CONCEPTOSDE MATEMATICA

wBonono□ □ □ n PARA EL MAESTRO□OI sOi 0 OI ÍO EL PROFESOR□O . IQI iOl O © EL ESTUDIANTEnMI

En este numero:

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¿Para qué sirve la matemática?

m Estructuras algebraicas.■

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Números enteros y cálculo combina­torio.

. Actualización docente.

Carta a un colega.

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f^ATIMATICA MODERNALa informaciónpasa a través de Olivetti

EN LA ESCUELA PRIMARIApor Rosa W. de Ziperovich

Para el MaestroTomo I Para los grados inferiores. Tomo II Para los grados superiores.

Para el alumnoNueva edición 1970. Responden a los programas actuales.

Libro de ejercicio 1° grado Libro de ejercicio 2° grado Libro de ejercicio 3° grado Libro de ejercicio 4° grado Libro de ejercicio 5o grado Libro de ejercicio 6o grado Libro de ejercicio 7o gradow EDITORIAL

D I A G R A F s. c. a.T. E. 37-4198BUENOS AIRESSALTA 389

w "sieinrEDITORiniViamonte 1984 - Bs. As.

46-0346

Presentamos con orgullo

ANTONIO ROBERTO LOPEZ

MATEMATICA MODERNAPARA 5° AÑO DE,LOS COLEGIOS NACIONALES

Y LICEOS DE SEÑORITAS

Todos los temas de Trigonometría, Límite, Continuidad y Derivada, por una parte y las Nociones de Astronomía Elemental, expuestas con Ia claridad propia del destacado docente cordobés, y profusa ilustración gráfica en varios colores.

La información significa el conocimiento de la noticia, comunicada y recibida. Significa palabra escrita, numero calculado, lógica razonada lenguaje humano traducido al lenguaje de las máquinas y el lenguaje de las maquinas, traducido ai lenguaje humano Significa Olivetti Oli- vetti para a información significa una filosofía industrial: investigación y desarrollo de todos los medios mecánicos, eléctricos y electrónicos

H e t0dK? 0s n,veles y a través de todos los canales y tecnolo- cualquSCoedeC,neformIaonran' ,rans,orman' comunican y multiplican

Del mismo autor: MATEMATICA MODERNA para 4° año de los Colegios Nacionales y

Liceos de Señoritas.

Olivetti 1!i-i

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SEPTOSHEBE T. RABUFFETTIDE MATEMATICAS

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CONCEPTOSDE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 1045 - Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

Enero-Febrero-Marzo 1970Año 4 No 13

INTRODUCCION

AL ANALISIS

MATEMATICO

CARTA AL LECTOR

iniciamos hoy nuestro cuarto año de vida. La fecha ad­quiere significación para nosotros, y esperamos que también para nuestros consecuentes lectores, porque significa la per­manencia de un empeño de informar lo más clara y limpia­mente posible sobre las múltiples facetas del movimiento científico y pedagógico que se está desarrollando ante nues­tros ojos y que no podemos ni debemos ignorar so pena de quedar a la zaga de tantos y tan denodados esfuerzos de renovación como los que se están cumpliendo en el mundo entero, de lo cual constituye buena muestra el Congreso de Lyon cumplido a mediados del año pasado ante cerca de un millar de participantes de entre los cuales, afortunadamente, fue parte nuestra redactora, la señorita Elsa E. Sabbatiel/o que pudo asi cubrir la información requerida por nuestra revista.

Asesores: José Babini, Juan I. Blaquier, Frédérique Papy, Geor- ges Papy, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Atilio Piaña, Elsa Sabbattiello. Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi.

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(CALCULO 1 )Dibujante: Arq. Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina S 10

Ley 18.188 (m$n. 1.000.-). Ex­terior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los gi­ros postales o. sobre bancos de Buenos Aires, deben ser exten­didos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: S 3 Ley 18.188.atrasado: $ 3,50 Ley

* Sabemos que tendremos que vencer muchas dificultades para continuar publicando CONCEPTOS DE MATEMATICA. Pero no ha de faltar el esfuerzo necesario para superarlas y pensamos que no nos faltará habilidad para vencerlas. Conta­mos, desde luego, con la colaboración de nuestros su se rip­io res a los cuales pedimos, como siempre, la obtención de nuevos suscriptores, el aporte de material para publicar y la inmediata remisión de la cuota correspondiente a Ia suscrip­ción por 1970 en el caso de que aún no lo hubieran hecho.

Número18.188.Hasta el momento, si bien había muchos libros de consulta muy comple­

tos, no se contaba con un texto que respondiera al enfoque de la mate­mática moderna y que satisficiera por igual las necesidades de profesores y alumnos.

Es este vacío el que viene a llenar el presente libro de la profesora Rabuffetti, quien de manera clara y profunda, presenta los principales temas de la materia. La autora es profesora de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Buenos Aires, del Instituto Superior del Profesorado Secundario y del Centro de Altos Estudios en Ciencias Exactas. Es, además, Master of Sciences en Matemática.

\Lugares de venta: En nuestra sede.

Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Edi­torial El Ateneo, Florida 340; Li­brería del Colegio, Alsina y Bolí-

Librería General de Tomás 618; Librería

y

var;Pardo, Maipú Resio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Ai­res; Librería del Azul, San Mar­tín 472, Azul; Librería "Eras- mo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Yrigoyen y San Juan, Corrien-

* Tratamos de recompensar a nuestros lectores publicando el material más novedoso que llega a nuestras manos. El señor R. Pons, en su artículo "Experiencia en Sherbrooke" nos informa, por ejemplo, acerca de cómo se desarrolla una de las más importantes experiencias de nuestro tiempo, la del profesor Dienes, en Canadá, que indudablemente tiene reso­nancia mundial. Y para quienes creen en Ia dificultad de plantear ejercicios novedosos, publicamos un artículo del re­nombrado pedagogo inglés T. J. Fleteher cuyas originales

han de ser de indudable provecho el resto del materia! que se pu-

.

tes.Para colaboraciones, números atra­

sados, suscripciones y avisos, diri­girse directamente al editor.

Registro de la Propiedad Intelec­tual: NO 1.037.530.

Impreso en COGTAL Rivadavia 767, Capital

EN EL PROXIMO NUMERO: . Entrevista al profesor W. Serváis. — Estructuras algebraicas —

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concepciones, creemos, para todos, lo mismo queblica.

* Y para que no falte la información oficial hemos entrevis­tado al señor Director de la Administración Nacional de En­señanza Media y Superior, profesor Reinaldo C. Ocerín quien

informa ampliamente acerca de cuestiones relacionadas el aspecto del proceso enseñanza-aprendizaje de

le ha concebido en las esferas directivas.

EL DIRECTOR

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nosnuestraINTERES C-ENERAL

Concesión Np 8205 conciencia, tal como se

Los saluda muy cordial menteI FRANQUEO PAGADO Concesión Np 2687CENTRO DE ALTOS ESTUDIOS EN CIENCIAS EXACTAS

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:

LA ENTREVISTA to sepa pensar matemáticamente toda vez que la realidad exija ese estilo de conducta y no que conozca prolijamente un programa de matemática.

P. ¿Cuáles son las novedades para el año escolar de 1970, especialmente las que con­ciernen a la enseñanza de la matemática?

R. Debemos tener en cuenta el conjunto de disciplinas. Entre los programas de trabajo pa­ra planificar la acción de 1970 figuran algunos dedicados a determinadas asignaturas, que im­plican trabajos experimentales. Como conse­cuencia lógica, si se obtiene buen éxito, se producirán modificaciones en la orientación del proceso de aprendizaje, en la selección de lo que habitualmente se denomina contenidos, en las actividades y procedimientos didácticos. En esa situación están la biología, la química, la matemática y una actividad estética, la mú­sica, en los programas números 14, 15, 16 y 17, respectivamente.

P. Nuestra revista informó sobre un proyec­to de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática para la escuela primaria, la intermedia y la media. ¿Puede agregarse algo al respecto?

R. En efecto, vuestra revista informó que esa Comisión, cuya labor comenzó a fines de 1968, preparó el proyecto de contenidos gene­rales que abarca desde el Jardín de Infantes hasta el 12° grado en la proyectada reforma de los ciclos de escolaridad. El trabajo fue ele­vado a la Oficina Sectorial de Desarrollo "Educación" por intermedio del Instituto Na­cional para la Enseñanza de las Ciencia (INEC), pero hasta la fecha no ha tenido esta­do público.

P. ¿Qué nos puede decir acerca de cómo se encarará la actualización de los docentes de matemática?

R. Desde luego que es necesario un trabajo constante de actualización docente: lo exigen tanto el avance científico cuanto la actualiza­ción pedagógica y resultaría difícil no adherir a las afirmaciones de A. Revuz en el N° 12 de CONCEPTOS DE MATEMATICA. Pero no sólo basta comprender el problema; el trabajo requiere medios, especialmente financieros, para atender las necesidades de todas las espe­cialidades, de todos los profesores y de todos los lugares del país. En matemática, específica­mente es significativo lo hecho por los organis mos oficiales (INEC, ANEMS, Institutos de

Profesores, Universidades) y por las entidades privadas; incluso sabemos que CONCEPTOS DE MATEMATICA ha organizado cursos en nuestra ciudad y en otras ciudades argentinas. Está documentado que alrededor del 20°/o del personal en actividad asistió a algún curso o cursillo de actualización. Además, en los cursos de verano organizados por el CNICT y el INEC se dio preferencia a los docentes del interior que se inscribieron, pero es dable ob­servar que se repiten los nombres de los inte­resados en participar. Pero, además de los cur­sos de perfeccionamiento, hay que lograr en el profesor una actitud de permanente estudio e información, como ocurre en todas las profe­siones. Para 1970 el programa N° 26 de ANEMS denominado "Actualización y perfec­cionamiento de docentes en actividad, espe­cialmente en el nivel secundario prevé tres as­pectos: a) Estudio y caracterización de distin­tos tipos de curso para el perfeccionamiento docente en diferentes áreas (matemática y lógica formal; ciencias experimentales; ciencias histórico-sociales; lengua; disciplinas jurídicas, y eventualmente, materias estéticas). Formula­ción de esas características y distribución ten­tativa de distintos tipos de cursos en institutos de formación de profesores y en otros estable­cimientos; b) Adecuación de normas legales y reglamentarias a las exigencias de los distin­tos cursos de perfeccionamiento en lo que se refiere a licencias de personal interino y titular con menos de 10 años de antigüedad, y lo mismo para el personal que dictará los cursos; c) Generalización en institutos de formación de profesores del interior de cursos ya dicta­dos en establecimientos similares de la Capital Federal y otras grandes ciudades en 1969; pla­nes concretos de perfeccionamiento docente en establecimientos de formación de profeso­res; especialmente cursos para el personal de esos institutos que luego habrán de dictar cur­sos de perfeccionamiento para docentes secun­darios y, eventualmente, primarios.

P. ¿No cree conveniente que ANEMS im­prima folletos con todos los programas vigen­tes y las normas pedagógicas a las cuales se cree que el profeso debe ajustar su tarea?

R. No creo demasiado en los folletos o, mas bien, no creo que representen lo único posible. Debiéramos inundar con información, normas, pautas, guías, consejos bibliográficos, etc. a ios docentes en sus respectivas especiali-

vasta cultura hace que tenga una visión total del problema. Pero, como consideramos que lo interesante han de ser las respuestas, vamos a ellas.

CONCEPTOS DE MATEMATICA trata de ser, se lo sabe bien, un vínculo entre los maestros, profe­sores, estudiantes y público en ge­neral que se inte- resan por los pro­

blemas científicos y pedagógicos de la mate­mática de nuestro tiempo y para ello publica parte de la información que llega a sus manos. Los lectores conocen, pues, el estado general de los principales problemas, están enterados de las novedades que se producen en todo el. mundo y no dudamos que ello ha de ayudar­les en su quehacer. Muchas veces nos escriben planteándonos cuestiones que tratamos de re­solver y otras veces no tenemos la posibilidad de hacerlo.

Uno de los problemas que nos plantean con la mayor frecuencia es el que se refiere a la incidencia en la enseñanza argentina de los nuevos contenidos cuya aceptación pareciera ser general en todo el mundo y nos manifies­tan su desesperanza ante la incompleta infor­mación que poseen. Saben muy bien de la existencia de una Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática pero no saben del resultado de sus reuniones, si es que lo hacen habitualmente. Quisieran saber más para plani­ficar sus tareas futuras.

Para satisfacer esas urgencias decidimos en­trevistar al señor Reinaldo C. Ocerín, director de la Administración Nacional de Enseñanza Media y Superior. Nos fue fácil hacerlo por-

, que el señor Ocerín obvió cualquier inconve­niente y se prestó a la entrevista con la mayor gentileza. No vamos a hacer el panegírico de nuestro entrevistado; digamos, si, que no es, todos lo saben, un improvisado, sino un do­cente de larga actuación que ha demostrado profundo interés por la solución de los proble­mas de la enseñanza argentina, y aun cuando no es especializado en nuestra disciplina, su

P. CONCEPTOS DE MATEMATICA no se preocupa por la enseñanza de la matemática moderna sino por la enseñanza moderna de la matemática. ¿Qué se opina al respecto en las esferas educativas oficiales?

R. ANEMS es decidida partidaria de un en­foque moderno en el proceso enseñanza-apren­dizaje. Entiendo por moderno no la adhesión a una corriente didáctica determinada, que luego se puede solidificar, sino la vigencia de ciertos principios y actitudes. Entre las prime­ras, la ¡dea de que el producto del sistema debe ser antes un sujeto que domine métodos de pensamiento para entender y dominar la realidad, con suficiente base de variabilidad mental para abordar el pasaje a métodos nue­vos, que un individuo que en un momento dado posee en su mente muchos datos sobre esa realidad. Entre las segundas, la de un aprendizaje que confíe en el alumno y acepte su diversidad de intereses, de modo que la en­señanza sea una ayuda para el mejor trabajo de éste, bajo una conducción orientada por criterios experimentales para que en cada cir­cunstancia adopte el procedimiento más efi­ciente. Más que en la "modernidad", la cues­tión parece residir en las demandas de cambio y de eficiencia.

P. ¿Esto naturalmente ha de valer para to­das las disciplinas intelectuales, no sólo para Ia matemática?

R. Por supuesto, sin ignorar la universaliza­ción, todavía asombrosamente creciente, del pensar matemático y mucho menos descono­cer su ¡mprescindibilidad en casi toda nuestra sociedad tecnificada. Incluso así, la matemá­tica, en determinado nivel del sistema educa­tivo, vale por lo que aporta al producto de nivel y no "per se" en tanto disciplina. Debe dar lo que pida la especificación de ducto, o sea, de nuevo, una aparente "moder­nidad". Casi siempre interesará que el produc-

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la labor escolar; IV) Actualización de planes de estudio de varios institutos de profesorado en la especialidad de matemática; V) Organiza­ción y dictado de cursos de perfeccionamiento y ciclos de conferencias sobre enseñanza de la matemática. Para este año se han elaborado los programas de trabajo N° 16 (prosecución hasta su término de la experiencia iniciada en 1963) y N° 26 (actualización y perfecciona­miento de docentes en actividad), todos ellos sin perjuicio de la supervisión y asesoramiento de los inspectores especializados cuyo número fue aumentado.

P. Ud. anuncia Ia terminación en este año de la experiencia iniciada en 1963. ¿No exis­ten proyectos de nuevas experiencias?

R. A fines de 1968 el ensayo iniciado en 1963 abarcaba 69 divisiones de 1o a 5o año en 10 establecinmientos. Se entendió que no cabía esperar nueva información sobre resulta­dos de la reiterada aplicación de dichos pro­gramas y atentos a los anuncios de reformas sustanciales en el sistema educativo, ANEMS dispuso la conclusión progresiva del ensayo. Por ello, en 1970 se aplicará por última vez el programa de tercer año en las 16 divisiones aun afectadas por la experiencia, con algunas modificaciones para facilitar la transición de los alumnos a los programas oficiales comunes de 4o año. La realización de nuevas expe­riencias, con otros programas de matemática, los preparados por la Comisión Nacional, por ejemplo, está condicionada a las resoluciones de la Superioridad sobre la aplicación experi­mental de la reforma del sistema educativo.

dados v en ANEMS haremos lo posible dentro de los límites de las condiciones naturales de trabajo. En 1969 publicamos una serie de tra- bajos, sobre "Planeamiento de la tarea escolar (a nivel de profesores) y evaluación del ren­dimiento escolar". El segundo de los trabajos se refiere a matemática; contiene los objetivos en la educación media por nivel y modalidad.

PROBLEMATICA ACTUAL

Carta a un colegaLEON COLOT

(Bélgica)y los objetivos particulares por curso.

P, A mediados del año pasado se realizó en Lyon el Congreso Internacional sobre Ense­ñanza de la Matemática al cual, concurrieron más de ochocientos participantes, incluidos más de un centenar de los EE.UU. La profeso­ra Elsa Sabbatiello, entonces en Europa, pudo afortunadamente representar a la Argentina en calidad de observadora. ¿No cree Ud. que

país debió tener una representación

No ignoráis, querido colega, que la corpora­ción de los profesores de matemática(s) ha entrado desde hace cierto tiempo en ebulli­ción, casi en efervescencia.

También sabéis sin duda que esta agitación extrema resulta de los esfuerzos que algunos han emprendido para renovar la enseñanza de la matemática.

Y entre esos innovadores, cierto señor Papy es enviado a los demonios por unos y llevado a las nubes por los otros. De manera que el cuerpo de los "matemáticos" se ve dividido en dos: por un lado, los papystas, y por el otro, los antipapystas. Henos, pues, casi en plena guerra santa.

Pero esta divertida alusión a un pasado más o menos lejano ubica no obstante netamente el problema: no se trata más que de un pro­blema de fe con todas las implicaciones pasio­nales que ocultan tales problemas. Se cree en la reforma propuesta o no se cree en ella. Es la antigua querella de los Antiguos y los Mo­dernos que resurge de tanto en tanto a través de las edades.

En época semejante se cometen muchos excesos y son numerosas las reacciones epidér­micas. Algunos escriben al ministro para tradu­cir mejor su contestación, otros van a remol­que de algún inspector que intenta por todos los medios hacer fracasar la corriente innova­dora, especialmente mediante el recurso de alguna asociación de docentes de enseñanza técnica que se pretende reformadora sin refor­mar nada del todo a no ser la fachada del edificio matemático.

Pero, ’¿en qué se convierte el verdadero espíritu crítico, el auténtico espíritu científi­co, en una palabra, el pensar equilibrado? Sin duda, se está bien lejos de ello. Ciertas conver­saciones de salas de profesores son muy ilus­trativas al respecto. Muchos están todavía en la época de los chismes y las murmuraciones.

El espíritu matemático, que no obstante está sobre la base del espíritu científico auténtico,' está pisoteado, lo que muestra que las perso­nas de nuestra generación casi no están forma­das en la disciplina matemática fundamental. La mayoría de las reacciones son reacciones viscerales de frustración. Esas personas se sien ten frustradas por sus rutinas, grandes y pequeñas. Sus hábitos mentales están perturba­dos. Grave crimen y de lesa magnitud profeso-

nuestromás nutrida siquiera sea para aprovechar del contacto con los más distinguidos matemáticosy pedagogos del mundo?

R. No puedo hacer un juicio de valor re­prospectivo. Recuerdo que ANEMS se sintió satisfecha de que por lo menos uno de sus inspectores asistiera a dicho Congreso. Tampo­co creo que estos actos valgan por sí mismos en todo momento y en cualquier circunstan­cia. Del punto de vista del sistema educati­vo, la asistencia y la magnitud de las represen­taciones, en la primera alternativa, depende de una lista de prioridades de inversión y de las posibilidades de efecto multiplicador que ese acto ofrezca.

P. ¿Podría sintetizarnos las medidas adopta­das en los últimos años para el mejoramiento de la enseñanza de la matemática?

ral.Analicemos primeramente las causas de esta

oposición virulenta.Ante todo, me parecen de orden psicológi­

co y acaso filosófico. El drama de la reforma de la matemática es la incomprensión. Algunos quieren representarse con terror, una evolu­ción que no dominan, que no comprenden por falta de formación y de información. Es el triunfo del espíritu sedentario sobre el espíritu de apertura y de renovación.

El largo acondicionamiento que han sufri­do, que ellos han impuesto a otros, paraliza e impide toda evolución de sus esquemas menta­les. Sumergidos en el dogmatismo, no pueden liberarse de un pasado que les ha enseñado que el saber era inmutable. Prisioneros de una doctrina caduca, carecen de la amplitud de espíritu que les permitiría comprender que el mundo actual es un mundo en plena mutación y que se metamorfosea con velocidad vertigi­nosa.

