8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICACusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

FATIGA POR FRETTING EN METALES: MODELOS DE PREDICCIÓN

Navarro Pintado C*, Muñoz Moreno S, Vázquez Valeo J, Domínguez Abascal J

Escuela Superior de Ingenieros, Universidad de Sevilla, Camino de los Descubrimientos s/n 41092 Sevilla, España*cnp@us.es

RESUMEN

El fenómeno del fretting se produce cuando dos sólidos en contacto bajo presión se someten a fuerzas externas variables. Debido a la variación cíclica de las cargas aparece la fatiga: se inician una o varias grietas y alguna de éstas puede crecer hasta romper la pieza. Debido al contacto se generan unas fuerzas muy elevadas cerca de la superficie que hacen que este fenómeno sea más perjudicial que la fatiga simple. En la parte teórica de este trabajo se ha desarrollado un método para predecir el fallo de la pieza combinando las fases de iniciación y propagación de la grieta. En la fase de iniciación se utilizan diversos criterios de fatiga multiaxial y en la fase de propagación se utilizan varias leyes de crecimiento que tienen en cuenta el crecimiento de grietas pequeñas. Este método permite no sólo calcular la vida final sino también la evolución de la longitud de la grieta en función del número de ciclos aplicados. El modelo se compara con otros existentes en la literatura. Igualmente, se aplica a una serie de ensayos realizados con distintos materiales, geometrías y recubrimientos comparando los resultados teóricos con los experimentales.

PALABRAS CLAVE: Fretting fatiga; Predicción de vida; Evolución de grieta; Contacto cilíndrico; Contacto esférico.

Código 709

INTRODUCCIÓN

La fatiga por fretting es un tipo de fatiga que puede producirse cuando hay dos cuerpos en contacto y al menos a uno de ellos se le somete a una fuerza variable. En estos casos se producen pequeños desplazamientos entre distintos puntos de dos piezas en contacto bajo presión generando unas tensiones tangenciales asociadas a las normales en la superficie, que normalmente disminuyen rápidamente con la profundidad. Estas tensiones locales se superponen a las tensiones globales de todo el componente, produciendo un efecto similar al de los concentradores de tensión. Este hecho hace que las grietas se inicien mucho antes que si no hubiera contacto entre los sólidos y que inicialmente crezcan con mayor rapidez. Dichas grietas pueden desarrollarse posteriormente hasta la fractura final o detenerse en función del gradiente y nivel de las tensiones.

En principio, la fatiga por fretting puede aparecer en cualquier lugar donde haya piezas en contacto, es decir, en cualquier máquina o aparato o incluso en estructuras. Casos prácticos donde se ha identificado este problema son en los álabes de una turbina, uniones atornilladas o roblonadas, uniones de un eje con ajuste a presión, cables, implantes artificiales, cadenas, etc. [1], Fig. 1. La característica en todos ellos es la concentración de tensiones, un mayor o menor desgaste y una considerable reducción de la vida.

La gran cantidad de parámetros involucrados en el fallo por fretting fatiga, la dificultad para independizar unos de otros y el desconocimiento del efecto de algunos de ellos hacen especialmente importante analizar el problema del fretting. Un aspecto importante en el diseño de componentes mecánicos sometidos a fatiga por fretting es la predicción de la vida a fatiga y muchos recursos se dedican actualmente para conseguir este objetivo [2,3].

Se acepta en general que el proceso de fatiga por fretting debe ser estudiado considerando dos fases: la iniciación de las grietas y la propagación de éstas hasta el fallo. Algunos métodos para estimar la vida a fatiga están basados en el mecanismo de iniciación y usan los resultados obtenidos en algunos ensayos con probetas y carga simétrica, junto con criterios de fatiga multiaxial. Estos métodos se usan más cuando la fase de iniciación es predominante. Otro procedimiento consiste en utilizar la mecánica de la fractura elástica-lineal, que será tanto más aplicable cuanto más pequeña sea la vida de iniciación comparada con la de propagación o cuando haya grietas ya iniciadas [4]. También se puede combinar la iniciación con la propagación definiendo un valor fijo para la longitud de grieta de iniciación. Esta longitud es una forma de definir hasta dónde llega la iniciación y desde dónde se puede considerar que se produce la propagación. La vida total sería la suma del número de ciclos necesario para iniciar una grieta más los ciclos que tarda en propagarse la grieta desde esa longitud definida hasta la rotura [5]. Siguiendo este camino, un paso más hacia delante es combinar la iniciación con la propagación, al igual que en el caso anterior, pero en lugar de definir previamente una longitud fija para la iniciación, ésta se obtiene del propio proceso de cálculo. Existen diferentes formas de llevar a cabo esta combinación desarrollados por distintos autores [6,7,8] para componentes con entallas.

