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TEMA4. GEOIDE Y FÓRMULAS PARA SU RESOLUCIÓN
4.1 Anomalías de la gravedad
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
El tema que abordamos ahora constituye una de las herramientas principales en gravimetría,
ya que las anomalías de la gravedad constituyen un dato básico para el análisis y resolución
de la forma de la Tierra, teniendo también una amplia aplicación en el campo de las
prospecciones gravimétricas aplicada al estudio de la corteza terrestre principalmente.
En el gráfico observamos los
diferentes valores y direcciones de
la gravedad en cada superficie. El
único valor que nosotros podemos
conocer y medir sobre la superficie
terrestre es gP,, el valor de la
gravedad sobre el geoide gPG, se
obtiene mediante lo que se conoce
por reducciones de la gravedad. El
valor y dirección de 0
simplemente se calcula mediante
las ecuaciones ya vistas.
Si consideramos los valores de la gravedad gPG y los comparamos con el valor teórico de la
gravedad sobre el elipsoide Q en el punto Q, la diferencia entre ambos valores se conoce
como anomalía de la gravedad, este valor va asignado a la superficie del geoide, al punto PG.
La gravedad y la gravedad normal son vectores, quiere decir esto que la resta de ambos
también será un vector, el cual lleva asociado un módulo, la diferencia de este es tan pequeña
que normalmente para resolver el modulo se suele considerar
4.2 Desviación de la vertical y ondulación del Geoide
El vector de la anomalía de la gravedad se considera la desviación relativa de la vertical, ya
que este valor en grados, cuantifica la diferencia entre las direcciones de la gravedad o línea
de la plomada (latitud y longitud astronómica, obtenida por métodos astronómicos) y la
dirección de la gravedad normal (latitud y longitud geodésica) fig.4.2..
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Superficie terrestre
Geoide
Elipsoide
P
Q
gPG
gP
Q
PG
Fig.4.1.
Esta desviación relativa de la vertical se expresa por las componentes en la dirección N-S y
E-W. Estas componentes vienen dadas en función de las coordenadas astronómicas reducidas
al geoide (Φ,Λ) y por las geodésicas (φ,λ).
A través de las componentes de la desviación relativa de la vertical somos capaces de
resolver la forma del geoide, en la (fig.4.2.a) vamos a representar la posición relativa de una
sección geoide-elipsoide bien sea en la dirección de un meridiano o de un paralelo y las
relaciones geométricas entre sus normales.
En este gráfico se puede extraer las relaciones:
96
P
ξ
η
Normal al elipsoide
Vertical dellugar
Norte AstronómicoNorte
cartográfico
Fig.4.2.
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Donde dN es la variación de la ondulación del geoide, y son las componentes de la
desviación relativa de la vertical, dl y dl son elementos diferenciales lineales de paralelo y
meridiano.
Reordenando las ecuaciones convenientemente
El signo menos en el tercer término aparece para indicar que ángulos positivos indican dN
negativos en la dirección norte.
Aplicando la misma reordenanción en
Mediante la utilización de estas fórmula a partir de un punto con N conocida somos capaces
de obtener la forma del geoide de un área o zona, o la altitud de un punto a partir de la altitud
elipsoidal. Esta clase de cálculo se conoce como nivelación astrogeodésica, esta se utilizaba
antaño para resolver el geoide calculándose los dN en la dirección de los meridianos y
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Geoide
Elipsoide
g dd
dN
Fig.4.2.a.
paralelos, obteniéndose una malla de puntos de los cuales se conocía N. Para resolver la
ondulación del geoide de un punto que se halle en la nivelación (P2) basta aplicar
Para resolver la N de cualquier punto bastara con interpolar respecto a los puntos más
cercanos. Se obtenía el geoide sin necesidad de observables gravimétricos, en la actualidad la
mayoría de geoides se obtienen a partir de datos gravimétricos, aunque las ecuaciones de la
desviación relativa de la vertical se sigue utilizando en el cálculo del geoide como ecuaciones
complementarias.
4.3. Determinación del geoide. Potencial anómalo.
La determinación del geoide o la determinación de la forma de la Tierra, constituye uno de
los principales objetivos de la gravimetría. ¿Como se determina el Geoide?, el geoide se
determina dando la posición de cada punto de el respecto a un sistema de referencia.
La determinación del geoide o la determinación de la forma de la Tierra, constituye uno de
los principales objetivos de la gravimetría. ¿Como se determina el Geoide?, el geoide se
determina dando la posición de cada punto de el respecto a un sistema de referencia.
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N1
H1
PP2
Fig.4.2.b
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Por lo que se refiere al sistema de referencia utilizaremos uno normalizado, el elipsoide, el
cual hemos establecido como figura de trabajo en capítulos anteriores.
Por lo que se refiere a la posición del punto, vamos a definirla como la distancia que existe
entre elipsoide y el geoide medida a lo largo de la normal del elipsoide, que corresponde con
la definición de N, que es la ondulación del geoide.
(φ1,λ1) (φ2,λ2) (φ3,λ3)
N1N2 N3
Geoide
Elipsoide
Fig.4.8.
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Con lo cual para resolver la ondulación del geoide es necesario obtener los valores de N, en
la zona de estudio, si esta es mundial obtendríamos un cartografiado del geoide mundial,
aunque lo normal es trabajar en operaciones topográficas con cartas regionales del geoide.
