visualización en programación lineal 2011 · computadora y trabajando por medio de internet....

Segundo Coloquio: “Ambientes Virtuales y Objetos de Aprendizaje en la Educación Superior: Experiencias y Reflexiones”

Agosto 2011

VISUALIZACIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL

U n a p r o p u e s t a e d u c a t i v a

Edgar Enrique Solís de los Reyes* | [email protected] | Área de Matemáticas, CCH Azcapotzalco, UNAM

Maria Eugenia Canut Diaz Velarde** | [email protected] | División de Matemáticas e Ingeniería, FES Acatlan, UNAM

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* Egresado de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM. En proceso de titulación de la Maestría en Docencia en Educación Media Superior con especialidad en Matemáticas por la FES Acatlan, UNAM. Profesor Interino de asignatura “A” desde hace cinco años en el Colegio de Ciencias y Humanidades plantel Azcapotzalco. Pertenece al Área de Matemáticas, donde imparte las asignaturas de Matemáticas I a IV. Ha tomado diversos cursos y diplomados de actualización disciplinaria en diferentes áreas de su especialidad y pedagógicos. Ha participado en grupos de trabajo en la elaboración de material didáctico de las asignaturas que imparte, tanto para profesores como para alumnos. Ha participado en congresos de matemáticas y de enseñanza de las matemáticas como ponente y como asistente. Ha sido asesor en linea para cursos propedeuticos de ingreso a licenciatura de la UNAM. Es asesor en linea del Bachilletato en linea del Distrito Federal en las materias de Geométria y Geografía, y Matemáticas y Economía. Ha participado en la elaboración de examenes para la olimpiada nacional de lógica.

** Adscrita a la División de Matemáticas e Ingeniería, en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán, desde hace 20 años. Actualmente ocupa una plaza de profesor de tiempo


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completo Asociado "B". Imparte las asignaturas Investigación de Operaciones, Ingeniería Económica, Evaluación de Pro-yectos y Estadísticas descriptiva e inferencial, en diferentes carreras. Cuenta con una Maestría en Educación Matemática por la FES Acatlán y tiene dos diplomados; uno en Evalua-ción de Proyectos Financieros por la Universidad Panameri-cana y Nacional Financiera y otro en Calidad Total por la FES Acatlán. También cuenta con estudios de Doctorado en Educación: Medida y Evaluación de la Intervención Educativa (MIDE) por la universidad Anáhuac. Ha participado como po-nente y participante en congresos de la enseñanza de las matemáticas y de educación, a nivel nacional e internacional y ha impartido cursos a profesores.…

RESUMEN

En la enseñanza de las matemáticas, en particular en programación lineal, uno de los requerimientos básicos es entender y manejar el significado de las expresiones simbólicas, de este modo se entiende el resultado de éstas, es decir, se interpreta en el contexto del significado, facilitando la manipulación simbólica. En el caso de la Programación Lineal, es natural que la interpretación sea en un contexto geométrico, es decir, que las expresiones algebráicas se representen a través de sus gráficas. En ellas se utilizan diferentes parámetros para representar diferentes situaciones a través de modelos matemáticos. La propuesta en este trabajo es presentar los cambios que ocurren en el modelo de manera dinámica, visualizando a través de la computadora y trabajando por medio de Internet. Usando como herramienta didáctica el uso de la tecnología, permite que los alumnos trabajen en un ambiente cercano y familiar a ellos. Por medio de la visualización dinámica, el alumno puede manipular, de modo digital, los elementos relacionados en los contenidos temáticos, además de que al involucrar diferentes sentidos en su estudio facilita su posterior recuerdo, sin mencionar que de este modo abarcamos la estimulación de diferentes tipos de alumnos, auditivos, visuales y kinestésicos.


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ABSTRACT

In the teaching of mathematics, in particular in linear pro-gramming, one of the basic requirements is to understand and handle the meaning of the symbolic expressions, thus means the outcome, i.e. it is interpreted in the context of the meaning, providing symbolic manipulation. In the case of the linear programming, it is natural that interpretation is in a ge-ometric context, i.e. algebraic expressions to be represented through their graphs. These different parameters are used to represent different situations through mathematical models. Proposal in this paper is to present the changes that occur in the dynamic model, viewing through the computer and work-ing via the Internet. Using the use of technology as a teaching tool, it allows students to work in an environment near and familiar to them. Through dynamic visualization, the student can manipulate digital way, elements related to the thematic content, that to involve various senses in his studio facilitates their subsequent memory, not to mention that in this way we cover the stimulation of different types of students, auditory, visual and kinesthetic.

