viii. efecto de los controladores sobre la respuesta...
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VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS VIII. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL A continuación se evaluará el efecto que tiene introducir un controlador sobre la
respuesta temporal de un sistema, siendo los tipos de controladores a analizar los
siguientes:
Proporcional (P)
Proporcional derivativo (PD)
Proporcional integral (PI)
Proporcional integral derivativo (PID)
Inicialmente se describirá el efecto que tiene cada uno de ellos sobre la respuesta
temporal del sistema y más adelante se plantearán dos metodologías para especificar
el valor de los parámetros del controlador, una de ellas fundamentada en la reubicación
de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra será una sintonización empírica del
controlador. Cada tipo de controlador será introducido tal como se puede apreciar en el
siguiente sistema de control, a partir del cual se realizará el estudio aquí planteado.
8.1 Controlador Proporcional (P) Un controlador proporcional tiene como función de transferencia solamente una
ganancia, KP, conocida como la ganancia proporcional, es decir, es de la siguiente
forma:
PC K(s)G =
Este tipo de controlador tiene su efecto tanto en la parte transitoria como en la parte
permanente de la respuesta transitoria, ya que la ecuación característica del sistema a
lazo cerrado será 1+ KPG(s)H(s) = 0, por lo tanto la ubicación de los polos dependerá
del valor de KP. En cuánto a la respuesta permanente, el error del sistema depende de
la ganancia a lazo abierto, a mayor ganancia menor error. De allí, que se podrá diseñar
el valor de KP tal que el sistema cumpla con ciertos requisitos. A partir de allí se puede
concluir que, la introducción de un controlador proporcional tiene influencia sobre la
respuesta transitoria y la permanente, pero limitada.
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS 8.2 Controlador Proporcional Derivativo (PD) En este caso el controlador añade tanto una ganancia como un cero en el eje real, que
dependerán de KP y TD, ganancia proporcional y tiempo derivativo respectivamente,
quedando la función de transferencia de la siguiente forma:
s)T(1K(s)G DPC +=
Al introducir dicho controlador en el lazo abierto, se presentará una modificación mayor
en la ecuación característica a lazo cerrado, que la introducida con un controlador
proporcional, tal que la reubicación de los polos dependerá de los valores de KP y TD.
Por ello, con este tipo de controlador se tendrá un mayor manejo de la respuesta
transitoria a lazo cerrado, en tanto que, la respuesta permanente solamente se verá
influencia por el valor de KP. Esto último se confirma al verificar que la ganancia del
sistema a lazo abierto no se ve afectada por el valor de TD.
Resumiendo, se puede concluir que la introducción de un controlador PD tendrá los
siguientes efectos sobre el sistema, una mejora apreciable de la respuesta transitoria y
una mejora del error similar a la proporcionada por un controlador proporcional.
8.3 Controlador Proporcional Integral (PI) En este caso el controlador añade una ganancia, un cero en el eje real y un polo en el
origen, que dependerán de KP y TI, ganancia proporcional y tiempo integral
respectivamente, quedando la función de transferencia del controlador como sigue:
+
=+=s
T1sK)
sT1(1K(s)G I
PI
PC
Su efecto sobre la respuesta transitoria es relativamente negativo, pues desmejora la
estabilidad relativa del sistema a lazo cerrado, en tanto que, su efecto sobre la
respuesta permanente es una mejora radical. Esto es debido a la introducción de un
polo en el origen, lo que aumenta el tipo del sistema a lazo abierto mejorando de
manera importante el error del sistema.
8.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) En este caso el controlador añade una ganancia, dos cero en el eje real y un polo en el
origen, que dependerán de KP, TD y TI, ganancia proporcional, tiempo derivativo y
tiempo integral respectivamente, quedando la función de transferencia del controlador
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS como sigue:
++=++=
s1sTsTT
TK
)sT
1sT(1K(s)G I2
ID
I
P
IDPC
Su efecto resulta en un buen manejo de la respuesta temporal y una mejora radical en
la respuesta permanente. Lo primero se alcanza gracias a la reubicación de los polos a
lazo cerrado y lo segundo, proviene del aumento del tipo de sistema a lazo abierto.
Es importante hacer resaltar que la escogencia del tipo de controlador a utilizar
dependerá de las condiciones o restricciones preestablecidas para el sistema de
control.