Normalmente existe una clasificación de los geoides en función de los datos utilizados para
resolverlo. Las fuentes utilizadas para resolver N pueden ser varias.
Una forma habitual de obtención de N es a través de observables de las desviaciones relativas
de la gravedad, como ya hemos visto en [4.1], el problema que presenta este método es que
la obtención de los observables es muy costosa, lo que implica una muy difícil densificación
de observables, con lo que generalmente en la actualidad no existen geoides que provengan
netamente de las observaciones de la desviación de la vertical.
100
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
El geoide más extendido es aquel cuya fuente de datos son los observables gravimétricos en
su mayor parte, estos datos se obtienen mediante la medición de la gravedad sobre la
superficie terrestre y posteriormente una reducción de los valores de la gravedad adecuada.
Finalmente a través de las g como veremos más adelante se obtienen las ondulaciones del
geoide. En España uno de los geoides gravimétricos recientes es el IBERGEO 95 realizado
por el Profesor Sevilla.
Finalmente nos podemos encontrar con geoides de tipo híbrido siendo los observables tanto
de origen gravimétrico como desviaciones relativas de la gravedad.
4.4. Geoides gravimétricos. Potencial anómalo de la gravedad. Fórmula de Stokes
Veamos como resolver las ondulaciones del geoide a partir de las anomalías de la gravedad.
Para ello retomamos la teoría del potencial. Designamos el potencial real de la Tierra como
W, y el potencial del elipsoide de nivel U, podemos establecer que el potencial de un punto
sobre el geoide W, es igual al potencial desde el elipsoide más otro potencial anómalo o
perturbador el cual vamos a designar como T.
101
El potencial perturbador es en verdad el potencial relacionado con la ondulación del geoide,
intentemos buscar alguna relación entre ellos de una forma explicita
En (4.15) estamos representando el potencial normal del punto PG el cual no es igual al
potencial real W, pero hemos establecido que la diferencia se la asignábamos a un potencial
perturbador T, por tanto podemos escribir
Si tenemos en cuenta que el potencial del elipsoide es el mismo que el del geoide WP = UQ
podemos reescribir (4.16) quedando
Conocida como fórmula de Bruns, esta ecuación establece una relación entre el potencial y
una cantidad geométrica como es N, en cualquier caso al ser T un potencial hay que
establecer como obtenerlo o que relación tiene con la gravedad y la gravedad normal, se
puede establecer que
102
N2
Geoide W
Elipsoide U
PG
Q
Fig.4.9.
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
De forma aproximada ya que las normales no coinciden, si en (4.18) sustituimos el valor de
PG por
Quedando (4.18)
Sustituimos N según la fórmula de Bruns
La ecuación (4.21) es la ecuación fundamental de la Geodesia Física, ya que en ella se
establece la relación entre las anomalías de la gravedad y el potencial perturbador, sin esta
relación no seria posible obtener las ondulaciones del geoide N, ya que la única relación que
hemos establecido con N ha sido a través del potencial perturbador.
En verdad la ecuación (4.21) es una ecuación de contorno, para obtener N hay que resolver la
función T, a partir de (4.21) y de (4.22)
Lo cual es cierto ya que T es armónica fuera del geoide, resolver T es bastante complicado y
se conoce como el 3er problema de contorno, el cual se plantea como resolver T, si los datos
que conocemos son una combinación lineal de T y valores de la derivada de esta sobre
una superficie (el geoide), no siendo objeto de este texto la demostración de su resolución.
De cualquier forma su solución final viene dada por la conocida fórmula de Stokes
103
donde S(ψ) es la función núcleo la cual depende de la forma de la Tierra, la cual tiene
diferentes aproximaciones, la más sencilla corresponde a una Tierra esférica
siendo dσ un diferencial de área.
La integral se halla extendida a toda la Tierra quiere decir que para resolver la ondulación del
geoide en un punto hay que realizar la integración de todas las anomalías de la gravedad.
Esta fórmula fue publicada por Georges Gabriel Stokes en 1849, por eso se la llama fórmula
o integral de Stokes. Es con mucho la fórmula más importante de la geodesia física porque
hace posible determinar las ondulaciones del geoide a partir de datos gravimétricos. A la
función (4.23) se la conoce como función núcleo de Stokes.
El hecho de trabajar con anomalías reducidas al geoide se produce ya que al trabajar sobre la
superficie terrestre, la topografía implica que los datos observados (normalmente gravedad)
estén situados en diferentes superficies equipotenciales, por lo que deberemos referir todas
esas medidas a la misma superficie equipotencial para poder interpretar correctamente los
resultados. El problema que genera este planteamiento es que se supondrá el geoide libre de
masas exteriores, lo que significa que el efecto de las masas por encima del geoide debe ser
eliminado con apropiadas reducciones sobre la gravedad tal y como veremos en el tema 5
4.5 Modelos globales de geoide
El problema se ha reducido a buscar el potencial anómalo T mediante la relación:
Donde la solución al problema por desarrollos armónicos esféricos responde, para el
potencial real W, a la formulación:
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Y, suponiendo un desarrollo en armónicos esféricos para el potencial del elipsoide de
referencia hasta orden 4:
El Subíndice ref. indica que se trata de coeficientes calculados a partir de los parámetros del
elipsoide de referencia adoptado. Así si efectuamos la resta coeficiente a coeficiente, sacando
factor común (a/r) para cada n correspondiente y sabiendo que los coeficientes normales se
representan únicamente para m=0, con lo que , y sacando factor común
, queda finalmente:
Siendo:
o hasta donde llegue el desarrollo del potencial
normal.
