Volumen de Funciones ParamétricasChangoluisa Jonathan

Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPESangolquí, Ecuador

pempojd_17_@hotmail.com

Abstract- El volumen se encuentra por la rotación de unafigura plana (el área de la curva se hace girar en el eje decoordenadas).El eje de rotación bien puede estar ubicado enel eje de coordenadas como en una recta cualquiera. En esteapartado introduciremos el cálculo de volúmenes entre funcionesparamétricas.

I. INTRODUCCIÓNUno de los temas más difíciles en la enseñanza del cálculo

integral es el del cálculo de volúmenes de sólidos de revo-lución, debido a la dificultad de visualizar los sólidos, querequiere en muchos casos bastante imaginación. El centro deltema es el cálculo de volumen entre funciones paramétricas,en el cual haremos notar como expresar estas ecuaciones ycuando es conveniente utilizar para expresar dichas ecuacionesy proceder al cálculo del volumen.En el artículo se obtiene di-rectamente las fórmulas generales del elemento de volumen, apartir de unas ecuaciones paramétricas y como caso particularse determinará el elemento de Volumen, cuando las ecuacionesvienen dadas en forma cartesiana.

II. DESARROLLO DE CONTENIDOConozcamos primero de que se trata y como estan cons-

tituidos la integración por ecuaciones paramétricas, y pos-teriormente el cálculo del volumen de por dichas funcionesparamétricas.

A. Integrales Paramétricas con Límites de Integración Inde-pendientes:

1) Límites de integración constantes: Sea R = [a, b][c, d]el rectángulo a < x < b, c < y < d contenido en R2, dondea < b, c < d son números reales fijos.Sea f(x, y) continua para todo (x, y)εR.Para cada segmento vertical x = xo fijos, con xoε[a, b] (hacerfigura) se considera la integral

∫f(xo, y)dy,de f(xo, y)dy, de

f(xo, y) respecto de y en el intervalo [c, d], como función deuna sola variable y (con xo constante). Es un número real, quedepende del valor constante xo que se haya elegido en [a, b].Llamémosle entonces F (xo), y de?namos:

2) Integral Paramétrica con Límites de Integración Cons-tantes: Dada f(x, y continua ∀(x, y)ε[a, b][c, d] su integralrespecto de y en el intervalo [c, d] (tomando, mientras seintegra respecto de y, un valor constante para x en el intervalo[a, b]) es: F (x) =

∫f(x, y)dyd

y se llama Integral paramétrica de parámetro x (fijo), conlímites de integración (c, d) constantes.

B. Parametrización

Sea C una curva que consiste en todos los pares ordenadosf(t), g(t), donde f y g son funciones continuas en un intervaloI. las ecuaciones

x = f(t)

y = f(t)

Para t en I, se denominan ecuaciones parametricas de C conparámetro t.

C. Cálculo del Volumen de un Cuerpo

Dado un cuerpo T, supongamos que se conoce el área de to-da sección arbitraria de este cuerpo por un plano perpendicularal eje OX.

Figura 1. Cuerpo por un plano perpendicular

Este área depende de la posición del plano secante, es decir,es función de x, A = a(x)Supongamos que A(x) es una funcion continua de x, y ycalculemos el volumen del cuerpo dado.Tracemos los planosx = xo = a, x = x1, ....,, x = xa = b. Estos planos dividen alcuerpo en franjas. En cada intervalo xi−1 <= ci <= xi, eli-jamos un punto arbitrario ci, y para cada valor de i = 1, ...., nconstruyamos un cuerpo cilindrico cuya generatriz sea paralelaal eje OX y se apoye sobre el contorno de la sección del cuerpoT por el plano x = ci. el volumen de tal cilindro elemntal,con area de la base igual a A(ci) (con xi−1 <= ci <= xi), y

la altura ∆x,es igual a A(ci). El volumen total de todos loscilindros es:

Vn =∑

A(ci)4xi

Puesto que Vn representa evidentemente, una suma integralcorrespondiente a una funcion continua A(x) en el segmentoa < x < b, entonces, el límite indicado existe y se expresapor la integral definida:

V =

∫A(x)dx

El cálculo del volumen de revolución en una region R en elplano OXY se hace girar en torno a un eje del plano, generáun sólido de revolución.