Los autores de este artículo han desarrollado un modelo para combinar la iniciación y la propagación y aplicarlo al caso de ensayos de fatiga por fretting en distintas condiciones de geometrías, dimensiones, materiales, fuerzas y tratamientos [9,10]. En concreto, este modelo se ha aplicado a geometrías con contacto esférico y cilíndrico. Estas dos geometrías tienen la ventaja de que no producen singularidades en las tensiones y se conocen expresiones analíticas de las tensiones producidas, lo que facilita y agiliza la aplicación del modelo a distintas situaciones. En cada una de ellas se han analizado diferentes radios de la esfera o cilindro en contacto. Los materiales de los ensayos analizados son aleaciones de aluminio y de titanio. También se ha analizado experimental y analíticamente el efecto de diversos recubrimientos y tratamientos superficiales. Mediante dicho modelo se puede estimar tanto la vida a fatiga como la evolución del crecimiento de la grieta frente al número de ciclos aplicados.

Fig. 1: Ejemplos de casos de fatiga por fretting: eje con ajuste a presión, raíz de un álabe y unión roblonada.

ENSAYOS

Los ensayos a los que se hará referencia [5,10-13] se realizaron en un montaje como el de la figura 2. En este tipo de ensayo se tiene una probeta sujeta por un extremo y a la que se le aplica una fuerza P variable en el otro. Además, a ambos lados de la probeta se le aplica una fuerza N constante a través de los elementos de contacto que pueden tener distintas geometrías, superficie esférica o cilíndrica en los ensayos analizados. Los elementos de contacto se apoyan en la superficie fija mediante elementos flexibles de forma que al variar P se introduce una fuerza tangencial variable Q en el contacto entre las piezas. Las fuerzas P y Q varían en fase. Se puede aplicar una fuerza Q distinta para la misma P simplemente variando la rigidez del apoyo, K. La fuerza P dividida por el área de la probeta da lugar a la tensión axial en la probeta, σ, que se utilizará más adelante.

Fig. 2: Esquema del montaje de fretting utilizado en los ensayos.

MODELO

El modelo usado para la predicción de vida fue propuesto por los autores y tiene la característica de combinar las fases de iniciación y propagación sin definir a priori cuándo termina una y empieza la otra [9].

El mecanismo de iniciación se ha tratado de la siguiente forma. El fenómeno empieza iniciando una grieta en el punto de tensiones más altas, usualmente en la superficie. Una vez que la grieta se inicia, conforme se van aplicando ciclos, otros puntos con tensiones más bajas alcanzarán el número de ciclos necesario para iniciar una grieta. Por lo tanto, una vez que la grieta se inicia en el punto de altas tensiones, progresivamente se irá iniciando en puntos cada

vez más alejados. Como la evolución de las tensiones es continua, esta aproximación asume que hay un proceso continuo de iniciación de la grieta que puede tomarse como un proceso de crecimiento. Para modelar esta fase se calcula el número de ciclos necesario para iniciar una grieta a una distancia l. Se obtiene una curva, l – Ni, que proporciona el número de ciclos para cada posición. La pendiente de esta curva en cada punto proporciona una velocidad de crecimiento de grieta por el mecanismo de iniciación, dl/dNi – l.

La fase de propagación se analiza empleando la Mecánica de la Fractura Elástica y Lineal (MFEL) asumiendo un crecimiento en modo I desde el principio. En este caso se utiliza la curva de crecimiento característica del material, da/dN – ΔK. Esta curva se modifica para tener en cuenta el crecimiento de grietas pequeñas y se combina con la evolución del factor de intensidad de tensiones (FIT) en función de la longitud de grieta en cada ensayo, ΔK – a. De esta forma se obtiene la velocidad de crecimiento de grieta en función de la longitud de la misma para la fase de propagación en un ensayo concreto, da/dN – a.

