IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

MATEMÁTICAS MAYORES 25Ejercicios del tema 2

Expresiones algebraicas

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. Por ejemplo, para p(x) = 2x3 + 5x − 3 ; su valor numérico para x = 1 es

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

División de polinomios (4x3 – 8 x2 – 9x + 10) :(2x – 3)

Ejercicio 1: Realiza la división (Solución: 3 x4 -x2 -1 |3x 2 -3x-4_____________

-3x4 +3x3+4x2 x2+x+2 =cociente ---------------- / 3x3 + 3x2

-3x3 + 3x2 + 4x -------------------- / 6x2 + 4x - 1 -6x2 + 6x +8 ---------------

10x+7=restoEjercicio 2: Realiza la división

| = c(x)

/ /

/ = r(x)

Ejercicio 3: Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax2 + bx +5 sea divisible por x2 + x + 1.

b − a = 0 −a + 6 = 0 a = 6 b = 6

División por la regla de Ruffini:1 (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2 (x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0

Ejercicio 1: Realiza la división por Ruffini (x4 − 3x2 + 2) : (x −3). Escribe el cociente y el resto de dicha división

C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56

Ejercicio 2: Realiza la división por Ruffini . Escribe el cociente y el resto de dicha división Solución: | 1 0 0 0 -81 -3 |____ -3___9 _ -27__81

C(x)= x3 – 3x2 + 9x – 27 1 -3 9 -27 | 0=r

Ejercicio 3: Realiza la división por Ruffini . Escribe el cociente y el resto de dicha división

| 6 0 2 -3 c(x)= ; r=757

5_|__ _30__150__7 60 _

| 6 30 152 |757=r

Teorema del Resto: El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcula, por el teorema del resto, el resto de la división (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)Solución: El resto coincide con P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56 Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

Luego, efectivamente, el resto es 56

Ejercicios http://www.ditutor.com/polinomios/teorema_resto.html

Ejercicio 1: Indica cuáles de estas divisiones son exactas:1 (x3 − 5x − 1) : (x − 3) P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 No es exacta. 2 (x6 − 1) : (x + 1) P(−1) = (−1)6 − 1 = 0 Exacta3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1) P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0 Exacta 4 (x10 − 1024) : (x + 2) P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 Exacta

Ejercicio 2: Halla el resto de las siguientes divisiones:1 (x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −42 (2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)3 + 3 · (−2)2 + 5 · (−2) +10 = 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60 3 (x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Ejercicio 3: Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:1 (x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0. P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor.

2 (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0. P(−1) = (−1)6 − 1 = 0 (x + 1) es un factor.

3 (x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1) si y sólo si P(x = 1) = 0. P(1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1 − 1 = 0 (x − 1) es un factor.

4 (x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = −2) = 0. P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0 (x + 2) es un factor.

Ejercicio 4: Halla a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x2 − 4.x2 − 4 = (x +2) · (x − 2) P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0 −32 +2a +b = 0 2a +b = 32 P(2) = 25 − a · 2 + b = 0 32 − 2a +b = 0 − 2a +b = −32

Ejercicio 5: Determina en cada caso el valor de k, para que las siguientes divisiones sean exactas:

a)

b)

Solución: a)

r=0= k = – 1 b)

r=0= EMBED Equation.3 05231 k k= – 7

Ejercicio 6: Encuentra el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4 10 − 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3

Ejercicio 7: Determina el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0 3 + m + 4 = 0 m = − 7

Ejercicio 8: Halla un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x2 − 4) = (x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) == x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 = = x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60

Ejercicio 9: Calcula el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcula las otras raíces.

P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0 −8 + 2a +8 = 0 a= 0

(x + 2) · (x2 − 2x + 4) x2 − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales. Ejercicio 10: Halla el valor de m para que el valor numérico del polinomio sea -2 cuando x = - 1Solución: Para calcular el valor de m para que el valor numérico del polinomio

sea -2 cuando x = - 1 hay que aplicar el teorema del resto, de donde sabemos que

Ejercicio 11: Calcula el valor de sabiendo que el polinomio es divisible por Solución: Por el teorema del resto, el resto de dividir un polinomio por x+2 coincide con el valor numérico del polinomio para x = – 2, y como es divisible, esto significa que el resto es cero, luego Realizando las operaciones indicadas obtenemos es decir Despejando

es decir luego p = 11‘5

Ejercicio 12: Siendo calcula a y b para que sea múltiplo de x – 1 y de x+2. (Es decir sea divisible por x – 1 y por x + 2)