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R. Ese mejoramiento ha sido preocupación constante de ANEMS y de la entonces Direc­ción General de E.S.N.E. y S. y las medidas adoptadas desde 1963 pueden resumirse así: I) Realización de una experiencia de ensayo y de nuevos programas de matemática, iniciada en 1963 y que concluye en 1970; II) Actualiza­ción de los programas del ciclo básico (R.M. N° 1772/65), del 4o año del bachillerato, de la enseñanza comercial y del ciclo del magiste­rio (R.M. N° 598/66) y de 5o año del bachi­llerato y comercial (R.M. N° 1509/67); III) Remisión a los establecimientos de su depen­dencia de circulares informando los resultados del ensayo en cada curso; circulares con los nuevos programas e instrucciones para su des­arrollo; folletos sobre teoría de conjuntos, probabilidades y estadística y planeamiento de

P. Hay profesores de matemática que se quejan por la información fragmentaria que reciben acerca de las disposiciones oficiales. ¿Podríamos sintetizar cuáles son tas comuni­caciones enviadas para que ellos a su vez las soliciten a los directores de sus estable­cimientos?

Los profesores de matemática de estable­cimientos dependientes de ANEMS fueron oportuna y ampliamente informados de los re­sultados del ensayo antes citado por las circulares 14/64, 27/65, 60/66 y 101/68 que contienen síntesis de los informes de los pro-

El drama de algunos profesores de matemá­tica, es la inadaptación al mundo presente, la incapacidad para proyectarse en el mundo futuro para descubrir sus contornos importan­tes.

Esclerosados por su acondicionamiento, no llegan a ver las cosas con visión nueva, y de su propia dificultad para comprender la matemá­tica nueva -reconozcamos que los primeros contactos tienen sus dificultades, que a veces son penosas o dolorosas para un adulto- infie-

!fesores afectados a la experiencia, las conclu­siones de los inspectores supervisores, apéndi­ces con ejemplos de ejercicios y problemas, temas de exámenes y una guía de orientación bibliográfica. (Continúa de la pág. 43)

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de la formación de los maestros en to- El mal que algunos ven en ella proviene, quizas, en parte del rótulo retumbante y equí­voco con que se la disfraza. "Matemática Mo­derna"; eso suena a falso a los oídos de algu­nos, eso hiere las susceptibilidades y las inquietudes de muchos. Ven en ello una suerte de abandono sacrilego de las nociones mate­máticas heredadas del pasado y consagradas por una larga y pujante tradición, una ruptura neta e irreparable con hábitos mentales remo­tos y tenaces. Mientras que para otros, se trata antes que nada del coronamiento del pasado por un enriquecimeinto y una elevación. La objetividad obliga a decir que son éstos los que tienen razón y que no hay ruptura total con el pasado sino una continuidad armoniosa. Por esta razón sería mejor hablar de "matemá­tica de siempre", remozada y revigorizada.

Para quien considere el nuevo programa con espíritu sereno y libre de pasiones defor­madoras, no hay ninguna duda que los temas tradicionales que tenían valor se vuelven a en­contrar en el nuevo programa. Y si esto es considerando revolucionario por algunos es porque lo ven con orejeras y con prejuicios.

' La gran innovación consiste en colocar el estudio de la matemática en una perspectiva conjuntista y relacional. Y si se reflexiona desde más cerca, se debe confesar que las nociones de conjunto y de relación estaban ya subyacentes en muchos capítulos de los anti­guos libros de matemática. Pero se los tocaba ligeramente. Ahora se aclaran esos conceptos para construir con ellos una teoría coherente que expresa; con claridad y nitidez, lo que el lenguaje ordinario sólo expresa con precaución y dificultad. Permítaseme citar aquí un juicio del profesor Revuz: ".. .las matemáticas mo­dernas, por ejemplo, son en gran medida una toma de cogciencia de lo que se hacía hasta aquí sin decirlo y probablemente sin pensarlo. ¿No es ésto la justificación filosófica esencial del estudio de la matemática? En el fondo, el matemático es el individuo que siempre quiere saber qué hace y por qué lo hace".

¿Quién osaría negar que la teoría de los conjuntos está sobre la base del cáculo aritmé­tico y algebraico? ¿Quién osaría afirmar que la noción de relación no permite matematizar mejor numerosas situaciones? ¡Algunos no ven en los conjuntos y las relaciones más que un juego lógico sutil e inútil e incluso aun una argucia filosófica!

ren que es mala e imposible de enseñar a los niños, lo que la experiencia ha desmentido

tos ydos los niveles educativos. Entre nosotros, la forma en que se ha concebido el readiestra­miento comporta un excesivo aumento de trabajo. El verdadero readiestramiento sería el

liberara temporalmente a los maestros de

Grueso error. Olvidan que formar el es­píritu matemático de cualquiera no es tan sólo enseñarles algunos trucos de cálculo o algunas recetas geométricas que le permitan dibujar mejor; es también, y sobre todo, hacerles adquirir un espíritu lógico y coherente, un sentido claro y preciso de los pasos a cumplir para resolver los problemas más diversos; es conferirles el gusto por la investigación mate­mática; es enseñarles a calcular, ya no sólo en situaciones exclusivamente numéricas sino también sobre conjuntos y relaciones, no tan sólo sobre igualdades sino también sobre desi­gualdades, es enseñarles a matematizar gran número de situaciones, concretas o no.

Al darle a los alumnos ese espíritu lógico, se hace en el fondo matemática mucho más utilitaria que la que algunos defienden tan tenazmente. Para éstos, lo utilitario no cubre más que un dominio restringido de la vida -el famoso concreto clásico de la pedagogía tradi­cional— algunos problemas considerados vita­les, truncados sin embargo en su mayoría, pro­blemas de trazados geométricos que, por otra parte, son más bien del dominio del dibujo técnico que otra cosa, etc. En verdad, lejos de mí la ¡dea, estimado colega, que esas cuestio­nes carecen de interés, pero yo pienso que sería —y ya lo era- una grave laguna confor­marse solamente con eso, pues significaría conferir a los niños una matemática truncada.

Algunos no quieren oir hablar del nuevo programa en las escuelas técnicas. ¡Colmo del absurdo y del oscurantismo! Pues son justa­mente los alumnos de esas escuelas los que tiene mayor necesidad de buena matemática. De una matemática viviente y utilitaria. Por otra parte, sería una aberración que hubiera dos formas de enseñar la matemática, una para la escuela media, otra para la técnica. La matemática es una y el espíritu de su enseñan­za debe ser el mismo dondequiera, lo que no excluye, no obstante, que ciertas modalidades puedan variar de una escuela a otra. En ver­dad, ¿debo agregar también que los antiguos programas de matemática eran muy semejantes para la escuela media y para la técnica y que la base era común? ¿Por qué no ha de ocurrir lo mismo actualmente?

También sabéis sin duda que se alega que los alumnos de las escuelas técnicas son de nivel más bajo, íntelectualmente hablando, que los de las escuelas medias —lo que generalmen-

profundamente.Se puede ver en ello también el complejo

del maestro. El maestro tradicional es el que, de ciencia, la prodiga, ex-cátedra, dog- queharto

máticamente, pero una ciencia que no siempre corresponde a los datos de su época.

Considerado superior a sus alumnos, él es el maestro que domina y anonada. Desde luego, no admite fácilmente que se diga que su saber está superado y que es necesario remozarlo, reajustarlo. Depositario de una tradición, quiere trasmitirla intacta, porque no se le ha enseñado que incluso las tradiciones más viejas

el resultado de una larga evolución y que

su tarea habitual y les permitiera consagrarseexclusivamente al estudio durante cierto tiem­po. En efecto, todo maestro debe ser estudian­te toda su vida.

Sé, estimado colega, que nuestros políticos redargüirían que eso costaría demasiado caro y que nuestros medios no lo permitirían. Esto no es verdad más que aparentemente. Puesto que si por fin se atacara con fuerza y determi­nación la reorganización de todas nuestras es­tructuras escolares, sería ciertamente posible recuperar el tiempo que, a la vez, es indispen­sable para el readiestramiento de los maestros y para impartir mejor el saber entre los alumnos. En este momento pienso especialmente en la aberrante organización de los exámenes que, en la mayoría de nuestras escuelas, insume casi dos meses de cada año escolar sin ningún provecho para los alumnos.

Así las cosas, los que no han realizado el esfuerzo de seguir la evolución —que comenzó hace diez años más o menos— para conocer mejor la matemática de nuestro tiempo, me parece que carecen de toda excusa plausible. Pues creo que hay medios, en el marco de las actividades normales, para mantenerse al día con los nuevos programas, su contenido y su alcance. Reconozcamos, estimado colega, que los maestros de la media y de la técnica dispo­nen de tiempo muy escaso. Creo también que todos los que aman apasionadamente a la ma­temática no podrían hacerlo de otro modo, pues para ellos el universo matemático no es jamás suficientemente rico. Eso hubiera evita­do, a muchos, juicios a priori sobre cosas que no conocen o conocen muy mal. Agregaré también que la fe y el entusiasmo permiten realmente vencer los obstáculos y permiten a menudo llenar una parte de las lagunas resul­tantes de la inercia y de las falencias político- administrativas y que, contra viento y marea, es necesario luchar para poner a disposición de nuestros alumnos lo que hay de mejor para enseñarles en el estado actual de las cosas.

Pero es hora, estimado colega, de hablar un poco de esta matemática que provoca tantas perturbaciones y de ver también si es tan mala como dicen algunos.

sontambién ellas continúan evolucionando.

El maestro tradicional es el que posee el saber y el privilegio, pero le está prohibido aportar un saber nuevo. Poderoso ante su cla­se, entiende que también lo es fuera de ella, pues es el que no tiene que recibir lecciones de nadie. Habituado a dominar, no puede resignarse a ser dominado, pues, en su espíri­tu, convenir que su saber ha envejecido, signi­fica decaer. Olvida también que el verdadero saber no se comunica más que por el diálogo y que el maestro auténtico no es el que mono­loga ante sus discípulos bogando por encima de ellos sino aquél que está entre ellos para ayudarlos y guiarlos.

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Esos propósitos, estimado colega, si os pa­recen muy severos, no deben haceros creer que condeno sin apelación a sus opositores. Sé que tienen el derecho de grandes circunstan­cias atenuantes. Especialmente, porque las condiciones de su profesión y de su forma­ción, no los preparan para una mutación tan radical. Y también porque la sociedad es‘un cuerpo endurecido por el conformismo y los prejuicios, cuyas estructuras no permiten toda­vía la educación permanente ni el readiestra­miento permanente de sus componentes.

A proposito del readiestramiento, es necesa­rio reconocer que los poderes organizadores de la enseñanza belga no han comprendido toda­vía la urgente necesidad de crear condiciones de trabajo apropiadas que permitan el readies­tramiento racional y profundo de los docen­tes. y no el superficial que se intenta hacer actualmente. Porque, entre' nosotros, la polí­tica educativa es una política a corto término que ignora la inversión a largo plazo que sería una continua puesta al día de los conocimien-

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;!

pensar que ese lapso ha sido suficiente para probar su necesidad y utilidad.

En verdad, para algunos es doloroso vivir en esta época de mutación. Por lo contrario,

otros es apasionante vivir en estos tiem- heróicos en que todo se renueva o se

remoza, en que un organismo joven y sano reemplaza una vieja caparazón -seguramente muy respetable pero endurecida. Como dijo últimamente nuestro inspector, se trata para aquéllos que creen en ella de un verdadero baño de juvencia.

Acaso hayáis leído, estimado colega, la serie de artículos consagrados a la "matemática mo­derna" publicados hace algunos meses por un gran diario de nuestro país, el último de los cuales se intitulaba "Es necesario que termine esta querella"

Si, es necesario que cese y que cese tam­bién esa campaña de prensa ponzoñosa e irre­flexiva -o demasiado reflexiva— deseada por algunos y que produce enorme perjuicio en la enseñanza. Es necesario que cada uno haga su examen de conciencia y se disponga a la tarea, no para demoler sino para construir. Algunos lamentan la ausencia de verdadero dialogo. Olvidan que ese diálogo existe y desde hace mucho entre personas que marchan a la misma longitud de onda, pero es imposible con los que rehúsan estudiar las cosas con espíritu verdaderamente científico y objetivo, ajeno a toda pasión malsana y a ciertas consideracio­nes sórdidas de interés material. Olvidan que el verdadero diálogo no se podrá establecer hasta que ellos hagan el esfuerzo de compren­der qué es realmente la matemática demuestro tiempo. Sólo entonces será posible estudiar con serenidad si ciertas modificaciones progra­máticas no son deseables para tal o cual ense­ñanza.

Permitidme concluir esta carta con algunas pa­labras extraídas del libro "Les 40000 heures"de Jean Fourastié: Lo más difícil es adaptar ince­santemente el contenido de la enseñanza a las necesidades del hombre de mañana. . . Es ne­cesario recordar incesantemente que el objeti­vo de la educación consiste en dar al hombre la civilización de los hombres. En una época en que la civilización evoluciona rápidamente, el contenido de la educación debe cambiar rá­pidamente".

Puede ser que ayuden a algunos a compren­der porqué la reforma de la matemática era urgente a indispensable.

inferir de ello que la máte­les conviene y que primero Tendencias actuales del

aprendizaje científico-matemático'te es cierto- para

• mática nueva no sería necesario eliminar las lagunas que tiene al salir de las escuelas primarias antes de soñar en hacer otra cosa. ¿Pensáis que si volvéis a someter a esos pobres alumnos al régimen que han conocido antes, usando los procedimien-

erróneos e insuficientes que han fracasado para ellos en la escuela primaria, pensáis que lograréis eliminar esas lagunas y, sobre todo, que llegaréis a hacerles amar la matemática —la matemática que hasta aquí no le han sig­nificado más que deberes y traumatismos? Personalmente, lo dudo mucho.

Con alumnos de ese nivel, la salvación no es posible más que recomenzando desde cero. Es necesario volver a poner a las matemáticas sobre nuevas bases para hacerles comprender los mecanismos matemáticos que no han podido dominar suficientemente antes, y los conjuntos son la herramienta eficaz para

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R. H. WEST (Inglaterra)

Los profesores de ciencia y de matemática tienen muchos objetivos comunes, pero las mayores concordancias se producen en el te­rreno de las reformas programáticas. Sobre ellas realizaremos nuestro comentario.

Los nuevos programas del aprendizaje cien­tífico y matemático marchan a la vanguardia del movimiento de transformación de los con­tenidos programáticos. Una rápida ojeada al Sixth fíeport of the International Clearipg- house on Science and Mathematics Curricülar Deve/opments nos indica que en 1968 el total de proyectos fue el siguiente:

Nuestros propios proyectos en ciencia y en matemática son, por tanto, tan sólo una parte modesta, una modestísima contribución a este movimiento mundial de reformas del aprendi­zaje científico matemático. Sobre este fondo y con estas perspectivas de amplitud universal, queremos hoy pasar revista y examinar cómo se debe enseñar actualmente la ciencia. Pido,

.pues, al lector que tenga en cuenta que mi' comentario sólo es exploratorio, provisional y sin pretensiones definitivas.

Existe una nota característica común a to­dos estos proyectos. Se quiere poner término a la rutinaria hipótesis tradicionalista que pre­tende imponer la tesis de que a cada maestro le corresponde un método, de que cada maes- trito tiene su librito. Cada día resulta más evi­dente la necesidad de estudiar, de trabajar, de acuerdo con sistematizaciones. A punto tal que ya no enseñamos química o matemática, sino química Nuffield y matemática Shropshire. O matemática dienesiana. O matemática Papy. El resultado es que tenemos, como docentes, mucho en común con nuestros colegas de otras escuelas y consagramos bastante tiempo a la problemática de la metodología, ésto es.

lograrlo.En su mayoría, esos alumnos tienen defi­

ciencias de lenguaje. Es indispensable que el nuevo lenguaje matemático, simple, armonioso y limpio y que reúne precisión, claridad y concisión, debe permitir que los alumnos dominen mejor su lengua materna. Sería dra­mático ver que se priva de la nueva enseñanza a los alumnos de las escuelas técnicas, pues eso no seria más que desvalorizar más esa en­señanza técnica ya tan poco apreciada por al­gunos y ahondar más la fosa que existe entre ella y la enseñanza media general. Sería una injusticia con ella, sería una ausencia de demo­cratización.

I País do origen Proyectosmatemáticos

ProyectosCientíficos

Total

InternacionalesEE.UU.

37 119 15636 136 136/

Debe tenerse en cuenta que en dicho infor­me, aún cuando son muchos los países incluidos, no figuran ni los proyectos de la Unión Soviética ni los de la China de Mao.

La variedad de los proyectos es extraordi­naria, desde el "Canary Islands Mathematics Project" -que dirige el Dr. Caparros Morata en Las Palmas de Gran Canaria— cuyo eje es la investigación sobre el proceso de pensamien­to matemático, y el Orange Country School Marine Science Floating Laboratory Project" -cuyo título nos ahorra la descripción- dirigi­do por el Dr. Linsky, hasta el "West Germán Frankfurter Projekt", cuya dirección ejerce el Dr. Bauersfeld, con objetivos muy similares al universalmente famoso proyecto de Dienes en el "Centre de Récherches en Psycho-mathé- matique" de la Universidad de Sherbrooke.

Aquéllos tienen poca memoria o son de una dolorosa incultura que les hace olvidar que los docentes de matemática —como de todo lo demás- han evolucionado en el curso de los siglos, y que lo que enseñamos actual­mente no es lo que se enseñaba hace 150 años, o 300, o en la Edad Media o en la Anti­güedad. Reconozcamos que los sucesivos apor­tes de los matemáticos de las distintas épocas se han integrado poco a poco en los elementales. ¿Por qué negar a nuestro tiempo el derecho de introducir en la enseñanza los descubrimientos de los últimos 100 años? ¿Para qué serivirían los descubrimientos máticos si no fueran distribuidos a la humani­dad por medio de la enseñanza? No nos olvi­demos más que la teoría de conjuntos tiene ya 70 años de edad. Razonablemente se puede

* Este comentario del Dr. West, publicado por ATM (Asociación de Profesores de Matemática de Ingla­terra) el 13 de noviembre de 1969 ha sido traduci­do por el Dr. Julián 6. Caparros Morata, director del C.I.M.P., quien, con su inalterable fervor, nos escribe: "Los docentes deben medir bien sus res­ponsabilidades." La educación se propone hacer posible un mundo de justicias y esto sólo será po­sible con una educación individualizada. Esto se apoya en razones éticas, sociológicas, históricas, psicológicas. Las aulas "superpobladas" anulan la más noble dedicación pedagógica. No hay entonces inversión de capitales sino derroche indispensable en individualizar contenidos y métodos. Por eso, hemos creído, conveniente que CONCEPTOS DE MATEMATICA publique este comentario."

cursos

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extraño ver que un alumno es invitado a resol- mediante las regletas Cuisenaire un proble- que él ya tiene resuelto mentalmente. Las

actividades motoras deben ser provechosas, y lo son luego del proceso cognoscitivo. Pero lo

hace en el ejemplo señalado es solicitar

Experiencia en Sherbrooke'cómo se debe enseñar la ciencia, cómo se debe enseñar matemática. El foco dominante de las teorías psicopedagógicas modernas se ubica en las cuestiones didácticas, metodológicas, esto es. en algo distinto a los contenidos programá­ticos. El programa se olvida para ubicar en primer término la cuestión metodológica.

En todas las discusiones de nuestro tiempo surgen dos problemas que reclaman respuestas precisas, a saber:

1. ¿Es importante para este alumno, en este preciso momento o etapa de su desarro­llo, este punto particular del programa?

2. De serlo, ¿cuál es la didáctica más efi­ciente para dirigir ese aprendizaje?

Sospecho que la segunda cuestión, al envol­ver juicios de valor, tendrá siempre que susci­tar dificultades, pero entiendo que debido a los progresos de las ciencias psicopedagógicas contará —a veces ya cuenta- con respuesta satisfactoria. En verdad, mi experiencia perso­nal me fuerza a sentirme dichoso por los pro­gresos de la didáctica, por los progresos de los métodos que uso en mi clase. Esta situación es opuesta a las de aquellos colegas que en mate­ria de aprendizaje matemático se sienten más preocupados por los contenidos que por la metodología. Estos colegas nada tienen que discutir en clase sob.e la didáctica; su constan­te y exclusiva preocupación spn los programas. No advierten la singular importancia que tiene la didáctica cuando se trata de dirigir un aprendizaje matemático.

Otra fuente de confusiones en la etapa ac­tual reside en el conflicto abierto entre la estructura formal de las lecciones y la necesi­dad de desarrollar en el alumnado un recto y vigoroso espíritu investigador, polémico. Sólo en un clima con espíritu de polémica activa, de intensa actividad investigadora, con la didácti­ca del discovery, se puede alcanzar un conoci­miento científico auténtico. Todo empeño docente que favorezca el predominio del pro­ceso verbal sobre el investigador termina en fracaso rotundo. Esta es nuestra opinión, que la experiencia nos diga que esta didáctica sea siempre practicada. Pese a todo, seguimos creyendo que este método es el exacto y por ello consagramos bastante de nuestro tiempo a proyectar lecciones estructuradas, en las que los alumnos son conducidos en el proceso del aprendizaje por la experta mano del docente.

Los frecuentes errores conducen a las com­plejas situaciones de todos conocidas. No es

verma I

que seel juego inoperante, la faramalla del alumno.