Y M el grado máximo del desarrollo.
Con lo que la obtención de la ondulación del geoide es directa gracias a la fórmula de
Bruns, y para las anomalías de gravedad podemos extraer la importante relación:
1
22 0 2 0
1 , 1 , 4.26n nM n M n
nm nmn m n m
KM a KM ag n T n Tr r r r
Con lo que se pueden calcular, de esta manera, todas las cantidades relacionadas con
el potencial anómalo (anomalías de gravedad, desviaciones de la vertical y perturbaciones de
la gravedad).
La resolución por este procedimiento no es más, como ya se sabe, que la representación de
las largas longitudes de onda del campo gravitatorio hasta donde llegue el mismo (que,
105
lógicamente, nunca llegará a infinito), para ello necesitaremos conocer los coeficientes
del desarrollo.
Para el cálculo de estos coeficientes recordemos que el cálculo e interpretación directa tal
como se hacía en el apartado (2.3.1) se hace imposible (evaluación directa del potencial
mediante integrales sobre toda la tierra) , por lo que se utilizan las relaciones de
ortogonalidad que presentan los armónicos esféricos de superficie gracias a una cobertura de
anomalías de gravedad sobre toda la tierra, ecuación (1.31b), y teniendo en cuenta la
ecuación (2.19) podemos encontrar, para un radio de esfera teórico unidad r=R=1 (Heiskanen
et al. 1985 pag 108), (Pavlis 1997):
Estos coeficientes se pueden calcular, a nivel global y particularizando para la esfera
terrestre, a partir de los siguientes datos de partida:
1. Información obtenida del análisis de las perturbaciones orbitales de los satélites, de
importancia crítica para obtener los valores de los primeros coeficientes del modelo ya
que esas perturbaciones serán reflejo fiel de las longitudes de onda de mayor envergadura
del campo, no así de las medias y cortas ya que, al atenuarse la señal gravitatoria con la
altura, el movimiento del satélite será incapaz de reflejar la estructura fina del campo.
2. Datos gravimétricos terrestres. En estos datos estarán representadas todas las longitudes
de onda del campo, por ello se requiere una cobertura global y densa. Estos datos
gravimétricos, en las soluciones actuales, recurren a cerca de 4000 fuentes distintas con
datos recogidos durante décadas por diferentes instituciones, universidades e institutos.
3. Datos altimétricos de satélite. Nos darán información de la distancia entre el satélite y la
superficie marina que deberá ser tratada adecuadamente para obtener la ondulación del
geoide de forma directa (con un modelo de la topografía marina previo), ésta será la
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
información oceánica con la que calcularemos el modelo global, que será equivalente al
2º dato pero ahora sobre los océanos (figura 4.10).
Figura 4.10: Altimetría de satélite, T es la topografía marina y N la ondulación del geoide.
Combinando estos tres tipos de datos adecuadamente y a través de complejos mecanismos
matemáticos y algoritmos de optimización (Rapp et al. 1990), (Rapp 1994), (Pavlis 1997) se
llega a la obtención de los coeficientes modelo. Un ejemplo de fichero de coeficientes
modelo sería:
2 0 -0.484165532803550E-03 0.000000000000000E+00 0.12809455E-09 0.00000000E+00
2 1 0.857179552165022E-12 0.289607376371700E-11 0.10000000E-19 0.10000000E-19
2 2 0.243815798120000E-05 -0.139990174643000E-05 0.17880080E-09 0.17774845E-09
3 0 0.957139401177000E-06 0.000000000000000E+00 0.30949989E-10 0.00000000E+00
3 1 0.202968777310000E-05 0.249431310090000E-06 0.44774887E-09 0.46432674E-09
3 2 0.904648670700000E-06 -0.620437816800000E-06 0.36569906E-09 0.38425165E-09
3 3 0.720295507400000E-06 0.141470959443000E-05 0.52624776E-09 0.52485714E-09
4 0 0.540441629840000E-06 0.000000000000000E+00 0.29717966E-09 0.00000000E+00
4 1 -0.535373285210000E-06 -0.474065010407000E-06 0.30324157E-09 0.28631911E-09
4 2 0.350729847400000E-06 0.663967363224000E-06 0.54351755E-09 0.55162916E-09
4 3 0.991080200230000E-06 -0.202148896490000E-06 0.34116236E-09 0.33682524E-09
4 4 -0.190576531700000E-06 0.309704028950000E-06 0.41331886E-09 0.41328514E-09
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Extraído del modelo global OSU91a hasta su orden 4 donde la primera columna es el grado
(m), la segunda el orden (n), la segunda y la tercera el coeficiente C y S respectivamente
totalmente normalizados y la quinta y sexta la desviación obtenida en el cálculo del
coeficiente C y S respectivamente.
