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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA DINÁMICA

NOMBRE:_________________________________________________________

Profr. José Luis Nájera Juárez

Compilador: Ing. Jaime Correa Morales

UNIDAD II

2.2 Medidas de Dispersión

2.2.1 Medidas de Dispersión para datos no agrupados

2.2.4 Desviación media para datos no agrupados

2.2.8 Varianza para datos no agrupados

2.2.2 Rango

2.2.3 Desviación media

2.2.6 Varianza

2.2.5 Desviación media para datos agrupados

2.2.7 Varianza para datos agrupados

UNIDAD III

Nociones Preliminares de Probabilidad

3.1 Introducción a la probabilidad

3.1.1 Definición de Probabilidad

3.1.2 Aplicaciones actuales de la probabilidad

3.1.3 Probabilidad frecuencial

3.1.4 Probabilidad relativa

3.1.5 Probabilidad Absoluta

3.2 Nociones básicas de conteo

3.2.1 Principio fundamental de conteo

3.2.2 Espacio muestral

1

MEDIDAS DE DISPERSION

Una vez que se han calculado las medidas de tendencia central para un conjunto de datos, es necesario contar con otra medida estadística que indique un comportamiento adicional del conjunto de datos, puesto que la Media aritmética, la Mediana y la Moda, solo indican valores centrales de la distribución.

Las medidas de dispersión o también llamadas medidas de variación, son aquellas que indican que tan alejados o dispersos se encuentran los datos, con respecto a si mismos o con respecto a la media del conjunto de datos.

Para comprender la importancia que tienen las medidas de dispersión, consideremos el siguiente ejemplo:

Supón que te invitan a una fiesta y te dicen que el promedio de edades de los asistentes será de 19 años, al imaginar a las personas que encontraras en la fiesta, por el promedio de edad indicado, seguramente te hará tomar la rápida decisión de asistir a dicha fiesta, pero te llevaras la gran sorpresa de que en la fiesta, se encuentra una abuelita de 75 años, el abuelo de 83 años, su hija de 26 años, el yerno de 28 años, sus nietos de 2. 3 y 5 años y unos invitados de 2, 3, 4 , 4, 5 y 6 años.

Como observaras en este ejemplo, se ve que si hubiera tenido más información de la variación de los datos, la decisión de haber asistido a la fiesta, pudo haber sido diferente, las Medidas de dispersión que analizaremos son: el Rango, la Desviación media, la Varianza y la Desviación estándar o típica.

RANGO

El Rango es la medida de dispersión más simple y se obtiene a través de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos, esto es:

Rango = valor mayor – valor menor

Esta medida de dispersión, tiene aplicaciones muy limitadas, debido a que solamente considera los valores extremos del conjunto de datos y no indica ningún comportamiento de los valores intermedios. También, el Rango de una muestra depende de su tamaño, es decir, una muestra pequeña tiende a tener un rango más pequeño que una muestra grande. Por lo que no es conveniente utilizar el Rango para comparar la variación entre dos o más grupos de datos.

La principal aplicación del Rango en el control estadístico, está dentro del proceso de control de calidad de la producción en las empresas o cuando la variación entre el conjunto de datos es mínima.

Ejemplo: con el siguiente conjunto de datos, se muestra como se obtiene el Rango.

23 25 56 89 87 45 36 24 12 6 9 4714 45 46 58 96 92 37 58 45 81 9 5215 47 45 46 36 25 8 36 5 36 58 100

Aplicando la formula Rango= valor mayor – valor menor

Rango = 100 – 5 = 95

2

Ejercicio. Una empresa empacadora de huevo fresco selecciona una muestra de cajas que contienen 100 piezas cada una y las pesa para establecer el precio de cada caja. Determinar la variación máxima del peso de las cajas de huevo, es decir, el Rango utilizando los valores registrados en la báscula, los cuales fueron: nota: todos los datos están en kilogramos.

7.369 7.326 8.039 7.876 7.592 7.3407.369 7.292 8.113 7.559 7.807 7.5917.873 7.469 8.229 7.661 8.280 8.1908.269 8.028 8.283 8.230 8.194 7.681

Ejercicios de reforzamiento

Encuentra el rango de los siguientes conjuntos de datos, resalta un color el valor mayor y el valor menor.

Rango=_________________________________

Rango=_________________________________

Rango=__________________________________

3

DESVIACION MEDIA

La desviación media de un conjunto de datos, es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de cada dato con respecto a la media. Indica en promedio el número de unidades en que los datos se encuentran alejados de la media.

Desviación media para datos no agrupados

Cuando se tiene un conjunto de datos no agrupados, la Desviación media se obtiene mediante la fórmula:

DM=∑ ¿x i−x∨¿

n¿

Dónde:

DM = Es la desviación media.

x i = Es el valor de i- ésimo dato.

x = Es la media del conjunto de datos.

n = Es el numero total de datos.

Ejercicio. Calcular el valor de la Desviación media para el siguiente conjunto de datos no agrupados.

4 14 12 8 12 6 16 8

Determinndo la Media, tenemos..

x =∑ xi

n

x =4+14+12+8+12+6+16+88

x =10

La desviacion media es:

DM=∑ ¿x i−x∨¿

n¿

4

DM=|4−10|+|14−10|+|12−10|+|8−10|+|12−10|+|6−10|+|16−10|+|8−10|

8

DM=|−6|+|4|+|2|+|−2|+|2|+|−4|+|6|+|−2|

8

DM=6+4+2+2+2+4+6+28

DM=3.5

La interpretacion de este valor es que en promedio cada dato se encuentra 3.5 unidades alejado de la media, y se puede representar con un diagrama de Desviación.

x 4 6 8 10 12 14 16

Ejercicio.

En la siguiente tabla se muestra el promedio mensual del tipo de cambio del dólar a la venta, que se registro en el aeropuerto de la ciudad de México durante el año 2004. Determina el valor de la Desviación media que tuvo la pariedad peso.dolar en ese año. Ademas, efectua la representacion grafica.

