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Grupo 12+1 Los estadios de Schaeffer y los experimentos de Piaget 1ºA

Fases iniciales del desarrollo de las ideas aritméticas. Los estadios de Schaeffer

Introducción: la complejidad de las nociones aritméticasPara el conocimiento y uso de los nueve primeros números naturales se precisan aproximadamente cinco años (más o menos desde los dos hasta los siete años del niño) para aprender a manejar coherentemente tales números y saber cómo aplicarlos a la vida cotidiana. La rapidez para adquirir las nociones numéricas es muy lenta en comparación con la adquisición del lenguaje.

Una de las formas en que se utiliza el número consiste en especificar el tamaño de una colección de objetos; este apartado es el aspecto cardinal del número. La situación que se da entonces es la siguiente: al principio, un niño es capaz de distinguir dos grupos pequeños, de dos, tres o cuatro elementos, pero no puede distinguir dos grupos más grandes de ocho o nueve objetos; por tanto, en este punto será necesaria la facultad del recuento exacto, que constituye un logro muy considerable.

El proceso de contaje, consiste en la asignación de un número a cada uno de los objetos que constituyen una serie, proceso en el que se corresponde el aspecto ordinal del número. Queda entonces el último paso, que consiste en saber que el número con el que se termina la serie es el utilizado para representar el tamaño (numerosidad) de la colección entera. En este punto se ligan los aspectos cardinal y ordinal del número. Aunque todavía quedan dificultades en el aprendizaje, como que el niño se dé cuenta que el orden y la disposición de los objetos no hacen variar su número.

Por tanto, la dificultad en el aprendizaje de los números es, como Piaget describió enfáticamente, relacionar el aspecto cardinal y ordinal del número. Uno de los estudios realizados en este campo para determinar los estadios por los que el niño pasa antes de tener el concepto completo del número fue el realizado por Schaeffer, Eggleston y Scott (1974). Esta descripción de las distintas etapas debe servir como modelo para posteriores estudios y no como una norma estrictamente establecida, ya que el estudio se realizó con una muestra pequeña de niños (65) y sólo de un grupo estadounidense de entre 2 y 6 años, no necesariamente representativo de la sociedad en general.

El estadio uno de Schaeffer. Logros previos al recuentoEl criterio que define el estadio uno es “no poder contar correctamente colecciones de cinco o más objetos”.

Según el estudio, los niños situados en este estadio tenían edades comprendidas entre los 2 y 5 años, con 3 años y 8 meses de media.

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Reconocimiento de agrupaciones.En un primer análisis se les pidió que contasen cuántos objetos había. Los resultados fueron los siguientes:

Número de objetos Niños que lo reconocieronDe 2 objetos 12 de 13De 3 objetos 7 de 13De 4 objetos 6 de 13Las 3 agrupaciones 1 de 13

En la segunda prueba, se les pidió contar unas fichas, entre tres y cuatro, de longitud variable, donde el 51% respondió correctamente. Sin embargo, no se apreciaron situaciones de auténtico conteo.

En un tercer análisis, se les pidió primeramente que pusieran un número concreto de objetos en un recipiente, y, a su vez, que tocaran cierto número de golpes en un tambor. Los resultados fueron los siguientes:

Número de objetos o golpes Porcentaje de aciertos1 o 2 objetos 84%De 3 a 7 objetos 22%1 o 2 golpes 51%3 o más golpes 6%

Como conclusión a estas pruebas, definieron que estos niños realmente no sabían contar, tan solo reconocían el número sin contarlo a escalas muy pequeñas. El hecho de un mayor número de aciertos en la pauta visual que en la auditiva indica la existencia de una base perceptual para esta destreza. Esto se debe, según Schaeffer, a que “una formación de uno es un punto, una formación de dos forma una línea recta, y una de tres, normalmente forma un triángulo”.

Esta conclusión concuerda con un estudio de Descoeudres (1921), en el que se analizó que el 67% de los niños de 3 años y medio podía discriminar correctamente colecciones de uno y dos objetos, al igual que de 2 y 3 objetos; pero que sin embargo solamente un 13% discriminaba los grupos de 3 y 4 objetos. Este suceso fue descrito como “síndrome de uno, dos, tres, muchos”. Otras pruebas posteriores realizadas por Gelman y Gallistel (1978) concluyeron en el mismo fenómeno, e incluso describieron que muchos niños dieron la respuesta “tres” para todas las colecciones entre 3 y 19 objetos. En este estudio de Gelman se pone en duda la afirmación de Schaeffer de que los niños no cuentan, y se defiende que sólo se cuenta hasta cierto número.