El docente debe analizar cuidadosamente la naturaleza del concepto exacto de las tareas que propone a los alumnos así como las habi­lidades específicas de conducta necesarias para el éxito del aprendizaje. Los tests de diagnósti­co que se empleen al comienzo dei curso nos pondrán en condiciones de determinar el perfil de rendimiento de cada alumno en lo que se

RICARDO PONS (España)

Un viaje al Canadá en el mes de enero no presenta demasiados alicientes turísticos ser la belleza de la inmensidad de las planicies heladas o el poder comprobar cóma el hombre se acomoda a todas las condiciones climatoló­gicas, y la sorpresa de que quitarse los zapatos antes de entrar en una casa no es privativo del Japón. Pero es durante el curso, y no durante el hermoso y a veces bastante caluroso verano canadiense, cuando funcionan las escuelas y el profesor Dienes y su equipo están en plena tarea. Por otra parte, debía elegir un período alejado de la iniciación y no demasiado cerca­no a los exámenes. Debía también asegurarme la continuidad de la presencia del profesor Dienes, cuyo programa anual de viajes equivale casi a un par de vueltas al mundo.

Así, cuando los niños catalanes jugaban con los juguetes que les habían traído los Reyes, los niños de Sherbrooke podían ver la nueva cara de un señor venido de España, la tierra de los castillos, para su mentalidad francesa.

Ya que hemos mencionado el francés, una observación acerca de la lengua que se habla en Québec: no se sorprenda nadie al llegar allí, aunque haya estudiado francés en la Sor- bona, si no entiende a los francocanadienses. El francés popular -y el de los niños lo es como el que más— tiene gran cantidad de ar caísmos y una "música" muy distinta a la del francés del Barrio Latino o de la "rive droite". Es cuestión de unos días de adaptación, inclu­so para los franceses que visitan Canadá.

Otro de los problemas de mi estadía, que determinaba gran parte de mi actividad, fue el intensísimo frío. Ante la absoluta imposibili­dad de caminar por las calles, mucho debí agradecer al profesor Dienes y a sus colabora­dores, que facilitaron mis movimientos al "Centre de Récherches" o a las escuelas pilo­tos; me recogían'y me llevaban en automóvil, e incluso tenían la gentileza de invitarme a almorzar en repetidas oportunidades cuando la pausa del mediodía era demasiado breve para las distancias a recorrer.

El "Centre de Récherches en Psicomathé- matiques" de la Universidad de Sherbrooke

ocupa el tercer piso del edificio residencial de profesores. En el mismo edificio está el centro de cálculo, con un ordenador IBM 360-30. Dirige el "Centre de Récherches" el profesor Zoltan Paul Dienes, nacido en Budapest, que pasó sus años infantiles en Hungría, Austria y Francia; se doctoró en matemática en la Uni­versidad de Londres y fue profesor en la Uni­versidad de Leicester, donde su interés se deri­vó de la matemática pura a las cuestiones lógicas y la psicología, especialmente los pro­blemas cognoscitivos. Trabajó después en Harvard, Adelaida y Columbia hasta que en­contró en Canadá el ambiente adecuado para sus investigaciones. Como colaboradores, apar­te la correspondencia y contacto con las uni­versidades de Harvard, Florencia, Leicester, Standford, Budapest y Londres, entre otras, tiene un equipo permanente de tres secretarias que hace posible la extraordinaria fecundidad de la producción literaria de este hombre. Asi­mismo, en el campo propiamente técnico, tra­bajan con él el profesor Dieter Lunkenbein, de la Escuela Normal de Friburgo, Alemania, el señor Eckehard Otto, maestro alemán conoce­dor de sus métodos, el señor Bela Parkanyi, la señora Mézard, el señor Graham Cantieini, el señor Pequegno y posiblemente otros que no tuve el placer de conocer.

Sherbrooke es una ciudad de unos 80.000 habitantes sita a unos 150 kilómetros de Mcn- treal y a unos 60 de la frontera estadouniden­se, estado de Vermont. La población es fran- cocanadiense en un 80 por ciento y, aún cuando los guías califican a la población como bilingüe, el uso del inglés es casi prácticamente nulo si se excluyen sectores muy limitados de la población anglofila. Pese a ser una ciudad de reducido número de habitantes tiene la im­portancia de una capital, con estación propia de televisión, mucha industria, mucho comer­cio y dos universidades, una estatal y una au-

P* Agradecemos al señor intendente del Casal de Ca­

taluña, señor Francisco Javier Soler Jordana por la traducción de este artículo publicado originalmen­te en catalán por la EDITORIAL TEIDE, de Bar­celona, España.

a no

refiere a habilidades y conceptos. A medida que se perfeccionen nuestro conocimiento de la capacidad real del alumno, los programas tendrán en cuenta las posibilidades reales de cada docente. Los alumnos serán informados acerca de su capacidad y de su evolución. La motivación será de nivel elevado.

Creemos que, de esta manera, resultará un poco más previsible el progreso en el aprendi­zaje y confiamos en que los lectores aprecien cuán distinto es proporcionar al alumno infor­mación fascinante y útil en lugar de decirle que han obtenido tres en la escala decimal de observaciones.

I

Esto, naturalmente, dista mucho de lo que se hace a diario, una semana tras otra, en las clases y laboratorios corrientes, aunque no nos cabe duda de que lo que hoy se hace difiere bastante de lo que se hacía hace algunos años. Hoy, con programas nuevos y nuevas didácti­cas, estamos liberando a los alumnos de la tiranía del libro de texto, de la tiranía del pizarrón, de la tiranía de su pupitre. Ya son hoy una realidad la libertad de movimiento y la libre discusión. Por ello, deseamos que se consolide y generalice este movimiento de re­forma porque estamos en apoyo de lo moder­no frente a lo tradicional. El radar fue descu­bierto porque su necesidad se sintió previa­mente. Lo mismo ocurrirá con los programas de aprendizaje individual que serán desarrolla­dos cuando se sienta su necesidad. Toda didác­tica basada en el dogma del conocimiento común y del método igual para todos será sos­pechosa por estar basada en la muy falsa ¡dea de la’ igualdad psíquica de los seres humanos. Por tal razón, la enseñanza tiene que indivi­dualizarse tanto en contenidos como en didác­tica.

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correspondiente al curso, y a eila se trasladan los materiales necesarios.

En los dos casos, desde hace poco tiempo, se sigue un programa estructurado del que existen fichas aparecidas en las últimas publi­caciones del profesor Dienes. Pese a ésto, los métodos gozan de gran agilidad y tiene mucha influencia la iniciativa del maestro.

Los materiales didácticos son variadísimos: los bloques lógicos y los bloques multibase ocupan el lugar principal, sin excluir el uso de regletas, tarjetas con dibujos, palitos, soldados de plástico y cualquier otra cosa que se pueda imaginar.

El profesor Dienes tiene habilidad para sa­car insospechado provecho de cualquier mate­rial que llegue a sus manos. En una ocasión presencié un hecho probatorio de lo que estoy diciendo: la señora Mézard había ideado un aparato para representar los bloques lógicos mediante luces que se encendían o apagaban con interruptores. Dienes tomó el aparato y, al cabo de unos minutos, servía para describir la estructura de un grupo isomorfo en un gru­po de transformaciones que se estaba estudian­do en aquel momento.

Las clases difieren mucho con la edad. Con los más pequeños, la maestra sigue siendo la protagonista, pese al trabajo en equipo. Su in­tervención tiene por objeto despertar interés de acuerdo con la edad de los niños. Recuerdo a la maestra del primer curso de la "Ecole Sainte Famille" que explicaba a los niños el funcionamiento de los "operadores". Uno de los niños (la máquina) aportaba un aro por el cual pasaban los demás niños de la clase. Al pasar cada uno le tiznaba la nariz con una tiza. Se trataba de una máquina para "tiznar la punta de la nariz". Luego, el aro era soste­nido por otro niño y se le quitaba un zapato a cada uno de los que iban pasando. Los peque­ños trabajan también en equipo, sobre grandes fichas de cartulina o en ejercicios preparados previamente en la pizarra, como, por ejemplo, la distribución de los bloques en forma de ár­bol.

La visita a las clases del profesor Dienes es todo un espectáculo. Los niños lo quieren sin­ceramente porque Dienes quiere a los niños. Y no se crea que el profesor es siempre un hom­bre asequible. Sus múltiples ocupaciones hacen que muchas veces sea muy difícil entrevistarlo, inclusive para sus mismos colaboradores, los cuales lo quieren a pesar de esto porque saben que es un genio y lo respetan como tal; saben también que su seriedad de algunos momentos no influye en el afecto que les profesa ni en la confianza que deposita en ellos. Con los niños, el profesor Dienes es siempre que hombre que ríe con risa franca, como también suele ocu­rrir con los mayores, salvo en algún momento de mucha concentración mental. No he llega­do a comprender la dificultad encontrada por mí, y también por sus colaboradores, para lla­mar a la puerta de su despacho, en tanto que los niños sienten por él una inclinación y una ausencia de barreras psicológicas verdadera­mente notable. Dienes recorre los grupos o equipos y se interesa por el trabajo de los ni­ños haciéndoles preguntas sobre posibles situa­ciones del trabajo que están realizando y ensa­yando alguna nueva idea relacionada con el mismo. Señalemos que los niños son muy sus­ceptibles al hecho de que visite todos los equi­pos sin olvidar ninguno; de otro modo se sen­tirían defraudados.

En aquellos días, los "visitantes" eramos dos: la señorita Monique Bodar, profesora belga de matemática formada con Papy, ac­tualmente en la "Toronto French School", y yo. Recorríamos los grupos de trabajo tratan­do de estar lo más cerca posible del profesor Dienes. Algunas veces, por no volvernos pesa­dos, los recorríamos por nuestra cuenta.

En ocasiones, puuimos comprobar que ios niños razonaban tan rápidamente sobre cues­tiones que previamente juzgáramos difíciles al estudiar las fichas, que llegamos a la conclu­sión de que nada se puede considerar difícil a priori en un método activo bien estructurado.

Cuando el profesor Dienes visita una escue­la, al término del horario escolar, maestros y maestras se quedan para una sesión de estudio de diversas cuestiones. Dienes aprovecha a menudo estas sesiones para proponer aspectos nuevos, que luego han de desarrollar los maes­tros, como, por ejemplo, cuentos matemáticos, posibles juegos o nuevas fichas. Algunos maes­tros -recordamos especialmente a Sor Ber-

tónoma. La universidad estatal, donde funcio­na el "Centre de Récherches", presenta el aspecto de una de nuestras ciudades universita­rias, con edificación modernísima sobre la montaña que domina la ciudad. Las distancias son enormes y toda la edificación es práctica­mente horizontal, con jardines en todas las

número de espacios verdes. Los

nardette, de la "Ecole Eymard"- son escasísi­mos colaboradores del método. Dienes lo reconoce y tiene para ellos toda clase de defe­rencias. Es admirable su respeto por todo y para todos. Como buen revolucionario, sabe esperar para no comprometer su revolución. Recuerdo una ocasión en que estaba orientan­do a una antigua maestra que hacía repetir en voz alta lo que Dienes decía a los niños. Dienes toleró este residuo de los antiguos mé­todos machacones sin inmutarse ni mostrar el menor desagrado. Una de las mejores maestras de la "Ecole Eymard" debió ser sustituida por enfermedad por una maestra que desconocía el método. Dienes, pese a la repugnancia ini­cial de la maestra, excelente cuando aplicaba otro método, consiguió con su tacto conven­cerla de manera tal que se convirtió en la per­sona más entusiasta, mostrando tanta atención en las lecciones y tanta asiduidad en la con­currencia a las mismas que todos se sintieron maravillados.

Intentaré hacer un resumen del programa de los seis primeros cursos que se siguen ac­tualmente en Sherbrooke.

casas y gran sistemas públicos de comunicación son casi inexistentes y los habitantes están supeditados

propios medios, como en tantas ciudades del continente americano. Además de las uni­versidades hay una escuela normal, escuelas técnicas, escuelas de enseñanza media y escue­las elementales, de las que nos ocuparemos principalmente. Se da el curioso hecho de que el equipo Dienes esté integrado por personas de diferentes credos religiosos siendo, por tan-

completamente aconfesional. Pese a ésto, las escuelas cuyo trabajo está más directamen­te relacionado con el proyecto son las dirigi­das por las religiosas Hijas de la Caridad de Nuestra Señora del Sagrado Corazón ("Ecole Eymard" y "Ecole Sainte Famille"), o por hermanos Maristas ("Ecole Laporte"). Por lo

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que entendí, trátase de escuelas reconocidas como públicas por el Estado. PRIMER CURSO

El plan de trabajo se distribuye de manera muy uniforme durante los días de la semana. Lunes: visita de todo el día a la "Ecole Eymard". Martes: visita de todo el día a la "Ecole Laporte". Miércoles por la mañana: sesión de "recyclage" para el magisterio de to­das las escuelas. Miércoles por la tarde: visita a la "Ecole Sainte Famille". Jueves: el profesor Dienes trabaja en la Universidad.

Las escuelas que he visitado no son lujosas. Se trata de edificios de planta baja y un piso, muy modernos, con buena calefacción y aulas muy amplias. La cantidad de alumnos es de unos 30 por clase. La distribución en los dife­rentes cursos se hace por edades y se les pro­porciona enseñanza diferenciada de la que se

. lleva riguroso control, niño por niño, de ra que, luego de los seis años de enseñanza elemental, pueden empezar lo que equivale al bachillerato español los que han superado el ni­vel exigido. Para los que quedan rezagados, existe un séptimo curso de adaptación.

La clase de matemática presenta dos moda­lidades por lo que concierne al local. En algu­nos casos hay un aula destinada especialmente a esa asignatura, y a ella se trasladan los alum­nos. En otros casos, la clase se da en el aula

Conjuntos. Pertenencia, subconjuntos, uni­verso, conjunto vacío, conjunto complementa­rio, intersección, reunión, conjunto de conjun-

/ tos.Lógica. Propiedades de los objetos, propie­

dades especiales, "siempre", "nunca", "no", conjunción de atributos, disjunción, propiedad de propiedades (en correspondencia con los conjuntos).

Relaciones. Juego libre con los bloques ló­gicos. Equivalencia, diferencia de orden entre objetos.

Espacio. Cerrar porciones de espacio. Fron­teras. Topología (interior, exterior, agujeros, etc.).

w-Jk

mane-Numeración. Las familias de conjuntos cu­

yos nombres son 1, 2', 3,... Ordenar las fami­lias "uno más", "el siguiente". Juego de agru paciones, potencias,. ..A medida que las clases progresan en edad,

el trabajo del equipo se va independizando del trabajo de la maestra, dependiendo cada vez más de fichas previamente ordenadas que los niños van cumpliendo una tras otra, siguiendo no un orden estricto para todos sino un orden acomodado a la velocidad de comprensión de cada equipo.

iSEGUNDO CURSO!

1 Conjuntos. Correspondencia entre propieda­des de objetos y propiedades de los conjuntos. Conjunción (intersección de conjuntos).

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Actualización docente o

“recyclage" (en Francia)Aritmética. División (sin presentar el algo­

ritmo}. Familia de máquinas. Cuadrado de un número. Fracciones, equivalencia, producto y cociente, suma y diferencia.

Geometría. Simetrías y rotaciones. Coorde­nadas. Concretizaciones diversas de grupos de transformaciones. Representaciones gráficas.

Lógica. Conjunción de dos atributos. Dia­gramas 'de Venn y de CarrolI con dos y con tres atributos. Arboles.

Relaciones. Repaso de conceptos adquiri­dos. Construcción de clases de equivalencia de conjuntos y de ordenación de clases. Operado­res, cadenas de estados y operadores.

Aritmética. Uso de las diferentes bases. Paso del número ordinal al cardinal. "Agregar" y "quitar". Operadores aditivos y sustractivos. Composición de operadores aditivos.

Espacio. Posición, orientación y cambios de las mismas medidas arbitrarias.

ELSA E. SABBATIELLO (Argentina)

durante todo el tiempo de duración ae la mis­ma, b) una formación continua que deberá realizarse dentro de las horas de trabajo.

Para la formación inicial recomienda el tra­bajo de grupo y los siguientes temas: Rela­ciones; Conjuntos; Leyes de composición; Es­tructuras; Construcción de conjuntos numéri­cos; Lógica; Exploración del espacio; Geome­tría por transformaciones; Medidas; Probabi­lidades y estadística.

Para la formación continua recomienda las reuniones, jornadas, cursos por correspon­dencia, emisiones televisivas seguidas de deba­tes, etc.

3. Creación de ios Institutos de Investi­gación sobre ¡a Enseñanza Matemática, (I.R.E.M.). La "Charte de Chambéry" consp dera que, siendo la experimentación y la for­mación de maestros, los dos motores de una reforma, es necesario crear organismos nuevos en los cuales se puedan estudiar todo lo rela­tivo a la reforma de la enseñanza matemática. Esos organismos a crearse serían "Les Instituts de Recherche sur Enseignement Mathématic" (I.R.E.M.)

4. Continuidad de la reforma. Los I.R.E.M. no serían organismos provisorios; su creación significa una reforma continua, una adap­tación permanente de la enseñanza a las con­diciones científicas, pedagógicas, sociales y económicas. Deben ser organismos vivos en constante mutación como la enseñanza misma, como la sociedad misma. Serían los organis­mos a nivel universitario encargados de coor­dinar la experimentación y la formación conti­nua de maestros.

La Chartre de Chambéry establece, además, que durante un período transitorio, que no debería exceder de 5 años, debía realizarse una preparación de la enseñanza.

SEXTO CURSOLa reforma de la matemática ha puesto

los profesores en presencia de una tarea para la cual no siempre, están bien preparados. Por esa razón la A.P.M.E.P. (Association des profe- sseurs de mathématiques de I'enseignement pu- blic) de Francia, que ha consagrado gran parte de su actividad a la adaptación de la enseñan­za a las nuevas exigencias de la ciencia, se ha preocupado para que la renovación de esa en­señanza sea posible mediante la actualización docente o "recyclage".

En enero de 1968, como resultado de un coloquio en Chambéry, se .elaboró un docu­mento que se conoce como "Charte de Cham­béry", el que fue presentado a las autoridades ministeriales, a los educadores, padres de alumnos y a todos aquellos que se interesan por la enseñanza de la matemática. Allí se ex­pone la necesidad de una reforma de la ense­ñanza de la matemática desde el jardín de infantes a la universidad; las posibilidades de su realización y las etapas de un plan progresi­vo para su logro.

Fundamenta la reforma de la enseñanza de la matemática sobre: a) las ideas directrices que animan la vida matemática contemporá­nea, b) los estudios psicopedagógicos que han puesto en-evidencia la importancia de los mé­todos activos y la necesidad de un accesc muy progresivo a las nociones más abstractas, c) el papel primordial que desempeña la mate­mática en la organización social y en la pro­ducción de bienes y de servicios.

Establece luego que toda reforma debe co­menzar con:

1. Una verdadera experimentación pedagó­gica organizada con suficiente amplitud en el sistema educativo (por ejemplo: desde jardín de infantes a la 2a*)f con clases de no más de 24 alumnos y en diversos medios sociocultura-

a

Lógica. Métodos de razonamiento. Valores de verdad. Cálculo de predicados.

Algebra. Cuadrado de un binomio. Trans­formaciones, homomorfismos. Ecuaciones li­neales. Polinomios.

Aritmética. División, comparación, suma, resta y fracciones. Proporciones. Fraccionarios y decimales.

Geometría. Coordenadas. Introducción al cubo. Construcción de sistemas de axiomas. Automorfismo de una estructura.

Las fichas de trabajo correspondientes a cada apartado están en los trabajos de Dienes publicados en forma condicional y sujetos a experimentación. En realidad, se puede co­menzar el trabajo de acomodación sin esperar a *que lleguen a nuestras manos los trabajos aludidos; bastan los libritos publicados en la serie "La matemática moderna en la escuela primaria". Debe tenerse presente que las exce­lencias señaladas del método Dienes no se con­siguen en un día. Debe pasarse por un duro período de adaptación y conviene comenzar por un curso, el primero, y seguir ordenada­mente. Los que tienen alguna experiencia de trabajo en equipo saben que al principio los niños se resisten a trabajar así. Se necesita mu­cho tiempo y tacto para lograr la disciplina de trabajo compatible con la disciplina escolar. En las clases que vimos en Sherbrooke, los alumnos hablan en voz baja y sólo lo necesa­rio; sólo se oye algún grito de satisfación ante una situación resuelta.

Permitidme añadir que estoy plenamente convencido que en el método Dienes, sin ex­cluir otros métodos que puedo desconocer, te­nemos una garantía matemática y psicológica avalada científicamente. La dificultad de adap­tación puede eliminarse sólo mediante nuestro trabajo, el de los maestros, en equipo y con ayuda mutua. El programa, lo han visto, es revolucionario. Pero puedo asegurarles que los frutos del trabajo son muy prometedores.

TERCER CURSO

Lógica y conjuntos. Repaso de los diagra­mas de Venn y de Carroll hasta cuatro atri­butos.

Relaciones y álgebra. Operadores de forma, color, etc.

Aritmética. Repaso de conceptos adquiri­dos. Propiedades conmutativa y asociativa de la adición, Operadores multiplicativos.

