vibraciones_mecanicas

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLN

DEPARTAMENTO DE INGENIERA

LABORATORIO DE TECNOLOGA DE MATERIALES

LECTURAS DE INGENIERA 17

VIBRACIONES MECNICASVIBRACIONES MECNICASVIBRACIONES MECNICASVIBRACIONES MECNICAS

M. en I. Felipe Daz del Castillo Rodrguez.

CUAUTITLN IZCALLI 2011

NDICE

Pag.

INTRODUCCIN . ..1

CAPITULO 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1. CONCEPTO DE VIBRACIN ....1

1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES ......3

1.3 IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECNICAS ...7

1.3.1 Porque estudiar las vibraciones mecnicas? por el impacto y los efectos 12

1.4 LAS VIBRACIONES MECNICAS COMO CIENCIA APLICADA ...13

1.5. DEFINICIN DE VIBRACIN MECNICA ...16

1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES ..18

1.7. CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES MECNICAS ..21

1.8. OTROS CONCEPTOS ....26

1.9. MODELADO MATEMTICO ....27

1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIN DE KUTZBACH MODIFICADA .29

CAPTULO 2

ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

2.1 ELEMENTOS ELSTICOS .....35

2.1.1. Resortes helicoidales y a torsin ... ..35

2.1.2. Elementos estructurales ...39

2.1.3. Elementos elsticos equivalentes. ... .41

2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo ...41

2.1.3.2 Algunas equivalencias elsticas torsional .. 45

2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES .50

2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes. ....51

2.3 ELEMENTOS INERCIALES ....53

2.3.1. Inercia equivalente ....55

2.4. EJERCICIOS 57

CAPTULO 3

VIBRACIN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD ALREDEDOR

DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

3.1. VIBRACIN LIBRE O AMORTIGUADA 60

3.1.1. Determinacin de la ecuacin diferencial .. 60

3.1.2. Modelo representativo y clculo de la frecuencia natural ...63

3.2 VIBRACIN LIBRE AMORTIGUADA ...67

3.3 MTODOS DE ANLISIS ....75

CAPTULO 4

BALANCEO

4.1. DESEQUILIBRIO .....79

4.2. EQUILIBRADO ESTTICO .......80

4.3. DESEQUILIBRIO Y EQUILIBRADO .....84

4.4. MAQUINAS DE EQUILIBRADO ESTTICO .....88

4.5. MQUINAS DE EQUILIBRADO DINMICO .....89

4.5.1. Bastidor basculante ..89

4.5.2. Punto nodal ...92

4.5.3. Compensacin mecnica .93

4.6. BALANCEO I N S I T U ..94

4.7. ROTORES RGIDOS Y FLEXIBLES ..97

4.7.1. Rotores flexibles .97

BIBLIOGRAFA 101

FES-CUAUTITLN Mtro. FELIPE DAZ DEL CASTILLO R.

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INTRODUCCIN

El desarrollo de la Ciencia y Tecnologa actuales implican la generacin y aplicacin del

conocimiento en muchas reas y consecuentemente el estudiante de Ingeniera debe estar

al tanto de los mismos, sin embargo, debido a la actualizacin poco frecuente de los

programas y planes de estudio y por las limitaciones propias de semestres de apenas cuatro

meses de actividades acadmicas, es difcil la actualizacin del estudiante en dichos

conocimientos, adems, dejar trabajos de investigacin no funciona de la manera deseada,

ya que en muchas ocasiones se descargan de Internet y se imprimen sin leerlos siquiera, de

ese modo, surge la idea de crear una serie de apuntes de temas bsicos para el ingeniero

actual como son: el endurecimiento superficial del acero, las fundiciones de hierro, la

tribologa y el desgaste, la superplasticidad, los avances en la industria siderrgica,

superaleaciones, etc.

En este trabajo se habla de entre otros temas: a) la historia e importancia de las

vibraciones mecnicas, b) el presente y futuro del estudio de las vibraciones, c) la

clasificacin de las vibraciones, d) el procedimiento para la elaboracin de un modelo

matemtico.

Como siempre cualquier comentario o correccin ser bienvenido.

ATTE.

Mtro. Felipe Daz del Castillo Rodrguez.


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CAPITULO 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1. CONCEPTO DE VIBRACIN

Se dice que un cuerpo vibra cuando experimenta cambios alternativos, de tal modo que sus

puntos oscilen sincrnicamente en torno a sus posiciones de equilibrio, sin que el campo

cambie de lugar.

Como otro concepto de vibracin, se puede decir que es un intercambio de energa cintica

en cuerpos con rigidez y masa finitas, el cual surge de una entrada de energa dependiente

del tiempo.

Este intercambio de energa puede ser producido por:

Desequilibrio en maquinas rotatorias

Entrada de Energa Acstica

Circulacin de Fluidos o masas

Energa Electromagntica

Sea cualquiera la causa de la vibracin, su reduccin es necesaria debido a razones entre

las cuales se tienen:

La excesiva vibracin puede limitar la velocidad de procesamiento.

La vibracin es responsable de la pobre calidad de los productos elaborados por

maquinas-herramientas.

La vibracin de maquinarias puede resultar en radiacin de ruido.

La vibracin puede alcanzar a otros instrumentos de precisin de otras fuentes, y causar

fallas de funcionamiento.

La Medicin de la vibracin, juega un papel muy importante en el desarrollo de tcnicas

para mitigarla o reducirla, y en el establecimiento de lmites en los niveles de ruido de la

maquinaria existente en una instalacin industrial. Aproximadamente el 50% de las averas

en mquinas rotativas se deben a desalineaciones en los ejes. Las mquinas mal alineadas

generan cargas y vibraciones adicionales, causando daos prematuros en rodamientos,


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obturaciones y acoplamientos, tambin aumenta el consumo de energa. Gracias a los

avances de la electrnica, actualmente se tienen instrumentos de medicin altamente

sofisticados que permiten cuantificar la vibracin de manera precisa, a travs de diversos

principios. Es por esto que es muy importante, un buen entendimiento de los transductores

empleados para la medicin de vibracin, y su interfaz con los sofisticados equipos de

instrumentacin y de adquisicin de datos.

Hoy en da, uno de los puntos importantes a considerar en el buen funcionamiento de los

procesos industriales esta basado entre otras cosas en reglas, procedimientos

metodologas de mantenimiento, en especial uno conocido como mantenimiento predictivo

ya que permite saber el estado actual y futuro de una maquinaria o de sus elementos; el

anlisis de vibraciones de maquinaria es una de las metodologas ampliamente usadas en el

mantenimiento de maquinaria, de tal manera que el estudio de las vibraciones mecnicas se

ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniera mecnica ya que le permite

comprender, analizar y proponer soluciones sobre diversa problemtica relacionada con

procesos industriales. En este captulo se presentan los conceptos introductorios de las

vibraciones mecnicas como lo es: su historia, presente, aplicaciones e importancia entre

otras cosas.

1.2 EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES

Es difcil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecnicas, ni si quiera

adjudicar a una sola persona el ttulo del padre de la ciencia de las vibraciones ya que a

travs de la historia grandes cientficos realizaron importantes aportaciones que hicieron

hoy en da del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia.

A continuacin se presenta un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que

hicieron aportaciones sobre el fenmeno de las vibraciones.

Remontndose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprenda con

grandes e importantes aportaciones filosficas y matemticas, sobre todo en el rea de

aritmtica; hoy en da todos conocemos de el gracias a un famoso teorema dado en su

honor conocido como el teorema de Pitgoras. Pitgoras (570 497 a.C.) desarroll la


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teora de los nmeros y la teora de la msica y de la armona en donde afirmaba la relacin

entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un da pas por una herrera y se qued

sorprendido al darse cuenta de la rtmica regularidad con la que el herrero haca repicar el

martillo sobre el yunque; tal fue su admiracin que llegado a su casa se puso a

experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensin, pero de

distinta longitud. De esta manera pudo concluir que las notas dependan de la frecuencia de

vibracin, esto mismo Pitgoras lo calcul y concluy que la msica no era ms que una

relacin matemtica de las vibraciones medidas segn intervalos.

Por otro lado un importante filsofo e investigador llamado Aristteles (374-355 a.C.).

Trabajo con las leyes del movimiento, escribi el primer escrito relacionado con la acstica

llamado On Acoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia mas inquietados por este fenmeno es

conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontr la relacin existente entre la

longitud de cuerda de un pndulo y su frecuencia de oscilacin, adems encontr la

relacin entre la tensin, longitud y frecuencia de vibracin de las cuerdas. Se cuenta que

cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la

catedral de Pisa Galileo Galilei se interes en medir el tiempo de cada oscilacin

comparndolo con el nmero de latidos de su pulso (en esa poca todava no se inventaba


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los relojes ni los cronmetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las

oscilaciones fueran cada vez ms menores, el tiempo de cada oscilacin era siempre el

mismo. Al repetir el experimento en su casa, comprob lo anterior utilizando un pndulo

(una piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando adems que el tiempo de la

oscilacin dependa de la longitud de la cuerda.

En la dcada de los 40 del siglo XVII existi uno de los grandes cientficos de la historia

llamado Isaac Newton (1642-1727), matemtico y fsico britnico, considerado uno de los

ms grandes cientficos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos

campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teoras sirvieron de base a la mayor parte de

los avances cientficos desarrollados desde su poca. Newton fue, junto al matemtico

alemn Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemticas

denominada clculo. Tambin resolvi cuestiones relativas a la luz y la ptica, formul las

leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitacin universal. En el

campo de las vibraciones el uso de las leyes de Newton forma un papel importante en el

anlisis de sistemas y la determinacin de frecuencias de oscilacin. Public su teora en

Principios matemticos de la filosofa natural (1687), obra que marc un punto de inflexin

en la historia de la ciencia, y con la que perdi el temor a publicar sus teoras.