Si se comparan las dos velocidades de crecimiento obtenidas se puede observar que cerca de la superficie la velocidad de crecimiento por iniciación es más alta, da/dN < dl/dNi. Sin embargo, cuando la grieta es larga sucede al contrario, da/dN > dl/dNi. Esto significa que cuando la grieta es pequeña avanzará más rápidamente por el mecanismo de iniciación que por propagación. El punto donde estas dos curvas se cruzan se le denomina longitud de iniciación, ai, y separa la fase de iniciación de la de propagación. La vida total de la pieza sería el número de ciclos necesario para iniciar una grieta en una profundidad igual a la longitud de iniciación más el número de ciclos necesario para propagar la grieta desde dicha longitud hasta la rotura final.

En la fase de iniciación ha de emplearse algún criterio de fatiga multiaxial por la complejidad del campo de tensiones. El criterio elegido es el de McDiarmid [14], cuya tensión equivalente, eq, se define como:

(1)

donde max es el máximo incremento de tensiones tangenciales, max es la tensión normal máxima en la dirección perpendicular al plano donde es máxima (max), t es el límite de fatiga a torsión y TS es la tensión de rotura. La expresión que relaciona el valor de eq con el número de ciclos de iniciación se obtiene de la curva -N. Su expresión es

(2)

En los ensayos analizados en este trabajo solamente se utilizará la parte elástica de la Ec.(2) puesto que el cálculo de tensiones realizado es elástico. En caso de tensiones mayores, tales que requieran un análisis elastoplástico, deberá emplearse la ecuación completa.

En la fase de propagación se asumirá que la grieta se inicia en el límite de la zona de contacto y que crece perpendicularmente a la superficie. Experimentalmente se puede comprobar que estas suposiciones no están alejadas de la realidad [15]. El factor de intensidad de tensiones en modo I en función de la longitud de grieta se calcula mediante la expresión [15]

(3)

donde x es la tensión normal al plano de crecimiento de la grieta y s es una coordenada que recorre la grieta desde el borde hasta la superficie. Esta expresión fue desarrollada para una grieta pasante como las que aparecen en el contacto cilíndrico. Sin embargo, en fretting con contacto esférico las grietas son semielípticas. Por lo tanto, en este caso será necesario dividir el FIT obtenido con la Ec.(3) por un factor que depende de la relación de aspecto, [16]. En el análisis de ensayos con contacto cilíndrico no es necesario modificar la Ec.(3) puesto que se considera que las grietas son pasantes.

En la fase de propagación se han empleado diferentes leyes de crecimiento. En primer lugar se ha utilizado la más simple de todas, la ley de Paris:

(5)

También se han empleado otras leyes de crecimiento que modifican la anterior, de forma que tienen en cuenta que cuando las grietas son pequeñas son capaces de crecer con valores del FIT por debajo del umbral de crecimiento para grietas largas. Esta modificación se puede llevar a cabo bien disminuyendo el umbral de crecimiento o aumentando el FIT en función de la longitud de grieta cuando ésta es pequeña [17]. A continuación se presentarán las dos formas consideradas en este trabajo para modificar la ley de crecimiento.

En la primera de ellas el umbral de crecimiento se modifica a través de la relación propuesta por Vallellano [18] para aproximar el diagrama de Kitagawa-Takahashi. La ley de crecimiento queda:

(6)

(7)

donde Kth es el umbral de crecimiento de grietas largas, a0 es la constante de El Haddad, l0 es la distancia típica hasta la primera barrera microestructural, f es un parámetro de ajuste del diagrama de Kitagawa-Takahashi y ΔσFL es el límite de fatiga. Las constantes C y n tienen los mismos valores que en la ley de Paris, Ec.(5).

Otra forma de modificar la ley de crecimiento es mayorando el FIT por un factor que es el inverso del utilizado en la Ec.(6). En este caso la ley de crecimiento es:

(8)

RESULTADOS

En los siguientes apartados se expondrán los principales resultados de los distintos problemas que se han tratado. Principalmente, los tipos de análisis realizados son tres: estimación de vida, curvas de fatiga y estimación de la evolución de la grieta. En el primero se compara la vida experimental con la vida estimada. En el segundo tipo de análisis se estudian grupos de ensayos en los que dos de las tres fuerzas independientes (P, Q y N) son las mismas. De esta forma se estudia el efecto de cada parámetro de forma independiente. El tercer tipo de análisis es más completo en el sentido de que no se estima solamente el número de ciclos para la longitud final de fractura sino que estima la evolución de la longitud de la grieta desde que se inicia hasta que se produce la rotura final en función del número de ciclos aplicados. Además, se ha tratado de forma teórica y experimental el efecto de distintos recubrimientos sobre las probetas y otros tratamientos como el shot peening o láser peening.

