volumen esfera
TRANSCRIPT
M e d ic ió n d e l v o lu m e n d e la
e s f e r a
Prof. Iván Pérez
• Arquímedes ideó una fórmula para determinar el volumen de una esfera.
• Imaginó una esfera, un cono y un cilindro.
• Supuso que la esfera tenía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R. También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R.
Radio R y altura RRadio R y altura R
ConoCilindro
Son conocidos los volúmenes:
ﾠ
pR2R = pR3
ﾠ
pR2R
3=
pR3
3
• Luego cortó las figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras.
• Se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:
L a s e c c ió n d e l c i l in d r o
• En el cilindro la sección que determina el plano es un círculo de radio R y su área es:
ﾠ
Aseccilindro = p ￗR2
L a s e c c ió n d e la s e m ie s f e r a
• La sección circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R) que depende de la distancia d.
• El área del círculo de radio r es:
• Usando Teorema de Pitágoras, el triángulo rectángulo de lados R, d y r se cumple que:
ﾠ
Asec semiesfera = p ￗr2
ﾠ
R2 = r2 + d2
L a s e c c ió n e n e l c o n o
• El cono de altura y radio basal R, por lo tanto el triángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el círculo que determina el plano que corta al cono tiene radio d.
ﾠ
Aseccono = p ￗd2
J u n t a n d o f ó r m u la s
Sabemos que:
pero de la semiesfera obtuvimos que:
si en el área del cilindro reemplazamos R2 por r2 + d2
ﾠ
Aseccilindro = p ￗR2
ﾠ
R2 = r2 + d2
ﾠ
Aseccilindro = p ￗR2
ﾠ
= p ￗ r2 + d2( )
ﾠ
= p ￗr2 + p ￗd2
ﾠ
= Asec semiesfera + Aseccono
Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones como rebanadas finas, para cada trío de rebanadas tendríamos que:
De la relación anterior podríamos suponer que:
Reb cilindro = Reb semiesfera + Reb cono
Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
R e e m p la z a m o s
Despejando,
Vol semiesfera
ﾠ
=2p ￗR3
3
Por lo tanto, el volumen de la e s f e r a es el doble de la semiesfera
ﾠ
Vesfera =4p ￗR3
3
Vol semiesfera
ﾠ
p ￗR3 =
ﾠ
+p ￗR3
3
Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
• El método de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura en recuerdo de su idea.