Solución: Por ser divisible, la división debe ser exacta, luego el resto de la división es cero. Como el resto de dividir el polinomio entre x – 1 coincide con

es decir De igual forma el resto de p(x)/(x+2) es 0. Es decir -

________________ 18a=54 a=54/18=3; b=-a=-3

Ejercicio 13: Calcula el valor de a para que al dividir el polinomio 2x2 + ax – 5 a) entre x+2 tenga resto 5

Solución: Utilizando el teorema del resto, si queremos saber el resto de dividir un polinomio por x+2 basta con calcular el valor numérico del polinomio para x= – 2, luego el resto de hacer la división (2x2 + ax – 5) : (x+2) es 2(– 2)2 + a(– 2) – 5 = 8 – 2 a – 5 = 3 – 2 a que según el enunciado es 5. Luego tenemos que resolver la ecuación 3 – 2 a = 5 3 – 5= 2 a despejando 3 – 5= 2 a – 2= 2 a luego – 1= a . Es decir que a tiene que ser – 1

b) entre x - 1 tenga mismo resto que al dividir por x + 3Solución: Por el teorema del resto, al sustituir en el polinomio por x = 1 debe salir lo mismo que al sustituir por x= – 3. De aquí obtenemos la siguiente ecuación 2·12 + a·1 – 5 = 2(– 3)2 + a(– 3) – 5 desarrollando las operaciones obtenemos2 + a – 5 = 18 – 3a – 5 o lo que es lo mismo a – 3 = 13 – 3a a + 3a = 13 +3 4a = 16a = 4 Es decir que a tiene que ser 4

Sacar factor común Consiste en aplicar la propiedad distributiva: a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

EjemplosDescompón en factores sacando factor común y halla las raíces de:1. x3 + x2

x3 + x2 = x2 (x + 1) La raíces son: x = 0 y x = −1 2. 2x4 + 4x2

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2) Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible. 3. x2 − ax − bx + ab

x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b) La raíces son x = a y x = b.

Ejercicio 1: Extrae factor común de: 18x3 y2 z5+ 3x2 y2 z4 Solución: Extraemos el máximo común divisor de ambos sumandos con lo cual

Ejercicio 2: Extrae factor común de: 6x3 y2 z5+ 3 y2 z4

Solución: Extraemos el máximo común divisor de ambos sumandos con lo cual

Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será: ax2 + bx + c = a·(x − x1)·(x − x2)

Ejemplos 1. Descompón en factores y halla las raíces de

Las raíces son x = 3 y x = 2.

2. Descompón en factores y halla las raíces de

Las raíces son x = 3 y x = −2.

Factorización de un polinomio de grado superior a dosUtilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.Los pasos a seguir los veremos con el polinomio: P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 61 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 03 Dividimos por Ruffini.

4 Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 ) Una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0 P(−1) = 2 · (−1)3 + 3 · (−1)2 − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x2 +x −6) Otra raíz es x = −1.El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0 P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional. 2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2) Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Ejercicio 1: Siendo resuelve la ecuación y factoriza

Solución: Se nos pide resolver la ecuación donde Tenemos que resolver

y por ser una ecuación de tercer grado, debemos dividir por la regla de Ruffini

De aquí deducimos que que es la descomposición en factores

requerida La ecuación se puede escribir como que tiene como soluciones , , puesto que para que un producto de números nos dé 0 alguno de ellos debe ser 0.

Ejercicio 2: Factoriza el polinomio . Calcula el resto de dividir entre

Solución: Se nos pide factorizar el polinomio Tenemos que resolver

y por ser una ecuación de tercer grado, debemos dividir por la regla de Ruffini

De aquí deducimos que que es la descomposición en factores requerida El resto de dividir entre según el teorema del resto coincide con

. Luego el resto de dicha división es 12

Otra forma de hacerlo, es hacer la división por Ruffini

Es decir, el resto de la división es 12

Ejercicio 3: Sea el polinomio . Resuelve y factoriza

Solución: Se nos pide factorizar el polinomio Tenemos que resolver

y por ser una ecuación de tercer grado, debemos dividir por la regla de Ruffini, donde las posibles raíces del polinomio son los divisores de 5

De aquí deducimos que que es la descomposición en factores

requerida La ecuación se puede escribir como que tiene como soluciones (doble), puesto que para que un producto de números nos dé 0 alguno de ellos debe ser 0.