Estimación de vida en contacto esférico y cilíndrico

En la figura 3 se representan las vidas estimadas empleando la ley de crecimiento que modifica el umbral, Ec.(6), frente a las vidas obtenidas en tres series de ensayos: Al 7075 T6 [12], Al 7075 T651 [10] y Ti6Al4V [13]. En todos ellos el contacto es esférico y se diferencian en el tipo de material y el radio de la esfera en contacto. También se han analizado ensayos con contacto cilíndrico y sus resultados se muestran en la figura 4. En un grupo se empleaba la aleación Al 4%Cu [11] y en el otro grupo Al 2024 T351 [5]. En ambos casos se empleaban distintos radios del cilindro en contacto.

Fig. 3: Estimación de vidas en contacto esférico. Fig. 4: Estimación de vidas en contacto cilíndrico.

Curvas de fatiga

La utilidad de este tipo de curvas es analizar el efecto de cada parámetro de forma individual y, en algunos casos, comparar directamente con la curva de fatiga simple [10]. En las figuras 5 y 6 se muestran dos casos distintos. En el primero el parámetro que varía es la tensión axial mientras que en el segundo es la fuerza normal. Los puntos son datos experimentales y las curvas son las estimaciones realizadas con el modelo de predicción. Se observa cómo para la misma tensión axial la vida a fatiga por fretting es mucho menor que en fatiga simple. Por otro lado se observa la aparición de un límite de fatiga por fretting. En la figura 6 se observa que al aumentar la fuerza normal la vida aumenta, lo cual parece contradictorio, sin embargo, el modelo teórico es capaz de recoger este hecho.

Fig. 5: Curva de fatiga con N = 20 N y Q = 15 N. Fig. 6: Curva de fatiga con σ = 85 MPa y Q = 15 N.

Evolución de la longitud de grieta

En este caso se realizaron una serie de ensayos interrumpidos, a distintos números de ciclos, con las mismas fuerzas aplicadas [19]. Posteriormente las probetas fueron cortadas, empastilladas, atacadas químicamente y analizadas bajo el microscopio para detectar, localizar y medir las posibles grietas existentes. De esta forma se tenía para cada combinación de cargas el valor de la longitud de grieta a distintos números de ciclos aplicados. Por otro lado, el modelo empleado permite calcular esta evolución de la grieta y compararlo con los resultados experimentales. Los resultados obtenidos se muestran en la figura 7. Se observa la buena predicción conseguida con las distintas leyes de crecimiento, aunque la mejor aproximación la da la ley que modifica el umbral de crecimiento. La figura 8 muestra dos grietas en un ensayo interrumpido a 500000 ciclos donde se pueden apreciar dos tipos distintos de grietas. La grieta de la figura 8a se encuentra en la parte central de la zona de contacto donde se inician

las grietas. Se observa el daño producido en la superficie, la multitud de grietas iniciadas y cómo la grieta principal crece inicialmente formando un pequeño ángulo respecto a la superficie y rápidamente gira para crecer aproximadamente perpendicular a la superficie. En cambio, la grieta de la figura 8b se encuentra alejada de la zona de iniciación y ya se observa solamente una grieta que crece perpendicular a la superficie. Éstas son características típicas de ensayos de fatiga por fretting.

Fig. 7: Evolución de la longitud de grieta con distintas fuerzas aplicadas: a) σ = 45 MPa, Q = 210 N y N = 420 N; b) σ = 60 MPa, Q = 120 N y N = 240 N.

Fig. 8: Grietas encontradas en la probeta con σ = 45 MPa, Q = 210 N y N = 420 N después de 500000 ciclos de carga. Longitud de las grietas: a) 602 μm; b) 533 μm.