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Con la aparicin de la obra de Newton The principia implic a Newton en un

desagradable episodio con otro gran filsofo y fsico llamado Robert Hooke (1635-1701).

En 1687 Hooke afirm que Newton le haba robado la idea central del libro: que los

cuerpos se atraen recprocamente con una fuerza que vara inversamente al cuadrado de

la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los

cargos de plagio de Hooke. Sin embargo, este cientfico es reconocido por sus

investigaciones en el campo de la elasticidad. En 1678, el tambin llamado Leonardo

Ingls, publico el libro: Ut Pondus Sic Tensia (como el peso as es la tensin) que

representa un primer enunciado de su conocida ley de la elasticidad

Ya en una poca reciente Daniel Bernoulli (1700-1782), estudio la forma de vibrar de

algunos cuerpos usando el principio de superposicin de armnicos. Daniel Bernoulli hizo

una estrecha correspondencia con su amigo Euler en la que trataron temas de la

mecnica de los medios flexibles y elsticos, en particular los problemas de pequeas

oscilaciones de cuerdas y vigas. Particularmente atractiva es la polmica que se abri sobre

el tema de la cuerda musical, no slo entre Euler y Daniel, sino con la incorporacin de un

joven gemetra Jean le Rond DAlembert, quien pronto fue considerado entre los ms

prestigiosos gemetras de Francia en el Siglo de las Luces. El debate sobre la ecuacin de

la cuerda, sometida a una vibracin en un mismo plano, es importante desde el punto de

vista matemtico, no slo porque representa el primer anlisis de la solucin de una

ecuacin diferencial en derivadas parciales, sino adems porque la discusin llev al

cuestionamiento de las nociones establecidas de funcin y de representacin de funciones

mediante series trigonomtricas. En particular en las ideas de Daniel estaba el germen de

la teora de representacin en series de Fourier que se estableci en el siglo XIX con los

trabajos de Fourier, Dirichlet, Riemann y otros.


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Pero en el siglo XVIII el matemtico francs Joseph Fourier (1768-1830) vino a realizar

una de las aportaciones mas importantes en el rea de las vibraciones, en 1807 envi un

artculo a la Academia de Ciencias en Paris, en l presentaba una descripcin matemtica

de problemas relacionados con la conduccin de calor. Pese a que el artculo fue

rechazado, contena ideas que se convertiran en una importante rea de las matemticas

llamada en su honor, el anlisis de Fourier. Una de las sorprendentes aportaciones del

trabajo de Fourier fue que muchas de las funciones ms conocidas podan expandirse en

series de senos y cosenos; de tal modo que esta aportacin es una de las ms interesantes e

importantes en el campo de las vibraciones mecnicas ya que en base al algoritmo de la

serie de Fourier trabajan los modernos analizadores de vibracin.

1.3 EL PRESENTE E IMPORTANCIA DE LAS VIBRACIONES MECNICAS

En la era moderna, en donde los avances tecnolgicos estn a la puerta, grandes

aportaciones matemticas y mtodos de anlisis vinieron a resolver algunos problemas en el

campo de las vibraciones mecnicas.

Por ejemplo en 1909, Frahm propuso una forma de reducir las vibraciones

mecnicas mediante la implementacin de sistema agregado sistema masa-resorte. Stodola

Aurel (18591943) hizo aportaciones importantes relacionadas con las vibraciones de

membranas, vigas y placas. Timoshenko (1872-1972) realiz aportaciones importantes en la

teora de vibracin en vigas.


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Por otro lado, importantes aportaciones matemticas ampliaron considerablemente

el rea de investigacin del campo de las vibraciones mecnicas, por mencionar algunos,

los mtodos de Rayleigh que sirven para determinar las frecuencias de resonancia de

algunos elementos basndose en ecuaciones de energa, las variables de estado que

permiten resolver y analizar problemas basados en ecuaciones diferenciales no lineales,

el elemento finito que consiste en discretizar cualquier elemento para posteriormente

modelar y analizar su comportamiento como pudiera ser los modos de vibrar, ecuaciones

estadsticas que facilitaron el estudio de vibraciones aleatorias.

Estos mtodos modernos unidos a los avances tecnolgicos por ejemplo, a) Las

computadoras, b) Los PLCs, c) Analizadores de vibracin, d) sopieware de monitoreo y/o

mantenimiento, etc. hacen hoy en da de las vibraciones todo un campo de investigacin tal

que existen asociaciones, revistas, seminarios, cursos especializados. dedicados al estudio de

este fenmeno.

En la actualidad el estudio en este campo es tan grande que basta con ver algunos de

sus causa-efecto para entender su importancia. La gente de una u otra forma esta

constantemente relacionada con este fenmeno, por ejemplo, el buen funcionamiento de los

amortiguadores de un automvil permite un mejor manejo entre los tripulantes, el mal

aislamiento de alguna maquinaria industrial puede daar la infraestructura de la misma y

zona aledaa pudiendo ser conjuntos habitacionales, ruido causado por maquinaria que

puede afectar fsica y psicolgicamente a personas de la empresa e inclusive a personas

ajenas a la misma, ruidos nocturnos producto de las vibraciones mecnicas de algunos

objetos y que en algunas ocasiones son confundidos y relacionados algunas veces con

esoterismo y fantasmas.

Pero para ampliar lo anterior vamos a considerar ahora la causa-efecto de las

vibraciones mecnicas en la industria mecnica. Primero considere que existen diferentes

tipos de maquinaria que pueden ser causantes de vibracin en algunos casos causado por

algunos de los elementos por algn proceso; algunos ejemplos de vibracin causada por

elementos son: desbalance rotativo, coples mal alineados, chumaceras daadas, engranes

defectuosos, bandas mal alineadas, entre otros.


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Por otro lado, algunos ejemplos causados por procesos industriales pueden ser:

procesos de maquinado o de mquinas herramientas, procesos de extruccin, procesos de

centrifugado, pruebas mecnicas, etc.

Pues bien, estas vibraciones pueden implican problemas de diferente ndole como lo

es: a) prdidas econmicas, b) daos en maquinaria, c) contaminacin por ruido, d)

accidentes laborales, entre otros.

Es por eso que para el buen funcionamiento de la maquinaria se requiere de una

constante inspeccin para evitar fallas en la misma ya que pueden causar prdidas

econmicas a la empresa e incluso daos fsicos a las personas.

Yo soy el doctor de este hospital y las maquinas son mis pacientes fue la frase

usada por un colega de la industria minera y con ms de 20 aos de experiencia industrial

en el ramo de la vibraciones mecnicas, El porqu una maquina tiene temperatura, si una

maquina vibra por qu tiene fro?, si una maquina genera ruido por qu llora?, etc son

algunas expresiones usadas por esta persona y que dan un panorama de la importancia del

buen monitoreo y funcionamiento de la maquinaria industrial.

Uno de las formas de monitorear el buen funcionamiento y vida til de las mquinas

es por medio del anlisis de vibracin, este consiste en tomar medidas de vibracin de las

maquinas y mediante el uso de grficos y/o experiencia, determinar la vida til de la

mquina o de uno de sus elementos. Esto conlleva a conservar un historial grfico y

bitcora con el fin de predecir fallas futuras y realizar las acciones correctivas

correspondientes.

Por otro lado, un fenmeno bien conocido en el ambiente de las vibraciones

mecnicas y en el cul todo ingeniero del ramo de la ingeniera mecnica debera poner

atencin se le conoce como resonancia, este fenmeno es de gran inters en el estudio de las

vibraciones mecnicas ya que ha estado relacionado con diferentes eventos destructivos en

la historia de la industria y estructuras, este ha sido el causante de problemas en

estructuras, maquinas y contaminacin por ruido.

Pero Qu es el fenmeno de la resonancia?, en captulos posteriores se proporciona

una explicacin detallada por el momento resta decir que es un fenmeno que se manifiesta


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con grandes amplitudes de vibracin.

En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones

mecnicas como antes no se haba imaginado.

Sin embargo no todas las vibraciones son malas, algunas se producen con

propsitos especficos en algn proceso industrial y generalmente son controladas, estas

vibraciones son llamadas buenas vibraciones; por ejemplo: procesos de centrifugado para

separar desechos de materiales, transportacin de material por bandas vibratorias (Figura

1.1), acabado y pulido por vibracin, elevadores vibrantes, etc.

Figura 1. 1Transportador vibrante de frecuencia natural (Cortesa de Urbar Ingenieros

www.urbar.com)

Pero la aplicacin benfica de las vibraciones va an ms all, en conjunto con

cientficos de diferentes especialidades, las vibraciones han encontrado nuevos campos de

investigacin y de aplicacin, hoy en da se oye hablar adems de vibraciones buenas,

vibraciones saludables

Por ejemplo, un problema presentado por los astronautas es que en el espacio, los

huesos y los msculos de los astronautas, liberados de la tensin normal de la gravedad,

pueden debilitarse en forma alarmante. Los msculos se atrofian, mientras que los huesos

se vuelven frgiles. Ahora, sin embargo, parece que se ha encontrado una solucin: un

grupo de cientficos, patrocinados por la NASA, sugieren que los astronautas podran

prevenir la prdida de los huesos parndose sobre una plataforma vibrante durante unos 10

20 minutos cada da. Sostenindose sobre ella con la ayuda de unas bandas elsticas, los

astronautas pueden continuar haciendo otras tareas mientras vibran sobre la plataforma.