MES VALOR (2004) xi - x |xi - x∨¿Enero 11.0700Febrero 11.0780Marzo 11.1440Abril 11.4350Mayo 11.4370Junio 11.5500Julio 11.4300Agosto 11.4050Septiembre 11.3950Octubre 11.5400Noviembre 11.2512Diciembre 11.1595

REALIZA AQUÍ TU PROCEDIMIENTO:

5

Ejercicio. Obtener el valor de la Desviación media para un conjunto de datos no agrupados, siendo este:

0.3 2.1 7.2 4.3 5.7 8.3 4.4 6.5 3.2 4.0

PROCEDIMIENTO:

GRÁFICA x

Ejercicio. En el sigueinte cuadro se muestra la produccion de soya (en miles de toneladas) que se tienen registradas en los Estados Unidos durante los años de 1995 a 2001. Determina el valor de la Desviación media de la producción que se presento en ese periodo.

Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001Producción 59.174 64.780 73.176 74.598 72.220 75.380 78.040PROCEDIMIENTO:

GRÁFICA

6

Desviación media para datos agrupados

Cuando el conjunto de datos esta agrupado en una tabla de distribución de frecuencias, la Desviación media se obtiene en forma aproximada por:

DM=∑ f i ¿Mi− x∨¿

n¿

Donde:DM = Es la desviación media.Fi = Es el valor de la frecuancia del i-ésimo intervalo.x = Es la media del conjunto de datos.N = Es el número total de datos (n=∑fi ).Se utiliza la marca de clase Mi, por considerar que su valor es representativo de los f datos que se encuentran en el intervalo i.Ejemplo. Ahora se muestra como se va cosntruyendo la tabla de frecuencias para calcular el valor de la Desviación media con el siguiente conjunto de datps agrupados que contienen a los lites de clase.

INTERVALO FRECUENCIA10 – 20 320 – 30 1230 – 40 2240 – 50 2750 – 60 3660 – 70 3170 – 80 3380 – 90 22

90 – 100 14El valor de la media se obtiene con la formula:

x =∑ f i M i

n

Agregando las columnas Mi y fi Mi y calculando sus valores, se tiene:

INTERVALO FRECUENCIA Mi Mi fi

10 – 20 3 15 4520 – 30 12 25 30030 – 40 22 35 77040 – 50 27 45 121550 – 60 36 55 198060 – 70 31 65 201570 – 80 33 75 2475

7

80 – 90 22 85 187090 - 100 14 95 1330

∑ 200 12000

El valor de la media es:

x=∑ f iM i

n=¿ 12000/200 = 60

ahora se agergan las columnas Mi - x y |Mi - x| con sus respectivos valores en cada uno de los intervalos

INTERVALO FRECUENCIA

Mi Mi fi Mi - x |Mi - x|

10 - 20 3 15 45 -45 4520 – 30 12 25 300 -35 3530 – 40 22 35 770 -25 2540 – 50 27 45 1215 -15 1550 – 60 36 55 1980 -5 560 – 70 31 65 2015 5 570 – 80 33 75 2475 15 1580 – 90 22 85 1870 25 2590 - 100 14 95 1330 35 35

∑ 12000

Se agrega por ultimo la columna fi|Mi - x| y la suma de ésta.


Mi Mi fi Mi - x |Mi - x| fi|Mi - x|

10 - 20 3 15 45 -45 45 13520 – 30 12 25 300 -35 35 42030 – 40 22 35 770 -25 25 55040 – 50 27 45 1215 -15 15 40550 – 60 36 55 1980 -5 5 18060 – 70 31 65 2015 5 5 15570 – 80 33 75 2475 15 15 49580 – 90 22 85 1870 25 25 55090 - 100 14 95 1330 35 35 490

∑ 200 12000 3380

El valor de la desviación Media media es:

8

DM=f i∑ ¿Mi− x ∨¿

n¿= 3380/200 = 16.9

Ejercicio. El tiempo maximo asignado para resolver el examen de admision para ingresar a la facultad de contaduria y administracion es de 3 horas y contiene 120 preguntas de opcion multiple. Sin embargo, los alumnos emplean menos tiempo en resolverlo. Haciendo un registro del tiempo empleado por un grupo de alumnos para contestar el examen, se obtuvieron los siguientes datos que permitiran calcular el valor de la Desviación media e interpretar el resultado.

Tiempo en minutos Frecuencia.120 – 130 93130 – 140 347140 - 150 289150 – 160 162160 - 170 117170 - 180 82

Ejemplo. Teniendo la tabla siguiente determinar la Desviación media para un conjunto de datos agrupados.

Intervalo Frecuencia. Mi fi Mi

1.0 – 1.9 6 1.45 8.702.0 – 2.9 14 2.45 34.303.0 – 3.9 20 3.45 69.004.0 – 4.9 32 4.45 142.405.0 – 5.9 24 5.45 130.806.0 – 6.9 15 6.45 96.757.0 – 7.9 9 7.45 67.05

∑ 120 549.00


x=∑ f i x i

n=¿ 549/120 = 4.575

Ahora se agregan las columnas para obtener el valor de la Desviación media.


Mi Mi fi Mi - x |Mi - x| fi|Mi - x|

1.0 – 1.9 6 1.45 8.70 -3.125 3.125 18.752.0 – 2.9 14 2.45 34.30 -2.125 2.125 29.75

9

3.0 – 3.9 20 3.45 69.00 -1.125 1.125 22.54.0 – 4.9 32 4.45 142.40 -0.125 0.125 45.0 – 5.9 24 5.45 130.80 0.875 0.875 216.0 – 6.9 15 6.45 96.75 1.875 1.875 28.1257.0 – 7.9 9 7.45 67.05 2.875 2.875 25.875

∑ 549.00 150El valor de la Desviación media es:

DM=f i∑ ¿Mi− x ∨¿

n=¿¿ 150/120 =1.25

Ejercicio. Determinar el valor de la Desviación media correspondiente al mes de mayor trabajo en una sucursal bancaria de la ciudad de Toluca en el año de 2004.

