MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años.Tema 6. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.

Variación media y variación instantánea de una función. Derivada de una función. Interpretación geométrica. Cálculo de derivadas. Estudio de funciones: Dominio, simetrías, cortes, asíntotas. Estudio de la monotonía y extremos de una función. Representación gráfica de una función.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 6. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.Variación media y variación instantánea de una función.

Si tenemos una función f, la tasa de variación media de la función entre dos puntos a y b viene dada por:

Geométricamente, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

Ejercicio 1: Observa la gráfica de la función representada en la figura y calcula, de forma aproximada, la tasa de variación media en los intervalos [1,3], [3,5], [5,7], [7,8], [8,10] y [10,11].

T.V.M.[1,3]=

T.V.M.[3,5]=

T.V.M.[5,7]=

T.V.M.[7,8]=

T.V.M.[8,10]=

T.V.M.[10,11]=

La tasa de variación instantánea de función f en un punto viene dada por:  

 

Ejercicio 2: Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2

La tasa de variación instantánea es 4.

Derivada de una función. Interpretación geométrica. Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como: Derivada por la derecha:

Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Ejercicio 3: Calcula la derivada de la función en x=a.

Determinamos la derivada de f(x) → f’(a)=

=

Cálculo de derivadas.

Ejercicio 4: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 5: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 6: Sea la función

0

1

0

)(

2

xsixx

xsixx

xf

a) Analice la continuidad y derivabilidad de la función f en su dominio.b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.c) Determine la asíntota vertical, si la tiene.

Solución:Apartado a) El dominio de definición es todo 1 ya que el denominador de la segunda función se

anula para x = -1, mientras que la primera función es continua puesto que es una función polinómica.

La función f(x) en el intervalo )0,( está definida mediante el polinomio xx 2 luego es continua y derivable en todos los puntos del intervalo.

En el intervalo ),0( la función 1

)(2

xxxf es una función que no está definida para x = -1, punto

que no pertenece al intervalo ),0( , por lo tanto, la función no se anula en el denominador para ningún valor real positivo, es decir, la función es continua y derivable en todos los puntos de este intervalo.

Continuidad de la función en x = 0.

1. 010

0)0(

f .

2. ?)(lim0

xfx

Estudiemos los límites laterales.

2a. 0)( 2

00limlim

xxxfxx

2b. 010

01

)( limlim00

xxxf

xx

Luego la función es continua en el punto x = 0.

Derivabilidad de la función en x = 0.

1111

000)0()0()0(

limlim

limlimlim

00

2

0

2

00

hhhh

hhh

hhh

hfhff

hh

hhh

11

11

010

0)0()0()0( limlimlimlim

0000

hhhh

hhh

hfhff

hhhh

Por lo tanto, la función es derivable en el punto x = 0.

Veamos también la definición de derivada de una función en un punto, calculando, en este caso, las derivadas laterales en el punto x = 0.

Estudiemos, en primer lugar, la derivada de la función en cada trozo y para .0x

0

11

012

)(2 xsi

x

xsix

xf

11012)0( limlim00

xxffxx

1

101

11)0( 22

0lim

xf

x

Luego la función es continua y derivable en todo .

Apartado b)Veamos en el intervalo .

xxxxxxxfxxxx

222 limlimlimlim .

Es decir, no tiene asíntota horizontal a la izquierda.

.11limlim

xxxf

xx Entonces la recta y = 1 es una asíntota horizontal de f a su derecha.

Apartado c) La función no tiene ninguna asíntota vertical puesto que es continua en todo .

Ejercicio 7: Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:

250,2542.0)( 2 ttttCsiendo t los años transcurridos desde el año 2000.

a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado

anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.

Solución:Apartado a) Calculemos el valor de t para el que la función alcanza un máximo:

10044.00422.0)( ttttC será un posible punto máximo.

1004.0)( tParatC la función alcanza un máximo. Por tanto, en el año 2010 el nivel de contaminación será máximo.

