vibraciones

[ ]Rocío Gabriela Medina Ochoa Matrícula: 257157

2013UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIHUAHUA

Facultad de Ingeniería

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ResumenEl estudio de las vibraciones ha sido de gran interés en la ingeniería incluyendo diversas áreas de aplicación, de tal manera que existe un conjunto de publicaciones de investigaciones aplicadas al tema.

Las vibraciones mecánicas refieren a la oscilación de un cuerpo o sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Una vibración es un movimiento oscilatorio. Algunas vibraciones son deseables, como la vibración de un instrumento música. Sin embargo, en muchas aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones debido a que pueden ocasionar fallas en el equipo o estructura que en algunos casos podrían producir su colapso.

Sólo se considerarán las vibraciones con un solo grado de libertad, donde configuración de cada sistema se especifica con una sola variable o un ángulo en el movimiento pendular.

Gran parte de los sistemas vibratorios reales tienen un solo grado de libertad o se pueden modelar con un sistema de un solo grado de libertad en circunstancias particulares. Se analizarán conceptos fundamentales como la amplitud, resonancia, frecuencia, el amortiguamiento y el periodo, que son utilizados en análisis de sistemas con múltiples grados de libertad.

(i) (ii) Bedford Mecánica para ingeniería mecánica pág. 487 (iii) Bedford Mecánica para ingeniería mecánica pág. 489(iv) Bedford, Mecánica para ingeniería mecánica pág. 500 (v) Bedford Mecánica para ingeniería mecánica pág. 509 (vi) (vi) Bedford Mecánica para ingeniería mecánica pág. 510

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Sistemas conservativos

En un sistema vibratorio de un solo grado de libertad, una sola coordenada que mida el desplazamiento de la masa respecto a un punto de referencia es suficiente para especificar la posición del sistema.

Un oscilador resorte-masa como el de la figura (1) es un sencillo ejemplo de un sistema vibratorio de un solo grado de libertad.Estando el resorte en reposo, sin considerarse la fricción, aplicando la Segunda ley de Newton tenemos que:

Si la única fuerza que efectúa el trabajo es la masa, es decir, la fuerza ejercida por el resorte es conservativa, lo que implica que la suma de las energías cinética y potencial es

constante:Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo se tiene:

Suponiendo que la masa está suspendida del resorte y que está sometida a movimiento vertical, si el resorte no está estirado en x se puede confirmar que la ecuación del movimiento es:


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Si la masa suspendida está en reposo, la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte debe sir igual al peso, kx mg, o lo que la posición de equilibrio es x mg/k (también se puede determinar la posición de equilibrio haciendo igual a la aceleración en la ecuación de movimiento)Escribiendo la ecuación en términos de una variable que indique la posición:

Lo cual demuestra que el movimiento vertical de la masa está descrito por la misma ecuación del movimiento horizontal.

Otro sistema diferente de un grado de libertad es el movimiento de un péndulo. Tiene un solo grado de libertad ya que el ángulo especifica el movimiento respecto a A, como se muestra en la figura:

La energía cinética de la barra es T = ½ IA (dθ/dt)². Colocando el plano de referencia en A, la energía potencial al peso de la barra es V= -MG(1/2Cosθ) por lo que:

Derivando respecto al tiempo resulta:

Expresando sen θ en serie de Taylor (i) y suponemos que θ permanece bastante pequeña para sustituir sen θ por θ, entonces la ecuación es idéntica a

Resolviendo las ecuaciones de anteriores (sistema de péndulo y resorte masa) con ω²=k/m y ω²=3g/2l) por medio de las ecuaciones diferenciales ordinarias la ecuación general es:


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Donde A y B son constantes arbitrarias. Re expresando la ecuación anterior con el uso de identidades:Donde ϕ y ω son constantes arbitrarias

Si se grafica la ecuación anterior se observan las oscilaciones resultantes conocida como movimiento armónico simple. Donde la constante ϕ es la posición horizontal de la función sinodal respecto al origen ωt = 0, llamado fase. La constante E es la amplitud de la vibración.

Podemos interpretar la ecuación anterior como el movimiento uniforme de unpunto a lo largo de una trayectoria circular (ii). Dibujamos un círculo cuyoradio es igual a la amplitud y suponemos que la línea de a P gira en dirección anti horaria con velocidad angular constante w. Si escogemos la posición de P en t O como se indica, la proyección dela línea sobre el eje vertical es sen(ωt – cf).

El periodo y la frecuencia natural son:


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Al vibrar el sistema su energía total oscila entre energía cinética y energía potencial (iii). La energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia natural.