Mes Número de clientes

1 - 2 32563 – 4 43685 - 6 40257 - 8 51479 - 10 432611 – 12 7288

PROCEDIMIENTO:

VARIANZA

Es un conjunto de datos la Varianza se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media. Se representa mediante σ2.

Varianza para datos no agrupados

Cuando se tiene un conjunto de datos no agrupados, la Varianza se obtiene mediante:

σ 2=∑(x i−x)2

n

10

Donde:

σ2 = Es la Varianza

x i = Es el valor del i-ésimo dato

x = Es la media del conjunto de datos

n = Es el número total de datos

ejemplo: se calcula la Varianza para el siguiente conjunto de datps no agrupados.

12 25 8 15 5 18 26 14 9 10

Determinando el valor de la Media.

σ 2=∑ x i

n=12+25+8+15+5+18+26+14+9+10

10=14.2

La Varianza es:

σ 2=∑ (x i−x)2

n=

(12−14.2)2+(25−14.2)2+(8−14.2)2+(15−14.2)2+(5−14.2)2+(18−14.2)2+(26−14.2)2+(14−14.2)2+(9−14.2)2+(10−14.2)2

10

σ 2=443.610

=¿44.36

Ejercicio. El precio por barril de petroleo de la mezcla mexicana, (dólar/barril), enla segunda quincena del mes de marzo de 2005, tuvo el siguiente comportamiento. Calcular el valor de la Varianza.

37.94 38.01 38.28 39.27 39.73 40.07

40.13 38.56 36.33 38.48

Ejercicio. Obtener el valor de la Varianza para el siguiente conjunto de datos no agrupados.

7.2 4.5 12.7 54.6 25.6 32.9 19.1 47.2 36.5

Determinando el valor de la media.

11

x=∑ x i

n=¿

La Varianza es:

σ 2=∑ (x i−x)2

n=¿

σ 2=¿

Ejercicio. En nuestro pais, la crisis en la produccion de gasolina ha requerido realizar importanciones, que en sintesis se han comportado cmo se muestra en la siguiente tabla. Calcula el valor de la Varianza.

Mes. Miles de barriles diarios.

Julio de 2004 25.0Agosto de 2004 72.9Septiembre de 2004 61.0Octubre de 2004 146.7Noviembre de 2004 189.4Diciembre de 2004 208.4Enero de 2005 241.1Febrero de 2005 189.2

Realiza en este espacio tu procedimiento:

Varianza para datos agrupados

Cuando un conjunto de datos esta agrupado en una tabla de distribucion de frecuencias, la Varianza se obtiene en forma aproximada por:

12

σ 2=∑ f i(M i−x )2

n

Donde:

σ2 = Es la Varianza

f i = Es el valor de la frecuancia del i-ésimo intervalo

M i = es el valor de la marca de clase del i-ésimo intervalo

x = Es la media del conjunto de datos

n = Es el número total de datos (n=∑ fi).

se utiliza la marca de clase, por considerar que su valor es representativo de los datps que se encuentran en cada intervalo.

Ejemplo. Se muestra el procedimiento para calcular la Varianza con el siguiente conjunto de datos.

INTERVALO FRECUENCIA0 – 50 4

50 – 100 13100 – 150 23150 – 200 32200 – 250 37250 – 300 23300 – 350 28350 – 400 26400 – 450 14

El valor de la Media se obtiene con la formula:

x=∑ f iM i

n

Agregando las columnas correspondientes a la Marca de clase Mi y el producto de la frecuencia por la Marca de clase fi Mi en la tabla, se tiene:

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi Mi

0 – 50 4 25 100

13

50 – 100 13 75 975100 – 150 23 125 2875150 – 200 32 175 5600200 – 250 37 225 8325250 – 300 23 275 6325300 – 350 28 325 9100350 - 400 26 375 9750400 - 450 14 425 5950

∑ 200 49000


x=∑ f iM i

n=¿ 49000/200 =245

Ahora se agregan las columnas para la marca de clase menos la Media Mi - x y su cuadrado (Mi- x)2 con sus respectivos valores en cada uno de los intervalos.

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi Mi Mi - x (Mi- x)2

0 – 50 4 25 100 -220 4840050 – 100 13 75 975 -170 28900

100 – 150 23 125 2875 -120 14400150 – 200 32 175 5600 -70 4900200 – 250 37 225 8325 -20 400250 – 300 23 275 6325 30 900300 – 350 28 325 9100 80 6400350 - 400 26 375 9750 130 16900400 - 450 14 425 5950 180 32400

∑ 200 49000

Se agrega por ultimo la columna fi (Mi- x)2 y se obtiene su suma:

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi Mi Mi - x (Mi- x)2 fi (Mi- x)2

0 – 50 4 25 100 -220 48400 19360050 – 100 13 75 975 -170 28900 375700

100 – 150 23 125 2875 -120 14400 331200150 – 200 32 175 5600 -70 4900 156800200 – 250 37 225 8325 -20 400 14800250 – 300 23 275 6325 30 900 20700300 – 350 28 325 9100 80 6400 179200350 - 400 26 375 9750 130 16900 439400400 - 450 14 425 5950 180 32400 453600

14

∑ 200 49000 2165000

El valor de la varianza es:

σ 2=∑ f i(M i−x )2

n=¿ 2165000/200 = 10825

Ejercicio. En una fabrica de la zona industrial Lerma, cuando una maquina no esta funcionando en horas de trabajo es por que presenta una falla o descompostura, lo cual se conoce como tiempo perdido. En la siguiente tabla se muestra el tiempo perdido por una maquina durante el ultimo mes. Determina la Varianza.

