 2 T - 1 )

d = T 4

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Fig XVII.1.- Poder emisivo espectral del cuerpo negroy ley del desplazamiento de Wien


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resultado que se conoce como ley de Stefan-Boltzman, siendo: = ( C 2 ) 4 C115 = 5,67.10

-8 W m 2K 4

mien-

tras que C 1 y C 2 son las constantes de la ley de Planck, viniendo E b en unidades de flujo trmico, W/m 2.

Como el valor de es muy pequeo, los efectos de la radiacin a bajas temperaturas suelen ser des-

preciables; a la temperatura ambiente, del orden de 300K, la potencia emisiva total de un cuerpo negroes aproximadamente de 460 W/m 2, que es del orden de la dcima parte del flujo de calor transferido desdeuna superficie a un fluido por conveccin, cuando el coeficiente de transmisin convectiva del calor y la

diferencia de temperatura toman unos valores bajos, del orden de 100 W/m 2 K y 50K, respectivamen-te. Por ello, a temperaturas bajas es justificable, en la mayora de los casos, el despreciar los efectos ra-diativos. Sin embargo, su importancia es grande a altas temperaturas, ya que la potencia emisiva crececon la cuarta potencia de la temperatura absoluta.

Funciones de radiacin.- Si el poder emisivo monocromtico del cuerpo negro dado por la ley de

Planck, se integra para todo el intervalo de longitudes de onda desde ( = 0) hasta ( = 1) el resultado es

la energa radiativa total emitida por el cuerpo negro a la temperatura T entre las longitudes de onda 0 y

1. Al realizar la integracin se demuestra que el resultado es slo funcin del producto ( 1T):

0 1

Eb (T ) d = Eb( 0 1T )

Para determinar la cantidad total de energa radiativa emitida entre las longitudes de onda 1 y 2 para una superficie negra a la temperatura T basta con hallar la diferencia entre las integrales:

0 2

Eb

(T ) d - 0

1

E

b (T ) d = E

b( 0

2T ) - E

b( 0

1T )

Si se quiere conocer el tanto por ciento de la energa total del cuerpo negro emitida en todo el espec-tro, que se corresponda, por ejemplo, con un intervalo de longitudes de onda ( 1 < < 2 ) se divide la ecua-cin anterior por:

Eb (T ) = 0

Eb (T ) d = T 4 por lo que: El porcentaje de la energa radiativa del cuerpo negro correspondiente al intervalo de longitudesde onda ( 1 < < 2 ) es igual a:

Eb (0 2T ) - Eb (0 1T )

T 4 , en la que los valores de

Eb (0 T )

T 4 es-

tn recogidos en la Tabla XVII.1, en funcin del producto T en unidades SI; se conocen como Funcionesde Radiacin.

XVII.3.- TRANSMISIN DE CALOR POR RADIACIN La energa transmitida en forma de calor se hace mediante ondas electromagnticas a la velocidad

de la luz; la energa que abandona una superficie en forma de calor, por radiacin, depende de su tempe-ratura absoluta y de la naturaleza de la superficie.

Un radiador perfecto o cuerpo negro, emite un flujo de energa por radiacin a travs de su superficie,dado por la ecuacin:

qr = A T 4 = A Eb siendo :

= 5,67.10-8 W/m 2K 4 la constante de Stefan-Boltzman A el rea superficial en m 2 , y T la temperatura superficial en K

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Tabla XVII.1.- Funciones de radiacin del cuerpo negro

0,2 3,41796e-26 4,2 0,516046 8,5 0,8746660,4 1,86468e-12 4,4 0,548830 9,0 0,890090

0,6 9,293e-8 4,6 0,579316 9,5 0,9031470,8 1,64351e-5 4,8 0,607597 10,0 0,9142631,0 0,00032078 5,0 0,633786 10,5 0,9237751,2 0,00213431 5,2 0,658011 11,0 0,9319561,4 0,00779084 5,4 0,680402 11,5 0,9390271,6 0,0197204 5,6 0,701090 12,0 0,9451671,8 0,0393449 5,8 0,720203 13,0 0,955210 2,0 0,0667347 6,0 0,737864 14,0 0,962970 2,2 0,100897 6,2 0,754187 15,0 0,969056 2,4 0,140268 6,4 0,769232 16,0 0,973890 2,6 0,183135 6,6 0,783248 18,0 0,980939 2,8 0,227908 6,8 0,796180 20,0 0,985683 3,0 0,273252 7,0 0,808160 25,0 0,992299 3,2 0,318124 7,2 0,819270 30,0 0,995427 3,4 0,361760 7,4 0,829580 40,0 0,998057 3,6 0,403633 7,6 0,839157 50,0 0,999045 3,8 0,443411 7,8 0,848060 75,0 0,999807 4,0 0,480907 8,0 0,856344 100,0 1

T T T Eb (0 T )

T 4 Eb (0 T )

T 4 Eb (0 T )

T 4

Esta ecuacin dice que cualquier superficie irradia calor proporcionalmente a la cuarta potencia de sutemperatura absoluta ; aunque la emisin es independiente del medio exterior, la medida de la energa ra-diante requiere de una temperatura de referencia, como puede ser la de otro sistema que reciba la ener-

ga transferida, y as poder obtener a partir de esta referencia la transferencia neta de energa radiante.Si un cuerpo negroA 1 irradia a un recinto A 2 que le rodea completamente, y que se puede considerar

como una superficie negra, la transferencia neta de energa radiante, viene dada por:

qr = A1(T 1 4- T 2 4 ) = A1 ( Eb1 Eb2 )

siendo A 1 el rea superficial del cuerpo negro emisor, T 1 la temperatura del cuerpo negro emisor y T 2 la

temperatura del recinto, ambas en K.Si un cuerpo negro A 1 irradia a otro cuerpo negro A 2 la transferencia neta de energa radiante viene

dada por:

qr = A1 F 12(T 1 4- T 2 4 )

en la que F 1-2 se conoce como factor de forma o factor de visin, que modifica la ecuacin de los radiadoresperfectos teniendo en cuenta las geometras relativas de los cuerpos.

Los cuerpos reales no cumplen las especificaciones de un radiador ideal, sino que emiten radiacin aun ritmo inferior al de los cuerpos negros. Si a una temperatura igual a la de un cuerpo negro emiten unafraccin constante de la emisin correspondiente a un cuerpo negro, para cada longitud de onda, se deno-minan cuerpos grises.

Un cuerpo grisemite radiacin segn: qr = A1 1 T 1 4

La energa radiante neta transferida a la temperatura T 1 a un cuerpo negro que lo rodea, (medio ex-

terior), a la temperatura T 2 es:

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qr = A1 1( T 1 4 - T 2 4 )

en la que el subndice 1 se corresponde con el cuerpo gris, siendo 1 la emitancia del mismo, igual a la re-lacin entre la emisin de la superficie gris y la emisin de un radiador perfecto a la misma temperatura.

Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto, pero existe entre los mismos una determinadarelacin geomtrica, la energa radiante neta transferida entre ellos viene dado por:

qr = A1 F 12* ( Eb1- Eb2 ) = A1 F 12* (T 1 4- T 2 4 )

en la que F 12* es un factor de forma complejo que depende de las emisividades y de las geometras relati-

vas a los cuerpos.

XVII.4.- FACTOR DE FORMA DE LA RADIACIN

La transferencia de calor por radiacin entre dos superficies cualquiera, se calcula determinando elfactor de forma F 12 , que se interpreta como la fraccin de energa radiante total que abandona la super-

ficie A 1, (q 1 semiesfera ) y llega directamente a una segunda superficie A 2, (q 12).

Factor de forma d F dA 1 dA 2 entre dos superficies infinitesimales dA 1 y dA 2 .- Para deducir

una expresin del factor de forma

dF dA1 dA 2 =dqdA1 dA 2

dqdA1 semiesfera

se puede partir de la Fig XVII.2, en la que dA 1 es la superficie emisora, dA 2 es la superficie receptora ydw 12 el ngulo slido subtendido por el rea dA 2 desde dA 1.

