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VIBRACIONES EN SISTEMAS DISCRETIZADOS Introducción En cursos anteriores hemos estudiado las vibraciones en un sistema ideal con un grado de libertad (g.d.l.), constituido por una masa, un amortiguador y un muelle, con una fuerza de excitación.

m u + c u + k u = f(t)

También los sistemas con un g.d.l. generalizado, asimilables al sistema ideal. Algunos ejemplos:

En estos últimos, aún siendo en realidad sistemas continuos, se obtienen buenas aproximaciones de su comportamiento dinámico si se eligen con acierto los parámetros m, c, k.

De lo que se trata ahora es de discretizar sistemas como éstos, asimilándolos a sistemas ideales con varios grados de libertad, buscando con ello una mejor aproximación.

Planteamiento del problema

Utilicemos como ejemplo de referencia una viga apoyada, en la que consideramos los desplazamientos transversales en varios puntos: u1, u2, u3, .... ui, .... un, en los que, a su vez, pueden actuar fuerzas exteriores: f1, f2, f3, .... fi, .... fn (previa concentración en caso de que existan cargas distribuidas). Tendremos así un sistema con n g.d.l.

m

c

k

u

f

u

f f

u

u

f

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Además de las fuerzas exteriores mencionadas, como consecuencia del movimiento, aparecerán otras, que se exponen a continuación.

La deformación de la barra provoca la aparición de fuerzas elásticas recuperadoras, fE, de sentido contrario a las u. Utilizando los coeficientes de rigidez, para el g.d.l. i, resulta:

∑= jijE

i ukf

(en notación tensorial se puede suprimir el signo del sumatorio, por entender que el subíndice repetido expresa sumación)

(Nótese que, aunque cada término kij uj supone que en los g.d.l. distintos de j no se produce desplazamiento alguno, la aplicación del principio de superposición, al escribir el sumatorio, significa que al final se han producido todos los desplazamientos, reproduciendo así la situación real de la viga. Esta aclaración resulta innecesaria cuando se aplica el método de la flexibilidad, por resultar más evidente la superposición de los desplazamientos ui = hij fj al aplicar sucesivamente las fuerzas)

Y, considerando las fuerzas según todos los grados de libertad establecidos, se puede escribir la expresión matricial:

FE = K U siendo kij los términos de la matriz de rigidez, K. En el sistema con un g.d.l. el amortiguamiento quedaba representado según el modelo viscoso, con un término ucf A = , de sentido contrario a la única velocidad existente. Por analogía con este caso y con un proceso análogo al seguido con las kij, en el sistema con n g.d.l. el efecto del amortiguamiento se puede definir mediante unos coeficientes cij, con el siguiente significado: cij es la fuerza de amortiguamiento que aparece en el grado de libertad i para una velocidad unidad en el grado de libertad j. Así, jij

Ai ucf = .

Y, considerando las velocidades en todos los grados de libertad:

∑= jijA

i ucf

Con las fuerzas según todos los grados de libertad establecidos, se puede escribir la expresión matricial:

FA = C U

fi

ui

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siendo cij los términos de la matriz de amortiguamiento, C. En las aplicaciones se tropieza con la dificultad de estimar los coeficientes cij, por lo que más adelante veremos otra forma de definir la matriz C, a partir de un número reducido de parámetros. Por el momento, sirva el razonamiento expuesto como idea para el planteamiento del problema. Además, tenemos las fuerzas de inercia, debidas a la masa de la viga. Podemos imaginar una porción de masa concentrada en el punto correspondiente a cada g.d.l.. Se prescinde de la inercia de rotación, despreciable frente a la de traslación. Las fuerzas de inercia serían ii

Ii umf = . Nótese que con esta idea (masas concentradas)

no aparecen términos de la forma mij, como en los casos anteriores, ya que la fuerza de inercia de cada masa corresponde únicamente a su propia aceleración. Más adelante expondremos un procedimiento más adecuado en el que sí aparecen los mij. Por ahora, con sólo los mi, podemos definir las fuerzas de inercia en todos los g.d.l. mediante la expresión matricial:

FI = MÜ

donde M es una matriz diagonal, llamada matriz de masa concentrada. Del equilibrio de fuerzas en cada g.d.l.:

FI + FA + FE = F

es decir:

MÜ + C U + K U = F

siendo F el vector de fuerzas externas fi.