Tiempo perdido.

Frecuencia.

0 – 10 1010 – 20 1520 – 30 1830 – 40 1240 – 50 650 – 60 1∑

Ejercicio. Obtener el valor de la Varianza con el siguiente conjunto de datos agrupados representados por sus limites reales de clase.

INTERVALO FRECUENCIA0 – 90 12

100 – 190 35200 – 290 51300 – 390 42400 – 490 28500 – 590 17600 – 690 11700 – 790 4

Agregando las columnas necesarias para obtener el valor de la Media, se tiene:


Mi fi Mi

0 – 90 12100 – 190 35200 – 290 51300 – 390 42400 – 490 28500 – 590 17600 – 690 11700 – 790 4

∑

15

El valor de la Media es:

x=∑ f iM i

n=¿

Enseguida se agregan las columnas necesarias para obtener el valor de la Varianza.

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi Mi Mi - x (Mi- x)2 fi (Mi- x)2

0 – 90 12100 – 190 35200 – 290 51300 – 390 42400 - 490 28500 - 590 17600 – 690 11700 - 790 4

∑

El valor de la varianza es:

σ 2=∑ f i(M i−x )2

n=¿

Existen otras formulas para obtener el valor de la Varianza, como:

Cuando se trata de una población.Para datos no agrupados. Para datos agrupados.

σ 2=∑ f i(x i)

2

n−x 2 σ 2=

∑ f i(M i)2

n−x 2

Cuando se trata de una muestra.Para datos no agrupados. Para datos agrupados.

σ 2=∑ f i(x i−x )2

n−1σ 2=

∑ f i(M i−x )2

n−1

DESVIACION ESTANDAR O TIPICA

La desviacion estándar de un conjunto de datos se define como la raiz cuadrada de la varianza, se denota por σ de un conjunto de datos. Tiene las mismas unidades que los datos originales y su valor indica la forma en que estan distribuidos los datos con respecto a la media.

El valor de la Desviacion estándar se obtiene con las formulas:

16

Para datos no agrupados. Para datos agrupados.

σ=√∑ (x i−x )2

nσ=√∑ (M i−x )2

n

Ejercicio. Con el conjunto de datos no agrupados de la siguiente tabla obtener la Desviación estándar.12 25 8 15 5 18 26 14 9 10

La Varianza es = 44.36

La desviación estándar es= √44.36= 6.6603

Ejercicio. El siguiente conjunto de datos corresponde al precio de petroleo diario que se registro en el periodo del 11 al 24 de marzo de 2005. Clacula el valor de la Desviación estándar.

54.42 54.92 55.07 56.52 56.4256.82 56.72 56.70 49.55 51.56

Ejercicio. Con el conjunto de datos no agrupados , calcula la Desviación estándar.7.2 4.5 12.7 54.6 25.6 32.9 19.1 47.2 36.5

17

Varianza =

Desviacion estándar=

Ejercicio. Determina la Media, la Moda, la Mediana, la Desviación Media, la Varianza y la Desviación estándar del siguiente conjunto de datos agrupados.

Intervalo fi Fa Mi fi(Mi) Mi-X |Mi-X| fi|Mi-X| (Mi-X)2 fi(Mi-X)2

0 10 7

10 20 15

20 30 14

30 40 12

40 50 6

∑



0 5 7

5 10 8

10 15 12

15 20 17

20 25 14

25 30 15

∑

18



0 6 35

6 12 40

12 18 55

18 24 75

24 30 63

30 36 21

∑

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

Determina la Media, la Mediana, la Moda, la Desviación Media, la Desviación Estándar y la Varianza del siguiente conjunto de Datos Agrupados.

Intervalo fi Fa Mi fi(Mi) Mi-X |Mi-X| |Mi-X|fi (Mi-X )2 ((Mi-X )2)fi0 3 93 6 126 9 179 12 23

12 15 1415 18 1818 21 3821 24 2324 27 2727 30 3130 33 1933 36 2236 39 1539 42 10

∑

19

Realiza aquí tus operaciones y planteamientos.


Intervalo fi0 5 105 10 12

10 15 1515 20 1720 25 1625 30 2330 35 1735 40 1240 45 1845 50 1950 55 2055 60 760 65 1165 70 1370 75 1475 80 15

Realiza aquí tus operaciones:

20


Intervalo fi Fa Mi fi(Mi) Mi-X |Mi-X| |Mi-X|fi (Mi-X )2 ((Mi-X )2)fi0 5 105 10 45

10 15 3515 20 4720 25 4825 30 6530 35 2135 40 3240 45 4545 50 850 55 1755 60 21

∑

Realiza aquí tus operaciones:

22

NOCIONES BASICAS DE CONTEO

Factorial de un númeroEl factorial de un número entero positivo o cero se define como el producto de todos los números

naturales menores e iguales que él y está dado por:

n!= n(n-1)(n-2)(n-3)…. 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Dónde:

El signo ! indica la operación de factorial.

El factorial de cero se define como uno, es decir, 0!=1.

Ejemplo:

Determinar el factorial de 5

5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120

ANALISIS COMBINATORIO.

En la probabilidad nos encontramos con el problema de agrupar elementos de un cierto conjunto,

siguiendo un determinado criterio o característica. La parte de las matemáticas que se ocupa de esta

tarea se le conoce con el nombre de análisis combinatorio o simplemente combinatoria.

El análisis combinatorio nos permite conocer cuál es el número de eventos posibles al realizar un

experimento, ejemplo de ello son los juegos de azar, en los cuales se tienen que contar los posibles

resultados de números que se obtienen al jugar la lotería, el melate, el trébol, etcétera.