PALABRAS CLAVE

Registros de representaciones, estilos de aprendizaje, visualización dinámica, uso de tecnología.

KEYWORDS

Records of representation, styles of learning, dynamic display, use of technology.

1 INTRODUCCIÓN Un aspecto comunmente difícil de realizar por parte de los alumnos en el tema de progración lineal, es identificar los elementos gráficos de un problema particular. Esto es debido a que les resulta complicado relacionar las expresiones algebráicas de las diferentes ecuaciones, con el significado geométrico de ellas y las relaciones que


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guardan entre sí. Como consecuencia de esto, también resulta difícil para los alumnos interpretar la variabilidad de los parámetros de un problema, no sólo con su contexto geométrico, sino con el contexto mismo del problema. Lo que repercute en que uno de los contenidos centrales del tema, el análisis de sensibilidad, resulte ser muy accidentado para muchos alumnos.

El problema puede solucionarse haciendo que la parte geométrica del tema, y las relaciones con las representaciones algebraicas se clarifiquen. Para ello proponemos poner el enfásis tanto en la transición entras las dos representaciones, la algebraica con la geométrica, mostrando explicitamente, de manera dinámica, la interacción de la variabilidad de los parálmetros algebraicos con los cambios geométricos que éstos ocasionan, permitiendo que el alumno visualice la relación entre los diferentes elementos, pero sobre todo que sea él quien los manipule, digitalmente.

2 DESARROLLO

2.1 REGISTROS DE REPRESENTACIÓN Y VISUALIZACIÓN.

Conoces tanto un concepto, como la variedad de ejemplos que tengas de él . Esta es una expresión usada entre los matemáticos, pero bien, la podemos usar en la docencia: ¿qué tanto comprendres un concepto?, tanto como transiciones entre diferentes representeaciones de él domines. Por lo tanto, para comprender un concepto, se requiere lograr representarlo al menos de dos formas distintas, y hacer la transición entre ellas, “porque no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación” (Duval, 1999). Esto también se observa en los currículos de matemáticas, en ellos se indica que el trabajo de los diferentes temas debe pasar por el estudio de diferentes representaciones de sus conceptos, tales como el algebraico y al geométrico; un ejemplo de esto es el estudio de las funciones lineales. Se estudia su representación algebraica, 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, y su representación gráfica, como


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una linea recta; y el estudio se centra en mostrar las relaciones entre estos dos diferentes registros; lo que significa para la función cada uno de sus elementos y como se visualiza en las dos diferentes representaciones, por ejemplo, la pendiente de la función, cómo se identifica en la representación algebraica y cómo se visualiza en la representación geométrica, y el significado que ella tiene para la función específica, enfatizando como trasladar este concepto de un registro al otro. De hecho, cuando el alumno no logra la transición entre los registros, generalmente se dice que no comprendió, o bien, que su comprensión del tema es limitada; mientras que si logra la transición se dice que entendió el tema. Cuanto más inmediata sea la transición entre dos registros, incluso de manera inconsciente, se muestra el nivel elevado de comprensión del concepto o tema. A esto se debe que cuando se alcanza un alto nivel de entendimiento, cueste trabajo, al menos un momento de reflexión, detenerse a pensar en cómo se hizo el paso de un registro a otro, ya que a ese nivel, las diferentes representaciones se ven practicamente como sinónimos. Esto es lo que a los profesores, de los diferentes niveles, les llega a ocurrir al querer explicar algo, de esto se trata la labor de enseñanza del docente, hacer consciente la transición de registros y mostrarla a los alumnos. Y la carencia de ello es lo que generalmente se resume en la expresión: sabe mucho, pero no sabe enseñar. De lo anterior vemos la importancia de los registros de representación, sobre todo de la transición entre ellos; entre más registros de representación de un concepto se tengan, y se logre la transición entre ellos, y entre más inmediata se logre ésta, mejor es la comprensión del mismo. Duval nos dice: “la distinción entre objeto matemático y su representación es el punto estratégico para la comprensión de la matemática” Citado en (Márquez Ortega, Ramírez Teposteca, Romero Acosta, & Roldan Vázquez, 2010) Una forma de mostrar la relación entre un registro algebraico y un registro gráfico, es por medio de la visualización dinámica. Usando como herramienta la computadora podemos presentar las características gráficas de un


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concepto al tiempo que las algebraicas. Podemos visualizar la relación de variar los parámetros algebraicos con los cambios geométricos ocasionados al respecto y hacerlo de forma dinámica. El uso de la computadora como herramienta didáctica, permite la manipulación, digital, de los elementos de un concepto. Por ejemplo, con ella podemos no sólo graficar una función, sino, modificar sus parámetros y visualizar los cambios que estas modificaciones ocasionan en la gráfica; o bien, podemos “mover” la gráfica, desplazandola en el plano, y observar la variación que ocurre en sus parámetros debido a este movimiento. De este modo, con la computadora, trabajamos dos registros de representación, en un mismo ambiente, en un mismo momento, y sobre todo, relacionando dinámicamente las características de ellos y su interrelación. La computadora permite trabajar tanto las relaciones entre los elementos de distintas representaciones, que incluso se logra hacer no sólo con un concepto o tema, sino también con diferentes áreas de la matemática.