La energa radiante dqdA1 dA 2 que se emite desde dA 1 y alcanza dA 2, viene dada por:

dqdA1 dA 2 = dA1 I 1 cos 1 dw12 =

dw121 2 =

dA 2 cos 2r 2 =

I 1 cos 1 cos 2 dA 2r 2 dA1

siendo: I 1 cos 1 , la intensidad de la radiacin contenida en el ngulo slido dwr, la distancia entre las superficies dA1 y dA 2

Fig XVII.2.- Nomenclatura para el clculo de la intensidad de la radiacin

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Fig XVII.3.- Nomenclatura para la definicin del ngulo slido dw en trminos de ,

Si se supone que la superficie emisora es difusa, la intensidad de la radiacin emitida por dA 1 es inde-

pendiente de la direccin, y los factores de forma son funcin, nicamente, de la geometra y no de la in-

tensidad de la radiacin.El flujo total que abandona dA 1 y que incide sobre una semiesfera que contenga a dA 2 y cuyo centro

sea O en dA 1, se calcula a partir del ngulo slido definido segn la Fig XVII.3, en la forma:

dqdA1 semiesfera= Eb1 dA1

El poder emisivo Eb1 del cuerpo negro emitido por unidad de superficie, es:

Eb1= I 1 cos dw = dw = dA 2r 2 =

( r d )(r d sen )r 2 = sen d d =

= I 1 cos sen d d = I 1 = 0 2 d = 0 2 cos sen d = I 1

Una superficie i se puede considerar como superficie elemental si se cumple que dAir 2


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que llega a dA 1, y el factor de forma correspondiente, son:

q 2 A 2 F A 2 dA1 = q 2 F dA 2 dA1 dA 2 A 2

F A 2 dA1 =1

A 2d F dA 2 dA 1 dA 2 A 2 =

dA 1 A 2

cos 1 cos 2 dA 2

r 2 A 2

Dividiendo los factores de forma miembro a miembro se encuentra:

F dA1 A 2F A 2dA1

= A 2dA1 dA1 F dA1 A 2 = A 2 F A 2dA1

Factor de forma para dos superficies finitas.- Si a continuacin se considera que las dos super-

ficies A l y A 2 son finitas y emisoras difusas, que el flujo trmico q 1 que sale de la superficie A 1 es unifor-

me en toda la superficie, la energa radiante (q 1 A l) que sale de A 1 y llega directamente a A 2 es:

q1 A1 F A1 A 2 = q1 A1 F dA1dA 2 dA1

F A1 A 2 =

A1 F dA1dA 2 dA1 A1

= 1 A1

A1 A 2 cos 1 cos 2 dA1 dA 2

r 2

Si los subndices A 1 y A 2 se intercambian, de forma que la superficie emisora sea la A 2 y la receptora

la A 1, se tiene:

F A 2 A1 =

F dA 2dA1 dA 2 A 2 A 2

= 1 A 2

A 2 cos 2 cos 1 dA 2 dA1

r 2 A1 Dividindolas miembro a miembro resulta:

A1 F A1 A 2 = A 2 F A 2 A1 ; A1 F 12 = A 2 F 21

Para dos superficies genricas Ai y A j se tiene: Ai F i j = A j F ji

Propiedades de los factores de forma.- Si las superficies forman un recinto, (por ejemplo 3 super-ficies), la energa emitida por la superficie A 1 tiene que incidir directamente sobre cada una de las tres

superficies que conforman el recinto, es decir:

E emitida superf (1) = E que llega a la superf (1)+ E que llega a la superf (2)+ E que llega a la superf (3)

y dividindolas por el primer miembro de la ecuacin, y teniendo en cuenta que la definicin del factor de

forma es F = Energa interceptada Energa emitida , se encuentra que: 1 = F 11+ F 12+ F 13 , que se conoce como relacin delrecinto o de la sumatoria.

Para n superficies que conforman el recinto: F i j = 1 j=1

n , con: i= 1, 2, ..., n

El factor F ii se incluye en el recinto siempre que la superficie A i sea cncava, ya que sta se puede

ver a s misma y, por lo tanto, una fraccin de la energa que emite incidir sobre alguna parte de ella.

Para superficies planas o convexas: F ii = 0Se han evaluado los factores de forma de radiacin para muchas superficies que aparecen en inge-

niera, cuya casustica se presenta en forma grfica al final del captulo. Las reglas anteriores de reci-

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procidad y de la sumatoria son tiles porque proporcionan relaciones simples que permiten evaluar losfactores de forma de un recinto, si se conocen los dems; para determinar todos los factores de formaposibles de un recinto, no se necesita calcular cada uno de ellos directamente, sino que se deben utilizarsiempre las relaciones de reciprocidad y sumatoria. Si representamos todos los factores de forma posi-

bles de un recinto de n superficies mediante la matriz:

F i j =

F 11 F 12 F 13 ... F 1nF 21 F 22 F 23 ... F 2nF 31 F 32 F 33 ... F 3n.... .... .... ... ....

F n1 F n 2 F n3 ... F nn

se observa que si el recinto tiene n superficies, hay que determinar n 2 factores de forma.

La regla de la reciprocidad proporciona otras relacionales adicionales: n 2

= n ( n - 1) 2 !

La regla de la sumatoria proporciona otras n relaciones adicionales.El nmero total de factores de forma que se deben calcular para un recinto de n superficies es:

n 2 - ( n ( n - 1) 2 ! + n ) =n ( n - 1)

2

Si las superficies son convexas o planas, desaparecern n factores de forma de una superficie conrespecto a s misma, por lo que el nmero total de factores de visin que se deben calcular es:

n ( n - 1)

2 - n =n ( n - 3 )

2

XVII.5.- LGEBRA DE FACTORES DE FORMA

Los diagramas de factores de forma se pueden utilizar para la determinacin de valores en geome-tras de orden superior utilizando un mtodo denominado lgebra de factores de forma. La distribucingeomtrica se descompone por medio del principio de la adicin y sustraccin aritmtica de los factoresde visin en distribuciones ms sencillas para las que ya existen diagramas y bacos del factor de for-ma.

a) Se desea evaluar el factor de forma F 12 de la composicin representada en la Fig XVII.5; como el l- gebra de factores de forma es un simple enunciado del Primer Principio de la Termodinmica, implica

que la energa que abandona la superficie A1 y llega a A 3 tiene que ser igual a la suma de las que llegan a Aa y A 2. Al ser (A 3 = Aa + A 2 ) la conservacin de la energa requiere que:

A1 F 13= A1 F 1a + A1 F 12 ; F 13= F 1a+ F 12 ; F 12= F 13 - F 1a

en la que F 13 y F 1a vienen tabulados y por lo tanto F 12 se puede determinar fcilmente. Aplicando la recproca se tiene:

A 3 F 31 = Aa F a1+ A 2 F 21= A1 F 13 ; F 21= F 31 A 3 A 2

- F a1 Aa A 2

b) Para evaluar el factor de formaF 12 para la geometra de la Fig XVII.6 en la que las superficies son:

A 3= A1+ Aa ; A 4 = Ab+ A 2

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Fig XVII.5 Fig XVII.6

aplicando lo anteriormente expuesto resulta: A 3 F 34 = Aa F ab+ Aa F a2 + A1 F 1b+ A1 F 12

F 34 y F ab se calculan mediante las grficas indicadas anteriormente:

A 3 F 3b= Aa F ab + A1 F 1b ; F 1b=

A 3 A1 F 3b

Aa A1 F ab

Aa F a4 = Aa F ab + Aa F a2 ; F a2 = F a4 - F ab

Combinando estas tres ecuaciones y despejando F 12 se obtiene:

F 12 = 1 A1

( A 3 F 34 - Aa F ab - Aa F a2 - A1 F 1b ) = 1 A1( A 3 F 34 - A 3 F 3b- Aa F a2 ) =

= 1 A1( A 3 F 34 - A 3 F 3b - Aa F a4 + Aa F ab )

Con los datos numricos de la Fig XVII.6 los valores de estos factores de forma, son:

F 34= 0,19 ; F a4= 0,32 ; F 3b= 0,08 ; F ab= 0,18

F 12 = ( 50x 0,19 ) - ( 50x0,08) - ( 20x 0,32) + ( 20x0,18)

30 = 0,097

y el 9,7% de la energa difusa que deja la superficie A 1 incide directamente sobre la superficie A 2.

c) Como la reciprocidad relaciona reas y factores de visin entre dos superficies que intercambian ra-diacin, vamos a considerar el ejemplo de la Fig XVII.7, en la que se han representado cuatro rectngulosde superficie A1 , A 2 , A 3 y A 4.