En los últimos 40 años continuas mejoras y refinamientos en los desarrollos teóricos han
corrido paralelos a la obtención de más y mejores datos con los que realizar los cálculos y al
desarrollo de herramientas computacionales más efectivas, así, se ha pasado del desarrollo en
armónicos esféricos aproximado hasta grado 8 en 1956 hasta los recientes modelos que
llegan hasta orden 360.
Los modelos globales de utilización más extendida han sido el OSU89 y el OSU91 (Ohio
State University) y el reciente EGM96 (Earth Gravitational Model), de la NASA, NIMA,
OSU, etc.), que empieza a representar una gran mejora en cuanto a los anteriores ya que
incorpora datos de gravedad de aquellas zonas en que no se disponía de datos como África,
Suramérica, la antigua Unión Soviética, datos de gravimetría aerotransportada (Groenlandia),
datos mejorados sobre zonas que ya disponían de datos (Europa, EEUU, etc.) y datos de
altimetría de satélite; incorpora, además, un modelo digital del terreno global (Lemoine et al.
1998)
4.5.1 Precisiones y errores
Dos son las fuentes principales de error si calculamos la ondulación del geoide a partir del
desarrollo en armónicos esféricos, el primero de ellos vendrá dado por los errores cometidos
en la determinación de los propios coeficientes del modelo: errores por comisión; el segundo
de los errores será el efecto del truncamiento de la serie, es decir, la parte del sumatorio que
no ha sido calculada o error por omisión.
En cuanto al error por comisión, el error en una pareja de coeficientes será:
A menudo es interesante ver el error que cada uno de los grados introduce en la solución
final (cada n), así el error de cada grado o varianza grado vendrá dado por:
108
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Ese error en cada grado aportará un error a la suma total de la ondulación del geoide de:
Y la desviación total para la ondulación, será la suma de las varianzas grado anteriores:
En la tabla 2.1 se muestran con los errores por comisión para el modelo EGM96, donde
podemos ver el error en la ondulación del geoide obtenido para diferentes grados, y a su
valor acumulado.
Para el error por omisión (que nunca podremos determinar, ya que nunca sabremos el error
real al no haber un modelo exacto sobre el que comparar), se puede emplear una fórmula
aproximada del tipo (Rapp 1996):
ERROR A PRIORI POR COMISIÓN EN EL MODELO EGM96 EN CENTÍMETROS:
GRADO POR GRADO ACUMULAD
O
2 0.1 0.1
6 0.4 0.6
10 0.9 1.8
20 1.7 4.9
30 2.3 7.9
50 2.9 14.6
75 3.4 20.6
100 3.0 26.0
180 2.2 34.7
360 1.3 42.1
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Tabla 2.1: Errores a priori por comisión en el modelo EGM96 en centímetros.
Si la expansión máxima de la serie es de 360 (M=360), el error por omisión será de 0.18
metros.
Con todo, si tenemos en cuenta los errores a los que llevan las fórmulas (4.28) y (4.29),
podremos ver que el error teórico rondará el medio metro, aunque, en realidad, este error
dependerá en mayor medida de los datos de los que hayamos dispuesto en una determinada
zona:
ERRORES POR COMISIÓN EN EL MODELO OSU91:
AREAS OCEANICAS 26 cm.
AREAS TERRESTRES CON SUFICIENTES
DATOS GRAVIMETRICOS 38 cm
AREAS TERRESTRES CON ESCASOS DATOS
GRAVIMETRICOS 56 cm
AREAS TERRESTRES SIN DATOS
GRAVIMETRICOS 200 cm
4.5.2 Ejemplos de modelos globales
A continuación se verán algunos ejemplos de modelos globales sobre Cataluña, donde
se puede ver como el modelo se va ajustando, a medida que aumenta el grado y el orden del
desarrollo, al campo gravitatorio de la zona, definido, localmente, por la línea de costa y los
Pirineos.
MODELO SATÉLITE JGM3 DE ORDEN 70
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
MODELO EGM180 DE ORDEN 180
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MODELO GPM2 DE ORDEN 200
112
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
MODELO EGM96 DE ORDEN 360
4.6. Limitaciones de la integral de Stokes
La integral de Stokes está pensada, conceptualmente, para ser usada con datos sobre toda la
tierra, por lo que si la restringimos a una zona determinada local cometeremos un error por
omisión que puede llegar a ser importante ya que el problema de contorno planteado no se
restringe únicamente a problemas locales, esto se traslada al hecho de que estamos utilizando
un operador integral global en la integral de Stokes y no un operador local.
Si volvemos a observar el valor de la función o, mejor aún, el de , se verá
inmediatamente que se tienen grandes valores de información para distancias grandes. Esto
significa que los valores de la anomalía de gravedad alejados del punto de cálculo pueden
tener influencia en el cálculo de la ondulación del geoide en P.
113
Como conclusión se deberá decir que únicamente podremos utilizar la fórmula de Stokes con
todo rigor cuando dispongamos de valores de anomalías de gravedad reducidos al geoide
sobre toda la tierra.
4.7. GBVP
4.8. Método combinado modelo global-integral de stokes. Técnica eliminar-restaurar
Hemos encontrado dos técnicas para el cálculo de la ondulación del geoide:
a) Con los modelos globales solo podremos obtener representación de las largas
longitudes de onda del potencial, ya que si nos fijamos detenidamente en la fórmula
solución por armónicos esféricos, vemos que el sumatorio se extenderá hasta el
infinito, por lo que nunca se podrá resolver y, en la práctica, se resolverá hasta un
determinado orden n, lo que la convierte en una representación de las largas
longitudes de onda del potencial gravitatorio.