Ejercicio 4: Factoriza el polinomio y halla los valores para los que Solución:

Ejercicio 5: a) Factoriza el polinomio Solución:

b) Resuelve la inecuación Solución:

Ejercicio 6: Halla las raíces del polinomio y factorízaloSolución:

Ejercicio 7: Factoriza 2x3 + 8x2 – 18 x – 72Solución: Como 2x3 + 8x2 – 18 x – 72= 2 (x3 + 4x2 – 9 x – 36) utilizamos la regla de Ruffini para los divisores de – 36

Luego 2x3 + 8x2 – 18 x – 72= 2 (x3 + 4x2 – 9 x – 36) == 2 (x – 3) (x + 3) (x + 4)

Ejercicio 8: Descompón en factores los siguientes polinomios: a) b)

Solución: a) =0; x= ; x=5 ó x=-1 2 =2(x-5)(x+1)

b)

Binomio de Newton.La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:El número de términos es n+1.Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

Ejercicio 1: Desarrolla

Solución:

Ejercicio 2: Calcula el sumando que es constante en el desarrollo de la potencia

Solución:

Ejercicio 3: Desarrolla (3x + 1)3 Solución: Para obtener el resultado de (3x + 1) 3 podemos multiplicar (3x + 1)·(3x + 1)·(3x + 1) o bien (3x + 1)2·(3x + 1) desarrollando el primero teniendo en cuenta que es un binomio al cuadrado, o también desarrollarlo utilizando el binomio de Newton.(3x + 1)3 = (3x + 1)2·(3x + 1) = (9x2 + 6x + 1)·(3x + 1) = 27x3 + 27 x2 + 9 x + 1

Ejercicio 4: Desarrolla (x – 2)4 Solución: (x – 2)4 = x4 + 4 x3 (– 2) + 6 x2 (– 2)2 + 4 x (– 2)3 + (– 2)4 = x4 – 8 x3 + 24 x2 – 32 x + 16

Simplificación de fracciones algebraicasPara simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo

Ejercicio 1: Simplifica la fracción algebraica definida para los números reales , , por:

Solución:

Ejercicio 2: Simplifica la fracción algebraica definida para los números reales , , por:

Solución:

Ejercicio 3: Simplifica:

Solución: Para simplificar la expresión descomponemos el numerador y el denominador,

utilizando Ruffini y la fórmula de las ecuaciones de segundo grado, de donde obtenemos que

Ejercicio 4: Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) b)

Solución: a) =

| 1 3 -13 -15

-1|__ -1 ___-2___15 | 1 2 -15 | 0_ 3 _|____3___15__ | 1 5 |_0=r

| 1 1 -9 -9 -1|__ -1 __0___9 | 1 0 -9 | 0_ 3 _|____3___9__ | 1 3 |_0=r

b) =

Ejercicio 5: Simplifica

Solución: Descomponemos en factores el numerador y el denominador. A continuación simplificamos los

factores que aparecen en ambos =

| 1 3 -13 -15 -1|__ -1 ___-2___15 | 1 2 -15 | 0_ 3 _|____3___15__ | 1 5 |_0=r

| 1 1 -9 -9 -1|__ -1 __0___9 | 1 0 -9 | 0_ 3 _|____3___9__ | 1 3 |_0=r

Ejercicio 6: Simplifica

Solución: Sacamos factor común en el numerador y en el denominador. A continuación descomponemos la

diferencia de cuadrados (identidad notable) teniendo en cuenta dicha regla: =

Ejercicio 7: Simplifica:

Solución: Se pueden descomponer el numerador y el denominador, bien utilizando la regla de Ruffini, bien utilizando la fórmula de las ecuaciones de segundo grado o bien dándonos cuenta que el numerador es diferencia de cuadrados y el denominador es el cuadrado de una

diferencia. En resumen: x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5) (x – 5) x2 – 10 x + 25 = (x – 5)2 Luego