En base a la reciprocidad se tiene:

A1 F 1 4 = A 4 F 41= A1 A 4

cos 1 cos 4 dA1 dA 4 r 2 = a

a+ c

0d

0a

0b

cos 1 cos 4 r 2 dx dy dx dz

A 3 F 3 2 = A 2 F 2 3 = A 3 A 2

cos 2 cos 3 dA 2 dA 3 r ' 2 = a

a+ c

0b

0a

0d

cos 2 cos 3 r' 2 dx dy dx dz

Se observa que los lmites de integracin en ambos casos son iguales, por lo que existirn pares de

elementos en ambas configuraciones con los mismos valores de r, r y de ngulos , de lo que se deduce:

A1 F 1-4= A 2 F 2-3= A 3 F 3-2= A 4 F 4-1y como:

( A 3 + A 4 ) F (3 ,4)(1,2)= A 3 F 31+ A 3 F 3 2+ A 4 F 41+ A 4 F 4 2 = A 3 F 31+ 2 A 4 F 41+ A 4 F 4 2

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F 41 =

( A 3+ A 4 ) F (3,4)(1,2)- A 3 F 31- A 4 F 4 2 2 A 4

y el factor de visin entre los rectngulos A1 y A 4 se puede calcular en funcin de los factores de visinpropios de rectngulos perpendiculares con un lado comn.

Fig XVII.7 Fig XVII.8

Para evaluar el factor de forma F 14 en la configuracin (A1 , A 4 ) que se muestra en la Fig XVII.8, sedefinen las reas imaginarias A 2 y A 3, pudindose poner:

A1 F 14 = Aa F ab A1 F 13 A 2 F 24 A 2 F 23

El factor de forma F 23 es desconocido, observndose es de una configuracin similar a la del F 14; como

sabemos que A1 F 14 = A 2 F 23, el valor de F 14 es:

F 14 = Aa F ab A1 F 13 A 2 F 24

2 A1en la que slo intervienen factores de forma del tipo de los encontrados en la Fig XVII.5.

Eliminacin de superficies cncavas.- La cara superior radiante A 1 de la Fig XVII.9 es cncava,

luego presenta con respecto a s misma un factor de visin distinto de cero.

Fig XVII.9

Si sobre esta configuracin inicial imaginamos una nueva superficie A1* resultante de la eliminacinde concavidades de la original, o lo que es lo mismo, formada por la superficie plana creada al tensar A 1,

superficie que no se ve a s misma, se puede poner teniendo en cuenta la reciprocidad y la sumatoria:

A1 F 11*= A1* F 1*1=

F 1*1 + F 1*1*= 1F 1*1*= 0

F 1*1= 1 = A1* F 11*=

A1* A1

F 11+ F 11*= 1 F 11= 1 - F 11*= 1 -

A1* A1

Si la ecuacin: A1 F 11*= A1*, se multiplica por Eb1, resulta: A1 F 11* Eb1= A1* Eb1= qr , que es la ener-XVII.-321


12/34

ga que abandona A1 por radiacin, e indica que la radiacin emitida por una superficie cncava equivalea la que emitira la superficie mnima obtenida, al reemplazar las concavidades por superficies planas,supuestas a la misma temperatura. El sustituir el rea cncava A1 por el rea plana A1* no modificalos factores de visin del recinto respecto a otra superficie cualquiera i; por lo tanto, los F ij para todo(i 1) y (j 1), 1* se mantienen igual antes y despus de la sustitucin de A1 por A1*.

A su vez, para las superficies A1 y Ai se tiene:

i= 1

n F ij = 1 ;

F ii + F i1= 1F ii + F i1*= 1

F i1= F i1* Ai F i1= Ai F i1* = A1* F 1*i

que indica que en el recinto, a efectos de clculo, es vlida la sustitucin del rea A1 por el rea plana A1*.

Factores de forma para tres superficies convexas generadas a lo largo de una recta.- Va-

mos a considerar un recinto formado por tres superficies planas o convexas A1 , A 2 y A 3 , Fig XVII.10.Ninguna de las superficies tiene una curvatura positiva en la direccin de su radiacin por lo que slopueden verse desde cada una de las otras dos; por lo tanto sepuede poner:

F 12+ F 13 = 1 ; F 11 = 0F 21+ F 23 = 1 ; F 22 = 0F 31+ F 32 = 1 ; F 33 = 0

Multiplicando la primera ecuacin por A1, la segunda por A 2

y la tercera por A 3, y teniendo en cuenta las relaciones rec-procas correspondientes, se reduce el nmero de incgnitasde 6 a 3, resultando el siguiente sistema de ecuaciones:

A1 F 12 + A1 F 13 = A1 ; A1 F 12 + A1 F 13 = A1 A 2 F 21 + A 2 F 23 = A 2 ; A1 F 12 + A 2 F 23 = A 2 A 3 F 31 + A 3 F 32 = A 3 ; A1 F 13 + A 2 F 23 = A 3

F 12= A1 + A 2 - A 3

2 A1 F 13=

A1 + A 3- A 2 2 A1

F 23 = A 2+ A 3- A1

2 A 2

Mtodo de las cuerdas cruzadas.- Si se considera un recinto ms complejo, cuya seccin rectaviene representada en la Fig XVII.11, y se desea determinar el intercambio de energa radiante entrelas superficies A1 y A 2 o lo que es lo mismo el producto A1 F 12 se recurre a la siguiente construccin:

Entre los bordes B y L de A1 se tensa una cuerda que representa la seccin del rea efectiva A1*; acontinuacin se traza la lnea de longitud mnima por el interior del recinto entre los bordes B de A1 y Ede A 2, dando lugar a la lnea (BCDE) = (a); haciendo lo mismo entre los bordes L de A1 y F de A 2 se obtie-ne la lnea (LKJHGF) = (d).

El intercambio directo de energa radiante entre las superficies A1 y A 2 es el mismo, prescindiendo desi ambas superficies estn unidas por las lneas (BE) y (LF), o por las superficies primitivas, ya que nin-guna de las partes que A1 ve de A 2, o a la inversa, estn afectadas por esta situacin. A continuacin setrazan las lneas de longitud mnima entre B y F, lnea (BHGF) = (c), y entre L y E, lnea (LKJE) = (b).

XVII.-322

Fig XVII.10.- Recinto de tres superficies convexas


13/34

Fig XVII.11

Fig XVII.12a

Fig XVII.12b

De la Fig XVII.11 se deduce que desde A1* se pueden ver no slo A1 sino tambin (BCDE) = (a),(FGHJKL) = (d), y A 2; aplicando la propiedad de la sumatoria de los factores de forma:

F 1*-a + F 1*-d + F 1*-2+ F 1*-1* = 1F

1*-1+ F

1*-1*= 1 ; F

1*-1*= 0 F

1*-1= 1

F 1*-a + F 1*-d+ F 1*-2= 1

Multiplicndola por A1* resulta: A1* F 1*-a+ A1* F 1*-d+ A1* F1*-2= A1*

y teniendo en cuenta que: A1* F 1*-2= A 2 F 2-1*= F 2-1*= F 2-1 = A 2 F 2-1= A1 F 1-2, se obtiene:

XVII.-323


14/34

A1* F 1*-a+ A1* F 1*-d+ A1 F 1-2= A1*

por lo que: A1 F 1-2= A1*- A1* F 1*-a- A1* F 1*-d= A1* F 1*a =

A1*+ (a) - (b) 2

A1* F 1* d = A1*+ (d) - (c)

2

=

= A1*- A1*+ (a ) - (b)

2 - A1*+ ( d) - ( c)

2 = {( b) + ( c )} - {( a) + (d )}

2

en donde se ha considerado para el clculo de A1* F 1*a el recinto formado por tres superficies convexas A1* , (a) y (b), Fig XVII.12a, y para el clculo de A1* F 1*d el recinto formado por otras tres superficiesconvexas A1* , (c)y (d), Fig XVII.12b.

