volumen de un solido en secciones paralelas

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II

Lección 2. Integrales y aplicaciones.

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3. Volumen de un sólido. En esta sección veremos cómo podemos utilizar la integral definida para calcular volúmenes de distintos tipos de cuerpos sólidos. Volumen de un sólido con secciones paralelas de área conocida. Una sección de un sólido S es la región plana que se obtiene cortando el sólido S con un plano.

Queremos calcular el volumen de un sólido como el de esta figura. Para ello, suponemos que cono-cemos el área de cada una de las secciones paralelas que producimos en el sólido .S Denotaremos por ( )A x al área de la sección correspondiente al punto x y consideramos una partición del interva-lo [ ],a b 0 1 2 1 .n nx a x x x x b−= < < < < < = Cortamos el sólido S en rodajas por planos paralelos

kP perpendiculares al eje OX en los puntos kx de la partición. Observa la siguiente figura.



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Ahora aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos 1kx − y kx por un ci-lindro con área de la base ( ).kA x El volumen de la rodaja será aproximadamente igual al volumen del cilindro que es ( )1( ) .k k k kV A x x x −= −

Entonces tenemos que

Volumen de la k –ésima rodaja ( )1( ) .k k k kV A x x x −≈ = −

El volumen V del sólido S se puede aproximar por la suma de los volúmenes de los cilindros y

obtenemos entonces la aproximación ( )11 1

( ) .n n

k k k kk k

V V A x x x −= =

≈ = −∑ ∑ Esta aproximación es una

suma de Riemann de la función [ ]: , ( )A x a b A x∈ → ∈ que determina el área de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximación del volumen mejorará cuando la norma de la partición que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del sólido S como la integral de la fun-ción A en el intervalo [ ], .a b

DEFINICIÓN. Se define el volumen de un sólido S con secciones paralelas de área conocida, dada

por la función continua [ ]: , ( ) ,A x a b A x∈ → ∈ como la integral ( ) .b

aA x dx∫

EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen de una cuña que se produce al cortar un cilindro de radio 3 por dos planos como se muestra en la siguiente figura. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro y el otro forma con el primero un ángulo de 45º.



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Las secciones paralelas perpendiculares al eje OX son rectángulos de altura x y base 22 9 .x− Entonces, la función que nos da el área de estas secciones es

[ ] 2: 0,3 ( ) 2 9 .A x A x x x∈ ⊆ → = − ∈

Por tanto, ( )3 333

2 2 22

0 0

2 22 9 9 9 18.3 3

V x x dx x⎛ ⎤

= − = − − = ⋅ =⎜ ⎥⎝ ⎦∫

Ahora calcularemos el volumen de sólidos de revolución que se obtienen al hacer girar la región plana { }2: ( , ) : ,0 ( ) ,A x y a x b y f x= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ siendo [ ]: , ( )f x a b f x∈ ⊆ → ∈ una función

continua y positiva definida en el intervalo [ ], .a b Veremos dos procedimientos: la fórmula de los discos y la fórmula de los tubos. Fórmula de los discos. Supongamos que la región A gira alrededor del eje .OX Entonces genera-mos un sólido S de forma que las secciones transversales por planos perpendiculares al eje OX son círculos de radio ( ).f x De aquí el nombre de fórmula de los discos. El área ( )A x del disco produ-

cido por el corte correspondiente a x es, por tanto, ( )2( ) ( )A x f xπ= y, de acuerdo con la fórmula

de las secciones paralelas obtenemos que ( )2( ) .b

aV f x dxπ= ∫

DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS DISCOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la

región A alrededor el eje OX como la integral ( )2( ) .b

aV f x dxπ= ∫

EJEMPLO. La región entre la curva ,y x= con 0 4,x≤ ≤ y el eje OX



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se hace girar alrededor de este eje para producir el siguiente sólido

El volumen es ( )4 42

0 08 .V x dx xdxπ π π= = =∫ ∫

Fórmula de los tubos. Supongamos que la región A se encuentra a la derecha de la recta vertical

.x L= Suponemos entonces que .a L≥



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Generamos un sólido S al hacer girar esta alrededor de la recta .x L= Para calcular el volumen de este sólido consideramos una partición 0 1 2 1n nx a x x x x b−= < < < < < = del intervalo [ ],a b y sea

( )11:2k k kc x x−= + el punto medio del subintervalo [ ]1, .k kx x− Aproximamos la región que gira por

medio de rectángulos con base en los puntos de la partición con longitud de la base 1k kx x −− y altu-ra ( ).kf c Si este rectángulo gira alrededor de la recta x L= genera un tubo cuyo volumen kV viene dado por ( ) ( )12 ( ) .k k k k kV c L f c x xπ −= − −