Con esto se cometerán dos tipos de error: por comisión (errores en la propia
determinación de los coeficientes que entran en la solución) y por omisión (errores debido al
truncamiento de la serie).
b) Para evitar esta limitación en la serie y, en lo posible, por tanto, el error por omisión,
se ideó la solución mediante la integral de Stokes, pero esta integral necesita de datos
sobre toda la superficie terrestre para poder resolverse, por lo que la convierte en una
integral no utilizable desde un punto de vista local, que es el punto de vista que nos
interesa, es decir, estaremos interesados en obtener la ondulación del geoide sobre
una zona determinada.
La solución al problema de intentar obtener la ondulación del geoide de forma local o
regional está en utilizar conjuntamente las dos teorías, es decir, modelos globales e integral
de Stokes de la siguiente manera:
114
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
A las anomalías de gravedad halladas para la zona local de cálculo se le resta la anomalía
global calculada a partir de un modelo global: g-gM y se resuelve la integral de Stokes con
estas nuevas anomalías llamadas anomalías residuales, asumiendo que la información global
es aportada por el modelo global, es decir, las largas longitudes de onda las aporta el modelo
global y, entonces, lo único que nos faltará por encontrar son las medias y cortas longitudes
de onda que la zona local aportará a la solución final.
En principio puede parecer que el problema sigue sin solución, ya que seguimos usando la
misma función S()sin no local anterior, pero este no es el caso, imaginemos que se
puede utilizar un modelo global hasta orden M totalmente exacto, entonces la función de
Stokes quedaría de la forma (Albertella et al. 1994):
Donde la primera parte de la ecuación corresponde al desarrollo del modelo global hasta
orden M y la segunda desde M+1 hasta , el estudio ha pasado de las anomalías de
gravedad a la función núcleo para poder hacerlo más cierto, en realidad la integral de Stokes
se puede ver como una convolución en el dominio de las frecuencias, es decir como un filtro
en el que la supresión de las largas longitudes de onda llevará al mismo resultado tanto si se
aplica a las anomalías de gravedad como si se aplica a la función núcleo (de las dos formas
se estarán eliminando las largas longitudes de onda de la operación conjunta).
En correspondencia con cada uno de los sumandos de la ecuación (4.30), obtendremos:
115
1º 2º 3º
Figura 4.11: Gráfica de la función .
Si se observa ahora la gráfica de SN()sin , figura 4.11, para la incorporación de un modelo
global hasta orden 360, es decir M=360, veremos que la función de Stokes se acerca mucho
a cero a partir de una distancia esférica de dos o tres grados.
Esto se debe al hecho de que los Pn para n altos se acercan, por su parte, mucho a
cero. Por ejemplo: el primer cero de la función núcleo sin modificar se encuentra a los 55º y
el primer cero de la función modificada a los 45’.
Trasladando este hecho a las anomalías de gravedad trabajaremos con las anomalías
residuales:
Donde ahora la función núcleo utilizada es la de la ecuación (4.24) ya que es una
fórmula cerrada. El área de dominio sobre la que calcular la integral deberá ser, al menos, de
dos o tres grados para complementar al modelo global, que, normalmente, resolverá las
longitudes de onda hasta un grado se llega hasta m=n=360.
Trabajando de esta manera el error por omisión de la integral al estar trabajando en áreas
locales será eliminado, convirtiéndose ésta en la forma de trabajo actual para la resolución de
geoides locales, que se traduce en la técnica eliminar-restaurar (remove-restore):
Se obtienen las anomalías de la gravedad sobre el geoide.
Se calculan las anomalías residuales restando la contribución del modelo global.
Se resuelve la integral de Stokes para el área de cálculo.
116
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Se obtiene la ondulación global como suma de:
Siendo la última suma la contribución del efecto indirecto del desplazamiento de las
masas sobre la ondulación del geoide cuando efectuamos la reducción de la gravedad al
mismo (Capítulo 5).
4.9. Generalización a un elipsoide de referencia arbitrario. Obtención de la
constante cero
Como hemos visto, la fórmula de Stokes o la resolución del geoide a partir de los
coeficientes de un modelo global suprimen, en su forma original, los armónicos de grado
cero y uno del potencial anómalo T, por lo tanto la integral de Stokes estudiada es
estrictamente válida solo si estos términos están ausentes. De la misma manera se imponía la
condición de igualdad de potenciales entre geoide y elipsoide de la forma WO=UO.
Todo esto impone sobre el elipsoide de referencia y sobre su campo de gravedad normal unas
restricciones que difícilmente se cumplen en la práctica.
Por tanto se debe generalizar la integral de Stokes para que pueda aplicarse a un elipsoide de
referencia arbitrario, que debe satisfacer únicamente la condición de que sea tan próximo al
geoide que las desviaciones entre geoide y elipsoide puedan considerarse como lineales y que
su centro coincida con el centro de gravedad terrestre.
