xiii jornades d’educaciÓ matemÀtica de la ......xxiii jornades d’educaciÓ matemÀtica 1...

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICADELACOMUNITATVALENCIANA

INNOVACIÓITECNOLOGIAENEDUCACIÓMATEMÀTICA

Alacant,19-20d’octubrede2018

Universitatd’Alacant

COMITÉEDITOR-MAQUETACIÓ

JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)

ÒscarFornerGumbau(SEMCV)

JuliaMuñozMartínez(SEMCV)

COMITÉORGANITZADOR

FernandoArenasPlanelles(SEMCV)


JoséAurelioPinaRomero(SEMCV)

FerranVerdúMonllor(UA)

JoséAntonioMoraSánchez(SEMCV)

COMITÉCIENTÍFICFernandoArenasPlanelles(SEMCV)


MaríaGarcíaMonera(SEMCV)

AmparoMonederoMira(SEMCV)

COMITÉTÈCNIC

Dissentdelcartell:JoséFernandoJuanGarcía

Pàginaweb:JuanFernandoLópezVillaescusa

Plataformad’inscripció:JuanManuelCouchoudPérez

REVISIÓDELTEXT

MariaTeresaNavarroMoncho

ISBN:978-84-09-14773-1

Primeraedició:setembrede2019

Editor:InstitutdeCiènciesdel’Educació(ICE)delaUniversitatd’Alacant

Qualsevolformadereproducció,distribució,comunicaciópúblicaotransformaciód’aquestaobranoméspotserrealitzadaambl’autoritzaciódelseustitulats,llevatdelesexcepcionsprevistesperlallei.Adreceu-vosaCEDRO(CentroEspañaoldeDerechosReprográficos,www.cedro.org)sinecessiteufotocopiaroescanejaralgunfragmentd’aquestaobra.

NOTAEDITORIAL:Lesopinionsicontingutsdelstextospublicatsenaquestaobrasónderesponsabilitatexclusivadelsautors.

COL·LABORADORS

XXIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA

1

EDITORIAL 3

CONFERÈNCIES 7

CONFERÈNCIA:L’AVENTURAD’INNOVARENL’ENSEYAMENTDELESMATEMÀTIQUES. 7

TALLERS 21

T-01.LACALCULADORACIENTÍFICAAL’AULADEMATEMÀTIQUES. 21T-02.INVESTIGACIONESENCLASEDEMATEMÁTICASCONGEOGEBRA 41T-03.EDPUZZLE:UNRECURSOPARAELFLIPPEDCLASSROOM 55T-04.CREANDOVÍDEOSPARALAENSEÑANZAYELAPRENDIZAJEDELASMATEMÁTICAS. 63T-05.TEOREMA"DOBLARYCORTAR":UNEJEMPLODEINVESTIGACIÓNMATEMÁTICA. 79T-06.SUPERFICIESSECCIONADAS 89T-07.LACALCULADORACOMARECURSDIDÀCTICAL’EDUCACIÓPRIMÀRIA. 101T-08.LOSCALENDARIOSMAYAS. 113T-09.INNOVACIÓNSINPERDERLOSPAPELES 123T-10.MANIPULANDOZ. 135

COMUNICACIONS 155

C-01.ANÀLISIDELACOMPRENSIÓENESTUDIANTSDEBATXILLERATDELCONCEPTEDELÍMITD’UNAFUNCIÓENUNPUNT. 155C-02.EMMA,ESTÍMULDELTALENTMATEMÀTICCOMARCAL. 173C-03.JUGANTAMBGEOGEBRA. 181C-04.APRENDIZAJEBASADOENPROYECTOSEN2ºPMAR. 189C-05.TAULES,PARÀMETRESIGRÀFICSESTADÍSTICSRÀPIDSAMBGEOGEBRAPERAL'AULAD'ESO. 201C-06.APPRENDIENDOMATEMÁTICASCONJUEGOSMÓVILES. 241C-08.TRASLAPISTA.(A2/0B11). 257C-08.PROBLEMASRICOSENSECUNDARIACOMODETECTORDECAPACIDADMATEMÁTICAALTA. 273C-9ANÀLISID’UNOBSTACLEDIDÀCTIC:CONVEXITATICONCAVITATD’UNAFUNCIÓENUNINTERVAL. 287C-10.LASSIMETRÍASDELPLANOPARA6ºDEE.PRIMARIAENFORMATODEIBOOK. 301C-11.LAVÍDEOCONFERENCIAENTREESTUDIANTESDETALENTOENUNTALLERDEMATEMÁTICAS. 315

COMUNICACIONS

XIIIJORNADESD’EDUCACIÓMATEMÀTICA

273

C-08. PROBLEMAS RICOS EN SECUNDARIA COMO DETECTOR DE

CAPACIDADMATEMÁTICAALTA.