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Hoy en da se estudia esta terapia para ser usada eventualmente usada para el tratamiento

de algunos de los millones de personas que sufren de prdidas de masa sea, enfermedad

conocida como osteoporosis.

En un estudio (publicado en el nmero de octubre del 2001 de la revista The FASE

Journal), slo 10 minutos al da de terapia de vibraciones ayudaron a promover niveles casi

normales de formacin sea en un grupo de ratas, a las que se les impidi apoyarse sobre

las patas traseras durante el resto del da. Otro grupo de ratas que haban tenido sus

miembros traseros suspendidos todo el da, mostraron una disminucin considerable en su

ritmo de formacin sea hasta de un 92% mientras que otro grupo de ratas, a las que se les

permiti soportar su peso por 10 minutos diarios, pero sin el tratamiento de vibraciones,

tuvieron tambin reducciones en la formacin de hueso 61% menos.

Estos resultados indican que el tratamiento por vibraciones mantiene a los huesos

sanos, mientras que breves periodos de soporte del peso no tiene mayores efectos.

Por ltimo, an con la evolucin de los procesos industriales, las computadoras, los

sistemas de control y con la aparicin de modernos mtodos matemticos. Los principios

bsicos de las vibraciones mecnicas se ven casi inalterables, mas bien estos avances han

aportado a nuevos campos de investigacin y al desarrollo didctico e industrial, por

ejemplo:

a) Uso de la computadora para simulacin. Permite mediante programas de

simulacin resolver diferentes problemas del anlisis de vibracin, por ejemplo:

Working Model, ANSYS, MatLab, LabVIEW, EasyJava Simulation etc.

b) Uso de la computadora para el anlisis. Existen diferentes programas que

facilitan el anlisis de vibracin de maquinaria industrial, en su mayora vienen

acompaados con los equipos de medicin.

c) Equipos de medicin. Desde los primeros analizadores de vibracin hasta los

ms sofisticados la mayora se basan en los mismos principios, han evolucionado

en tamao, aditamentos, sopieware entre otros que han facilitado las medidas y

el diagnstico.


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d) Modernos mtodos de anlisis. Mtodos modernos matemticos son utilizados en

el anlisis e investigacin ya que son fcilmente demostrables mediante el uso de

las computadoras; por ejemplo las variables de estado y el elemento finito.

1.3.1 Porque estudiar las vibraciones mecnicas? por el impacto y los efectos.

Estos pueden ser de carcter econmico, social, fsico y psicolgico, entre otros. El

impacto econmico es de preocupar a la industria ya que un problema de vibracin no

atendido puede repercutir en el dao de maquinaria e incluso, en daos fsicos a personas

causando prdidas econmicas por detencin del proceso, mantenimiento e indemnizacin.

El impacto fsico y psicolgico a personas puede manifestarse de diferentes maneras,

por ejemplo, cuando un obrero es sometido a constantes fuentes de vibracin le afecta a

algunas partes del cuerpo ya que son susceptibles a diferentes frecuencias de vibracin.

Otro caso se puede observar cuando una fuente de vibracin genera ruido a diferentes

frecuencias y niveles sonoros en rangos no deseables, adems de ser un causante de

contaminacin ambiental y que puede alterar el comportamiento humano, puede causar

daos irreversibles al odo incluyendo sordera.

El impacto social se puede manifestar si diferentes fuentes de vibracin pueden

causan problemas a una persona o grupos de personas ya que esto pudiera repercutir en

problemas de relacin laboral entre dueos, gerentes o supervisores con empleados o

sndicos de la empresa. Otro ejemplo puede ser si en un proceso de maquinaria es causante

de transmisin de vibracin al piso repercutiendo en problemas a unidades habitacionales a

su alrededor, por ejemplo, daos en estructuras y ruido causando inconformidad entre

grupos de vecinos.

Matemtica y Ciencia aplicada

Una de las principales aplicaciones de temas vistos en el clculo diferencial,

ecuaciones diferenciales, series de Fourier, entre otras, tiene que ver con los sistemas

vibratorios, esto convierte a las vibraciones mecnicas en matemticas aplicadas.

Adems, puesto que las bases de las vibraciones mecnicas estn dadas en diferentes


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postulados y expresiones matemticas bien definidas, dichos postulados no se quedan solo

plasmados en papel ya que sus alcances van ms all debido a que es una ciencia

involucrada en los procesos industriales.

1.4 LAS VIBRACIONES MECNICAS COMO CIENCIA APLICADA

Las vibraciones mecnicas han pasado a ser desde una ciencia pura hasta llegar a una

ciencia aplicada pasando por el proceso tecnolgico o tecnologa, qu quiere decir esto?,

pues bien, primero definamos a la ciencia como un conjunto coordinado de explicaciones

sobre el porque de los fenmenos que observamos o sea, de las causas de esos fenmenos.

Para construir la ciencia se investigan las causas y determina su ordenamiento. La ciencia

es la aplicacin del llamado mtodo cientfico a la investigacin de algn sector de la

realidad. La ciencia tiene como objetivo crear conocimiento para entender el universo, la

naturaleza y publicar el conocimiento.

La tecnologa es el conjunto de conocimientos, tcnicas y procesos para el diseo y

construccin de objetos y tiles que sirven para satisfacer las necesidades de la humanidad.

La tecnologa se percibe con los sentidos, es decir, podemos observarla y verla, ambas.

Sin embargo la tecnologa y la ciencia, necesitan de un mtodo experimental para

ser confirmadas y que puede ser demostrable por medio de la repeticin, sin embargo

podemos decir que existe una tecnologa para cada ciencia, es decir, cada rama posee un

sistema de tecnologa diferente, que permite un mejor desarrollo para cada una de estos.

En tal sentido, debemos entender el concepto "ciencia pura", como la actividad de

hacer ciencia al margen de su aplicacin, es decir, cuando se realiza la investigacin

cientfica con el nico propsito de producir conocimiento cientfico. Luego, la conjugacin

de intereses sociales, econmicos y polticos encuentra aplicacin a los conocimientos

alcanzados, lo cual da lugar a la investigacin tecnolgica, que a su vez da origen a la

tecnologa, que es la "ciencia aplicada". Es decir, cuando la ciencia surte su funcin

prctica, al servicio de quien la posee y al margen de cualquier consideracin tica, se

convierte en tecnologa.

Es pues las vibraciones mecnicas una ciencia aplicada?, claro que si. Antes que


14

nada y para empezar recordemos que grandes los grandes cientficos que realizaron y

formularon conceptos que rigen hoy las vibraciones mecnicas se rigieron bajo todo un

proceso cientfico, es decir, aplicaban la ciencia a todo lo que postulaban. Pero adems las

bases o principios bsicos del estudio de las vibraciones mecnicas cumplen con el

procedimiento del mtodo cientfico, por lo tanto es una ciencia.

Pero con la aparicin de tecnologas que han permitido no tan solo reforzar algunos

conceptos cientficos del rea de vibraciones, como por ejemplo, los modos de vibrar

elementos continuos, sino que adems estos conocimientos han sido aplicados movidos por

intereses sociales, econmicos, entre otros, por ejemplo:

a) Mesas vibratorias basados en el principio de la frecuencia natural.

b) Aisladores de vibracin que se basan en el principio de sistemas

de varios grados de libertad.

c) Anlisis de fallas en maquinaria basado en el principio del teorema

de Fourier.

d) Calculo de frecuencias naturales de algunos elementos de

mquinas basados en ecuaciones de energas.

e) Edificios que soportan terremotos basados en el principio de

frecuencias naturales y del amortiguamiento.

f) Estudios clnicos basados en el principio de resonancia.

g) Solucin a algunos problemas de maquinaria basados en el

principio del impulso impacto.

Es por eso que hoy en da esta ciencia se encuentra tan fundamentada de manera

que comprende:

a) Temticas ordenadas y comprensibles.

b) Modelos matemticos representativos.

c) Solucin a problemas establecidos.

-Temticas ordenadas y comprensibles

El estudio de las vibraciones mecnicas, al igual que otras ciencias, va encaminado

desde lo bsico, simple hasta lo complejo, los temas expuestos pueden clasificarse como


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temas: a) introductorios, b) bsico, b) intermedio y c) avanzado.

a) Temas introductorios. Establecen los conceptos y la terminologa general del

campo de las vibraciones mecnicas fomentando el inters y la importancia de

esta ciencia. Se dan las bases cinemticas y dinmicas que facilitan la

comprensin de los modelos y mtodos. Se explican los elementos que forman

un sistema vibratorio.

b) Temas bsicos. Se estudian los sistemas vibratorios basados en un modelo de un

solo grado de libertad para pequeas oscilaciones; adems se definen mtodos

de anlisis para modelar sistemas vibratorios con estas caractersticas. Los

temas involucrados son: vibracin libre amortiguada y no amortiguada, mtodos

para el clculo de frecuencias naturales, vibracin forzada con excitacin

armnica y por desbalance y la transmisibilidad de vibracin.

c) Temas intermedios. Aqu se estudian los sistemas de varios grados de libertad

replanteando algunos de los temas bsicos y definiendo mtodos adecuados para

este tipo de sistemas. Los temas relacionados con el control de vibraciones y el

anlisis de vibracin son considerados.

d) Temas avanzados. Estos temas comprenden el estudio de los sistemas no lineales

de uno a varios grados de libertad, mtodos modernos de anlisis como elemento

finito y variables de estado, anlisis modal de elementos estructurales, vibracin

en sistemas continuos, etc.