En aras de la simplicidad, prescindimos de otro término que aparece como consecuencia del esfuerzo normal que pudiera existir en la viga, al resultar éste una carga excéntrica como consecuencia de la deformación.

(Como aclaración a los signos de las fuerzas, nótese que, en las figuras, hemos adoptado el signo positivo de las f hacia arriba, así como el de las u, y, por tanto, el de sus derivadas, u y ü. Las fuerzas elásticas, de amortiguamiento y de inercia, son contrarias al desplazamiento y a sus derivadas)

mi

ui

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El concepto del Método de los Elementos Finitos (MEF) en estructuras de barras

Consiste en suponer la viga o la estructura dividida en una serie de elementos (segmentos). Llamamos nudos, o nodos, a los puntos de unión de cada dos o más elementos.

En cada nudo y en cada elemento consideraremos los g.d.l. expresados en la figura (caso plano), en los que nos apoyaremos, tanto para el planteamiento del problema como para la obtención resultados.

A lo largo de cada elemento se consideran distribuidas las propiedades de la barra (rigidez, amortiguamiento, inercia), así como las cargas, cuando sean distribuidas. El Método de los Elementos Finitos no pretende reproducir en cada elemento las propiedades reales de la barra, sino que emplea en su lugar las llamadas funciones de aproximación, que son lo más sencillas posible, y que serán las mismas en todos los problemas a resolver, lo que permite sistematizar el procedimiento. En los nudos pueden actuar cargas puntuales.

Prescindiremos aquí de los efectos secundarios y de los efectos de inestabilidad, con lo que los g.d.l. 1 y 4 del elemento (efectos axiales) quedan desacoplados del resto (flexión).

Para el planteamiento de ecuaciones, el MEF utiliza los trabajos virtuales, con desplazamientos virtuales tales como los mostrados en la figura, aplicados a los n g.d.l. de la estructura, obteniendo así n ecuaciones para la resolución del problema. Nótese que cada desplazamiento virtual sólo afecta a los elementos concurrentes en el nudo correspondiente, simplificando así las ecuaciones.

nudos

elementos

u2

u1

u3 nudo

u2

u1

u3

u5

u4

u6 elemento

u*u*

5

Funciones de aproximación para efectos axiales Asumimos que los desplazamientos axiales en el elemento responden a una ley lineal, lo que permite definir el desplazamiento en cualquier punto del elemento, x, e instante, t, mediante la expresión:

u(x,t) = ∑4,1

ui(t) ψi(x)

que se puede considerar combinación de:

ψ1 = Lx1 −

ψ4 = Lx

Funciones de aproximación para efectos de flexión. Polinomios de Hermite Análogas a las del caso anterior, pero ahora la deformación debe responder a cuatro condiciones, una ordenada y una tangente en cada extremo del elemento; por tanto, han de ser polinomios de tercer grado (polinomios de Hermite).

u(x,t) = ∑6,5,3,2

ui(t) ψi(x)

ψ2 = 32

Lx 2

Lx 31 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

ψ3 = 2

Lx1 x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ψ5 = 32

Lx 2

Lx 3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ψ6 = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 1

Lx

Lx2

ψ6

ψ5

ψ3

ψ2

u2=1

u3=1

u5=1

u6=1

u(x,t)

u1

u4

u(x,t) u3

u2

u5

u6

L

ψ1

ψ4

u1=1

u4=1

6

(Nota) En lo sucesivo emplearemos expresiones como:

u(x,t) = ∑ ui(t) ψi(x)

para referirnos indistintamente a efectos axiales y a efectos de flexión. Ya sabemos que los axiales se refieren a los g.d.l. 1 y 4 del elemento, y los de flexión a los 2, 3, 5 y 6. Recordemos también que los axiales y los de flexión están desacoplados. Expresión de las variables físicas en el elemento en función de las funciones de aproximación Como hemos visto, los desplazamientos vienen dados por:

u(x,t) = ∑ ui(t) ψi(x)