A continuación se muestra un sistema de control al cual se le añadirán diferentes tipos
de controladores con el efecto de observar el efecto sobre la respuesta temporal, tanto
transitoria como permanente.
Gc(s)25
s2 + 50 s + 25
R(s) C(s)
Inicialmente se considerará que el controlador es del tipo proporcional y se le darán
diferentes valores a la ganancia proporcional del controlador, tal como se observa en la
tabla 8.1, en la cual también se pueden observar los valores característicos de la
respuesta a lazo cerrado para dichas variaciones, los cuales fueron calculados a partir
de la función de transferencia a lazo cerrado que se muestra a continuación.
)K1(2550K25
(s)GP
2P
LC +++=
ss
Kp ωn ζ ts(2%) Mp(%) Error
7,07 3,54 0,50
2 8,66 2,89 0,33
10 16,58 1,51 0,09
20 22,91 1,09 0,05
30 27,84 0,90 0,16 0,16 0,03
50 35,71 0,70 0,16 4,59 0,02
Tabla 8.1 Parámetros Característicos de la función de transferencia a lazo cerrado para
variaciones de KP
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Posteriormente en las Figura 8.1 y 8.2 se pueden apreciar las simulaciones de la
respuesta del sistema de control ante estas variaciones.
Figura 8.1 Respuestas a lazo cerrado para KP =1, 2 y 10
Figura 8.2 Respuestas a lazo cerrado para KP =20, 30 y 50
A partir de los cálculos mostrados en la tabla anterior, así como en las figuras, se
puede concluir que gracias a la introducción de un controlador proporcional es posible
lograr lo siguiente a medida que aumenta KP.
Disminución del error
Disminución del factor de amortiguación, aumentando así el máximo pico.
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
No se modifica el tiempo de establecimiento para los sistemas subamortiguados.
De esta forma se puede concluir que la introducción del controlador proporcional
proporcionó mejoras significativas en la respuesta transitoria y permanente, pero no
radicales.
Si ahora se introduce un controlador proporcional derivativo la función de transferencia
a lazo cerrado se ve modificada como se muestra y en la tabla 8.2 se observan los
valores característicos de la respuesta a lazo cerrado para variaciones de KP y TD.
)K25(1)sT25K(50ss)T(125K
(s)GPDP
2DP
LC +++++
=
KD TD ωn ζ ts(2%) Mp(%) Error 50 - 35,71 0,70 0,16 4,59 0,02 50 0,005 35,71 0,79 0,14 1,80 0,02 50 0,01 35,71 0,88 0,13 0,34 0,02 100 - 42,13 0,59 0,16 9,87 0,01 100 0,005 50,25 0,62 0,13 8,25 0,01 100 0,01 50,25 0,75 0,11 2,95 0,01 100 0,02 50,25 1,00 0,08 0,00 0,01
Tabla 8.2 Parámetros Característicos de la función de transferencia a lazo cerrado para
variaciones de KP y TD
Posteriormente en las Figura 8.3 y 8.4 se pueden apreciar las simulaciones de la
respuesta del sistema de control ante estas variaciones.
Figura 8.3 Respuestas a lazo cerrado para KP = 50 y TD = 0.005 y 0.01
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Figura 8.4 Respuestas a lazo cerrado para KP = 50 y TD = 0.005 y 0.01 A partir de los cálculos mostrados en la tabla anterior, así como de las figuras, se
puede apreciar que, para un KP fijo se puede concluir que, a medida que aumenta TD.
Disminuye el ts
El error no se modifica
Disminuye el seda y por ende el Máximo Pico
Más aún, se puede apreciar que la modificación en la respuesta permanente solamente
depende del valor asignado a KP, tal como se esperaba. Por lo tanto, es posible
concluir que, gracias a la introducción de un controlador proporcional derivativo, la
respuesta transitoria presenta una mejoría considerable, en tanto que la permanente
solamente puede ser modificada en igual magnitud que si se tuviese un controlador
proporcional.
Finalmente, si se utiliza un controlador proporcional Integral la función de transferencia
a lazo cerrado se ve modificada como se muestra en función de los valores de KP y TI.
)TK25)sK(12550s)T1(s25K
(s)GIPP
23IP
LC +++++
=s
A partir de allí, se pueden obtener las respuestas del sistema a lazo cerrado para un
valor fijo de KP y diferentes valores de TI, de forma tal que se aprecie el efecto de la
parte integral del controlador. Esto puede ser observado en las figuras 8.5 y 8.6, en las
VIII. EFECTO DE LOS CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS cuales se muestran las respuestas obtenidas para una entrada escalón y una entrada
rampa respectivamente.