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Juicios de tamaño relativo (numerosidad)Schaeffer defiende que la idea de “más” se desarrolla entre los 2 años y los 2 años y medio. Un estudio de Donaldson y Wales (1970) describió que los niños de 3 años y medio podían determinar que hilera de objetos contenía “más” siempre que el número de objetos variase entre 1 y 5.

Siegel hizo un estudio relacionado con esto, en el que se pedía de forma no verbal y de palabra cuál de los conjuntos tenía más objetos; los resultados fueron estos:

Edad Prueba Colectivo que los diferenció3 años No verbal 35 de 45

Verbal 17 de 454 años No verbal 56 de 57

Verbal 38 de 57

Esto demuestra que aunque dominaban el concepto no conocían correctamente la palabra correcta. De forma que en varios estudios sucedieron casos como que muchos niños confundían la palabra menos con la palabra más, o que muchas veces la identificaban con términos como grande y pequeño o ganador y perdedor.

Schaeffer realizó una prueba en este campo, en el que se pedía a los niños elegir qué grupo de caramelos querían. Dándose un resultado de 64% favorable siempre que hubiera más de 4 números de diferencia, algo ligeramente superior al puro azar. Sin embargo, cuando la diferencia era menor de 4 apenas había diferencias con resultados que podían darse con el azar. El test determinó que los niños tienen el concepto de mayor y menor, aunque no necesariamente conocen el significado de estos términos.

Estos hallazgos confirman el estudio de Bryant (1974), que afirma que los niños pequeños desarrollan “códigos relativos” antes que “códigos absolutos”; es decir, aprenden a distinguir cuál de dos figuras es la mayor o la menor, o cuál de dos rectas es más corta o más larga, antes de aprender a juzgar el tamaño absoluto, la longitud, dirección o numerosidad.

Esta capacidad depende de la disposición de los objetos. En varios estudios, como se muestra en el dibujo, los niños de tres años e incluso de más dijeron que tenía más objetos la fila más larga.

Ejemplo de prueba utilizada para el análisis de la capacidad de determinar el tamaño de los conjuntos

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Sin embargo, en el mismo estudio también se pidió comparar grupos que se encontraban equidistantemente separados, para analizar la correspondencia biunívoca.

Segundo ejemplo de prueba en el estudio, con la correspondencia biunívoca

En este caso los niños acertaron incluso para diferenciar grupos de 19 y 20 objetos.

En otro estudio se llegó a la conclusión de que tan sólo el 24% de una muestra de niños estadounidenses de entre 4 y 6 años era capaz de determinar sin contar el mayor de dos conjuntos de menos de diez objetos, siendo igual resultado tanto con correspondencia biunívoca como sin ella. Sin embargo, cuando se pedía comparar 3 grupos, los aciertos con correspondencia solamente fueron del 5% y un 0% cuando no había correspondencia.

Resumen del estadio unoLos niños del estadio uno, según Schaeffer eran capaces de:

a) Reconocer números hasta 2 y en ocasiones 3 y 4 mediante una pauta visual o auditiva y quizás, por recuento

b) Distinguir colecciones mayores y menores mientras una de ellas fuese menor de cinco elementos, tanto visual como verbalmente

c) Distinguir entre colecciones mayores y menores de tamaño arbitrario, mientras los objetos aparecieran alineados para la correspondencia biunívoca

Sin embargo, estos niños no sabían contar nunca cinco o más objetos. Según Schaeffer, los pertenecientes a este estadio han captado el aspecto cardinal del número, en colecciones pequeñas, pero no disponen del aspecto ordinal implícito en la asignación de una secuencia de nombres de números a una serie de objetos.

El estadio dos de Schaeffer. El aspecto ordinal.Para identificar el estadio dos, Schaeffer utilizó el criterio de que los niños supieran contar correctamente una hilera de cinco o más objetos, pero que en cambio, solo se aplicaran la regla de cardinalidad (saber que el número en que concluye el recuento puede servir para saber el tamaño del conjunto) en la mitad o menos de las veces.