REGLA DE MULTIPLICACION

El principio de multiplicación nos permite contar el número de maneras en que podemos realizar dos

eventos si el primero de ellos se puede efectuar de cualesquiera n maneras, el segundo se puede

realizar de m maneras cualesquiera (la segunda inmediatamente después de la primera); entonces

ambas operaciones se pueden obtener de n x m maneras. En general, si tenemos m eventos, donde el

primero de ellos se puede realizar de cualesquiera n1 maneras, el segundo inmediatamente después del

23

primero de n2 maneras y así sucesivamente hasta en m-ésimo evento, el cual se puede realizar de nm

maneras; entonces, las m operaciones se pueden efectuar de n1 * n2 *…. * nm maneras distintas.

PERMUTACIONES

Una ordenación de un conjunto con n objetos en un orden es llamada permutación de n objetos tomados a la vez. Una permutación de r elementos tomados de n elementos distintos con r<n, está determinada por:

Pnr=P (n , r )=nPr=

n!(n−r )!

Donde

P número de permutaciones.n es el número de elementos total del universo. r es el número de elementos que forman la permutación.

Ejemplo. ¿Cuántas permutaciones de 2 cifras se forman con los números 1, 2 y 3?

Respuesta:Tenemos 3 diferentes elementos (1,2 y 3) y debemos seleccionar 2 entre ellos, entonces, n=3, r=2 y, por lo tanto, el número de permutaciones de 2 objetos tomados de elementos es:

3P2=3 !

(3−2)!=3 x 2x 1

1 !=6

Ejercicio. ¿Cuál es el número de permutaciones de dos letras de la palabra TRES?Planteamiento y procedimiento:

Ejercicio. ¿Cuál es el número de permutaciones de tres letras para la palabra MÉXICO?Planteamiento y procedimiento:

24

Ejercicios. Determinar el número de permutaciones para los valores de n y r que se dan a continuación.

Planteamiento Procedimiento Resultado1.- n=5, r=3

2.- n=3, r=3

3.- n=5, r=1

4.- n=7, r=4

5.- n=9, r=5

Ejemplo: una persona tiene tres playeras: una blanca, una azul y una amarilla, dos pantalones: uno de mezclilla azul y otro de mezclilla negra. ¿De cuantas formas distintas se puede vestir la persona?

Solución. Para cada playera se pueden tomar 2 pantalones y como tenemos 3 playeras distintas, entonces, la persona puede vestir en un total de 3x2=6 maneras distintas.

Ejercicio. Una persona tiene 5 playeras de diferentes colores y 6 pantalones de distintos colores. ¿De cuantas formas distintas se puede vestir esta persona?

Ejercicio. Se lanzan 3 monedas al aire. ¿De cuantas maneras diferentes pueden caer? Considerando solo cara o cruz.

Ejercicio. Se lanzan 5 monedas al aire. ¿De cuantas maneras diferentes pueden caer? Considerando solo cara o cruz.

Ejercicio. Se lanzan tres dados al aire, ¿De cuantas maneras diferentes pueden caer?

25

Ejercicio. Se lanzan 6 dados al aire, ¿De cuantas maneras diferentes pueden caer?

Ejercicio. Una aerolínea tiene programados siete vuelos diarios en temporada vacacional de la ciudad de México a Cancún y cinco vuelos de Cancún a Isla mujeres. ¿Cuántas opciones diferentes de vuelo ofrece la aerolínea para viajar de la ciudad de México a Islas Mujeres?

Ejercicio. Un restaurante ofrece seis distintos tipos de sopa, ocho tipos diferentes de guisado y tres distintos tipos de postre. ¿Cuántos tipos distintos de menú podemos tener?

Técnicas de conteo. En el análisis combinatorio son las permutas y las combinaciones. En las permutaciones el orden importa y en las combinaciones no importa el orden.

Ejercicio. En el salón de clases desean escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. Si en el salón se tienen 50 alumnos. ¿De cuantas formas se pueden elegir?Planteamiento y solución:

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION.

26

En un saco hay cinco caninas (blanca, azul, roja, negra y amarilla). Si se extraen del saco tres de ellas sin repetición, es decir, no se devuelve al saco la canica elegida. ¿Cuántas posibles tríadas podemos tener?

_____ ______ ______

Y por formula de permutaciones tenemos:

DIAGRAMA DE ARBOL

Se refiere a la representación de permutaciones mediante líneas graficas indicando la ordenación de elementos. (Diagrama de árbol del ejercicio de las bolas de billar.

Ejercicio. Realizar un diagrama de árbol en donde cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras que forman la palabra AMOR.

Ejercicio. Realizar un diagrama de árbol de la siguiente situación: Se lanzará una moneda y un dado. Encuentre los resultados posibles de esta secuencia de eventos.

PERMUTACIONES DONDE EL NUMERO DE ELEMENTOS SE REPITE

27

Cuando tenemos permutaciones donde los objetos tienen artículos iguales y deseamos saber el número de permutaciones de cierto número de ellos, obtenemos que el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2 son iguales,…. nr son iguales, es:

n!n1!∗n2!∗…∗nr !

Ejercicio. Un saco contiene 2 canicas de color verde y 2 canicas de color blanco. ¿De cuantas formas se pueden ordenar?

Ejercicio. Un grupo de exploradores tienen 2 banderas rojas, 3 verdes y 5 azules. ¿De cuantas formas las pueden ordenar?

Ejercicio. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

Ejercicio. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

28

PERMUTACIONES CIRCULARES

Se considera el número de arreglos que se pueden hacer alrededor de un círculo donde la posición relativa de los objetos es importante (el orden en el cual se encuentran), a este tipo de arreglo se le llama permutación circular, es decir, cuando no existe primero y último objeto, ejemplo de esto son las personas que se sientan alrededor de una mesa circular.

Pn−1=(n−1) !

Ejercicio. ¿De cuantas formas se pueden sentar seis personas en una mesa circular?

Ejercicio. ¿De cuantas formas diferentes se pueden sentar Hugo, Paco y Luis en una mesa circular?