Figura 8.5 Respuestas a lazo cerrado para KP = 2 y TI = 0.5, 1 y 2
Figura 8.6 Respuestas a lazo cerrado ante el escalón para KP = 2 y TI = 1 y 2
El controlar proporcional integral añade un orden al sistema y aumenta el tipo del
sistema de lazo abierto.
De allí, que el lazo cerrado tenga un error cero ante el escalón y finito ante la rampa
A medida que disminuye TI aumenta la acción integral con lo cual:
Mejora el error finito
Desmejora la respuesta transitoria
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS Este método consiste en reubicar los polos a lazo cerrado de un sistema variando el
tipo de controlador a añadir y los parámetros del mismo. A continuación se mostrarán
algunos ejemplos de diseño, utilizando el método de reubicación de polos para
sistemas sencillos, los cuales ponen en evidencia el efecto que cada tipo de
controlador tiene sobre la respuesta a lazo cerrado.
Ejemplo Los helicópteros son inestables sin adecuados sistemas de control. A continuación se
muestra un esquema de control para el ángulo de avance, dada una referencia en la
posición de la varilla de control del helicóptero.
Diseñe un controlador (Gc(s)) tal que la respuesta tenga 0,707 ≤ ζ ≤ 1 y un tiempo de
establecimiento al 2% menor o igual a 2. Especifique posibles rangos para los
parámetros del controlador.
Si además se requiere que el ess≤ 1 (ante una entrada tipo rampa), verifique si el
controlador escogido anteriormente cumple con esto y de no ser así diseñe uno nuevo.
En cada caso especifique claramente la función de transferencia del controlador, así
como, el rango para el valor de sus parámetros y unos valores particulares escogidos
por usted.
Controladores disponibles Proporcional Prop. Derivativo Prop. Intergral Prop. Intergral Derivativo
PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT
1(1K(s)GI
PC += )sT
1sT(1K(s)GI
DPC ++=
Solución Inicialmente se debe analizar la respuesta que tiene el sistema a lazo cerrado sin
introducir ningún controlador para verificar si cumple o no con las restricciones
impuestas.
De no ser así, se debe analizar que parte de la respuesta temporal, transitoria o
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS permanente, no cumple con lo establecido, para iniciar el diseño en forma razonada.
Para ello, se debe revisar la Ecuación característica a Lazo Cerrado (ECLC) sin
controlador y verificar las restricciones.
ECLC (sin controlador)
0)2(
)05,0(101 2 =−+
+ss → 05,482 =++ ss →
5,4
822 =
=
n
n
ω
ξω
24≤=
nst
ξω → 2≥nξω Esta restricción se cumple
5,42 =nω → 12,2=nω → 88,1=ξ No cumple con la otra restricción.
Como se puede observar, el sistema no está muy lejos de cumplir ambas restricciones,
por lo tanto, como sólo se debe mejorar ligeramente la respuesta transitoria, se puede
intentar el diseño de un controlador proporcional. Dicho controlador, además de ser el
más sencillo, es también el más fácil de diseñar. Para ello, se introduce en la ECLC el
controlador escogido.
ECLC (Controlador Proporcional)
02)(s0,05)10K(s1 2 =
−+
+ → 00,5K)4(2)s(10Ks2 =++−+ → 0,5K4
210K22 +=
−=
n
n
ω
ξω
K > 0,2 (Criterio de estabilidad) → ξωn = 5K – 1 > 2 → K > 0,6 (obligatorio)
24≤=
nst
ξω → 215 ≥−= Knξω → K ≥ 0,2 Esta restricción se cumple
Ahora se escogerá un valor para ξ =1 y se verificará que valor de K cumple con todas
las restricciones.
ξ = 1 → ωn ≥ 2 → 4 + 0,5K ≥ 4 (para todo K ≥ 0)
Por lo tanto, si se escoge un controlador proporcional cuyo parámetro K sea mayor que
0,6 se cumplirá con el requerimiento de la estabilidad, del tiempo de establecimiento y
del ξ. Ahora, se verifica si se cumple con la restricción del error.
)45,0(11
11
KKe
Pss +
=+
= → 15,04
4≤
+=
Kess → K ≥ 0
Un controlador proporcional cuya ganancia sea mayor de 0,6 cumplirá todos los
requisitos.