Los 20 niños de identificados en este estadio tenían edades comprendidas entre los 2 años y 9 meses y los 4 años y los 4 años 6 meses, con una media de 3 años y 5 meses. Podemos señalar que la media es en realidad inferíos a los del estadio uno debido al pequeño tamaño de la muestras y a la presencia de algunos niños relativamente mayores en el estadio uno.

Las destrezas que poseían los niños de este estadio son las siguientes:

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Reconocimiento de agrupaciones

A pesar de que los niños del estadio dos puedan reconocer números pequeños reconociéndolos como agrupaciones, es más probable que procedan a contar los números que los de los estadios uno y tres. Así, cuando les fueron mostrados grupos de uno, dos, tres y cuatro personas, los niños del estadio dos reconocieron el número de los mismos en el 64% de las veces y los contaron en el 34%. También identificaron correctamente el 89%de los casos en el número de fichas de una hilera de entre 1 y 4 piezas. Muchas de estas identificaciones sin que se apreciase recuento. Este hecho se puede explicar de dos maneras: Schaeffer diría que el niño del estadio dos domina el recuento y posee el reconocimiento de agrupaciones pero en caso de duda es probable que cuente. Sin embargo, Gelman diría que los niños del estadio dos han llegado a reconocer las pautas de agrupación de números pequeños (de 1 a 3) pero no los de números mayores.

RecuentoLos niños del estadio dos contaron correctamente el 71% de las hileras que contenían entre 5 y 7 fichas, mientras que los del uno ninguna. De 10 golpes de tambor contaron 8,3. Este resultado induce a que comprende la naturaleza de contar, pero son imprecisos al efectuarlo. Han captado así dos de los principios propuestos por Gelman:

Principio de orden estable. Contar exige la repetición de una ristra de nombres de números en un orden siempre idéntico.

Principio de biunivocidad o de correspondencia biunívoca. Cada número ha de ser emparejado solo a uno de los objetos.

Este último principio es posible que no se satisfaga por varios motivos:

i. Errores de participación del conjunto de objetos en contados y n contados.ii. Errores en asignación de nombres de números.

iii. Errores en la coordinación de nombres y objetos nombrados.

El principio de biunivocidad fue el origen más errores en todos los grupos de edad. Gelman constató que 11 de las 56 secuencias de recuento de que se valieron los niños de dos años contenían errores al emparejar uno a uno los números con los objetos, a pesar de que solamente había que llegar hasta dos o tres.

Porcentaje de los niños que cometieron errores de coordinación al contar colecciones de tamaño dado:

TAMAÑO DE LA COLECCIÓN

EDAD

3 años 4años 5 años

3 48 5 7

5 71 32 46

7 62 47 53

11 86 84 60

19 95 68 67

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Así pues, solo contando hasta cinco, incluso los de cinco años muestran inseguridad. Al analizar las causas Gelman descubrió que para los números pequeños (2 a 5) se repartían por igual de partición y de coordinación. Conviene señalar que los objetos estaban dispuestos en hilera el 50% de las veces; en los restantes estaban al azar. No es extraño que haya pruebas que demuestran que si los objetos están en hilera se reducen los errores de partición, ya que es más fácil llevar el control de los ya contados. Por ejemplo, Wang y sus colaboradores informaron el 44% de la muestra de niños norteamericanos, cuyas edades iban de los 4años y 6 meses a 6 años, contaban correcta y sistemáticamente hileras de 6 a 10 objetos dibujado, mientras que cuando las figuras estaban distribuidas al azar, tal proporción disminuía al 23%.

Gelman observó que el 98% de los niños iba señalando con el dedo al contar en un esfuerzo consciente o inconsciente por coordinar los nombres de los números y los objetos. Una de las posibles razones que se aportan para explicar la falta de coordinación en los niños pequeños es que el puro esfuerzo de recordación de los nombres de los números es tan grande que no pueden prestar toda su atención a coordinarlos con los objetos.

Por lo tanto, los niños del estadio dos de Schaeffer parece que reconocen los principios básicos del recuento, pero no son siempre capaces de ponerlos en práctica muy eficientemente.