Aproximamos ahora el volumen de S por la suma de los volúmenes kV de los tubos generados por

los n rectángulos de la partición. Entonces ( ) ( )11 1

2 ( ) ,n n

k k k k kk k

V V c L f c x xπ −= =

≈ = − −∑ ∑ que es una

suma de Riemann de la función ( ) ( ).x L f x− El límite de esta suma de Riemann cuando 0P →

proporciona el volumen del sólido S como la integral ( )2 ( ) .b

aV x L f x dxπ= −∫

DEFINICIÓN (FÓRMULA DE LOS TUBOS). Se define el volumen del sólido S que se obtiene al girar la

región A alrededor de la recta x L= como la integral ( )2 ( ) .b

aV x L f x dxπ= −∫

EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen del sólido que se obtiene al girar, alrededor del eje ,OY la región acotada por la curva y x= en el intervalo [ ]0, 4 y el eje .OX



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La variable del grosor del tubo es ,x de forma que los límites de integración para la fórmula de los

tubos son 0a = y 4.b = Por lo tanto, el volumen es 454

2

00

2 1282 2 .5 5

V x x x ππ π⎛ ⎤

= = =⎜ ⎥⎝ ⎦∫

EJERCICIO 1. Consideremos el sólido de la figura, formado por la unión de un cilindro de altura unidad y radio r y una porción de paraboloide de revolución de altura r y mismo radio. Calcula el volumen de dicho sólido.

1

r

EJERCICIO 2. (1) Entre todos los rectángulos del plano YOZ inscritos en la parábola de ecuación

2 2z a y= − (siendo 0a > ) y con base en el eje OY , calcula el que tiene área máxima.

(2) Para cada valor 0 [0,1],x ∈ considera la parábola del tipo anterior contenida en el plano 0x x= y cuyo vértice está en el segmento que une los puntos (1,0,0) y (0,0,1). Construimos el sólido cuya sección con cada plano 0x x= es el rectángulo de área máxima inscrito en la parábola considerada en dicho plano (mira la figura siguiente). Calcula el volumen de dicho sólido. EJERCICIO 3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje OY la región limitada por las gráficas de las curvas 3 1y x x= + + e 1,y = siendo 0 1.x≤ ≤



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EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido cuya base es el círculo 2 2 4x y+ ≤ y las secciones pa-ralelas perpendiculares a dicha base son cuadrados. EJERCICIO 5. Calcula el volumen de un sólido sabiendo que su base es un círculo de radio unidad y las secciones paralelas perpendiculares a dicha base son triángulos equiláteros. EJERCICIO 6. Calcula el volumen de una pirámide recta de altura h y base cuadrada de lado . EJERCICIO 7. Se taladra un agujero cilíndrico de radio b a través del centro de una esfera maciza de radio ,a siendo .a b> Calcula el volumen del sólido resultante.

EJERCICIO 8. Calcula el área de la elipse de ecuación 2 2

2 2 1,x ya b

+ = siendo , 0.a b > A continuación,

halla el volumen del sólido V situado en el octante positivo del espacio que se obtiene apoyando elipses sobre el arco C de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 4 del pla-no 0y = y en la recta r que pasa por los puntos (4,0,0) y (0,2,0), que son paralelas al plano OYZ y tienen su centro en el eje .OX EJERCICIO 9. (1) Calcula por integración el área de un segmento parabólico de base b y altura .h Observa la siguiente figura de la izquierda.

(2) Calcula el volumen del sólido cuya base es el interior de la elipse 2 24 4x y+ = y los cortes per-pendiculares a la base y paralelos al semieje menor son segmentos parabólicos de altura determina-da por la parábola que pasa por los vértices del semieje mayor y cuyo vértice V está situado a tres unidades del centro de la elipse. Observa la siguiente figura de la derecha.



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EJERCICIO 10. (1) Calcula una primitiva de la función cosh( ),x ax siendo a una constante arbitra-

ria no nula, es decir, calcula cosh( ) ,x ax dx∫ con 0.a ≠

(2) Calcula las dos soluciones reales 1 20x x< < de la ecuación 7cosh cosh(2 ) .8

x x= −

(3) Calcula el volumen del sólido V que se obtiene al girar la región plana

( ) 22

7: , : 0 , cosh(2 ) cosh8

A x y x x x y x⎧ ⎫= ∈ ≤ ≤ − ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

alrededor del eje .OY

h

b

volumen de un solido en secciones paralelas

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