Vibraciones Mecánicas MC-571

Facultad de Ingeniería Mecánica

Universidad Nacional de Ingeniería

5) Método de la suma de

modos Las ecuaciones de movimiento de un sistema

amortiguado en coordenadas globales o físicas será:

Las cuales pueden llevarse a coordenadas modales

usando los autovectores reales del sistema sin

amortiguamiento.

Esto es posible siempre y cuando el amortiguamiento

es pequeño o puede considerarse como proporcional.

Donde las ecuaciones están desacopladas, tal que:

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5) Método de la suma de

modos Si el sistema es lineal, cualquier método de los

estudiados puede ser aplicado, para luego

transformar la solución a coordenadas físicas.

Este método permite hallar la solución de incluso

sistemas grandes, bajo casi cualquier excitación.

Es por tanto la primera opción a ser considerada.

En sistemas grandes muchas veces no es necesario

considerar todas las n ecuaciones.

Esto debido a que modos con frecuencias superiores

a todas las presentes en la excitación, no estarán

activos.

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5) Método de la suma de

modosProcedimiento

Considerando el siguiente problema:

Se hallan los autovalores, autovectores y matriz de

transformación [X] del sistema no amortiguado:

Siendo [X] una matriz cuadrada conformada por los

autovectores, se calcula:

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5) Método de la suma de

modos Se calcula la respuesta en el espacio modal {q}

haciendo uso de:

Se transforma la respuesta modal al espacio físico,

utilizando:

Si adicionalmente se desean las velocidades y

aceleraciones:

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5) Método de la suma de

modos

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Ejemplo

Considerando una

estructura consistente en

una viga de masa

despreciable que sostiene

dos masas concentradas.

Ensayos en una estructura similar sugieren que la razón de

amortiguamiento viscoso (ζ→γ) para ambos modos es 0.02.

1. Hallar la matriz de flexibilidad [K]-1 en coordenadas físicas.

2. Calcular los modos del sistema.

3. Hallar las ecuaciones en coordenadas modales.

4. Hallar la respuesta para F1=1000H1(t), F2=0.

5) Método de la suma de

modos La matriz de flexibilidad es calculada usando el método

de los coeficientes de influencia de flexibilidad:

Las ecuaciones de movimiento en coordenadas

globales serán:

Para hallar los autovalores y autovectores [C] y {F}

deben omitirse:

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5) Método de la suma de

modos Reescribiendo la ecuación anterior:

Siendo la matriz de masa:

La ecuación queda como:

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5) Método de la suma de

modos Donde Λ es uno de los dos autovalores dado por:

Considerando los siguientes valores:

Los dos autovalores provienen de las raíces de:

De donde obtendremos:

Las frecuencias naturales:

Cuyos autovectores son:

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5) Método de la suma de

modos Siendo su representación gráfica:

Para reescalar los autovectores de tal forma que se

conviertan en ortonormales, son multiplicados por:

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5) Método de la suma de

modos Los autovectores ortonormales serán:

La matriz modal [X] está conformada por:

Esta matriz permite las siguientes transformaciones:

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5) Método de la suma de

modos Verificando la diagonalización de [M]:

Las ecuaciones desacopladas sin amortiguamiento son:

Insertando la matriz de amortiguamiento, asumiendo

que no acopla los modos, sabiendo que:

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5) Método de la suma de

modos Sabiendo que:

Las fuerzas en coordenadas modales serán:

Considerando las ecuaciones desacopladas:

Donde, de datos del problema:

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5) Método de la suma de

modos La respuesta de un sistema de 1 GDL a una

excitación escalón de amplitud “a” es dada por:

Las respuestas en coordenadas modales serán:

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5) Método de la suma de

modos La respuesta de la masa m1 en coordenadas físicas

será:

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