El término de grado cero en el desarrollo en armónicos esféricos del potencial es igual al
potencial generado por un punto:
Donde M es la masa de la Tierra. Por tanto el término de grado cero del potencial anómalo
T=W-U en la superficie de la Tierra, o, con el mismo grado de aproximación, sobre el
geoide, donde r=R, viene dado por:
117
Donde M=M-M’, es la diferencia entre la masa M de la Tierra y la masa M’ del elipsoide de
referencia. Sería cero si ambas cantidades fueran iguales, pero si no conocemos con certeza
la masa de la Tierra, ¿Cómo podemos igualar M y M’ ?.
Así la generalización de la integral de Stokes sobre el potencial anómalo teniendo en cuenta
el grado cero del potencial anómalo será:
Ahora, además, es lógico suponer que los potenciales generados por elipsoide y geoide no
tienen por que ser el mismo, es decir, WO ≠ UO; llamando:
A la diferencia entre los dos potenciales la generalización de la ecuación de Bruns quedará de
la forma:
Por lo que la generalización de la fórmula de Stokes para la ondulación del geoide,
introduciendo la ecuación (4.36) en (4.38), supone:
Ecuación que se verifica para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincide con
del centro de gravedad terrestre y su diferencia con el geoide es tan pequeña que puede
considerarse lineal.
118
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Esta última ecuación contiene el efecto de la diferencia de masas M y la diferencia de
potencial W entre elipsoide y geoide.
Llamaremos constante cero sobre la ondulación del geoide a la cantidad (que será una
constante):
Con lo que:
Las anomalías de gravedad de la ecuación anterior estarán reducidas al geoide y seguirán las
mismas hipótesis que la ondulación del geoide (igualdad de masas y de potenciales), por lo
que es previsible también la consideración de una constante cero para llevarlas a un elipsoide
de referencia arbitrario. Para eso se procede de la siguiente manera:
La ecuación fundamental se expresa de la forma (ecuación 4.21):
Si tenemos ahora en cuenta la ecuación (4.38), vemos que:
En aproximación esférica tenemos que:
119
Con lo que:
Los desarrollos armónicos esféricos para el potencial anómalo y su derivada direccional a lo
largo del radio son, respectivamente:
Que, introducidas en la ecuación (4.44), la transforman en:
Y para n=0 se tiene:
Que, recordando la ecuación (3.37), se transforma en:
Siendo esta la constante cero para las anomalías de gravedad en aproximación esférica.
120
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Quedarán, por tanto, definidas las constates cero para las anomalías de gravedad y para la
ondulación del geoide a partir de la diferencia de masas y de potencial entre geoide y
elipsoide.
En el caso de utilizar la técnica eliminar-restaurar, esta constante cero aparecerá cuando se
utilice el modelo global sobre las anomalías de gravedad en la eliminación y sobre la
ondulación del geoide en la restauración.
Las diferencias de masas y de potencial son difícilmente evaluables y, por tanto, difícilmente
se pueden introducir en las ecuaciones. Si nos ceñimos al cálculo y desarrollo de un modelo
global, éste se construye sobre el elipsoide más próximo (normalmente el elipsoide global
más moderno) a la Tierra conocido, por lo que este elipsoide podría ser el modelo de Tierra
más aproximado que deberá transformarse al elipsoide de referencia (GRS80). De esta forma
nuestro problema se reduce a la evaluación de estas constantes a partir de los parámetros
elipsoidales conocidos a y f.
Recuperando la teoría para el desarrollo del campo de gravedad normal mediante desarrollos
en serie (Heiskanen y Moritz, 1984, pg. 74-79) se llegan a las expresiones:
Siendo:
Fuerza centrífuga en el ecuador / gravedad en el ecuador
Cantidades que relacionan conceptos físicos con conceptos geométricos dentro del desarrollo
sobre una figura normal como es el elipsoide.
Las expresiones de la ecuación (4.49) se pueden resolver en a y γe resultando:
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Si ahora diferenciamos estas fórmulas respecto a todas las variables (a, f, M, WO, γe) se
obtendrán diferenciales de masa M y de potencial W que podremos asimilar a las
cantidades que nos sirven para la obtención de las constantes cero, de esta forma,
diferenciando y reagrupando obtenemos:
Recordando las ecuaciones (4.40) y (4.48) y que, en aproximación esférica, R=a, la ecuación
anterior queda de la forma:
De donde se extraen las constantes cero que permiten pasar de la ondulación del geoide y la
anomalía de gravedad de un elipsoide a otro, por ejemplo de un elipsoide medio terrestre
(mejor aproximación a la figura de la Tierra) al GRS80.
Por ejemplo: en la definición del modelo global EGM96, se adoptó como mejor modelo de la
superficie de la Tierra al elipsoide definido por las constantes:
a= 6378136.46 m
f= 0.003352805871
122
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Considerando la misma constante KM que la adoptada para el sistema GRS80.
De esta forma se puede calcular la constante cero para la ondulación del geoide utilizando la
ecuación (18) tanto para el elipsoide de referencia GRS80 (a=6378137,
f=0.00335281068118) como para el WGS84 (a=6378137, f=0.003352810665), en ambos
casos el resultado es NO=-0.53 m para pasar de las ondulaciones calculadas con los
coeficientes del modelo global al elipsoide GRS80, o WGS84.
