Con unas nociones básicas de trigonometría se puede hacer uso de la misma para calcular alturas y distancias entre puntos en situaciones muy diversas. Presentamos aquí 8 usos de la trigonometría para el cálculo de alturas y distancias. Son aplicaciones prácticas en las que se supone que contamos con el material necesario para medir ciertos ángulos (ángulos verticales, sobre todo de elevación, y ángulos horizontales) como, por ejemplo, un teodolito. En Topografía, el estudio de instrumentos y aparatos de medición es fundamental, pero eso es materia de estudios superiores. En todo caso estos apuntes sobre instrumentos topográficos son muy completos para el que desee echarles un vistazo. Sin embargo, a un nivel de matemáticas en Bachillerato, lo que interesa es ver la manera de establecer un método para solucionar el problema que se plantea, usando nociones básicas de trigonometría, por ejemplo, el teorema de los senos y/o el teorema del coseno.

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y ditancias1. Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo.

2. Distancia entre un punto accesible y otro inaccesible.

3. Altura de un punto de pie accesible.

4. Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos.

5. Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado sin obstáculos.

6. Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos.

7. Altura de un objeto situado sobre un montículo, desde un terreno horizontal sin obstáculos.

8. Distancia entre dos puntos inaccesibles.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VIII)

Publicado en Geometría

17 Jul 2014

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Distancia entre dos puntos inaccesibles

Deseamos calcular la distancia AB¯¯¯¯¯=x entre dos puntos A y B a los que no tenemos acceso, tal y como se muestra en la figura.

Para ello medimos una base arbitraria CD¯¯¯¯¯¯, situada en el mismo plano que A y B. Desde C medimos los ángulos ACDˆ=α y BCDˆ=β. Desde D medimos también los ángulos CDBˆ=γ y CDAˆ=δ. Con estos datos también podemos conocer el ángulo CADˆ=180o−α−δy el ángulo CBDˆ=180o−β−γ.El método a seguir consiste en calcular previamente AC¯¯¯¯¯¯ en el triángulo ACD aplicando el teorema de los senos:AC¯¯¯¯¯¯senCDAˆ=CD¯¯¯¯¯¯senCADˆ⇒AC¯¯¯¯¯¯=CD¯¯¯¯¯¯

⋅senδsen(180o−α−δ)A continuación se calcula BC¯¯¯¯¯¯ en el triángulo BCD aplicando otra vez el teorema de los senos:BC¯¯¯¯¯¯senBDCˆ=CD¯¯¯¯¯¯senCBDˆ⇒BC¯¯¯¯¯¯=CD¯¯¯¯¯¯

⋅senγsen(180o−β−γ)Por último calculamos AB¯¯¯¯¯=x en el triángulo ABC aplicando el teorema del coseno:x2=AC¯¯¯¯¯¯2+BC¯¯¯¯¯¯2−2⋅AC¯¯¯¯¯¯⋅BC¯¯¯¯¯¯⋅cos(α−β)

EjemploPara calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B, se ha medido una base CD¯¯¯¯¯¯ de 240 metros, situada en el mismo plano queA y B; también se han medido los ángulos DCAˆ=106o, DCBˆ=39o, CDBˆ=122o y CDAˆ=41o. Calcular la distancia entre A y B.Solución

Llamemos x a la distancia entre A y B. En este caso, según los datos del problema α=106o, β=39o, γ=122o y δ=41o. Calculemos AC¯¯¯¯¯¯ y BC¯¯¯¯¯¯.AC¯¯¯¯¯¯=CD¯¯¯¯¯¯⋅senδsen(180o−α−δ)=240⋅sensen41os

en33o≊289,1BC¯¯¯¯¯¯=CD¯¯¯¯¯¯⋅senγsen(180o−β−γ)=240⋅sen122osen

19o≊325,16Finalmente calculamos x aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABC:x2=AC¯¯¯¯¯¯2+BC¯¯¯¯¯¯2−2⋅AC¯¯¯¯¯¯⋅BC¯¯¯¯¯¯⋅cos(α−β)==289.12+325.162−2⋅289.1⋅625.16⋅cos37o≊333167,23⇒

⇒x=333167,23−−−−−−−−−√⇒x≊577,2Por tanto, la distancia entre A y B es, aproximadamente, 577,2 metros.Leer más ...

