xavier rabasa 1...xavier rabasa 11 donat el vector a =(x,y) calculeu: a) el vector que resulta de...
TRANSCRIPT
Xavier Rabasa 2
ÍNDEX Vectors Bidimensionals fórmules 3 exercicis 5 Punts i Rectes fórmules 17 exercicis 22
Xavier Rabasa Arévalo Professor de Matemàtiques
Xavier Rabasa 3
VECTORS EN EL PLA EINES OPERACIONS AMB VECTORS
)12,7()84,52()8,5()4,2(
=++=+
)4,3(
)84,52()8,5()4,2(−−=
−−=−
)28,14()4·7,2·7()4,2(7 == )8,6()4·3,2·3()4,2(3 −−=−−=−
IDENTITAT DE DOS VECTORS
( )⎩⎨⎧
==
⇔=b)x(ga)x(f
)b,a()x(g),x(f
MÒDUL D’UN VECTOR =v (a,b) =v (a,b) 22 bav +=→
VECTOR UNITARI D’UN VECTOR =v (a,b)
)b,a(ba
1vvu
22 +==
VECTORS PERPENDICULARS A UN VECTOR =v (a,b)
)a,b(wG)a,b(wG
2º90
1º90
−=−=
−
PRODUCTE ESCALAR DE VECTORS )b,a(v i )d,c(w = que formen un angle α entre ells.
Xavier Rabasa 4
Forma cartesiana bdac + Forma polar αcos·dc·ba 2222 ++ CONDICIÓ DE PARAL·LELISME I PERPENDICULARITAT dels vectors )b,a(v i )d,c(w =
lelisme·paraldb
ca=
⇔= 0w·vlaritatperpendicu 0bdac =+ ANGLE ENTRE DOS VECTORS )b,a(v i )d,c(w =
a c + b d = 22 ba + · →+ αcos·dc 22
·dc·babdaccos
2222 +++
=α
VECTOR QUE UNEIX DOS PUNTS A(a,b) i B(c,d)
)bd,ac(ABAB −−=−= PUNT MIG M ENTRE DOS PUNTS A i B
2BAM +
= ⇒ AM2BBM2A
−=−=
PUNTS ( P 1 , .... , P N - 1 ) QUE DIVIDEIXEN UN SEGMENT AB EN n PARTS IGUALS
nkBA)kn()AB(
nkAPk
+−=−+=
RELACIÓ ENTRE ELS VÈRTEXS D’UN PARAL·LELOGRAM ABCDA + C = B + D
Xavier Rabasa 5
BARICENTRE D’UN TRIANGLE A B C
3CBAG ++
=
Calculeu x per tal que el vector ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= x,
31u sigui unitari.
RAONAMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=⇒=⇔=+⇔=
322x
322x
98x1x
911u 22
Donats els vectors )1,2(u = i )2,0(v = , calculeu el mòdul del vector vu + RAONAMENT
1332vu)3,2()21,02()2,0()1,2(vu 22 =+=+=++=+=+
Trobeu un vector ortogonal al vector )4,3(v = que sigui unitari. RAONAMENT Mòdul de )4,3(v = 5169v =+==
1
2
3
Xavier Rabasa 6
vectors ortogonals de )4,3(v = ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
−=−=
)3,4()a,b(w
)3,4()a,b(w
2
1
vectors ortogonals unitaris de )4,3(v =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−==
−=−==
)53,
54()3,4(
51
5wu
)53,
54()3,4(
51
5wu
22
11
Calcula x de manera que els vectors )x,3(u −= i )2,4(v −= siguin ortogonals. RAONAMENT Vectors perpendiculars 6x02)·x()4·(30v·u −=⇔=−+−⇔=⇔
Si )1,3(v −= i )2,2(u −= calcula: a) uv + b) u2v +
RAONAMENT a) )1,1()21,23(uv =+−−=+ b) 1091)3,1(u2v =+=−=+
Els punts )2,1(A −− , )1,1(B i )0,4(C són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram, calculeu les coordenades del quart vèrtex. RAONAMENT
)3,2()1,1()0,4()2,1(BCADDBCA −=−+−=−+=⇒+=+
4
5
6
Xavier Rabasa 7
Digues si són o no unitaris els següents vectors: a) )1,0(u −= b) )
22,
22(v −
= c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21,
21w
RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+=
=+=
=+=
no21
41
41w)c
si142
42v)b
si110u)a
Completeu els vectors unitaris següents: a) )x,6'0(u = b) )21,y(v =
RAONAMENT
⎪⎩
⎪⎨
⎧
±=⇒=+⇒=
±=⇒=+⇒=
23y1
41y1v
8'0x1x36'01u
2
2
Trobeu els dos vectors unitaris amb direcció del vector )12,5(v −= . RAONAMENT
)12,5(v −= 1314425 =+=v ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
±=±=1312,
135
vvu
7
8
9
Xavier Rabasa 8
Trobeu un vector unitari en la mateixa direcció i sentit del )2,4(v = . RAONAMENT
)5
1,5
2()2,4(52
1416)2,4(
vvu ==
+==
Trobeu un vector ortogonal al vector )1,3(v −= que compleix: a) la seva primera component és 2. b) la seva segona component és 4. c) vector unitari. RAONAMENT Tots els vectors ortogonals són de la forma : ( ) )t3,t(3,1tw ==
)103,
101(w
101t1t9t)c
)4,34(w
34t4t3)b
)6,2(w2t)a
22 ±=±==+
===
==
Donats els vectors )1,3(v −= i )k,6(w = , calcula el valor de k per tal que: a) siguin paral·lels, b) siguin perpendiculars. RAONAMENT a)
condició de paral·lelisme 2k6k31k
36
−=⇒=−⇒=−
b)
10
11
12
Xavier Rabasa 9
condició de perpendicularitat 18k0k·16)·3(0w·v −=⇒=+−⇒=
Trobeu un vector u perpendicular al vector )6,3(v −= complint: a) la seva primera component és 2, b) el seu mòdul és 1. RAONAMENT els vectors perpendiculars a )6,3(v −= són: )t,t2()1,2(t)3,6( =≈λa) primera component 2 )1,2(u1t2t2 =⇒=⇒=⇒ b)
de mòdul 1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛±=⇒±=⇒=⇒=+⇒
51,
52u
51t
51t1tt4 2222
Trobeu un vector w paral·lel al )3,4(v −= de mòdul 10. RAONAMENT Tot vector paral·lel a )3,4(v −= és de la forma )t3,t4()3,4(t −=−
Si el mòdul és 10 2t4t25
100t10t9t16 2222 ±=⇒±=⇒=⇒=+⇒
)6,8(w −±=⇒
Trobeu les coordenades del vector AB en funció de les coordenades dels punts A i B. RAONAMENT
13
14
15
Xavier Rabasa 10
ABOAOBAB −=−=
Trobeu les coordenades del punt mig M del segment AB en funció de les coordenades dels extrems A i B. RAONAMENT
2BA
2ABAM
2ABAMAB
21AM +
=−
+=⇒−
=−⇒=
Trobeu les coordenades dels punts P i Q, en funció de A i B, que divideixen el segment AB en tres parts iguals. RAONAMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=
−+=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
−=−
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
3B2AQ
3BA2P
3A2B2AQ
3ABAP
3A2B2AQ
3ABAP
AB32AQ
AB31AP
Trobeu el centre M i el radi R, d’una circumferència que té per diàmetre els punts A i B. RAONAMENT
Centre és el punt mig del segment AB ⇒ 2
BAM +=
El radi R= AB21
16
17
18
Xavier Rabasa 11
Donat el vector ),( yxa = calculeu: a) el vector que resulta de girar el vector a un angle de 90º, b) el vector que resulta de girar el vector a un angle de -90º, c) tots els vectors paral·lels al vector a en funció d’un paràmetre t, d) tots els vectors perpendiculars al vector a en funció d’un paràmetre t. RAONAMENT a) efectuar un gir º90G sobre ),( yxa = resulta )x,y(w1 −= b) efectuar un gir º90G− sobre ),( yxa = resulta )x,y(w2 −= c) vectors paral·les a ),( yxa = són )ty,tx()y,x(ta·t == d) vectors perpendiculars a ),( yxa = són ))x,y(tw·t −±=
Simplifiqueu, si es possible, les operacions següents: a) BCAB + b) BAAB + c) CAAB +
