Categora 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1023

Resumen. La presente investigacin es una continuacin de nuestras indagaciones sobre la visualizacin en matemticas. En esta ocasin damos evidencia de un tipo de visualizacin necesaria para abordar los problemas de clculo universitario, que hemos llamado visualizacin dinmica. La caracterizamos en base a la produccin y uso de ciertos grafismos, que llamamos grafismos abstractos. Esta visualizacin permite al lector tener un grado de independencia de la informacin mostrada que le permite manipularla con un fin de comprensin. Fundamentamos el por qu de la investigacin en nuestra una postura epistemolgica sobre el rol de la visualizacin en la construccin del conocimiento matemtico. Nuestra aspiracin es aportar elementos a un marco referencial que nos permita estudiar los fenmenos producidos por la visualizacin en los procesos de enseanza y aprendizaje.

Palabras clave: visualizacin, visualizacin dinmica, grficas, clculo universitario

Antecedentes

En la actualidad la visualizacin tiene una importancia de magnitudes en la enseanza y

aprendizaje de la matemtica. Sin embargo esto no siempre ha sido as. Descartes, Leibnitz, Gauss

y otros han reconocido la importancia de la visualizacin en el desarrollo de la matemtica. Pero

en el siglo XX hubo una ruptura al respecto. El formalismo de esta poca la desacredito

fuertemente, considerndola como insegura y poco formal. Esto influyo en desmedro de su

utilizacin en la difusin cientfica y escolar. A estos sucesos histricos subyacen diferentes

perspectivas sobre el estatus epistemolgico que tiene la visualizacin en la produccin del

conocimiento matemtico. Las grficas se pueden considerar como meras representaciones de

cierto concepto matemtico o como elementos que median o permiten su produccin. La

perspectiva considerada incidir fuertemente en como entenderemos los fenmenos producidos

por la visualizacin en los procesos de enseanza y aprendizaje de la matemtica.

Entendemos por visualizacin en matemticas (VEM) al proceso de elaboracin de imgenes

mentales y el uso de tales para la comprensin en matemticas (Zimmermann y Cunningham,

1991). Por tanto la visualizacin es un proceso mental y lo visible de este proceso es la ostensin

VISUALIZACIN DINMICA EN PROBLEMAS DE CLCULO UNIVERSITARIO, UN ESTUDIO

SOBRE VISUALIZACIN EN MATEMTICAS

Lianggi Espinoza Ramirez, Estelita Garca Pontificia Universidad Catlica de Valparaso, CinvestavIPN

Chile, Mxico

leanggi@gmail.com, egarcia@cinvestav.mx Campo de investigacin: Visualizacin Nivel:

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 22

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1024

de tal proceso, la cual puede ser evocada mediante algn tipo de grafismo (grfica matemtica,

bosquejo grfico, dibujo, escrito o frmula), como tambin por el lenguaje o los gestos de cierto

sujeto (Bosch, 1994). El planteamiento epistemolgico de Bosch (1994) consiste en que la relacin

entre el proceso mental y su ostensin es dialctica, por lo cual los grafismos son parte sustancial

de la produccin del conocimiento.

Un trabajo que nos parece revelador al respecto es el de Laborde (2004). Ella muestra lo ilusorio

de considerar los pensamientos tericos de la geometra como distantes o apartados de los

grafismos utilizados. En efecto, evidencia como un grupo de estudiantes, al resolver problemas de

conjetura y demostracin, mantienen un movimiento constante entre el dominio grfico y el

terico. El punto es que este movimiento permanece oculto en las producciones que presentan a

sus profesores por el contrato didctico implcito que considera como argumentacin correcta

solamente aquellas que aluden a planteamientos tericos. Por tanto, los grafismos no son simples

representaciones de las ideas matemticas, sino que estos modifican el pensamiento y la

produccin matemtica, adquiriendo de esta manera un rol fundamental en la construccin del

pensamiento matemtico.

Con estos antecedentes nuestra lnea de investigacin est considerando a los grafismos no como

meras representaciones de un objeto matemtico preexistente, sino como elemento que forma

parte en la produccin del conocimiento, capaces de articular diferentes tipos de visualizaciones,

las que a su vez inciden en cierta construccin matemtica. De esto, la visualizacin es un

elemento interviniente en la construccin del conocimiento matemtico. Esto fundamenta la

importancia de considerar a la visualizacin como objeto de estudio en la investigacin en

matemtica educativa. Nuestra postura epistemolgica del conocimiento es pragmtica, en el

sentido de que el significado depender de los usos, y por tanto el conocimiento no es

preexistente ni esttico; de aqu que preferimos utilizar la palabra grafismo en vez de

representacin grfica.

