xi.- transmición de calor por convección flujo en conductos

8/6/2019 XI.- Transmicin de Calor por Conveccin Flujo en Conductos

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XI.- TRANSMISIN DE CALOR POR CONVECCIN

FLUJO EN CONDUCTOShttp://libros.redsauce.net/

XI.1.- FLUJO ISOTRMICO EN CONDUCTOS CIRCULARES; ECUACIN DE POISEUILLE

En un flujo laminar la corriente es relativamente lenta y no es perturbada por las posibles protu-

berancias del contorno, mientras que la viscosidad es relativamente grande, de forma que si por cual-

quier circunstancia se iniciase un fenmeno de turbulencia, la viscosidad lo destruira.

La formulacin que a continuacin se desarrolla sirve tanto para tuberas lisas como para tuberas

rugosas, suponiendo que las partculas de fluido, en un flujo laminar a lo largo de un tubo, se mueven

en capas cilndricas coaxiales; en el eje del tubo, el desplazamiento se realiza a mayor velocidad,

mientras que en las paredes permanece en reposo.

La distribucin de velocidades en una seccin transversal cualquiera del tubo obedece a las fuer-

zas de rozamiento transmitidas de capa en capa.

Regin de entrada.-La friccin y la velocidad de transferencia de calor son, por regla general.mayores en la regin cercana a la entrada de un tubo que en una regin lejana aguas abajo, donde los

perfiles de velocidad y temperatura estn totalmente desarrollados.La longitud hidrodinmica de entrada LH se define como la distancia que debe recorrer el fluido

para que el coeficiente de rozamiento disminuya a menos del 5% de su valor totalmente desarrolla-

do. Si el flujo es laminar y si el fluido penetra en el tubo por una entrada lisa y redondeada, el perfil

inicial de la velocidad es uniforme; la longitud requerida para que el perfil de velocidades en flujo la-

minar sea invariante respecto a la posicin axial, es la longitud de entrada hidrodinmica LH que se

puede aproximar por la ecuacin de Langhaar:

LH= 0 ,056 Red d

siendo en la mayor parte de los casos despreciable, comparada con la longitud total.

Tambin se puede definir una longitud trmica de entrada LT que se puede definir como la distan-

cia necesaria para que el nmero de Nusselt decrezca a menos del 5% de su valor totalmente desarro-

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llado. Si enx=0 el flujo es laminar y est ya totalmente desarrollado hidrodinmicamente, si la tem-

peratura de la pared es uniforme, se tiene que:

LT = 0,017 Red Pr d

y para un tubo de longitud L: Nud = 3,66 +0,065

dL Red Pr

1 + 0,04 (dL

Red Pr )2/3

; Red< 2300

Regin de flujo desarrollado hidrodinmicamente.- Si se considera una parte del tubo,

Fig XI.2, de dimetro2R y un cilindro de fluido coaxial de dimetro2r y longitud l, las condiciones

de contorno implican que en su cara frontal la presin es p, y en la posterior la presin es (p-p), so-

bre el cilindro actuar unafuerza de empuje de la forma:

Femp=r

2p

La fuerza de rozamiento: Froz = S dudr= S = 2 r l = 2 r l du

dr , es igual a la de empuje,

por lo que:

2 r l du

dr=r2 p ; du

dr=

r p

2 l u =

p

2 l

r

R

r dr =p

4 l(R2 - r2)

que es la distribucin del campo de velocidades, de tipo parablico, en un plano longitudinal.

El caudal: Q =0

R

u d= 0R

u 2 r dr =p

4 l

0

R

( R2 - r2) 2 r dr =R4p

8 L, es directamente

proporcional a la variacin de presin entre las secciones A y B, tramo de longitud l = L, a la cuarta

potencia del radio de la conduccin, e inversamente proporcional al tramo de tubera considerada de

longitud L y a la viscosidad dinmica .

Fig XI.1.- Isotaquias de velocidades en la regin de entrada

Fig XI.2.- Regin de fluido desarrollado para la ecuacin de Poiseuille

El caudal en funcin de la velocidad media uF es: Q =uF, por lo que la velocidad media se pue-

de poner en la forma:

uF= uF=

Q

=

R4p

8 L

R2=

R2

8 p

L

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La velocidad mximase tiene para (r=0), de la forma: umx =R2

4 p

L

La relacin entre la velocidad mxima y la velocidad media es: umx = 2 uF

Despejando el valor de p, se obtiene la ecuacin dePoiseuille: p =

8 L uF

R2 =

32 L uF

d2La prdida de carga total p correspondiente a la longitud de tubera L se puede poner en funcin

de la prdida de carga por unidad de longitud de tubera J, en la forma:

p = h = J L

expresin que se puede poner teniendo en cuenta el nmero de Reynolds, y el coeficiente de roza-

miento, en la forma:

J = 1

p

L= 1

g32 uF

d2=

64 uF2

2 g d Re=

uF2

2 g d

Fig XI.3.- Distribucin del coeficiente de cortadura, y disipacin de energa

Para el rgimen laminar: =64

ReLa ecuacin de Poiseuille demuestra que la prdida de carga en rgimen laminar, para tuberas li-

sas o rugosas, es directamente proporcional a la primera potencia de la velocidad.