Puede ayudar a expresar los datos en diferentes sistemas de representación (tabulares, gráficos y analíticos). Como consecuencia, resulta una herramienta poderosa para establecer conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas (geometría, cálculo, álgebra y aritmética) (Santos Trigo & Benítez Mojica, 2003)

La manipulación digital que logramos por medio de la computadora es uno de los elementos didácticos importantes de ella como herramienta de este tipo. No sólo presentamos los conceptos y los elementos en un monitor, y hacemos que se muevan; sino que permitimos que sea el alumno el que interactúe con ellos, permitimos que manipule, digitalmente, los objetos que estudia. El alumno mueve elementos gráficos y observa el comportamiento, al tiempo que, respectivamente, cambian las características algebraicas, lo que propicia el aprendizaje. “El aprendizaje se propicia al modificar los valores de una o más variables y verificar sus efectos.” (Álvarez-Manilla, 1991)


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Esta interacción directa del alumno con los conceptos, sus características y sus relaciones, apoyado en el aspecto visual que permite una computadora, son un fuerte incentivo para que el aprendizaje del alumno sea significativo, pues tiene diferentes maneras de anclar lo que está estudiando, ya sea por lo que ve, o bien, por lo que hace, digitalmente, o bien, por el movimiento que se presenta, incluso por la explicación auditiva del profesor. Todo esto también hace que recordar lo que estudia sea mucho más fácil, pues de nuevo, tiene diferentes elementos para recordar un mismo concepto.

Sobre las representaciones de las funciones de forma geométrica, se deben de interpretar con algunas de sus propiedades con el propósito de establecer ciertas interrelaciones de correspondencia, con lo cual es posible llegar a una estructura de pensamiento deductivo e interpretativo en la forma geométrica, dando origen, a las representaciones graficas (esquemas o dibujos) para establecer un vinculo y que sea un referente para el alumno, generando un aprendizaje de forma más permanente en el. (Márquez Ortega, Ramírez Teposteca, Romero Acosta, & Roldan Vázquez, 2010)

Una ayuda más que presenta el uso de la computadora como herramienta didáctica, es que permite acercar los temas de estudio a un ambiente agradable y cercano al alumno; además de posibilitar extender el tiempo de estudio por medio de su presentación y trabajo a través de Internet. En la actualidad, la era digital, es natural el uso de la computadora y el Internet, y es aún más natural para los nacidos en esta era, que es el caso de los alumnos con los que trabajamos, adolescentes y adultos jóvenes. Para ellos, el uso de la computadora no sólo es familiar, sino preferido sobre otras herramientas o medios, tanto de trabajo como de comunicación, muestra de ello son las creciente redes sociales y sus usos no sólo comunicativos, sino laborales y de difusión. Algunos datos de (Mújica & Meisner Hertz, 2011): 70% del total de usuarios de Internet en México tienen un perfil en Facebook. El Distrito Federal es la segunda ciudad


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más activa en Twitter en Latinoamérica. México es el ocatavo país con mayor penetración de Tiwitter en el mundo. De acuerdo a una investigación realizada por Nielsen, el uso de las redes sociales aumentó 82 por ciento a nivel mundial (Merca 2.0, 2010)

FIGURA 1. USO DE LAS REDES SOCIALES A NIVEL MUNDIAL

Potenciar los estudios escolares presentandolos y difundiendolos en un ambiente natural y atractivo para los estudiantes, como la computadora e Internet, con la posibilidad de presentación, manipulación y análisis que de otro modo no se tienen, no sólo es una ventaja para llevar el conocimiento y trabajo académico fuera del salón de clases, sino una necesidad; la de enseñar un uso adecuado de los medios digitales e Internet para el desarrollo productivo, y no sólo como medios de entretenimiento.