Espacio. Juegos de movimiento en relación con las estructuras del rectángulo, el cuadrado y el triángulo.

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CUARTO CURSO

Lógica. Disjunciones, implicaciones. Símbo­los. El conjunto máximo asociado a un atribu­to.

Relaciones y álgebra. Proceso de simboliza­ción de las relaciones y sus propiedades. Intro­ducción a los grupos de transformación ducto directo de los mismos.

Aritmética. Cadenas de estados y operado­res de dos entradas. Máquinas múltiples.

Geometría. Movimientos. Transformaciones. Relaciones de equivalencia y orden referentes a las medidas.

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QUINTO CURSO

Lógica. Las cadenas correctamente escritas. La combinatoria en la lógica. Métodos de ra­zonamiento. Valores de verdad.

Relaciones y álgebra. Introducción a las es­tructuras no geométricas. Operadores com­puestos, simbolismo algebraico, distributividad.

íles.

2., La formación de maestros, que com­prendería: a) una formación inicial con un •horario de matemática de tres horas semanales

* Recuérdese que en la enseñanza secundaria fran­cesa se comienza por la clase de sexta para llegar hasta la 1a y luego un curso terminal (N, de R.)t

17'K16

FunciónORGANIZACION DE UN I.R.E.M.Los nuevos programas elaborados por la

Comisión Ministerial (Comisión Lichnerowicz) han tenido hasta 1969 un período de adaptación y experimentación; a partir de 1970 los pro­gramas se generalizarán en todas las escuelas francesas de acuerdo al siguiente programa:

de sus tareas durante un año, pero continua percibiendo sus haberes. Durante ese año re­cibe una formación teórica complementaria, matemática y pedagógica; puede ser enviado en misión oficial,' dentro de Francia o en el extranjero, para tomar conocimiento de expe­riencias diversas y de trabajos originales (la misión es tomada a cargo del I.R.E.M.); puede participar en reuniones en donde se traten asuntos que podrán ser útiles para su futura actividad (problemas psicopedagógicos, diná­mica de grupos, medios audiovisuales; ense­ñanza programada, T.V. educativa); puede dis­poner, además, de toda la documentación con­cerniente a los trabajos recientes de investiga­ción en pedagogía de la matemática. Si el fu­turo "formador" no tiene experiencia en la enseñanza primaria se pone a sqj disposición toda la información posible sobre las condicio­nes de trabajo de los maestros, sus métodos.

Directorio del I.R.E.M.2 Directores.

1 Decano de Inspección General.

a) fijar las líneas gene­rales de acción de los I.R.E.M.

b) coordinar el trabajo de los diversos I.R.E.M.

c) elegir el personal a destacar a "medio tiem­po" en los I.R.E.M.

Organismo nacional a nivel ministerial y de enlace con las direcciones del I.P.N.

1. Documentalista. 1 Secretario.

Septiembre 1969 1970

2e.1e.

1971 C.P. Terminal1972 C.E.1

C.E.2C.M.1C.M.2

197319741975 Terminal1976Dirección de un I.R.E.M.

Un Consejo de Adminis­tración:Rector (Presidente) Director I.R.E.M. (Vi- ce-P—Administrador.•• Un Consejo de dirección pedagógica y científica:Un representante del C.P.R.C)Un representante del I.P.E.S.C*)Un representante de Es­cuelas Normales.Un representante del 1er. Ciclo.Un psicólogo.Un representante C.R.D.P.C”)Un representante de los equipos de la formación continua y de experimen­tación.

Organizar y dirigir la formación continua de los maestros de todos los ni­veles en la Universidad.

Un I.R.E.M. por Univer­sidad. 1980 2e

1982 Terminal

A la fecha funcionan en Francia 3 I.R.E.M., el de París, el de Lyon, el de Estras­burgo; se trata de lograr nuevas creaciones. La organización de los mismos se presenta en el cuadro de la página 18.

Para informar a los maestros y profesores en ejercicio, para aconsejar a los que participan en las experiencias, los I.R.E.M. disponen de medios suficientes: personal y crédito. Para ca­da zona geográfica, el I.R.E.M. posee un equi­po de "formadores" y un presupuesto propio que asegura las funciones a cumplir; dichas funciones están determinadas y fiscalizadas por las personas y las instituciones que cons­tituyen el I.R.E.M.

La elección de los profesores "formadores" se realiza en el seno de I.R.E.M. La función de cada uno de ellos puede ser diferente, pero no trabaja sólo sino en equipo. Puede partici­par como a) guía de una experiencia pedagó­gica; b) en la formación continua de maestros;c) en las reuniones sobre el trabajo realizado;d) puede asistir a clases de matemática y to mar eventualmente la conducción de las mis­mas.

etc.Organizar y dirigir la

investigación en las clases experimentales.

Status de Instituto de Uni­versidad

Al terminar el año de estudio el futuro "formador" debe presentar un informe sobre su trabajo personal, experiencias y cuestiones relativas a la enseñanza de la matemática a nivel de su investigación.

Durante su actividad como profesor for­mador, continua su trabajo bajo diversas formas: puede participar en una experiencia de investigación en una clase; puede recibir un complemento de formación teórica sobre las cuestiones que trata el programa del año si­guiente; asiste a reuniones de confrontación de experiencias; redacta documentos, fichas de trabajo y eventualmente guiones para T.V.; participa con el psicólogo en el control de las evaluaciones y tests sobre la experiencia que realiza.

Para la creación del equipo de "formado- res" se tomaron las convenientes medidas ad­ministrativas que facilitaron la misión de los I.R.E.M. en sus relaciones con ios estableci­mientos administrativos.

La formación de maestros y profesores está incluida dentro de las horas de su quehacer normal; esto supone que dos tardes, al menos, están disponibles para su perfeccionamiento (una de las tardes, que puede ser un sábado, será destinada a su reunión con el equipo del establecimiento.) Esto naturalmente ha exigido las medidas administrativas necesarias para su realización, pero este esfuerzo ha permitido en el lapso de pocos años la actualización exitosa de muchos docentes franceses.

a) Organizar la audi­ción colectiva de emisio­nes televisivas.

b) Dirigir los semina­rios en los diversos centros de la Universidad.

c) Experiencias en las clases.

d) Publicación de do­cumentos relativos a la formación continua, a la preparación de las expe­riencias e informes de las experiencias.

*.

Un documentalista. Un secretario.

1Equipo de conducción de las experiencias.

Equipo de formación con­tinua.

i__ 1 Un "formador" debe ser voluntario y tener experiencia pedagógica como enseñante así co­mo una preparación científica suficiente; pue­de ser miembro de la enseñanza superior, pro­fesor de enseñanza media, profesor de escuela normal, profesor de colegios de enseñanza su­perior; maestros; consejero pedagógico; inspec­tor departamental.

Todo candidato a "formador" es separado

PUBLICACIONES

(*) C.P.R. Centro Pedagógico Regional.(**¡ hp-E-S- Instituto de Preparación al Profesorado Enseñanza Secundaria.

I ) C.R.D.P. Centro Regional de Documentación Pedagógica.

í

18

19

í

.Ii

Dproblemas ensamientos de una PedagogoTemas y2. Publicamos a continuación algunos pro*

blema’s, naturalmente algo más complejos, que remite nuestro consecuente colaborador,

el destacado profesor Francisco La Menza son los siguientes:

a) Resolver en números naturales la ecua­ción indeterminada

L. GOLOVITCH (Bélgica)

1. Publicamos los temas de exámenes cua­trimestrales de segundo año tomados en escuela normal de esta capital por la profesora Yolanda Mazzantini de García.

Primer cuatrimestre.a) Construya un rectángulo dadas las dos

diagonales de 7 cm. cada una y el ángulo que forman de 60°.

b) Defina por extensión el conjunto A de todos los segmentos de la figura (son 10). Es­tudie en A la relación "es congruente con".

c) Dibuje el centro y los ejes de simetría del rectángulo.

d) Si la superficie del rectángulo es de 369,21 m2 y ]a base de 18,3 m, calcule la altura con error <0,1. Dé el resultado con no­tación científica.

e) Calcule el perímetro del rectángulo su­poniendo que las medidas son 0,3 y 0,12.

f) En x2 — 1 = 9/16 calcule x.

Segundo cuatrimestre.a) Construya con regla y compás el trián­

gulo abe dados be =10 cm., ba = 8 cm. y ac = 6 cm. Trace la circunferencia que pasa por b, a y c.

Según su figura, ¿puede explicar por qué < bac es recto.

b) Trace bm bisectriz correspondiente a < abe. Se le dice que am/ab = mc/bc. Si am = x; me = y; ab = 8 cm; be = 10 cm., cal­cule x e y.

c) Considere triángulos rectángulos con un cateto constante de 8 cm. y haga variar el otro de 2 en 2 cm desdé 2 cm hasta TO’ cm. Calcule sus superficies y construya la tabla de la relación "cateto (dominio)" — superficie (imagen). Haga el gráfico y diga a cuál de las funciones y = ax o xy = k corresponde.

d) De una lámina de 50 cm. por 30 cm. se quieren recortar triángulos de las dimen­siones del construido en a) ¿Cuál es el núme­ro máximo de triángulos?

e) Si la lámina de d) es de oro y se paga razón de $ 10 ley 18.188 el cm2, con un pa­garé que se descuenta 40 días antes del venci­miento al 9 % anual, calcule el descuento que sufre el pagaré.

unanos

Las grandes exigencias de toda pedagogía pueden definirse así: en primer término, des­arrollo completo del niño, el cual, aún el nos dotado —permaneciendo siempre en el plano del niño normal— encuentra su lugar en el sistema que lo forma y debe sentirse feliz en él; los estudios serán para él fuente de ale­gría que fluirá del buen éxito del esfuerzo rea­lizado y no una fuente de ansiedad casi per­manente provocada por esfuerzos cumplidos en vano. En segundo término, conviene prepa­rar a los niños de hí3y para ser los hombres de mañana, y no tan sólo los de hoy y menos aún los de ayer. Para lograrlo, la formación básica debe ser lo más general posible en el plano del pensamiento, del pensamiento lógico conceptual, como gustan decir los psicólogos.

Existen experiencias probatorias: el apren­dizaje de cualquier oficio manual es tanto más rápido cuanto mayor es el nivel de educación que la persona ha alcanzado.

Intentaremos establecer las relaciones de es­tas causas comunes con la matemática "mo­derna".

La reforma proyectada es fundamental y resultará imposible adaptarse a ella por alguna reelaboración de lo que ya existe. No pode­mos contentarnos con acortar tal capítulo, suprimir tal otro. Esto originaría una quiebra del avance diario, provocaría la rutina. (Buena parte de las oposiciones encuentran indudable­mente allí su origen.)

Algunos tanteos serán necesarios. Y esto puede parecer paradógico: un profesor que in­vestiga con sus alumnos, que incluso se equi­voca con ellos, a menudo anda mejor, desde el punto de vista pedagógico, que el profesor que se contenta con trasmitir a alumnos pasivos un saber asimilado. Por ello, la pedagogía activa cuenta con algunas posibilidades de ganar te­rreno.

de comprender las relaciones existentes entre los elementos de lo que está dado, inventar la solución y expresarla mediante la ayuda de conceptos, es necesario considerar como una aberración el hecho de admitir como natural de por sí que los alumnos que se defienden más o menos honorablemente en todas las demás asignaturas, sean nulidades completas en matemática. Comprender el texto de un autor, expresar las ideas personales según un plan lógico, son cosas que deben marchar pa­rejas con un mínimo de comprensión de la matemática, un mínimo suficiente como para no poder ser clasificado como nulidad.

Esos mismos promotores ilústranos cursos con ejemplos tomados de la vida diaria de los niños. Con ello logran que la matemática se les aparezca en su verdadera funcionalidad, co­mo herramienta para acercarse a la realidad e investigar las relaciones más generales posibles y sus leyes fundamentales, y no como una dis­ciplina creada especialmente para ellos por educadores un poco sádicos.

No contentos con hacer entrever a los ni­ños y jóvenes adolescentes la finalidad de sus cursos, nuestros matemáticos "nuevaoleros" insisten Sobre la necesidad de hacer enseñanza "activa", ésto es, de hacer que los mismos alumnos investiguen las nociones matemáticas enfrentándolos siempre con la solución de un problema, permitiéndoles los necesarios tan­teos. Como se ve, volvemos a volar en pleno corazón de una pedagogía activa. Sin insistir más sobre el simple hecho de que se retiene mejor lo que se ha investigado por sí'mismo, insistiremos sobre el interés que presenta el hábito de investigar desde el aspecto de la for­mación general; en fin, los alumnos habrán ad­quirido un método de trabajo, nada más ni nada menos. ¿Acaso no es eso lo que falta a la mayoría de los jóvenes que llegan al nivel de los estudios superiores? ¿No es esa la cau­sa de la mayoría de los fracasos?

Este método activo no sólo es más eficaz en el nivel de estudios superiores del indivi* dúo; también lo es en su vida de adulto, de hombre del mañana. Dejemos la palabra al

me-

+ yn = zn + >/\n>1

Probar que tiene infinidad de soluciones.b) Demostrar que la enésima potencia de

un número natural A>1 es una suma de ené­simas potencias de otros, para cada n>1

c) Resolver con números naturales el sistema

xn

i

x3 + y3 + z3 = t3 x2 + y2 + z2 = 101

y demostrar que tiene una única solución.3. Un lector anónimo nos envía estos dos

problemas extraídos del Journal de Maihéma- tiques élémentaires, año 94, No. 2, del 15 de octubre de 1969.

a) Un conjunto E tiene una estructura de grupo por una ley * de composición interna.

Si a E E, a*a = a2,

y en forma general

i

r

a*a*.. .*a = an,

mostrar que si se tiene

a SE, bGE, (a*b)2 =a2‘b2

el grupo es conmutativo.Razonando por recurrencia, probar .que en­

tonces se tiene:

(a*b)n = an * bn

b) El conjunto E tiene n elementos.1o. Calcule el número N de las leyes de

composición interna que es posible definir en ese conjunto.

Casos particulares: n = 2 y n = 3. En el pri­mer caso dar la tabla de cada una de las leyes posibles.

2o. Entre las N leyes obtenidas, cuál es el número N' de las que son conmutativas.

Caso particular: N = 2.

i Los promotores de esta matemática nueva están realmente conmoviendo una "fortaleza", es la almohada de la pereza, como la llama el profesor OSTERRIETH, la tan mentada joro­ba de la matemática. Si entendemos que la inteligencia lógico conceptual es la posibilidad

a

y

20i».21

I'las ideas particulares que quien haya recibido

preparación inversa.Se ha enunciado otra objeción: la experien­

cia realizada no ha abarcado a un número su­ficientemente grande de individuos como para que se la pueda considerar valedera. Esto, in­fortunadamente, es verdad. La división de la enseñanza en Bélgica no favorece de ningún modo experiencias pedagógicas estadísticamen­te valederas, y no es probable que esto cambie

rápidamente. Se podría, eso sí, subrayar

escribió en su ORIENTACIONprofesor OSTERREITH, que obra "Faire des adultes" un capítulo consagra­do a la inteligencia: "El niño debe aprender a reflexionar por sí mismo, a pensar por su pro­pia cuenta antes que a repetir las informacio­nes recibidas o a reproducir la gama de solu­ciones del todo imaginadas por sus predeceso­res. Porque el mundo de mañana será un mundo de problemas más complejos que exigi­rán soluciones nuevas".

una

i Estructuras algebraicas.

Lie. RAUL A. CHIAPPA (Argentina)

muyque el programa vigente no había sido experi­mentado antes de su adopción. La pedagogía experimental, más moderna que dicho progra­ma, ha descubierto sobre todo sus defectos, pero, ¿no ha podido nunca descubrir cualida­des?

El contenido del programa de la nueva temática es, a nuestro modo de ver, "más inte­ligente" que el programa de la matemática tra­dicional, justamente porque asigna más im­portancia a la investigación de las relaciones y mucho menos —netamente— a los principios. Conduce a nociones más generales y, además, ¿no suprime las murallas que existían entre las diversas ramas de la matemática?

ma- ;:

GRUPO a j (b j c) = (a j b) j cAxioma 3 (de existencia de neutro): Existe

en G un elemento e tal que cualquiera sea a en G se cumple

Los grupos son una de las más antiguas y ricas estructuras algebraicas; en especial, los "grupos finitos" son fundamentales en teoría de ecuaciones y los "grupos de transforma­ciones" desempeñan un papel principal en el concepto de geometría según F. Klein al redu­cirla al estudio de los invariantes bajo transfor­maciones de un determinado grupo.

Es inmediato que los conceptos vistos ante­riormente son generalizaciones del grupo que definiremos a continuación y que, por lo tan­to, las propiedades válidas en ellos también

No qüedan, pues, más que las experiencias realizadas sobre pocos alumnos, las que han probado que todo alumno que fracasaba en matemática presentaba, por lo menos algún otro fracaso en otra asignatura y, además, que el proverbial hastío hacia la matemática que se manifestaba en la mayoría de los alumnos era reemplazado por un atracción real, lo cual, pe­dagógicamente, es muy importante.

El nuevo programa no es, por supuesto, la panacea pedagógica. Si la enseñanza secundaria es lo que es, vale decir, de estructuras total­mente inadecuadas, el edificio no cimbraría mucho por un solo nuevo programa. Esto se podrá lamentar, pero esa es la realidad. Prisio­neros de esa estructura envejecida, ciertos pro­fesores temen en la realidad no poder obtener del nuevo programa todo lo que se podría obtener y temen también recaer en un nuevo formalismo —lo que, de cualquier manera, se­ría menos anquilosante que seguir con el pro­grama anterior

Para emprender algo, ¿será necesario espe­rar la gran reforma en gestación desde hace veinte años por lo menos? Hay quien lo cree así. No estamos entre ellos. Pensamos que esas necesarias reformas muy bien pueden nacer antes de que se produzca la completa reestruc­turación de la enseñanza. Y pensamos asi, muy simplemente, porque, a semejanza del médico, no podemos concebir que no se cuide a un enfermo porque éste corre el riesgo de morir de otra cosa.

Y también porque los matemáticos conven­cidos de la necesidad de modificar la enseñan­za de la matemática no podrían sino aumentar las filas de los que quieren modificar de arriba a abajo toda la enseñanza.

eja=aje=aAxioma 4 (de existencia de simétrico):

Cualquiera sea a en G existe un elemento a' tal que

:El niño de seis años, que había comprendi-

la columna de cálculos 4+1,do que en 5 + 1, 6+1, 7 + 1, ..., se trataba de la rela­ción "+1" no podía creer que fuera bueno concluir toda la columna porque "todo era la misma cosa". Muy por lo contrario, puesto que se partirá de la relación "+1", él es quien ha de establecer su serie de cálculos para así

a j a' = a' j a = eEjemplos:1) Conjunto de enteros (racionales, reales,

complejos) con adición.2) Conjunto de enteros (racionales, reales,

complejos) no nulos con multiplicación.3) Conjuntos de reales -{1;—1 j- con multi­

plicación.4) Conjuntos complejos -f 1 ;¡;— 1;—i J- con

multiplicación.5) -f G; j j- supuesto que G = a,b j- y j

dada por la tabla

valen en un grupo.DEFINICION 1. Diremos que -j G;T } es

un grupo si y solamente si es un mono ¡de con neutro todos cuyos elementos son sime- trizadles.

Obsérvese que, como consecuencia de las distintas denominaciones dadas a veces a un mismo concepto, en el libro de H. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra (3), se define como grupo a un semigrupo con neutro y en el cual todo elemento es regular. Destaquemos aquí que la noción de regular dada en (3) coincide con la de simetrizable y no con la definición que hemos dado en "Operaciones binarias".

poder dar vía libre a su inteligencia.Se trata, pues, de pedagogía activa en la

que el alumno aprende por sí mismo, a su ritmo, en donde, por lo tanto, el éxito está al término del esfuerzo. Es, pues, un llamado permanente a la inteligencia cuyo resultado ha de ser una formación general realmente enri­quecida, una mejor preparación para el futuro: todo ello no puede sino provocar la entusiasta adhesión de una pedagoga.

Ciertos opositores del nuevo programa insis­ten sobre el hecho de que no prepara a los que se encaminan a los estudios politécnicos, que nada de esta nueva matemática ha apareci­do en el plano de las realizaciones técnicas. Esta argumentación es muy poco convincente desde el punto de vista pedagógico. ¿Por qué querer someter a toda una población escolar una formación general menos buena para que algunos puedan seguir estudios politécnicos? ¿Por qué no se ha de comprender que sobre la base de una formación inteligente puede agre­garse, para quienes lo deseen, una información preparatoria para esos estudios bajo la forma de un nuevo curso optativo? En el campo in­telectual, quien haya sido adiestrado en ideas generales podrá pasar con la mayor facilidad a

bT a

ba a

b b aSe deja que el lector verifique la equivalen­cia de* la Def. 1 con la siguiente:

DEFINICION 2. Diremos que el conjunto no vacío G admite con respecto a la operación binaria interna j una estructura de grupo si y solamente si se verifican los siguientes axiomas:

Axioma 1 (de clausura): Cualesquiera sean los elementos a,b de G existe en G un elemen­to (único) c tal que:

6) Todo monoide de un único elemento.7) Conjunto de rotaciones de igual centro y

cuya amplitud está dada por un real arbitrario con operación de composición de funciones.