El producto A F para el intercambio radiativo entre superficies de este tipo, es la suma de las longi-

tudes de las dos cuerdas que se cruzan, tensadas entre los extremos que representan las superficies,menos la suma de las longitudes de las dos cuerdas que no se cruzan, tensadas asimismo entre las su-perficies, y todo ello dividido por dos, ( Httel).

Factores de forma de radiacin (Configuraciones en 2 dimensiones)

1.- Placas paralelas del mismo ancho

F A1 A 2 = 1 + ( ca )

2 ca

2.- Placas contiguas largas

F A1 A 2 =1 2 {1 +

ca - 1 + (

ca )

2 }

3.- Cua simtrica larga

F A1 A 2 = 1 - sen 2

4.- Cilindro largo paralelo, o esfera,respecto a una gran superficie plana

F A1 A 2 =1 2

5.- Cilindro largo paralelo a una placa

F A1 A 2 =

rb - a (arc tg

b c - arc tg

a c )

6.- Cilindros adyacentes largos y paralelos de dimetros iguales

F A1 A 2 =

1 p ( X

2+ 1 + arc sen

1 X )

X = 1 + sd = ed

XVII.-324


15/34

Factores de forma de radiacin (Configuraciones en 2 dimensiones)

1.- Superficie elemental dA1 y disco plano A 2 perpendicular al plano que contiene a dA1

X = a c ; Y =

b c ; F dA1 A 2 =

X 2 (

1 + X 2+ Y 2(1 + X 2+ Y 2 ) 2 - 4 Y 2

- 1 )

2.- Superficie elemental dA1 y disco plano A 2 paralelo al plano que contiene a dA1

X = ca ; Y =

b c ; Z = 1 + ( 1 + Y

2 ) X 2 ; F dA1 A 2 =1 2 (1 -

Z - 2 X 2Y 2 Z 2 - 4 Y 2 X 2

)

XVII.-325


16/34

3.- Superficie elemental dA1 paralela a un rectngulo A 2 Uno de los ngulos del rectngulo A 2 se encuentra en la normal a dA1

X = c

a; Y = b

c; F

dA1 A 2= 1

2 ( X

1 + X 2arc tg Y

1 + X 2+ Y

1 + Y 2arc tg X

1 + Y 2 )

F dA1 A 2 =1

2 ( a

b 2 + c 2arc sen b

a 2+ b 2+ c 2+ b

b 2 + c 2arc sen a

a 2+ b 2+ c 2 )

4- Dos rectngulos iguales y paralelos, X = L D , Y =h

D

F A 1 A 2 =

2 X Y (ln

(1 + X 2 ) (1 + Y 2 )1 + X 2 + Y 2

+ Y 1 + X 2 arc tg Y 1 + X 2

+ X 1 + Y 2 arc tg X 1 + Y 2

- Y arc tg Y - X arc tg X)

XVII.-326


17/34

5.- Superficie elemental dA1 Perpendicular a un rectngulo A 2 Uno de los ngulos del rectngulo A 2 se encuentra en lnea con dA1

X = ab ; Y = cb ; A =

1

X 2

+ Y 2

; F dA1 A 2 =1

2 ( arc tg1Y - A Y arc tg A)

6.- Dos rectngulos con una arista comn formando un ngulo de 90

X = ab ; Y =

cb ; Z = X

2 + Y 2

F A1 A 2 = 1 Y [X arc tg

1 X + Y arc tg

1Y - Z arc tg

1 Z +

1 4 ln {

(1 + X 2 ) (1 + Y 2 )1 + Z 2

( X 2 (1 + Z 2 ) Z 2 ( 1 + X 2 )

) X 2 ( Y 2 ( 1 + Z 2 ) Z 2 ( 1 + Y 2 )

)Y 2 }]

XVII.-327


18/34

7.- Dos rectngulos con una arista comn formando un ngulo

X =ab ; Y =

cb ; Z

2 = X 2+ Y 2 - 2 X Y cos

Y F A 1 A 2 = -

sen 2 4 {X Y sen - (

2 - ) (X

2 + Y 2 ) + Y 2 arc tg X - Y cos Y sen + X 2 arc tg Y - X cos X sen

} +

+ ( 1 2 -

sen 2 4 ) ln

(1 + X 2 )(1 + Y 2 )1 + Z + Y

2 ln Y 2 (1 + Z)

Z (1 + Y 2 )+ X 2 ln X

2 (1 + X 2 ) cos 2 Z (1 + Z ) cos 2

+ X arc tg 1 X + Y arc tg1Y - Z arc tg

1 Z

+

+ sen sen 2 2 X 1 + X

2 sen 2 ( arc tg X cos 1 + X 2 sen 2

+ arc tg Y - X cos 1 + X 2 sen 2

) +

+ cos

0Y 1 + 2 sen 2 {arc tg X - cos 1 + 2 sen 2 + arc tg

cos 1 + 2 sen 2

}d

XVII.-328


19/34

8.- Superficies circulares planas con una normal central comn

X =a c ; Y =

cb ; Z = 1 + ( 1 + X

2 ) Y

2;

F A1 A 2 =

1 2 (Z - Z

2- 4

a 2b 2 )

9.- Rectngulo A1 con cilindro finito A 2

XVII.-329


20/34

10.- Plano A1 con respecto a una o dos filas de tubos paralelas al plano

11.- Cilindros coaxiales finitos A1 exterior, A 2 interior

X = r1r 2

; Y = Lr 2; A = Y 2+ X 2 - 1 ; A = Y 2 - X 2 + 1

F A1 A 2 = 1 X - 1 X { arc cos B A - 1 2 Y ( ( A + 2 ) 2- ( 2 X ) 2 arc cos B X A ) + B arc sen 1 X - A 2 }

F 11 = 1 - 1 X +

2 X arc tg (

2 X 21Y ) -

Y 2 X {

4 X 2 + Y 2Y arc sen (

4 ( X 2 - 1) + Y 2 ( X 2 2 )

X 2Y 2+ 4 ( X 2- 1) ) - arc sen

X 2- 2 X 2 +

2 (

4 X 2 + Y 2Y - 1)}

XVII.-330


21/34

XVII.6.- INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES NEGRAS

Se supondr que las superficies estn en condiciones de estado estacionario y que todas ellas son ne-gras, difusas e isotermas. Toda superficie no isoterma se subdivide en otras hasta que las ms peque-

as estn a una temperatura uniforme. Asimismo se tendr en cuenta que el medio que separa las superficies es transparente a la radia-cin, es decir, ni la emite, ni la absorbe, ni la dispersa; se supondr que las superficies actan como emi-sores y reflectores difusos, que no imponen ninguna restriccin, por cuanto un cuerpo negro es siempreuna superficie difusa. Con estas condiciones se pueden aplicar las expresiones encontradas para el fac-tor de forma.

Los flujos que intervienen en el proceso trmico de la radiacin son:

qi j es la energa radiante emitida por la superficie i y que es absorbida por la superficie j

qi( neta) es la energa que hay que aadir a la superficie i para man-tener constante su temperatura

qi j es el intercambio de energa entre las superficies i y jPara evaluar estas energas radiantes consideraremos una geome-

tra sencilla formada por dos superficies negras a T 1 y T 2 y una tercera superficie ficticia a T 3 que repre-

senta el medio exterior, conformando entre las tres un recinto, Fig XVII.13.La energa radiante emitida por la superficie a T 1 que llega a la superficie a T 2 y que es absorbida

por sta, es:

q1 2 = A1 F 12 Eb1

siendo Eb = T 4 el poder emisivo total que viene dado por la integral de distribucin de Planck para todaslas longitudes de onda.