-Modelos matemticos representativos

Como posteriormente se explicara en detalle, resulta ser que un sistema vibratorio

puede ser representado por un modelo matemtico que incluya los parmetros del sistema,

las condiciones iniciales y el tipo de excitacin, entre otras cosas, este modelo permite la

formulacin de criterios importantes para su anlisis y diseo y son representados por

ecuaciones diferenciales que pueden clasificarse como:

a) Modelo lineal y no lineal. Representado por ecuaciones diferenciales lineales o

no lineales respectivamente.

b) Modelo no forzado y forzado. Representado por un ecuacin diferencial

homognea y no homognea respectivamente.


16

c) Modelo con y sin amortiguamiento. Representado por una

ecuacin diferencial en donde interviene el trmino que

representa la perdida de energa no, respectivamente.

d) Modelo de 1 grado de libertad o de varios grados de libertad. Representado por

una ecuacin diferencial un conjunto de ecuaciones diferenciales

respectivamente.

-Solucin a problemas establecidos.

El primer paso dentro del anlisis e investigacin cientfica es el planteamiento del

problema para posteriormente dar seguimiento a una serie de pasos hasta llegar a la

solucin. En el campo de las vibraciones mecnicas existen problemas definidos y

planteados de tal manera que su solucin pasa algunas por el proceso del mtodo cientfico

y otros solo por induccin; por ejemplo:

a) Qu son las vibraciones y que efectos producen?

b) Cmo representar un sistema vibratorio?

c) Cmo modelar matemticamente los sistemas vibratorios?

d) Cmo determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio?

e) Qu efectos rodean a un sistema vibratorio cuando es forzado a vibrar?

Cmo reducir y controlar los efectos de las vibraciones?

Por lo tanto, basndose en estos conceptos podemos definir:

Las vibraciones mecnicas tambin conocida como la mecnica de las vibraciones

es una ciencia aplicada como una rama de la mecnica, o ms generalmente de la ciencia,

que estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas

con ella

1.5. DEFINICIN DE VIBRACIN MECNICA

Vibracin, vibracin mecnica, oscilacin, movimiento peridico, etc. son conceptos

utilizados para describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una mquina.


17

Una forma simple de definir vibracin mecnica es el movimiento de una parte mecnica

hacia atrs y hacia delante a partir de una posicin de descanso, otra manera ms formal

de definirlo es a partir de la definicin de oscilacin, por lo tanto:

Oscilacin: Es el movimiento de vaivn de un parmetro fsico alrededor de una referencia.

Vibracin mecnica: Es la oscilacin mecnica de un cuerpo y/o sistema.

En la definicin de vibracin mecnica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un

cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio;

por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee caractersticas energticas cinticas,

y el resorte, caractersticas restauradoras.

Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo

menos un elemento inercial (energa cintica) y un restaurador (energa potencial). Aunque

en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elsticos,

existen sistemas en las que no existe un elemento elstico y sin embargo pueden vibrar, por

ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador.

Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la

vibracin, es decir, si el cuerpo vibra por su condicin natural debido a una perturbacin

instantnea y ajeno a toda excitacin permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas

perturbadoras que hacen vibrar al sistema.

De aqu la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a

un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a)

Instantnea y b) Permanente.

Una perturbacin del tipo instantnea es aquella que aparece como una

perturbacin y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el

rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformacin inicial de un sistema

masa resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitacin de este tipo adems puede

aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una

persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posicin de


18

equilibrio o bien si es desplazado desde su posicin de equilibrio

Una excitacin del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del

cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor

desbalanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo

de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc.

La figura 1.2 muestra un panorama prctico de estos los tipos de excitacin en

donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta

excitacin instantnea, posteriormente pasa por un conjunto de bordes que lo obligan a

vibrar siendo una excitacin permanente.

Figura 1.2 Excitacin instantnea y permanente

1.6. UNIDADES DEL MOVIMIENTO DE LAS VIBRACIONES

Las vibraciones mecnicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y

criterios y que en su mayora estn establecidos, estas medidas tienen que ver con el

movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento

de oscilacin.

Cuando la variacin de una cantidad fsica se repite con las mismas caractersticas

despus de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento peridico, ejemplos

de este movimiento pudieran ser la variacin de voltaje en generadores de CA, la vibracin

producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de

una partcula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se

le conoce como movimiento armnico, ejemplo de un movimiento armnico se puede

observar en la figura 1.3 en donde la posicin vertical de la partcula p puede ser

representada como una onda senoidal.


19

Figura 1.3 Movimiento armnico

Todo movimiento peridico armnico cumple con las caracterstica de una funcin

peridica, es decir que existe una constante T llamada perodo tal que la posicin en un

instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el

perodo como el valor del tiempo en la cul se efectua un ciclo completo. El inverso del

perodo se le conoce como la frecuencia de oscilacin y representa de una manera las veces

que se repite el movimiento en un determinado tiempo

(1.1)

En donde el Hertz se define como ciclos/s. Es posible representar la frecuencia en

otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2 radianes y que 1 minuto = 60

segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/s y en rpm estn dadas por:

.(1.2)

En una seal armnica el valor mximo se le conoce como amplitud y si se mide

desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo

entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1.3.

Dentro del ambiente laboral, estos parmetros son utilizados para la medida del

movimiento de la vibracin de una maquina y que son:

a) El desplazamiento de la vibracin.

b) La velocidad de la vibracin.

c) La aceleracin de la vibracin.

d) La fase.


20

El desplazamiento de la vibracin generalmente se mide de pico pico y usualmente

se usan las unidades de milsimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. micrmetro que es

0.001 m.

La velocidad de vibracin generalmente se mide de pico y usualmente se usan las

unidades de pulgada por segundo (in/s) milmetros por segundo (mm/s).

Mientras que en a aceleracin de vibracin generalmente se mide de pico y

usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleracin de la gravedad 980.665

cm/s2.

La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medicin, generalmente se

usa el ngulo de separacin entre las seales que representan el movimiento de estos

puntos.

Estos parmetros se pueden visualizar fcilmente en la figura 1.4 se puede observar

como los parmetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90o mientras que entre la

velocidad y la aceleracin estn en fase tambin a 90 con la velocidad y a 1800 con el

desplazamiento. Lo anterior se debe a que si el desplazamiento del movimiento es expresado

como y() = Ysen(), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedar

expresada como v() = Vcos() y la aceleracin que es la derivada de la velocidad como a()

= Asen().

Figura 1.4. Las Unidades de medicin de las vibraciones

Puesto que se puede medir la amplitud de vibracin en trminos de desplazamiento,

velocidad aceleracin ahora la pregunta es: Qu unidad de amplitud utilizar?, hay varios

elementos a considerar para seleccionar cul parmetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de

problema causante de la vibracin, tipo de diagnstico, el equipo utilizado, etc., pero la

experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de

desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600

60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el


21

anlisis de velocidad, por ltimo para frecuencias arriba de 1000 Hz la medida de la

amplitud de aceleracin es recomendable.

1.7. CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES MECNICAS

Las vibraciones mecnicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas

dependiendo de: a) la excitacin, b) la disipacin de energa, c) la linealidad de los

elementos y d) de las caractersticas de la seal.

a)

Una Vibracin libre es cuando un sistema vibra debido a una excitacin del tipo

instantnea, mientras que la vibracin forzada se debe a una excitacin del tipo

permanente. Esta importante clasificacin nos dice que un sistema vibra libremente

si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energa

por medio de un impulso ( energa cintica) o debido a que posee energa potencial, por

ejemplo deformacin inicial de un resorte.

b)

El amortiguamiento es un sinnimo de la perdida de energa de sistemas vibratorios y se

manifiesta con la disminucin del desplazamiento de vibracin. Este hecho puede aparecer

como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la friccin, o bien, o

como un elemento fsico llamado precisamente amortiguador.

Por lo tanto, la vibracin amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilacin de

un sistema se ve afectada por la disipacin de la energa, pero cuando la disipacin de


22

energa no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilacin entonces la vibracin es

del tipo no amortiguada.

c)

Si el comportamiento de cada uno de los parmetros de los componentes bsicos de un

sistema es del tipo lineal la vibracin resultante es lineal, en caso contraro ser del tipo no

lineal. En la realidad todo elemento se comporta como un elemento no lineal pero si bajo

ciertas condiciones se puede considerar como un elemento lineal, entonces el anlisis se

facilita considerablemente. Por ejemplo, un resorte helicoidal en donde segn la ley de

Hooke el comportamiento fuerza-deformacin es lineal (Figura 1.5) aunque en la realidad

los resortes helicoidales tienen un comportamiento no lineal pero este que puede ser

aproximado a un elemento lineal y facilitar su estudio sin afectar considerablemente el

comportamiento real.

Figura 1.5. Grafica lineal y aproximacin lineal.

En algunos casos se puede considerar la linealidad en una regin de trabajo y que

generalmente es alrededor del punto de equilibrio, por ejemplo, suponga que el

comportamiento de un parmetro esta dado por la ecuacin y = sen (q) (Figura 1.6) resulta

ser que la grfica es no lineal, pero alrededor del punto de equilibrio se tiene que para


23

ngulos pequeos, digamos 15 se puede observar una linealidad tal que y = sen (q) q.

Otro ejemplo de gran utilidad para temas posteriores y no es precisamente una linealizacin

sino de aproximacin es la ecuacin y = 1- cos (q ) en donde alrededor del punto de

equilibrio se tiene y = 1 - cos(q) 2/2 . Lo anterior puede comprobarse si se analizan

estas funciones en su forma expansiva de la serie de Taylor.