d) CDBCAB ++ e) CBAB − f) MMMN +
RAONAMENT
ACACBCABBCAB =−=−+−=+ 0BAABBAAB =−+−=+
CBCBCAABCAAB =−=−+−=+ ADADCDBCABCDBCAB =−=−+−+−=++
ACAC)CB(ABCBAB =−=−−−=− MNMMMNMMMN =−+−=+
19
20
Xavier Rabasa 12
Si coneixem els punts mitjans A’ B’ C’ d’un triangle, calculeu els seus vèrtexs ABC en funció dels punts mitjans. RAONMENT
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=−+=−+=
→−+−+−+
→=+=+=+
'C'B'AC'B'C'AB'A'C'BA
FFFFFFFFF
'B2CAF'C2BAF'A2CBF
231
321
132
3
2
1
Trobeu les components d’un vector v de mòdul 4 i argument 30º. RAONMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===
===
2214º30sin4y
32234º30cos4x
⇒ ( )2,32v =
Calculeu el mòdul i el argument del vector: )3,1(v = . RAONMENT
º602vº60
13arctg
231v=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=+=
α
21
22
23
24
Xavier Rabasa 13
Trobeu l’angle que formen els vectors: )1,3(u −= )3,4(v −= . RAONAMENT
º3'152103cosar
103
5·10312
·dc·babdaccos
2222=
−=⇒
−=
−−=
+++
= αα
Trobeu el producte escalar de b·a on se sap que )2,1(a −= , 4b = i l’angle format pels dos vectors és de 60º. RAONAMENT
Si 52b·a54b·a
21
4·5b·aº60cos)y,x(b =⇒
⎩⎨⎧
=⇒⎩⎨⎧
=⇒=
Trobeu la projecció del vector )2,3(v = sobre el vector )1,5(w −= . RAONAMENT Si p és la projecció del vector v sobre w,
226
2613
26)1(25·3pw·pw·v ==
−+=⇒=
Un gos vol creuar un riu que té una corrent en sentit de l’eix horitzontal positiu i una velocitat de 3 m/s i ho vol fer perpendicularment amb una velocitat de 6m/s. Calculeu la velocitat resultant i el seu angle de desviació. RAONAMENT Si )6,0()0,3( == yx vv vector velocitat
25
26
27
Xavier Rabasa 14
)6,3()6,0()0,3(v =+=
velocitat sm5345369v ==+=
angle respecte de l’eix OX: º8'622arctg36tg ==⇒= αα
Escriu el vector )1,5(c −= com a combinació lineal dels vectors
)1,2(a = i )3,1(b −= . RAONAMENT
ba2c1
213
52)3,1()1,2()1,5( −=⇒
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
−=+=−
⇒−+=−µλ
µλµλ
µλ
Esbrina: a) si els vectors )2,3(a −= i )1,1(b = són linealment dependents. b) si els vectors )6,3(a −= i )4,2(b −= són linealment dependents. RAONAMENT
a) ⇒≠− 2
13
1 són linealment independents
b) ⇒−
=− 6
43
2 són linealment dependents
Són linealment independents els vectors )1,0(u = i )2,1(v −= ? expressa els vectors )2,3(a = i )1,2(b −= com a combinació lineal de u i v .
28
29
30
Xavier Rabasa 15
RAONAMENT
a) ⇒−
≠2
110 linealment independents
b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−=⇒⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎩⎨⎧
=−−=
⇒−+=−
+=⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−=
⇒−+=
v2u3b32
122
)2,1()1,0()1,2(
v3u8a83
223
)2,1()1,0()2,3(
αβ
βαβ
βα
αβ
βαβ
βα
Calculeu l’angle que formen els vectors següents: a) ( 3,2) i (4,-6) b) (2,1) i (3,-2) c) (1,0 ) i (1,1)
RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⇒−
=
=⇒−
=
=⇒=−
=
º452·1
01cos)c
ºº15'605·13
26cos)b
º90052·13
1212cos)a
αα
αα
αα
Calculeu el valor d’x per tal que l’angle que formen els vectors
)33,3(a = i )2,x(b = sigui de 60º. RAONAMENT
332
348x12x34x4x
32x4x4x·636x3
21
4x·636x3º60cos
22
2
22
−=
−=⇒++=+
⇒+=+⇒+
+=⇒
++
=
31
32
Xavier Rabasa 16
Donat els punts A (2,1); B (6,3); C (7,1) i D (3,-1). Demostreu que el polígon A B C D és rectangle i calculeu el seu perímetre i la seva àrea.RAONAMENT
)2,1()2,4()2,1()2,4( −−=−−=−== DACDBCABDABCiCDAB −=−= formen paral·lelogram
BCAB· = 4 – 4 = 0 formen rectangle Perímetre 56)520(222 =+=+ BCAB u. l.
Àrea 105·20· ==BCAB u. a.
33
Xavier Rabasa 17
PUNTS I RECTES EN EL PLA EINES EQUACIONS DE LA RECTA QUE PASSA PER UN PUNT
)y,x(A 00 I PORTA LA DIRECCIÓ D’UN VECTOR )b,a(v = vectorial )b,a()y,x()y,x( 00 λ+=
paramètrica ⎩⎨⎧
+=+=
byyaxx
0
0
λλ
contínua b
yya
xx 00 −=
−
explícita 00 y)xx(aby +−= pendent m =
ab
implícita 0)aybx(aybx 00 =−−− DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS )b,a(A i )d,c(B .
22 )bd()ac(AB −+−= POSICIÓ RELATIVA D’UN PUNT )y,x(A 00 I UNA RECTA { 0cbyax =++ }.
⎩⎨⎧
≠++=++
recta_la_a_ytanper_no_punt_el0cbyaxrecta_la_a_ytanper_punt_el0cbyax
00
00 el
Xavier Rabasa 18
CERCAR UN PUNT )y,x(A 00 DE LA RECTA { 0cbyax =++ } Fixar un valor de 0xx = i substituir a l’equació de la recta per tal de calcular el valor de 0yy = ,
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=
=
bcaxy
xx
00
0
punt )b
cax,x( 00
−−
DISTÀNCIA ENTRE PUNT )y,x(A 00 I RECTA { 0cbyax =++ }
22
00
bacbyax
d+
++=
ANGLE FORMAT PER DUES RECTES:
Forma explícita⎩⎨⎧
+=+=
22
11
nxmynxmy
21
21
mm1mmtag
+−
=α
Forma implícita⎩⎨⎧
=++=++
0'cy'bx'a0cbyax
2222 'b'aba
'bb'aacos
++
+=α
FEIX DE RECTES PARAL·LELES A LA RECTA { 0cbyax =++ }
0?byax =++ PARAL·LELA A { 0cbyax =++ } QUE PASSA PER )y,x(P 00 1. feix de rectes paral·leles 0?byax =++ 2. la que passa per P 0)byax(byax 00 =+−+
Xavier Rabasa 19
FEIX DE RECTES PERPENDICULARS A { 0cbyax =++ }
0?aybx =+− PERPENDICULAR A { 0cbyax =++ } QUE PASSA PER )y,x(P 00
1. feix de rectes perpendiculars 0?aybx =+− 2. la que passa per P 0)aybx(aybx 00 =−−− FEIX DE RECTES QUE PASSEN PER UN PUNT )b,a(P
b)ax(my +−= BISECTRIUS DE LES DUES RECTES { 0cbyax =++ } i { 0'cy'bx'a =++ }
2222 'b'a'cy'bx'a
bacbyax
+++
±=+++
ESTRATÈGIES PROBLEMES DE DISTÀNCIES Distància entre dos punts
1. mòdul del vector que uneix els dos punts (única solució)
Distància entre un punt i una recta
1. aplicar la fórmula de la distància entre un punt i una recta. (única solució)
Distància entre dues rectes paral·leles
Xavier Rabasa 20
1. triar un punt de la primera recta 2. calcular la distància del punt a la segona recta (única solució)
DETERMINACIÓ D’UN PUNT Punt P simètric del punt A respecte del punt B
1. B és el punt mig entre P i A ⇒ P = 2 B – A (única solució)
Punt P simètric del punt A respecte de la recta ®
1. equació de la recta perpendicular a ® que passa per A 2. punt M intersecció d’ambdues rectes 3. M és el punt mig entre P i A ⇒ P = 2M – A (única solució)
Punt que pertany a una recta ( r ) i té una certa distància respecte d’un punt A.