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS Ejemplo Para un esquema de control como el mostrado a continuación se requiere que el error
ante un escalón sea cero y que el tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea
menor que 0.5 (considere una entrada escalón unitario).
Controladores disponibles
Proporcional Prop. Derivativo Prop. Integral Prop. Integral Derivativo
PC K(s)G = s)T(1K(s)G DPC += )sT
1(1K(s)GI
PC += )sT
1sT(1K(s)GI
DPC ++=
a) Calcule los parámetros del controlador escogido para que esto se cumpla.
b) Si además se solicitase que el sistema no tuviese sobrepico (ξ=1), verifique si
ésto se cumple con el controlador diseñado y de no ser así modifique el
controlador y calcule los nuevos parámetros.
c) Discuta el comportamiento del PID en este caso en cuánto a mejoras en el
estado estacionario y en la respuesta transitoria, sin realizar el diseño del
controlador.
Solución Ecuación Característica a Lazo Cerrado (Sin controlador)
2s + 3 = 0 → ts = 3τ = 2 → ess es finito ante el escalón
De allí se puede concluir que, el sistema original sin controlador no cumple, ni las
restricciones transitorias ni las permanentes. Se analizará que tipo de controlador se
debe añadir.
El controlador proporcional mejorara el ts pero el error no será cero, de igual manera
será con el controlador PD. El controlador PI, al aumentar el tipo del sistema, cumple
con el requerimiento del error, aún cuando desmejora la respuesta transitoria se
intentará diseñar este tipo de controlador utilizando la parte proporcional para manejar
la respuesta transitoria.
IX. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REUBICACIÓN DE POLOS INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS a) Ecuación Característica a Lazo Cerrado (Controlador Proporcional Integral)
012
2s
T1sK1 I
P =
+
++
s → 0K2)K21(Ts2T PPI
2I =+++ s
0TK
2)K21(
sI
PP2 =++
+ s → IPn
Pn
TK
K
=
+=2
5,02
ω
ξω
El único requerimiento que se debe cumplir es que el tiempo de establecimiento sea
menor o igual a 3, de allí que se verifica el valor que debe deben tener los parámetros
del controlador.
5,05,0
63≤
+==
Pns K
tξω
→ 5,012 +≤ PK → 5,11≥PK
Ti puede tener cualquier valor.
b) Si además se solicita ξ = 1 entonces se verificaran los valores de los parámetros del
PI en el límite. Se toma KP = 11.5, con lo cual se satisface el establecimiento y se
calcula un TI de forma tal que se cumpla con el ξ.
125,02 =+= Pn Kξω → 6=nξω → 6=nω
IPn TK=2ω → IIP TTK 5,1136 == → 3194,0=IT
c) Caso PID. Si se añade una parte derivativa se tiene que
ECLC (con controlador PID)
012s
2s
T1ss)T(1K1 I
DP =
+
+++
0TK2)K21()sT2K(2 IPP2
DP =++++ s
De esta expresión para la ecuación característica se observa que es posible lograr un
mayor manejo de todos los términos de la ecuación, lo que fundamentalmente se
revierte en mayores posibilidades de manejo de la respuesta temporal.
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID El diseño de controladores se realiza en función del conocimiento del proceso, es
decir, a partir del modelo del proceso y del esquema de control. Si no se dispone de la
información antes descrita se plantea el uso de reglas de sintonización para
controladores, PID, donde la función de transferencia del controlador PID es de la
forma:
++=++=
s1sTsTT
TK
)sT
1sT(1K(s)G I2
ID
I
P
IDPC
Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia
proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td basados en las
características de respuesta transitoria de una planta dada. La determinación de los
parámetros de los controladores PID puede ser realizada por ingenieros en el sitio
mismo efectuando experimentación en la planta.
Hay dos métodos denominados reglas de sintonización de Cohen – Coon y Ziegler –
Nichols, fundamentados en la experimentación en los cuales se pretende obtener, a
lazo cerrado, un sobrepaso máximo del 25 %.
10.1 Método de Cohen – Coon (Reacción) En este método se obtiene experimentalmente la respuesta de la planta al aplicar un
escalón unitario, como se muestra en la siguiente figura. Si la planta no incluye
integrador(es) o polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al
escalón unitario puede tener el aspecto de una curva en forma de S, como se observa
en dicha figura, en el caso en que la curva no presente esta forma, no se puede aplicar
el método.