Para nosotros, la visualizacin puede estar relacionada a dos acontecimientos: a la produccin de

cierto tipo de grafismos como ostensin de cierta visualizacin, al uso de cierto grafismo

(producido o no producido por el individuo) con la intencionalidad de comprensin. En este

segundo caso la visualizacin es ms que una mirada superficial de tal grafismo, es una

Categora 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1025

observacin profunda, detallada y analtica del mismo. Mayores detalles al respecto se pueden

consultar en Espinoza (2007)

Nuestra intencin es dar evidencia de un tipo de visualizacin especial y necesaria para abordar los

problemas del clculo universitario. Por esto reportamos en Espinoza (2007) dos tipos de

grafismos diferentes entre s, encontrados con naturalidad en libros de textos y en los apuntes de

los profesores, que inciden diferentemente en la eficacia de los estudiantes al enfrentarse a

ciertas tareas matemticas. En aquella ocasin les nombramos como representaciones visuales no

genricas y genricas, haciendo alusin a la abstraccin que permiten los mismos en el

pensamiento matemtico. Ganando precisin, en esta ocasin les nombramos grafismos

concretos y abstractos respectivamente, por considerar esta caracterizacin ms relevante y

clarificadora respecto a la idea tratada en esa ocasin.

Estos grafismos son de naturaleza diferente, pero viven

en la enseanza sin aparente diferencia. El primero

presenta en un correlato exacto la situacin matemtica

presentada y el segundo presenta una caracterstica de

esta (alguna propiedad, relacin entre elementos o idea

abstracta), sin expresar de manera exacta o literal la

situacin matemtica abordada. Generalmente estos grafismos presentan parmetros.

A modo de ejemplo, la Figura 1 muestra de manera exacta un sistema de ecuaciones con sus

respectivas intersecciones, en cambio la figura 2 muestra la ubicacin relativa de una hiprbola, en

donde los parmetros indican la forma de las asntotas y su ubicacin relativa, ms no la ubicacin

exacta de la hiprbola (Espinoza, 2007, p.604).

El asunto relevante en esta ocasin es cuestionarnos sobre la existencia de cierto tipo de

visualizacin necesario para poder visualizar plenamente estos grafismos abstractos, y en caso de

su existencia mostrar evidencia de ello. Por esto nos planteamos como objetivo de investigacin

evidenciar la existencia de algunos tipos de visualizacin en estudiantes de nivel superior

vinculados a los grafismos concretos y abstractos, y su relacin con la efectividad en la resolucin

de una tarea matemtica de nivel universitario

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 22

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1026

Metodologa

Para encontrar la evidencia decidimos estudiar a un grupo de estudiantes universitarios

abordando un problema abierto de clculo de alta complejidad, en donde podan utilizar

tecnologa (en este caso programas graficadores de funciones). El problema matemtico escogido

es el siguiente:

Sean x, y R, demuestre que la ecuacin xy yx =

a) Tiene solucin.

b) Tiene infinitas soluciones.

c) Tiene nicamente dos soluciones ),( yx tal que x y, con x, y N.

Su eleccin se debe a la imposibilidad de despejar alguna variable en funcin de la otra, por lo cual

se hace necesario considerar una de las variables como parmetro, lo que a su vez permite la

produccin y uso de grafismos abstractos.

Decidimos no estudiar la produccin final, sino el proceso mediante el cual se aborda la tarea, por

considerarlo ms idneo para evidenciar las visualizaciones de los estudiantes. Los datos son

tomados de Garca (2008) e indagaciones paralelas. De estos datos consideramos finalmente dos

relatos, a quienes llamamos ficticiamente Gustavo y Paula, hombre y mujer, ambos mexicanos de

24 y 23 aos y licenciados en enseanza de las matemticas. Se tom registro de audio, video y de

sus producciones escritas. Con esto desarrollamos narrativas de sus producciones con la

intencionalidad de evidenciar y caracterizar los tipos de visualizaciones presentes en cada uno de

ellos. En el anlisis de los datos consideramos, siguiendo la metodologa descrita por Bosch (1994),

las ostensiones realizadas por los estudiantes: los grafismos, el lenguaje y los gestos.