1. punt P genèric de la recta en funció d’un paràmetre. 2. imposar que la distància entre P i A sigui la desitjada per calcular el valor del paràmetre i substituir al punt genèric. (dues solucions)
DETERMINACIÓ D’UNA RECTA Recta que passa per un punt P i és paral·lela a una altra recta r
1. feix de rectes paral·leles a la recta r. 2. d’aquest feix determinar la que passa pel punt P. (única solució)
Recta que passa per un punt P i és perpendicular a una altra recta r
1. feix de rectes perpendiculars a la recta r. 2. d’aquest feix determinar la que passa pel punt P. (única solució)
Recta que és paral·lela a una altra recta r i té una certa distància d entre
Xavier Rabasa 21
les dues rectes. 1. feix de rectes paral·leles a la recta 2. imposar que la distància entre la recta i el feix sigui d i determinar els dos valors del paràmetre 3. substituir els paràmetres al feix de rectes paral·leles. ( surten dues solucions )
Recta que passa per un punt A i forma un cert angle α amb una altra recta r.
1. feix de rectes que passen per A en funció del paràmetre m, pendent de la recta.
2. imposar la condició que el vector director del feix (1,m) i el vector director de la recta donada r formin l’angle α per determinar els dos valors del paràmetre m.
3. substituir al feix els valors de m per determinar les dues rectes.(dues solucions)
Recta simètrica d’una altra recta r respecte del punt A
1. triar un punt B de la recta r. 2. punt P simètric del punt B respecte de A 3. recta paral·lela a la recta r que passa per P. (única solució)
Recta simètrica d’una recta r respecte d’una recta s 1. punt de tall A de les rectes r i s. 2. triar un punt de la recta r i trobar el seu simètric B respecte de la recta s. 3. recta que passa per A i B POSICIÓ RELATIVA ENTRE DUES RECTES
1. rectes en forma explícita⎩⎨⎧
+=+=
22
11
nxmynxmy
Xavier Rabasa 22
2. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
=≠
⇒=
≠
erposadessupnnleles·paralnn
mm
punt_un_en_tallen_esmm
21
21
21
21
ANGLE ENTRE DUES RECTES
1. determinar els vectors direccionals de les dues rectes 2. determinar l’angle entre els dos vectors
1 EQUACIONS DE LA RECTA
Trobeu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pels punts )2,3(A i )1,1(B − . RAONAMENT
Vectorial )3,2(t)2,3()y,x(vtOAOP
)3,2(ABv−−+=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
−−==
Paramètrica ⎩⎨⎧
−=−=
⇒−−+=t32yt23x
)3,2(t)2,3()y,x(
Contínua 32y
23x
−−
=−−
Calculeu la pendent de la recta que passa per A(2,2) i B(0,4). Trobeu les equacions implícita i explícita de la recta que passa per P(1,4) i Q(2,3). RAONAMENT
1.1
1.2
Xavier Rabasa 23
a) recta ABr y=mx+n 12
2m)2,2(AB −=−
=⇒−=
b) recta PQr 14y
11x
−−
=−
⎩⎨⎧
+−==−+
⇒5xylícitaexp05yximplícita
Escriu l’equació de la recta que talla als eixos de coordenades en els punts A(6,0) i B(0,-2) . RAONAMENT
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=
=−−⇒
−−
=−−
⇒−−= lícitaexp2x31
36xy
implícita06y3x
20y
66x)2,6(AB
Escriu les equacions implícita i paramètrica dels eixos de coordenades RAONAMENT
Eix d’abscisses OX ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇒⎩⎨⎧
==
=++
genèric_punt)0,t(0ytx
00y1x0
Eix d’ordenades OY ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇒⎩⎨⎧
==
=++
genèric_punt)t,0(ty0x
00y0x1
Escriu l’equació explícita de la bisectriu del primer i tercer quadrant. i la del segon i quart quadrant.
1.3
1.4
1.5
Xavier Rabasa 24
RAONAMENT
a) xy0x11y
)0,0(P)1,1(v
=⇒+=⇒⎩⎨⎧ =
b) xy0x11y
)0,0(P)1,1(v
−=⇒+−
=⇒⎩⎨⎧ −=
Escriu en forma explícita i contínua la recta { 6y3x2 =+ }. RAONAMENT
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+
=−
+−
=+−
=⇒
⎩⎨⎧ −=
⇒=+
22y
30x
2x32
36x2y
)2,0(A)2,3(v6y3x2
Trobeu la recta perpendicular a r: { }01yx =−+ que passa pel punt
)1,2(A . RAONAMENT
1. feix de perpendiculars 0?yx =+−
2. la que passa per A 01yx0?yx0?12
=−−⇒⎩⎨⎧
=+−=+−
Digues si P(3,3) pertany a la recta que passa pels punts A(1,-1) i B(5,7).
1.6
1.7
1.8
Xavier Rabasa 25
RAONAMENT 1. equació de la recta que passa per A i B
03yx28
1y4
1x)1,1(A
)8,4(AB=−−⇒
+=
−⇒
⎩⎨⎧
−=
2. el punt P pertany a la recta donat que compleix la seva equació 03)3()3(2 =−−
Donada l’equació implícita de la recta r{ }02y3x =++ escriu-la en forma: explícita, contínua i vectorial. RAONAMENT
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−=−−
=
−−
=+
−+−=
⇒⎩⎨⎧
−−=
lícitaexp32x
31
32xy
contínua10y
32x
vectorial)1,3(t)0,2()y,x(
)0,2(A)1,3(vr
Escriu en forma canònica r: 010y3x4 =−+ i s: 04yx3 =+− RAONAMENT Recta r: x = 0 → y = 10/3 y = 0 → x = 5/2
13/102/5=+
yx
Recta r’: x = 0 → y = 4 y = 0 → x = -4/ 3
143/4=+
−yx
1.9
1.10
Xavier Rabasa 26
RAONAMENT
r: 1
310y
25x
0y25x
310y0x
=+⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
== s: 1
4y
34
x0y
34x
4y0x==
−⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=
==
Trobeu l’equació del feix de rectes que passen pel punt intersecció de les rectes r:{ }01yx =−+ i s: 04yx3 =++ , trobeu aquella que compleix:a) passa pel punt )2,1(A , b) és paral·lela a la recta s: 02yx =−− , c) és perpendicular a la recta r: 01y2x =+− . RAONAMENT feix de rectes combinació lineal de les dues rectes, { } { }0)1t4(y)t1(x)1t3(0)4yx3(t)1yx( =−++++⇔=+++−+
a) per passar per )2,1(A ⇒ 92t0)423(t)121( −
=⇒=+++−+
017y7x3 =−+⇒
b) igualant la pendent 21t
t1)1t3(1m −
=⇒++−
== ⇒ 06yx =+−
c) igualant la pendent 03y2x41tt1
)1t3(2m =++⇒=⇒++−
=−=
Quina és la pendent de la recta que passa pels punts )2,0(A i )4,3(B ? RAONAMENT
32m)2,3(ABAB =⇒=−=
1.11
1.12
Xavier Rabasa 27
Calculeu un vector director i el pendent de les rectes següents:
a) 2x3y −= , b)4
2y2
1x +=
−
RAONAMENT
a)⎩⎨⎧
===
3m)3,1()m,1(v b)
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=
224m
)4,2(v
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,3(B i és paral·lela a la recta que passa per els punts )0,2(A i )1,2(C − . RAONAMENT
)1,0(ACAC −=−=
recta 3x03x11y
03x
)1,0(ACv
)1,3(B=⇒=+−⇒
−−
=−
⇒⎩⎨⎧
−==
Cerqueu: a) el feix de rectes que passen pel punt )1,2(A − , b) aquella que passa pel punt )3,0(B , c) aquella que és paral·lela a la recta { }5y2x =+ .