La energa emitida por la superficie a T 2 que es absorbida por la superficie a T 1, es:

q 21= A 2 F 21 Eb2 = A1 F 12 Eb2

Fig XVII.14.- Analoga de resistencias trmicas

El intercambio trmico entre las superficies a T 1 y T 2 es la diferencia entre las anteriores, es decir:

q1 2 = q12 = q1 2 q 21= A1 F 12 Eb1 A1 F 12 Eb2= A1 F 12 ( Eb1 Eb2 ) = Eb1 Eb21 A1 F 12

La expresin 1 A1 F 12se denomina resistencia geomtrica

XVII.-331

Fig XVII.13. Dos planos superficies negrasy el medio exterior a T 3


22/34

Los potenciales del circuito geomtrico son los poderes emisivos del cuerpo negro en ambas superfi-cies. La representacin del circuito trmico parcial aplicado a tres superficies se puede poner como seindica en la Fig XVII.14.

La energa neta q 1(neta) que se debe aplicar a la superficie A 1 para mantener tanto el rgimen esta-

cionario, como la temperatura constante, es la diferencia entre la energa emitida por la superficie A 1 y

la absorbida asimismo por A 1 procedente de A 2 y A 3.

La energa emitida por la superficie A1 es: q1( emitida)= A1 Eb1

La energa absorbida por la superficie A1 es la procedente de ella misma y de las superficies A 2 y A 3,y es de la forma:

q1(absorb.)= q11 + q 21+ q 31= A1 F 11 Eb1+ A 2 F 21 Eb2+ A 3 F 31 Eb3= A1 ( F 11 Eb1+ F 12 Eb2+ F 13 Eb3 )

por lo que:

q 1(neta ) = q1(emit ) - q 1( absorb) = A1 { Eb 1 - ( F 11 E b1 + F 12 E b 2 + F 13 E b3 )} = A1 {(1 - F 11 ) E b1 - F 12 E b 2 - F 13 Eb3 }

De igual manera: q 2( neta)= A 2 {-F 21 Eb1+ (1 -F 22 ) Eb2 - F 23 Eb3 } q 3( neta)= A 3 {-F 31 Eb1- F 32 Eb2+ ( 1 -F 33 ) Eb3 }

conformando las tres el siguiente sistema de ecuaciones:

q1(neta )= A1 {(1 -F 11 ) Eb1 - F 12 Eb2- F 13 Eb3 } q 2( neta)= A 2 {-F 21 Eb1+ (1 -F 22 )Eb2 - F 23 Eb3 } q 3(neta )= A 3 {-F 31 Eb1- F 32 Eb2+ ( 1 -F 33 ) Eb3 }

o en forma matricial: q1( neta)/A1 q 2( neta)/A 2 q 3( neta)/A 3

=1 - F 11 - F 12 - F 13- F 21 1 - F 22 - F 23- F 31 - F 32 1 - F 33

Eb1 Eb2 Eb3

Los valores de q 1(neta) , q 2(neta) y q 3(neta) se pueden incluir en el circuito trmico anterior, mediante

una fuente conectada a la unin de los potenciales, Fig XVII.15.

Fig XVII.15.- Circuito trmico para tres superficies negras que conforman un recinto

Las ecuaciones anteriores se pueden deducir tambin a partir del circuito trmico, teniendo en cuen-

XVII.-332


23/34

ta que en cada nudo, en condiciones estacionarias, el Principio de conservacin de la energa implica quela suma de todos los flujos trmicos tiene que ser cero, (Ley de Kirchoff), por lo que:

q1(neta )= q12+ q13= Eb1- Eb2

1 A1 F 12

+ Eb1- Eb31 A1 F 13

= A1 F 12 Eb1- A1 F 12 Eb2+ A1 F 13 Eb1 - A1 F 13 Eb3=

= A1 ( F 12+ F 13 ) Eb1- A1 F 12 Eb2 - A1 F 13 Eb3 =F 11+ F 12+ F 13 = 1F 12+ F 13 = 1 -F 11 =

= A1 ( 1 -F 11 ) Eb1- A1 F 12 Eb2 - A1 F 13 Eb3

El valor de q 3(neta) es la energa que hay que aplicar a A 3 procedente de A 1 y A 2 para mantener cons-

tante su temperatura; como se tiene que:

q1(neta ) + q 2(neta ) + q 3( neta) = 0

q 3(neta )= - q13 - q 23=

q13

= A1 F

13( E

b1- E

b3 )

q 23= A 2 F 23 ( Eb2- Eb3 ) = - A1 F 13 ( Eb1- Eb3 ) - A 2 F 23( Eb2 - Eb3 )

Esta tcnica se puede extender a cualquier nmero de superficies negras que conformen un recinto;la aplicacin de la ley de Kirchoff a circuitos implica en su forma general que:

qi(neta)=

j=1

n qij , con: n = 1, 2, 3, ...

en la que el trmino i = j no est incluido en el sumatorio.

La aplicacin de la ley de Ohm al circuito trmico proporciona: qij = Ebi - Ebj

1 Ai F ij

= Ai F ij (T i 4- T j 4 )

XVII.7.- INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE DOS SUPERFICIES NEGRAS Y UNA REFRAC-TARIA

Superficies refractarias.- Cuando el flujo neto de calor sobre una superficie i en un sistema radia-tivo es cero qi(neta) = 0 se dice que esta superficie es refractaria, o tambin superficie de reirradiacin.Estas superficies intercambian calor por radiacin, y si son despreciables otras formas de transmisinde calor, la energa incidente, o irradiacin, es igual a la energa que abandona la superficie, por lo que sepueden considerar como superficies reflectantes perfectas.

En la Fig XVII.16 se muestra un circuito formado por dos superficies negras A 1 y A 2 y una superficie

refractaria A R . Se observa que el circuito trmico anterior, de tres superficies negras que conforman un

recinto, se modifica para tener en cuenta la superficie refractaria, haciendo q R(neta) = 0, en el punto no-dal R correspondiente, que se convierte en un potencial cuya temperatura viene determinada por las

temperaturas de las dems superficies participantes, siendo su poder emisivo EbR = T R 4 .

Temperatura de la superficie refractaria. - La temperatura T R de la superficie refractaria se

determina a partir del circuito trmico teniendo en cuenta que la superficie refractaria cumple:

q1R + q 2R= 0 ; q1R= - q 2R

Eb1- EbR1 A1 F 1R

= EbR- Eb2

1 A 2 F 2R T R =

T 1 4 A1 F 1R+ T 2 4 A 2 F 2R A1 F 1R+ A 2 F 2R

4

en la que hay que conocer las temperaturas T 1 y T 2, as como el rea de las superficies.

XVII.-333


24/34

Fig XVII.16.- Dos superficies negras A1 y A 2 y una superficie refractaria R

Factor de forma general.- La energa intercambiada entre A 1 y A 2 es la suma de la energa direc-

tamente intercambiada entre ellas y de la energa reflejada por la refractaria A R , es decir:

q12 = A1 Eb1 F 12* - A 2 Eb2 F 21* = A1 F 12* ( Eb1- Eb2 ) = Eb1 - Eb2

1 A1 F 12*

Una expresin del factor de forma general F 12* para dos superficies negras (o dos superficies gri-ses),

y una refractaria A R se obtiene a partir de la Fig XVII.17, en la que se han representado los factores de

forma correspondientes a las diversas reflexiones en la superficie refractaria, y su incidencia en la su-perficie negra A 2, a partir del calor emitido por la superficie A 1.

El factor de forma F 12* tiene la siguiente expresin:

F 12* = F 12+ F 1R F R2 + F 1R F RR F R2+ F 1R F RR 2 F R2+ F 1R F RR 3 F R2+ ... =

= F 12 + F 1R F R 2 ( 1 + F RR + F RR

2 + F RR 3 +... ) = F 12 + F 1R F R2

F RR

n F RR - 1F RR - 1

= F 12 +F 1R F R21 - F RR

= F RRn 0 =

=

1 = F RR+ F R1+ F R2

1 - F RR= F R1+ F R2 = A R F R1 = A1 F 1R F R1=

A1 A R

F 1R

A R F R2= A 2 F 2R F R2= A 2 A R

F 2R

= A1 A R F 1R+

A 2 A R

F 2R =

Fig XVII.17.- Esquema para la determinacin del factor de forma de dos superficies negras y una refractaria

XVII.-334


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= F 12 +F 1R F 2R

A 2 A R

F 1R A1 A R

+ F 2R A 2 A R

= F 12 +F 1R F 2R A 2

F 1R A1 + F 2R A 2= F 12 + 1 A1

F 2R A 2+ 1F 1R

q12= A1 F 12* ( Eb1- Eb2 ) = A1 ( F 12+ F 1R F R21 - F RR ) ( Eb1- Eb2 ) = A1 ( F 12+ 1 A1

F 2R A 2+ 1F 1R

) ( Eb1- Eb2 )

que es lo mismo que considerar el intercambio trmico entre A 1 y A 2 como si no hubiese superficie re-

fractaria, incluyendo el efecto de sta sobre las dos paredes, que se puede interpretar como una resis-tencia trmica adicional en paralelo.