Las velocidades y aceleraciones serán las derivadas temporales de u(x,t):

u (x,t) = ∑ iu (t) ψi(x)

u (x,t) = ∑ iu (t) ψi(x)

En estática el esfuerzo axial en una barra viene determinado por N=EAu’ (la deformación longitudinal es la variación de los desplazamientos). En dinámica la derivada u’ se transforma en una derivada parcial respecto a la variable espacial x. Resulta así para el elemento:

N=EA ∑ ui(t) ψi’(x)

Para la flexión, recordemos la ecuación diferencial de la elástica en estática: M=EIu’’. Igual que en el caso anterior, la derivada pasa a ser parcial de x. En el elemento:

M=EI ∑ ui(t) ψi’’(x)

Aplicación del método de los trabajos virtuales a las fuerzas en el elemento El elemento se encuentra en equilibrio (dinámico, si incluimos como fuerza la de inercia). Es, por tanto, de aplicación el método de los trabajos virtuales. Recordemos qué fuerzas actúan en el elemento. Externas:

En los extremos, según los g.d.l. fi(t) Cargas a lo largo del elemento p(x,t)dx (axial) ó q(x,t)dx (transversal) Fuerzas de inercia -µu (x,t)dx = -µ ∑ iu (t) ψi(x) dx

(µ es la masa del elemento por unidad de longitud)

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Por las mismas razones apuntadas en “Planteamiento del problema” prescindimos de las fuerzas de amortiguamiento. Internas: Esfuerzo normal N(x)=EA ∑ ui(t) ψi’(x)

Momento flector M(x)=EI ∑ ui(t) ψi’’(x)

Como desplazamiento virtual consideraremos uno de los uj* (ó uj

v, según la notación empleada) correspondientes a los g.d.l. en los extremos del elemento, con valor: uj* = 1. Con lo que, a lo largo del elemento corresponderá el desplazamiento virtual: u*(x)= ψj(x). En cuanto a las fuerzas internas, lo que hemos de considerar son las deformaciones virtuales correspondientes. En axiales, si la cara dorsal de la rebanada elemental se desplaza u* y la frontal u*+du*, la deformación es: du*(x)= ψj’(x)dx Y en flexión, el giro entre las caras de la rebanada elemental es: dθ*(x)=d2u*(x)= ψj’’(x)dx Los trabajos de las fuerzas anteriores son: fi(t) fi(t).δij (δij=1 si i=j; δij=0 si i≠j)

p(x,t)dx ∫L

0 p(x,t) u*(x) dx = ∫

L

0 p(x,t) ψj(x) dx

q(x,t)dx ∫

L

0 q(x,t) u*(x) dx = ∫

L

0 q(x,t) ψj(x) dx

-µ ∑ iu (t) ψi(x) dx - ∫L

0 µ ∑ iu (t) ψi(x) u*(x) dx =

= - ∫L

0 µ ∑ iu (t) ψi(x) ψj(x) dx

N(x) ∫L

0N(x) du*(x)= ∫

L

0 EA ∑ ui(t) ψi’(x) ψj’(x)dx

M(x)=EI ∑ ui(t) ψi’’(x) ∫L

0M(x)dθ*(x)= ∫

L

0EI ∑ ui(t) ψi’’(x) ψj’’(x)dx

Con estas expresiones, aplicaremos la ecuación de los trabajos virtuales: Tf.ext=Tf.int Pero antes daremos algunas definiciones.