1.13
1.14
1.15
Xavier Rabasa 28
RAONAMENT a) )1m2(mxy)2x(m)1(y +−=⇒−=−−
b) 3x2y2m)1m2(03)1m2(mxy
)3,0(B+−=⇒−=⇒+−=⇒
⎩⎨⎧
+−=
c) x21y0x
21y
)1m2(mxy21m)1,2(v
−=⇒+−
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
−=⇒−=
Trobeu l’equació de la perpendicular a r:{ }01yx =−+ que passa pel punt )1,2(A . RAONAMENT Feix de perpendiculars a r: 0?yx =+−
01yx1?0?120?yx
)1,2(A=−−⇒−=⇒=+−⇒
⎩⎨⎧
=+−
Trobeu: a) el feix de rectes que passa pel punt )1,3(A − en forma explícita, b) aquella que és paral·lela a la recta 2yx3 =− , c) aquella que passa pel punt mig del segment d’extrems )1,4(A − i )5,0(B − . RAONAMENT a) el feix de rectes que passa pel punt )1,3(A − )1m3(mxy1)3x(my +−=⇒−−=
b) 10x3y)1m3(mxy
3m−=⇒
⎩⎨⎧
+−==
1.16
1.17
Xavier Rabasa 29
c)
7x2y
2m)1m3()2(m3)1m3(mxy
)3,2(2
BAM
−=
⇒=⇒+−=−⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
−=+
=
Trobeu l’equació de la perpendicular a la recta { }01yx =−+ i que la talla en un punt d’abscissa x=3. RAONAMENT Punt de tall )2,3(A21xy3x −⇒−=+−=⇒= Feix de perpendiculars 0?yx =+−
recta 05yx5?0?230?yx
)2,3(A=−−⇒−=⇒=++⇒
⎩⎨⎧
=+−−
Trobeu l’equació de la recta perpendicular al vector )1,2(w = i que talla a la recta 2xy −= en el punt P d’ordenada y=3. RAONAMENT
Punt P )3,5(P3y5x
3y2xy
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−=
Recta 13x2y3)5x(2y)2,1(v
)3,5(P+−=⇒+−−=⇒
⎩⎨⎧
−=
1.18
1.19
Xavier Rabasa 30
Equació de la recta que passa pel punt d’intersecció de les rectes { }01y3x2 =++ , { }02yx =−− i és perpendicular a la recta r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =+ 1
3y
5x .
RAONAMENT Feix de rectes que passen pel punt d’intersecció,
0)t21(y)t3(x)t2(0)2yx(t)1y3x2( =−+−++⇒=−−+++
Pendent t2
t3m−−−
=
Recta r ⇒=+⇒=+ 15y5x313y
5x vector perpendicular
35m =
⇒ 2
19tt3910t5t2
t335
t2t3m
35m
−=⇒−=−−⇒−−−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−
=
=
08y5x3040y25x15020y2
25x215
=−−⇒=++−⇒=++−
Donades les rectes r:⎩⎨⎧
=+=t2y
t1x i s:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=+
11y
31x a)punt P d’intersecció
d’ambdues rectes. b) recta paral·lela a: 3xy −= que passa per P, c) recta perpendicular a: 05yx =++ que passa per P. RAONAMENT
a) punt d’intersecció )2,2(P2y2x
1t1
1t23
t2⇒
⎩⎨⎧
==
⇒=⇒−
=+
1.20
1.21
Xavier Rabasa 31
b) xy0??22?xy
)2,2(P=⇒=⇒+=⇒
⎩⎨⎧
+=
c) xy0yx0?0?220?yx
)2,2(P=⇒=−⇒=⇒=+−⇒
⎩⎨⎧
=+−
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(P − i és paral·lela al segment d’extrems: )0,2(A i )3,1(B . RAONAMENT
05yx33
1y12x
)3,1(ABAB
)1,2(P=−+⇒
+=
−−
⇒⎩⎨⎧
−=−=
−
Digues si són o no paral·leles les següents rectes:
a) r⎩⎨⎧
+−=+=
t21yt2x
s⎩⎨⎧
=+=t2y
t3x b) r{ }01yx =++ s{ }02yx2 =+−
c)r{ }01yx3 =+− s{ }x3y = . RAONAMENT
a) si
12m
12m
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
= b) no
2m1m
⎩⎨⎧
=−=
c) si3m3m
⎩⎨⎧
==
1.22
1.23
1.24
Xavier Rabasa 32
Digues si passen o no pel punt )3,1(P les següents rectes: a){ }02y2x =+− b){ }05yx2 =−+ c){ }3x2y −= .
RAONAMENT
a) ⎩⎨⎧ ≠+−
NO02)3(21
b)⎩⎨⎧ =−+
SI053)1(2
c)⎩⎨⎧ −≠
NO3)1(23
Calcula l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A i el punt B
d’intersecció de les rectes: r:{ }2x2y += i s:⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
13y
11x .
RAONAMENT
Punt B )2,0(B22)0(2y
0x1
1x21
1x⇒
⎩⎨⎧
=+==
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
recta 04y2x1
1y22x
)1,2(ABAB
)1,2(A=−+⇒
−=
−−
⇒⎩⎨⎧
−=−=
2.SEGMENTS. PUNT MIG. PUNTS DE TALL. PUNT SIMÈTRIC.
Cerqueu un punt P situat en el segment AB, d’extrems )2,1(A i
)1,4(B − que dista de A el doble que de B. RAONAMENT
)0,3(3
B2APB2AP3P2B2APPB2AP =+
=⇒+=⇒−=−⇒=
1.25
2.1
2.2
Xavier Rabasa 33
Trobeu els punts de tall amb els eixos de coordenades de la recta:
22y
22x −=
+ .
RAONAMENT
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧−
⇒−====
)0,4()4,0(
4x0y4y0x
Trobeu un punt de la recta r: { }06yx2 =−− que dista 2 unitats de la recta s:{ }01y4x3 =+− . RAONAMENT
Punt genèric de la recta r )6t2,t(6t2y
tx−⇒
⎩⎨⎧
−==
Condició de distància:
⎩⎨⎧==
⇒±=⇒+−
=±⇒+
+−−=
3t7t
1025t55
25t52169
1)6t2(4)t(32
⎩⎨⎧
⇒)0,3(B)8,7(A dues solucions
Trobeu el simètric del punt )1,2(P − respecte de la recta r:{ }03yx2 =−+ . RAONAMENT 1. recta perpendicular que passa per P
{ }04y2x4?0?220?y2x =−−⇒−=⇒=++⇒=+− 2. punt M d’intersecció de les dues rectes,
)1,2(M2x1y
4)x23(2xx23y
4y2x3yx2
M −⇒⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
=−=
⇒=−−
−=⇒
=−=+
2.3
2.4
Xavier Rabasa 34
3. punt Q simètric de P, ⇒ )1,2(PM2Q −=−= ⇒ QP = El punt P pertany a la recta r.