La curva en forma en S se puede caracterizar con dos parámetros, el tiempo del
atraso L y la constante de tiempo τ. El tiempo de atraso y la constante de tiempo se
determinan trazando una línea tangente a la curva en la forma de S en el punto de
inflexión y se determinan las intersecciones de esta línea tangente con el eje del
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
tiempo y con la línea c(t) = K, como se muestra en la siguiente figura. Entonces la
función de transferencia C(s)/U(s) se puede aproximar por un sistema de primer orden
con atraso de transporte.
( )( ) 1s
eKsUsC sL
+⋅τ⋅
=⋅−
Una vez identificado los parámetros del proceso, se obtienen los parámetros del
controlador utilizando la siguiente tabla.
Tipo de controlador Kp TI Td
P τ/L ∞ 0
PI 0,9 τ/L L/0,3 0
PID* 1,2 τ/L 2L 0,5L
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1/L
10.2 Método de Ziegler – Nichols (Oscilación Continua) En este método, primero se hace Ti = ∞ y Td = 0 y usando solamente la acción del
controlador proporcional, tal como muestra en la siguiente figura, se incrementa Kp
desde cero hasta un valor crítico Kcr en el cual la salida exhiba por primera vez
oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas con periodo
para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces no se puede aplicar este método.
De esta forma se puede determinar experimentalmente la ganancia crítica Kcr y el
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
período correspondiente Pcr de las oscilaciones sostenidas, a partir de los cuales se
calculan los valores de los parámetros del controlador PID tal como se muestran a
continuación.
Tipo de controlador Kp Ti Td
P 5Κcr ∞ 0
PI 0,45Κcr 1/1,2Pcr 0
PID* 5Κcr 0,5Pcr 0,125Pcr
*tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -4/Pcr
Ejemplo Se solicita que se sintonicen los parámetros del siguiente controlador utilizando el
método de oscilación continua.
Solución Se debe calcular el valor de la ganancia critica (si existe). Para ello se utiliza el criterio
de estabilidad de Routh en la ecuación característica a lazo cerrado. Tomando la
función de transferencia del controlador como Gc(s) = Kp.
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
08)4)(ss(s
K1 P =
+++ → 0K32s12ss P
23 =+++
P0
11
P2
3
Ks0bs
K12s321s
→ 012
K-12.32b P1 ≥= → 384Kcr ≤
Con dicho valor de Kcr se sustituye en la ecuación característica y se calcula la
frecuencia de la oscilación sustituyendo s = jω
Ecuación Característica a Lazo Cerrado
03843212 23 =+++ sss ωjs = 0)32()12384(
0384321222
23
=−+−
=++−−
ωωω
ωωω
jjj
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Como la solución que se busca es una raíz cuya parte real es cero, se tiene que:
012384 2 =− ω 5.66ω32ω2 =⇒=
A partir de dicho valor de ω se puede calcular el Período Crítico, Pcr, como:
11.132
22===
πωπPcr
Con dichos valores de Kcr y Pcr se calculan los parámetros del controlador.
13875.0125.0555.05.0
4.2306.0
====
==
PcrTdPcrTiKcrKp
En la Figura 10.1 se muestran las simulaciones correspondientes a la respuesta a lazo
cerrado, sin controlador y con el PID sintonizado con los parámetros originales, así
mismo, en la Figura 10.2, se muestran dos simulaciones adicionales en las cuales se
han modificado el valor de los parámetros del controlador logrando mejoras
sustanciales en las respuestas.
Fig. 10.1 Respuesta a lazo cerrado del sistema sin controlador y con el controlador sintonizado
con los parámetros originales
X. REGLAS PARA LA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
Fig. 10.2 Respuesta a lazo cerrado con el controlador sintonizado con dos juegos de parámetros
modificados a partir de los originales
XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
_____________________________________________________________________________________ ___ PROF. JENNY MONTBRUN DI FILIPPO PROF. YAMILET SANCHEZ MONTERO
XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES (LGR) 11.1 Definiciones ¿Qué ocurre con los polos de un sistema a lazo cerrado cuando existe un parámetro K
del sistema que puede variarse con el rango Kmín. < K < Kmáx. ?