PabloLlorensValverde1,AdelaJaimePastor2

1UniversitatdeValència-DepartamentodeDidácticadela

Matemá[email protected]

2UniversitatdeValència-DepartamentodeDidácticadela

Matemá[email protected].

Modalitat:Comunicació

Nivelleducatiu:Primària,Batxillerat

Paraulesclau:altacapacidadmatemática,secundaria,problemas.

Resum:

Losdocentestienenpocainformaciónacercadelascaracterísticasynecesidades

del alumnado de altas capacidades, y no existen estrategias fiables de

identificación, ypor tanto tampocodisponende recursospara su atención.En

este trabajomostramos cómo problemas bien seleccionados pueden ayudar a

discernirunaltodesempeñoenmatemáticas.

COMUNICACIONS


274

Desarrollo

Estetrabajoserealizócomopartedeuntrabajofinaldeunmásterendidáctica

de las matemáticas. Gira en torno a las destrezas necesarias para razonar

deductivamente, detectar patrones, pensar de unmodo lógico y, en definitiva,

analizaryresolverproblemas.Porello,elpresentetrabajosebasaenelanálisis

delassolucionesyprocesosresolutivosdeunaseriedeproblemasmatemáticos,

resueltosporalumnosdesecundariaybachillerato,conelobjetivodedetectar

esa inteligencia lógico-matemática, no sólo calificando las soluciones, sino

tambiénvalorandolosprocesosparallegaraellas.

DesdeelmodelodelostresanillosdeRenzulli(Renzulli,1998),seprecisantres

componentes para que haya superdotación: Habilidad superior a la media,

compromisocon la tareay creatividad.Poresemotivo, sehavaloradoeneste

trabajotantolasnotascomoelinterésolacreatividadalresolverlosproblemas.

Porotraparte,variosestudios(Castro,E.,Benavides,M.ySegovia,I.,2006yDíaz

2008)muestranquelosproblemasmatemáticossonuninstrumentoeficazpara

identificarposibles talentosmatemáticos, tanbuenocomo los testpsicológicos

deaptitudes.Y,porotraparte,dichostestpuedendarfalsosnegativos,esdecir,

quepodemosdesecharsujetosqueposeenmuybuenacapacidadmatemática.

Conestaidea,desarrollamosunaprueba,cuyoobjetivo-yeldeltrabajofinalde

máster- era concienciar al profesorado de que una buena selección de

problemas ricos, planteados en clase, puede ayudar a detectar, e incluso a

promover,el talentomatemático,sinnecesidaddepasara losalumnosuntest

psicológico de aptitudes. Dichas pruebas de problemas ricos conformarían un

complementomuyútilalaevaluacióncontinuadelalumnadoyalosexámenes

y, además, en caso de poner de manifiesto resoluciones interesantes, puede

ayudar a detectar estudiantes conmayor nivel matemático que el reconocido

académicamente.

COMUNICACIONS


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Metodología

Lapruebaconsistióenlaresoluciónenunahorade4problemasricos.

P.1-Revueltomatemáticodesetas.

Casi es invierno, pero en el monte, el fin de semana aún encontramos, mis

amigos y yo, níscalos de excelente calidad: lactarius deliciosus, también

conocidoscomorebollones.Beatrizcogió11menosqueCésaryyojuntos.César

cogió9menosqueBeatrizyyo juntos.Yyocogí7menosqueellosdos juntos.

Revueltosconajosnosquedaronbuenísimos.¿Cuántosrebollonesrecogiócada

unodelosamigos?

P.2-Triángulos.

Siel triánguloequilátero inscrito(elpequeño)en lacircunferenciade la figura

tieneárea1,¿cuáleseláreadeltriánguloequiláterocircunscrito(elgrande)?

P.3-CompactDisc.

LauraregalólamitaddesusCDs,máslamitaddeunCDaLuis.Despuésprestó

lamitaddelosrestantes,máslamitaddeunCDaJulia.Alfinalsequedóconun

soloCD.¿CuántosCDsteníaalprincipio?

COMUNICACIONS


276

P.4-Elhoteldeloslíos.

Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... Todas ellas

están abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio, las cierra

ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a

dormir.

Perootrovienedespuésquedecidecambiarlaposicióndelaspuertasde3en3;

empiezatambiénporelprincipioy,yendode3en3,laqueestáabiertalacierra

y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a

dormir.