Cerqueu un punt P de la recta r{ }01y4x3 =++ tal que: la recta PO (O= origen de coordenades) passi pel punt mig del segment AB, d’extrems )1,2(A i )1,1(B . RAONAMENT
1.punt mig del segment AB, )1,23(
2BAM =
+=
2.recta s que passa per O i M, x32y =
3.punt P d’intersecció de les dues rectes,
)2,3(P3x2y
01y4x3
x32y
⇒⎩⎨⎧
⎩⎨⎧
==
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
=
Donats els punts )6,3(A , )0,1(B i la recta r:{ }01yx =+− . Trobeu:a) el punt simètric de A respecte de B. b) el simètric de B respecte de r. c)l’equació de la recta simètrica d’aquella que passa per A i B, respecte de la recta r. RAONAMENT a) )6,1(AB2'A −−=−= b) recta s perpendicular a r que passa per B s
s { }01yx0?010?yx
=−+⇒⎩⎨⎧
=++=++
2.5
2.6
Xavier Rabasa 35
punt M d’intersecció de r i s, )1,0(M1y0x
01yx01yx
M ⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−+=+−
punt B’ simètric )2,1(BM2'B −=−=
c) recta AB 03yx3)0,1(B
)3,1(2)6,2(AB=−−⇒
⎩⎨⎧ −=−−=
punt P intersecció de les dues rectes r i AB,
)3,2(P3y2x
03yx301yx
P ⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−−=+−
La recta simètrica passa per P i B,
Recta PB 03yx30?3
0?yx3)0,1(B
)3,1(PB=−−⇒
⎩⎨⎧
=+=+−
⇒⎩⎨⎧ =
Trobeu: a) les coordenades del punt P' simètric del )1,2(P respecte del punt )0,2(M , b) les coordenades del punt A', simètric del )1,2(A − respecte de la recta k: { }02yx2 =−+ , c)l’equació de la recta r', simètrica de la r: { }03y2x =−+ respecte de la recta s: { }4yx =+ . RAONAMENT a) )1,2(PM2'P −=−=
b) punt B genèric de la recta k )t22,t(Bt22y
tx−⇒
⎩⎨⎧
−==
, del vector
)t21,2t(AB −+= ens interesa el punt B amb AB perpendicular al vector director de la recta )2,1(v −= ⇒ 0)t21(2)2t(1 =−−+ 0t0 =⇒ )2,0(B⇒ , punt simètric )3,2(AB2'A =−= c) punt P’intersecció de les rectes r i s,
)1,5(P1y
5x4yx
3y2xP −⇒
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
=+=+
Fixem un punt Q de r )0,3(Q0y
3y2x⇒
⎩⎨⎧
==+
2.7
Xavier Rabasa 36
Recerca del punt Q’ simètric de Q,
Punt genèric de s C )t4,t(C4yx
tx−⇒
⎩⎨⎧
=+=
vector director de la recta s, )1,1(v −=
)1,4(QC2'Q)21,
27(C
27t0v·QC =−=⇒⇒=⇒=
Recta PQ’ 09yx2)2,1('PQ
)1,5(P=−+⇒
⎩⎨⎧
−=
−
Donats els punts )4,2(A i )0,6(C . Trobeu les coordenades d’un punt B
tal que: CB41CA =
RAONAMENT
)16,10(C3A4BCB)CA(4CB41CA −=−=⇒−=−⇒=
Trobeu l’equació de la recta s que passa pel punt P d’intersecció de la recta r, { }02y2x =+− amb l’eix OX, { }0y = i que és paral·lela a la recta que uneix el punt )1,2(Q amb el punt mig M del segment d’extrems
)4,0(A i )2,2(B − . RAONAMENT
)0,2(P0y
02y2xP −⇒⎩⎨⎧
==+−
; )1,1(2
BAM =+
= ; )0,1(QM −=
Recta s 0y00y·1x·0)0,1(QMv
)0,2(P=⇒=++⇒
⎩⎨⎧
−==
−
2.8
2.9
Xavier Rabasa 37
Trobeu les coordenades del punt Q simètric del punt )1,1(P −− respecte de la recta r{ }06y3x =−+ . RAONAMENT 1.recta s perpendicular a r que passa per P,
{ }02yx30?yx3
)1,1(P=+−⇒
⎩⎨⎧
=+−−−
2.punt M de tall entre r i s, )2,0(M2yx3
6y3xM ⇒⎩⎨⎧
−=−=+
)5,1(PM2Q =−=
Trobeu: a) l’equació de la mediatriu r del segment AB d’extrems )2,1(A i )4,3(B , b) l’angle que determina la mediatriu r amb l’eix d’abscisses OX. RAONAMENT
1.mediatriu 05yx0?64
0?y2x2
)2,2(ABv
)3,2(2
BAM=−+⇒
⎩⎨⎧
=++=++
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=⊥
=+
=
2.vectors directors de les rectes
º452·101
cos)1,1()2,2(v
)0,1(w=⇒
+=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≈−=
=αα
Trobeu: a) la paral·lela r i la perpendicular s de la recta { }01yx2 =+− que passen pel punt )2,3(P , b) les dues rectes de l’apartat anterior
2.10
2.11
2.12
Xavier Rabasa 38
tallen a l’eix d’abscisses en els punts A i B respectivament, calculeu la mediatriu k del segment AB. RAONAMENT a)
1.paral·lela 04yx20?26
0?yx20?yx2
)2,3(P=−−⇒
⎩⎨⎧
=+−=+−
⇒⎜⎜⎝
⎛=+−
2.perpendicular 07y2x0?43
0?y2x0?y2x
)2,3(P=−+⇒
⎩⎨⎧
=++=++
⇒⎩⎨⎧
=++
b)
)0,2(A0y2x
0y04yx2
⇒⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==−−
)0,7(B0y7x
0y07y2x
⇒⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==−+
1.mediatriu k29x
)1,0(v
)0,29(
2BAM
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
=
Equació de la mediatriu del segment determinat pels punts A i B de tall entre la recta { }4yx2 =+ i els eixos de coordenades. RAONAMENT
1.punt A de tall amb l’eix d’abscisses )0,2(A0y2x
0y4yx2
⇒⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==+
2.punt B de tall amb l’eix d’ordenades )4,0(B4y0x
4yx20x
⇒⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
=+=
3.mediatriu
03y2x0?41
0?y2x
)2,1(k)4,2(AB
)2,1(2
BAM=+−⇒
⎩⎨⎧
=+−=+−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
=+
=
3.DISTÀNCIES
2.13
Xavier Rabasa 39
Trobeu la mediatriu del segment d’extrems )4,3(A i )2,1(B com a lloc geomètric dels punts P(x,y)equidistants dels extrems A i B. RAONAMENT 1.càlcul de les dues distàncies
22 )4y()3x()4y,3x(AP)A,P(d −+−=−−== 22 )2y()1x()2y,1x(BP)B,P(d −+−=−−==
2.igualació de les distàncies al quadrat, 4y4y1x2x16y8y9x6x 2222 +−++−=+−++− ⇒
05yx020y4x45y4x225y8x6 =−+⇒=−+⇒+−−=+−−
Calculeu la distància del punt )1,1(P − a cadascuna de les següents rectes: a) { }02y3x =++
b) 1x2y −= c)
32y
21x −=
+ RAONAMENT a)
010
0
91
231d
02y3x)1,1(P
==+
+−=⇒
⎩⎨⎧
=++−
u.l.
b)
5
2
14
112d
01yx2)1,1(P
=+
−+=⇒
⎩⎨⎧
=−−−
u.l.
c)
13
12
49
723d
07y2x3)1,1(P
=+
++=⇒
⎩⎨⎧
=+−−
u.l.
3.1
3.2
Xavier Rabasa 40
Calculeu la distància entre les dues rectes paral·leles, { }015y4x3r =−+ i { }040y4x3s =−+ . RAONAMENT
1.triem un punt A de r )0,5(A0y5x
15y4x30y
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=+=
2.distància de A a s, 5525
16940015
d ==+−+
= u.l.
Mesureu les tres altures del triangle ABC de vèrtexs )1,1(A , )3,1(B i
)2,3(C . RAONAMENT
54
5721
h07y2x:r
)1,1(A)1,2(BC
)1,1(AA
BC
=−+
=⇒⎩⎨⎧
=−+⇒
⎩⎨⎧
−=
102
10233
h02yx3:r
)3,1(B)1,2(AC
)3,1(BB
AC
=−−
=⇒⎩⎨⎧
=−−⇒
⎩⎨⎧
=
224
426
h02x2:r
)2,3(C)2,0(AB
)2,3(CC
AB
==−
=⇒⎩⎨⎧
=−⇒
⎩⎨⎧
=
Cerqueu un punt P equidistant de )1,3(A i )5,3(B on la seva distància a l’eix d’abscisses és triple que la distància a l’eix d’ordenades . RAONAMENT
3.3
3.4
3.5
Xavier Rabasa 41
1.mediatriu 3y012y4x0)4,0(AB
)3,3(2
BAM=⇒=−+⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+
=
2.punt genèric )3,t(Q 3. condició: )3,1('iP)3,1(P1tt33 −⇒±=⇒±= dues solucions.