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VII)

Publicado en Geometría

15 Jul 2014

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Altura de un objeto situado sobre un montículo, desde un terreno horizontal sin obstáculosDeseamos calcular la altura AB¯¯¯¯¯=x de un objeto situado sobre un montículo o punto elevado, desde un terreno horizontal sin obstáculos en el que estamos situados, tal y como se muestra en la figura.

Elegimos un punto C arbitrario y medimos el ángulo de elevación de A, que llamaremos α. Moviéndonos en el plano determinado por A, B y C nos desplazamos hasta un punto D y medimos CD¯¯¯¯¯¯=d, desde donde calculamos los respectivos ángulos de elevación de A y de B, a los que llamaremos β y γ, respectivamente.El método a seguir consiste en calcular AD¯¯¯¯¯¯ en el triángulo ACD aplicando el teorema de los senos. Téngase en cuenta que en el triángulo ACD conocemos CD¯¯¯¯¯¯=d y dos ángulos, ACDˆ=α y ADCˆ=180o−β, lo que significa que también podemos calcular el tercero de los ángulos: CADˆ=180o−(α+180o−β)=β−α.AD¯¯¯¯¯¯senACDˆ=dsenCADˆ⇒AD¯¯¯¯¯¯=d⋅senαsen(β−α)Finalmente, con el resultado anterior, se calcula x en el triángulo ABD aplicando otra vez el teorema de los senos. En este triángulo conocemos un lado, AD¯¯¯¯¯¯ y dos ángulos, ADBˆ=β−γ y DABˆ=90o−β. Al igual que anteriormente esta información permite calcular el tercero de los ángulos: ABDˆ=180o−(β−γ+90o−β)=90o+γ.xsenADBˆ=AD¯¯¯¯¯¯senABDˆ⇒x=AD¯¯¯¯¯¯⋅sen(β−γ)sen(9

0o+γ)EjemploUna columna está situada sobre un peñón. Desde un punto C la parte superior de la misma se ve con un ángulo de elevación de 55o. Situándonos en un punto D, 40 metros más cerca, se constata que dicho ángulo de elevación se transforma en 80o y

que el ángulo de elevación a la base de la columna es de 60o. ¿Cuál es la altura de la columna?

SoluciónSi nos fijamos en la figura anterior, los datos que proporciona el enunciado del problema son los siguientes. α=55o, β=80o, γ=60o y d=40 metros. Entonces, en el triángulo ACD tenemos:

AD¯¯¯¯¯¯=d⋅senαsen(β−α)=40⋅sen55osen25o≊77,53Por tanto, en el triángulo ABD:x=AD¯¯¯¯¯¯⋅sen(β−γ)sen(90o+γ)=77.53⋅sen20osen150o≊

53,03Es decir, la altura AB¯¯¯¯¯ de la columna es, aproximadamente, 53,03 metros.Leer más ...

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VI)

Publicado en Geometría

10 Jul 2014

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos

Deseamos calcular la altura AB¯¯¯¯¯=x de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos, tal y como se muestra en la figura (piénsese que la figura está dibujada en perspectiva).

Tomemos una base auxiliar CD¯¯¯¯¯¯=d. Desde C medimos el ángulo de elevación de A, que llamaremos α, el ángulo ACDˆ, al que llamaremos β y, finalmente, desde D mediremos también el ángulo ADCˆ, al que llamaremos γ.El método a seguir consiste en calcular AC¯¯¯¯¯¯ en el triángulo ACD y luego calcular x en el triángulo rectángulo ABC. Aplicando el teorema de los senos en el triángulo ACD:AC¯¯¯¯¯¯senγ=dsenCADˆ⇒AC¯¯¯¯¯¯=d⋅senγsen(180o−γ−

β)Finalmente, en el triángulo rectángulo ABC se tiene:

senα=xAC¯¯¯¯¯¯⇒x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senαEjemploDesde un barco fondeado frente a la costa se desea calcular la altura AB¯¯¯¯¯ de una torre. Para ello, desde la proa C, a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo de elevación de A: 7o, y ACDˆ=85o. Asimismo, desde la popa D, también a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo ACDˆ=87o (ver figura). Si la distancia entre la proa y la popa es CD¯¯¯¯¯¯=60 metros, calcular la altura de la torre.

