REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIVERSITARIAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN - COL CABIMAS

AUTORES:BR. NAVA EMILEIDYS C.I: 21.043.566BR. PÉREZ ABRAHAM C.I: 20.256.231BR. MUSETT YERILYN C.I: 23.467.398

LCDA. ESPINOZA JACKMELI C.I: 20.085.802

ING. SISTEMASSEMESTRE: 9°

CABIMAS, NOVIEMBRE 2012

Optimización con restricciones de desigualdad: las condiciones de Kuhn-Tucker

Muchos modelos en economía son, naturalmente, formulados como

problemas de optimización con restricciones de desigualdad.

En problemas más complejos, con más de una restricción, este enfoque no

funciona bien.

Las desigualdades λ ≥ 0 y g (x *) ≤ c se denominan condiciones de holgura complementaria, la mayoría en una de estas condiciones es floja (es decir, no

una igualdad).

Por un problema con muchas limitaciones, a continuación, como antes se

introduce un multiplicador para cada restricción y obtener la condiciones de

Kuhn-Tucker, que se define de la siguiente manera.

Definición

Las condiciones de Kuhn-Tucker para el problema

máximo x f (x) en g j (x) ≤ c j para j = 1, ..., m

se

L i '(x) = 0 para i = 1 ,..., n

0 λ ≥ j, j g (x) y c ≤ λ j j [j g (x) - c j] = 0 para j = 1, ..., m,

donde

L (x) = f (x) - Σ j = 1 λ mj (j g (x) - c j).

Estas condiciones se nombran en honor de Harold W. Kuhn, miembro

emérito del Departamento de Matemáticas de Princeton, y Albert W. Tucker,

quien formuló por primera vez y estudió las condiciones.

Por consiguiente, también son utilizados para optimizar sistemas aplicando

estas condiciones para determinar las desigualdades estableciendo

restricciones dentro de los problemas y representar su máximo tomando en

cuenta n variables permitiendo analizar el problema tomando en cuenta todos

los aspectos que intervienen dentro del mismo así como sus limitaciones. Por

ejemplo tenemos un repartidor el cual presenta limitaciones como tiempo para

realizar la entrega en el lapso estipulado por el destinatario.

Importancia del teorema de Khun-Tucker en la tarea de toma de decisiones

organizacionales.

Para la toma de decisiones el administrador debe tomar en cuenta su

metodología y forma sistematica, los pasos que proponen los matematicos para

la solución de problemas son:

Diagnostico del problema.

Investigación u obtención de información.

Desarrollo de alternativas.

Experimentación.

Análisis de restricciones.

Evaluación de alternativas.

Formulación de un plan.

Ejecución y control.

Lo importante es tomar decisiones oportunas ya que un ejecutivo no toma

decisiones por miedo o indecisión está destinado al fracaso olvidando que no

hacer nada es tomar ya una decisión: La peor.

Desde un punto de vista práctico, los problemas con restricciones de

desigualdad pueden ajustarse mejor a situaciones reales. Una restricción de

igualdad significa agotar completamente cierto recurso; en cambio, la misma

restricción en forma de desigualdad resulta más realista, debido a que indica la

disponibilidad del recurso pero no obliga agotarlo completamente. Véase en el

siguiente método.

Este método permite analizar cualquier problema sin necesidad de

establecer restricciones así como limitaciones dentro del mismo facilitando el

análisis de la problemática de forma globalizada manteniendo su enfoque en el

campo a estudiar para su posterior optimización. En este caso para resolver

situaciones de mayor complejidad con restricciones de igualdad y desigualdad

transformando los mismos de una situación difícil a una que ya sabemos

resolver, logrando de esta manera facilitar la comprensión del problema de

manera amplia y concisa.