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Definiciones Integrando a lo largo del elemento, las cargas quedan en función del tiempo:

Carga consistente (axial): pj (t) = ∫L

0 p(x,t) ψj(x) dx

Carga consistente (transversal): pj (t) = ∫L

0 q(x,t) ψj(x) dx

(unificamos la notación de p y q) Separando los términos de variación temporal de los de variación espacial, en el término correspondiente a las fuerzas de inercia, definimos:

Matriz de masa consistente (simétrica): mij = ∫L

0 µ ψi(x) ψj(x) dx

De igual forma, para los términos correspondientes a la rigidez:

Matriz de rigidez (simétrica):

kij = ∫L

0 EA ψi’(x) ψj’(x)dx (para términos axiales)

kij = ∫L

0EI ψi’’(x) ψj’’(x)dx (para términos de flexión)

kij = 0 (para términos desacoplados) Ecuación del elemento y de la estructura De la aplicación del método y con las definiciones anteriores (teniendo en cuenta signos, cargas externas, internas, omisión de las fuerzas de amortiguamiento, etc), resulta para el elemento considerado:

mij ju (t)+ kij ui(t) = fj (t)+ pj (t) En forma matricial:

ML ÜL + KL UL = FL+PL Los subíndices L denotan que todo cuanto se ha escrito hasta ahora está en coordenadas locales del elemento considerado. La ecuación de la estructura resulta de ensamblar las matrices de los elementos que la componen. El ensamblaje de matrices de los diferentes elementos requiere el cambio a un sistema de coordenadas globales, como operación previa. Procediendo igual que en el Método Matricial:

UL=RU ÜL=RÜ FL=RF PL=RP

ML R Ü + KL RU = R(F+P)

Premultiplicando por RT:

RT ML R Ü + RT KL RU = RT R(F+P)

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MÜ + KU = F+P (recuérdese que RT=R-1) Donde: M=RTMLR y K=RTKLR son las matrices de masa y de rigidez del elemento en coordenadas globales. Para el total de la estructura también podemos escribir:

MÜ + KU = F+P entendiendo ahora por M, K, F y P las respectivas matrices ensambladas. Para la matriz F, notemos que, al unir los distintos elementos, desaparecen algunas de las fj(t), por pasar a ser fuerzas internas; las que prevalecen son las que tienen carácter de externas en la estructura completa, es decir, las cargas aplicadas directamente en los nudos y las reacciones en los enlaces externos. Comparando esta ecuación con la obtenida en “Planteamiento del problema”, la matriz de masa concentrada ha quedado reemplazada por la matriz de masa consistente, con la ventaja de dejar un criterio claramente establecido para interpretar la masa de la estructura. La matriz de rigidez obtenida a partir de las funciones de aproximación utilizadas es la misma que ya conocíamos del Método Matricial. Y, comparando con la expresión: K U = FN - FB, obtenida en el Método Matricial para la estática, vemos que ésta es un caso particular en el que las fuerzas y los desplazamientos son constantes en el tiempo. Los términos FN y -FB tienen idéntica interpretación que los ahora designados con F y P. Respuesta libre. Frecuencias propias y modos de vibración En ausencia de fuerzas de excitación y de amortiguamiento, la ecuación de la estructura queda en la forma:

MÜ + K U = 0 La existencia de ligaduras externas permite reducir la dimensión de las matrices, suprimiendo las filas y columnas cuyo desplazamiento está determinado a priori (usualmente nulo). Es la misma idea de la matriz reducida vista en el Método Matricial. Igual que se hizo con los sistemas con un g.d.l., buscamos soluciones armónicas. Para cada g.d.l. j:

uj(t) =uj0 eiωt donde uj0 son las amplitudes según los distintos g.d.l. de un movimiento armónico de frecuencia ω. Las aceleraciones correspondientes son:

üj(t) = -ω2 uj0 eiωt

En forma matricial:

U(t) = U0 eiωt

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Ü(t) = -ω2 U0 eiωt Sustituyendo en la ecuación de la estructura, resulta:

-ω2 M U0 + K U0 = 0 ; (-ω2 M + K) U0 = 0

La expresión obtenida representa un sistema homogéneo de ecuaciones. Para que existan soluciones distintas de la trivial, debe verificarse:

│-ω2 M + K│= 0 Que es una ecuación de grado n en ω2. Al ser M y K reales, simétricas, definidas positivas, las n soluciones son reales y positivas, con lo que existen n valores de ω que verifican la condición. Estas son las llamadas frecuencias propias del sistema de n g.d.l.. Para cada valor particular de ω= ωk, existe una solución para las U0 = Φk , que son los llamados modos de vibración del sistema. Nótese que, al tratarse de un sistema homogéneo de ecuaciones, la solución queda indeterminada, constituyendo, no los valores de las amplitudes buscadas, sino una relación entre ellos. Habitualmente se le da un valor arbitrario a uno de ellos, normalmente la unidad, resultando todos los demás en función de éste. Cuando se utilice la matriz de masa concentrada (diagonal), el cálculo de las frecuencias propias y los modos de vibración se puede reducir a la determinación de los autovalores y autovectores de una matriz. Notemos que, en ausencia de fuerzas externas, la única forma en que puede moverse el sistema es según alguno de los modos de vibración y con la frecuencia correspondiente a éste. Por superposición, también podrá hacerlo según una combinación lineal de los modos con sus frecuencias, que depende de las condiciones iniciales del sistema en posición y velocidad según cada g.d.l.. En particular, si las condiciones iniciales del sistema vienen definidas por un desplazamiento inicial según cada g.d.l. y con velocidades iniciales cero, la respuesta queda en la forma:

U(t) =Σ αk Φk ti ke ω Respuesta forzada sin amortiguamiento. Matriz de rigidez dinámica

Consideremos ahora un vector de fuerzas de excitación, F+P, que llamaremos F para simplificar la notación. El sistema de ecuaciones queda en la forma:

MÜ + K U = F Se supone, igual que en el caso anterior, que trabajamos con las matrices reducidas (tras eliminar los g.d.l. correspondientes a las ligaduras externas). Suponganos un vector de fuerzas de excitación armónicas de una misma frecuencia, ω:

F = F0 tie ω

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La solución, U(t), se puede considerar descompuesta en dos sumandos, igual que en los sistemas con un g.d.l.; la respuesta libre, que depende de las condiciones iniciales, y la respuesta permanente, que no depende. En los sistemas reales (amortiguados), la respuesta libre recibe el nombre de transitorio, que se desvanece al cabo de un tiempo, usualmente corto. Por ello, generalmente tiene mayor interés la respuesta permanente. Para la respuesta permanente, busquemos soluciones de la forma:

U = U0 tie ω ; Ü = -ω2 U0 tie ω Resulta:

-ω2 M U0 + K U0 = F0 ; [-ω2 M + K] U0 = F0 La matriz [-ω2 M + K] recibe el nombre de matriz de rigidez dinámica, por analogía con la expresión equivalente en estática. La inversión de dicha matriz resuelve el problema:

U0 = [-ω2 M + K]-1 F0

La consideración de fuerzas de excitación armónicas de una misma frecuencia, ω, no resta generalidad al problema. Cualquier ley periódica de carga podría descomponerse según el desarrollo de Fourier, y se obtendría la solución mediante superposición de efectos. Para carga no periódica sería de aplicación la transformada de Fourier. Estas consideraciones dan lugar a un interesante capítulo (que no trataremos aquí) del análisis dinámico de sistemas. Respuesta de un sistema amortiguado. Amortiguamiento histerético Llamado histerético por estar fundado en el estudio del ciclo de histéresis de la disipación de energía de un sistema. No entraremos en su justificación; sólo daremos las conclusiones. Consiste en atribuir un valor complejo a algunos parámetros físicos del material; en este caso se le puede atribuir al módulo de elasticidad, E, cambiándolo por E(1+i.2β), donde i es la unidad imaginaria y β el factor de amortiguamiento histerético, de determinación experimental. Aunque está deducido en la hipótesis de que la disipación de energía en cada ciclo no depende de la frecuencia, en la práctica es preferible ajustarlo según el rango de frecuencias a estudiar. Efectuando dicho cambio en E, se ve afectada la matriz de rigidez, quedando en la forma: (1+i.2β) K, con lo que la ecuación del sistema queda:

M Ü + (1+i.2β) K U = F El resto del proceso es análogo al seguido en el caso sin amortiguamiento. Ortogonalidad de los modos de vibración Sustituyendo en la ecuación M Ü + K U = 0 la expresión de dos modos distintos, m y n:

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2m ω M Φm = K Φm 2

n ω M Φn = K Φn Remultiplicando estas expresiones por Φn

T y ΦmT, respectivamente:

2m ω Φn

T M Φm = ΦnT K Φm 2

n ω ΦmT M Φn = Φm

T K Φn

Y trasponiendo una de ellas, por ejemplo la primera (recordemos que M y K son simétricas):

2m ω Φm

T M Φn = ΦmT K Φn 2

n ω ΦmT M Φn = Φm

T K Φn De donde resulta:

( 2m ω - 2

n ω )ΦmT M Φn = 0

Es decir, para ωm ≠ ωn ,

ΦmT M Φn = 0

Pudiendo afirmar así que los vectores Φm

T y Φn son ortogonales respecto a la matriz M. Y también respecto a K, ya que, de:

2m ω Φm

T M Φn = ΦmT K Φn

resulta:

ΦmT K Φn = 0

Respuesta forzada sin amortiguamiento. Desacoplamiento del sistema de ecuaciones. Masa, rigidez y carga modales. Método de la superposición modal

Vamos a exponer otra forma de obtener la respuesta forzada sin amortiguamiento, basándonos en la ortogonalidad de los modos de vibración. Consideremos, como antes, el sistema de ecuaciones:

M Ü + K U = F Realizamos el cambio de variable: U = Φ A, siendo Φ la matriz de orden n×n formada por los modos de vibración: Φ = [ ]nΦΦΦ .....21 . Resulta así:

M Φ Ä + K Φ A = F

Premultiplicando por ΦT:

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ΦT M Φ Ä + ΦT K Φ A = ΦT F De la ortogonalidad de los modos de vibración, resulta que las matrices ΦTMΦ y ΦTKΦ son diagonales, con lo que el sistema de ecuaciones queda desacoplado, pudiendo reducirse a la resolución de n ecuaciones independientes, una para cada modo de vibración. Los términos:

Mi = ΦiT M Φi Ki = Φi

T K Φi Fi = ΦiT F

se llaman masa modal, rigidez modal y carga modal, respectivamente, del modo de vibración i. Señalemos la importancia de este resultado. El problema de la determinación de la respuesta de un sistema con n g.d.l. se ha reducido a la resolución de n problemas con un g.d.l. cada uno:

Mi äi + Ki ai = Fi (i = 1, 2, 3... n) Y, siendo A el vector formado por las soluciones, ai(t), la solución para el sistema propuesto viene dada por:

U = Φ A

Respuesta de un sistema amortiguado. Amortiguamiento proporcional Seguimos el mismo proceso del apartado anterior, pero incluyendo ahora el sumando correspondiente al amortiguamiento:

M Ü + C U + K U = F Con el cambio de variable: U = Φ A

MΦÄ + CΦ A + KΦ A = F Premultiplicación por ΦT :

ΦTMΦÄ + ΦTCΦ A + ΦTKΦ A = ΦTF Si se define C arbitrariamente, se pierden las propiedades de ortogonalidad. Para que esto no suceda, definimos el llamado amortiguamiento proporcional, que consiste en establecer la matriz C como una combinación lineal de M y K:

C = α1 M + α2 K Así, la ortogonalidad de los modos de vibración con respecto a M y K implica la ortogonalidad respecto a C. Los coeficientes α1 y α2 son de determinación experimental. La aparición del término en ia en la ecuación:

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Mi äi +Ci ia + Ki ai = Fi

supone la presencia de un término de componente imaginaria en la solución (recuérdese la solución de un sistema con un g.d.l.), lo que representa la presencia de un factor de amortiguamiento. Finalmente, igual que en el caso anterior, la solución viene dada por:

U = Φ A

APÉNDICE

Matriz de rigidez:

KL

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LAE

LAE

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LAE

LAE

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

Matriz de masa consistente:

ML

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

22

22

42203130221560135400014000703130422013540221560007000140

420

LLLLLL

LLLLLL

Lµ

Matriz de rotación:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

1000000cos0000cos0000001000000cos0000cos

uuuuuu

sensen

sensen

uuuuuu

L

θθθθ

θθθθ