SoluciónLlamemos B′ al punto de la torre situado al nivel de la cubierta del barco (4 metros sobre el nivel del mar) y que se toma como referencia para medir el ángulo de elevación de A: α=7o. Llamaremos x=AB′¯¯¯¯¯¯¯, con lo que la altura de la torre será AB¯¯¯¯¯=4+x. Según el enunciado tenemos que β=85o, γ=87o y d=60 metros.Tenemos pues, aplicando la fórmula vista anteriormente en el triángulo ACD, que:

AC¯¯¯¯¯¯=d⋅sen(180\grad−γ−β)senγ=60⋅sen87osen8o≊430,53

Por tanto:

x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senα=AC¯¯¯¯¯¯⋅sen7o≊52,47Es decir, la altura de la torre es, aproximadamente, AB¯¯¯¯¯=4+x≊56,47 metros.Leer más ...

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (V)

Publicado en Geometría

21 Jun 2014

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado sin obstáculosDeseamos calcular la altura AB¯¯¯¯¯=x de un punto de pie inaccesible desde un terreno inclinado, tal y como se muestra en la figura.

Sea γ el ángulo de inclinación del terreno. Nos situamos en un punto C y calculamos el ángulo de elevación de A, que lo llamaremos α. Sobre el plano que contiene el triángulo ABC medimos la distancia CE¯¯¯¯¯¯=d y desde E volvemos a calcular el ángulo de elevación de A, que llamaremos β.El método a seguir consiste en calcular overlineAC en el triángulo ACE y a partir de aquí calcular x en el triángulo ABC. Por un lado está claro que ACEˆ=α−γ, y por otro que CAEˆ=β−α. Esto último está menos claro. Veamos la demostración:

CAEˆ=CABˆ−DABˆ=(90o−α)−(90o−β)=β−αObsérvese que con estos dos ángulos también se puede calcular el ángulo CAEˆ:CEAˆ=180o−ACEˆ−CAEˆ=180o−(α−γ)−(β−α)=180o+γ−βAhora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo ACE:AC¯¯¯¯¯¯senCEAˆ=dsenCAEˆ⇒AC¯¯¯¯¯¯=d⋅sen(180o+γ−β)

sen(β−α)Finalmente, en el triángulo ABC se tiene:

senα=xAC¯¯¯¯¯¯⇒x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senαEjemploEl ángulo de elevación de una peña AB¯¯¯¯¯ mide 47o. Después de caminar 1000 metros hacia ella, subiendo una pendiente inclinada 32orespecto de la horizontal, su ángulo de elevación es de 77o. Hallar la altura de la peña con respecto al plano horizontal de la primera observación.Solución

Llamemos x=AB¯¯¯¯¯ a la altura de la peña. En este caso tenemos que α=47o, β=77o, γ=32o y d=1000. De los datos anteriores obtenemos los necesarios para aplicar la fórmula vista anteriormente: CAEˆ=β−α=77o−47o=30o, CEAˆ=180o+γ−β=180o+32o−77o=135o.AC¯¯¯¯¯¯=d⋅sen(180o+γ−β)sen(β−α)=1000⋅sen135osen3

0o≊1414,21Por tanto:

x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senα=AC¯¯¯¯¯¯⋅sen47o≊1034,29Es decir, la altura de la peña es de, aproximadamente, 1034,29 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (IV)

Publicado en Geometría

18 Jun 2014

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculosDeseamos calcular la altura AB¯¯¯¯¯=x de un punto de pie inaccesible, tal y como se muestra en la figura.

Para ello elegimos un punto C y medimos el ángulo de elevación de A, que lo llamaremos α. Avanzamos una distancia CD¯¯¯¯¯¯=d y desde Dvolvemos a medir el ángulo de elevación de A, que llamaremos β.El método a seguir consiste en calcular AC¯¯¯¯¯¯ en el triángulo ACD y luego calcular x en el triángulo ACB (o bien calcular AD¯¯¯¯¯¯ en el triángulo ACD y a continuación x en el triángulo ADB). Obsérvese en primer lugar que conocidos α y β se puede calcular γ:

γ=180o−(α+180o−β)=β−αAhora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo ACD:AC¯¯¯¯¯¯sen(180o−β)=dsenγ⇒AC¯¯¯¯¯¯=d⋅sen(180o−β)se

n,γFinalmente, en el triángulo ACB se tiene:

senα=xAC¯¯¯¯¯¯⇒x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senαDe una manera análoga podemos calcular la distancia CB¯¯¯¯¯¯ si nos interesa:

cosα=CB¯¯¯¯¯¯AC¯¯¯¯¯¯⇒CB¯¯¯¯¯¯=AC¯¯¯¯¯¯⋅cosαEjemploDesde un punto a ras de suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 14º. Calcular la altura del edificio.

