Vibraciones MecánicasVeamos las ecuaciones que gobiernan los diferentes sistemas resorte-masa

a) Movimiento libre no amortiguado

Ecuación diferencial que gobierna el movimiento:

Solución:

El periodo del movimiento es el tiempo requerido para que el sistema complete una oscilación

dad por , su frecuencia es dado en hertzios (Hz). Este

movimiento es llamado movimiento armónico simple.

b) Movimiento libre amortiguado

Ecuación diferencial que gobierna el movimiento:

Movimientos:

1. Movimiento críticamente amortiguada, en caso Ecuación del

movimiento: es la raíz doble del polinomio característico.

2. Movimiento sobreamortiguado: Si , raíces diferentes en el polinomio

característico, la solución es: , Detectamos que:

3. Movimiento subamortiguado: Si . Raíces complejas conjugadas

.

donde

c) Movimiento forzado no amortiguado

F(t) es la fuerza externa, las más frecuentes son cuando . W

es la llamada frecuencia externa. Veamos el caso inicial.

Ecuación: donde

recordando si , tenemos que:

.Así si tenemos que F0=80, w=5, m=1, k=9

(valores numéricos) tendremos que: x(t)=5cos3t-5cos5t bajo las condiciones x(0)=x’(0)=0

Si el caso inicial consideramos las condiciones iniciales x(0)=x’(0)=0 podemos ver que:

su grafica es:

La superposición de frecuencias distintas producen PULSACIONES.

RESONANCIA

Cuando son aproximadamente iguales, tiene una amplitud muy grande. Así

cuando tengamos llegamos a que

00

0

F( ) (A=0, B= )

2mwx t Btsenw t=

0

0

( )2

Fx t t

mw=

Cuando hablamos de resonancia, es decir es muy grande. En caso de ,

hablamos de una resonancia pura, es evidente que un sistema mecánico el efecto de

resonancia “colapsaría el sistema”.

En este sentido la resonancia mecánica, no es deseable por sus efectos.

d) Movimiento forzado amortiguado

Ecuación que gobierna el movimiento:

Nos interesa cuando Nos interesa determinar . Si denotamos

o sea es el llamado

factor de ampliación, es la cantidad por la cual se debe multiplicar el desplazamiento estático

para obtener la amplitud de la ecuación periódica estacionaria ( ). Notamos que

cuando c>0 la amplitud siempre se conserva finita (al contrario del caso no amortiguado). La

amplitud puede tomar su máximo valor cuando tengamos el fenómeno de resonancia pura,

pero si hallamos de la resonancia práctica la tomará para algún valor de w, para lo cual

denotemos así veamos

algunas situaciones para valores específicos de .

18

c =

14

c =

12

c =

1w = w

Ejercicio

Un edificio tiene 2 pisos. El primer piso esta sujeto al suelo rígidamente y el segundo es una

masa m que pesa 6 tons (32 000 Lb). La estructura elástica del edificio se comporta como u

resorte que resiste a los desplazamientos horizontales del segundo piso; requiere una fuerza

horizontal de 5 tons para que el segundo piso se desplace una distancia de 1 pie. Supóngase

que un temblor de tierra hace que el piso oscile horizontalmente con una amplitud y una

frecuencia circular w, resultando una fuerza externa sobre el segundo

piso ¿Cuál es la frecuencia natural (en hertzios) de las oscilaciones del segundo piso?