Ejercicio 8: Simplifica

Solución:

Ejercicio 9: Calcula la fracción irreducible equivalente a las siguientes fracciones:

a) b) c)

Solución:

a) = = = =

b) = = =

c) = = = =

Ejercicio 10: Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) b) c) d)

Solución:

a) = =

b) = =

| 1 0 0 -64 4|___ 4__ 16_ 64_ | 1 4 16 | 0

c) = =

| 2 1 2 -10 5 1|___ 2__3_ 5__-5 | 2 3 5 -5 | 0 | 2 3 -4 -4 3 1|___ 2__ 5_ 1_-3 | 2 5 1 -3 | 0

d) = =

| 1 4 3

-1|___ -1__-3_ | 1 3 | 0 | 1 3 -1 - 3 1|___ 1__ 4_ 3 | 1 4 3 | 0 -1|___-1__-3 1 3 |0

Suma de fracciones algebraicas con distinto denominadorSi las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.Ejemplo Suma las fracciones algebraicas:

Ejercicio 1: Calcula y simplifica

Solución: Para realizar esta suma de fracciones algebraicas, calculamos el común denominador que es

Puesto que el denominador está descompuesto, para que se pueda simplificar la fracción, alguna de las raíces del denominador debe serlo también del numerador. Comprobamos que no, por lo que la fracción es irreducible.

Ejercicio 2: Calcula y simplifica:

Solución: Para sumar fracciones, conviene calcular el máximo común divisor de todos los denominadores y para ello hay que descomponer cada denominador en factores. En nuestro caso el primer y tercer denominador están descompuestos por lo que sólo hay que descomponer el segundo que es diferencia de cuadrados y por tanto x2 – 12 = (x + 1) (x – 1)

Ejercicio 3: Calcula y simplifica:

Solución: Para sumar fracciones, conviene calcular el máximo común divisor de todos los denominadores y para ello hay que descomponer cada denominador en factores. En nuestro caso el primer y tercer denominador están descompuestos por lo que sólo hay que descomponer el segundo que es diferencia de cuadrados y por tanto x2 –25=x2 – 52 = (x + 5) (x – 5)

Ejercicio 4: Calcula +

Solución: Para sumar fracciones hay que descomponer cada denominador en factores

+ = +

= = =

Ejercicio 5: Calcula

Solución: Para sumar o restar fracciones averiguamos primero un denominador común

=

Ejercicio 6: Calcula

= = =

= = = =

Ejercicio 7: Calcula

= = =

= = =

Producto de fracciones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo Multiplica las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

Ejercicio 1: Multiplica (5x3 + 3x2 + 2x)(2x – 1)Solución: (5x3 + 3x2 + 2x)(2x – 1) = 10x4 + 6x3 + 4x2 – 5x3 – 3x2 – 2x = 10x4 + x3 + x2 – 2x

Ejercicio 2: Multiplica dando el resultado simplificado .

Solución: . = .

=

Ejercicio 3: Multiplica y simplifica

= =

División de fracciones algebraicas El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo Divide las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

Ejercicio 1: Calcula y simplifica:

Solución: Para simplificar una división de fracciones es conveniente descomponer cada uno de los numeradores y denominadores. Después realizamos la división, dejando indicados todos los factores, comprobamos cuáles se pueden simplificar y por último realizamos las operaciones que queden. Por tanto 2x – 4 = 2 (x – 2) x2 – 4 x + 4 = (x – 2)2 x2 – 1 = x2 – 12 = (x + 1) (x – 1) Luego sustituyendo en el ejercicio, simplificando y calculando tenemos:

Ejercicio 2: Calcula y simplifica:

Solución: Para simplificar una división de fracciones es conveniente descomponer cada uno de los numeradores y denominadores. Después realizamos la división, dejando indicados todos los factores, comprobamos cuáles se pueden simplificar y por último realizamos las operaciones que queden. Por tanto 3x – 6 = 3 (x – 2) x2 – 4 x + 4 = (x – 2)2 x2 – 1 = x2 – 12 = (x + 1) (x – 1) Luego sustituyendo en el ejercicio, simplificando y calculando tenemos:

Ejercicio 3: Calcula y simplifica: :

: = :

=

Ejercicio 4: Calcula y simplifica:

= = =

=