El LGR responde a esta pregunta ya que indica gráficamente la posición de los polos del
sistema a lazo cerrado, en el plano s, en función de un parámetro. Sea un sistema
retroalimentado con la siguiente topología,
La Función de Transferencia a Lazo Abierto es )s(H)s(GK ⋅⋅
La Función de Transferencia a Lazo Cerrado es )s(H)s(GK1
)s(GKG LC ⋅⋅+⋅
=
Los polos del sistema a lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica de la
Función de Transferencia a Lazo Cerrado, es decir,
0)s(H)s(GK1 =⋅⋅+
Por lo tanto, si S1 es un polo del sistema a lazo cerrado cumple con la siguiente
ecuación,
0)s(H)s(GK1 11 =⋅⋅+
Ahora, suponiendo que la FTLA tiene m ceros y n polos, tal como se muestra a
continuación.
)ps(...)ps()ps()zs(...)zs()zs(K
)s(H)s(GKn21
m21+⋅⋅+⋅+
+⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅ con n ≥ m
se pueden definen los ceros como z y polos como p, tal como se indica,
[ ] { }m21 z,...,z,z)s(H)s(GKZ −−−=⋅⋅ ceros de FTLA
[ ] { }n21 p,...,p,p)s(H)s(GKZ −−−=⋅⋅ polos de FTLA
expresando la ecuación anterior como una multiplicatoria de raíces, tanto en el
numerador como en el denominador, se puede expresar el Lugar de las raíces de la
ecuación característica a lazo cerrado en función de K, tal como sigue:
XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
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0)(
)(1
1
1 =+
+⋅+
∏
∏
=
=n
jj
m
ii
ps
zsK →
Kps
zs
n
jj
m
ii 1
)(
)(
1
1 −=+
+
∏
∏
=
=
lo cual puede expresarse en forma vectorial, considerando que cada uno de los términos
de dicha expresión tiene un módulo y un ángulo, tal como se muestra a continuación.
π⋅
=
= ⋅=+
+
∏
∏j
n
1jj
m
1ii
eK1
)ps(
)zs(
→ π⋅
ψ−ϕ⋅
=
=
=
= ⋅=
δ
γ
=
+
+ ∑∑==
∏
∏
∏
∏j
j
n
1jj
m
1ii
n
1jj
m
1ii
eK1e
)ps(
)zs( n
ijj
m
iii
donde,
ii zs +=γ ji ps +=δ )zsarg( ii +=ϕ )psarg( jj +=ψ
Entonces, s1 es un polo del sistema a lazo cerrado si se cumplen la condición de
magnitud y de fase que se muestran a continuación.
Condición de magnitud Condición de fase
K1
n
1jj
m
1ii
=
δ
γ
∏
∏
=
= °⋅∑ +⋅±=−∑==
180)12(n
ijj
m
iii rψϕ ; r = 0,1...
La interpretación gráfica de la condición de fase es que cualquier punto s1 sobre el LGR
(que corresponde a un valor positivo de K) debe satisfacer la siguiente condición: “La
diferencia entre la suma de los ángulos de los vectores dibujados desde los ceros y los
dibujados desde los polos de G(s)H(s) a s1 es un múltiplo impar de ±180°”.
Una vez que el lugar de las raíces completo ha sido construido, los valores de K a lo
largo del LGR pueden ser determinados utilizando la condición de magnitud, es decir:
K
)zs(
)ps(
m
1ii
n
1jj
=
+
+
∏
∏
=
=
Gráficamente, el numerador de la ecuación anterior representa el producto de las
XI. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES INTRODUCCIÓN AL CONTROL DE PROCESOS
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longitudes de los vectores dibujados desde los polos de G(s)H(s) a s1; y el denominador
representa el producto de las longitudes de los vectores dibujados desde los ceros de
G(s)H(s) a s1. Si el punto s1 está sobre el lugar de las raíces, K es positivo y si s1 está
sobre el lugar de las raíces complementario, K es negativo.
La posición del lugar de las raíces cuando K varía de 0 a ∞, es decir K ≥ 0, se llama
Lugar de las Raíces.
La porción de lugar de las raíces cuando K varía de -∞ a 0, es decir K < 0, se llama
Lugar de las Raíces Complementario.
Si -∞ < K < ∞, construimos el Lugar de las Raíces Completo.