Recubrimientos

Los recubrimientos se utilizan para mejorar el comportamiento ante la fatiga por fretting. El efecto inmediato de los recubrimientos ensayados es la disminución del coeficiente de rozamiento y la disminución de la resistencia a fatiga [20]. Estos dos efectos van en sentidos opuestos en el tipo de ensayo que se realiza, por un lado se tiene el efecto negativo de la disminución de la resistencia a fatiga de la capa superficial y por otro lado la disminución de las tensiones que soporta la probeta debido a un menor coeficiente de rozamiento. En función de las características del tratamiento un efecto es más importante que otro. Esto se muestra en la figura 9 con los resultados experimentales obtenidos para unas combinaciones determinadas de las fuerzas aplicadas. Comparando con las probetas sin recubrir, el recubrimiento llamado Nituff ha supuesto una reducción de la vida en torno al 10% y el recubrimiento con Sulfuro de Molibdeno ha aumentado la vida un 40%. El modelo de estimación de vida también es capaz de reflejar este comportamiento tal como se muestra en la figura 10, donde la dispersión en las estimaciones de vida es similar en los tres casos analizados.

Fig. 9: Curva de fatiga para σ = 68 MPa, N = 2Q. Fig. 10: Estimación de vida a fatiga de probetas recubiertas.

Tratamiento de shot y láser peening

Se han tratado probetas de aluminio con shot y láser peening y se han medido las tensiones residuales de compresión introducidas, figura 11. Estas tensiones residuales retrasan la iniciación y crecimiento de las grietas. Algunas de estas probetas han sido sometidas a un ensayo de fatiga por fretting donde se ha observado el aumento de la vida debido a este tratamiento e incluso en algunos casos se ha producido la rotura en la cogida de la probeta debido a la concentración de tensiones. En cualquier caso es necesario hacer una gran cantidad de ensayos. Las primeras estimaciones con el modelo de predicción indican que las grietas se inician en el interior para luego crecer hacia dentro y hacia fuera. Con objeto de comprobar este hecho se están planificando ensayos interrumpidos a un número bajo de ciclos para analizar las probetas y localizar y medir las posibles grietas.

Fig. 11: Tensión residual en una probeta tratada con láser peening.

CONCLUSIONES

Con el modelo descrito se han podido analizar distintas condiciones ante la fatiga por fretting, tanto experimental como teóricamente. A continuación se exponen las diferentes conclusiones que se han obtenido de este trabajo:

La fatiga por fretting es considerablemente más perjudicial que la fatiga simple pero se puede mitigar, por ejemplo, con tratamientos como el láser y shot peening y determinados recubrimientos.

El modelo de predicción de vida propuesto es capaz de dar buenos resultados para un amplio rango de vidas, materiales, geometrías, fuerzas aplicadas, coeficientes de rozamiento y recubrimientos. Además, este modelo es capaz de predecir aceptablemente la evolución de la grieta.

Los ensayos interrumpidos han permitido comprobar que las grietas se inician muy pronto y clarificar qué leyes de crecimiento, entre las propuestas, modelan mejor el crecimiento de la grieta, principalmente cuando es pequeña. La ley de Paris es muy simple y da buenos resultados para vidas menores de 10 6

ciclos. La mejor aproximación es la que modifica el umbral de crecimiento en función de la longitud de grieta.

Algunos recubrimientos se comportan peor a fatiga pero disminuyen el coeficiente de rozamiento y esto, en algunos casos, se traduce en una resistencia más alta frente a la fatiga por fretting.

REFERENCIAS

1. R.B. Waterhouse y T.C. Lindley, ESIS Publication 18. MEP, London, 1994.2. G. Harish y T.N. Farris, Shell Modeling of Fretting in Riveted Lap Joints, AIAA Journal, vol. 36, pp. 1087-1093,

1998.3. C. Ruiz, P.H.B. Boddington y K.C. Chen, An investigation of the fatigue and fretting in a Dovetail Joint, Exp.

Mech., vol. 24, pp. 208-217, 1984.4. S. Faanes y U.S. Fernando, Life Prediction in Fretting Fatigue using Fracture Mechanics, ESIS Publication 18,

pp. 149-159, 1994.5. M.P. Szolwinski y T.N. Farris, Observation, analysis and prediction of fretting fatigue in 2024-T351 aluminum

alloy, Wear, vol. 221, pp. 24-36, 1998.6. N.E. Dowling, Notched member fatigue life predictions combining crack initiation and propagation, Fatigue of

Engng. Mater. and Struct, vol. 2, pp. 129-138, 1979.7. R.A. Smith y K.J. Miller, Prediction of fatigue regimes in notched components, Int. J. Mech. Sci., vol. 20, pp.