Donats els punts )4,1(A − , )3,2(B − trobeu un punt de la recta r: { }01y2x =−− equidistant de A i B. RAONAMENT
1.punt genèric de la recta r )t,1t2(Pty
1t2x+⇒
⎩⎨⎧
=+=
2.igualació de distàncies, 18t616t8)3t()3t2()4t(t4BPAP 2222
22
+=+⇒−++=++⇒= 1t =⇒ ⇒ )1,3(P
Trobeu la distància entre les dues rectes paral·leles: { }02y5x12r =+−i { }05y5x12s =+− . RAONAMENT
2.triar un punt A de r )2,1(A2y1x
02y5x121x
−−⇒⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎩⎨⎧
=+−−=
3.distància del punt A fins a la recta s, 133
16951012
d =++−
=
3.6
3.7
3.8
Xavier Rabasa 42
Trobeu un punt C de la recta r: { }02yx =−+ que equidista dels punts )3,1(A i )1,1(B . RAONAMENT
1.punt P genèric de la recta )t2,t(Pt2y
tx−⇒
⎩⎨⎧
−==
2.condició d’igualtat de les distàncies al quadrat, 2222
22
)1t()1t()1t()1t(BPAP +−+−=−−+−⇒= ⇒ 0t1t21t2 =⇒+−=+ ⇒ )2,0(P
Donada la recta r: { }02yx =+− , trobeu les dues rectes paral·leles que disten 2 unitats de la recta r. RAONAMENT
1.fixar un punt A de la recta r, )2,0(A2y0x
02yx0x
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=+−=
2.feix de rectes paral·leles 0?yx =+− condició de que la distància de A al feix sigui d=2,
222?22
?)20(±=⇒±=
+− les dues rectes paral·leles
són:⎪⎩
⎪⎨⎧
=−++
=+++
0)222(yx
0)222(yx
Trobeu les coordenades d’un punt A de la recta r:{ }01yx =−− que dista una unitat de la recta s:{ }02y4x3 =+− . RAONAMENT
1.punt genèric P de la recta r, )1t,t(P1ty
tx−⇒
⎩⎨⎧
−==
3.9
3.10
Xavier Rabasa 43
2.imposar la condició d(P,s)=1 ⇒ 5
]2)1t(4t3[1 +−−±=
⇒ ⎩⎨⎧
⇒⎩⎨⎧==
⇒±=⇒+−
=±)0,1(B
)10,11(A1t11t
56t5
6t1 dues solucions.
Trobeu les coordenades del circumcentre del triangle de vèrtexs, A(4,4)
)3,5(B i )3,1(C − . RAONAMENT 1.mediatriu del segment AB i del segmentBC,
01yx0?
27
29
0?yx
)1,1(AB
)27,
29(
2BAM
=−−⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−
=+−⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=+
=
2x0?020?0x
)0,1(6)0,6(BC
)3,2(2
CBM=⇒
⎩⎨⎧
=++=++
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
=+
=
2.punt dintersecció,circumcentre )1,2(P1y2x
01yx2x
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=−−=
Equació de les rectes que passen pel punt )3,2(A i disten 2 unitats de l’origen de coordenades. RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, { }3)2x(my +−= en forma implícita { }0)m23(ymx =−+− 2.condició de distància entre el punt O(0,0) i una recta del feix,
125m
m19m12m44
m1)]m23(00[2
2
2
2=⇒
++−
=⇒+−+−
±=
3.11
3.12
Xavier Rabasa 44
3.recta solució: 026y12x53)2x(125y =+−⇒+−=
4.ANGLES I BISECTRIUS.
Trobeu l’equació de la recta r que passa pel punt )1,2(A i forma amb la recta s: { }1x2y −= un angle de 45º. RAONAMENT 1.feix de rectes de pendent m que passen per A, { }1)2x(my +−= 2. condició angular,
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒=−−⇒
+++
=⇒
⇒++
±=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=⇒−=
=⇒+−=
31m
3m03m8m3
5m51m4m4
21
5·m1m21º45cos
)2,1(v1x2y
)m,1(v1)2x(my
2
2
2
2
2
1
3.les dues rectes del feix són:⎩⎨⎧
=−+=−−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−
=
+−=
05y3x05yx3
1)2x(31y
1)2x(3y
Trobeu l’angle que formen les rectes r i s, en els següents casos. a) r:{ })3,1(t)3,1()y,x( −+=
⎩⎨⎧
=+=t3y
t72x:s
b) { }2x3y:r −= { }03y5x2:s =+− c) { }01y2x3:r =+− { }03y5x2:s =+− d) { }03yx2:r =−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=+
41y
71x:s
4.1
4.2
Xavier Rabasa 45
e) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=2
3y1x:r
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
=−−
51y
12x:s
f) { }2x4y:r −= { }0y3x5:s =+ RAONAMENT 1.vectors directors de les rectes r i s, a) r: =v (1,-3) s: =w (7,3) b) r: =v (1,3) s: =w (5,2) c) r: =v (2,3) s: =w (5,2) d) r: =v (1,-2) s: =w (7,4) e) r: =v (1,2) s: =w (-1,5) f) r: =v (1,4) s: =w (3,-5)
2.angle dels vectors direccionals de les rectes, a)
=αcos5810
2− arccos=α5810
2−
b) =αcos
291011 arccos=α
291011
c) =αcos
291311 arccos=α
291311
d) =αcos
6551− arccos=α
6551−
e) =αcos
2659 arccos=α
2659
f) =αcos
341717− arccos=α
341717−
Determineu l’equació de la recta que passa pel punt )3,1(A − i forma un angle de 45º amb la recta r:{ }02yx3 =++ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, s:{ }3)1x(my −−=
4.3
Xavier Rabasa 46
2.vectors directors de les rectes r i s,⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
)3,1(v
)m,1(v
2
1
3.condició angular,
08m12m810m10
1m6m921
10·m1m31º45cos 2
2
2
2=−−⇒
++−
=⇒+−
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=⇒=−−⇒
21m
2m02m3m2 2
4.dues solucions,⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−=
−−=
3)1x(21y
3)1x(2y
Trobeu les bisectrius de les rectes r:{ }0y4x3 =− i s:{ }03y6x8 =++ .RAONAMENT 1.condició de equidistància d’un punt P(x,y) de la bisectriu.
10368
543 ++
=− yxyx
⇒ ⎩⎨⎧
++−=−+++=−
)368()43(2)368()43(2
yxyxyxyx
2.dues solucions, ⎩⎨⎧
=+−=++
0321403142
yxyx
Trobeu les equacions de les dues rectes que passen pel punt d’intersecció de les rectes: { }2xyr += i { }2yx3s =+ que formen un angle de 45º amb la recta, s. RAONAMENT
1.punt d’intersecció, )2,0(P2y0x
2yx32xy
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=++=
4.4
4.5
Xavier Rabasa 47
2.feix de rectes que passen per P, { }2)0x(my +−=
3.vectors directors de les rectes,⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
)3,1(v
)m,1(v
2
1
4.condició angular, 10m10
1m6m921
10·m1m31º45cos
2
2
2 ++−
=⇒+−
=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=⇒=−−⇒=−−⇒
2m21m
02m3m208m12m8 22
5.dues solucions, ⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+−−=
2)0x(2y
2)0x(21y
Trobeu el valor d’a per tal que les rectes: { }03y3x2 =−+ i { }05yax =−+ formen un angle de π/6 radians. RAONAMENT
1.vectors directors, ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
)a,1(v
)2,3(v
2
1
2.condició angular, 13a13
9a12a443
a1·13a23º30cos
2
2
2 +++
=⇒+
+=
46206848a03a48a23 2 ±
=⇒=+−⇒
Donades les rectes r{ }02y2x3 =−+ i s{ }01y3x2 =+− , trobeu: a) l’angle que formen. b) les equacions de les seves bisectrius. RAONAMENT
4.6
4.7
Xavier Rabasa 48
a)
1.vectors direccionals de r i s, ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
)2,3(v
)3,2(v
2
1
2.angle, º90013·13
66cos =⇒=−
= αα
b) condició de equidistància a r i s d’un punt de la bisectriu,
⇒+−
±=−+
131y3x2
132y2x3
⎩⎨⎧
=−−=−+
015035
yxyx
Trobeu la recta que passa pel punt )2,0(A i forma angles iguals amb les rectes: r: { }03y2x =−+ i s: { }02yx2 =++ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, k:{ }2)ox(my +−=
2.vectors directors,2
2
s
k
r
m15m21cosm15
m2cos
)2,1(vs
)m,1(vk
)1,2(vr
+−
=⇒
+−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
−=
α
α
3.condició angular, ⎩⎨⎧
+=+−=
⇒⎩⎨⎧
=−=
⇒−±=−2xy
2xy1m
1m)m21(m2
(dues solucions).