8) Id. ejemplo 7 pero con las amplitudes dadas por racionales.

9) Id., ejemplo 8, pero suponiendo que los racionales son de la forma p/2 (p, entero).

10) Conjunto de pares de reales -{a1;a2 } con adición tal que (a2 a2) j (bt b2) = (ai + + bj; a2 +b2).

a

t

a j b = cAxioma 2 (de asociatividad): Cualesquiera

sean los elementos a,b,c de G se verifica

i 22 23

i

de la operación a cierto elemento, el grupo se dirá cíclico y dicho elemento (no necesaria­mente único) se dice generador del grupo.

En el ejemplo 3, el real -1 es generador; en el ejemplo 4 son generadores los complejos i y -i.

(d) Sí y solamente si cada elemento es si­métrico de sí mismo (aja = e)( el grupo se dirá booleano.

Así ocurre en los ejemplos 5, 6, 11, 12.(e) Según que la operación que define

sobre G una estructura de grupo se indique aditativamente (+) o multiplicativamente (•), se dice grupo aditivo o multiplicativo, respectiva­mente.

En tales casos, el neutro(e) se dirá cero(O) o un¡dad(1), y el simétrico de x(x') se dirá opuesto de x(—x) o inverso de x(x_1), res­pectivamente.

Al adoptar la notación multiplicativa suele omitirse el signo que denota la operación.

(f) En los grupos aditivos se conviene en indicar a + (—b) más brevemente con a — b, y en grupos multiplicativos abelianos en lugar de ab’1 = b-1 a puede ponerse a/b.

11) Conjunto de partes de un conjunto con diferencia simétrica (A A B) = (A U B) O (A O

12) \ R +} siendo R: \ 0;1,} y -I- dada por la tabla

da: procediendo en forma análoga se demues­tra la ley cancelativa a derecha.

Queremos ver que de

i) de a'jx = e resulta x = (a’)' y e = (a*)' Además, por Ax. 3, a es solución de

a' y a = e'

Luego, por unicidad de la solución: a— (a')'ii) De e' t x = e' resulta:

x = (e')' y e' = e x e’ = e'Además, por Ax. 3, e es solución de e' y x = e'. Luego, por unicidad de la solución: e = e'.

iii) Verificando en (a j b) 7 x — e que b' 7 a' es solución, y como además

x = (a 7 b)' 7 e = (a 7 b)' resulta, por unicidad de la solución:

(a 7 b)' = b' 7 a'

La propiedad cancelativa (a derecha, a iz­quierda) válida en todo grupo permite dar la siguiente definición equivalente a las dadas anteriormente:

DEFINICION 3. Diremos que { G,y> es grupo sí y solamente si es un mono ¡de tal que para cada par de elementos a y b existe por lo menos un elemento x y un elemento y tal que a 7 x •- y 7 a = b.

Que la Def. 2 implica la Def. 3 es conse­cuencia inmediata de lo visto antes.

La recíproca resulta de considerar las ecua­ciones para el caso a = b y para el caso b = e (suponiendo que e es solución de a y x = a.

Veamos ahora como la definición por recu­

rrenciavalores naturales de n, se puede extender en los grupos al caso de valores enteros.

Definiremos para ello:

B). a y x = a y x i se deduce x = Xj, es decir, que se puede "simpli­ficar a izquierda" por a (cualquiera sea a). Resulta así porque todo elemento de un grupo es regular (véase Operaciones Binarias), para ellos vale la ley cancelativa.

0 1-I-

0 0 1 En efecto como, cualquiera sea a, existe a' (simétrico de a), de a y x ~ a y xj resulta

1 1 0a' y (a y x) ~ a' y (a 7 xj)

de donde, por el Ax. 2, Ax. 4 y Ax. 3 resulta13) 7! R, + J- siendo R: t\ 0;1;2j* y+

dada por la tabla x = Xi

Obsérvese que de a y x = y a no puede deducirse x = Xj excepto en el caso de los grupos abelianos.

G.Pp.3. En todo grupo G,y;}, cuales­quiera sean los elementos a,b, la ecuación a y x = b admite solución única.

Que admite solución se demuestra, pues x = a' 7 b satisface a la ecuación planteada, y que dicha solución es única resulta de la ley cancelativa a izquierda.

Nótese que si el grupo es aditivo (multipli­cativo) la propiedad vista permite afirmar la posibilidad de "restar a izquierda" ("dividir a izquierda") siempre, pues:

de a + x = b resulta x = — a -\- b,y de a . x = b resulta x = aG.Pp.4. Idem a G.Pp.3 para la ecuación

x y a = bEn este caso valen observaciones análogas a

las hechas anteriormente, considerando "dere­cha" en lugar de "izquierda".

De G.Pp.3 y G.Pp.4 resulta que en todo grupo aditivo (multiplicativo) siempre puede "restarse a Izquierda y derecha" (id. "divi­dirse"), pero sólo en grupos abelianos puede "restarse" ("dividirse") cada par de elementos a,b, pues sólo si la adición (multiplicación) es conmutativa puede afirmarse que a — b = - b + a (ab-1 = b_1 a = a/b)

20 1-I-

0 0 1 2

21 1 0

2 2 0 1

14) Conjunto de las transformaciones biu- nívocas de un conjunto A con la operación de composición de funciones PROPIEDADES IMPORTANTES

DE LOS GRUPOS. I(f og) (x) = f(g(x) )■ t

G. Pp.1. El neutro del grupo y el simétrico de cada elemento están unívocamente determi­nados.

Obsérvese que no es ejemplo el conjunto de los naturales con adición ni el de los racionales con multiplicación, pues en tales casos no pue­de afirmarse la existencia de simétrico para todo elemento.

Recuérdese que:(a) Sí y solamente si la operación es con­

mutativa el grupo se dirá abeliano (conmutati­vo). Verifiqúese que el ejemplo 14 conmutativo.

(b) El grupo se dice finitofinfinito) si el conjunto de elementos sobre el cual está defi­nido es finito(infinito). Además, si el grupo tiene n elementos, diremos que el grupo es finito de orden n.

Los grupos de los ejemplos 1 y 2 son infi­nitos y los de los ejemplos 3,5 y 12 son fini­tos de orden 2. El ejemplo 14 corresponderá a un grupo finito sí y solamente si A conjunto finito; si A tiene n elementos, el gru­po será de orden ni = n(n-1)(n-- 2)... 3, 2,1.

(c) Sí y solamente si todo elemento del grupo puede obtenerse por aplicación reiterada

t -1 . b

de ¡ an hecha en los monoides paraSuponiendo que e' y e" son neutros, es cla­

ro que:

e' = e' y e" = e", de donde e' = e"

Suponiendo que a' y a" son simétricos de a, sabemos que Ta-=fTV.)

Tan =eT"an =T a*"

ya si n > 0no es

a"ya = a'ya = e si n = 0de donde resulta que

(a" 7 a) 7 a' = (a' y a) y a' o bien, por el Ax. 2:

si n < 0

(a' simétrico de a)

Las anteriores convenciones se expresan en notación aditiva por:

na = (n — 1)a + a na = 0na = (-n) (-a)

y en notación multiplicativa por

an = a0"1 an = 1 an = (a‘,rn

a" y (a y a') = a' y (a y a') y, en consecuencia, por el Ax. 3

a"ye = a'je

G.Pp.5. En todo grupo G,y} valen las siguientes igualdades:

(a')' = a; e' = e; (a y b)' = b' y a'

Para la demostración, basta considerar ecua­ciones de la forma p -I- x = q adecuadamente elegidas y recordar la unicidad del simétrico (G.Pp.1) y de la solución de dicha ecuación (G.Pp.3).

n > 0 n = 0 n < 0

es un res decir

I a" = a’\\ G.Pp.2. En todo grupo vale la ley cancelad-

va a izquierda (a derecha).Demostraremos la ley cancelativa a izquier-

n > 0 n = 0 n < 0

. a

24 25

i

■ ?

Resulta claro que cada sustitución del con­junto 1,2,3 corresponde a un movimiento que autosuperpone el triángulo dado, y recí­procamente.

La siguiente correspondencia permite inter­pretar "en términos de movimientos" la tabla calculada.

a: rotación de centro 0 y amplitud 2zr/3en sentido antihorario,

b: rotación de centro 0 y amplitud 47r/3 en sentido antihorario,

c: simetría con respecto al eje p, d: simetría con respecto al eje q, e: transformación identidad, f: simetría con respecto al eje r.Es importante observar que sobre cualquier

conjunto no vacío se puede definir la transfor­mación identidad y que, en consecuencia, so­bre cualquier conjunto no vacío puede definir­se por lo menos un grupo de transformaciones (bi unívocas).

Al elemento 1 le corresponde 3 por d, y éste queda invariante por f; al elemento 2, in­variante por d, le corresponde el 1 por f; al elemento 3 le corresponde el 1 por d, y a éste el 2 por f.

En consecuencia, la composición d.f asigna a la terna (1 2 3) la terna (3 1 2) en ese orden. Vale decir, d.f coincide con la permutación b (d.f = b).

La posibilidad de definir a para valores entero de n permite extender al caso de "po­tencia entera" las propiedades vistas en los monoides para "potencia natural":

del conjunto, las operaciones consideradas, diremos brevemente que G es un grupo, sin mencionar explícitamente la operación para la cual ello se cumple.

Entonces, dado el grupo G(G = { Gj'} ), diremos que G' es subgrupo de G sí y sólo si la restricción de j a los elementos de G' esta­blece sobre G' una estructura de grupo.

Ejemplos:a) Enteros pares con adición, es subgrupo

de los enteros con adición,b) Complejos de módulo unidad con multi­

plicación, es subgrupo del grupo multiplicativo de los complejos,

c) En el grupo de las sustituciones del con­junto de tres elementos (de las simetrías del triángulo equilátero) considerado anteriormen­te, el subconjunto determinado por (e,a,b) (transformación identidad, rotación 2tt/3 y rotación 47r/3).

Es inmediato que todo grupo G admite 2 subgrupos triviales, el propio grupo G y el que se obtiene al elegir como subconjunto G' al conjunto unitario determinado por el ele­mento neutro de G(G' = { e } ). Los grupos que sólo admiten dichos subgrupos se denomi­nan simples.

(T.") T ( T>) -T.m+ n

Recordemos que es válida sólo en grupos abelianos (para n entero):

T,:TW=(T".¡,fnn) Daremos a continuación la tabla de la ope­ración de composición para nuestro caso. A manera de ejercicio, se sugiere al lector que verifique sobre dicha tabla la validez de los axiomas y las propiedades de los

Un ejemplo sumamente importante de la noción de grupo lo constituye el denominado grupo de transformaciones, que se obtiene al considerar el conjunto de transformaciones biunívocas definidas sobre un dado conjunto arbitrario (no vacío) y la operación de compo­sición de funciones

grupos

b d fe a c;b d fe e a c • i

b d fa a e c(f.g) (x) = f (g(x) )

b b f de a cVerifiqúese que el elemento neutro de di­

cho grupo es la transformación identidad (l(X) = X) y que los elementos simétricos son las transformaciones inversas: f, f1 (y = f(x) x = f1 (y))

Para el caso especial en que se consideren transformaciones definidas sobre un conjunto finito, suele denominárselo grupo de sustitu­ciones y es fácil verificar que este grupo, defi­nido sobre un conjunto de n elementos, es de orden ni

Para fijar ideas, veamos con cierto detalle el grupo de sustituciones de un conjunto A de tres elementos.

Sea A = 1,2,3 .Las seis (6=3! ) permutaciones (sustitucio­

nes) que es posible considerar sobre A están indicadas por los siguientes pares:

El grupo de transformaciones admite, en general, distintos subgrupos, y es precisamente el estudio de las distintas propiedades invarian­tes por transformaciones de un grupo determi­nado lo que lleva al concepto de geometría según F. Klein. En especial, al considerar transformaciones sobre conjuntos en los cuales se han definido los conceptos de alineación, de distancia, de ángulo, etc., cabe el estudio de subgrupos que conservan determinadas ca­racterísticas de las figuras.

Así, por ejemplo, en la geometría euclidia- na se pueden estudiar las propiedades de las figuras que se conservan invariantes bajo tranformaciones del

Grupo lineal (transformaciones lineales biu- n ívocas) ;

Grupo de rotaciones (rotaciones de centro común);

Grupo de traslaciones (traslaciones);Grupo afín (traslaciones, transformaciones

lineales (biunívocas) );Grupo homotético (homotecias de centro

común);Grupo de movimientos rígidos (rotaciones,

traslaciones);Grupo euc/idiano o de isometrfas (rotacio­

nes, traslaciones, simetrías);Grupo de semejanzas (homotecias e isome-

f d bc c e ad d f bc a e

f f b bc a e8 iObservemos que el grupo obtenido es iso-

morfo con respecto al grupo de simetrías (movimientos rígidos) que permiten superpo­ner un triángulo equilátero consigo mismo.

Consideremos para ello un triángulo equilá­tero de vértices 1,2,3 y con ejes de simetría p.q.r.

1

!Los. ejemplos dados (3; 5; 12; 13) son gru­

pos simples; además los ejemplos dados (5; 12) son isomorfos.

El siguiente teorema da un criterio cómodo para reconocer si G' es subgrupo de G.

Por definición, G' es subgrupo de G sí y solamente si G' es grupo, vale decir, si sus elementos satisfacen los Ax. 1, 2, 3, 4.

Es inmediato que el Ax. 2 (asociatividad) se cumple, suponiendo que G es grupo, cual­quiera sea G', subgrupo de G.

Además, como es único el elemento neutro en G, para verificar que pertenece a G' bastará demostrar que todo elemento de G' tiene su simétrico en G' y que, además, se satisface en G' el axioma de clausura.

En consecuencia, dado el grupo G, si para los elementos de G' (G' incluido en G) se veri­fican los Ax. de clausura y de existencia de simétrico, puede afirmarse que G' es subgrupo

■vI

»f,ii

^123 1 23 1 23(231 Ke = a =1 23 3 1 2

/ 1 2 3C=(

\ 1 32

1 23 1 23

\ 2 1 3

-(

V32 1f

.Debe entenderse, por ejemplo, que la susti­

tución d asigna al 1 al elemento 3, al 2 lo dej invariante, y al 3 le asigna el 1. .

La operación de composición (aplicaciones sucesivas de las permutaciones) la ejemplifica­mos con d.f.

j de G.f La validez de la afirmación recíproca es in­mediata y permite enunciar la siguiente propo­sición:

A) Dado el grupo ¿ G,Tf}. para que -{G',T> (G'C G) sea un subgrupo, es ne-

ai trías).*

Recordemos, por lo ya dicho, que aun cuando un grupo (lo mismo que otras estruc­turas) sólo queda definido si se dan, además

ij J

2726

j

:f*ny

e) las n-cuplas reales a — (ai a2 ... ,an) a.^j __ i 2..., n) con adición definida pora + b = c si c¡ = a¡ + b¡{¡ =? 1,2,.. .,n).

f) los pares de reales (a; b), a =£ 0, y ópera- definida por (a; b) j(c; d) = (ac;

¿Para sirve la

Matemática?'cesar ¡o y suficiente que ios elementos de G' satisfagan los Ax. de Clausura y de Existencia de simétrico.

La condición anterior puede enunciarse en forma equivalente mediante la siguiente propo­sición:

ción T bc + ad).

g) las funciones con valores reales definidas mismo dominio con la adición

f + g = h, siendo h(x) = f(x) + g(x).h) las matrices de reales A = (a¡j) de orden

n; j = 1,2,. . . m) con la

8) -f G ',j J- es subgrupo del grupo '{G,t } (G' < G) si y solamente si cualesquiera sean los elementos (a,b) de G' resulta que a jb' pertenece a G'(b' simétrico de b).

La equivalencia de ambas proposiciones resulta de las siguientes consideraciones:

1. La proposición A implica la proposición B (inmediato)

2. La proposición B implica I? proposición

isobre un

T. J. FLETCHER (Inglaterra)m < n (i = 1,2

adición A + B = C definida por c¡j - a,j -{- b¡¡.i) Id. al e), g), h) suponiendo en vez de

reales que los elementos son de un grupo adi-Debo comenzar explicando las razones del

título, porque quizás no son las que Uds. pu­dieran creer. Hace un tiempo me pidieron un título, antes de que decidiera qué ¡ría a de­cir. Ahora bien, deseaba servirles una comida reciérr hecha y no una preparada hace mucho tiempo y luego recalentada, de modo que lo único posible era dar un título de objetivos muy vagos y generales y esperar que lo que dijera concordara de alguna manera con ese título.

Me he preguntado si debía tratar la gran estrategia o pequeños puntos tácticos. Acaso Uds. estén aguardando algo inspirador sobre propósitos o política general, pero estoy cada vez más desilusionado acerca de esa clase de charlas, y aunque quizás debiera ocuparme más de estrategia educativa que de táctica en esos tiempos, mi índole es tal que lo que me produce mayor satisfacción son las maniobras tácticas.

Por ello, parto promoviendo cuatro cuestio­nes que tengo en la mente en este momento y que me gustaría haber discutido con ustedes de sobremesa y en grupos pequeños si hubiera tenido oportunidad de hacerlo; son cuestiones para discutir y no tengo respuestas definitivas. Como éste es el último punto de la conferen­cia y aún no es tiempo para continuar las dis­cusiones como quisiera, puesto que yo he planteado las cuestiones, también indicaré cuál podría ser mi actitud al comienzo de la dis­cusión. Pero cuando se realicen las discusiones, muy bien pueden persuadirme de que cambie de opinión.

Cuando visito escuelas, la gente comienza frecuentemente a hablar de matemática "mo­derna". Ahora bien, moderno ¿aún significa. sigo? Seguramente, este término ha acumu­lado tantos significados que ya no ayuda a la discusión; luego ¿no podríamos estimular a la

gente a encontrar un grupo de términos que digan lo que se desea con mayor precisión?

La segunda cuestión que deseo plantear es: ¿hay un núcleo central, una unidad, una línea de desarrollo, o lo que Ud. quiera, en la ma­temática? Crecí con la convicción de que la matemática era una disciplina, y la mayoría de los matemáticos que conozco parecen pensar de esa manera.. Cuando voy a las escuelas, a menudo veo una proliferación de detalles, muchos de los cuales parecen ser sólo anécdo- ticos, y existe un sentimiento de inferioridad ante cualquier desarrollo encadenado del tema. ¿Es igualmente valiosa toda la actividad mate­mática? Si no lo pensamos así, entonces, ¿cuáles son nuestros criterios sobre el valor de la matemática?

Hace algunos años, algunos luchamos por dar a lo moderno una oportunidad (y ahora uso el término en su sentido histórico). En ése momento, las nuevas ideas eran muy recha­zadas sobre la base de que eran demasiadas y difíciles. Ahora el problema es diferente pues mucha gente ha comprendido cuán fácil es to­do eso, pero no han comprendido qué es lo que lo ha vuelto fácil. Lo hacen, pero no sa­ben la finalidad de lo que hacen.

Recientemente, han aparecido algunas pu­blicaciones que a algunos les pueden parecer de crítica a un grupo general de ideas que ustedes apoyan. Creo que algunas de estas críticas están sólidamente argumentadas, con evidencias que las apoyan, y deberían ser obje­to de una consideración apropiada. Hay mu­cho pensamiento que no es limpio en esta cuestión, y cuando la crítica se dirige contra

il tivo.2. Demuestre que el conjunto de clases de

enteros congruentes, módulo n, con operación de adición, forman grupo.

Recordemos que a^b (módulo n), signifi­ca que a — b es múltiplo de n y que si desig­namos con a la clase de los enteros congruen­tes (módulo n),'la adición está definida por a + b = c con c = (a + b) (módulo n).

3. Demuestre que el conjunto de clases de enteros congruentes, módulo n, con multipli­cación, determinan grupo si se supone que n

A.(i) Suponiendo a — b, resulta que el neutro

(e) de G pertenece a G\(¡i) Dado b en G', como e pertence a G',

eligiendo a = e resulta eyb' = b' que es elemen­to de G'.

(¡ii) Dados a;b en G\ sabemos por (¡i) que b' está en G', y entonces, por hipótesis, aj(bY es elemento de G\

Sabemos, además, que en G (y lo mismo en G'): b = (bT; puede entonces afirmarse que ajb pertenece a G\

1:es número primo.

4. Demuestre que:a) el único elemento ¡dempotente

(a y a) - a de un grupo es el neutro.b) cualquier grupo contiene como subgru­

po al grupo cíclico generado por cada uno de sus elementos.

c) todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

i• ■.