Sinembargo,otrovienedespuésycomenzando tambiéndesdeelprincipio,va

cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está

abiertalacierraylaqueestácerradalaabre.

Cuandotermina,vieneotroquealteralaposicióndelaspuertasde5en5;abre

lascerradasycierralasabiertas.

Yluegootroquehacelopropioperode6en6.Yluegootrode7en7.Yasíhasta

el infinitoporqueenelhotelhabíainfinitosbromistas.Tú,queereselconserje

delhotel,estásdurmiendotantranquiloynotehasenteradodetodosestoslíos.

¿Quépuertascreesqueestaránabiertasyquépuertasestaráncerradascuando

tedespiertesporlamañana?

La muestra. La muestra escogida para administrar el conjunto de problemas

estabacompuestapor89alumnosde5gruposy3niveleseducativosdiferentes:

3º de ESO (2 grupos), 4º de ESO, 1º deBachillerato deHumanidades, y 1º de

BachilleratodeCiencias(1grupoporcurso).

En3ºESOhabíaunestudianteconsíndromedeAsperger,dealtacapacidad.

COMUNICACIONS


277

En4ºESOhabíaunestudianteconsíndromedeAsperger,noidentificadocomo

dealtacapacidad,perosíeracreativo.

Requisitosdelosproblemas.Losproblemasdebíancumplirvariascondiciones,

algunasrequeridasporquequeríamosestablecerunacomparacióndeléxitoyde

lasestrategiasutilizadasendiversoscursos.

-Debíantenercontenidomatemático.

- Los conocimientos matemáticos necesarios para resolverlos debían estar al

alcancedetodos losgrupos,esdecir,que lamateriadebíapoderserabordada

por losalumnosdelcurso inferiorde losqueparticipabanen laprueba(3ºde

ESO).

- Todos los problemas debían poder resolverse de varias maneras, mediante

algún procedimiento enseñado en clase y también por otro creativo, ya que

interesaba ver si alguno de los alumnos desplegaba su creatividad, una de las

característicasfundamentalesdelasaltascapacidades.

- Cada problema debía pertenecer a un campo distinto de las matemáticas,

posibilitandolaexistenciaderesolucionesvisualesyanalíticasoalgebraicas,por

unaparte,yporotraparte,desdelaclasificaciónporbloquesdecontenidos,se

tuvoencuentaquefuerandebloquesdistintos,paraposibilitarquesepusieran

demanifiestoresolucionescreativasencontenidosvariadosdematemáticas.

Valoraciónde resoluciones. Se corrigieron las89pruebasy seasignóunvalor

numérico a cada pregunta, puntuando cada problema de -0.1 a 2 puntos,

teniendocomoescalaparalanotafinalelrango0-10:

-Problemabienplanteadoybienresuelto,2puntos;

-Problemamalplanteadoysinresolver,yelresolutornoescribenadaútilpara

llegaraunasolución,0puntos;

COMUNICACIONS


278

-Problemamedianamentebienresueltoobienplanteadoperosinresolverocon

algúnindiciodepoderllegaraunresultadoválido,1punto;

-Problemaenblanco,-0.1puntosdepenalización.Estosehizoparaincitaralos

estudiantesaqueresolvieranlosproblemas.

Valoración de la nota media de clase de cada estudiante (docente usual):

Además, los docentes del IES dieron una valoración global de cada alumno a

partirdetresvariables,consideradasconigualpeso:

-notasenmatemáticas,

-interésenclasey

-capacidadmatemáticamostradaporeseestudiante.

Estas dos últimas variables fueron valoradas cualitativamente (bajo, medio,

alto), por lo que también las notas de la clase las tradujimos a esa escala

cualitativa.Despuéssehizounaconversióncuantitativaasignando.

-0sielinterés,capacidadorendimientoeranbajos,

-1sieranmediosy

-2sieranaltos.

Debidoaquelanotacorrespondientealavaloraciónglobaldelalumnoquedaba

muy por encima de la obtenida en la prueba, la gráfica de la nota global está

ajustadaenunaescalade0al8;deestamaneraesmáscómodocomparar las

dos gráficas, la de la nota global y la de las puntuaciones de la prueba de 4

problemas.

Comparaciónentrerendimientomedioenlaasignaturayresultadodelaprueba:

Con cadaunode estosdosvaloresnuméricos se realizóunagráficapara cada

COMUNICACIONS


279

clase.Para cada clase se representaron lasdosgráficas sobre losmismosejes.