Ejemplo
Obtención no metodológica del LGR de un sistema cuya función de transferencia a lazo
abierto sea la siguiente:
)()()()()(
32
1
pspsszsKsHsGK
+⋅+⋅+⋅
=⋅⋅
Sea s1 un punto seleccionado arbitrariamente. Si s1 es un punto sobre el LGR (0 ≤ K <
∞), este debe satisfacer la condición de fase.
)12(1803211 +⋅⋅°=−−− rψψψϕ
Si s1 satisface esta ecuación se usa la condición de magnitud para determinar el valor
de K en ese punto.
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ABCDK =
Dada la función G(s)H(s) como un factor multiplicador y los polos y ceros conocidos, la
construcción del LGR involucra los siguientes pasos:
1. Búsqueda de todos los puntos s1 en el plano s que satisfacen la condición de fase.
2. Determinación de de los valores de K en los puntos sobre el LGR usando la condición
de magnitud.
Estas son las condiciones básicas para construir el LGR. Sin embargo, si se aplica este
método de ensayo y error, la búsqueda de todos los puntos de LGR que satisfacen
estas ecuaciones sería interminable.
Ejemplo Obtención no metodológica del LGR de un sistema cuyo diagrama de bloques sea el
siguiente:
Se obtiene la función de transferencia a lazo cerrado y a partir de allí se obtienen las
raíces de la ecuación característica a lazo cerrado para variaciones de K.
KssK
sUsY
++= 2)(
)( 0 ≤ K < ∞
Los polos del sistema a lazo cerrado son: K4121
21s 2,1 ⋅−⋅±−=
Para K = 0, los polos del sistema a lazo cerrado {-1, 0}, son precisamente los polos del
sistema a lazo abierto. Para construir el LGR de este sistema, se escoge un punto de
prueba s1. Para que s1 pertenezca al lugar geométrico debe cumplirse
°=+ 18021 ψψ . Cualquier s1 en la recta Re(s) = -1/2 es un polo de lazo cerrado.
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Para hallar los valores de K:
∏∏
+
+=
i
j
zsps
K 22121 pKpppKpp =→==→=⋅
Finalmente, el lugar geométrico de las raíces es:
11.2 Reglas para la construcción del LGR A continuación se mostrarán unas reglas para la construcción del LGR con la intención
de simplificar la misma.
Regla 1 El LGR tiene tantas ramas como polos tenga el sistema a lazo abierto.
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))()(1(# sHsGKderaícesdeRamas ⋅⋅+=
Cada rama se origina (K = 0) en un polo de )()( sHsGK ⋅⋅ y termina en un cero de
)()( sHsGK ⋅⋅ . Además (n -m) ramas van a ∞, las cuales se conocen como asíntotas.
El punto K = 0 sobre el LGR son los polos de G(s)H(s)
KsHsG 1)()( =⋅
Cuando K → 0, |G(s)H(s)|→ ∞, s debe aproximarse a los polos de G(s)H(s).
Los puntos K → + ∞ sobre el LGR son los ceros de G(s)H(s).
Regla 2 El LGR es simétrico con respecto al eje real (si hay raíces complejas, estas son
conjugadas).
Regla 3 Una sección del eje real es parte de LGR si para un punto arbitrario de la sección, este
tiene un número impar de polos y/o ceros a su derecha.
Ejemplo
)3()2()1()()(+⋅+⋅
+⋅=⋅⋅
ssssKsHsGK
{ } { }{ } { }3,2,0)()(
1)()(−−=⋅⋅
−=⋅⋅sHsGKPsHsGKZ
Esto se puede justificar mediante la condición de fase: la contribución de los polos de la
derecha del punto es ±180°, la contribución de los polos a la izquierda de punto es 0°,
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por lo tanto, debe haber un número impar de polos y ceros para que la fase sea
±180°(2.r + 1).
Regla 4 Los ángulos de salida del LGR (desde los polos) y los ángulos de llegada del LGR (a los
ceros) se calculan considerando la ubicación de una raíz s1, como sigue:
a. Ángulo de salida desde un polo.
Como |p-s1|<<1
ii
jj
zszp
pspp
−≈−
−≈−
)12(180)()()( 121 +⋅⋅°±=++−=⋅∠ rsHsG ϕψψ
112 )12(180 ψϕψ −++⋅⋅°±= r)12(180 +⋅⋅°±=− ∑∑ r
poloscerosψϕ
)12(180)arg()arg(1
11+⋅⋅°±=
+−−− ∑∑
−
==
rppzpn
ii
m
ii θ
)12(180)arg()arg(1
11
+⋅⋅°±−−−= ∑∑−
==
rppzpn
ii
m
iiθ
b. Ángulo de llegada a un cero.