Ejercicio. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Ejercicio. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.

Ejercicio.

29

COMBINACIONES

En una combinación el orden no importa.Cuando deseamos seleccionar r elementos de entre n elementos diferentes, sin tomar en cuenta el orden, lo calculamos utilizando la siguiente fórmula:

C rn=Cnk=C (n , r )=nC r=

n!r !(n−r) !

=( nr )

Ejemplo. Determina el número de combinaciones que se pueden obtener con la palabra RADIO, tomadas de tres en tres

5C3=5 !

3 !(5−3)!=5 !

3! (2)! = 5x 4 x 3 x2 x13 x2 x1(2 x1) =

5x 42 x1 =

202 = 10

Ejercicio 1. Determina el número de combinaciones que se pueden obtener con la palabra MONEDA, tomadas de tres en tres. Escribe estas combinaciones.

Ejercicio 2. Determina el número de combinaciones que se pueden obtener con la palabra PARAGUAS, tomadas de dos en dos. Escribe las combinaciones.

Ejercicio 3. Un grupo de cinco amigos desea realizar un torneo de videojuegos. Si solo se cuenta con cuatro controles para jugar. ¿Cuántos equipos se podrán formar? Un equipo se considera diferente a otro si un alumno es la diferencia.

30

Ejercicio 4. En un salón de clases con 50 alumnos se desea formar equipos de trabajo de cinco integrantes de cada uno. ¿Cuántos equipos se podrían formar?

Ejercicio 5. De un grupo de 24 alumnos se desea formar tres equipos de 8 alumnos cada uno. ¿De cuantas formas se podrán formar dichos equipos?

Mix de Ejercicios de Reforzamiento

1. En una carrera de fórmula 1 en la que participan 20 pilotos, ¿de cuántas maneras se puede formar el pódium?

2. Si lanzamos a la vez cuatro dados de distinto tamaño, ¿cuántos resultados distintos podemos obtener?

3. En un torneo de tenis en el que participan 12 jugadores se pueden clasificar 3 jugadores para la final. ¿Cuántos grupos distintos de finalistas se pueden formar?

4. ¿De cuántas maneras pueden hacer cola 7 amigos que están esperando para entrar al cine?

5. ¿De cuántas maneras se pueden colocar en fila 5 vasos sabiendo que dos de ellos están llenos de refresco de naranja y tres de refresco de limón? (Los vasos del mismo sabor no se distinguen entre sí).

31

6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en una mesa circular?

7. En una floristería hay 15 tipos de flores, ¿de cuántas formas se pueden elegir 8 flores?

8. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con las cifras 2114544899?

9. ¿Cuántos números capicúa de seis cifras se pueden formar?

10. ¿De cuántas maneras se pueden repartir tres premios distintos entre 10 atletas?

11. A una reunión asisten 15 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambian?

12. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar tres chicos y dos chicas en una fila de butacas de cine si no pueden estar juntos ni dos chicos ni dos chicas?

13. En una parada de autobús están esperando tres amigas y dos personas mayores. ¿De cuántas maneras pueden sentarse estas cinco personas si las tres amigas quieren estar siempre juntas para poder hablar entre ellas?

32

14. ¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó? (Las fichas del dominó se dividen en dos partes y en cada parte aparece una puntuación. Esta puntuación varía desde 0 hasta 6 puntos, es decir, hay 7 puntuaciones distintas).

15. Para abrir una caja fuerte hay que teclear una clave de 8 cifras. ¿Cuántas claves distintas puede haber?

16. En una heladería hay 12 sabores de helado. ¿De cuántas maneras me puedo pedir una tarrina de dos sabores?

17. Tenemos cinco pares distintos de guantes. ¿De cuántas formas puedo elegir dos guantes?

18. En una estantería caben 18 libros. Hay 7 libros de álgebra, 3 de cálculo y 6 de probabilidad. ¿De cuántas maneras se pueden colocar estos 18 libros? (Los libros del mismo tipo se consideran indistinguibles entre sí).

19. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si se pueden repetir las cifras?

20. ¿De cuántas formas se pueden colocar 30 alumnos en los 5 asientos de la primera fila de la clase? ¿Y si el delegado tiene un sitio fijo en esos 5 asientos?

Solución delegado en cualquier sitio=__________Solución delegado primera fila=_________________

33

ESPACIO MUESTRAL

Se define espacio muestral de un experimento aleatorio como el conjunto de posibles resultados que se pueden presentar al realizar dicho experimento. La notación usual que se utiliza para representar el espacio muestral es S o Ω.

Ejemplo. Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja. ¿Cuáles son los posibles resultados al sacar dos canicas sin reemplazo?

PRIMERA CANICA SEGUNDA CANICA FORMAS

AZUL VERDEROJA

AVAR

VERDE AZULROJA

VAVR

ROJA AZULVERDE

RARV

El espacio muestral se forma de los seis posibles resultados. Ω = AV, AR, VA, VR, RA, RV.

Ejercicio 1. Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja. ¿Cuáles son los posibles resultados al sacar dos canicas con reemplazo.

PRIMERA CANICA SEGUNDA CANICA FORMAS

AZULAZUL

VERDE ROJA

ROJA

ROJOVERDEAZUL

ROJAVERDEAZUL ROJO

Ejercicio 2. Considera dos dados: uno azul y uno rojo, ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?

Resultados del dado azul

Resu

ltado

s del

da

do ro

jo

1 2 3 4 5 6123456

34

Ejercicio 3. Se lanzan tres monedas al aire, ¿Cual es número de soles que pueden caer?, escribe el espacio muestral.

35

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad tiene varias definiciones:1.- Empírica. La escuela empírica expone que la probabilidad es una medida de nuestro grado de incertidumbre respecto a la verdad de una afirmación o la ocurrencia de un hecho. Por ejemplo, en la vida diaria, se escuchan frases como:A. Es muy probable que mañana llueva. B. Probablemente mañana mi tía venga a cenar.