Ejercicios.1. Verifique si determinan grupos:a) los enteros pares con adición (multipli­

cación).b) los enteros impares con adición (multi­

plicación).c) Los racionales con adición (multiplica-

i>fj

ción).f !d) por isomorfismo, se conservan neutro y simétrico (si existen).

e) los elementos de un monoide con uni­dad, que son simetrizables, determinan grupo.

c) los racionales con adición (multiplica­ción).

d) los irracionales con adición (multiplica-ción).,

NUEVA DIRECCION DE

®§f(SIFI©I ©1 Máf,i

Paraguay 4629 ■ 6° A Buenos Aires

República Argentina

• Este artículo del renombrado pedagogo y matemá­tico inglés publicado en Mathematics Teaching, nú­mero 49, otoño de 1969, aparece hoy en versión castellana de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

I29

28

1

su eficiencia en una muestra de texto, pode­mos argüir que encontrando 72 errores, proba­blemente pasó por alto cierto número puede calcular y seguir el trabajo a partir de ese resultado. Pero, ¿cómo podemos probar A con un trozo de texto corriente? Basta pro­barlo con el conjunto de errores descubiertos por B. Sabemos que B encontró 94 errores, de los cuales A halló 51. Por tanto, admitiendo que detectaron ios errores independientemen­te, A halló errores con una eficiencia de 51/94. En total encontró 72 errores. Por lo tanto, si hay realmente n errores en el texto es, razonable conjeturar que

51/94 n = 72Luego n = 72 X 94/51 = 133 (aproximada­

mente).Es una confirmación consoladora llegar al

mismo número partiendo de B y determi­nando su eficiencia sobre el conjunto de erro­res detectado por A.

En total fueron descubiertos 115 errores, y así conjeturamos que aún pueden quedar 18.

Como cuestión posterior para que Ud. la investigue: ¿Qué conclusión puede obtener cuando hay tres lectores?

Este cálculo ha empleado —digámoslo de paso- la ahora bien conocida fórmula

n (A U B) = n (A) + n (B) - n (A D B)Me parece de poco valor emplear este fór­

mula en forma aislada. Sólo adquiere la signifi­cación que tiene en el álgebra abstracta si, a través del tiempo, se Ja reconoce como perte­neciente a una familia de fórmulas relaciona­das entre sí, tales como

área (A U B) = área A + área B - área (A n B) prob (A U B) = prob A + prob B - prob (A O B)

máx (a, b) = a + b - mín (a, b) mcd (a, b) = a X b: mcm (a, b)

La fórmula para el área se empleará ahora para resolver algunos problemas acerca de las ventanas de las iglesias.

Ventanas de iglesias

¿Cuál es el área total de la fig. 1?El área de cada sector = 7r l2/6El área del triángulo equilátero = 12MPor tanto, el área total

7T l2/6 + 7t!2/6 -\/T 12/4 = l2 (4 7T — 3>/3)/12.

Un cálculo similar permite calcular el área en el fig. 2 hallándose

Estas son mis cuatro cuestiones generales. En el resto de la conversación, disfrutaré dis­cutiendo cuestiones matemáticas particulares. ¿Para que sirve la matemática? Para tratar esta pregunta, debemos encararla con mucha simpatía y aún estimularla en la clase si deja de aparecer. Como respuesta parcial, sugeriría

el estudiante de matemática necesita de vez en cuando observar a alguien que resuelve un problema que merece respeto, y que tiene claramente algunos puntos de interés para la gente del mundo exterior. Hay muchas otras cosas que el estudiante también necesita hacer, pero como resultado de mis observaciones, esa vitamina particular falta con demasiada fre­cuencia de la dieta de la clase. Me propongo dar algunos ejemplos de lo que entiende por eso.

el, la apoyo ¡aún cuando esos pensadores crean que están pensando como yo!

La tercera cuestión está realmente dirigida a mi mismo. ¿Estoy insatisfecho con el pro­greso actual en la enseñanza de la mate­mática? La respuesta es que sí lo estoy. El avance del conocimiento puede tener un efec­to decisivo en la sociedad. El avance de la riqueza de la sociedad no puede admirarse totalmente, sin reservas, y yo creo que el avance cfel conocimiento plantea problemas similares, más sutiles. No me gusta el estado de cosas en que la brecha entre docentes espe­cialistas y otros hombres y mujeres educados, es tan amplia que resulta imposible la comuni­cación. La brecha, aún más amplia, entre el hombre bien educado y el mal educado, me angustia tanto como lo anterior, pero me. sien­to impotente frente a este problema más grande, y por el momento estoy restringiendo mi atención a los problemas en que siento que puedo establecer alguna pequeña diferencia.

Como profesor de matemática, creo que es parte de mi tarea reducir la presente brecha entre el avance del conocimiento matemático y el conjunto general de hombres educados, y es obvio que ésto no se puede hacer tratando de disminuir el ritmo a que se están haciendo los descubrimientos recientes. No creo que estemos reduciendo esta brecha, y por ello me siento insatisfecho. Ahora sólo me esfuerzo por aclarar las causas de mi insatisfacción y por explicar los objetivos a que apunto, pero si cuando me retire, la brecha es tan amplia como cuando comencé, entonces considero que nuestra generación ha fallado en una tarea importante. Por estas pautas, creo que la gene­ración anterior falló, aunque entonces el pro­blema era menos evidente; hoy creo que tam­bién nosotros estamos fallando.

Mi cuarta cuestión es bastante corta y con­cierne al entrenamiento de los que están en la tarea. He oído emplear muchas veces estas palabras, y aunque estoy seguro que ellas apuntan a algo de gran importancia que se debe hacer, pregunto si ellas comunican o no Ia necesidad existente de oportunidades para que los maestros continúen progresivamente su educación a través de los años. Quisiera saber si Uds. están o no de acuerdo con esto y qué otras oportunidades creen que necesitan los maestros.

que se

a

que

I2 (12-2 7r-3VT)/12

De la misma manera, es fácithallar el área u de la fig. 3:j I2 (tr - 2)12

Ud. puede hallar el área y y el áreaz, ambas de la fig. 4.

!yv /

Lectura de pruebas x1 A yUn clisé de algunos nuevos programas dice

más o menos ésto. Un investigador de merca­do preguntó a 150 hombres y halló que 72 gustan de la cerveza mientras 94 gustan de los cigarrillos, y de éstos, 51 gustan de ambos. ¿Cuántos no gustan de ninguna de las dos cosas?

¡ / ii

i Tig. 4i

Tamaños de papelEl siguiente problema se refiere a los tama­

ños del papel. ¿Cuál es el tamaño adecuado para un pedazo de papel? Así planteada, esta cuestión es demasiado vaga, pero si considera­mos el problema que afrontan los fabricantes, podemos ser capaces de formularlo con más precisión. Un fabricante de papel lo encuentra más conveniente si se pueden producir tama-

!

I- Si la solución de este problema se piensa rutinariamente y para ser aplicada mecánica­mente, entonces queda muy poco por decir. Como situación para discutir e investigar, es algo completamente distinto. Pero en lugar de tomar partido en este caso, consideremos una variante. Soy un impresor y he pedido a dos hombres que lean una prueba.

Uno encontró 72 errores y el otro 94; de ellos, 51 fueron descubiertos por ambos. ¿Cuántos errores no fueron descubiertos por ninguno de los dos?

Esta es una cuestión práctica. Son los erro­res de una prueba que no fueron hallados por los revisores los que causan al impresor la mayor perturbación. La discusión saca a luz la conclusión obvia de que no podemos resolver la cuestión en la forma presentada y sobre la base de los datos proporcionados. Pero debe­mos razonablemente preguntarnos cuántos errores no detectados pueden esperarse con los datos proporcionados. Es razonable considerar esto como una cuestión de probabilidad.

Un diagrama de Venn puede ayudarnos en el pizarrón, pero lo omitiremos aquí. Es razo­nable preguntar cuál es la eficacia del primer hombre. A, para hallar errores. Si conocemos

1.,i■

:

i: 1

Fig. 5ño» comunes más pequeños recortando tama

más grandes sin desperdicios.ños comunes También podemos requerir que los tamaños más pequeños sean de forma similar a los ta-

!

imaños mayores.

Esto conduce a una pregunta formulada . precisión. ¿Qué forma debe tener un rec­

tángulo si los rectángulos que se obtienen cortándolo en mitades deben ser de la misma forma que el rectángulo original?

coní

Fig. 3Fig. 2i

3130

i

L.

Esto está claramente resumido por la fór- todas sus partes tan importante como una dis­cusión algebraica.

Si las dimensiones del original son x:1 en­tonces, las dimensiones de la hoja mitad son 1:1/2x y por tanto

x:1 = 1:yx

Ahora bien: obviamente nos ayudará a di­bujar el lugar geomético el reconocer lo que

•será antes de comenzar. De ese modo, los ma­temáticos estarán en ventaja porque de inme­diato verán que el lugar geométrico es...?

"Bien, supongamos que BD certa a Ov en A".

"¿Sí? ¿Y entonces?"¡Oh! Entonces DA = DO y P resulta

efectivamente un punto del segmento AB de longitud constante. Tenemos un trozo de elip­se. El lugar geométrico de P es una elipse".

Esta es una respuesta correcta y podemos dar otro argumento basado aún más estrecha­mente en la figura inicial.

Sea < BOD = 0, OD = 1 y DP = m. Enton­ces, las coordenadas de P son

x = (1 + m) eos 0; y = (1 - m) sen 0Haciendo 1 + m = a y 1 - m = b, vemos

que las coordenadas de P son de la forma (a eos 0, b eos 0 ) lo cual verifica que el lugar geométrico es una elipse. / 7

muíadist. para detenerse = x + x2/20 (en pies) Materiales de construcción

siendo x la velocidad en millas por hora.¿Qué consecuencias tiene ésto en el flujo

del tráfico? Considérese una fila de vehículos, cada uno de 20 pies de largo. Entonces, , si ellos circulan de modo que cada uno pueda detenerse en la distancia que ocupa el ve­hículo precedente, una situación que da segu­ridad teórica y que evitaría el apilamiento de los coches, se obtendrá cuando el espacio

las narices de dos coches consecutivos

Este problema procede del Building Bu He tin No. 42, publicado por el Departamen­to de Educación y Ciencia. Es una práctica de la edificación proyectar con componentes de tamaño ordinario cuando sea posible. Si cierto material se puede conseguir en dos longitudes a y b, entonces ¿qué longitudes se pueden for­mar con ellos? Esto equivale a determinar cuáles longitudes son expresables en la forma ma 4- nb donde m y n son enteros positivos o cero.

x2 =2modo la longitud debe ser \/2 vecesy de ese

la anchura.Supongamos, luego, que elegimos como

tamaño común más largo un área de un metro cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener esa hoja? Si la anchura es b y la longitud b \/~2, entonces

b.b \f~2 = 1 b2 = \hJT

y de ese modo la anchura es 1/fy§~ m =841 mm, y el largo es \f~2 m = 1189 mm

Esto conduce al siguiente orden de tama­ños, indicados con las letras de código usadas para denotarlos:

entre está dada por

20 + x + x2/ 20 pies.

En un segundo cada vehículo recorre 88x/60 pies, de modo que el número máximo de vehículos que pueden pasar por segundo por un punto dado está dado por

La clase puede disfrutar con un pequeño experimento. Es del máximo interés cuando a y b son enteros. Digamos a = 4 y b = 7. Pode­mos formar longitudes

4,7,8,11,12,14,15,16,18.19,20,. ..Si a = 5 y b = 6, podemos formar fácil­

mente210 A1189 A 88x/60 88/60N ~ —50 20 + x + x2 760 20/x + 1 + x/20¡48 A841 A 5,6,10,11,12,15,16,17,18,20,21,. ..

Parece que podemos formar cualquier longi­tud después de cierto punto. ¿Siempre es así? Si a = 4 y b=6 es obvio que sólo podemos formar longitudes pares; y de ese modo resulta claramente evidente dividir cualquier factor común que puedan tener a y b y adoptar una unidad de longitud más larga.

¿Cuál es la regla cuando a y b son primos entre sí?

El experimento determinará ej valor — pero ¿puede Ud. probarlo?

Abriendo una puertaUna reciente cuestión de dibujo técnico se

indicó de la siguiente manera; .

y J\

61 Para que N sea máximo es necesario que a 20/x + 1 + x/20 sea mínimo.A105594 A

72A74420 A

— + 1 +83 + 32052297 A x4 Fig. 7

Podemos ahora observar que en realidad la manija sale de la puerta en lugar de estar exac­tamente en la línea DB. ¿Cuál es entonces el lugar geométrico?

Supongamos que Q es un punto fijado rígi­damente sobre DB, pero que no está en la línea recta DB. Prolongue DB hasta C de mo­do que DC = DB = DO

Entonces, D es el centro de una circunfe­rencia que pasa por C, B y O. Por tanto:

< COB = 1/2 < CDB = constante

Pero ésto significa que cuando la puerta abre y cierra, C se desliza por una línea fija que pasa por O; de esa manera se puede pen­sar que Q está en la mitad DC de una puerta "imaginaria" que justamente se está moviendo como ODB en el primer caso. El lugar geomé­trico de Q es también una elipse, con centro en O, pero esta vez con el eje mayor sobre OC en lugar de OB.

Resulta, como corolario, que todos los puntos rígidamente ligados a la barra deslizan-

Iy esto tiene su valor mínimo cuando

V X V 20

Esta ordenación de tamaños se ha emplea­do comúnmente en Alemania durante algún tiempo, donde se la llamó serie DIN A, y se está volviendo común en Gran Bretaña. Para los exámenes de dibujo técnico se exige A2, y ésto significa que muchas escuelas de todo el país se encontrarán con mesas de dibujo de­masiado pequeñas. Deberán ser reemplazadas gradualmente en los próximos años.

Flujo del tráficoEsta tabla ha de ser familiar para todos los

que hayan estudiado el código de caminos.Velocidad

(millas . por hora)

, •

o sea cuantío x = ¿u.Por tanto, nuestro cálculo muestra que, se-,

gún esas hipótesis, el flujo máximo de tráfico que pasó por un punto dado, se puede lograr con seguridad cuando los vehículos se.mueven a 20 millas por hora.

Si los vehículos no son de 20 pies de largo sino de otra longitud, digamos I pies, entonces resulta fácil modificar el argumento para mos­trar que la velocidad crítica está dada por x = \/20 I.

Incidental mente, esto implica que en esas circunstancias debemos pedir a una fila de vehículos más largos que se muevan más rápi­do que a una fila más corta. ¿Concuerda esto con la apreciación de su sentido común?

Si se emplea este ejemplo en clase, la discu­sión de las hipótesis y la interpretación es en

V/tk

| oDistancia Distancia

para frenar para detenerse (pies) (pies)

Distanciaestimada

(pies)!

0 ■>

1 í 15510 10 Fig. 6ODB es la puerta plegadiza de un ómnibus.

Gira sobre una bisagra en O y en D y B se desliza sobre una ranura Ox. OD = DB. Di­buje el lugar geométrico de la manija P de la puerta.

¡ 20 4020 20i 30 45 7530

40 80 12040• • 50 125 17550i 60 180 24060!

i: 32 .33|i

1:

Idel lado del cuadrado circunscrito, luego se mueve alrededor de una pequeña curva hacia el próximo lado del cuadrado, y así sucesiva­mente. En efecto, cuando el movimiento se cumple las únicas partes del cuadrado que no están cubiertas por la rotación son las peque­ñas partes sombreadas en cada rincón, (fig. 9)

Si las partes de la rotante curva de Reu- leaux son eliminadas para obtener un borde

entonces tenemos la base para el di­

conscientes de la programación lineal, pero algo del conocimiento de esa disciplina, tal como aparece en gran número de compendios corrientes, proporciona los principios que per­miten que algunas de las operaciones de los levantadores de apuestas se comprendan muy rápidamente, cuando probablemente el levan­tador de apuestas llega a esta comprensión como consecuencia de un período mucho más largo de experiencia práctica.

Recientemente (mayo de 1969) hubo lucha por el 1er. puesto de la cuarta división de la Liga de Fútbol. Darlington, Bradford City y Southern eran los tres contendores. El que es­tuviera al tope sería promovido. En cierto tiempo, los levantadores de apuestas estuvie­ron ofreciendo ventajas de 5-4 sobre Dar­lington, pariedad sobre Bradford, con 5-1 sobre Southend.

Consideremos el resultado de apostar x uni­dades a Darlington, y a Bradford y z a Southend.

Si Darlington vence recibimos de vuelta nuestras x unidades más 5x/4 pero perdemos y + z. De modo que sí queremos obtener un provecho, debemos tener

5x/4 > y + z

De la misma manera, si deseamos obtener un provecho venciendo Bradford, debemos tener:

te (como AB en la fig. 6) también tienen una elipse como lugar geométrico. Para los objeti­vos 'de la enseñanza vale la pena planear ésto como ejemplo separado, desarrollando la fig. 0 como se desarrolló la fig. 7 y hallando las dos ranuras, OC, y una línea perpendicular, según los cuales se delizan los tramos "imaginarios". Mediante estas ranuras se pueden hallar los ejes de los lugares geométricos.

Haciendo un agujeroSi damos a los alumnos libertad para entre­

tenerse con los compases, sabemos que la mayoría producirá una conocida pieza del folklore matemático, un modelo de flor de seis pétalos entrelazados. La forma de la Fig. 8 aparece repetida muchas veces en ese mode-

y*10n

8 ■

y^5r-4y>46 -<1 .

2 •i

Tí 8cortante,seño de un barreno para abrir agujeros cuadra­dos. Este barreno deja pequeños trozos en los rincones los que se sacarán con una lima. De paso, digamos que hay un pequeño problema: el triángulo de Reuleaux no gira alrededor de un eje fijo durante el movimiento y debe en­contrarse algún medio mecánico para forzarlo en forma adecuada; será necesario un mandril

una F»g. 10mente lo que se habría esperado, no hay ñera de hacer apuestas de modo de vencer pase lo que pase. Sin embargo, algunas perso­nas pueden inclinarse a declarar que un equipo determinado no tiene ninguna posibilidad y distribuir sus apuestas entre los otros dos. Si Ud. cree que puede despreciarse las posibilida­des de Southend ¿cómo puede distribuir sus apuestas entre Darlington y Bradford de modo de estar seguro de obtener provecho si vence alguno de ellos? ¿Qué haría si estuviera dis­puesto a despreciar las posibilidades de Dar­lington o las de Bradford?

Obsérvese que el levantador de apuestas debe arreglarse para estar en los costados no sombreados de las líneas donde los signos de las desigualdades están invertidos, y hay una parte del diagrama en la cual se interceptan esas tres regiones. Debe estar seguro de obte­ner provecho cualquiera sea el resultado, pero sólo lo logrará si tiene una distribución del dinero de las apuestas correspondiente a un punto de esta región triangular. Por esta ra­zón, un levantador de apuestas debe estar pre­parado para "rechazar apuestas", ésto es, re­chazar apuestas a favor de alguno si un equipo ha recibido muchas apuestas. En la vida real, por supuesto, ésto es complicado por la mane­ra en que las posibilidades pueden cambiar con el tiempo, pero ignoraremos ésto aquí. |

ma-

a

lo.de diseño especial.

Como ejercicio final, se pueden calcular las dimensiones exactas y la forma del agujero. La trigonometría más simple, junto con los he­chos sobre el trozo de elipse dados antes son suficientes para mostrar que alrededor del 73 °/o del lado del cuadro (queda eliminado) y el 93% de la diagonal. Las piezas de los rincones están limitadas por arcos de elipses cuyos centros están sobre rincones opuestos del cuadrado.

Queda para el lector el problema de calcu­lar los ejes mayor y menor de la elipse.

i

Se trata de una curva de amplitud constan­te denominada a veces curva Reuleaux. Es muy fácil mostrar que si es "encerrada" entre cualquier par de líneas paralelas, entonces es­tas dos líneas están siempre separadas por la misma distancia, no importa cuál sea su direc­ción. Esta distancia de separación es igual ál radio del compás inicialmente. Se deduce que la curva encajará estrechamente en un cuadra­do (fig. 9); o bien, dicho de otra manera, si

1I

í y>x + zApuestasAntes de dar los detalles del ejemplo, algu­

nas observaciones sobre ei tema de la enseñan­za de "aplicaciones de la matemática", que, tal como yo los veo, pueden ser apropiadas. Si sólo estamos intentando enseñar a la gente las ¡deas matemáticas que pueden emplear en su vida laboral, enseñaremos muy poco, porque mucha gente usa sólo muy poca matemática en toda su vida. La justificación de la enseñan­za de la matemática, y de otras materias, debe ser investigada con más amplitud, pues el obje­tivo de la educación no es meramente equipar al alumno para que haga su propia vida sino equiparlo también para comprender la vida de otras personas. Este argumento justifica a la matemática sobre la base de que permite com­prender con mayor prontitud las diversas ges­tiones que se cumplen en el mundo que nos rodea. El siguiente ejemplo se refiere a apuestas y al negocio de llevarlas. No sostendremos que los levantadores de apuestas son exponentes

y si vence Southend:

5z > x + yPor supuesto, no esperaremos que los pre­

cios nos permitan vencer cualquiera sea el re­sultado, pero investigaremos la posibilidad.