Solución

Llamemos x=AB¯¯¯¯¯ a la altura del edificio. En este caso tenemos que α=48o, β=62o, d=20 y γ=β−α=62o−48o=14oEntonces, según se ha explicado anteriormente:AC¯¯¯¯¯¯=d⋅sen(180o−β)senγ=20⋅sen118osen14o≊72,994Por tanto:

x=AC¯¯¯¯¯¯⋅senα=AC¯¯¯¯¯¯⋅sen48o≊54,245Es decir, la altura del edificio es de, aproximadamente, 54,245 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (III)

Publicado en Geometría

17 Jun 2014

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Altura de un punto de pie accesiblePara calcular la altura de un punto de pie accesible se pueden presentar dos casos distintos. El primero de ellos, que el suelo sea horizontal (figura 1) y el segundo, que el suelo presente una determinada inclinación (ver figura 2).

 

Si el suelo es horizontal (figura 1) el triángulo ABC es rectángulo y entonces es muy fácil hallar la altura h.

tgα=hCB¯¯¯¯¯¯⇒h=CB¯¯¯¯¯¯⋅tgαSi el suelo presenta una inclinación dada, β (figura 2), conocemos también el ángulo ACBˆ=α−β y el ángulo CABˆ=90o−α. Utilizando el teorema de los senos tenemos:CB¯¯¯¯¯¯senCABˆ=xsenACBˆ⇒CB¯¯¯¯¯¯sen(90o−α)=xsen(

α−β)Y de aquí podremos despejar con facilidad la altura x:

x=CB¯¯¯¯¯¯⋅sen(α−β)sen(90o−α)EjemploUn pasillo plano de 10 metros de largo y que forma un ángulo de 25o con la horizontal, conduce al pie de una gran torre. Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su punto más alto es de 82o.Solución

Llamemos x=AB¯¯¯¯¯ a la altura de la torre. En este caso CB¯¯¯¯¯¯=10, ACBˆ=α−β=82o−25o=57o y CABˆ=90o−α=90o−82o=8o. Por tanto:x=CB¯¯¯¯¯¯⋅sen(α−β)sen(90o−α)=10⋅sen82osen8o⇒x≊60,

26Así pues, la altura de la torre es de, aproximadamente, 60,26 metros.

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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (II)

Publicado en Geometría

16 Jun 2014

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Distancia entre un punto accesible y otro inaccesibleSupongamos que deseamos medir la distancia c desde A hasta B, puntos entre los cuales media un obstáculo. A diferencia del caso anterior, no tenemos acceso al punto B, tal y como se se muestra en la figura siguiente.

Pues bien, en este caso elegimos un punto C y medimos la distancia hasta A, que llamaremos b. También mediremos los ángulos ACBˆ, al que llamaremos γ, y BACˆ. al que llamaremos α. Medidos estos dos ángulos, sabremos la medida del ángulo ABCˆ, al que llamaremos β, pues la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados: β=180o−(α+γ).

Haciendo uso del teorema de los senos tenemos que

csenγ=bsenβ=asenαy de la expresión anterior podemos despejar c:

c=bsenβ⋅senγEjemploPara calcular la anchura AB¯¯¯¯¯ de un río se elige un punto C que está en la misma orilla que A y se toman las siguientes medidas: AC¯¯¯¯¯¯=67 m, BACˆ=99o ACBˆ=20o. ¿Cuál es la distancia entre A y B?SoluciónEn este caso b=67, γ=20o y β=180o−(99o+20o)=61o. Por tanto:

c=67sen61o⋅sen20o⇒c≊26,2m.O sea, la distancia entre A y B es de, aproximadamente, 26,2 metros.Leer más ...

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (I)

Publicado en Geometría

28 May 2014

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Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculoSupongamos que deseamos medir la distancia c desde A hasta B, puntos entre los cuales media un obstáculo, tal y como se puede apreciar en la figura.