2.- Clásica o de Laplace. Considera que la probabilidad de un evento A es igual al cociente del número de casos favorables del evento n, entre el número total de casos posibles N.

P(A)= nN

Esta corriente considera que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, ejemplo de ello es que al tirar un dado y obtener 6 es igual que obtener 5 o 3, o cualquiera de los otros números, por

tanto, es igual que 16 .

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)-nN =

16

3.- Frecuencia relativa o de Von Misses.

La interpretación frecuentista considera que un experimento es aleatorio si este se puede realizar un numero definido de veces, al menos teóricamente; cada repetición nos da un resultado que forma uno de los puntos del espacio muestral. Definimos que el evento A ha ocurrido en una repetición si el resultado obtenido es uno de los puntos que caracterizan favorable a A.Supongamos que se hacen N repeticiones y sea NA, el número de ellas en las que el evento A ocurrió. La fracción NA/N se denomina frecuencia relativa de A en las N repeticiones, así, a medida que N crece, la frecuencia relativa del evento A tiende a estabilizarse alrededor de un ciento valor límite; este valor límite es por definición la probabilidad del evento A, es decir:

P ( A )= limN

→∞(N A

N ) Este tipo de probabilidad se basa en la frecuencia que se obtiene al realizar un evento, ejemplo de ello es lanzar un dado n veces y anotar el resultado de cada lanzamiento.NA es el número de repeticiones en las que se ha obtenido el resultado A1, y N es el número total de repeticiones, así la probabilidad del evento A es:

P ( A )= limN

→∞(N A

N ) 36

Cuando deseamos obtener la probabilidad frecuentista al obtener un 3 de un dado N veces, entonces NA representa el número de veces que obtuvo un 3 y N representa el número de lanzamientos, así la probabilidad frecuentista está dada por:

P (3 )= limN

→∞(N A

N )=16

4.- Axiomática o de Kolmogorov.Este tipo de probabilidad se basa en axiomas que fundamentan el estudio de la probabilidad y el desarrollo científico de esta disciplina.La probabilidad es una función en la que se mide la posibilidad de que ocurra un evento. Para cualquier experimento es necesario asignar a cada evento A del espacio muestral S un numero P(A) que mida la ocurrencia de A.

Se la función de probabilidad: P(A) = Total decasos favorables

Totalde casosequiprobables

El número P(A) debe cumplir los siguientes axiomas:1. P(S) = 1: S es el evento seguro.2. Para cualquier evento A se tiene P(A) ≥ 0.3. Para cualquier sucesión infinita de eventos disjuntos A1, A2, A3,…, es decir, A1 ∩ A1 = ∅ ; si i ≠ j,

se tiene:

P (¿n=1¿∞ An)=∑n=1

∞

P ( An )=P ( A1 )+P ( A2 )+P ( A3 )……

El símbolo ∪expresa la unión de los conjuntos An desde n=1 hasta infinito y el símbolo ∑ nos indica la suma desde n=1 hasta infinito de las probabilidades de los eventos An.El primero y segundo axiomas aseguran que la probabilidad de cualquier evento A debe ser un numero en el intervalo cerrado [0,1]. El axioma 1 nos asegura que si un evento siempre se da, este es el evento seguro y tiene probabilidad 1; el axioma dos nos asegura que la probabilidad del evento imposible es cero.

Ejemplo. Lanza un dado y observa el número que aparece en la cara superior. Determina:

a) El espacio muestral.b) La probabilidad de un número impar.c) La probabilidad de un número par.

Respuesta.

37

a) Cuando se lanza un dado, los resultados que se pueden obtener son 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por lo tanto este es el espacio muestral.

b) Se utiliza la formula. P (A )= Total decasos favorablesTotalde casos equiprobables

Los resultados favorables de que caiga un número impar son 3. 1, 3 y 5. Por lo tanto tenemos que:

P ( A )=36=12

c) Se utiliza la formula. P (A )= Total decasos favorablesTotalde casos equiprobables

Los resultados favorables de que caiga un número impar son 3. 2, 4 y 6. Por lo tanto tenemos que:

P ( A )=36=12

Ejercicio 1. En un saco se tienen 4 canicas rojas, 3 azules y 5 blancas. Si se saca una canica al azar con reemplazo, calcula las siguientes probabilidades.a) Sacar una canica roja.b) Sacar una canica azul.c) Sacar una canica blanca.d) Sacar una canica negra.e) Sacar una canica.

38

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Se dice que dos o más eventos son excluyentes, cuando estos no pueden suceder al mismo tiempo. Por ejemplo: si se lanzan dos dados y se busca definir los eventosA= la suma de las caras de los dados es 6.B=la suma de las caras de los dados es 9.Esto no puede ocurrir porque al lanzar los dados se obtiene un valor u otro pero jamás ambos valores al mismo tiempo, por lo tanto son eventos excluyentes.

Ejercicio 1. Considerando el clima de una cierta región del planeta definir los eventos: A= un día caluroso. Y B= un dia frio, indica si los eventos son mutuamente excluyentes o n o.

Ejercicio 2. En un grupo de 40 alumnos, 47 estudian inglés y 32 estudian francés. Determina si los eventos estudiar inglés o estudiar francés son eventos mutuamente excluyentes o no.

Ejercicio 3. En un salón de clases se tienen 50 alumnos, de los cuales 40 son regulares: 30 son mujeres y 10 son hombres, y 10 son irregulares de los cuales: 7 son hombres y 3 mujeres. Si elegimos un alumno aleatoriamente determinar si los eventos siguientes son mutuamente excluyentes:

a) Es un alumno regular.b) Es un alumno irregular.c) El alumno es una mujer.d) El alumno es un hombre.

41

TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

Teorema 1. La probabilidad de un conjunto vacío es igual con cero.