En la Fig XI.3 se muestran las distribuciones correspondientes al coeficiente de cortadura, velo-

cidadr

uF y disipacin de energa.

XI.2.- FLUJO EN CONDUCTOS NO CIRCULARES

Flujo laminar, incompresible y permanente, entre dos placas paralelas.- En primer lugar

se puede suponer que las placas son inclinadas formando un ngulo respecto a la horizontal, tenien-do la placa superior una velocidad constante u0; el flujo entre las dos placas fijas es un caso particu-

lar, al hacer la velocidad de la placa mvil u0 = 0. La placa superior se mueve paralelamente en la di-

reccin del flujo, existiendo a lo largo del mismo, en la direccin dex, una variacin de presin.

Si se toma un elemento de fluido en forma de lmina, Fig XI.4, de dimensiones (dx,dy), y anchura

unidad, para un flujo permanente, la lmina se mover con velocidad constanter

u , siendo la ecuacin

del movimiento:

p dy - ( p +

p

xdx) dy - dx + ( -

y

dy) dx + dx dy sen = 0

que simplificada se reduce a:

p

x=

y

+ sen = sen = -hx

=y

- hx

y

=x

( p + h)

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Fig XI.4.- Flujo laminar entre placas paralelas

Como no existe aceleracin en la direcciny, el segundo miembro de esta ecuacin no ser funcin

dey; integrndola se obtiene:

= yx

( p + h) + C1= dudy

dudy

= 1

y x

( p + h) +C1

u = 1

x

( p + h)y2

2+

C1

y + C2

Para calcular C1 y C2 utilizaremos las condiciones en los lmites, de la forma:

Para,y = 0 , u = 0y = a , u = u0

C2 = 0

u0 =

12

x

( p + h) a2 +C1

a ;C1

=u0a

- a2

x

( p + h)

u = 1

2 x

( p + h ) y2 +u0a

y - a2

x

( p + h) y =u0a

y - 12

x

( p + h) ( a y - y2)

El gasto a travs de una seccin transversal cualquiera, es:

Q =

0

a

u dy =u0 a

2- 1

12 x

( p + h ) a3

siendo la velocidad media entre placas: u =Q

a =u

02 - 112 x ( p + h) a2

y el esfuerzo en la pared: = dudy

y=0y=a

= { yx

( p + h) + u0a

-x

( p + h) a2

}y=0y=a

=

=x

{( p + h) ( y + a2

)}y=0y=a

+ u0a

= -x

( p + h ) a2

+ u0a

que demuestra que dicho esfuerzo cortante en la pared, es constante.

XI.3.- FLUIDOS QUE CIRCULAN POR EL INTERIOR DE TUBERAS EN CONVECCIN

FORZADA EN RGIMEN LAMINAR, CON FLUJO DE CALOR CONSTANTE

Vamos a considerar un flujo forzado laminar por el interior de un conducto de seccin circular de

radio R, sometido a un flujo de calor uniformeq desde una pared a TpF, Fig XI.5. Si se toma un volu-

men de control anular de longitud dx y espesor dr, en la regin donde los perfiles de velocidad y tem-

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peratura estn completamente desarrollados, un balance de energa permite determinar la distribu-

cin de temperaturas en la forma:

Fig XI.5.- Flujo forzado laminar con flujo de calor constante

Variacin del flujo trmico en la direccin radial:

Entrada: q1= - 2 r kT

rr dx

Salida: q2 = q1+q1r

dr = q1- 2 kr

( r Tr

)r dx dr

Variacin del flujo trmico en la direccin axial:

Entrada: q1*= 2 r dr cpu T

Salida: q2* = q1

*+q1*

xdx = q1

* + 2 r dr cpuTx

dx

Ecuacin de la energa: - 2 kr

( rTr

)r dx dr + 2 r dr cpuTx

dx = 0

r

( rTr

) =r cpu

kTx

= r u

Tx

Como para la distribucin de velocidades de tipo parablico (Rgimen laminar), se tiene:

uumx

= 1 - r2

R2; u = umx ( 1 -

r2

R2) = 2 V0 (1 -

r2

R2)

r

( rTr

) = 1

Tx

{ 2 V0 (1 -r2

R2) r }

en la que para un flujo trmicamente desarrolladoTx

= Cte.