Casos particulares.- Para el caso de que las dos superficies negras sean planas o convexas, y el

resto refractarias, conformando un recinto, se pueden introducir las siguientes simplificaciones:

a) Las superficies A1 y A 2 no se ven a s mismas:F

11 = 0 ;F

22 = 0

F 12* = F 12 + 1 A1

F 2R A 2+ 1F 1R

=F 11 + F 12+ F 1R = 1 ; F 1R= 1 -F 12 F 21+ F 22+ F 2R= 1 ; F 2R= 1 -F 21= 1 -F 12

A1 A 2

=

= F 12 + 1 A1 A 2- F 12 A1

+ 11 - F 12

= F 12 + A 2 - A1 F 12- A 2 F 12+ A1 F 12 2

A1 + A 2 - 2 A1 F 12=

A 2 - A1 F 12 2 A1 + A 2 - 2 A1 F 12

q12= A1

A 2 - A1 F 122 A1+ A 2- 2 A1 F 12

( Eb1- Eb2 )

b) Las dos superficies negras no se ven entre s, ni entre una y otra:

F 12= 0 ; F 12* = A 2

A1+ A 2 q12=

A1 A 2 A1+ A 2

( Eb1- Eb2 )

c) Las dos superficies son adems iguales, A1 = A 2 , F 12* = 1 2 q12= A1 2 ( Eb1- Eb2 )

XVII.8.- INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES GRISES

Sabemos que cuando una radiacin incide sobre una superficie gris, una porcin de la radiacin se re-fleja. Para el caso de superficies grises isotermas que conforman un recinto, en rgimen estacionario, enel que el medio exterior no participa radiativamente, por considerarle transparente a la radiacin, y en elsupuesto de que la irradiacin en cada superficie se distribuye uniformemente, se aplica la ley de Kir-choff de la radiacin que dice:

En el equilibrio trmico la temperatura permanece constante, por lo que la absortividad de una superficie es igual a su emisividad , ( = ) .

Si adems las superficies grises son opacas, su coeficiente de transmisividad es = 0 y como se tieneque cumplir el balance energtico de la radiacin:

+ + = 1 = = 1 -

Se define la radiosidad J como la energa radiante que abandona la superficie gris, es decir, represen-

ta toda la radiacin que sale de la superficie y es igual a la suma de la fraccin de energa E b emitida porXVII.-335


26/34

la superficie debida a su temperatura T y de la irradiacin G reflejada por unidad de superficie, Fig XVII.19:

J = Eb+ G

Fig XVII.18.- Balance energtico de la radiacin sobre un cuerpo gris

Fig XVII.19.- Balance energtico sobre dos planos imagi-narios por encima y por debajo de la superficie

El flujo de calor a travs de la superficie se puede expresar de dos maneras distintas:- Si se supone un plano imaginario situado a una pequea distancia por encima de la superficie gris

real Ai cuya misin es representar el estado superficial de la misma, como plano reflectante de la radiacin incidente,Fig XVII.19, el balance energtico sobre este plano (en rgimen estacionario) exige que laenerga neta que hay que suministrar a la superficie gris para mantener constante su temperatura, seaigual a la diferencia entre la energa J que abandona la superficie y la irradiacin G que incide sobre lamisma:

qi( neta)= Ai ( J i - Gi ) =

J i=

iE

bi+

iG

i

Gi= J i - i Ebi

i= Ai ( J i - J i - i Ebi i

) =

= Ai J i ( i - 1) + i Ebi

i= = 1 - = Ai

- J i i + i Ebi i

= Ebi - J i i

Ai i

= i i

( Ebi - J i ) Ai

Si esta ecuacin se considera en forma de la ley de Ohm, el denominador es una resistencia trmicade radiacin que separa los potenciales E bi y J i, tal como se indica en la Fig XVII.20.

La resistencia es debida al hecho de que la superficie gris refleja una fraccin de la radiacin inciden-

te, por lo que equivale a una resistencia superficial que se aade al circuito trmico para superficies ne-gras y que explica el intercambio radiativo entre superficies grises.

Fig XVII.20.- Resistencia superficial de una superficie gris

La estructura bsica del circuito desarrollado para superficies negras permanece invariable cuandose trabaja con superficies grises, por cuanto las resistencias son funcin nicamente de la geometra delas superficies y no de sus propiedades fsicas superficiales.

XVII.-336


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Fig XVII.22.- Circuito trmico de dos superficies grises que conforman un recinto conF 13 = 0

Esto implica que el medio exterior 3 que separa las superficies, no interviene en el circuito trmico yaque como F 11 = 0, resulta que F 13 = 0, siendo de aplicacin a los siguientes casos:

- Dos placas paralelas infinitamente anchas- Dos cilindros concntricos largos, o dos esferas concntricas- Un cuerpo pequeo rodeado por una gran superficie cerrada

El recinto trmico requiere: q1(neta )= q12 = - q 2( neta)

q1(neta )= Eb1- J 1 1

1 A1= J 1- J 21

A1 F 12= J 2 - Eb2 2

2 A 2= Eb1- Eb2 1

1 A1+ 1 A1 F 12

+ 2 2 A 2

Aplicndola a los casos citados, y teniendo en cuenta que ( = 1 - ), se obtiene:

1) Dos placas paralelas infinitas de igual rea: A1 = A 2 ; F 12 = 1

q1(neta )= Eb1- Eb2

1 1

+ 1 + 2 2

A1 = Eb1- Eb2

1 - 1 1

+ 1 + 1 - 2 2

A1 = Eb1- Eb21

1+ 1

2- 1

A1

2) Dos cilindros concntricos largos, el interior de superficie A1 y el exterior de superficie A 2 , o dos esfe-ras concntricas,F 12 = 1

q1(neta )= Eb1- Eb2

1 1 A1

+ 1 A1+ 2

2 A 2

= Eb1- Eb2 1 1

+ 1 + 2 A1 2 A 2

A1= Eb1- Eb2

1 - 1 1

+ 1 + 2 A1 2 A 2

A1= Eb1 - Eb21

1+ 2 A1

2 A 2

A1

3) Un cuerpo pequeo A1 rodeado por una gran superficie cerrada A 2 A1 A 2

= 0 ; F 12 = 1

q1(neta )= Eb1- Eb2

1 1 + 2 A1 2 A 2

A1 = A1

A 2= 0 = 1 A1 ( Eb1 - Eb2 )

Recinto formado por dos superficies grises especulares.- El clculo del intercambio radiativo

cuando algunas de las superficies son especulares puede ser complicado, salvo que la geometra del sis-tema sea sencilla.