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A − i forma angles iguals amb les rectes r:{ }02y4x3 =−+ i s:{ }0y3x4 =+ . RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, k:{ }1)2x(my −−=
4.8
4.9
Xavier Rabasa 49
2.vectors directors,2
2
s
k
r
m1·5m43cosm1·5m34cos
)4,3(vs
)m,1(vk
)3,4(vr
+−
=⇒
+−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=
−=
α
α
3.condició angular,
⎩⎨⎧
−−=−−−=
⇒⎩⎨⎧
=−=
⇒−±=−1)2x(y
1)2x(y1m
1m)m43(m34
(dues solucions).
Trobeu l’equació de la recta que forma angles iguals amb les rectes r:{ }02yx =−+ , s:{ }0y2x2 =− , i que talla a l’eix vertical a una altura de 3 unitats. RAONAMENT 1. punt A de tall amb l’eix vertical )3,0(A 2.feix de rectes que passen per A, k:{ }3)0x(my +−=
3.vectors directors,2
2
s
k
r
m1·2m1cos
m1·2m1cos
)1,1(vs
)m,1(vk
)1,1(vr
++
=⇒
+−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
−=
α
α
4.condició angular, ⎩⎨⎧ =
⇒⎩⎨⎧
==
⇒+±=−cap
3ycapm0m
)m1(m1
(única solució).
Determineu analíticament l’angle que formen: a)les bisectrius del primer i segon quadrant. b)l’eix d’abscisses amb la recta { }02yx2 =+− ,
4.10
4.11
Xavier Rabasa 50
c)l’eix d’ordenades amb la recta { }04yx3 =++ , d) les rectes: { }2xy −= i { }3xy +−= . RAONAMENT a) vector primera ( 1 , 1 ) vector segona ( 1 , -1 ) producte escalar 0 = 2 cos xº cos xº = 0 xº = 90º b)vector primera recta ( 1 , 0 ) vector segona ( 1 , 2 ) producte escalar: 1 = 5 cos xº cos xº = 1/ 5 xº = 63º26' c)vector primera ( 0 , 1 ) vector segona ( 1 , -3 ) producte escalar: -3 = 10 cos yº cos xº = 3/ 10 xº = 18º26 d) vector primera ( 1 , 1 ) vector segona ( 1 , -1 ) rectes perpendiculars xº = 90º RAONAMENT
a)⎩⎨⎧
=⇒=−
=⇒−=−=
== º9001·111cos
)1,1(vxy)1,1(vxy
2
1 αα
b) ⎩⎨⎧
=⇒+
=⇒=+===
51arccos
5·101cos
)2,1(v2x2y)0,1(v0y
2
1 αα
c) ⎩⎨⎧ −
=⇒−
=⇒−=−−=
==103arccos
10·130cos
)3,1(v4x3y)1,0(v0x
2
1 αα
d) ⎩⎨⎧
==⇒−
=⇒−=+−=
=−= º900arccos2·2
11cos)1,1(v3xy
)1,1(v2xy
2
1 αα
Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt )1,2(A − i que forma un
angle de 60º amb la recta: r:⎩⎨⎧
=−=t2y
t1x.
4.12
Xavier Rabasa 51
RAONAMENT 1.feix de rectes que passen per A, s:{ }1)2x(my −−=
2.vectors directors de les rectes r i s,⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
)m,1(v
)2,1(v
k
r
3.condició angular,
01m16m115m5
1m4m441
5·m1m21º60cos 2
2
2
2=−−⇒
++−
=⇒++−
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−
=
−−+
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+=
⇒
1)2x(11
358y
1)2x(11
358y
11358m
11358m
dues solucions.
Estudieu la posició relativa de les rectes r i s: a) { }3yx:r =+ { }2yx:s =− b) { }03y2x:r =+−
⎩⎨⎧
=+=
tyt21x
:s RAONAMENT
a) ⇒⎩⎨⎧ ≠
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
−==
⇒−=
⎩⎨⎧
=−=
⇒+−=sr
s
s
r
r
mm
2n1m
2xy:s
3n1m
3xy:rrectes incidents
4.13
Xavier Rabasa 52
b) ⇒⎩⎨⎧
≠=
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
=⇒−=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇒+=
sr
sr
s
s
r
r
nnmm
21n
21m
21x
21y:s
23n
21m
23x
21y:r
rectes paral·leles
5.DETERMINACIÓ DE PARÀMETRES
Determineu el valor de k per tal que els punts )1,2(A − , )4,1(B i
)9,k(C estiguin afilerats. RAONAMENT
1.pendent dels vectors ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=
−=−=
1k5m)5,1k(BC15m)5,1(AB
2
1
2.condició d’afilerats, 0k1k
515mmACAB 21 =⇒
−=
−⇒=⇒
Calculeu el valor d’a i b per tal que les rectes { }02yax:r =+− i
{ }09y6bx:s =−+ siguin perpendiculars i que la segona passi pel punt ).1,1(P
RAONAMENT 1.si la recta s passa per P,
5.1
5.2
Xavier Rabasa 53
{ }09y6x3:s3b
09y6bx096b
09y6bx=−+⇒
⎩⎨⎧
==−+
⇒⎩⎨⎧
=−+=−+
i 3b =
.2condició de perpendicularitat,
⇒=−⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=0a360v·v
)3,6(v
)a,1(vsr
s
r 2a =
Calculeu el valor d’m per tal que les rectes, { }06y2mx:r =++ ,
{ }01yx2:s =−+ , { }5yx:t =− t: passin pel mateix punt i determineu aquest punt. RAONAMENT
1.punt d’intersecció de s i t, )3,2(A3y
2x5yx
1yx2A −⇒
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
=−=+
2.si r passa pel punt A, ⇒⎩⎨⎧
=+−=++066m2
06y2mx 0m =
Trobeu els valors de m i n de manera que la recta { }0nyx2:r =+ passi pel punt )2,1(A i sigui paral·lela a la recta { }03y2mx:s =+− . RAONAMENT
1.si la recta r passa per A, { }
⎩⎨⎧
−==−
⇒⎩⎨⎧
=+=+
1n0yx2:r
0n220nyx2
2.condició de paral·lelisme 2m22m
23x
2my:s
x2y:r=⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=
3. solució ⎩⎨⎧
=−=2m1n
5.3
5.4
Xavier Rabasa 54
Donades les rectes { }3yx3:r =+ i { }8ayx2:s =+− , determineu el valor d’a per tal que formin un angle de 45º. RAONAMENT
1.vectors directors de les rectes, ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
)2,a(v
)3,1(v
s
r
2.condició angular, 40a10
36a12a21
a4·106aº45cos
2
2
2 ++−
=⇒+
−±=
⎩⎨⎧
=−=
⇒=−+⇒=−+1a
4a04a3a032a24a8 22 dues solucions.
Trobeu el valor d’a per tal que la distància de l’origen a la recta
{ }04ayx2:r =−+ sigui igual a 2 unitats. RAONAMENT
1.condició de distància, 0a0a4a
1644a400
2 2
22=⇒=⇒
+=⇒
+−+
=
Trobeu l’equació de la recta r, que pertany al feix format per les rectes s:{ }011yx2 =−− i t:{ }01yx =−+ de manera que la distància del punt )1,2(P a la recta r sigui de 2 unitats. RAONAMENT 1.la recta t no dista 2 unitats. 2.tota altra recta del feix és: { }0)1yx(t11yx2 =−++−−
{ }0)11t(y)1t(x)t2( =+−−++⇒
5.5
5.6
5.7
Xavier Rabasa 55
3.condició de distància,
⎩⎨⎧=−=
⇒+++−
=⇒−++
+−−++=
1t11t
5t2t2)16t8t(44
)1t()t2()11t()1t(1)t2(2
22
2
22
4. dues solucions, ⎩⎨⎧
==+
⇒⎩⎨⎧
=−=−−
4x0y4x3
012x30y12x9
Donada la recta { }04my3mx:r =−+− , calculeu el valor d’m per tal que: a) passi pel punt )2,1(A − , b) sigui paral·lela a la recta
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
22y
31x:s .