La eficiencia social de la educación matemática consiste en impulsar su modernización académica, dotar a la educación de las estructuras, de mecanismos y contenidos aptos para responder adecuadamente a las carácterísticas más sobresalientes de la sociedad, formar personas capaces de desarrollar todo su talento en un mundo básicamente variable, graduados adiestrados en las modernas tecnologías de acceso a la información y al conocimiento; preparados


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para desarrollar su potencialidad de aprendizajes permanentes. (Valles P., 2010)

2.2 ESTILOS DE APRENDIZAJE

Diversos autores hacen mención de la necesidad de entender la forma en que las personas se comportan, aprenden, enseñan y piensan. Es por ende, importante entender la génesis para el proceso educativo y así poder diseñar procesos ajustables y tratamientos específicos orientados a incrementar el aprovechamiento en el aprendizaje de los estudiantes, así como, la efectividad del esfuerzo de los docentes (Lozano, 2008). Esas diferencias en el aprendizaje son el resultado de muchos factores, como por ejemplo la motivación, el bagaje cultural previo y la edad. Pero esos factores no explican porque con frecuencia nos encontramos con alumnos con la misma motivación y de la misma edad y bagaje cultural que, sin embargo, aprenden de distinta manera (Cisnero, 2004) nos señla el término “Estilo de Aprendizaje” se refiere al hecho de que cada persona utiliza su propio método o estrategias para aprender. De acuerdo con (Brower, 1989), Aunque las estrategias varían según lo que se quiera aprender, cada uno tiende a desarrollar ciertas preferencias o tendencias globales, tendencias que definen un estilo de aprendizaje. Por lo tanto se hace referencia a la manera en que los estudiantes estructuran los contenidos y utilizan conceptos e interpretan la información, resuelven los problemas y seleccionan medios de representación, se debe a los indicadores relativamente estables de cómo son los rasgos cognitivos, afectivos y fisiológicos que les permite que puedan percibir e interactuar y responder a sus ambientes de aprendizajes. La noción de que cada persona aprende de


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manera distinta a las demás, permite buscar las vías más adecuadas para facilitar el aprendizaje. En consecuencia, se han desarrollado distintos modelos y teorías sobre estilos de aprendizaje los cuales ofrecen un marco conceptual que permite entender los comportamientos diarios en el aula, cómo se relacionan con la forma en que están aprendiendo los alumnos y el tipo de acción que puede resultar más eficaz en un momento dado. De acuerdo con (Alonso, Gallego, & Honey, 2010), el análisis de los estilos de aprendizaje hacen refierencia al cómo es que los estudiantes se acercan al conocimeinto, es decir ofrece indicadores que ayudadn a guiar las interacciones de la persona con las realidades existenciales. En el modelo elaborado por Kolb, (Cisnero, 2004),menciona que para aprender algo debemos trabajar o procesar la información que recibimos, por lo tanto se puede partir de:

a) una experiencia directa y concreta: alumno activo. b) o bien de una experiencia abstracta, que es la que

tenemos cuando leemos acerca de algo o cuando alguien nos lo cuenta: alumno teórico.

Las experiencias que tengamos, concretas o abstractas, se transforman en conocimiento cuando las elaboramos de alguna de estas dos formas:

a) Reflexionando y pensando sobre ellas: alumno reflexivo.

b) Experimentando de forma activa con la información recibida: alumno pragmático.

Según el modelo de Kolb un aprendizaje óptimo es el resultado de trabajar la información en cuatro fases:


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FIGURA 2. FASES DE APRENDIZAJE

En la práctica, la mayoría de nosotros tendemos a especializarnos en una, o como mucho en dos, de esas cuatro fases, por lo que se pueden diferenciar cuatro tipos de alumnos, dependiendo de la fase en la que prefieran trabajar:

1) Alumno activo 2) Alumno reflexivo 3) Alumno teórico 4) Alumno pragmático

Un aprendizaje óptimo requiere de las cuatro fases, por lo que será conveniente presentar nuestra materia de tal forma que garanticemos actividades que cubran todas las fases de la rueda de Kolb. Con eso por una parte facilitaremos el aprendizaje de todos los alumnos, cualesquiera que sea su estilo preferido y, además, les ayudaremos a potenciar las fases con los que se encuentran más cómodos. Por ello debemos considerar las estrategias utilizadas, en donde podemos examinar técnicas específicas y enfoques generales en función de los tipos de pensamiento que requieren. Las técnicas secuenciales o lineales, deben ir acompañadas de los enfoques que permitan a los alumnos ver pautas, hacer uso del pensamiento visual y espacial, y tratar con el todo además de con las partes.