- Dos placas paralelas infinitamente anchas.- En este caso toda la radiacin reflejada por una de lasparedes llega directamente a la otra, sin importar si la radiacin es difusa o especular, por lo que la ex-presin anteriormente hallada para superficies difusas es perfectamente vlida:

q1(neta )=

Eb1

- Eb21

1+ 1

2- 1 A1

- Dos cilindros concntricos largos, el interior de superficie A1 y el exterior de superficie A 2 o dos esferas

XVII.-338


29/34

concntricas,F 12 = 1, Fig XVII.23.

a) Cuando la superficie interior es especular y la exterior no, (o cuandolas dos superficies sean difusas), es vlida la ecuacin:

q12= Eb1- Eb21

1+ 2 A1

2 A 2

A1

b) Cuando la superficie exterior es especular y la interior es difusa (o especular),se obtiene otro resultado en base a las siguientes conside-raciones:

La radiacin que incide sobre A 1 es (A1 G1 ), y consta de dos sumandos:- La radiacin emitida por la superficie A 2 y que llega a la superficie A1 es:

2 Eb2 A 2 F 21= 2 Eb2 A1 F 12= F 12= 1 = 2 Eb2 A1

- La radiacin J 1 que sale de A1 y que reflejada por A 2 vuelve a A1 es:

J 1 A1 2= ( 1 Eb1 + 1 G1 ) A1 2

Por lo tanto, la radiacin G 1 que incide sobre A 1 es:

A1 G1 = 2 Eb2 A1 + A1 ( 1 Eb1+ 1 G1 ) 2 G1 =

2 Eb2 + 1 Eb1 21 - 1 2

q1(neta )= A1 1 ( Eb1- G1 ) = A1 1 ( Eb1- 2 Eb2+ 1 Eb1 21 - 1 2 ) = Eb1- Eb21

1+ 1

2- 1 A1

que es un resultado idntico al de placas paralelas infinitas de igual rea.

Recinto formado por dos superficies grises, difusas y opacas, y varias pantallas de radia-

cin.- La radiacin trmica entre dos superficies grises A1 = A 2 difusas y opacas que forman un recintocon F 12 = 1, se reduce notoriamente si se interpone entre ellas una pantalla de proteccin de la radiacin,superficie A 3, construida con un material de baja , cuya misin es incrementar la resistencia trmica

de la radiacin entre las superficies A 1 y A 2.

- Placas paralelas infinitas de igual rea: A1 = A 2 = A 3 = A ; F 12 = 0 ; F 13 = F 32 = 1

Si 31 y 32 son las emisividades del material de baja emisividad de la pantalla respecto a las superfi-cies A1 y A 2 , y F 13 = F 32 = 1, se tiene, Fig XVII.24:

q1(neta )= Eb1 - J 1

1 - 1 1 A

= J 1 - J 311 A F 13

= J 31 - Eb31 - 31 31 A

= Eb3 - J 321 - 32 32 A

= J 32 - J 21 A F 32

= J 2 - Eb21 - 2 2 A

=

=

Eb1- Eb21

1+ 1 - 31

31+ 1 - 32

32+ 1

2 A

= Eb1- Eb2

( 1 1

+ 1 2

- 1) + ( 1 31

+ 1 32

- 1 ) A

XVII.-339

Fig XVII.23

Reflexin sobre dos cilindros especulares


30/34

Fig XVII.24.- Placas paralelas infinitas de igual rea y pantalla de radiacin

Si: 31= 32= 3 , resulta: q1( neta)= Eb1 - Eb2

1 1

+ 1 2

+ 2 1 - 3 3

A

Si las emisividades de todas las superficies son iguales: 1 = 2 = 31 = 32 = , por lo que:

q1(neta )(1)= Eb1- Eb2

2 ( 2 - 1 )

A para N pantallas protectoras: q1(neta )(N )= Eb1 - Eb2

( N + 1) ( 2 - 1 )

A

Para el caso particular de que las superficies fuesen negras ( = 1)se tiene:

Sin pantalla: q1(neta)(0)= Eb1- Eb2

1 A

Con 1 pantalla: q1(neta )(1)= Eb1- Eb2

2 A

Con N pantallas: q1(neta )(N )= Eb1- Eb2

N + 1 A

observndose que en este caso el efecto de la placa reduce a la mitad el intercambio de energa, por lo

que a la pantalla se la llama escudo de radiacinComparando el caso de N pantallas de radiacin, con el de dos placas planas paralelas infinitas de

igual rea, A1 = A 2 , yF 12 = 1, sin pantallas de radiacin, resulta:

q1(neta)( N ) q1(neta)( 0)

= 1 N + 1

- Dos cilindros concntricos largos, uno A1 dentro del otro A 2 , o dos esferas concntricas opacas, conuna pantalla de radiacin de superficie A 3 entre los dos cilindros o entre las dos esferas F 12 = 0, siendo

las emisividades de la pantalla de radiacin 31 y 32 , y los factores de forma:

F 11+ F 13= 1 ; F 11= 0 ; F 13= 1 F 32+ F 33= 1 ; F 33= 0 ; F 32= 1

La transferencia de calor por radiacin que atraviesa estas superficies, pantalla incluida, se deter-mina mediante la ecuacin:

q1(neta )= Eb1- J 1

1 - 1 1 A1

= J 1- J 311 A1 F 13

= J 31- Eb31 - 31 31 A 3

= Eb3 - J 321 - 32 32 A 3

= J 32- J 21 A 3 F 32

= J 2 - Eb21 - 2 2 A 2

=

= Eb1- Eb2

1 1

+ ( 1 2

- 1 ) A1 A 2+ ( 1

31+ 1

32- 1) A1 A 3

A1

XVII.-340


31/34

Una aplicacin interesante es el clculo de las prdidas de calor q 1(neta) de un termopar, utilizado

para medir la temperatura de un flujo de gases calientes que circulan en rgimen estacionario por el in-terior de un conducto cilndrico A 2; el termopar A 1 est recubierto por una funda cilndrica A 3, que le pro-

teje de la radiacin, Fig XVII.25; despreciando efectos de borde, y teniendo en cuenta que F 13 = F 32 = 1 setiene:

q1(neta )= q13= Eb1- J 1

1 - 1 1 A1

= J 1- J 311F 13 A1

= J 31- Eb31 - 31 31 A 3

= Eb1 - Eb31

1+ A1 A 3

( 1 31

- 1 )A1

q1(neta )= q 32= Eb3- J 32

1 - 32 32 A 3

= J 32- J 21F 32 A 3

= J 2- Eb21 - 2 2 A 2

= Eb3- Eb21

32+ A 3 A 2

( 1 2

- 1 )A 3

q1(neta )= q12= Eb1- Eb2

1 1 + A

1 A 3 ( 1 31 - 1) + A

1 32 A 3 + A

1 A 2 ( 1 2 - 1 )A1

Fig XVII.25.- Termopar protegido por una funda

El valor de q 1(neta) es tambin la energa intercambiada por conveccin entre el flujo de gases a T F y

el termopar, observndose que las prdidas de calor por radiacin dependen del tamao A 3 del termopar

y de la emisividad del material de la funda protectora 31 y 32 .

Recinto formado por tres superficies grises, dos opacas y una refractaria

La temperatura de equilibrio de la superficie refractaria, que junto con otras dos superficies grisesconforman un recinto, se obtiene a partir de:

q R(neta )

= q R1

+ q R2

= 0 ; q1R

= q R2

J 1 - EbR1 A1 F 1R

= EbR - J 2

1 A 2 F 2 Rcon: E

bR= T

R

4

T R=

J 1 A1 F 1R+ J 2 A 2 F 2R ( A1 F 1R + A 2 F 2R)

4

Si de las tres superficies grises dos son opacas y la tercera refractaria, el circuito trmico correspon-diente es el representado en la Fig XVII.26.

La conservacin de la energa en la superficie refractaria R requiere:

q1(neta)+ q 2(neta)+ q R(neta) = 0 ; q R(neta)= 0 ; q1(neta)+ q 2(neta)= 0 ; q1(neta)= - q 2(neta)

q1(neta )= Eb1- J 1

1 1 A1

= J 1- J 2 R equiv= J 2 - Eb2

2 2 A 2

= Eb1- Eb2 1

1 A1+ R equiv+

2 2 A 2

= Eb1- Eb2

1 1 A1

+ 1 A1 F 12*+ 2

2 A 2

XVII.-341


32/34

Fig XVII.26.- Circuito trmico de dos superficies grises y una refractaria que conforman un recinto

en las que:

F 12* = F 12+

F 13 F 321 - F 33

con (3) superficie refractaria

1 R equiv= 1 R12

+ 1 R13 + R 23= R12 + R13 + R 23 R12 ( R13 + R 23 )

R equiv= R12 ( R13 + R 23 ) R12 + R13 + R 23

R equiv =

1 A1 F 12

( 1 A 1 F 13

+ 1 A 2 F 23

)

1 A1 F 12

+ 1 A 1 F 13 + 1 A 2 F 23

=

F 12F 13

+ A 1 F 12

A 2 F 23

1 +F 12F 13

+ A 1 F 12 A 2 F 23

1 A1 F 12

= X = F 12F 13

+ A 1 F 12 A 2 F 23

= X 1 + X

1 A1 F 12

q1(neta )= Eb1- Eb2

1 1 A1

+ X 1 + X 1

A1 F 12+ 2

2 A 2

= Eb1- Eb2 1 1

+ X 1 + X 1

F 12+ 2 A1

2 A 2

A1

XVII.9.- TCNICAS MATRICIALES

Cuando un problema de radiacin incluye un nmero de superficies participantes superior a cuatro,los flujos de calor o las temperaturas de las superficies se determinan mediante clculo matricial, endonde el nmero de superficies no influye prcticamente en el trabajo requerido para su resolucin, redu-cindose el problema a determinar la matriz inversa de una dada.