Para ello elegimos un punto C desde el cual se pueda medir la distancia hasta A, que llamaremos b; y la distancia hasta B, que llamaremos a. También mediremos el ángulo ACBˆ que, para abreviar, lo llamaremos γ.

Utilizando el teorema del coseno tenemos que

c2=a2+b2−2abcosγEjemploUn túnel AB¯¯¯¯¯ ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto C las siguientes medidas: AC¯¯¯¯¯¯=1250m, BC¯¯¯¯¯¯=1700 m y ACBˆ=132o. Hallar dicha longitud.SoluciónEn este caso b=1250, a=1700 y γ=132o. Por tanto:

c2=17002+12502−2⋅1700⋅1250⋅cos132o≊7296305.077⇒c≊2701,17

Por tanto la longitud del túnel es de, aproximadamente, 2701 metros.

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Usos de la trigonometría (II). Aplicaciones de las leyes de Newton a la resolución de problemas.

Publicado en Geometría

20 Ene 2014

Para plantear los problemas en los que deben aplicarse las leyes de Newton los pasos que deben seguirse son los siguientes.

1. Dibujar un diagrama claro.2. Aislar el cuerpo (partícula) y representar en un diagrama todas las fuerzas que

actúan sobre el mismo. Hacer esto para cada cuerpo, si interviene más de uno en el problema, dibujando un diagrama independiente para cada uno.

3. Elegir un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y aplicar la ley de Newton F=m⋅a en forma de componentes.

4. Resolver las ecuaciones resultantes para las incógnitas utilizando toda la información adicional disponible, por ejemplo las ligaduras (una ligadura es un tipo de información o restricción que limita la forma posible de movimiento del cuerpo). Generalmente las incógnitas incluirán las componentes de la aceleración y de algunas fuerzas.

5. Finalmente, inspeccionar cuidadosamente los resultados comprobando si corresponden a las previsiones razonables. Particularmente conviene determinar si la solución obtenida predice los resultados que corresponden a valores extremos de las variables en la solución.

Veamos un ejemplo en el que jugarán un importante papel las razones trigonométricas seno y coseno.

Se trata de determinar la aceleración de un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie fija y pulida, inclinada un ángulo θ respecto a la horizontal (plano inclinado).Existen sólo dos fuerzas que actúan sobre el bloque, el peso w y la fuerza N ejercida por el plano inclinado (fuerza normal o perpendicular al plano). Despreciamos la resistencia del aire y admitimos que no existe fricción en la superficie de contacto con el plano inclinado. Como las dos fuerzas no tienen la misma dirección, su suma no puede ser nula y, por tanto, el bloque debe acelerar. Hay que tener en cuenta una restricción o ligadura: la aceleración tienen lugar a lo largo del plano inclinado. Por eso, en este problema es conveniente elegir un sistema de coordenadas con un eje paralelo al plano inclinado y el otro perpendicular, como se indica en la figura 1.

La acelaración tiene entonces una sola componente ax. En esta elección N posee la dirección del eje y y el peso w tiene componentes wx y wyque se obtienen así (ver figura 2):

senθ=wxw⇒wx=wsenθ=mgsenθcosθ=wyw⇒wy=wcosθ=−mgcosθ

En las igualdades anteriores se ha tenido en cuenta que m es la masa del bloque y g la aceleración de la gravedad. La fuerza resultante en la dirección del eje y es N−mgcosθ. De la segunda ley de Newton y del hecho de que ay=0, tenemos:

Fy=may=N−mgcosθ=0Por tanto:

N=mgcosθIgualmente, para las componentes x:

Fx=max=mgsenθ⇒ax=gsenθEs decir, la aceleración hacia abajo según el plano inclinado es constante e igual a gsenθ.Para comprobar nuestros resultados conviene comprobar los valores extremos de la inclinación, θ=0o y θ=90o.Para θ=0o la superficie es horizontal. El peso sólo tiene una componente vertical que vienen equilibrada por la fuerza normal N=mgcos0o=mg. La aceleración es naturalmente cero: ax=gsen0o=0.En el extremo opuesto, θ=90o, el plano inclinado es vertical. El peso tiene entonces una sola componente a lo largo del plano. Así, la fuerza normal es cero: N=mgcos90o=0. La aceleración es ax=gsen90o=g, con lo que el bloque cae libremente.Leer más ...Suscribirse a este canal RSS Iniciar

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