Figura 1.6. Regin de trabajo en y=sen ( ) , y=1-cos( )

d)

Cuando el comportamiento vibratorio de un sistema puede ser representado por medio de

una ecuacin matemtica entonces se dice que la vibracin es determinstica, pero si la

seal de vibracin se caracteriza por ciclos irregulares de movimiento entonces no es

predecible y la vibracin es del tipo probabilstica o al azar. En la Figura 1.7 se puede

observar un ejemplo de estas seales, aunque en apariencia en algunas ocasiones las

seales del tipo deterministicas suelen confundirse con otras llamadas complejas, las

vibraciones probabilsticas se caracterizan por no ser seales peridicas.


24

Figura 1.7. Vibracin a) determinstica b) probabilstica

Por otro lado, si las caractersticas de la seal se repiten de igual caracterstica despus de

cierto intervalo de tiempo entonces la vibracin ser del tipo peridica, si la seal de

vibracin de un sistema se asemeja a una seal del tipo senoide, entonces se dice que la

vibracin es senoidal. Una seal compleja a simple vista no se puede representar por medio

de una ecuacin matemtica, pero si esta es del tipo peridica puede ser descompuesta en

seales del tipo senoides y/o cosenoides, segn el teorema de Fourier. La figura 1.8 muestra

un ejemplo de como una seal compleja llamada total puede ser descompuesta en suma de

seales senoidales y/o cosenoidales llamados componentes armnicos; en este caso, la seal

total es la ecuacin:

y(x) = sen(x) + sen(3x) + sen(5x),

Donde:

sen(x), sen(3x) y sen(5x) son los armnicos.

Si las seales pueden ser representadas por medio de una ecuacin matemtica y si cumple

con algunos requisitos, entre ellos ser peridica, entonces los armnicos pueden obtenerse

mediante un procedimiento matemtico conocido como serie de Fourier; para el caso en

que su representacin matemtica sea problemtico, existe otro mtodo en el cul se pueden

calcular los trminos armnicos mediante un procedimiento de muestreo de la seal y es

conocido como Transformada rpida de Fourier (FPIE de sus siglas en ingles Fast Fourier

Transform).


25

Figura 1.8. Seal compleja y sus armnicos

El concepto involucrado en las series de Fourier es de gran importancia en el campo y el

estudio de las vibraciones mecnicas ya que aunque el movimiento armnico es simple de

analizar, pues resulta que muchos de los sistemas vibratorios no son armnicos aunque si

peridicos 1, para ilustrarlo considere la mquina de Figura 1.9 compuesta por un motor,

chumaceras, coples y flechas. Estos elementos pueden ser fuentes de vibracin por ejemplo,

motor con rotor desbalanceado, dao en las chumaceras, bandas mal tensionadas, etc.;

estas fuentes de vibracin aunque pudieran ser armnicas, sumadas forman una seal

compleja.

El principio del anlisis de vibracin consiste en hacer uso de un instrumento de medicin

llamado precisamente analizador de vibraciones con el fn de registrar y estudiar esta seal

(seal total) y por medio de un procedimiento de filtrado que el mismo analizador dispone

filtrar esta seal en sus componentes armnicos, posteriormente mediante el estudio del

comportamiento tanto de la seal total as como de los componentes armnicos poder

predecir la falla. Este tipo de anlisis se le conoce como anlisis de la amplitud en funcin

del tiempo, pero existe otro anlisis en funcin de la frecuencia, ambos sern detallados en

forma posterior.


26

Figura 1.9. Aplicacin de las series de Fourier en el anlisis de vibracin

1.8. OTROS CONCEPTOS

A manera introductoria a captulos posteriores, a continuacin se mencionan

algunos conceptos de inters en el campo de las vibraciones mecnicas y que ms adelante

se detallaran con precisin tanto terica como analticamente.

(No confunda movimiento peridico con armnico ya que un movimiento puede ser peridico

pero no necesariamente armnico )

Frecuencia natural. Es la frecuencia propia de un cuerpo o sistema al poseer inercia y

elementos restauradores. Es la frecuencia resultante de la vibracin libre por lo tanto no

depende de la excitacin slo de las caractersticas fsicas del sistema.

Resonancia.Fenmeno que ocurre cuando la frecuencia con la que se excita un sistema

vibratorio es igual a su frecuencia natural.

Aunque el fenmeno de resonancia ser discutido ms adelante, a manera

introductoria se puede decir que es un fenmeno relacionado con las altas amplitudes de

vibracin y que depende entre otras cosas, de la frecuencia con la que se excita un sistema

an cuando los dems parmetros permanecieran constantes como lo es la fuerza de

excitacin, la masa y la elasticidad.

Para comprender este fenmeno considere el caso de una guitarra acstica, si est

se encuentra afinada, entonces al colocar el dedo en el quinto trasto de la sexta cuerda y al

hacerla vibrar, suceder que la quinta cuerda vibrar sola precisamente por el fenmeno de


27

resonancia. Esto se debe a que el tono de la sexta cuerda en el quinto trasto es de LA, la

cual es la nota de la quinta cuerda libre (Figura 1.10).

Figura 1. 10 Caso de resonancia en una guitarra acstica

Generalmente cuando se trata de dar un ejemplo de este fenmeno se cita el caso

ocurrido en el puente de Tacoma Narrow en 1940 (Figura 1.11), aunque ha sido un tema de

discusin entre los investigadores, se cree que este puente se derrumbo por el fenmeno de

resonancia producto de la vibracin torsional de la estructura del puente debido a una

probable excitacin de unos remolinos.

Figura 1.11 Tacoma Narrow (1940)

Se podran mencionar ms ejemplos relacionados con este fenmeno pero esto ser

visto con mayor detalle en captulos posteriores en donde adems se discutir lo que ocurre

durante este fenmeno as como sus efectos.

1.9. MODELADO MATEMTICO

La solucin de muchos problemas en el rea de vibraciones mecnicas y en ingeniera en

general requieren de un proceso que consiste en representar el modelo del sistema en una

expresin matemtica para su anlisis. El procedimiento de representar matemticamente

el comportamiento de un sistema se le conoce como modelado matemtico.


28

El modelaje ser la representacin con cualquier otro medio de dicha representacin

matemtica, pudiendo ser una computadora o modelos a escala. Para elaborar este

modelado se requiere de una serie de pasos y mtodos que a continuacin se describen.

Identificacin del problema. En este paso se identifica el tipo de sistema, los elementos que

lo forman, as como el proceso.

Documentacin. Aqu se plantean tres pasos importantes:

a) Las leyes que rigen el comportamiento del sistema.

b) Los datos necesarios.

c) La obtencin de dichos datos.

Consideraciones. En este paso se realizan una serie de consideraciones para simplificar la

solucin del problema, estas deben de ser las adecuadas para el anlisis sin afectar el

verdadero comportamiento del sistema, por ejemplo: la linealidad, la friccin, las inercias,

etc.

Representacin grfica. Aqu se realiza una figura del sistema tomando en cuenta las

consideraciones anteriores. En esta figura se colocan los elementos necesarios para el

anlisis descartando aquellos que no intervengan; adems, es importante representar los

elementos en la forma ms simple indicando las conexiones de los elementos.

Por ejemplo, considere la estructura mostrada en la figura 1.12 y que corresponde al

Space Needle, estructura ubicada en Sattle Washington, si lo que se desea es analizar el

comportamiento oscilatorio de la parte superior entonces puede modelarce como un

elemento flexible y una masa en su parte superior como se muestra en la Figura 112

Figura 1.12 (a) Estructura del Space Needle (b) Modelado grfico


29

Otro ejemplo es la suspensin mostrada en la Figura 1.13, esta puede ser modelada

grficamente por un resorte k y un amortiguador c.

Figura 1.13 (a) Estructura de una suspensin, (b) Modelado grfico

Desarrollo del modelo. Ahora se hace uso de las leyes fsicas y del desarrollo matemtico

para encontrar la ecuacin diferencial que rige el comportamiento del sistema.

Solucin matemtica. La solucin de la ecuacin diferencial es el paso siguiente ya que

proporciona el comportamiento de ciertos parmetros del sistema en funcin del tiempo.

Algunas veces este paso se realiza mediante programas computacionales o bien, se busca

soluciones anlogas, es decir, se busca relacionar la ecuacin con otras ya resueltas y as

hacer la analoga.

1.10 GRADOS DE LIBERTAD, ECUACIN DE KUTZBACH MODIFICADA

Una de los trminos de gran importancia en el modelado matemtico de los sistemas

dinmicos se le conoce como grados de libertad, estos influyen en el tipo de anlisis,

metodologa y solucin a utilizar. Los Grados de libertad (GDL) es el nmero de parmetros

independientes y necesarios para determinar el movimiento entero o la posicin entera de

un sistema. Por ejemplo, la posicin de una partcula en un eje es de un grado de libertad,

en dos ejes de dos y en el espacio es de tres grados de libertad, las extremidades del robot

hexpodo de la Figura 1.14 es de dos grados de libertad ya que consta de dos servomotores

para el movimiento de cada extremidad.


30

Figura 1.14 Extremidades de un hexpodo con 2 GDL

Pero resulta conveniente buscar una metodologa que facilite y permita determinar

los grados de libertad de un sistema dinmico; a continuacin se presenta un procedimiento

basado y modificado de la ecuacin de Kutzbach [2].