Las ecuaciones matriciales que se utilizan son de dos tipos: Superficies con temperaturas conocidas Superficies con flujo de calor conocidos

Superficies con temperaturas conocidas .- Para organizar las ecuaciones en forma matricial sesupone que se conocen todas las temperaturas de las superficies y que lo que se pretende es calcular losflujos netos de calor para todas ellas; asimismo hay que recordar que todas las superficies son opacas,grises e isotermas, y que la distribucin de la energa radiante sobre las mismas es uniforme.

Para simplificar el mtodo matricial consideraremos slo tres superficies; la radiacin incidente G 1

sobre la superficie A 1 es debida a la radiosidad que sale de dicha superficie e incide sobre s misma (ya

que se puede suponer cncava), ms la radiosidad que incide sobre A 1 procedente de las otras dos super-

ficies que conforman el recinto; el circuito trmico para este caso es el indicado en la Fig XVII.9, en elque el flujo neto de calor para cada superficie es:

qi( neta)= Ai ( J i - Gi ) qi( neta)=

Ebi- J i i

Ai i

= i i

( Ebi- J i ) Ai

i i( Ebi- J i ) Ai = ( J i - Gi ) Ai J i (1 +

i i

) = i i

Ebi+ Gi

XVII.-342


33/34

Para la superficie A 1 se tiene:

A1 G1 = A1 F 11 J 1+ A 2 F 21 J 2+ A 3 F 31 J 3 + ... = A1 F 11 J 1+ A1 F 12 J 2 + A1 F 13 J 3 + ...

G1= F 11 J 1+ F 12 J 2 + F 13 J 3+ ...

y sustituyendo en la anterior (i = 1)resulta:

J 1 (1 +

1 1

) = 1 1

Eb1+ G1 = 1 1

Eb1+ ( F 11 J 1 + F 12 J 2+ F 13 J 3 + ...)

(1 -F 11+

1 1

) J 1+ (-F 12 ) J 2+ (-F 13 ) J 3 = 1 1

Eb1

obtenindose para las superficies A 2 y A 3:

Superficie A 2: (-F 21 ) J 1 + (1 -F 22 + 2 2

) J 2+ (-F 23 ) J 3 = 2 2

Eb2

Superficie A 3: (-F 31 ) J 1+ (-F 32 ) J 2 + (1 - F 33 + 3 3 ) J 3 = 3 3

Eb3

ecuaciones que se pueden resumir en la forma matricial siguiente:

1 - F 11 + ( 1/ 1 ) - F 12 - F 13- F 21 1 - F 22+ ( 2/ 2 ) - F 23- F 31 - F 32 1 - F 33+ ( 3/ 3 )

J 1 J 2 J 3

=

( 1/ 1 ) Eb1( 2/ 2 ) Eb2( 3/ 3 ) Eb3

Para el caso general de n superficies que conforman un recinto, A es una matriz de ( n.n) elementos,de la forma:

A = a11 a12 ... a1na 21 a 22 ... a 2n... ... ... ...an1 an2 ... ann

Diagonal principal: aii= 1 - F ii+ i i

; i = jFuera de la diagonal principal: a ij = - F ij ; i j

Las matrices columna J y B estn formadas por n elementos: J = J 1 J 2...

J n

; B =

b1b 2...bn

Los elementos de la matriz B son de la forma: bi = i Ebi

i, pudindose poner que: A J = B

Cuando una superficie del recinto, por ejemplo la A i sea refractaria ( i = 1; i = 0), i i = 0y la

ecuacin correspondiente es:

(1 -F ii ) J i + (- F i2 ) J 2 + (-F i3 ) J 3 + ... + (-F in ) J n = 0

Cuando una superficie A i del recinto sea negra, se cumple J i = Ebi siendo los elementos de las matri-ces A y B del cuerpo negro:

aij = 0 , ( i j) ; aii = 1 ; bi = Ebi

Si la superficie A1 es gris, la A 2 negra y la A 3 refractaria, la matriz correspondiente es :

1 - F 11 + ( 1/ 1 ) - F 12 - F 1R0 1 0

- F R1 - F R2 1 - F RR

J 1 J 2 J R

=

( 1/ 1 ) Eb1 Eb2

0

XVII.-343


34/34

Si se tienen dos superficies negras conectadas por una rerradiante:

1 0 00 1 0

- F R1 - F R2 1 - F RR

J 1 J 2 J R

=

Eb1 Eb2

0

Los elementos de la matriz J (que determinan los valores de la irradiacin J i sobre todas las superfi-cies) se obtienen a partir de la ecuacin J = C B , que se puede escribir en la forma:

J 1= c11 b1+ c12 b 2 + ... + c1n bn J 2 = c 21 b1+ c 22 b 2+ ... + c 2n bn...................................................... J n = cn1 b1+ cn2 b 2+ ... + cnn bn

El flujo neto de calor en una superficie gris es: qi(neta)= i i

( Ebi - J i ) Ai

En una superficie A i negra, J i = Ebi, la expresin del flujo neto de calor es:

qi(neta) sup.negra= (Ebi - j=1

j=n F ij Ebj ) Ai= (J i -

j=1

j=n F ij J j ) Ai = (J i - Gi ) Ai

Superficies con flujo neto de calor conocido.- Si las temperaturas de todas las superficies que

conforman el recinto se suponen desconocidas, pero se conocen los flujos netos de calor de todas ellas, laecuacin:

q1(neta )= J 1 A1 - ( F 11 J 1+ F 12 J 2 + F 13 J 3 ) A1= {(1 -F 11 ) J 1+ F 12 J 2 + F 13 J 3 } A1

se puede poner en funcin de magnitudes conocidas despejando la incgnita Eb1 y manteniendo el valorconocido q1(neta).

La forma matricial para tres superficies grises A 1, A 2 y A 3 , que conforman un recinto es:

(1 - F 11 ) J 1- F 12 J 2- F 13 J 3 = q1(neta)/A1- F 21 J 1+ (1 -F 22 ) J 2 - F 23 J 3 = q 2( neta)/A 2- F 31 J 1- F 32 J 2 + (1 - F 33 ) J 3 = q 3( neta)/A 3

1 - F 11 - F 12 - F 13- F 21 1 - F 22 - F 23- F 31 - F 32 1 - F 33

J 1 J 2 J 3

=

q1( neta)/A1 q 2( neta)/A 2 q 3( neta)/A 3

Los elementos de la matrizA son de la forma: Fuera de la diagonal principal: a ij = - F ij ; i j En la diagonal principal: a ii= 1 -F ii

Los elementos de la matrizB son de la forma: qi(neta) Ai

Determinados los elementos de A y B se calcula la matriz C inversa de la matriz A ; los elementos dela matriz radiosidad J vienen determinados por la ecuacin J = C B , mientras que las temperaturas delas superficies pueden determinarse a partir de la ecuacin:

qi( neta)=

i i

( Ebi- J i ) Ai ; Ebi = i

i Aiqi( neta) + J i = T i 4 T i =

i i Ai

qi(neta)+ J i

4

Si la superficie A i fuese un cuerpo negro i = 0, su temperatura sera T i = J i 4

xvii.- radiación térmica

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