Integrndola se obtiene la distribucin de temperaturas:

rTr

= 2

Tx

V0 (r2

2- r

4

4 R2) + C1 ; dT = {

2

Tx

V0 (r2

- r3

4 R2) +

C1r

} dr

T = 1

Tx

V0 (r2

4- r

4

16 R2) + C1 ln r + C2

Las constantes de integracin se calculan teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

a) Para, r = 0 ; T = TC, (Temperatura en el eje de la tubera), u = 2 V0 ;C1= 0C2= TC

T - TC=V0

Tx

(r2

4- r

4

16 R2 ) ; u = 2 V0 ( 1 -

r2

R2)

b) Para, r = R, se determina el coeficiente de transmisin de calor hc.

La temperatura: TpF= TC +V0

Tx

3 r2

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El flujo de calor es: q = Cte ; - k (Tx

)r=R = hC (TpF- TF) hC =- k (T

x)r=R

TpF- TF

que permite determinar el coeficiente de transmisin de calor por conveccin.

Como la temperatura media del fluido TF se puede obtener a partir de la expresin:

TF

0

R

cp u 2 r dr = 0R

Tcp u 2 r dr

TF=0

R

T u r dr

0

R

u r dr=

0

R

2 V0 ( 1 -r2

R2){TC+

2 V0

Tx

(r2

4- r

4

16 R2)} r dr

0

R

2 V0( 1 - r2

R2) r dr

= TC+7

48V0R

2

Tx

por lo que la distribucin de temperaturas y el coeficiente de conveccin se pueden poner en la forma:

T TpFTF TpF

= 2411

{34

+ 14

( rR

)4 - ( rR

)2}

hC =k

TpF- TFTr

r=R =

k2

V0 R

Tx

( TC+38

V0 R

2

Tx

) - (TC+7

48V0 R

2

Tx

)

= 2411

kR

= 4811

kd

Para flujo de calor uniforme: hC =4811

kd

= 4,3636 kd

; Nu = 4,3636

Para temperatura de pared constante (p.e. vapor condensando sobre la superficie exterior), a una

distancia suficiente del punto en el que empieza el calentamiento corriente abajo, el flujo se vuelve to-talmente desarrollado trmicamente, la forma del perfil de temperatura no cambia, y el n de Nu tie-

ne un valor constante dado por la ecuacin:

TpF= Cte Nud= 3,656

La longitud de entrada hidrodinmica para flujo laminar es: LH= 0,056 Red d

La longitud de entrada trmica para flujo laminar es: LT= 0,043 Red Pr d

Una formulacin analtica de la que se derivan los resultados de la Fig XI.6, fue desarrollada por

Hausen en la forma:

Flujo de calor uniforme: Nux= Nud +K1 dx

Red Pr

1 + K2 (dx

Red Pr)n

Temperatura de pared uniforme: Nu = Nud +K1

dL

Red Pr

1 + K2 (d

LRed Pr )

n

en la que Nux es el coeficiente de transmisin de calor local, y Nu es el coeficiente medio en el interva-

lo (0 < x < L).Para aceites y otros fluidos en que la viscosidad vara apreciablemente con la temperatura, el tr-

mino K1 se multiplica por (FpF

)0,14

ParaQ

Auniforme y distribucin de velocidades parablica: Nud = 4,36 ;

K1= 0,023

K2= 0,0012

; n = 1

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ParaQ

Auniforme y flujo desarrollado: Nud = 4,36 ;

K1= 0,036

K2= 0,0011

; n = 1 ; Pr = 0,7

Para TpF= Cte y distribucin de velocidades parablica: Nud = 3,66 ;K1= 0,0668

K2=

0,04

; n = 0,66

Para TpF= Cte y flujo desarrollado: Nud = 3,66 ;K1= 0,104

K2= 0,016

; n = 0,8 ; Pr = 0,7

evalundose las propiedades del fluido a la temperatura media TF entre la entrada y la salida.

Fig XI.6.- Nos de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un tubo cilndrico, trmica e hidrodinmicamente desarrollados

XI.7.- Nmeros de Nu medio y local para flujo laminar entre placas planas paralelas, trmica e hidrodinmicamente desarrollados

XI.8.- Nmeros de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un tubo cilndrico, con temperatura de pared constante

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XI.9.- Nos de Nu medio y local para flujo laminar por el interior de un conducto cuadrado, trmica e hidrodinmicamente desarrollados

XI.10.- Nmeros de Nu medio para flujo laminar entre dos placas paralelas con temperatura de pared constante

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xi.- transmición de calor por convección flujo en conductos

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