La “regla de la cardinalidad”Uno de los criterios de Schaeffer para el estadio dos consistía en que el niño habría de fallar al menos un 50% de las veces en la aplicación de esta regla. Esto es, una vez efectuado el proceso de recuento, normalmente el niño no debería saber aplicar ese resultado para determinar el tamaño de una colección. A veces, los niños parecen pensar que la respuesta a ¿cuántos son? Debe ser la secuencia completa del conteo, en lugar de un único número; por ejemplo, el niño CD (de 3 años y 5 meses), con quien se estaban haciendo pruebas utilizando 4 objetos de diversos colores:

¿Cuántas cosas hay en esa bandeja? Hummm… mira, esta es roja, y esta también. Hay una, dos, tres, cuatros.

De la misma forma, Schaeffer apunta que de forma característica, cuando a un niño del estadio dos se le pidió que contara una hilera de seis fichas, fue pronunciando correctamente los números de 1 a 6, al tiempo que iba señalando por turno cada una de las fichas. Sin embargo, cuando se le cubrió la hilera y se le preguntó al chiquillo cuántas fichas estaban ocultas, el niño volvió a contarla, señalando en ocasiones sobre la cartulina que cubría las fichas las posiciones de las de las fichas las posiciones de las fichas que se recordaba, o bien decía un nombre que no correspondía al último que él había contado.

Los datos de Schaeffer están respaldados por los de Gelman, a pesar de que los criterios de esta última son menos rígidos. Gelman acepta tanto la repetición del último nombre utilizado al concluir un recuento como la utilización del mismo en un momento posterior para aludir al tamaño de la colección, y hace notar que normalmente la regla de cardinalidad es alcanzada después de los principios de ordenación estable y de emparejamiento biunívoco, facilitando datos indicativos de que la inclinación de los niños a utilizar la regla de cardinalidad disminuye al aumentar el tamaño de la colección.

Por ejemplo, el 60% de los niños de tres años la utilizan en colecciones de 4 objetos, mientras que con 7 objetos es 30%.

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Indiferencia del ordenLos niños del estadio dos no siempre comprenden que carece de importancia por qué objeto se comienza la cuenta, y que el total será el mismo con independencia del orden en que sean contados. Según Gelman la mayoría de los niños de tres años no comprenden este punto aunque algunos sí. Los de cuatro años lo comprenden la mayoría.

Parece posible, pues, que la mayoría de los niños del estadio dos no han captado el aspecto cardinal del número en el caso de las colecciones de más de 5 objetos, ya que no necesariamente llegan a aislar el concepto de que el tamaño de una colección es una característica estable de la colección. Greco y Morf apuntan también que posiblemente niños mayores vuelvan a contar si los elementos de una colección si se ordenan de otra forma.

Resumen de estadio dos

Los niños de este estadio parecen comprender lo necesario para el proceso de recuento. Reconocen números entre 1 y 4, directamente o por recuento, pero para números mayores el recuento se vuelve impreciso por errores de partición de los elementos ya contados y en la coordinación de las palabras con los objetos señalados.

Generalmente, los niños de este estadio no han establecido la relación entre el proceso de recuento y su resultado, número final que representa el tamaño de la colección, ni comprende que este número no varía en función del orden en que se cuenten los objetos. Podemos afirmar finalmente que los niños del estadio dos han adquirido la faceta ordinal del número y pueden comprender el aspecto cardinal de colecciones muy pequeñas, pero aun no han relacionado uno con otro aspecto cuando los números pasan de cuatro

Estadio tres. Cardinalidad

Reconocimiento de agrupacionesLos niños del 3º estadio mostraban mayor disposición que los del 2º estadio para reconocer el número de objetos de una colección pequeña sin contarlos. Los niños del 3º estadio muestran un 86% de acierto, mientras que los del 2º estadio un 46%.

RecuentoSe muestra una mejora en el proceso de recuento debido a la automatización de dicho proceso; de ahí que pasemos de un 71% de aciertos en el 2º estadio a un 91% de aciertos en el 3º estadio.

Regla de la cardinalidadLos niños del 3º estadio son capaces de recordar el número de objetos relacionados, mientras que los niños del 2º estadio necesitan volver a contar, variando así su resultado; por lo que los niños del 3º estadio han relacionado el proceso del recuento con su aplicación en el número de objetos de una colección.

