Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 1

Procesos de Poisson

Introducción En muchos de los sistemas que nos interesa modelar, analizaremos situaciones en que llegan entidades a solicitar un cierto servicio. Éstas pueden ser personas que ingresan a un supermercado, llamadas a una central telefónica, trabajos que se reciben para ser procesados por un computador, demandas por un cierto item que se almacena en una bodega de inventario, etc. Para analizar y resolver problemas de toma de decisiones en este contexto, es necesario contar primero con modelos que permitan representar adecuadamente estos procesos de llegadas. El proceso de Poisson y sus extensiones constituirá una primera familia de modelos en este sentido. En la elaboración de estos modelos se considerará en primer lugar procesos simples, definidos sobre la base e supuestos medianamente restrictivos, los que se irán relajando progresivamente a fin de obtener modelos cada vez más realistas. Proceso de conteo

En todos los procesos de llegadas de entidades a un sistema, debemos caracterizar la forma como estas llegadas se distribuyen a lo largo del tiempo. Para formalizar esta idea, necesitamos el concepto de proceso de conteo.

Un proceso {N(t), t ≥0} es un proceso de conteo si N(t) corresponde al número de eventos que ocurren en el intervalo [0,t]. Propiedades del proceso de conteo:

1. N(t) es siempre un entero no negativo 2. Si tenemos dos instantes de tiempo distintos s y t, con s<t, entonces: N(s) <

N(t) 3. Si s<t, entonces, el número de eventos que ocurren en el intervalo [s, t]

corresponde a N(t) – N(s) Definición 1: Incrementos independientes

Se dice que un proceso de conteo {N(t), t ≥0} presenta incrementos independientes, si el número de eventos que ocurren en intervalos disjuntos de tiempo son independientes

Definición 2: Incrementos estacionarios

El proceso de conteo {N(t), t≥0} presenta incrementos estacionarios, si la distribución de probabilidad de N(t + s) – N(t) depende de “s” pero no de “t”, es decir,

0 s t

E1 E2 En En+1

N(s) N(t) – N(s)

Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 2

la distribución del número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo sólo depende del largo del intervalo y de nada más. Definición 3: Propiedad de orden

Un proceso de conteo tiene la propiedad de orden si: 1) P{ N(dt) = 1 } = λ dt 2) P{ N(dt) ≥ 2 } = 0 3) P{ N(dt) = 0 } = 1 - λ dt La propiedad de orden prohíbe la ocurrencia de eventos simultáneos. Definición 4: Proceso de Poisson:

El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson si cumple con: i) la propiedad de incrementos independientes ii) la propiedad de incrementos estacionarios iii) la propiedad de orden

Teorema 1:

Si {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson, entonces la distribución del número de eventos en un instante de tiempo cualquiera viene dada por:

P{N(t) = n} = e–λt(λt)n n! Esto quiere decir que la distribución de N(t) corresponde a la distribución de Poisson con parámetro λt. Además, en este caso, E[X] = λt y Var[X] = λt Teorema 2: En un proceso de Poisson a tasa λ, las variables T1, T2, …, Ti correspondiente al tiempo entre evento y evento, son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con distribución exponencial de parámetro λ. • Para el tiempo entre eventos (variables T1, T2, …Tn):

i) P {Ti ≤ t} = 1 - e–λt es decir, la probabilidad que el tiempo transcurrido entre el evento i-1 y el evento i sea inferior a t está dada por : 1 - e–λt 2i) f (t) = λ e–λt la función de densidad de probabilidad de la variable t es f (t) = λ e–λt 3i) E (Ti) = 1 / λ El valor esperado de la variable Ti es 1/λ. Definición 5: Tasa de falla: Para una variable X (que mide la vida de un sistema), y que tiene densidad de probabilidad f(X) y función de distribución F(X), se define la tasa de falla r(S) como: r(S) = f(S) / (1 – F(S)) En el caso de que la variable X tenga distribución exponencial en los tiempo de vida del sistema, entonces la tasa de falla r(S) es igual a la constante λ. Teorema 3 Tiempos exponenciales: Sea N(t) un proceso de conteo cuyos tiempos entre eventos son variables aleatorias independientes ente si, y con distribución exponencial ( a tasa λ ); entonces, N(t) es un proceso de Poisson. Teorema 4: El proceso de conteo {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson a tasa λ, si y solo si:

Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 3

1. Con probabilidad 1, los incrementos del proceso son de magnitud unitaria (es decir, no existen dos eventos de forma simultánea)

2. E [ N(t+s) – N(t) / N(u), u≤t] = λs Teorema 5: Sea B la unión de un número finito de intervalos disjuntos de tiempos y NB el número de eventos del proceso de conteo {N(t), t ≥0} que caen dentro del conjunto B. Entonces, este proceso de conteo es un proceso de Poisson a tasa λ, si y solo si: P{NB = n} = e–λb(λb)n n! Para todo conjunto B, en que b es la longitud total asociado al conjunto B. Por lo tanto, si se tiene suficiente información para verificar que la distribución del número de eventos en distintos intervalos de tiempo es la distribución de Poisson, entonces {N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson. Proceso de descomposición Suponga que una etapa de un proceso productivo está constituida por 2 máquinas en paralelo. Los productos llegan a esta etapa de acuerdo a un proceso de poisson a tasa l. Al llegar un producto, con probabilidad p se a la máquina 1 y con probabilidad 1-p a la máquina 2 (se asume que en cada producto se asigna a alguna de las dos máquinas de acuerdo a estas probabilidades y en forma independiente de los demás productos). Sea N(t) el proceso de conteo de las llegadas fe productos al sistema y N1(t) y N2(t) la llegada a la máquina 1 y a la máquina 2 respectivamente. El sistema en forma esquemática es:

Teorema 6: P {N1(t) = j} = e–λpt(λpt)j j! P {N2(t) = k} = e–λ(1-p)t(λ(1-p)t)k k! Para el proceso anterior, los procesos N1(t) y N2(t) son variables aleatorias independientes. Ejemplo 1: Considere la llegada de clientes a un supermercado como un proceso de Poisson a tasa de 2 clientes por minuto. Si considera que los clientes entran de uno en uno, la probabilidad que el cliente sea mujer es 0,5 y la probabilidad que sea hombre también es 0,5. Con lo anterior determine la probabilidad que en el intervalo [0, 0.5] horas halla ingresado 20 mujeres.

N(t)

N1(t)

N2(t)

p

1-p

Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 4

Solución: P {N1(30) = 20} = e–λpt(λpt)j = e–2(1/2)30(2(1/2)30)20 = 0.0134 j! 20! Suma de procesos de Poisson Sean N1(t), N2(t) ,…, Nk(t) procesos de Poisson independientes a tasas λ1, λ2,...,λk respectivamente. Entonces, el proceso: N(t) = N1(t) + N2(t) +…+ Nk(t) es un proceso de Poisson a tasa λ = λ1 + λ2 +... ...+ λk Distribución condicional de los tiempos entre eventos

Sea Sj = T1 + T2 + … + Tj La distribución de la variable Sj corresponde a una función Gamma de parámetros n y λ, tal como sigue: f(t) = λ e–λt(λt)n-1 (n-1)! Distribución condicional del tiempo del primer evento, dado un evento

Bajo el supuesto que ha ocurrido un evento en el intervalo [0, t], se tiene: P{S1 ≤ x / N(t) =1 } = P[S1 ≤ x , N(t) =1] P[ N(t) =1 ] = P[N(x) =1] * P[N(t-x) =0] = x P[ N(t) =1 ] t Ejemplo 2: Considere un local comercial donde se vende automóviles de lujo. Si el proceso de venta de automóviles es un proceso de Poisson a tasa 1 automóvil por día y dado que se vendió un automóvil en el día. ¿Cuál es la probabilidad que el automóvil se vendiera antes del medio día?. Solución: P{S1 ≤ x / N(t) =1 } = P{S1 ≤ 1/2 / N(1) =1 } = (1/2) / 1 = 1/2 Proceso de Poisson compuesto Definición 6: Dado un proceso de Poisson de tasa λ {N(t), t ≥0} y sea X1, X2 ,…, Xi variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, donde estas variables son además independientes de {N(t), t ≥0} . Entonces, el proceso {X(t), t ≥0} se dice de Poisson compuesto si: X(t) = Σ Xi donde la sumatoria se mueve para i desde 1 hasta N(t)