Apartado b) Si 2542.0)( 2 tttC es la función del nivel de contaminación, este alcanzará el valor cero

cuando .0125202542.00 22 tttt

525

2

50040020

t

Luego sólo se alcanza el valor cero para t = 25. Entonces en el año 2025 se tendrá nivel de contaminación cero.

Apartado c) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de )(tC en t = 8 será la derivada de la función )(tC para el valor indicado.

8.0844.0)( CttC

Como la pendiente es 0.8 y es positiva significa que la función es estrictamente creciente en el punto t = 8, es decir, el nivel de contaminación crece en el año 2008.

Suma (f+g)'=f'+g'

La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de estas funciones

Resta (f-g)'=f'-g' La derivada de la diferencia de funciones es la

diferencia de las derivadas de estas funciones

Producto (f·g)'=f'·g+g'·f

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la segunda derivada por la primera sin derivar.

Cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado

Producto por un número (a·f)'=a·f'

La derivada del producto de un número real por la función es igual al número real por la derivada de la función

Composición (g°f)'=[g(f(x))]'=g'(f(x))·f'(x) Regla de la cadena

Estudio de funciones: Dominio, simetrías, cortes, asíntotas.Ejercicio: En la siguiente imagen puedes ver la gráfica de las temperaturas a lo largo de un día en una ciudad española. En el eje OX están representadas las horas del día y en el eje OY las temperaturas en grados centígrados.                                             Horas del día - Temperaturas (ºC) 

(a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas? ¿Son esos puntos significativos? (b) ¿Qué se podría afirmar acerca del crecimiento y decrecimiento de la temperatura (monotonía)? (c) ¿Se mantuvo constante la temperatura en algún intervalo del día? ¿Cuál fue el valor de la temperatura en dicho intervalo?

(d) ¿A qué hora se alcanzaron las temperaturas máximas y mínimas? ¿Cuáles fueron los valores de dichas temperaturas? (e) ¿Son máximos/mínimos absolutos o relativos? (f) ¿En qué tramo horario se alcanzaron temperaturas bajo cero? Solución: (a) A las 0 horas, 2ºC. A las 10 horas, 0ºC. Claro que son significativos. Son los puntos de corte con los ejes. El primero es el punto de corte con el OY y el segundo con el eje OX.

(b) La temperatura va descendiendo hasta las 4 de la madrugada donde se alcanzan -5 ºC (cinco grados bajo cero). Se mantiene constante desde las 4 hasta la 6, donde empieza a subir hasta las 16 horas cuando se alcanza una temperatura de 7ºC, comenzando a descender desde ese momento hasta las 24 horas cuando se alcanza 1ºC.  Decrece en [0,4] y [16,24] - Constante en [4,6] - Crece en [6,16] (c) Constante en [4,6]. Temperatura constante de -5ºC (d) La máxima se alcanzó a las 16 horas con un valor de 7ºC. La mínima se alcanzó desde las 4 a las 6 de la madrugada con un valor de -5ºC (e) Tanto el máximo como los mínimos son absolutos. No hay ninguna hora del día en las que se alcancen temperaturas por encima y por debajo, respectivamente, que en esas horas. (f) Temperaturas bajo cero se alcanzaron desde un poco antes de la 1 de la madrugada hasta las 10 de la mañana.

Dominio de una función h t t p : / / w w w . v i t u t o r . c o m / f u n / 2 / a _ 2 . h t m l

El dominio es el conjunto de elementos que t ienen imagen.