D. Cálculo del Volumen por Funciones Paramétricas

Seguramente te imaginas una curva en el plano como unalínea continua que puede dibujarse de un trazo, sin levantarel lápiz del papel. Esa idea es esencialmente correcta. Lascircunferencias, las elipses, las astroides son todas ellascurvas. Faltaría más. Ninguna de ellas puedes representarlapor una igualdad de la forma y = f(x). Las curvas quepueden representarse por una ecuación cartesiana del tipoy = f(x) son curvas muy particulares pues son gráficas defunciones. No olvides que cuando dices "sea la curva dadapor la ecuación y = f(x) te estás refiriendo a la curva cuyaimagen es el conjunto de puntos del plano [xε[a, b], y = f(x)], es decir, a la grafica de f.Si lo piensas un momento verás que muy pocas curvas songráficas. Para que una curva sea una gráfica es necesario quecualquier recta vertical la corte a lo más en un solo punto;ninguna curva cerrada cumple esta condición. Precisamenteentre las curvas cerradas se encuentran algunas de las curvasmás intersantes, a ellas pertenecen los distintos tipos deóvalos y lemniscatas, las cardioides, y muchas más. Vamos aver ahora una forma de representar curvas planas mucho másgeneral que las ecuaciones cartesianas del tipo y = f(x) quesólo sirven para representar curvas que también son gráficas.Para empezar, consideremos una curva que viene dadapor una ecuación cartesiana de la forma y = f(x) dondea < x < y. Nuestra curva es, por tanto, la imagen de laaplicación γ : [a, b] → R2 definida por γ(x) = (x, f(x)) paratodo xε[a, b] Intuitavamente, cuando x recorre el intervalo[a, b], el punto (x, f(x)) recorre la curva. Es fácil generalizaresta situación sin perder la idea intuitiva de curva. Lo esenciales que podamos describir las coordendas de los puntosde la curva como funciones continuas de un parámetro.En la situación que estamos considerando se tiene quey = f(x) es decir, la segunda coordenada es función continuade la primera. La generalización consiste en que ambascoordenadas sean funciones continuas de un parámetro.Llegamos así a la definición siguiente. Definición. Una curvaen el plano es una aplicación continua γ : [a, b] → R2 Siγ(t) = (x(t).y(t)) decimos quex = x(t) y y = y(t) sonlas ecuaciones parámetricas de la curva. El punto γ(a) es elorigen y γb el extremo de la curva. Si γ(a) = γ(b) se dice

que la curva es cerrada. Se dice que una curva ? es simplesi no se corta a sí misma, es decir, si para s, tε[a, b] cont 6= s se verifica que γ(t) 6= γ(t) Una curva cerrada se llamasimple si la función γ es inyectiva en ]a, b[Hay probelmas en los cuales parametrizar no nos convieneentonces debemos seguir otro procedieminto. Pero hayproblemas que es muy importante que manejemos lasecuaiones paramétricas porque facilitan hallar el resultado.

Por lo tanto las formulas que nos ayudan a calcular losvolumen teniendo ecuaciones parametricas son:

Eje de rotación vertical

V =

∫ b

a

2πxf(x)dx

Eje de rotación horizontal

V =

∫ d

c

2πyf(y)dy

Figura 2. Solido de revolución por ecuaciones paramétricas.

III. CONCLUSIONES

1. Hemos comprendido que con las ecuaciones parametri-cas debesmo ver si nos satisface trabajar con ellas ono, ya que podeos tomar un camino largo y talves noencontar nunca la respuesta.

2. Acalarar como son las parametrizaciones ya que en estedocumento no lo ponemos ya que hay una gran diver-sidad y variedad de funciones para pasar a ecuacionesparametricas.

3. Utilizar bien las formula ya que debe estra claro respectoa que eje o funcion va a rotar el para calcular el volumenya que si no esta claro no sabremos que limites cojer nique formula utilizar.

RECONOCIMIENTOS

El trabajo se concluyo con una sola persona la cual fue elautor de todo el documento, asi que no hay reconociemientomas que el propio autor.

REFERENCIAS

[1] Gordon prichett john t. anderson Germany: Calculus One And SeveralVariable (third Edition), 1978.

[2] Anthony J. Tromba Jerrold E. Marsden , The Analysis of Directional TimeSeries:Applications to Wind Speed and Direction, ser. Lecture Notes inStatistics. Berlin, Spanish: Addison Wesley, 2004, vol. 1.

[3] Murray R.Spiegel Murray R.Spiegel ,Murray R.Spiegel Murray R.Spiegel, Nov. 1991.

[4] G. Monsivais G. Octavio E. Castillo Pablo Garcia Y Colome ,T in Proc.ECOCŠ00, 1999, paper 11.3.4, p. 109.

[5] http://www.ma.uva.es/antonio/Industriales/Apuntes[6] http://www.giematic.unican.es/integra/aplicaciones/calculo-areas-planas