En cuanto al término de grado uno siempre se puede suponer que el centro del elipsoide de
referencia coincide con el centro de gravedad terrestre, o se encuentra tan cerca que se
pueden considerar juntos en la práctica, con lo que estos términos desaparecen. Esto no
ocurre con los sistemas de referencia locales, por ejemplo el ED50.
Para asegurar este último punto se puede considerar que el modelo EGM96 es consistente
con el marco ITRF91), éste último difiere del marco ITRF92 a niveles inferiores a los 2 cm,
igual que la diferencia entre los marcos ITRF92 e ITRF94, llegando a concluir que los
modelos globales se mantienen constantes a través del tiempo sobre las determinaciones
ITRF (hablamos siempre considerando las precisiones que puede ofrecer un modelo global
de geoide). El sistema WGS84 (o, a nivel práctico el GRS80) es consistente con el ITRF91
considerando la precisión de definición de ambos sistemas, por lo que se puede concluir que
no es necesaria la consideración de términos de grado unos entre los elipsoides de referencia
WGS84 y el de definición del EGM96; de todas formas se realizó una transformación siete
parámetros entre los sistemas EGM96 y ITRF94 sobre un total de 24 estaciones distribuidas
por todo el mundo llegando a la conclusión de que los orígenes de ambos sistemas coinciden
en el entorno centimétrico y que existe un cambio de escala entre ellos de 1.5 0.4 ppm
para pasar del sistema EGM96 al ITRF94, reafirmando la conclusión de que no es necesaria
dicha transformación para los niveles de precisión que se están barajando (el cambio de
escala supondrá una variación de 0.15 mm para un valor de ondulación de 100 m).
Por último se debe tener en cuenta que los valores adoptados para los parámetros GM y a,
usados para escalar los coeficientes de la solución armónico esférica, son diferentes a los del
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elipsoide de referencia WGS84, así, poniendo como ejemplo el modelo EGM96, estos
valores son:
GMEGM96 = 368600.4415 kgm3sg-2
GMWGS84 = 398600.4418 kgm3sg-2
,aEGM96 = 6378136.460 m
,aWGS84 = 6378137.000 m
Por tanto se debe efectuar la siguiente corrección sobre cada uno de los coeficientes
C, S de orden n del modelo geopotencial para escalarlos y así obtener los coeficientes de
acuerdo al sistema WGS84:
Las pruebas efectuadas sobre una malla global de ondulaciones del geoide calculadas sobre
los dos elipsoides arrojan los resultados estadísticos siguientes en cuanto a la diferencia entre
las dos soluciones:
Min.= -1.6 mm, Max.= 1.0 mm, EMC = 0.7 mm
Por lo que, debido a las precisiones que ofrecen los modelos globales, se puede considerar
este incremento de escala sin consecuencias prácticas para los cálculos finales y extrapolar
esta conclusión a los modelos OSU89, OSU91 y GPM98cr.
4.10 Métodos de cálculo para las fórmulas integrales
En la práctica, en la mayoría de los casos no se logra hallar una solución exacta del problema
matemático planteado, esto ocurre, principalmente, no porque no sepamos hacerlo, sino
porque la solución buscada no suele expresarse en funciones elementales o en otras funciones
conocidas a las que estamos acostumbrados (Vólcov 1987). Esto ocurre con la resolución de
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
las integrales, ya que, en la práctica, rara vez se logra calcular exactamente una integral
definida, ya que estas no suelen expresarse en funciones cuya integral esté definida o, al
menos, expresarse en funciones fácilmente integrables.
Es por esto que los métodos numéricos de resolución adquieren gran importancia, ya que
estos métodos desempeñan un papel cada vez más importante en los distintos campos de la
ciencia y de la técnica que se relacionen con problemas matemáticos, y, sobre todo, a causa
de la aparición de ordenadores de alto rendimiento con los que podemos efectuar
rápidamente todas aquellas operaciones aritméticas y lógicas sobre los números que
constituyen la esencia de los métodos numéricos.
No debemos olvidar que en la mayoría de los casos los métodos numéricos son aproximados,
pero la solución se puede acotar con bastante validez de uso.
Las fórmulas integrales de la geodesia física, tales como la de Stokes o Vening-Meinesz, se
deben evaluar numéricamente y, por ello deben ser resueltas mediante sumas, donde los
elementos de superficie sobre los que se integra son reemplazados por pequeños
compartimentos finitos q, que se obtienen por una adecuada subdivisión de la superficie de la
tierra.
Se utilizan dos métodos diferentes de subdivisión: el método de la plantilla y el método del
cuadriculado (o en forma de malla).
4.10.1 Método de la plantilla
La subdivisión se efectúa en círculos concéntricos sobre el punto de cálculo, las coordenadas
naturales de este método serán, por tanto, las polares con origen en el punto P de
aplicación, figura 4.12.
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Para la resolución de la integral de Stokes se podrá operar de la siguiente manera: En cada
compartimento qK las anomalías de la gravedad se reemplazan por su valor medio en
ese compartimento. Por tanto la ecuación (3.20) se convertirá en:
O:
Donde los coeficientes:
Se obtienen por integración sobre los compartimentos qK y no dependen de la anomalía de
gravedad.
Si, en primera aproximación, la función de Stokes S() se mantiene razonablemente
constante dentro del compartimiento qK, puede sustituirse por su valor en el centro de
qK, con lo que tenemos:
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Figura 4.12: Método de la plantilla.
Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
Multiplicando y dividiendo por R, obtendremos:
Donde la integral final es simplemente el área AK del compartimiento, con lo que
obtenemos finalmente:
En caso de buscar mayor precisión debemos resolver la integral (4.55), que, en
coordenadas polares puede ser vista como:
O bien:
Donde la función:
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Fue tabulada en 1936 por Lambert y Darling, con lo que únicamente se deben
interpolar los valores de la tabla tabulada (Heiskanen et al. 1985, pág. 119).
Esta solución de las integrales se debe utilizar para aquellas zonas cercanas al punto
de cálculo y la anterior donde tomábamos la media para aquellas zonas alejadas del
punto de cálculo.
A pesar de ello la influencia de los compartimentos cercanos al punto de cálculo P es
mayor que la de los distantes, y el integrando cambia más rápidamente en el entorno del
punto P. Por lo tanto, además de utilizar el concepto de integral, alrededor de P será
necesaria una subdivisión del espacio más fina.
Sin embargo en la zona más interna incluso el método de la plantilla por integración
puede tener problemas si el integrando se hace infinito cuando , ya que como hemos
visto anteriormente la función de Stokes será:
Para pequeñas.
Por consiguiente, es conveniente sacar fuera de la integral el efecto de esta zona más interna,
que se supondrá es un círculo de radio alrededor del punto de cálculo. Así la integral de
Stokes por este camino será:
Donde:
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
El radio de la zona interior corresponde a una distancia lineal de unos cuantos kilómetros.
Para esa distancia podemos tratar la esfera como si fuera un plano, usando las coordenadas
polares s,, aproximando el arco (S) a la cuerda (l), figura 3.4.
Donde la última igualdad se cumple para pequeños como es el caso, de modo que,
igualando las expresiones anteriores:
Expresión ya conocida para pequeños.
De modo que si el elemento de área, que resulta ser:
Que, en coordenadas polares, se transformará en:
De donde, diferenciando (3.63): dS=R d tenemos:
129
Para una pequeña teníamos que:
Que con (4.58) se transformará en:
Con lo que, finalmente:
Si efectuamos primero la integración respecto a y observando que:
Y tomando como valor de el de (en el punto P y, por tanto, constante), obtenemos
que:
4.10.2 En forma de malla
Otra forma de evaluación es hacer una subdivisión en líneas coordenadas, en particular en
líneas coordenadas latitud, longitud, formando bloques rectangulares o cuadrados.
La ventaja de este método y, precisamente la razón por la que actualmente se usa y ya nadie
usa el de la plantilla, es que una vez calculadas las anomalías de gravedad medias de los
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
bloques de tamaño estándar, pueden ser fácilmente almacenadas y procesadas por
ordenadores, y se puede trabajar con ellas con algoritmos fácilmente ya que se usa la misma
subdivisión para todos los puntos de cálculo.
Si dividimos a la esfera terrestre en una malla de líneas longitud y latitud constantes,
quedará una malla de M X N puntos con espaciado entre ellos la ondulación del
geoide en coordenadas esféricas latitud y longitud (3.23) responderá a la forma numérica
(Sideris et al. 1995):
De donde se obtendrá la contribución de cada (i,j) a la ondulación total en P.
Para la resolución de la integral en aproximación plana, ecuación (3.25), la ecuación (3.67)
se transforma en:
Para hallar la contribución en N de la anomalía de gravedad situada sobre el propio punto P
habíamos llegado a la expresión (3.66); pues bien, obtendremos un error despreciable si se
considera esa fórmula para el bloque rectangular central calculando el SO de manera que el
círculo más cercano al punto de cálculo posea la misma área que el bloque rectangular que
ahora estamos considerando, esta condición se traduce en la ecuación de igualdad de áreas
(Schwarz et al. 1990), (Strang Van Hees 1990):
Con lo que:
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Y, finalmente:
Que, en aproximación plana, se transforma en:
Con lo que vemos la facilidad de programación si disponemos de las anomalías de gravedad
en forma de malla gracias a las ecuaciones (4.62), (4.63) y (4.64), y cada anomalía de
gravedad representa un valor medio de una zona determinada (un cuadrado o un rectángulo).
Con esta última afirmación podremos estar cometiendo un grave error: no olvidemos que
hacer una media no es más que suavizar un resultado o fenómeno, de manera que esa
anomalía de gravedad que situamos en el centro de cada uno de los bloques, y que es el valor
medio de las medidas en ese bloque, puede no estar representando las verdaderas
características del valor de la anomalía de gravedad en ese punto de cálculo (i,j), es decir,
puede que el valor verdadero de la anomalía de gravedad sobre ese punto diste mucho del
asignado como valor medio de todo un bloque, con lo que estaremos suavizando la función a
calcular (hacemos una media) y eliminamos valores característicos o particulares del propio
campo gravitatorio; la solución se encuentra, en primera aproximación en asumir como valor
de anomalía de gravedad para ese punto (i,j) el del punto más cercano al mismo.
Actualmente la estadística nos proporciona grandes herramientas de interpolación que
pueden ser utilizadas en este problema particular con gran acierto, nos referimos a la
predicción mínimo cuadrática (Moritz 1980), (Heiskanen et al. 1985 capítulo7).
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Tema 4. Geoide y fórmulas para su resolución
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