Comoejemplo,enlafigura1semuestralaclase4ºESO-B.

Resultados

Enlasfiguras1a5presentamossíntesisdelasdiferentesvariablesobservadas

enlosresultadosdelaadministracióndelosproblemas.

Figura1:Notaobtenidaenlapruebaylavaloraciónenmatemáticas

(Rendimiento + Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 3º

ESO-A.


COMUNICACIONS


280

(Rendimiento + Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 3º

ESO-B.

Figura 3: Nota obtenida en la prueba y la valoración en matemáticas (Rendimiento +

Interés+capacidadestimada)decadaalumnodelaclase4ºESOB.

Figura 4: Nota obtenida en la prueba y la valoración en matemáticas (Rendimiento +

Interés + capacidad estimada) de cada alumno de la clase 1º Bachillerato de

Ciencias.

COMUNICACIONS


281


(Rendimiento+Interés+capacidadestimada)decadaalumnodelaclase1º

BachilleratodeHumanidades.

Estadística. En la Tabla 1 presentamos un resumen estadístico, obtenido

mediante tablas cruzadas en PSPP podemos deducir ciertas conclusiones

interesantes:

•Hayunamoderadacorrelaciónentrelosresultadosdelprimerproblemaylas

notas del cursode los alumnos,muchomás alta que en los demásproblemas,

menosmecánicos.

•Tambiénhayunamoderadacorrelación,menorqueenelcasoanterior,entre

los resultados del primer problema y el interés quemuestran los alumnos en

clase.

•Lacorrelaciónmásaltasedaentrelacapacidaddelalumnoylosresultadosdel

cuartoproblema,dondesehapuntuadoelusodedestrezasheurísticas.

COMUNICACIONS


282

Tabla1:Parámetrosestadísticosconrelacionesentreelresultadoobtenidoencadaproblema

ycadaunadelasvariablesempleadasenlavaloracióndelestudianteenlaclase(rendimiento,

interésycapacidadpotencial).

Análisisdelosresultados

Lagráficaquecorrespondealavaloracióndelosestudiantesenlaclase(noenla

pruebaespecíficadeesteestudio),dentrodecadacurso,sehahechotomando

laspuntuaciones enordendecreciente. Por lo tanto, los alumnos situados a la

izquierdasonlosmejorvaloradosenlaclaseylosdeladerechalosquetienen

las calificaciones inferiores. Consecuentemente, la gráfica tiene que ser

monótonadecreciente.

Si losvaloresde lapruebade los4problemasseajustarana lacalificacióndel

estudianteenlaclase,lagráficadedichapruebadeberíasertambiénmonótona

decreciente.

COMUNICACIONS


283

Sibiensehaobtenidounamoderadacorrelaciónentrelanotadelapruebaylas

notas del curso, se presentan diferencias acusadas en la tendencia de ambas

gráficas, lo cual obliga a analizar con detalle el comportamiento de los

estudiantes en los que existen estas diferencias de forma acusada, tanto en

situacionesenlasquelapruebadeproblemashasidoalta,perolavaloraciónde

clasedelestudianteerabaja,comoalcontrario.

En esos casos, habría que comparar en detalle la valoración de la clase que

correspondealrendimiento(notasdeclase-exámenes,testsyotraspruebasde

contenido matemático) y la cualitativa (interés y capacidad estimada del

alumno). Así mismo, conviene ver en detalle la prueba de problemas (la

específica de este estudio), observando el comportamiento que ha tenido el

estudianteenlosdiferentesproblemas.

Losalumnosconvaloraciónde laclasemuybajayresultadoaltoen laprueba

hacen pensar en una posible capacidad matemática no identificada, pues los

problemas seleccionados requieren destrezas de las que se utilizan en

matemáticas,enresolucióndeproblemas.

Es muy llamativo, por ejemplo, el alumno 3A20, en 3º ESO A, el cual tiene

calificacióndeclasemuybaja,rozandoelmínimo,y,sinembargo,enlaprueba

deproblemasestáentrelosestudiantesconmayorpuntuación.Uncasosimilar

eselestudiante4B04,de4ºESOB.Perohayotrosalumnosconunrendimiento

superiorenlosproblemasaloesperadosisejuzgaporlavaloracióndelaclase.

Sibiennoeslasituaciónentodoslosestudiantes,algunosdeloscasosanómalos

con rendimiento en la prueba superior a la esperadamostraron su interés en

esta por el reto que les supuso la resolución de los problemas. Generó una

mayormotivaciónqueelseguimientodeunaexplicaciónenclaseylarealización

deproblemasrutinariosdeaplicación.