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Reconocimiento de números mayores y menoresEn este apartado, los niños del 3º estadio muestran resultados esperados, ya que parecen dominar el recuento, pero les cuesta conectar el orden de los números con el tamaño del conjunto. Como demuestra el test con conjuntos que varían en una unidad (6 caramelos o 7 caramelos), muestra una probabilidad del 50% de acierto; mientras que con pares más pequeños (2 y 3), o con números que difieren en 4 unidades, los resultados son similares a los del 2º estadio.

ResumenLos niños del 3º estadio saben contar hasta 10, y comienzan a conectar la faceta ordinal del número y la faceta cardinal, aplicándolas a una serie de objetos y el tamaño de un conjunto. Pero no sabían comparar las colecciones según el orden de sus números cardinales.

Estadio Cuatro de Schaeffer. El tamaño relativo de los númerosEn este estadio los niños reconocen el mayor de los números iguales o menores a 10. Shaeffer trabaja en este estadio con niños de 5 años y 6 meses de edad media. Con respecto al estadio anterior, los niños de este estadio muestran un 98% de acierto contando hasta 10, aumenta su capacidad para reconocer a golpe de vista números menores o iguales a 4, al igual que mostraron mayor acierto a la hora de elegir el número mayor en pares, que se diferenciaban por una unidad (2 y 3).

Los niños de este estadio parecen haber adquirido el conocimiento del número, así como la aplicación en el trabajo con colecciones, no mayores de 10 objetos.

Según los experimentos de Shaeffer, es razonable pensar que los niños de 5 años tienen una comprensión adecuada y operativa de los 10 primeros números naturales.

Consecuencias didácticasSchaeffer pone de manifiesto que el progreso principal durante la etapa preescolar no consiste sólo en poder contar, sino también en utilizar el proceso de recuento para determinar los tamaños de las colecciones.

Los padres y los maestros pueden limitarse a animar al niño a contar, pero a través de un diálogo más completo, sin mirar al de los experimentos citados, donde se haga alusión al tamaño de la colección, el orden de recuento, el tamaño relativo de dos colecciones y demás cuestiones afines, pueden contribuir a que el niño elabore las importantes relaciones imprescindibles para aplicar de forma útil el proceso de recuento.

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Una de las dificultades que los niños muestran es que a la vez que está contando tiene que acordarse de qué objeto ha contado y del nombre de cada objeto. Lo cual implica que comenzaremos siempre con estrategias de recuento que irán de lo simple a lo complejo; una vez esté automatizado este proceso, podremos presentarle al niño una disposición aleatoria a los objetos.

Ejemplo de herramienta utilizada para el análisis de la capacidad de conteo. ¿Cuántos barcos hay? (simple)

Ejemplo de herramienta para la comparación de conjuntos. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene mayor número de barcos?

Según Schaeffer y Gelman, el recuento desempeña un papel muy importante para que el niño pueda captar a edad temprana las facetas cardinal y ordinal de los números. Los experimentos que

realizaron también se sustentan sobre las pruebas realizadas por Fuson (1980), Freudenthal (1973), Brainerd (1979) y Wang (1971).

Experimentos de Piaget referentes al aspecto cardinal del número

Para explorar la compresión de la faceta cardinal del número, Piaget se valió de las situaciones siguientes:

a) Plantea una situación de correspondencia entre botellas y vasos:Con un número determinado de botellas en una mesa, y el mismo número de vasos en una bandeja, plantea una serie de preguntas a los niños que implica la compresión de la faceta cardinal del número para denotar el tamaño de una colección; “¿Te parece que hay las mismas botellas que vasos?” “Si o no”; si es que sí, “¿Cuántos números de vasos hay?”; “Llena cada vaso con una botella” (así el niño puede observar también si hay el mismo número de botellas que de vasos, contando que hay una botella por vaso).

b) Correspondencia provocada entre flores y floreros (similar al anterior).c) Correspondencia provocada entre huevos y copas para huevo (similar a los anteriores).d) Correspondencia provocada entre monedas y objetos:

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El experimento es parecido salvo que ahora se le pide al niño que vaya cambiando por turno sus monedas por los objetos de una colección.

e) Correspondencias espontáneas:El experimento es parecido salvo que se le presentan al niño diversas figuras y siluetas construidas con fichas de juego, pidiéndosele que saque de una caja el mismo número de piezas que cada figura contenía.