Matriz Jacobiana

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de

primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta

matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En

este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F: Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano n-

dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está

determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las

derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz

m por n, la matriz Jacobiana de F:

Matriz Jacobiana

Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:

Es:

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

La matriz jacobiana tiene la posibilidad de aproximar linealmente a la función

en un punto, tomando en cuenta que no siempre la matriz es cuadrada

dependiendo del número de funciones que la integren. Este método permite es

fácil de usar así como de fácil comprensión. Las

derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz

m por n.

La utilización de estos métodos se han convertido en una de las mayores

herramientas utilizadas en las organizaciones para la toma de decisiones

debido a su complejidad y la manera en que representan los problemas

tomando en cuenta todas las variables que intervienen dentro del mismo,

facilitando de esta manera a los directivos seleccionar la solución más óptima

para cada problema. Los mismos son representados de forma sencilla y

específica para su fácil comprensión.

El objetivo de la optimización matemática es, por tanto, encontrar los

máximos y mínimos de funciones de varias variables sujeta a una serie de

restricciones.

Campos de aplicación de las condiciones de Khun- Tucker y Lagrange.

Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de

Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados

simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las

condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones

que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y

financiera.

Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría

plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y

expresando en forma de igualdad las saturadas.

También son aplicados en sistemas eléctricos, en el área de sistemas,

matemática, toma de decisiones entre otras.

Campos de aplicación de la matriz jacobiana.

Las matrices son una herramienta muy útil no sólo en el campo de las

matemáticas y la física como era de esperar; sino también en el campo de las

ciencias sociales, por ejemplo en economía y en geografía. Esta gran utilidad

se debe a que las matrices aportan un nuevo lenguaje facilitando el trabajo en

una gran cantidad de ámbitos. Empezaremos en primer lugar con las

aplicaciones en Matemáticas, donde vamos a distinguir las aplicaciones en las

distintas ramas:

Álgebra lineal: 1. En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones

de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa:

2. Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante

la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.

Geometría:1. Para expresar la ecuación de un giro de ángulo α alrededor del eje OZ:

2. Para representar las ecuaciones de las formas cuadráticas. Haciendo el

estudio de la matriz correspondiente podemos clasificar la cuadrática en

definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida

negativa. La matriz asociada a la forma cuadrática siempre es una matriz

simétrica.

Análisis:En la rama del análisis se utilizan las matrices jacobianas, que se usan para

expresar las derivadas parciales de una función en varias variables:

Si f(x,y,z) está definida de la siguiente forma:

Continuamos con las aplicaciones en la Física.

La aplicación más importante en este campo son las transformaciones de

Lorenz, que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en línea recta y

sobre el plano conocidas la velocidad de la luz.

Por ejemplo: suponiendo que el punto se desplaza sobre el eje OX y que

estamos en un espacio tetradimensional, donde la cuarta dimensión es el

tiempo, entonces, el punto tendrá como coordenadas inciales (x,y,z,t) y como

finales (x’,y’,z’,t’). Las ecuaciones que dan esta transformación son:

Donde C representa la velocidad de la luz.

Una vez que ya hemos visto algunas de las aplicaciones más importantes en

Ciencias, vamos a ver la importancia que tienen en las Ciencias Sociales.

Empezaremos primero con la Economía.

Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en

forma de tabla de doble entrada. Un ejemplo de esto es el modelo Input-Output,

que permite solucionar problemas macroeconómicos, algunos de los cuáles

son:

- Orientar o estructurar los sectores productivos.

- Poder predecir las demandas de producción.

- Interpretar las relaciones económicas existentes entre los distintos sectores

de producción.

Si continuamos por la Geografía.

También aparecen cuando hay tablas de doble entrada, por ejemplo, para

hacer referencia a la distancia que hay entre varias ciudades:

Y hasta aquí algunas de las aplicaciones más importantes de las matrices,

ya que las hemos conocido mucho más a fondo, estudiando los diferentes

tipos, las operaciones que podemos realizar y finalmente las múltiples

aplicaciones en los diversos campos de nuestra vida.