COMUNICACIONS


284

La resolución de los problemas en conjunto causó en general interés. los

estudiantes quisieron saber cómo encontrar la solución de cada uno de los

problemas.

Esto hace reflexionar sobre la conveniencia de utilizar estos problemas no

rutinarios, que desarrollan habilidades matemáticas, motivan a algunos

estudiantes y permitendescubrir a alumnos conunpotencialmatemático que

pasa desapercibido con ejercicios de aplicación directa. No proponemos la

eliminación de este último tipo de ejercicios, pues es necesario saber aplicar

directamente los conocimientos matemáticos objetivo del tema que se esté

desarrollandoenelaula,perosíincluirproblemasmáscreativos,querequieran

enfoquesdiferentes, aplicacionesno inmediatasde conocimientosy relaciones

depropiedades.

Conclusiones

Lascalificacionesnuméricasdelapruebasehanquedadoconvaloresinferiores

a7puntos,enunaescalade0a10,exceptoenelcasodedosestudiantes.Esto

significa queno eranproblemas sencillos y todos requeríanponer enpráctica

conocimientos, destrezas matemáticas o procesos de resolución que

normalmentenosehandesarrolladoenelaula.

Conclusionesylimitacionesdelestudio

Como ya apuntaron otros estudios, se puede utilizar una selecta colección de

problemasparaidentificaraltascapacidadesenelalumnadodesecundaria.

Elanálisisdelasgráficasenbuscadedatosanómalosquepudieransersíntomas

decapacidadessuperioresalasdetectadasporlasnotasdelosexámenesolos

ejercicios de clase, ha permitido identificar estudiantes con mayor potencial

matemáticodelesperado.Alanalizaresoscasos,sehavistoque,engeneral,las

condiciones sociales o particulares del estudiante eran las que daban una

COMUNICACIONS


285

informaciónequivocadaenelaulaordinariaenrelaciónasusposibilidadesen

matemáticas.

Es claro que este procedimiento no es infalible y puede ocurrir que un dato

anómaloseasimplementeeso,peroesinteresanteaveriguarsiloesono.

Por otra parte, si se utilizan problemas con contenido contemplado en el

currículo, se pueden resolver en horas de clase. De esta manera, además de

permitir la detección de estudiantes con un potencial matemático superior al

esperado,estosproblemastambiénsonespecialmenteadecuadoscomomaterial

paraatenderaestudiantesdeconaltacapacidadmatemática.

Usar problemas ricos en clase no sólo sirve a los docentes para detectar

estudiantes con potencial matemático, sino también para atender a los

estudiantesquedemandantareasmáscreativasoconmásprofundidad.Osea,

que la utilidad no es sólo detección, sino también atención, y no sólo si el

estudiante tiene alta capacidad matemática, sino también para el que quiere

problemas menos rutinarios. Asimismo, su resolución en la clase aporta

estrategiaspara abordar y solucionar losproblemas cuyo conocimientopuede

ser interesantepara todos losalumnos.Tambiénes interesanteresaltarque la

resolucióndeproblemascomocontenidoestácontempladaenelcurrículo,pero

notodosloslibrosdetextoloincluyen.

Porotraparte,somosconscientesdequeestosresultadosestánlimitadosalas

clases concretas en las que se realizó este trabajo. También, las formas de

calificarylasconversionesdevalorescualitativosencuantitativos,yviceversa,

pueden influir notablemente en los valores concretos que se manejan. Pero

creemosqueelmensajequeseintentatransmitirenestetrabajoseguiríasiendo

elmismo.

COMUNICACIONS


286

Bibliografía

Castro, E., Benavides,M. y Segovia, I. (2006). Cuestionario para caracterizar a

niños con talento en resolución de problemas de estructura multiplicativa.

FAISCA.RevistadeAltasCapacidades,11(13),pp.4-22.

Díaz,O., Sánchez, T., Pomar, C. y Fernández,M. (2008). TalentosMatemáticos:

Análisisdeunamuestra.FAISCA.RevistadeAltasCapacidades,13(15),30-39.

Jaime,A.yGutiérrez,A.(2014).Laresolucióndeproblemasparalaenseñanzaa

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Gómez, L. Puig (Eds.), Resolver problemas. Estudios en memoria de Fernando

Cerdán(pp.147-190).Valencia:PUV.

Renzulli, J. S. (1998).Three-ringconceptionofgiftedness.EnS.M.Baum,S.M.

Reis y L. R. Maxfield (Eds.), Nurturing the gifts and talents of primary grade

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