201-206, 1978.8. D.F. Socie, J. Morrow y W.C. Chen, A procedure for estimating the total fatigue life of notched and cracked

members, J. Eng. Frac. Mech. vol. 11, pp. 851-859, 1979.9. C. Navarro, M. García y J. Domínguez, A procedure for estimating the total life in fretting fatigue, Fatigue and

Fracture Engineering Materials and Structures, vol. 26, pp. 459-468, 2003.10. S. Muñoz, C. Navarro y J. Domínguez, Application of fracture mechanics to estimate fretting fatigue endurance

curves, Engineering Fracture Mechanics, vol. 74, pp. 2168-2186, 2007.11. J.A. Araújo y D. Nowell, The effect of rapidly varying contact stress fields on fretting fatigue, International

Journal of Fatigue, vol. 24, pp. 763-775, 2002.12. B.U. Wittkowsky, P.R. Birch, J. Domínguez y S. Suresh, An Experimental Investigation of Fretting Fatigue with

Spherical Contact in 7075-T6 Aluminum Alloy, Fretting Fatigue: Current Technology and Practices ASTM STP 1367, D. W. Hoeppner, V. Chandrasekaran and C. B. Elliot, editors, pp. 213-227, 2000.

13. G.W. Kirkpatrick, Fretting fatigue analysis and palliatives, Master Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Mass., 1999.

14. D.L. McDiarmid, A shear stress based critical-plane criterion of multiaxial fatigue failure for design and life prediction, Fatigue Fract Engng Mater Struct., vol. 17, pp. 1475-1484, 1994.

15. H.J. Bueckner, Methods of analysis and solutions of crack problems, G.C. Sih editors, Noordhoff International Publishing, Leyden, pp. 306-307, 1973.

16. G.R. Irwin, Crack-extension force for a part-through crack in a plate, Applied Mechanics, vol. 29, pp. 651-654, 1962.

17. C. Navarro, S. Muñoz y J. Domínguez, Propagation in Fretting Fatigue from a Surface Defect. Tribology International, vol. 39, pp. 1149-1157, 2006.

18. C. Vallellano, J. Domínguez y A. Navarro, On the estimation of fatigue failure under fretting conditions using notch methodologies, Fatigue Fract Engng Mater Struct., vol. 26, pp. 469-478, 2003.

19. C. Navarro, S. Muñoz y J. Domínguez, Crack evolution in fretting with spherical contact, 9 International Fatigue Congress, Atlanta, 14-19 mayo 2006.

20. S. Muñoz, C. Navarro y J. Domínguez, Influencia de Algunos Recubrimientos sobre la Resistencia a Fatiga por Fretting, Anales de Mecánica de la Fractura, vol. 22, pp. 209-214, 2005.

UNIDADES Y NOMENCLATURA

a Longitud de grieta (m)a0 Constante de El Haddad (m)b Exponente de resistencia a fatiga (adimensional)

c Exponente de ductilidad a fatiga (adimensional)f Parámetro de ajuste del diagrama de Kitagawa-Takahashi (adimensional)l Profundidad medida desde la superficie de la probeta (m)

l0 Distancia a la primera barrera microestructural (m)n Exponente de la ley de paris (adimensional)t Límite de fatiga en torsión (MPa)

da/dN Velocidad de crecimiento de grieta (m/ciclo)C Coeficiente de la ley de Paris (m/ciclo/(MPa m0.5)n)E Módulo de Young (MPa)Q Fuerza tangencial en el contacto (N)N Fuerza normal en el contacto (N)Ni Número de ciclos de iniciaciónP Fuerza axial en la probeta (N)

ε’f Coeficiente de ductilidad a fatiga (adimensional)σ Tensión axial en la probeta (MPa)

σeq Tensión equivalente (MPa)σ’f Coeficiente de resistencia a fatiga (MPa)

max Tensión normal máxima (MPa)x Tensión normal perpendicular a la grieta (MPa)TS Tensión de rotura (MPa)K Rango del factor de intensidad de tensiones (MPa m0.5)

Kth∞ Umbral del factor de intensidad de tensiones para grieta larga (MPa m0.5)FL Límite de fatiga (MPa)max Incremento de tensiones tangenciales máximas (MPa)