Principio 1. Una partcula en un plano es de dos grados de libertad. La demostracin

es sencilla, la posicin de una partcula queda determinada por las coordenadas x,y o bien

por el radio r y el ngulo teta, o bien

P = Pxi + Pyj

Principio 2. Un slido rgido en un plano es de tres grados de libertad. La demostracin es

simple ya que para determinar la posicin de sus partculas es necesario un origen y la

inclinacin del mismo ya que el radio es constante por ser slido rgido.

b = Pa + Pb/a

b = (Paxi + Payj) + rb/a(cos()i + sen()j)


31

Principio 3. Un elemento con flexibilidad lneal es de cuatro grados de libertad. Esto se

puede demostrar considerando el caso anterior pero en donde el radio L ahora es variable.

b = Pa + Pb/a

b = (Paxi + Payj) + (Pb/axi + Pb/ayj)

Principio 4. Una nion tipo articulacin deslizamiento disminuye en dos los grados de

libertad. Lo anterior es simple de comprender ya que una unin de este tipo limita el

movimiento en ambos ejes.

Principio 5. Una nion tipo patn gua disminuye en uno los grados de libertad. Esto se

debe a que este tipo de union limita solo en un eje el movimiento

Principio 6. Un elemento fijo no aporta ningn grado de libertad. Por lo que no se

considerar en el clculo


32

Es importante aclarar que un elemento en deslizamiento puede considerarce como

un elemento rgido y la unin tipo deslizamiento, es decir 3 GDL 2 GDL = 1 GDL o bien

uno solo elemento tipo gua de 1 GDL.

En base a lo anterior una ecuacin que permita determinar los grados de libertad de

los sistemas dinmicos ser:

GDL = 4L + 3M 2P Q

Esta ecuacin se le conoce como la ecuacin de Kutzbach modificada en donde:

GDL se refiere a los grados de libertad, L el nmero de elementos con flexibilidad lineal,

como lo es el resorte , el amortiguador, el pistn, etc., M es el nmero de elementos rgidos,

P es el nmero de uniones tipo articulacin, y Q es el nmero de uniones tipo patn

incluyendo las semijuntas por contacto de rodadura con deslizamiento.

Ejemplo 1.1

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la figura 1.15.

Se puede decir que el sistema (a) es de tres grados de libertad ya que permite un

movimiento vertical y angular del resorte, adems, del movimiento angular de la masa

alrededor de la articulacin, el sistema (b) es semejante al (a) solo que se limita el

movimiento al eje vertical siendo ahora de solo un grado de libertad; en ocasiones el

sistema (a) es considerado como de un grado de libertad ya que se supone que el resorte

esta conectado en el eje de simetra de la masa permitiendo el mismo movimiento vertical

de todas las partculas de la masa, en este caso la masa se considera como una masa

puntual y se modela como sistema (c); por ltimo el sistema

(d) es de dos grados de libertad.


33

Figura 1.15 Ejemplos de grados de libertad (GDL)

Usando la ecuacin de Kutzbach modificada se tiene que:

Sistema (a) GDL = 4(1) + 3(1) 2(2) = 3 GDL

Sistema (b) GDL = 4(1) + 3(1) 2(3) = 1 GDL

Sistema (c) GDL = 4(1) + 3(0) 2(1) 1 = 1 GDL

Sistema (d) GDL = 4(2) + 3(2) 2(6) = 2 GDL

Note que para el caso (b) existen dos formas de solucionarlo, la primera

considerando a la masa como un elemento y el deslizamiento como una unin tipo

articulacin ya que limita el movimiento en 1, otra forma es considerar al conjunto de

masa y deslizamiento como una unin tipo patn en donde la articulacin entre el resorte

y la masa no se considera ya que es una unin.

Ejemplo 1.2

Determine los grados de libertad del cada uno de los sistemas de la Figura 1.16.


34

Figura 1.16 Ejemplos de grados de libertad

Para el caso (a) se tienen 2 elementos elsticos (L=2) 3 rgidos (M=3) y 8 juntas

(P=8) , por lo tanto GDL = 4L + 3M 2P Q= 4(2) + 3(3) 2(8) = 1 GDL.

Para el caso (b) se puede analizar considerando a la corredera como elemento

rgido, es decir,GDL = 4L + 3M 2P Q = 4(0) + 3(3) 2(4) = 1 GDL. o bien como un

elemento de unin tipo patn GDL = 4(0) + 3(2) 2(2)

1 = 1 GDL.

Por ltimo para el caso (c) se tienen 1 elemento elstico (L=1), 2 rgidos (M=2) y cuatro

articulaciones (P=4), por lo tanto GDL = 4L + 3M 2P Q= 4(1) + 3(2) 2(4) = 2 GDL.


35

CAPTULO 2

ELEMENTOS DE SISTEMAS VIBRATORIOS

Los elementos que forman una maquinaria en toda su complejidad, desde el punto de vista

vibratorio se pueden representar como un modelo que involucre los elementos inerciales,

los restauradores y los amortiguadores conectados formando un modelo de uno o varios

grados de libertad. En este captulo se hace un anlisis detallado de estos tres elementos que

consiste en ver cul es la funcin que desempean en el sistema vibratorio, los arreglos en

dicho sistema, equivalencias as como las leyes fsicas que rigen su comportamiento.

2.1 ELEMENTOS ELSTICOS

Todos los materiales poseen caractersticas elsticas en mayor o menor grado. Cualquier

material al que se le aplique una fuerza sufrir una deformacin proporcional a la fuerza.

Pueden considerarse como elementos elsticos los resortes de cualquier tipo, los elementos

estructurales como vigas y placas, as como algunos hules, cauchos polmeros, etc. Adems

del resultado de acomodarlos en arreglos del tipo serie y/o paralelo.

A continuacin se detalla la forma en que se presenta la elasticidad de algunos

elementos elsticos as como la forma de calcular sistemas elsticos equivalentes de

elementos estructurales; adems se presentar la forma de representar arreglos de

elementos elsticos serie y/o paralelo as como su representacin equivalente.

2.1.1. Resortes helicoidales y a torsin

Los resortes helicoidales (Figura 2.1) son uno de los ms usados en sistemas

vibratorios y puede ser considerado como el modelo representativo de la elasticidad de un

sistema vibratorio. Considere un resorte helicoidal del tipo ideal, es decir, aquel cuya

deformacin es lineal por lo menos en una regin de trabajo. Se puede establecer la ley de

Hooke de la siguiente manera

Ley de Hooke: Un elemento elstico recibe una deformacin directamente

proporcional a la fuerza que soporta.


36

Figura 2.1 Resortes helicoidales

Lo anterior se refiere a que si se aplica una Fuerza F1=10 N el resorte experimentar una

deformacin x1=1 cm .Una fuerza F2 aplicada al mismo resorte har que se deforme x2 =

cx1 donde c es una constante. Por ejemplo, si una fuerza F1 = 10 N deforma a un resorte x1

= 1 cm. intuitivamente es de esperar que una fuerza F2 = 20 N deforme al resorte x2 = 2

cm. ya que si F2 = 2F1, entonces x2 = 2x1. (Figura 2.2)

Figura 2.2 Deformacin proporcional

Ahora si una fuerza F3 = 50 N se aplica al resorte entonces la deformacin

resultante ser de 5 cm. Por lo tanto es importante encontrar una relacin directa entra la

fuerza y la deformacin y que cumpla para todos los valores. Si se analiza las condiciones

anteriores se tiene que:

donde: k es una constante proporcional llamada constante elstica, de aqu la relacin

entre la fuerza y la deformacin es:


37

f k = kx .(2.1)

Donde:

fk es la fuerza elstica dada en Newton(N) o Libra (lb.),

x es la deformacin en metros (m) o pies

k es la constante elstica en N/m o lb/pie, segn el sistema de unidades.

Es comn ver en algunas fichas tcnicas la constante elstica en unidades de kg/cm

ya que en algunos casos muestra una mejor visin del comportamiento del resorte, tomando

a este como kg fuerza, lgicamente nos referimos al sistema tcnico.

Retomando el ejemplo anterior se concluye que k=1000 N/m. Esta relacin se

muestra en la grfica de la Figura 2.3

Figura 2.3 Relacin entre la fuerza aplicada y deformacin

Los resortes del tipo helicoidal tienen un comportamiento muy aproximado al tipo

lineal y dicha constante se puede encontrar en funcin de los parmetros de diseo como se

muestra en la ecuacin 2.2.

Figura 2.4 Comportamiento de un resorte helicoidal


38

..(2.2) Donde:

G es el mdulo de corte (Young), D el dimetro medio de la espira, d el dimetro del

alambre y n es el nmero de vueltas.

Ahora considere un resorte torsional como el que se muestra en la Figura 2.5 En la

ecuacin 2.3 muestra como calcular esta constante en funcin de los parmetros de diseo

Figura 2.5 Resorte torsional

..(2.3) Donde:

k es la constante elstica torsional en Nm/rad, E es el mdulo de elasticidad del material de

la espira, L la longitud total de la espira e I es el momento de inercia de la seccin

transversal.