En este proceso, no se cumple con la propiedad de orden. Para todo el proceso de Poisson compuesto se tendrá:

• E[X(t)] = λ t * E(Xi) • Var[X(t)] = λ t * E(Xi2)

Ejemplo 3: Suponga que las familias que llegan a veranear a un camping es un proceso de Poisson con tasa 2 familias por día. Sui el número de personas en cada familia es considerado como una variable aleatoria independiente, y que toman los valores 1, 2, 3, 4 con probabilidades 1/6, 1/3, 1/3, 1/6 respectivamente, entonces ¿cuál es el valor esperado y a varianza del número de personas que llegan a veranear al camping durante un periodo fijo de 5 días?

Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 5

Solución: Sea Xi = número de personas en la i-ésima familia. E(Xi) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 = 5/2. El número esperado (o promedio) de personas es 2.5 Var[X(t)] = λ t * E(Xi2) = 2*5*(12*1/6 + 22*1/6 + 32*1/6 + 42*1/6) = 43/6 Proceso de Poisson no homogéneo Definición 7: Todo proceso de conteo {N(t), t ≥0} se llama proceso de Poisson no homogéneo de tasa λ(t) si y sólo si:

i) cumple la propiedad de incrementos independientes ii) cumple la propiedad de orden iii) la tasa de eventos λ(t) depende del tiempo

Teorema 7: Dado un proceso de Poisson no homogéneo de tasa λ(t); {N(t), t ≥0} y sea la tasa acumulada de ocurrencia (o valor medio) de eventos en el intervalo [t1, t2], esto es: m[t1, t2] = ∫ λ(t) dt donde la integral se mueve desde t = t1, hasta t = t2, Entonces, se tiene que:

P { [N(t2) – N(t1)] = n } = e–m(t1,t2) (m(t1,t2))n n! o, en forme equivalente:

P { [N(t+s) – N(t)] = n } = e–[m(t+s) – m(t)] (m(t+s) – m(t)] n n! Ejemplo 4: Considere que la llegada de clientes a un local de comida rápida es un proceso de Poisson no homogéneo a tasa λ(t) dada por: λ(t) = 5 5t si 0<= t<= 3 20 si 3<= t <= 5 λ(t - 9) si 5 <= t <= 9 donde t = 0 corresponde a las 8:00 AM. a) Determine la tasa acumulada de ocurrencia entre las 8:30 y 9:30 AM. b) Determine la probabilidad de que no llegue nadie al local entre las8:30 y 9:30 AM. c) Determine el valor medio de clientes que llegan entre las 8:30 y 9:30 AM. Solución: Tasa acumulada de ocurrencias: m(t) m[8:30, 9:30] = m[1/2, 3/2] = ∫ λ(t) dt = ∫(5 + 5t dt = (5t + 5t2/2) = (5*3/2 + 5/2*(9/4)) – (5/2 + 5/2*(1/4)) = 10

P(N(t2) – N(t1) = 0) = e–m(t1,t2) (m(t1,t2))n = e–10 (10)0 = 0.000045 n! 0! Valor medio de clientes entre las 8:30 y las 9:30 AM es la tasa acumulada de ocurrencias, es decir, 10. Bibliografía:

� Ross, Sheldon “Introduction to Probability Models”, Editorial: Academic Press, Quinta edición.

� Taha, Hamdy: “Investigación de Operaciones”, Editorial: Pearson-Prentice Hall, Séptima edición.

Profesora: Sra. Dafne Lagos Hurel, Magíster en Gestión. 6

� Hillier, Frederick y Lieberman, Gerald “Introducción a la Investigación de Operaciones”, Editorial: McGraw - Hill, Cuarta edición.

� Gazmuri, Pedro “Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas”, Editorial: Ediciones Universidad Católica de Chile, Primera edición.