P (∅ )=0

Teorema 2. Para cualquier sucesión finita de n eventos disjuntos A1, A2, A3, …. An

P (¿ i=1¿n A i )=∑i=1

n

P ( A i )

Ejercicio. Un vehículo llego a una intersección donde puede dar vuelta a la izquierda, derecha o seguir de frente. Responder:

a) Lista los elementos del espacio muestral.b) Determina la probabilidad de los eventos asociados si todos los resultados son igualmente

posibles.c) La probabilidad de que el vehículo dé vuelta, bajo las condiciones del punto anterior.

Teorema 3. Para cualquier evento A, se tiene el complemento, el que escribamos AC.

P (AC )=1−P ( A )

Teorema 4. Si A y B son sucesos cualesquiera, tales que A⊂B, entonces P ( A )≤P(B). Considerando el siguiente diagrama de Veen-Euler:

42

AB

B

AC ∩B

Teorema 5. Para cualquiera de dos eventos A y B se tiene:

P (A∪B )=P ( A )+P (B )−P ( A∩B )

Considerando el siguiente diagrama de Venn-Euler.

Ejercicio 1. En un grupo de 50 alumnos se sabe que 35 alumnos estudian inglés y 42 francés. Si se elige un alumno al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo estudie inglés?b) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie ambos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo estudie inglés o francés?d) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie francés?

Ejercicio 2. Un alumno tomara prestados 2 libros para leer en vacaciones. Con probabilidad 0.5 el toma el libro A, con probabilidad 0.4 toma el libro B y con probabilidad 0.3 toma ambos libros. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno tome el libro A o el libro B?¿Cual es la probabilidad de que no tome ninguno de los dos libros.

Ejercicio 3. En una encuesta de 300 personas 130 manifestaron leer el periódico A, 150 el periódico B y 70 ambos periódicos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona lea el periódico A?¿Cual es la probabilidad de que una persona lea el periódico B?¿Cual es la probabilidad de que lea ambos periódicos?¿Cual es la probabilidad de que lea el periódico A o el periódico B?

43

S

AC ∩B A∩BC A∩B

BS

AS

MIX DE EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

1. A partir de las siguientes afirmaciones resuelve lo que se pide:

Hallar:

1

2

3

4

5

6

7

2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar:

1.

2.

3.

4.

44

3. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:

1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.

2La primera bola no se devuelve.

4. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de:

1.Sea roja.

2.Sea verde.

3.Sea amarilla.

4.No sea roja.

5No sea amarilla.

5. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1. Con reemplazamiento.

2. Sin reemplazamiento.

6. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

45

7. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

1Sea hombre.

2Sea mujer morena.

3Sea hombre o mujer.

8. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2. La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1. La probabilidad de que salga el 7.

2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3. La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

10. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1. Salga 6 en todos.

46

2. Los puntos obtenidos sumen 7.

11.Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

12.Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1.Un número par.

2.Un múltiplo de tres.

3.Mayor que cuatro.

13.Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1. Dos caras.

2. Dos cruces.

3. Una cara y una cruz.

14.En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1. Si se saca una papeleta.

2. Si se extraen dos papeletas.

3. Si se extraen tres papeletas.

47

15.Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

17. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

18. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1. De que ambos vivan 20 años.

2. De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3. De que ambos mueran antes de los 20 años.

19. Construir el diagrama de árbol para encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 3 preguntas de falso verdadero.

48

20. Encontrar el total de posibles formas de resolver un examen de 10 preguntas de falso o verdadero.

21. En un parque hay una banca de 5 lugares, si al parque asisten 5 hombres y 4 mujeres que son amigos. ¿De cuantas maneras se pueden acomodar la banca?

22. Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8.

a) Si sólo se utilizan 2 de estos números. b) si sólo se utilizan 3 de estos números.

23. La Mesa directiva de una escuela está integrada por un presidente, un secretario y un tesorero; para ocupar estos puestos existen 8 candidatos y cada uno de ellos puede ocupar uno de estos cargos. Determinar el número de formas distintas como puede quedar integrada la mesa directiva.

24. En una bolsa hay 4 pelotas de esponja; 1 roja. 1 verde, 1 azul y 1 amarilla. Si se extrae de la bolsa 3 pelotas ¿de cuántas formas distintas, pueden aparecer?

25. ¿Cuántas permutaciones diferentes pueden formarse con todas las letras de las siguientes palabras?

a) ROCA

49

b) CAMPANARIO

d) ESTADÍSTICA

26) ¿De cuántas maneras puede elegirse a 3 cartas de una baraja inglesa de 52 cartas?

27) ¿Cuántos equipos de Basquetbol se pueden formar con un grupo de 9 jugadores, si se sabe que cada equipo está integrado por 5 jugadores, y cualquiera de ellos puede ocupar la posición que sea?

28) En una mesa de billar hay 6 bolas marcadas con los números 2, 4, 6, 8, 10 y 12, se va a tomar al azar 4 de estas bolas. ¿de cuántas maneras diferentes se puede seleccionar estas bolas?

29) La selección mexicana está integrada por 25 jugadores en total, de los cuales tres porteros, siete defensas, diez medios y cinco delanteros.

a) ¿De cuántas maneras puede el entrenador integrar un equipo de once jugadores, si cualquiera de ellos puede ocupar cualquier posición?

50

b) ¿de cuántas maneras puede integrar el entrenador el equipo que tenga un portero, cuatro defensas, cuatro medios y dos delanteros?

30. En un examen de matemáticas un estudiante tiene que responder siete de un total de diez preguntas.

a) Determinar el número de maneras en que puede responder el examen.

b) Determinar el número de formas de responder el examen si dentro de las siete preguntas que debe contestar la 2 y la 6 son obligatorias.

c) ¿De cuántas formas puede responder el examen si dentro de las siete preguntas debe elegir 4 de las primeras 6 preguntas y 3 de las últimas 4 preguntas?

51

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