)12(180 +⋅⋅°±=− ∑∑ rpolosceros
ψϕ
)12(180)arg()arg(1
11+⋅⋅°±−−−= ∑∑
−
==
rzzpzn
ii
m
iiη
c. Ángulo de salida del LGR desde un doble polo p.
+⋅⋅°−−−−⋅= ∑∑
−
==
)12(180)arg()arg(21 1
11
rppzpn
ii
m
iiθ
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Regla 5 (sobre los puntos de ruptura) En los puntos de ruptura el sistema tiene polos coincidentes, tal como se muestra en
siguiente ejemplo.
s* es un punto de ruptura si cumple con las siguientes condiciones:
[ ] 0)()(
0)()(1
*
**
=⋅⋅
=⋅⋅+
=SSsHsGKdsd
sHsGK
Nota: no toda raíz es punto de ruptura.
Ejemplo
)4()2()1()()(
+⋅+⋅+=⋅⋅
sssKsHsGK
Para hallar los puntos de ruptura:
0)4()2()1(
=
+⋅+⋅+ sss
Kdsd
0)2()1()4()1()4()2( =+⋅+++⋅+++⋅+ ssssss
0234586 222 =+⋅⋅+++⋅+++⋅+ ssssss
014143 2 =+⋅+⋅ ss
62814
616819614 ±−
=−±−
=s
45,145,1 *1 −=→−= ss
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21,32 −=s no pertenece al lugar geométrico
Regla 6 Cuando K→ ∞, las ramas del LGR que terminan en ∞ son asintóticas a las líneas rectas
con ángulos:
°⋅−
+⋅= 18012
mnr
rθ r = 0,..., |n-m| -1 n ≠ m
Estas líneas se encuentran sobre el eje real en un punto llamado centroide o centro de
masa del LGR, σ*, dado por:
mnzp ii
−
−= ∑ ∑σ
pi = polo de KG(s)H(s)
zi = cero de KG(s)H(s)
Regla 7
Los puntos de corte del LGR con el eje jω se hallan a través del criterio de Routh-
Hurwitz y resolviendo las ecuaciones auxiliares correspondientes, tal como se muestra
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo Halle el LGR del sistema retroalimentado cuya FTLA es la siguiente,
)2()1()()(
+⋅+⋅=⋅⋅
sssKsHsGK 0 ≤ K< ∞
1. Secciones del eje real pertenecen al LGR
2. Ramas del LGR que van a ∞ cuando K→ ∞ (Asíntotas)
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°⋅+⋅
= 1803
12 rrθ r = 0, 1, 2 → θ0 = 60°, θ1 = 180°, θ2 = 300° ( )1
3210
−=−−
=σ
3. Puntos de ruptura
0)2()1(
=
+⋅+⋅ sss
Kdsd 0)2()1()2()1( =+⋅+++⋅++⋅ ssssss
0232 2222 =+⋅⋅++⋅+++ ssssss 0263 2 =+⋅+⋅ ss
624366 −±−
=s
42,03311 −=+−=s
57,13311 −=−−=s no pertenece al LGR s* = -0,42
4. Puntos de intersección con el eje imaginario
)()(1)()´(
sHsGKsGKsG⋅⋅+
⋅= KssssD +⋅+⋅+= 23)( 22
Aplicando el método de Routh – Hurwitz:
s3 : 1 2 El sistema es estable si K > 0
s2 : 3 K 6 – K > 0 → 6 > K
s1 : 3
)6( K− 0 Sistema estable para 0 < K < 6
s0 : K
Cuando K = 6 0)2(3063 22 =+⋅→=+⋅ ss s1,2 = ± j⋅2
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11.3 Algunos lugares geométricos de las raíces 11.3.1 Sistemas de 1er orden (m = ceros finitos) a. m = 0
b. m = 1
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11. 3. 2. Sistemas de 2do orden 1. Polos reales
a. m = 0
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b. m = 1
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2. Polos complejos conjugados
a. m = 0
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b. m = 1
11.4 Efectos de agregar polos o ceros a la FTLA 11.4.1 Efecto de agregar polos a G(s)H(s)
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4.2. Efecto de agregar ceros a G(s)H(s)
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