Entenderemos que un alumno visualiza dinmicamente cuando es capaz de producir y utilizar

grafismos abstractos. La metodologa de anlisis es cualitativa exploratoria.

Resultados

A modo de abreviacin, la notacin F-n se referir a la figura nmero n.

El desarrollo de Gustavo

Categora 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1027

Gustavo inici su procedimiento realizando tanteo numrico, encontrando como solucin del

inciso a) la pareja (1, 1) y del inciso b) las parejas (x, y) tal que x = y. Al intentar demostrar la

unicidad (inciso c)) asume como necesario un desarrollo analtico y grfico. Primero intenta

despejar una de las variables de la ecuacin aplicando logaritmo natural F-3, y al no lograrlo

grafica (con el software Graph) una familia de grficas asociadas al logaritmo natural.

Posteriormente, observando la igualdad xy yx = , considera la variable y como un nmero

natural que toma un valor particular en este dominio mientras que x vara en todos los reales,

obteniendo funciones del tipo nx y xn F-4. Luego grfica pares de grficas y observa el punto de

interseccin de estas. En este momento muestra gestos de incertidumbre, abandona esta idea y

regresa a las ecuacin F-5, la cual reescribi como F-6, e interpret como una funcin de x,

explicitando la condicin de inyectividad F-7.

Contina con esta idea y grafica la funcin f(x) F-8, y desarrolla el clculo F-9

Despus encontr el mximo de la funcin, y resolvi el problema, expresando grficamente lo

siguiente F-10:

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 22

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1028

Al escribir su resultado, explico que [] as que trat de trazar una recta y vi que si cortaba en dos

puntos, por tanto lo que buscaba era un valor k de x entre el 1 y e, y el punto correspondiente a ese

que tena la misma altura, entonces llegu a la conclusin de que esos puntos si existan y existan

varios [] esto me llev a justificar la solucin nica.

El desarrollo de Paula

Paula respondi rpidamente a los dos primeros incisos, dando como solucin 11 11 = y xx xx = a cada uno de ellos. Luego, al enfrentar la pregunta tres comenz a desarrollar algebraicamente la

ecuacin utilizando leyes de logaritmo F-11, de lo cual intent graficar en el plano, pero sin

resultados por la complejidad de la ecuacin. Despus, intent graficar las funciones descritas en

dos variables F-12, pero logro solamente realizar bosquejos de puntos de ellas en R3

Ante este fallido intento regres a la ecuacin original y nuevamente comenz a despejar usando

propiedades de logaritmos, llegando a una nueva expresin, la cual intent graficar con el

computador en R3 (Winplot 2.0) F-13. Ante la imposibilidad de observar algo claro escribi otras

ecuaciones F-14, las grafic en R3 y grafic su interseccin en el plano, encontrando de esta

manera la solucin entera (2,4).

Categora 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1029

Luego, ante la dificultad mostrada por sus gestos para utilizar la grfica en R3 (pues el software se

bloqueaba al graficar estas ecuaciones), regres nuevamente a la ecuacin original y volvi a

despejar usando reglas de logaritmos F-15, obteniendo una nueva expresin para resolver el

problema, en la cual verific numricamente el resultado encontrado F-16.

Despus de esto, al intentar demostrar la unicidad, manifest lo siguiente: s que se podra

demostrar por contradiccin, se que se podra, sin embargo, al intentarlo comenz a mostrar

mayores compilaciones con sus clculos, y su insistencia en utilizar grficas en R3 haca que sus

razonamientos se complicaran cada vez ms. En este momento sus gestos mostraban frustracin,

y estuvo en esta situacin por ms de una hora. En este momento se decidi realizar una

intervencin del investigador para tener ms informacin. El relato es el siguiente:

- Investigador: Y por qu no graficas en 2D? (haciendo alusin a la ecuacin en F-16)

- Paula: Necesitara usar paramtricas, buscar expresarlo en t con senos y cosenos.

- [] Investigador: Por qu no te ayudas de una grfica en 2D mejor?

- Paula: La grfica no me dice algo porque no logro ver la grfica completa, no siento que me

ayude la grfica.

Discusin

En un comienzo Gustavo no poda determinar si la igualdad inicial era una ecuacin o una funcin.