RAONAMENT
a)1.per passar pel punt A, ⎩⎨⎧
−==−−−
⇒⎩⎨⎧
=−++=−+−
1m05y3x
04m6m04my3mx
Solució 1m −=
b)1.vectors direccionals de r i s ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
)2,3(v
)m,3(v
s
r
2.condició de paral·llelisme, 2m32
3m
=⇒= 2m =
Trobeu el valor d’a i b per tal que les rectes: { }08y2ax:r =−+ i
{ }3byx2:s =+ es tallin en el punt )1,2(A . RAONAMENT 1.si les rectes r i s passen pel punt A,
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
=+=−+
1b3a
3b4082a2
solució 1b
3a−=
=
5.8
5.9
Xavier Rabasa 56
Trobeu els valors d’m per tal que les rectes { }03y2mx:r =−+ i
{ }01yx2:s =++ passin per un mateix punt. RAONAMENT
1.rectes de diferent pendent, ⇒≠⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
22m
2m2mm
s
r 4m ≠
Valor d’m i n per tal que la recta { }0myx3:r =+ passi pel punt
)3,1(A i sigui paral·lela a la recta { }02ynx:s =−+ . RAONAMENT 1.si la recta r passa per A, ⇒=+ 0m33 1m −= 2.si la recta r és paral·lela a la recta s,
3nnm3
nmm3m
s
r −=⇒−=−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
⇒ 3n −=
Valor d’a i b per tal que les rectes { }05y3ax:r =+− i
{ }01y2bx:s =−+ siguin perpendiculars i que la segona passi pel punt ).2,1(A −
RAONAMENT
1.vectors direccionals de r i s, ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
)b,2(v
)a,3(v
s
r
2.perpendicularitat, 6ab0ab60v·v sr =⇒=−⇒=
5.10
5.11
5.12
Xavier Rabasa 57
3.si la recta s passa per A, ⎩⎨⎧
==−+
⇒⎩⎨⎧
=−+−=−+
3b01y2x3
014b01y2bx
4.solucions, ⇒⎩⎨⎧
==
6ab3b
2a3b
==
Les rectes { }02yx2:r =−+ i { }01yax:s =++ , formen un angle de π/3 radians, calculeu el valor d’a. RAONAMENT
1.vectors directors de les dues rectes, ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=
)a,1(v
)2,1(v
s
r
2.condició angular, 5a5
1a4a441
1a·5a21º60cos
2
2
2 +++
=⇒+
+±=
11358a01a16a11 2 ±−
=⇒=−+⇒ 11
358a ±−=
La recta { }03x:r =− talla en un punt A, a la recta que passa pels punts: )3,2(C i )3,1(D −− i en un punt B a la bisectriu del primer quadrant, trobeu els punts A i B i l’equació de la mediatriu del segment AB. RAONAMENT 1.recta s que passa pels punts C i D,
01yx20?34
0?yx2
)3,2(C)2,1()6,3(CD
=−−⇒⎩⎨⎧
=+−=+−
⇒⎩⎨⎧ −−=
.
2.coordenades desl puns A i B,
)5,3(A5y3x
3x01yx2
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
==−−
; )3,3(B3y3x
xy03x
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
==−
.
3.mediatriudel segment AB,
5.13
5.14
Xavier Rabasa 58
4y08y20?80
0?y20
)4,3(2
BAM
)2,0(AB=⇒=+−⇒
⎩⎨⎧
=+−=+−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
−=
Donades les rectes, { }012ayx2:r =++ i { }10y3x6:s =− , a) valor d’a per tal que r i s siguin paral·leles i calculeu la distància que les separa, b) valor d’a per tal que r i s siguin perpendiculars. RAONAMENT
1.condició de paral·lelisme, 1aa3
26
−=⇒−
=
2.distància entre r i s,
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=⇒=−−
∈⇒
⎩⎨⎧
=−−=+−
5326
451036
d010y3x6
r)0,6(A
010y3x6:s012yx2:r
3.condició de perpendicularitat,
4a012a30v·v)6,3(v
)2,a(vsr
s
r =⇒=−⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
Demostreu que totes les rectes de la forma:{ }aaxy −= , passen per un mateix punt P i determineu aquest punt. RAONAMENT y = a ( x – 1 ) x = 1 y = 0 totes passen pel punt ( 1 , 0 ) RAONAMENT
⇒+−=⇒−= 0)1x(ayaaxy feix de rectes que passen pel punt ).0,1(P
5.15
5.16
Xavier Rabasa 59
Determineu el valor d’a per que les tres rectes: { }3y2x:r =− ,
{ }2yx3:s =+ i { })1axy:t += formin part del mateix feix . RAONAMENT
1.punt A de tall entre r i s, )1,1(A1y
1x2yx33y2x
−⇒⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
=+=−
2.la recta t passa per A, ⎩⎨⎧
−=+−=
⇒⎩⎨⎧
+=−+=
⇒⎩⎨⎧
−+=
2a1x2y
1a11axy
)1,1(A1axy
Trobeu el valor d’m per tal que les rectes { }01y3x:r =+− ,
{ }03yx:s =−+ i { }03ymx:t =−− passin per un mateix punt A i determineu aquest punt. RAONAMENT
1.punt de tall entre r i s, )1,2(A1y2x
3yx1y3x
⇒⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
=+−=−
2.la recta t passa per A, ⇒ ⎩⎨⎧
==−−
⇒⎩⎨⎧
=−−=−−
2m03yx2
031m203ymx
Determineu el valor d’a per tal que cada parell de rectes r i s siguin paral·leles. a) { }1yx:r =+ { }ayx2:s =− b) { }1y2x)2a(:r =−+ { }ay)3a(ax3:s =−+
RAONAMENT
5.17
5.18
5.19
Xavier Rabasa 60
a) impossible12
11
)2,1(v
)1,1(v
s
r ⇒=−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=
b) ⎩⎨⎧
−==
⇒=−+⇒−
−=
+⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=
+=6a
1a06a5a
3aa3
22a
)a3,3a(v
)2a,2(v2
s
r
Trobeu els valor d’a per tal que les rectes: { }5axy:r += i
{ }2x)1a(y:s −−= a) siguin paral·leles b) siguin perpendiculars. RAONAMENT a) paral·leles: a=a -1 implica 0 = 1 impossible b) perpendiculars a (a -1) = - 1, a 2–a+1=0 no té solucions reals RAONAMENT
a) impossible111
1a1a
)1a,1(v
)a,1(v
s
r ⇒−=⇒−
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
b)
impossible2
31a
01aa0)1a(a10v·v)1a,1(v
)a,1(v2
sr
s
r
⇒−±
=⇒
⇒=+−⇒=−+⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
Donada la recta: { }0)m5(y)m3(mx:r =−+−− , a) valor d’m per tal que la recta passi pel punt ( )1,2(A − , b) valor d’m per tal que la recta r
sigui paral·lela a la recta:⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
=−
24y
42x:s .
RAONAMENT a) si la recta r passa per A,
5.20
5.21
Xavier Rabasa 61
1m02m20)m5()m3(m2 =⇒=+−⇒=−+−−−
b) 1m6m642
m3m
)2,4(v
)m,m3(visr
s
r =⇒=⇒=−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=KK
Determineu el valor d’m i d’n per tal que la recta { }4nyx6:r =+ passi pel punt )1,2(A − i sigui paral·lela a la recta { }02y4mx:s =−+ . RAONAMENT 1.per passar pel punt A, 8n4n12 =⇒=− 2.condició de paral·lelisme de r i s,
3m24m84m
86
)m,4(v
)6,8(visr
s
r =⇒−=−⇒−
=−
⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=KK
5.22