Tomando como analoga las notas dadas en resortes helicoidales se tiene que la

relacin que existe entre el momento aplicado y la deformacin angular ser:

M = k (2.4)

Donde:

M es el momento aplicado en Nm, k es la constante elstica torsional en Nm/rad y es el

desplazamiento angular en radianes. Una grfica del momento contra deformacin sera de

las mismas caractersticas a la mostrada en la figura


39

2.1.2. Elementos estructurales

Los materiales sometidos a diferentes fuerzas y momentos pueden experimentar

deformaciones considerables desde el punto de vista vibratorio, por lo tanto existe una

relacin lineal entre la carga aplicada y su deformacin. Siempre y cuando se trabaje en la

zona conocida como zona elstica (Figura 2.6)

Figura 2.6 Regin de trabajo en materiales

Por lo tanto en esta zona de trabajo es posible encontrar una relacin entre esfuerzo

y deformacin llamado mdulo de elasticidad E, donde E = / donde es el esfuerzo en

Pascales y es la deformacin unitaria en mm/mm. En nuestro caso nos interesa encontrar

la relacin entra carga y deformacin, es decir k = P/x, donde P es la carga en N, x es la

deformacin en m y k la constante elstica en N/m.

Es posible encontrar la relacin entre la carga vs. Deformacin real usando las

ecuaciones de esfuerzo vs. deformacin unitaria, por lo tanto, la constante elstica

equivalente de un resorte con esas caractersticas tendr la misma deformacin. Considere

como ejemplo los dos elementos estructurales mostrados en la Figura 2.7 sometidos a una

fuerza P aplicada en un punto como se muestra

Figura 2.7 Elementos estructurales (a) Barra a tensin y (b) viga en cantilever


40

Considerando primero el caso de la barra sometida a tensin como se muestra en la

Figura 2.7 (a), si L es la longitud de la barra y A es el rea de la seccin transversal y E es

el mdulo de elasticidad, entonces la deformacin real de la barra delta esta dada por =

PL/(EA), por lo tanto la relacin entre la carga P y la deformacin dar l constante

elstica:

Ahora considere la viga en cantilever como se muestra en la figura 2.6 (b)b, para el

caso de las vigas la deformacin en un punto dado del claro se le conoce como la ecuacin

de deflexin de la curva y(x) y que esta en funcin de entre otras cosas del punto x en donde

se encuentra ubicada la carga P. Para el caso de una viga en cantilever esta ecuacin esta

dada por:

Por lo tanto si la carga se coloca en el extremo de la viga, es decir, para x= L, se tiene que la

relacin entra la carga P y la deformacin y esta dada por:

Se puede realizar el mismo procedimiento para encontrar la constante elstica de diferentes

elementos estructurales como se muestra en la tabla 2.1


41

Tabla 2.1 Constantes elsticas de elementos estructurales

2.1.3. Elementos elsticos equivalentes.

Los elementos de maquinaria pueden componerse de varios elementos y conectados

de diferentes formas, de aqu la necesidad de encontrar en muchas ocasiones un elemento

elstico equivalente tal que al aplicarle una fuerza P en un punto dado se produzca la

misma deformacin x en dicho punto, es decir ke = P/x.

2.1.3.1 Arreglos serie y paralelo

Elementos elsticos en serie.

Dos o ms elementos elsticos estn en serie si la fuerza aplicada en un extremo se

transmite en la misma proporcin en cada uno de ellos.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en serie como se muestra en la

Figura 2.8 en donde el objetivo es encontrar un elemento nico equivalente de constante

elstica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformacin total xT


42

Figura 2.8. Resortes en serie

Por definicin se tiene que F = F1 = F2 y xT = x1 + x2, por lo tanto, un elemento

elstico equivalente tendr una constante elstica equivalente tal que Ke = F /xT. como el

desplazamiento total esa dado por xT = x1 + x2 y adems x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene

que:

En trminos generales para n elementos elsticos en serie la constante elstica equivalente

esta dada por:

Ec. 2.5

Elementos elsticos en paralelo.

Dos o ms elementos elsticos estn en paralelo si fuerzas distribuidas en ellos producen la

misma deformacin.

Para explicar lo anterior considere dos resortes en paralelo como se muestra en la

Figura 2.9 en donde el objetivo es encontrar un elemento nico equivalente de constante

elstica ke tal que al aplicarle la misma fuerza F se tenga la deformacin total xT


43

Figura 2.9 Resortes en paralelo

En este caso se tiene que F = F1 + F2, y que xT = x1 = x2, un elemento elstico equivalente

ser de constante elstica equivalente ke tal que Ke = F /xT. como la fuerza total esta dada

por PIE = F1 + F2 y adems x1 = F1/k1 y x2 = F2/k2, se tiene que:

En trminos generales para n elementos elsticos en paralelo la constante elstica

equivalente esta dada por:

..(2.6) En un sistema vibratorio adems de resortes se puede disponer de otros elementos

elsticos tales como vigas, muelles, etc. y pueden intervenir de la misma manera, ya sea

como arreglo serie o paralelo, ver figura 2.10

Figura 2.10 Arreglos serie, paralelo y combinado


44

Ejemplo 2.1

Considere el sistema mostrado en la, Figura 2.11 si se aplica una fuerza F = 500 N,

determine la fuerza y deformacin en cada elemento. El elemento k1 es de acero de 20

cm. de claro y de seccin transversal circular de 1 cm. de dimetro, el elemento k3 es de

aluminio de 25 cm. de claro y de seccin transversal cuadrada de 1 cm. *por lado. El

resorte es de k2=30 kN/m

Figura 2.11. Ejemplo de arreglos

Primero, se calculan las constantes elsticas k1 y k3; de la tabla 2.1 se obtiene que

la constante elstica para una viga en cantilever es k=3EI/L3. El mdulo de elasticidad

para el acero es 200 GPa y para el aluminio es de 70 GPa. Las secciones circulares tienen

un momento de inercia para la seccin circular de I = r4 /4 y para la seccin rectangular

es de I=bh3/12.

Ahora obteniendo el diagrama equivalente se tiene que el elemento k1 y el elemento k2

estn en serie ya que se transmite la misma fuerza, estos a su vez estn en paralelo con el

elemento k3 como se muestra en al figura 2.12.


45

Figura 2. 12 Ejemplo: diagramas equivalentes

Por lo tanto la fuerza se transmite en la misma proporcin, entre k1 y k2, y el

desplazamiento xe1 = x3 = xT . Calculando las equivalencias

La deformacin total ser:

Como xe1 = x3 = xT, se tiene que la fuerza en el elemento 3 y el equivalente 1 ser F3 =

k3 x3 = 0.20195 KN y Fe1 = ke1xe1 = 0.29805 KN; por otro lado como Fe1 = F1 = F2 se

tiene que el desplazamiento en el elemento 1 y el 2 ser x1 = F1/k1 = 8.097 x 103 m, x2 =

F2/k2 = 2.66 x 103 m.

2.1.3.2 Algunas equivalencias elsticas torsional

Es comn ver dentro de los modelos de sistemas vibratorios acoplamientos de

elementos elsticos con otros y que debido a su comportamiento pueden ser expresados por

un elemento elstico torsional equivalente.

Acoplamiento resorte disco

Considere el ejemplo de la Figura 2.13 en donde un resorte se acopla a la periferia

de un y que posee condiciones de enrollarse sobre la periferia. Como el resultado del

movimiento es angular es posible establecer un elemento elstico equivalente torsional que

reemplace al resorte lineal como se muestra en la figura.


46

Figura 2.13 Acoplamiento resorte-disco(a) y su equivalente(b)

Como la longitud del arco s esta dada por s=r , donde r es el radio del disco y el

desplazamiento angular y la deformacin del resorte es precisamente s, se tiene el momento

del resorte en el pivote ser Mp = (kx)r , como x=s= r se tiene que el momento Mp = kr2.

Por lo tanto la constante elstica torsional equivalente k= M/, ser

k= kr 2

-Acoplamiento resorte palanca

Ahora considere un acoplamiento de un resorte a una palanca de masa despreciable

como se muestra en la Figura 2.14. Como el resultado del movimiento es angular es posible

establecer un elemento elstico equivalente torsional que reemplace al resorte lineal como

se muestra en la Figura 2. 14

Figura 2.14 Acoplamiento resorte-palanca(a) y su equivalente (b)

En este caso es necesario hacer unas observaciones y suposiciones. Primero es notable que

la deformacin del resorte depende directante de la longitud inicial de este de tal manera

que entre ms grande sea esta longitud y mas pequeo el ngulo , se tiene que el efecto

horizontal de la fuerza elstica Fx = kxsen 0 y el efecto vertical de la masa Fx = kxcos

kx como se muestra en la siguiente figura:


47

Esta suposicin no se aplicar para el desplazamiento angular ya que es la

variable a considerar para el elemento elstisco torsional equivalente.

El momento en el punto de articulacin p esta dado por Mp = (Kx)dcos, en donde la

deformacin del resorte x puede ser expresada como x =dLsense tiene que el momento

elstico esta dado por Mp =kd2sen cos; por ltimo, para oscilaciones pequeas, es decir,

alrededor del punto de equilibrio se tiene que sen y cos 1, por lo tanto la constante

elstica equivalente ser

k= kd 2

-Acoplamiento pndulo vertical

Cuando un cuerpo rgido se pivotea en un punto diferente a su centro de gravedad

puede vibrar debido al efecto de la energa potencial gravitacional, este efecto es semejante

al del resorte en donde la energa potencial es elstica por lo que se puede establecerse una

analoga entre estos.

Considere el pndulo de la Figura 2.15 pivoteado en un punto p, sea cg su centro de

gravedad y r la distancia entre estos puntos

Figura 2.15 El pndulo como elemento elstico torsional

Si despus de la perturbacin se analiza el efecto de las fuerzas externas (que es el

peso), el momento en el punto p esta dado por Mp = (mgsen)r., puesto que para

oscilaciones pequeas se tiene que sen , por lo tanto la constante equivalente es aquella


48

tal que k= M/.