Dominio de la función pol inómica enteraEl dominio es R, cualquier número real t iene imagen.Ejemplo f(x)= x 2 - 5x + 6                        D=R

Dominio de la función racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede exist i r un número cuyo denominador sea cero). Ejemplo

Simetría respecto del eje de ordenadasUna función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir:f(−x) = f(x) Ejemplo

Simetría respecto al origenUna función f es simétrica respecto al origen si es una función impar, es decir:f(−x) = −f(x) Ejemplo

Puntos de corte con el eje OXPara hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante. EjemploHallar los puntos de corte con el eje OX de la función:

Punto de corte con el eje OYPara hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).Ejemplos 1. Hallar el punto de corte con el eje OY de la función:

2. Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

Ejercicio 1: Estudia el dominio, simetrías, cortes con los ejes y asíntotas de la función f(x)=x3-6x2+9x+5.1. f(x) es una función polinómica y todas las funciones polinómicas son derivables y por tanto continuas en todo R. 2. No es simétrica ni respecto del eje Y ni respecto del origen de coordenadas. 3. Para calcular los puntos de corte con los ejes hacemos lo siguiente: - Punto de corte con el eje Y: x=0, f(0)=03-6·02+9·0+5=5. Luego f(x) corta al eje Y en el punto (0,5). - Punto de corte con el eje X: f(x)=0; x3-6x2+9x+5=0. 4. Al ser una función polinómica, no tiene asíntotas, pero podemos estudiar sus ramas infinitas, es decir, calcular los límites de la función cuando x→-∞ y cuando x→+∞. En este caso tenemos que y .

Ejercicio 2: Estudia el dominio, simetrías, cortes con los ejes y asíntotas de la función

Dominio

Simetría

Simetría respecto al origen, es decir, función impar.Puntos de corte con los ejesPuntos de corte con OX:

Punto de corte con OY:AsíntotasNo tiene asíntotas.

Ejercicio 3: Estudia el dominio, simetrías, cortes con los ejes y asíntotas de la función

Dominio

Simetría

Puntos de corte con los ejesPuntos de corte con OX:

Punto de corte con OY:

AsíntotasAsíntota horizontal

Asíntotas verticales.

Estudio de la monotonía y extremos de una función. 1. De monótono, nada.El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya hemos estudiado antes ¿lo recuerdas? Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de la función, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen" de izquierda a derecha.

Atendiendo a la monotonía podemos clasificar las funciones en tres tipos. · Una función real f(x) es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x', con x < x', se tiene que:   · Una función real f(x) es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x', con x < x', se tiene que:   · Una función real f(x) es constante en un intervalo si para todos los valores, x, del intervalo se tiene que: (constante) Aunque existen funciones que son crecientes, decrecientes o constantes en todo su dominio de definición, lo más habitual es encontrarse con aquellas que tienen una combinación de todos los tipos indicados. Pero, no basta con conocer si una función crece o decrece. En ocasiones nos interesará conocer hasta dónde llega ese crecimiento y/o decrecimiento, si se alcanzan máximos/mínimos absolutos, o si los valores obtenidos son extremos relativos, es decir, son grandes o pequeños, sólo en comparación con los que tienen a su alrededor. Seguro, que en alguna ocasión has oído hablar del Euribor. La actualización de las cuotas que pagamos por los préstamos hipotecarios se realiza en base a este índice de referencia. Cuanto más alto (bajo) sea su valor, mayor (menor) será la cantidad que debamos pagar mensualmente por nuestra hipoteca. En la imagen se observan altibajos de crecimiento y decrecimiento y algunos puntos, valores, que llaman la atención bien por ser los más altos o los más bajos. Son los que denominamos extremos. A continuación, hablaremos de ellos.

Imagen de Plauppert con licencia CC BY 3.0

Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función respecto a su crecimiento o decrecimiento. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:

Creciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

Decreciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

Función f(x) Derivada f ' (x)Creciente Positiva

Decreciente Negativa Ejercicio 1: Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de:

Crecimiento y decrecimiento

Mínimos

Máximos

Extremos absolutos. · Una función f alcanza su máximo absoluto en el punto x=a si es creciente a la izquierda de este punto y decreciente a su derecha. El valor de la ordenada (coordenada y) en el máximo es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. · Una función f alcanza su mínimo absoluto en el punto x=b si es decreciente a la izquierda de este punto y creciente a su derecha. El valor de la ordenada (coordenada y) en el mínimo es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. Pero, en ocasiones, hay otros puntos que destacan entre los de su entorno más cercano, son los: Extremos relativos. · Una función f tiene un máximo relativo en el punto x=a si f(a) es mayor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=a, tanto por la derecha como por la izquierda de él. · Una función f tiene un mínimo relativo en el punto x=b si f(b) es menor o igual que en todos los puntos próximos al punto x=b, tanto por la derecha como por la izquierda de él.