Esto no fue obstculo para que realizara grafismos en los que represent cierto tipo de dinamismo

F-3. El considerar )(yf como parmetro fue vital para resolver el problema F-5 F-7 F-10. Se evidencia la produccin de un grafismo abstracto F-10, pues la interseccin entre la recta

horizontal y la funcin representa dos pares de puntos con la misma imagen, y no los puntos

dibujados. Se evidencia que al demostrar la unicidad de la solucin usa esta grfica

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 22

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1030

dinmicamente F-10, pues observ la recta horizontal movindose en el rango ] ])(,0 ef , poniendo atencin en las intersecciones de la recta y la funcin. En sntesis, tuvo produccin de

grafismos abstractos y los uso dinmicamente.

Paula, en cambio, no evidenci produccin de grafismos abstractos y mostr limitaciones en

visualizar dinmicamente. Mostr dificultades al intentar despejar las variables. En esto no pudo

visualizar una de estas como parmetro F-11 F-13 F-15. En todo momento intento realizar

grafismos concretos que presentaran exactamente la situacin matemtica. Esto se evidencia en la

insistencia de usar grficas en R3 F-12; F-13; F-14; F-15. La intervencin del investigador hizo

evidenciar la imposibilidad de utilizar grafismos abstractos la grfica no me dice algo porque no la

veo completa, necesitara usar paramtricas. Esto muestra su incapacidad de visualizar

propiedades o relaciones en el grafismo, esto es, realizar una visualizacin dinmica. Su tipo de

visualizacin que denominamos visualizacin esttica le permiti encontrar la solucin, pero no

resolver completamente el problema.

Conclusiones

Hemos dado evidencia de un tipo de visualizacin especial, que llamamos visualizacin dinmica,

necesaria para afrontar un problema de clculo universitario. Este tipo de visualizacin se

evidencia en la produccin y utilizacin de grafismos abstractos. El alumno que produjo y utiliz

grafismos abstractos mostr capacidad y destreza para elaborar y probar conjeturas, con lo cual

resolvi el problema. La alumna que no evidenci produccin de grafismos abstractos y que

mostr dificultad para visualizar dinmicamente lleg a una etapa de frustracin por no poder

abordar el problema. De esto consideramos que heurstica necesaria para abordar el problema se

sustenta en poder visualizar dinmicamente. Otro aspecto relevante es que esta alumna que no

visualiz dinmicamente es licenciada en enseanza de las matemticas. Considerando adems los

grafismos utilizados en las matemticas universitarias (Zimmerman y Cunningham, 1991),

concluimos que la visualizacin dinmica es necesaria para abordar muchos problemas de clculo

y que la capacidad de visualizar dinmicamente no es trivial ni natural, y que no se encuentra

necesariamente en todos los alumnos universitarios. El desafo para la investigacin ahora es

entender como se puede desarrollar esta manera de visualizar en matemticas.

Categora 2. Propuestas para la enseanza de las matemticas

Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa A. C.

1031

Esta investigacin tambin complementa los resultados de (Espinoza 2007). Un factor relevante en

la mediacin de los grafismos en la comprensin es la manera de visualizar que tienen los

estudiantes. En este caso el potencial encontrado de los grafismos abstractos en la resolucin de

la tarea matemtica planteada en esa ocasin esta condicionada a la necesidad de visualizar

dinmicamente, que en este contexto implica que el lector pueda tener cierto grado de

independencia de la informacin mostrada y pueda manipularla con la intencin de la

comprensin en matemticas.

Referencias bibliogrficas

Bosch, M. (1994). La dimensin ostensiva en la actividad matemtica. El caso de la

proporcionalidad. Tesis Doctoral no publicada, Universidad Autnoma de Barcelona, Espaa.

Espinoza, L. (2007). Diferencias en la comprensin de las traslaciones para distintos tipos de

representaciones visuales. En G. Buenda y G. Montiel (Eds.), Memoria de la XI Escuela de Invierno

en Matemtica Educativa, (pp. 603- 614). Red de Cimates. Mxico.

Garca, E. (2008). El uso del conocimiento matemtico asociado a la funcin en la produccin

institucional, el caso de investigadores en formacin de matemtica educativa. Tesis de Maestra

no publicada, Cinvestav, Mxico.

Laborde, C. (2004). The hidden role of diagrams in students construction of meaning in geometry.

In J. Kilpatrick, c. Hoyles and O. Skovsmose (Eds.), Meaning in mathematics education, (pp. 1-21).

Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

Zimmermann, W. y Cunningham, S. (1991). What is mathematical visualization? In: Zimmermann,

W. y Cunningham, S. (Eds.) Visualization in Teaching and Learning Mathematics, 1-8.