Es importante verificar que en este caso el efecto del peso mg siempre ser

restaurador despus de la perturbacin.

-Acoplamiento pndulo invertido

Existe otra configuracin del pndulo como se muestra en la Figura 2.16, en donde

el centro de gravedad esta en la parte superior del centro de gravedad; esta configuracin se

le conoce como pndulo invertido. Puesto que sin el resorte el sitema despus de la

perturbacin nunca se restaurar, entonces se limita el movimiento por medio de dicho

resorte como se indica en la figura.

Figura 2.16 Pndulo invertido

La ecuacin quedara Mp= ka2 mgr. El sentido positivo del momento es a

encontra de las manecillas ya que se supone que el momento del resorte es superior para

restaurar el sistema, es decir ka2> mgr. Ahora la constante elstica torsional equivalente

ser k= M/, es decir

k= ka2 mgr

- Acoplamiento pndulo horizontal

Ahora considere una configuracin del pndulo horizontal como se muestra en la

Figura 2.17. Sin el resorte, el sistema despus de la perturbacin nunca se restaura,

entonces se limita el movimiento por medio de un resorte como se indica en la figura.

Observe que si el sistema se perturba hacia arriba el efecto del peso ser restaurador pero si


49

se perturba hacia abajo no lo ser; Que pasa aqu?

Figura 2.17. Pndulo sobre el eje horizontal

Es importante notar que en la posicin P1 se supone que no se conecta el resorte a la

masa, pero despus de colocar el resorte entonces existe una deformacin inicial pasando a

la posicin P2 en s. Antes de la perturbacin existe un equilibrio esttico tal que:

mgr =kxsa. Ahora, despus de la perturbacin se tiene que:

Pero como los trminos mgr y kxsa son constantes entones el primer trmino de la ecuacin

desaparece y adems como x = asen , se tiene que Mp = ka2sin( )cos( + s). Como para

ngulos pequeos sin y cos( + s) 1. Se tiene que Mp = ka2; por lo tanto la

constante elstica equivalente torsional para este caso ser k = M/

k e = ka2

Aprovechando los resultados previamente expuestos se puede mencionar que cuando

un sistema est esttico y uno de sus elementos elsticos este deformado (deformacin

esttica), entonces el efecto de la(s) masa(s) causantes de dicha deformacin no es

considerado en el anlisis dinmico ya que es compensado con el efecto de los elementos

elsticos previamente deformados ya que pasaran como parmetros constantes en la

ecuacin dinmica y estos se eliminaran. A esto se le conoce como la condicin de

deformacin esttica.


50

2.2 ELEMENTOS AMORTIGUADORES

La prdida de energa en los sistemas siempre esta presente ya sea por las

caractersticas propias de un material o la combinacin de elementos, o bien por la

existencia de un elemento amortiguador, de aqu que se clasifiquen como:

1. Amortiguamiento coulomb

2. Amortiguamiento de viscoso

3. Amortiguamiento de histresis

El amortiguamiento de coulomb se presenta mediante el rozamiento seco entre de la

superficie de dos elementos. La fuerza del amortiguador del tipo de coulomb es igual al

producto de la fuerza normal y el coeficiente de friccin independiente de la velocidad una

vez que inicie el movimiento.

El amortiguamiento del tipo histresis se presenta cuando un material es deformado,

entonces la energa es absorbida y desplazada por el material.

El amortiguamiento del tipo viscoso ocurre cuando un componente del sistema esta

en contacto con otro a travs de un medio de fluido viscoso, en donde el amortiguamiento es

el resultado de la friccin viscosa entre el fluido y el componente, en estos casos

generalmente la fuerza es directamente proporcional a la velocidad, por lo tanto para

eliminar esta proporcionalidad se agrega un trmino proporcional que en este caso

llamaremos coeficiente de amortiguamiento c y cuya unidad es (Ns)/m.

fd = c x .(2.7)

En donde:

fd es la fuerza del amortiguador en N, c es el coeficiente de amortiguamiento en (N-

s)/m.

La Figura 2. 18 muestra la simbologa de un amortiguador y el comportamiento

lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.


51

Figura 2.18 Relacin proporcional y constante de amortiguamiento

Ahora considere el caso de un amortiguamiento angular en donde el momento

aplicado es directamente proporcional a la velocidad angular como se muestra en la Figura

2.19.

Figura 2.19 Amortiguamiento torsional

Por lo tanto, el amortiguamiento angular tendr un coeficiente de amortiguamiento

torsional c , por lo tanto la relacin entre el momento y la velocidad angular esta dada por:

Md = c ( 2.8)

2.2.1. Elementos amortiguadores equivalentes.

Se puede hacer uso de los conceptos vistos en el apartado elementos elsticos

equivalentes para definir equivalencias en los amortiguadores. En resumen se puede

establecer los siguientes:

- Elementos amortiguadores en serie.

Dos o ms elementos amortiguadores estn en serie si la fuerza aplicada en un


52

extremo se transmite en la misma proporcin en cada uno de ellos (Figura 2.20).

Figura 2.20 Amortiguadores en serie

En trminos generales, el coeficiente de amortiguamiento equivalente de arreglos en

serie estar dado por

( 2.9)

-Elementos amortiguadores en paralelo

Dos o ms elementos amortiguadores estn en paralelo si fuerzas distribuidas en

ellos producen la misma velocidad (Figura 2.21) .

Figura 2.21 Amortiguadores en paralelo

En trminos generales para n elementos amortiguadores en paralelo constante elstica

equivalente esta dada por:

..( 2.10)

-Acoplamiento amortiguador disco

Considere un acoplamiento entre un amortiguador y un disco como se muestra en la

Figura 2.22. Es fcil establecer un amortiguamiento equivalente ya que la velocidad en la

periferia del disco es v= r, donde v es la velocidad lineal, es la velocidad angular, como

la fuerza del amortiguador ser:


53

Como el momento del amortiguador M=f x r, se tiene que el amortiguamiento torsional

equivalente ser c= M/, es decir

c = cr2

Figura 2.22 Acoplamiento amortiguador disco(a) y su equivalente(b)

2.3 ELEMENTOS INERCIALES

La inercia forma parte de un sistema vibratorio ya sea como elemento o como parte de

las propiedades de alguno de ellos., ms sin embargo es comn despreciar la masa de los

elementos elsticos amortiguadores por lo que solo se enfocar a la masa como un

elemento de un sistema vibratorio. Las unidades de la masa en el sistema mtrico es

kilogramo (kg) y en el sistema ingles el slug.

En algunos casos en el modelado matemtico las masas pueden representarse

indistintamente de su forma como solo una partcula, sobre todo si el movimiento es lineal

ya que las partculas se desplazan con las mismas caractersticas de desplazamiento,

velocidad y aceleracin. En otros casos es necesario representarla tal y cual su forma ya

que cada una de las partculas tienen caractersticas diferentes, por ejemplo en la Figura

2.23 en el caso (a) el resorte se supone que se coloca en una lnea simtrica, es decir, pasa

por el centro de gravedad, por lo tanto todas las partculas se mueven igual y puede ser

representada como una masa puntual; pero en el caso (b) la masa adems de moverse

verticalmente tendr a girar por lo que las partculas se mueven indistintamente y no puede

ser representada como una partcula. Para el caso (c) la masa esta pivoteada en p por lo


54

tanto las partculas tendrn diferentes caractersticas de desplazamiento y no puede ser

representada como una partcula.

Figura 2.23 Representaciones del modelado de la inercia

El caso en que la masa tenga que ser representada tal y cual su geometra es

necesario conocer un parmetro que interviene en el anlisis de sistemas vibratorios y se le

conoce como momento de inercia de masa. El momento de inercia de masa J se define

como:

Este depende de la geometra de la pieza as como de la masa; puesto que una masa

se puede pivotear en diferentes puntos, en el apndice ? viene una tabla de momentos de

inercia de masa de algunos cuerpos. En ocasiones resulta necesario para anlisis

posteriores encontrar el momento de 0inercia en puntos diferentes al del centro de

gravedad. En la literatura del tema existen tablas en las que se muestran la forma de

calcular el momento de inercia de masa de diferentes cuerpos pero generalmente estn

dadas en el centro de gravedad, por lo tanto ser til encontrar una forma de obtener dicha

inercia pero en un punto diferente al centro de gravedad. El teorema de los ejes paralelos

resuelve este problema y establece:

( 2.11) Esta ecuacin se puede mencionar como sigue: El momento de inercia de masa de

un cuerpo en un punto p (Jp) en un eje determinado es igual al momento de su centro de


55

gravedad paralelo al mismo (Jcg) eje, ms un trmino de traslado (md2), donde m es la

masa y d es la distancia entre estos dos ejes. Al final del captulo se presenta una tabla de

los momentos de inercia de algunos cuerpos.

La inercia puede manifestarse como movimiento inercia lineal y/o inercia angular.

Para el caso en que se disponga de un movimiento lineal, la fuerza inercial esta dada por:

Donde:

fm es la fuerza inercial en N,

m la masa en kg y

x es la aceleracin.

Para un movimiento angular se tiene:

Donde:

Mp es el momento inercial en el pivote, Jp es el momento de inercia en el pivote y es la

aceleracin angular.

2.3.1. Inercia equivalente

Al igual que los elementos elsticos es posible encontrar una representacin de la

masa de algunos elementos como una masa equivalente. Para ello es necesario siempre

definir: equivalente a que?, en estos casos generalmente se establece una coordenada de

posicin en la cual se hace referencia al movimiento y luego se analiza el efecto de todas las

masa

vibraciones_mecanicas

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