Del mismo modo que hay puntos importantes como los extremos, existen otros que presentan una singularidad especial. Son los puntos de cortes con los ejes.

Una función f, continua y derivable en un intervalo (a,b), alcanza sus máximos y mínimos relativos en los puntos del intervalo (a,b) en los que f '(x)=0. Además, si estudiamos la segunda derivada: Máximo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)<0. Mínimo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)>0.

Ejercicio: Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de f(x) = x3 – 3x + 2

Representación gráfica de una función.

Ejercicio 1: Representa la función , indicando:a) Los puntos de intersección con los ejes.b) Los puntos singulares.Solución:a) Los puntos de intersección con los ejes.Corte con el eje OX: =0 | 1 3 -9 5 1 |___1__4_-5 | 1 4 -5 |0 1 |___1__5_ 1 5 |0

=(x-1)(x-1)(x+5) x=1(doble); x=5 ;

Corte con el eje OY: x=0

b) Los puntos singulares

; x=-3; x=1

Ejercicio 2: Representa la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+9x+5.1. f(x) es una función polinómica y todas las funciones polinómicas son derivables y por tanto continuas en todo R. 2. No es simétrica ni respecto del eje Y ni respecto del origen de coordenadas. 3. Al ser una función polinómica, no tiene asíntotas, pero podemos estudiar sus ramas infinitas, es decir, calcular los límites de la función cuando x→-∞ y cuando x→+∞. En este caso tenemos que y

. 4. Para calcular los máximos y mínimos, hacemos la primera derivada:

Estudiamos los valores donde se anula la primera derivada, es decir: Los valores que anulan la primera derivada, en este caso son las soluciones de la ecuación de segundo grado, . Tenemos a y a como candidatos a máximos y mínimos. A continuación, calculo la segunda derivada:

. Sustituyo los valores candidatos en la segunda derivada y observo si el resultado es mayor o menor que cero.

Como la segunda derivada en x=1 es negativa, tenemos un máximo en el punto (1,f(1))=(1,9).

Como la segunda derivada en x=3 es positiva, tenemos un mínimo en el punto (3,f(3))=(1,5). 5. Con los datos que ya tenemos de las ramas infinitas y los máximos y mínimos, podemos decir que f(x) es creciente en los intervalos (-∞,1) y (3,+∞), y que f(x) es decreciente en el intervalo (1,3). 6. Para calcular los puntos de corte con los ejes hacemos lo siguiente: - Punto de corte con el eje Y: x=0, f(0)=03-6·02+9·0+5=5. Luego f(x) corta al eje Y en el punto (0,5). - Punto de corte con el eje X: f(x)=0; x3-6x2+9x+5=0. Calcular las soluciones de esta ecuación de tercer grado no es sencillo, a no ser que tengamos una calculadora gráfica o un programa como GeoGebra.

Ejercicio 3: Representa la función , indicando:

a) El dominio de continuidad. b) Las ramas infinitas. c) Los puntos de intersección con los ejes. d) Los puntos de tangente horizontal.Solución:a) El dominio de continuidad.

. El denominador no puede ser cero Dom(f)=

b) Las ramas infinitas.

x=2 A.V. Veamos los límites laterales:

Asíntota vertical

c) Los puntos de intersección con los ejes.

Corte con el eje OX: =0

Corte con el eje OY: x=0

d) Los puntos de tangente horizontal.

No hay puntos de tangencia

horizontal.