En cada uno de estos experimentos, Piaget identificaba tres estadios de rendimiento de ejecución (por desdicha, no se dispone de conexiones entre los estadios de Schaeffer y los de Piaget).

Estadio 1 de Piaget: comparación global, sin formación de una correspondencia biunívoca ni de una equivalencia duraderaDaba la impresión de que estos niños tratasen simplemente de hallar una colección globalmente parecida, sin tratar de cuantificarla contándola o emparejando cada objeto con otro.

El intervalo de edades de los niños mencionados va desde los tres años y seis meses a los cinco años y seis meses.

La actuación de Giri, de cuatro años y cuatro meses, constituye buen ejemplo de respuesta de estadio 1: colocó en hilera 13 flores bastante juntas frente a 10 floreros bastante más separados entre sí. Dado que las hileras eran de la misma longitud, el niño pensó que las flores y los floreros eran “lo mismo”. “¿Podrás, entonces, poner las flores en los floreros?” “Sí”, y así, Giri descubrió que le sobraban flores.

Una maestra nos hace sabre de un ejemplo donde los niños comienzan a percatarse del significado e importancia de la correspondencia biunívoca: contaba el número de niños y el número de botellas en el desayuno “Una para Peter, otra para Mario…” y así los niños se dieron cuenta que tocaba una botella por cada niño. Un día la maestra quitó las cápsulas y preguntó cuántas pensaban ellos que podría haber, no tenían ni idea.

Resumen: niños entre 3-6 años. Establecen una comparación global entre las colecciones y no materializan la correspondencia entre los elementos de las colecciones.

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Estadio 2 de Piaget: Correspondencia biunívoca sin equivalencia perdurableEn el estadio 2, los niños juzgaron que una de las colecciones se hacía más grande que la otra si ocupaba mayor extensión.

El intervalo de edades de los niños de este estadio va desde los cuatro años y un mes a los seis años y siete meses.

Tenemos un ejemplo de este estadio 2, el de los vasos y las botellas, que aunque haya el mismo número de vasos y de botellas, aquel grupo que ocupase más espacio, ese sería el mayor, es decir, “Hay más cuando es más grande”.

Ejemplo de ejercicio de este caso

Así pues, en este estadio, los niños han comprendido el aspecto cardinal del número, ya que comprenden lo que se entiende por dos colecciones con el mismo número. Los niños de este estadio de Piaget, se podrían encontrarse con los niños del estadio 3 de Schaeffer, pero no sería suficiente, ya que estos últimos no contaban espontáneamente dos colecciones.

Resumen: niños entre 4-6 y 6 años. Son capaces de formar una colección equivalente a otra por correspondencia entre sus objetos pero dicha correspondencia no es perdurable, considerando que la colección es mayor si ésta cambia de forma o extensión.

Estadio 3: Equivalencia duraderaEn el estadio final, los niños no solo fueron capaces de producir una colección de objetos igual en número a una colección dada, sino que, además estaban seguros de que las colecciones eran equivalentes.

El intervalo de edades de los niños de este estadio va desde los cuatro años y once meses hacia delante.

Lau, de seis años y dos meses, nos da un ejemplo de este estadio 3: si tenemos 6 vasos y 6 botellas, aunque un grupo ocupase más que otro, Lau ya entendía que aunque se agrupasen y ocupasen menos espacio, era el mismo número vasos que de botellas (o viceversa).

Así pues, solo en el estadio 3 están seguros los niños de que, si se puede demostrar que dos conjuntos son equivalentes en número, esa equivalencia no se destruye por reagrupamiento de uno de los conjuntos.

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Resumen: niños entre 4-11 y 5-6 años. Crean colecciones equivalentes a las dadas y están seguros de que el número de elementos en una colección no cambia aunque ésta cambie de posición. Concluyó que para poder manejar con soltura los números naturales, en la resolución de problemas los niños precisan de las operaciones de conservación, seriación e inclusión de clases, indicando que estas tres nociones pueden ser adquiridas simultáneamente. Investigaciones realizadas posteriormente por Dodwell y Brainerd dan como resultado que en modo alguno estas tres operaciones se adquieren de manera simultánea.