Se trata de un problema de programación lineal, en tres dimensiones, pero si deseamos expresarlo en forma que pueda ser manejado por las técnicas que estamos enseñando ahora en las escuelas, debemos trabajar con z= 1. (Esto equivale a tomar las intersecciones del modelo total con un plano en el espacio.) Ahora, el problema es si podemos satisfacer simultáneamente:

\t

I

Oarlinqion

Xyi

Fig. 9comenzamos con el cuadrado e introducimos la curva en él, entonces rotará de manera bas­tante fascinante. Un proyector adecuado facili­ta una notable demostración de esto si se emplea algo de tiempo para preparar el mate­rial apropiado.

Si investigamos un poco esta rotación, com­probamos que cada "rincón" de la curva que se mueve se desliza a lo largo de gran parte

i>x+yi-I A\\\

5x — 4y > 4, y - x > 1, x + y <5?

|i

y: ;;

En la fig. 10, se necesitan los costados som­breados de las líneas, y se ve que es cierta-

($cut*rnüiUtJü'oiu

! Fig. 11(Continúa en la pao!

1í i 35;í 34

í

1i

-

factorial de n y se representa por n! . Será, pues, por definición:

(24/6)/2 24/(6/2). Pero es creciente a dere­cha y decreciente a izquierda (esto es, el co­ciente aumenta cuando aumenta el dividendo y disminuye cuando aumenta el divisor).

10. Multiplicación en |N0. Por definición:Oxa = 0, Vae ¡N0

Con esta definición suplementaria, la multi­plicación definida en |N se extiende a |N0 y continua siendo siempre posible, univoca, aso­ciativa, conmutativa y distributiva con respec­to a la adición. Pero la propiedad de monoto­nía se altera: es claro que ahora en ¡N0 tenemos:

LO DIDACTICO

Números enteros y cálculo n! = 7Tk, v nE INk = i

9. División exacta. De la monotonía de la multiplicación se deduce, lo mismo que para la adición, la PROPIEDAD DE REDUCCION:

ac = be ^ a = b, v a,b,cG INLa demostración es del todo análoga a la

que se hace para la adición.De esto, a su vez, se deduce:COROLARIO. Dados dos números natura­

les a,n, no puede existir más de un número natural x tal que nx = a. Simbólicamente:

nx = a A ny = a => x = y (en IN)

(D

combinatorioJ. SEBASTIAO E SILVA

(Portugal)

8. Multiplicación. Ya vimos como se define la adición iterada o adición de varios suman­dos 3j,. .., an, cuyo resultado se representa

npor aj + .. .+an o por 2 a^ (siendo nE IN.

a < b => ac < be, ssi c i-- O7ra¡ (léase producto de á¡ de 1 a n)Jj = i

Obsérvese que el índice j es aquí una va­riable aparente (índice mudo), tal como en las sumatorias.

' La proposición (1) (definición) se expresa diciendo que 0 es el elemento absorbente de la multiplicación.

Consideremos ahora el problema de la divi­sión exacta en |N0: Dados a,ne¡N0, hallar x G IN0 tal que nx = a. Se deben distinguir 4 casos:

I Por otra parte, se demuestra que el produc­to de dos números naturales es siempre mayor o igual que cualquiera de los factores (igual tan sólo cuando es 1 alguno de los factores). Simbólicamente:

k-iPuede acontecer, en particular, que los n su­mandos sean un mismo número aE iN:

ak = a, para k = 1Además, por definición ita^ = a¡.

n Si a Y1 0 y n =£ 0. estamos en el caso ante­rior (en |N).

Si a = 0 y n 0, el problema es posible y determinado: x = 0.

Si a 0 y n = 0, el problema es imposible, puesto que entonces nx = 0, VxG |N0.

Si a = 0 y n = 0, el problema es posible pero indeterminado: cualquier x G |N0 verifica la condición nx = a.

11. Números infinitos. El concepto de nú­meros de elementos de un conjunto A, tal como fue definido en el párrafo 1, no se limi­ta al caso en que A es finito.

En cualquier hipótesis, el número de ele­mentos de un conjunto A (llamado también potencia de A, número cardinal de A o sim­plemente cardinal dé A, se designa con la no­tación #A. De modo que, por definición:

# A = # B => A es equipotente a BSe dice que el número de elementos de*A

es infinito ssi A es infinito. Por ejemplo, #|N es infinito.

Por otra parte, se escribe # A < #8 ssi A es equipotente a una parte de B pero no a B. Esta definición implica, desde luego, la pro­piedad antirreflexiva de la relación de <:

a <b=> a=AbHemos visto antes que la inclusión estricta

entre los conjuntos Ay B finitos se traduce en la relación de < entre números, esto es:

Lo mismo que la adición, la multiplicación iterada posee las PROPIEDADES ASOCIATI­VA Y CONMUTATIVA GENERALIZADAS.

k (1)nx > n, n,xG |NEstas propiedades nos ayudan a estudiar el

siguiente problema:Dados dos números a,nG |N, determinar un

número xG IN tal que nx = a.La propiedad (1) nos dice que la condición

a > n es necesaria para que el problema sea posible (o resoluble). Pero dicha condición no es suficiente: por ej. tenemos 5 > 3 y no existe ningún número natural x tal que 3x = 5.

Por otra parte, el anterior corolario de la propiedad de reducción nos dice que cuando el problema es resoluble tiene una solución única. En este caso se dice que a‘es divisible por n (o múltiplo de n), y el número x tal que nx = a se llama cociente exacto de a por n y se representa mediante cualquiera de las siguientes notaciones:

En este caso, la suma 2 ak se denomina\ 1

producto de n por a y se representa con n X a., n.a o simplemente con na. Se llama multiplicación a la operación que hace corres­ponder al par ordenado de números naturales n y a (factores) el número natural na (pro­ducto) .

Como la adición es siempre posible y uní­voca en IN, lo mismo acontece con la multipli­cación. Además de esto se sabe (y hemos de demostrarlo) que la multiplicación en IN es:

i. Conmutativa, ab = ba,v’a,b E IN.II. Asociativa: (ab)c = a(bc), V a,b,c, E IN.

III. Distributiva con respecto a la adición:(a + b) c = ac + be, Va,b,cE IN.

IV. Monótona: a < b => ac < be, V a,b,c E IN. De la definición también resulta que:

V. 1.a = a,'v a E IN.

Este hecho se expresa diciendo que 1 es el elemento neutro de la multiplicación.

La multiplicación iterada se define como lo hicimos para la adición. Llámese producto de n números aj,..., an (siendo n natural =£1) al número que se obtiene multiplicando a! por a2, multiplicando después a^ por a3 y así sucesivamente hasta an. El resultado fi­nal se representa con a] rrectamente, con

EJEMPLOS IMPORTANTES:I. Si los n factores ai,...,an son todos

¡guales a un mismo número a, su producto es, por definición, la potencia n de a, que presenta por an. Llámase potenciación a la operación que hace corresponder al par orde­nado (a,n) de números naturales, a (base) y n (exponente) el número natural an (potencia). La potenciación es, como se ve, siempre posi­ble y unívoca (en IN), pero no es conmutativa (por ej. 23 ^32) ni asociativa [por ej. (23)2 ¥= 3(3‘)]. Posee, sin embargo, propieda­des bien conocidas (relativas al producto de potencias de la misma base o con el misme exponente) que se demostrarán posteriormen-

II. Supongamos ak = k, para k = 1, 2,... Entonces

se re-t

I

:

te.Jj; a/n o a:n»

Por ejemplo: 6/3 = 2 puesto que 3.2 = 6.En la citada hipótesis, llámase división

exacta a la operación que hace corresponder al par ordenado (a,n) el número a/n (entonces a es llamado dividendo y n divisor). Como se ha visto, la división exacta no es siempre posible, pero cuando es posible es unívoca en lN. Agregamos que la división no es ni con­mutativa

1 2*->7Tk = 1;7rV = 1X2 = 2;•k =_i k = l

3Srk = 1.2.3 = 6;...

k = 1Por tanto, de manera general, Ttk es el pro-

kB iducto 1 X 2 X 3 X ... X n de los n primeros números naturales. Este producto se denomina

:

i.

,an o, más co- ni asociativa: por ej.

3736

<

..

!

con origen común y es, por tanto, un conjun­to infinito de puntos.

Se sabe que es posible pasar de él de mu­chas maneras al ángulo AO'B', contenido es­trictamente en el primero, por medio de una traslación; este hecho nos es sugerido intuitiva­mente por el ejemplo de una escuadra que se desliza a lo largo de una regla. Ahora bien, es fácil ver que esa traslación hace corresponder a cada punto P del primer ángulo un determi­nado punto P' del segundo y que queda esta­blecida así una correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos de puntos. Luego, el número de puntos del conjunto AOB es igual al número de puntos de una de sus partes es­trictas, AO'B'.

Recordemos que habíamos renunciado a dar una definición de "conjunto finito". Pues bien, una definición de conjunto finito, adop­tada por muchos matemáticos, es precisamente la siguiente:

DEFINICION. Se dice que un conjunto A es finito ssi no existe ninguna parte estricta de A equipotente a A.

(Se sobrentiende en esta definición que el conjunto vacío no es equipotente a ningún conjunto no vacío.)

Conviene observar desde ahora que existen diferentes números infinitos. Así, más adelante probaremos que el número de elementos de iN es menor que el número de elementos de IR (conjunto de los números reales), esto es:

cálculo combinatorio nos limitaremos juntos finitos, aunque ese estudio se pueda ex­tender a conjuntos infinitos. Comenzaremos por el caso de la unión y la intersección.

Ya hemos visto que dados dos conjuntos finitos, A y B, se tiene por definición:

# (A U B) =-- # A 4- # B, si AO B = (p

Pero si la intersección de A con B no es vacía, esta fórmula deja de ser válida. Supon­gamos por ejemplo que A representa el junto de los habitantes de una ciudad dada

Al BAA*B=>#A<#BEsto significa que el númeto de elementos

de un conjunto finito es siempre mayor que el número de elementos de una parte estricta del mismo. Este es un hecho que inducimos de nuestra experiencia cotidiana sobre conjuntos finitos y que, en lenguaje común, se expresa diciendo: "El todo es siempre mayor que cual­quiera de sus partes (estricta)".

Sin embargo, en el primer contacto con los conjuntos infinitos surge un hecho sorprenden-

a con- . n

+1 }#(A¡ A¡ Ak) — . . - +1 < i < j < k

+ (-1),rl#(AlA2...Ak).

Esta fórmula, que presentamos aquí sólo título de curiosidad, puede

aser denominada

FORMULA DE DANIEL DE SILVA, pues fue el matemático portugués Daniel de Silva, en el siglo pasado, quien la introdujo, aunque en forma distinta, en su trabajo Propiedades gene­rales y resolución directa de las congruencias binómicas: introducción a la teoría de los números.

con­

te:Si A es un conjunto infinito, existe por lo

menos una parte estricta del mismo cuyo nú­mero de elementos es igual a! de A.

Consideremos por ejemplo el conjunto ¡N y designemos con P el conjunto de los números pares positivos (2,4,6

13. Número de elementos del producto cartesiano de dos o más conjuntos. Comence­mos con un en una

). Tenemos entonces que evidentemente Pl. iN y P y= |N. Pero, si hacemos corresponder a cada número natural n el número par 2n (doble de n), de acuerdo

ejemplo simple. Supongamos que sala de baile estén 4 jóvenes, que deno­

minaremos ai, a2, a3, a4 y 5 niñas, que desig­naremos b!, b2, b3, b4, b5. Escribimos:que son empleados del Estado y B el conjunto

de los habitantes de la misma ciudad que son empleados, pero no del Estado. Entonces, A U B será el conjunto de los habitantes de esa ciudad que están empleados. Pero, en este caso, no podemos escribir directamente

# (A U B) = -A A -t- # Bpues puede haber elementos comunes a A y B, que están contados dos veces. La fórmula correcta, como es fácil de ver, será entonces

#(AUB) = A 4- # B - # (A O B)

Representando la unión A U B por A 4- B y la intersección AOB con AB, como se hace muchas veces, la fórmula anterior se escribe así:

con el esquema siguiente:A = 3l / a2 # a3, a4

bi, b2, b3, b4, b5

¿Cuántos pares diferentes se pueden formar de modo que cada par esté constituido por joven y una niña?

Claro es que aquí se pide el número de elementos del conjunto A X B. Este producto cartesiano se puede obtener como se lo hace en el siguiente diagrama, en el cual cada flecha indica un par ordenado (en primer lugar joven y en segundo lugar una niña).

¡N 1 2 3 4 . . . nlili

P 2 4 6 8... 2n...es fácil ver que queda definida así una corres­pondencia biunívoca entre los conjuntos |N y P. En efecto, a todo n E |N corresponde un y sólo un m G P, que es m = 2n. Recíprocamen­te, para todo m G P existe un y sólo un n G iN tal que 2n = m y que n =m/2.

Por consiguiente, tenemos:# P = # IN

a pesar de que P es parte estricta de iN. Aná­logamente se prueba que IN es equipotente al conjunto de los números naturales impares, al conjunto de los números naturales múltiplos de 3, etc.

Otro ejemplo. Consideremos un ángulo con­vexo AOB; éste es una de las partes en que ^ueda dividido un plano por dos semirrectas

B =.I

un

fi un:# IN < #|RI

Existen números mayores que IR, pero se presume (hasta ahora nadie lo ha demostrado) que no existe ningún número a comprendido estrictamente entre # |N y # ¡R. Por otra par­te, se demuestra que # |N es el menor de todos los números cardinales infinitos que se pueda presentar. Este número es designado con el símbolo N0 en la que el signo K es la primera letra mayúscula del alfabeto hebreo (alef).

■

#(A+ B) = # A 4- # B — # (AB)Consideremos ahora tres conjuntos finitos

A, B y C cualesquiera. Como ejercicio, de comprobar que:# (A -f- B 4 C) = # A 4 # B 4- #C — # (AB) -

#(AC) - #(BC) -f # (ABC)

caso general de n conjuntos finitos An cualesauiera. se lleaa a la fórmula

.

se pue-

12. Objetivo del cálculo combinatorio. Nú­mero de elementos de la unión de dos o más conjuntos. El cálculo combinatorio tiene como objetivo el estudio de los problemas relativos al número de elementos de diferentes conjun­tos que pueden obtenerse a partir de conjun­tos dados por medio de las operaciones lógicas tales como la unión, la intersección, la multi­plicación cartesiana, etc. En el estudio del

iEn el

A!i

ii +

0'o A I

38

—

En particular, los n conjuntos A¡ pueden ser todos un mismo conjunto A. En éste su producto cartesiano es An, y se tiene:

#An = ( # A)n

En cuanto a la propiedad distributiva es fácil ver que, siendo A, B y C conjuntos fini­tos cualesquiera, se tiene:

(A U B) X C = (A X C) U (B X C) y que si A y B son disjuntos, también A X C y B X C son disjuntos (ejemplifíquese con

A = -[ ai ,a2 ,a3 J- , B = \ b! ,b2}- Y C= -{ ci,c2,c3,c4}' )

Por tanto, si ponemos # A = m, #B = n y #C = p, se tendrá:

De manera más sistemática, los pares orde­nados se pueden obtener como se indica en la siguiente tabia de dos entradas:

aplicando los resultados anteriores ductos cartesianos.

14 Números de subconjuntos de un con­junto finito. Si A es un conjunto cualquiera designase con P(A) al conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es:

sobre pro­caso.

! EJEMPLOS:

I. Un álbum tiene tres discos, cada con las mismas 24 letras, y sólo puede ser abierto cuando se coloca una determinada le­tra de cada uno de los discos en una posición determinada. Suponiendo que se ignora esto, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar las letras de los discos en las posicio­nes indicadas?

Es evidente que las diferentes maneras de colocar /as letras están dadas por todas las ternas de letras escogidas en el conjunto de las 24 letras consideradas. Designemos con A a dicho conjunto; entonces será A3 el conjunto de todas las ternas mencionadas y, por tanto, el número pedido será

#A3 = (# A)3 = 243 = 13824

II. ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras se pueden representar con las cifras 1,3,9, en el sistema decimal?

Claro es que los referidos números, tales como 19391, 91319, 11111, etc., están en correspondencia biunívoca con las series de 5 cifras escogidas entre los tres guarismos 13,9 1,3,9. Designando con A al conjunto de estos guarismos, será A5 el conjunto de las series

' referidas y por lo tanto:

# A5 = (#A)5 = 35 = 243

III. ¿Cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden representar con las cifras 0#2,4,6,8, en el sistema decimal?

El problema es ahora algo más difícil, por­que no hay expresiones decimales que comien­cen por 0. De ese modo, designando con A el conjunto de las cifras 2, 4, 6, 8 y por B el conjunto de las cifras 0, 2, 4, 6, 8, el número pedido será:

#(Ax B3) = (#A)X (# B)3 = 4X 53 = 500

siguiente es un problema análogo:¿Cuántos números inferiores a 10000 se

Pueden representar, en el sistema decimal, con •as cifras 0,2,4,6,8?

Muchos otros problemas, pertenecientes a os dominios más diversos, se pueden resolver

Bb5b4b3b2bi uno

p( A)= \ X:XC Ai-

Entre los conjuntos pertenecientes a P(A) figuran el conjunto vacio y el propio conjunto A (recuérdese que P(A) es un conjunto de tipo 2 con respecto a A).

Cuando A es finito el recuento de los ele­mentos de A(A) puede hacerse de simple aplicando la teoría del producto carte­siano. En efecto, si fuera #A = n, podemos disponer los elementos de A en una sucesión de n elementos distintos:

ai *a2

En estas condiciones, todo subconjunto C de A puede ser definido haciendo correspon­der a cada elemento a¡ de A el número 1 o el número 0 según que a¡ <E C ó a¡£C. De ese modo, todo subconjunto C de A queda repre­sentado por una sucesión de n elementos del conjunto •{ 0,1 J- . Por ejemplo, si n = 4, las sucesiones

A

aib5ai b4ai b3aib23|ai

a2b5a2b4a2b3a2b2a2bj (m -f n) p = mp + np

Para la propiedad asociativa tenemos que recurrir al concepto de producto cartesiano de tres conjuntos. Sean A, 3 y C tres conjuntos finitos cualesquiera; ya sabemos que:

A X B X C = -[ (x,y,z): x t£ A,y e B,z e C>

Pero es claro que las ternas ordenadas (x,y,z) se pueden obtener asociando a cada par (x,y) de A X B un elemento z de C. Resul­ta así manifiestamente definida una correspon­dencia biunívoca

a2 1maneraa3bsa3b4a3b3a3b2a3bia3

a4t>5a4b4a4b3a4b2a4bja4

anComo se ve, para mayor simplicidad usa­

mos aquí la notación "aja^" para designar a cada par ordenado (aj, a^).

En cuanto al número de elementos de A X B, el cálculo es bien simple. Cada joven puede figurar en 5 pares diferentes dado que hay 5 niñas; por tanto, como hay 4 jóvenes, pueden formarse en total 4,5 pares diferen­tes. El número pedido es, por tanto, 20.

Sean ahora A y B dos conjuntos finitos cualesquiera, y sea m = # A, n = #B. Como B tiene n elementos, cada elemento de A origina exactamente n pares diferentes de AX B. Por tanto, como A tiene m elementos, m X n será el número de elementos de AX B.

• Si por lo menos uno de los dos conjuntos A y B es vacío, es claro que no se puede formar ningún par, y de ese modo AX B es también vacío. Por consiguiente, cualesquiera sean los conjuntos finitos A y B, siempre se tiene:

( (x,y),z) -* (x,y,z)

entre (A X B) X C y A X B X C, puesto que a cada elemento ( (x,y),z) de (A X B) X C co­rresponde uno y sólo un elemento (x,y,z) de A X B X C y recíprocamente, a cada elemento (x,y,z) de A X B X C corresponde de esta manera a un único elemento ( (x,y),z) de (AXB).XC. Análogamente se establece una corresponder.':ia biunívoca entre A X (B X C) y A X B X C. Por tanto, si ponemos # A =# B = n, # C = p, será

#(AX BX C) =#(AX B) X #C= (m n) p# (A X B X C) = # A X # (B X C) = m (n p) donde (mn) p = m (np). A la vez, resulta que

#(AX BX C) = #AX #BX #C Resulta claro que este resultado se puede

extender a un número natural n cualquiera de conjuntos finitos, A tendrá:

#(A! X A2 X ...X An) = #Ax X #A2 X ... X #An

o sea, en notación más correcta:

0110, 1001, 1111, 0000, representan respectivamente a los conjuntos

-{ a2 #a3 |~ • *í a 1 *a4 }■ * -( al »a2»a3.a4 J- = A, <p

Volviendo al caso general, es evidente que, por este procedimiento, queda establecida una correspondencia biunívoca entre los subcon­juntos de A y las sucesiones de n elementos de -f 0,1 J- , esto es, entre P(A) y -{ 0,1 J- n. El número de elementos de P(A) será, pues, igual al de ] 0,1 > n. En esa forma, para todo conjunto finito A será:

#P(A) = 2Este hecho lleva a algunos autores a desig-

el símbolo 2a al conjunto P(A).EJERCICIO. Calcular el número total de

relaciones binarias que se pueden definir en un conjunto finito A de n elementos. Deducir de allí el número de relaciones binarias (y, por tanto, de operaciones binarias) que se pueden definir en el conjunto -{ V.F }- de los valores lógicos. Respuestas: 2n",16.