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Utilizando la estrategia del pensamiento visual, la observación es un medio básico para reunir e interpretar información en la mayoría de los campos. Al utilizar las representaciones gráficas, se genera una herramienta que permite enseñar a los alumnos a comprender y clarificar su pensamiento y comunicar sus ideas a otros. Según kolbo citado por (Negrete, 2002), cualquier sujeto puede participar en uno o varios estilos de aprendizaje de acuerdo con el tipo de aprendizaje. Finalmente, los alumnos necesitan ayuda para desarrollar habilidad de análisis gráfico, es decir, la capacidad de generar y manipular imágenes visuales, la que ayuda en una amplia variedad de tareas, entre ellas recordar información, aprender a deletrear palabras, efectuar funciones matemáticas y resolver problemas prácticos que impliquen relaciones espaciales.

2.3 PROGRAMACIÓN LINEAL

(Hiller & Lieberman, 2001), explica que la programación lineal es uno de los avances científicos más importantes del siglo XX. Es una herramienta que permite a las diferentes empresas y negocios asignar todo tipo de recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, es decir la precisión, de este tipo de problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. De tal forma que, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. (Taha, 2004), señala que existen situaciones diversas, en las que se puede aplicar esta descripción, que van desde la asignación de instalaciones a los productos, asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; así como la selección de una cartera de inversiones, la selección de los


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patrones de envío; la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. El ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas, lo que permite lograr obtener ahorros en sus costos y/o mejorar de forma significativa las utilidades. El éxito de la investigación de operaciones en los diferentes sectores sociales se debe, indudablemente, al avance en el desarrollo de las computadoras, que actualmente poseen gran capacidad de cálculo, además de la disponiblidad de software especializado para esta área del conocimiento. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. (Hiller & Lieberman, 2001), señala que la programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. El utilizar la palabra programación, se hace referencia al sinónimo de planeación. De tal forma que al referirnos a la programación lineal se trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución. (Taha, 2004), en la programación lineal se tiene que los términos claves son recursos y actividades, en donde m denota número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son distintos tipos de especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos


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específicos, publicidad en un medio determinado y el envió de bienes de cierta fuente a cierto destino. La aplicación involucra la asignación de recursos a ciertas actividades, de manera que la cantidad disponible de cada recurso está limitada. La determinación de esta asignación considera los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida de efectividad. (Eppen, Gould,, Shmidt, & Moore , 2004), describe a la programación lineal como una técnica matemática diseñada para optimizar la utilización de recursos que están limitados para ser utilizados por alguna persona u organización en particular. El objetivo de la programación lineal (Taha, 2004), es el de resolver problemas donde se requiere maximizar o minimizar alguna función objetivo lineal sujeta a una o más restricciones lineales. Esto mismo lo expresa (Prawda, 2000) de la siguiente manera: Dado un conjunto de m desigualdades o ecuaciones en r variables, deseamos encontrar valores no negativos de aquellas variables que satisfarán las restricciones y maximizarán o minimizarán alguna función lineal de las variables. Por lo tanto, la programación lineal es una estructura matemática, que involucra suposiciones matemáticas particulares, que puede resolver, usando una técnica de solución llamada el Método Simplex, problemas que surgen en el mundo real dentro del ámbito de todo tipo de organizaciones. Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Z = valor de la medida global de efectividad

Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)


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Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que X1,X2,....,Xn se llaman variables de decisión. Los valores de Cj, bi y aij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij también se conocen como parámetros del modelo.

3 CONCLUSIONES

Dentro de las actividades que los alumnos deben desarrollar durante el aprendizaje de la programación lineal, es el analizar los diferentes métodos de solución y examinar las propiedades de cada uno de ellos en la solución de problemas, de manera que se de una oportunidad para desarrollar modelos matemáticos donde se encuentren distintos sistemas de representaciones. La tecnología ofrece un acceso interesante para observar y examinar conexiones y relaciones, de manera que puedan visualizar, identificar y manipular las estructuras de los conceptos El empleo de diferentes tipos de representaciones, por medio de visualización dinámica, genera estímulos en los alumnos, para los sentidos, en los procesos de construcción de nuevas estructuras mentales, debido a que existe un vínculo entre un objeto matemático y sus representaciones. En matemáticas, las representaciones no sólo son indispensables para los


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fines de comunicación (hacia uno mismo y hacia los otros), sino que también son necesarias para la propia actividad matemática, ya que permiten la posibilidad de efectuar tratamientos sobre los objetos matemáticos a través de las transformaciones ejercidas sobre sus representaciones. Lesh establece que “formas poderosas de pensar se generan en procesos iterativos y recursivos a través del desarrollo de perspectivas involucradas con múltiples representaciones”.

4 REFERENCIAS Cisnero, A. C. (2004). Manual de Estilos de Aprendizajes. S.E.P. . México.

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