Richar con una opinión similar a la de Piaget sostiene que el manejo de los números requiere haber adquirido la noción de conservación y la capacidad de proseguir el recuento de manera abstracta.

Los experimentos de Piaget tienen una crítica muy abundante debido a que por un lado, plantean una propuesta muy verbal, lo cual puede implicar el despiste de los niños debido al lenguaje utilizado, y por otra parte, predisponen al niño a una respuesta incorrecta debido a la misma preparación de la situación.

Los niños que fallan en los test piagetianos no tienen por qué mostrar incapacidad para el éxito, sino que aún no han tenido situaciones en las cuales hayan podido comparar la longitud con el tamaño de una colección. Realmente no merecerá la pena entrenar a los niños a conservar ya que lo más probable es que con el paso del tiempo, sin intervención externa, adquieran esta capacidad.

Experimentos de Piaget referentes al aspecto ordinal del número. SeriaciónPiaget se percató de que sus experimentos de conservación comportaban una faceta ordinal. Sin embargo, también diseñó algunas tareas experimentales enfocadas hacia el aspecto ordinal. Uno de los problemas que se presentan con los <<experimentos de seriación>> es que en la mayoría de los casos él incorporaba a su colección de objetos una secuencia perceptual subyacente. En este contexto, la importancia de los experimentos de seriación reside en que se utilizan para revelar si un niño puede relacionar el aspecto cardinal con el ordinal.

De acuerdo con esto, Piaget nos da como ejemplo de parte de una respuesta de estadio III la de Shen (edad: seis años y seis meses), a quien se le había planteado una situación en la que intervenían diez muñecas de diversas estaturas, juntamente con una colección de diez palitos, de alturas también variables.

Piaget saca como conclusión de los experimentos que para comprender verdaderamente los números naturales y saberlos aplicar se precisa comprender tanto su faceta cardinal como la ordinal, amén de la necesaria relación entre ambas. A su juicio, tal comprensión se alcanza al mismo tiempo que se desarrollan otras muchas operaciones lógicas; por término medio, entre los seis y los ochos años de edad.

Esta afirmación de Piaget no ha encontrado apenas objeciones entre los especialistas, y en consecuencia, no tenemos por el momento razones para dudar de su veracidad.

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Lo que define el estadio III de Piaget suele ser la capacidad para manipular los números de modo versátil al objeto de resolver problemas; por ejemplo, contando en sentido progresivo o regresivo, en lugar de depender totalmente de la presencia de los objetos implicados o de su ordenación. Podemos ver los comienzos de este mismo estadio en el estadio IV de Schaeffer, en el cual los niños alcanzaban a razonar que ocho era necesariamente mayor que siete sin ayuda visual alguna. Así pues, entre los cinco y los ocho años, el niño medio está comenzando a desarrollar la facultad de razonar coherentemente por referencia a números, en lugar de por referencia a colecciones particulares de objetos.

Consecuencias de carácter didácticoEl trabajo de Piaget en este campo reviste importancia porque vuelve a ilustrar las dificultades con que tropieza el niño en su camino hacia la plena comprensión de la fundamental idea de número natural y de sus aplicaciones.

No pocas veces se ha demostrado que modificaciones en el diseño de las tareas sin aparente importancia pueden provocar cambios importantes en la respuesta del niño. De aquí se sigue que el logro de <<conservación>> en si definición piagetiana no debe ser tenida como una gran divisoria, sino tan sólo como un pasito más hacia una visión completa. Son muchos los problemas de carácter aritmético que el niño puede resolver adecuadamente aun cuando falle en el test. No obstante, es inverosímil que un niño que no ha respondido como lo haría un adulto en las tareas de conservación y seriación haya llegado a abstraer una noción coherente de número, y seguirá teniendo que depender de los objetos en sí mismos; no parece, pues, razonable esperar que tal niño manipule los números con solturas sin referirse a tales objetos.

Bibliografía Enrique Castro (2008). Didáctica de la matemática en la educación primaria. Ed.

Síntesis Educación L. Dickson (1991). El aprendizaje de las matemáticas

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