15. Arreglos y permutaciones. Considere­mos el siguiente problema:

Disponiendo de piezas de paño de 4 colores

f

ü A#(A X B)=#A.#B

Esta fórmula es adoptada por muchos auto- res como definición del producto de números. Esta definición permite dar demostraciones intuitivas de las propiedades conmutativa y distributiva de la multiplicación. Así, para la propiedad conmutativa basta observar que haciendo corresponder a cada elemento (a,b) de A X B el elemento (b,a) de B X A, se esta­blece una correspondencia biunívoca AXByBXA, y por tanto:

# (A X B) = #(B XA] = #BX#A

i ^ nar con., An. Entonces sei.. •

I

entre #3 Aj=/ír. #A¡ j-1 1 ,j-l *

40 41

%'

:acb adc nAp = n(n — 1) (n-2)...(n-p + 1)

o, en notación más correcta:nAp=7T (n - k); (n,p G IN, p < n)

Esta fórmula se puede traducir diciendo:El número de arreglos de n elementos to­

mados de p en p es igual a! producto de p números naturales consecutivos a partir de n en orden decreciente.

Por ejemplo: 6A4 = k6 X 5 X 4 X 3,= 360

4 factores

Recordemos que el número de series con 4 elementos es 6 X 6X 6X 6= 1296. La diferencia se debe a que los arreglos son series con todos sus elementos diferentes. De modo general, dados dos números naturales, n y p, cualesquiera (pudiendo ser ahora p>n ó p<n) designaremos con el símbolo nA-p (pri­mer arreglo completo de n, tomado de p en p, al número total de series que se pueden formar con p elementos escogidos entre los n elemen­tos de un conjunto dado. Será pues:

/ abe ab \V abd

f /diferentes y deseando hacer banderas tricolo­res con rentes se podrán obtener?

Sobrentiéndese en este enunciado que dos banderas son diferentes sí y sólo si se verifica

de las dos condiciones siguientes: a) las banderas no tienen los mismos colores; b) las banderas están formadas por los mismos colo­res en orden diferente con respecto al asta. Resulta evidente entonces que el problema consiste en contar las series de tres colores diferentes escogidas entre los cuatro dados. De ese modo, si designamos los colores con a,b,c,d, las series

p (Vn.ptiN)

En la fórmula (1) puede ocurrirp. Entonces, se tiene:

nA'p = nadac ^fajas verticales, ¿cuántas banderas di fe- adbacd

(1)^ bdabea en par-bac ticular que sea/ n =bdbeba \\\ bed bdebad j= inA =ir(n-k) = nx(n -OX...X2X1 k= o

= 1 X 2 X . . .X (n — 1) x n = 7r ji = i

El producto de los n primeros números na­turales es factorial de n y se designa con el símbolo n! . Por tanto:

una p cba P oda :eabt ed\cb\” V cad

^ dabcbd cdb .

i^ dba dea/dedbda \\ dbc debdac -i

Y como, evidentemente, no puede haber otros arreglos con 3 colores, el número pedido será 4X3X2 = 24. (Recordemos que el número total de series de 3 colores es 4X4X4 = 64).

Este razonamiento puede extenderse al caso general. Dados dos números naturales n, p ta­les que p < n, el número total de arreglos que se pueden formar con p elementos elegidos entre los n elementos de un conjunto dado U, se designa con el símbolo

nAAP

nAn = nlabe, abd, dab, bea, etc.

representan banderas tricolores diferentes, tal como se pretende, en tanto que las series

aba, acc, bbb, etc.no interesan para .el problema. Ahora bien:

DEFINICION. Se da el nombre de arreglos a las series constituidas por elementos todos distintos (esto es, las series en que no figuran elementos repetidos).

Observamos que las series también son de­nominadas arreglos con repetición posible o arreglos completos.

En esa forma, el problema anterior consiste en determinar el número total de arreglos for­mados por 3 colores entre los 4 dados. Para eso comenzamos por considerar los arreglos con un sólo color que, evidentemente, son 4:

a , b, c, dObservemos ahora que se puede pasar de

los arreglos con un color a todos los arreglos con dos colores colocando sucesivamente a la derecha de cada uno de los primeros uno de los colores restantes, cuyo número es 4—1=3. De ese modo, los 4 primeros origi­nan 4X3 arreglos de 2 colores:

DEFINICION. Se llama permutaciones de conjunto finito U a cualquier arreglo pueda formar con todos los elementos de U.

El número total de permutaciones de conjunto de n elementos se representa con el símbolo Pn que se lee permutaciones de n. En esa forma

que se

un

Pn = nAn = "I

lee: número de arreglos de n elementos (Viene de la pág. 6)que setomados de p en p. Comencemos por conside-

los arreglos con un sólo elemento, escogido entre los n elementos de un conjunto U; el número de estos arreglos es, evidentemente

LA ENTREVISTA: rar

= n InA,Sea ahora k un número natural cualquiera

tal que 1 < k < p. Si ya hubiéramos obtenido todos los arreglos con k elementos y si k < p, es claro que obtendremos todos los arreglos con k - 1 elementos colocando d la derecha de cada uno de los primeros uno de los n elementos que aun no figuran en él y cuyo número es n - k. De esa manera, cada arreglo con k elementos origina n — k arreglos con k + 1 elementos, y por lo tanto

nAk+1 = nAk X (n - k)

P. ¿Qué conclusiones resultaron de la ex­periencia?

mientos. Además, el alumno siente mayor interés porque posee mayor valor humanístico y formatico, desarrolla mejor la actitud de pensar, razonar, relacionar y operar con mayor generalidad.

%R. Se puede afirmar, sobre la base de los

resultados y conclusiones citados y dadas las condiciones en que debió desenvolverse el tra­bajo, que se han obtenido excelentes frutos pues: I) Permitió actualizar los programas ofi­ciales con la seguridad brindada por la apli­cación experimental previa; II) Capacitó a buen número de profesores, que a su vez vol­caron la valiosa experiencia adquirida en cursos de perfeccionamiento para otros docen­tes o en diversas publicaciones; III) Se probó que es fundamental la conducción del aprendi­zaje con la participación activa y creadora del alumno; que la matemática actual representa un respaldo orden

il .:

P. Los Ministerios de Educación de algunas provincias han puesto en vigencia programas absolutamente renovados, incluso en la escuela primaria. ¿Qué puede decirnos a/ respecto?

ab ba f daf caa-* ac b-> be c-* cb d-* db

^ ad ^ bd ^ cd ^ de

Análogamente, podemos pasar de los glos de 2 colores a todos los arreglos con 3 colores colocando sucesivamente a la derecha de cada uno de los primeros uno de los colo­

que no figuran en él, cuyo número es 4-2 = 2. Así, los 4 X 3 arreglos con dos co­lores originan 4X3X2 arreglos con 3 colo-

t / R. ANEMS no tiene ningún proyecto espe cial con relación a las provincias. Puedo expre­sar que preferimos la diversidad y el reconoci­miento de las autonomías provinciales, dentro de ciertos lincamientos básicos de coincidencia en cuanto a objetivos, incluso propugnamos la introducción de criterios de madurez para el complejizado problema del otorgamiento de equivalencias entre distintas jurisdicciones y

* no el cumplimiento exacto del programa analí­tico de una asignatura.

k= 1,2,..Haciendo sucesivamente p — 1, se tendrá

°A2

• 9

arre- í= nA2X(n-2),..

X[n — (p — 1)J

X (n - 1); nA;j

nAP = rV.y apoyo pedagógico de primer

para el profesor pues mediante el len­guaje unificador de la teoría de conjuntos y el empleo sostenido en todos los aspectos de un criterio relacional, funcional y estructural, se posibilita

= nAi

i ■

resiDe aquí, por sucesivas sustituciones, recor­

rí - (p - D =dando que n :Ai = n y que n — p + 1, resulta finalmente

V res: . una fecunda integración de conoci-;■Ir 4342 ■

.,

.

-

F. M. HALL. An Introduction to Abstract Algebra, Volumen 2, 388 págs. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, Londres, 1969.

Este libro intenta, y a nuestro juicio lo lo­gra con amplitud, dar una amplia introducción sobre el tema del álgebra moderna; su lectura exige conocimientos matemáticos de cierta amplitud. No se trata, sir. embargo, de un libro altamente especializado, sino más bien de un libro útil para quien desee tener una noción cabal de esta moderna disciplina, especialmente para los profesores que desean auxiliarse en el desarrollo de sus clases, en ese sentido ha de ser valioso porque los conceptos están expuestos con claridad dentro de muy cuidada estructuración; no resultará fácil encontrar muchas obras que permitan como ésta partir desde el comienzo y llegar a las ¡deas más importantes y sustanciales gradual­mente y de manera lo suficientemente elemen-

sentaciones de gébraica.

Una obra

grupos y anillos y topología al-

muy interesante, prolijamente presentada, la cual para algunos de nuestros lectores ha de tener un sólo defecto: el ¡dio-

BIBLIOGRAFIA !

Luego del capítulo de nociones previas los títulos de los demás dirán claramente el conte­nido del libro. Esos capítulos se refieren a Conjuntos de puntos, Funciones escalares. Límite funcional. Continuidad, Derivada, Máximos y Mínimos, Fórmula de Tayler, Su­cesiones numéricas, Series numéricas, Primiti­vas, Integral definida. En la imposibilidad de tratar separadamente cada uno de ellos, diga-

estudio será de valor inapreciable los estudiantes universitarios y de insti-

HEBE T. RABUFFETTI. Introducción al análisis matemático (Cálculo 1). Editorial CAECE (en formación). Colección de Matemá­tica, 576 págs., Buenos Aires, 1970.

No es muy frecuente la aparición en tro medio de obras como la que nos ocupa; hasta hace algún tiempo bastaban los trabajos

difundidos de autores muy prestigiosos

ma.

J. B. F.nues-

IJ. C. DALMASSO y otros, Matemáticamuy

para cubrir las necesidades, pero hoy, esos au­tores desaparecidos o no renovadas sus obras de acuardo con las corrientes modernas, debe-

mo-derna para primer grado, Libro Rojo y Libro Verde, Colección "El grado en acción", EDI­TORIAL CODEX, Buenos Aires, 1969.

Un grupo de docentes dirigido por el profe­sor Dalmasso e integrado por Edgardo H. Dá- vila, María Esther G. de Abate, Pablo José Gabba y Jorge Ratto, se ha dado a la delicada tarea de redactar estos encantadores libritos para el año inicial de la escuela primaria en los que han desplegado lo mejor de su ingenio para presentar desde el primer momento las ideas modernas de la matemática. Del esfuerzo

mos que su paratutos de profesorado. unamos recurrir a obras extranjeras que presentan

la dificultad de que deben ser leídas en el idioma original —y no es el conocimiento de las lenguas extranjeras una de nuestra mayores virtudes— o bien en alguna traducción a nues­tro idioma que no siempre es todo lo correcta que fuera de desear. No escasean, por supues­to, muy completos libros de consulta pero no se contaba con un texto que respondiera al enfoque de la matemática moderna y que sa­tisfaciera por igual las necesidades de profeso­res y alumnos.

Este vacío es el que trata de llenar este libro de la profesora Rabuffetti, docente de larga y destacada actuación en nuestro medio. No se trata, por supuesto, de un libro más. Su autora lo ha meditado mucho y lo ha elabora­do con cariño; esto es visible a través de todo el libro. Advierte correctamente las deficien­cias programáticas de muchos planes de ense­ñanza según los cuales los alumnos deben iniciar su curso de análisis matemático sin ha­ber realizado previamente un curso de álgebra elemental y trata de salvar el escollo mediante una medulosa síntesis sobre algunos temas bá­sicos de lógica simbólica, cuantificadores, con­juntos, unión, intersección, diferencia, comple- mentación, producto cartesiano, relaciones binarias, etc.

El libro, se extiende en una minuciosa cuan acertada exposición de los temas, todos los cuales son seguidos por una bien pensada colección de ejercicios. Se presenta al número real mediante una estructura axiomática, pres­tando particular atención al axioma de conti­nuidad. Se dan normas generales para repre­sentar funciones escalares como un medio para lograr interpretar conceptos abstractos funda­mentales como límite y continuidad.

¿Será prudente hacer alguna observación a quien ha puesto tanto esfuerzo en la consecu­ción de una obra que entendemos realizada? Lo intentaremos. En obras de esta naturaleza, cuya lectura no se puede efectuar sin meditar la mayoría de las cuestiones en ella expuestas, ¿no cree la autora que sería adecuado insertar notas de interés general que, por lo curiosas e interesantes, representen un momento de so­laz? Además, ¿no cree la autora que quien se inicia en una disciplina debe tener alguna idea de la significación histórica de los nombres que en la obra figuran, Bolzano, Weierstrass o Borel, pongamos por caso? ¿No cree, asimis­mo, la autora, que sería conveniente publicar la bibliografía de obras magistrales o de con­sulta de la especialidad? A nosotros nos pare­ce que estas cuestiones debert ser resueltas en una segunda edición de la obra que no duda­mos será una pronta realidad.

Y dado que efectuamos críticas a la autora, hagámoslo también con la Editorial. La felici­tamos, por supuesto, por iniciar sus activida­des con una obra de tal magnitud. Pero agre­gamos que, aún a riesgo de aumentar algo el precio del ejemplar, debió emplear una impre­sión menos monocorde. No es posible que casi todo esté impreso en el mismo tipo de letra. Los títulos deben destacarse bien, los temas menos importantes ser impresos con letra más pequeña; la diagramación debe ser más atrac­tiva. Todo ello contribuirá a la fácil lectura del libro.

En conclusión, es la obra de un docente argentino por la cual nos sentimos honrados.

tal.

La enumeración de los capítulos ha de ser­vir para que el lector tenga una ¡dea de esta importante obra. Son los siguientes: 1. Gru­pos; 2. Homomorfismos de grupos; 3. Anillos; 4. Cuerpos; 5. Dominios Integrales; 6. Subgru­pos invariantes; 7. Ideales; 8. Extensiones de Estructuras; 9. Espacios vectoriales; 10. Apli­caciones Geométricas; 11. Algebra de .Boole; 12. Resultados adicionales. La obra finaliza dando las respuestas de ios muchos ejercicios propuestos.

hecho no nos cabe ninguna duda y nos place elogiarlo, especialmente por la original presen­tación de los conceptos en la forma más intui­tiva y con el lenguaje más inteligible y agrada­ble para los jóvenes educandos; agréguese la notable ilustración gráfica de Humberto Stella y de Ricardo Villagrán, quienes han logrado que las figuras aparezcan como su estuvieran hablando a la mente de los jóvenes educandos.

Se hace uso de muchos ejemplos muy ade­cuados para que los niños adquieran los con­ceptos de correspondencia, pertenencia, nume­ración, operaciones, etc., para hacerlos trabajar con las regletas y para que se vayan habituan­do al simbolismo. Sobre el ingenio de los au­tores no nos cabe ninguna duda: la realización es notable. Por ello no vacilamos en afirmar que el comentario resulta difícil y que es me jor ver los libros para obtener una clara ¡dea de sus muchos valores. No obstante, qui­siéramos presentar una duda: ¿A qué altura del curso de primer grado están los alumnos en condiciones de leer los textos impresos? Porque si no se pudiera seguir un ritmo rápido de trabajo, difícilmente se podría llegar al fi-

.

f

Sin entrar en el análisis de todos lo.s capítu­los, señalaremos que en el 9 se da una teoría simple de los espacios vectoriales desde el punto de vista de las estructuras abstractas más bien

li

que como un aditamento de la teoría de las matrices, aunque no deje de introducirse la idea de matriz como representación de una transformación lineal. En el capítulo siguiente se aplica la idea de espacio vectorial para la fundamentación de la geometría; la parte abs­tracta del libro concluye con una exposición regularmente abstracta del álgebra de Boole.

el último capítulo se indica posibles des­arrollos de trabajos posteriores: los teoremas

el ¡somorfismo, el teorema de Jordan-Hólder, 0s 9rupos de Sylow, el teorema básico para os grup05 abelianos, teoría de Galois: la inso- u "'dad de la quíntica general, construcciones

Con regla y compás, polinomios simétricos, módulos, el

tnal.

Señalaremos de nuevo la notable presenta­ción gráfica.I

J. D. S.Cristina Verdaguer de Banfi teorema de Krull-Schmidt, repre-i

44 45 ■'í i! 1i

,k:

del texto y volverlo inadecuado para elANTONIO ROBERTO LOPEZ. Matemática moderna para quinto año de los Colegios Na­cionales y Liceos de Señoritas, 436 págs., EDI­TORIAL STELLA, Buenos Aires, 1970.

El profesor López, autor de otras obras ya comentadas por CONCEPTOS DE MATEMA­TICA, es un docente muy prestigioso de la ciudad de Córdoba en cuyos establecimientos educativos, secundarios y superiores, ha des­arrollado su quehacer, muy estimado por sus colegas, especialmente a través de los cursillos de perfeccionamiento docente dictados en su provincia e incluso en la de Tucumán.

Ahora nos entrega este libro cuya concep­ción sin duda ha de haberle resultado muy trabajosa. No sólo porque se trata de un libro que contiene temas nuevos y una orientación renovadora sino también porque el programa de quinto año no es nada fácil de desarrollar. Bien está que haya común consenso de que los temas de trigonometría han de ser simplifi­cados y en tal sentido se haya suprimido la trigonometría esférica, pero resta todo lo refe­rente a trigonometría plana y por mucho que se la simplifique su desarrollo abarca muchas páginas. Pero, además se introducen los temas nuevos de cálculo infinitesimal y allí la tarea ha de haber sido realmente ardua puesto que se trata de conceptos aun totalmente descono­cidos por los alumnos, que es necesario tratar mediante el enfoque de la matemática moder­na, en la forma más clara y suscinta posible para no aumentar considerablemente el volu­

menestudiante secundario.

Todos estos son problemas que ha debido resolver el autor quien, sin duda, habrá tenido

decidirse por simplificaciones que noquesiempre son fáciles, pero que han sido criterio- sámente realizadas de modo que el lector se encuentre cómodo tanto en la lectura como en el estudio de los conceptos desarrollados.

La segunda parte del libro, la que se refiere a nociones de astronomía elemental han sido resueltas con el mismo criterio, impuesto ade­más por la necesidad de tener que dedicar bas­tante espacio a las ilustraciones que en este tema se vuelven indispensables. Digamos, de

Adhesión del

paso, que estas ilustraciones, la mayoría del Observatorio Nacional de Córdoba y del "Co­rreo de la Unesco" así como la profusa y cui­dada representación gráfica, contribuyen a realzar notablemente el valor del libro.

El autor se ha ingeniado para que aumente el valor cultural de la obra iniciando cada ca-

:

INSTITUTO NACIONAL PARA EL

MEJORAMIENTO DE LA

ENSEÑANZA DE LAS

CIENCIAS

pítulo con una biografía sintética de un autor célebre. Así desfilan Copérnico, Descartes, Brouwer, Pitágoras, Torricelli, Kowaleski, Abel, Kepler, Galileo, Bunsen, Herschel, Halley, La- place. Aunque se nos escapa el criterio que precedió esta elección, no vacilamos en elogiar la intención del autor.

Señalemos finalmente la preocupación de la editorial por presentar obras nuevas muy bien impresas, que no dudamos serán favorable­mente acogidas por los estudiantes argentinos.

Julio R. Juan

1

f

(Viene de la pág. 35)

La situación puede ser ilustrada aún más -efectivamente dibujando un diagrama sobre frapel isométrico en el cual las tres variables x, y, z aparecen sin variación. Considerando el diagrama previo que mostraba el plano z= 1, este diagrama muestra un plano típico x + y + z = constante. Para que el levantador de apuestas esté a salvo, el punto que presenta las apuestas que se han aceptado debe estar dentro del pequeño triángulo común a las tres partes no sombreadas de las líneas. Este tri­ángulo es bastante pequeño con las posibili­dades anotadas y ésto, por supuesto, indica competencia en los negocios, porque si el tri ángulo fuera demasiado grande, otros levanta­dores de apuestas ofrecerían precios más atrac­tivos.

nSi en algún momento el levantador de

apuestas no está "dentro del triángulo" debe tomar una acción compensadora o arriesgar las consecuencias. Un libro de apuestas envuelve generalmente más que tres competidores, y en­tonces una representación geométrica del álge­bra no es posible en el espacio ordinario; pero este ejemplo genuino con las posibilidades que realmente ofrece, ¡lustra el principio implica-

ii

do.

Estos ejemplos son unos pocos entre los muchos que pude haber elegido. Siempre me desilusiona que los periódicos comunes con­tengan tan poco de este tipo de cosas y si ésto da coraje a otros para contribuir más, me sen­tiré complacido.

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zarlo. - En ello tienen gran importancia las empresas, que, más actualizadas sean, mejor sirven a los objetivos —nacionales de modernidad. — IBM Argentina, en el área de la computación y el procesamiento de datos, hace I IvLun permanente aporte a la modernización de las em- presas argentinas y, por ende,a la modernidad del país. EMPRESA PARA EMPRf

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