Vibraciones Amortiguadas

Si se desplaza la masa de un oscilador resorte-masa y se libera, éste se irá frenando y finalmentese detendrá debido a la fricción o a los mecanismos de amortiguamientoque actúan sobre el sistema. Estos mecanismos atenúan la vibración.A continuación se presenta un método sencillo para modelar el amortiguamiento en sistemas vibratorios.El oscilador resorte-masa de la tiene un elemento amortiguador,La fuerza requerida para alargar o acortarun elemento amortiguador se define como el producto de una constante, llamada constante de amortiguamiento, y la razón de cambio de su longitudLa ecuación del movimiento de la masa es:

Definiendo ω=√ (k/m) y d=c/ (2m) la ecuación se reescribe como:


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La ecuación anterior describe las vibraciones de muchos sistemas amortiguados de un grado de libertad. La forma de su solución, y el carácter del comportamiento predicho del sistema, depende de si es menor, igual o mayor que ω.

Amortiguamiento subcrítico

Si d ˂ ω el sistema es subcríticamente amortiguado. Suponiendo una solución de la forma

La solución general a la ecuación anterior (iv) queda expresada en la forma:

Donde A YB son constantes. La función exponencial ocasiona el efecto de amortiguamiento: la amplitud de la vibración se atenúa con el tiempo. El coeficiente d determina la razón con que disminuye la amplitud.

El amortiguamiento tiene un efecto importante además de la atenuación. El periodo y la frecuencia natural del sistema amortiguado son:

Amortiguamientos críticos y supercríticosCuando d ˃ ω se dice que el sistema está supercríticamente amortiguado. Sustituimos la solución de la forma

La solución de la ecuación general estará dada por:

Donde C y D son constantes.


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Las ecuación general anterior indica que el movimiento del sistema no es oscilatorio cuando d ≥ ω. La condición d = ω define la cantidad mínima de amortiguamiento necesario para evitar un comportamiento oscilatorio, siendo un caso críticamente amortiguado.

A continuación se muestra el efecto de cantidades crecientes de amortiguamiento en el

VIBRACIONES FORZADASEste término refiere a las fuerzas externes que afectan las vibraciones de un sistemaPor ejemplo, durante un sismo, un edificio sufre vibraciones forzadas inducidas por fuerzas oscilatorias ejercidas en su cimentación. Cuando el sismo pasa, el edificio vibra libremente hasta que su movimiento cesa por amortiguamiento.

El oscilador amortiguado resorte-masa de figura siguiente se somete a una fuerza horizontal F (t) dependiente del tiempo. Su ecuación de movimiento, definiendo d = c/2m y a (t) = F (t)/m se tiene la ecuación

Donde a (t) es la función de excitación. La ecuación anterior describe a muchos sistemas amortiguados de un solo grado de libertad.


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Función de excitación oscilatoria

Si las ruedas de un auto están desbalanceadas, ejercen fuerzas oscilatorias que causan vibraciones perceptibles. Casi cualquier tipo de función de excitación se puede representar como una suma de funciones oscilatorias de excitación con diferentes frecuencias o un espectro continuo de frecuencias.podemos determinar su respuesta en función de la frecuencia de la fuerza de un sistema del movimiento de un sistema vibratorio sometido a una función oscilatoria de excitación.

Suponiendo que la función de excitación es una función oscilatoria de la forma:

donde ao, bo y la frecuencia circular ωo de la función de excitación son constantes dadas.

La amplitud de la solución particular (v) será: La solución particular para el movimiento de un sistema vibratorio amortiguado sometido a una fuerza oscilatoria externa también se llama solución de estado permanente (vi).La frecuencia a la que la amplitud de la solución particular es máxima se llama frecuencia de resonancia.

El fenómeno de resonancia es común en la vida diaria. Por ejemplo, cuando la rueda de un auto está desbalanceada, se perciben las vibraciones resultantes cuando el auto se mueve a cierta velocidad. A tal velocidad, las ruedas giran a la frecuencia de resonancia de la suspensión del auto. La resonancia es de importancia práctica en muchas aplicaciones, ya que fuerzas oscilatorias relativamente pequeñas pueden ocasionar grandes amplitudes de vibración que generan daños o interfieren con el funcionamiento de un sistema.


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ConclusiónCon el desarrollo de las ecuaciones anteriores en relación a las vibraciones, es posible determinar gráficamente el comportamiento de gran número de objetos que sean sometidos a ciertas vibraciones. La amplitud, la resonancia, la frecuencia, el amortiguamiento y el periodo, que son análisis de sistemas con múltiples grados de libertad en comparación con parámetros de seguridad pueden darnos una idea muy cercana a las consecuencias que las vibraciones tendrán en el objeto analizado.

En la ingeniería es muy común que las vibraciones sean un punto indeseable, pues las oscilaciones consecuentes son capaces de presentar un mal comportamiento en las estructuras de cualquier tipo llegando incluso a propiciar la falla o colapso de la estructura, tal como pasó con el puente colgante de Tacoma Narrows, donde la frecuencia del puente y de los torbellinos de viento o vórtices (creados al impactar el viento con el puente) llegaron a tener la misma frecuencia natural del puente (o resonancia) generando enormes ondulaciones que provocaron el colapso del puente.

Es por ello que el estudio de las vibraciones en es de gran importancia para cualquier ingeniería, pues al entender el comportamiento de las vibraciones es posible reducir su impacto cuando no son deseadas.


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Referencias Bedford, Anthony/Fowler Wallace. Dinámica: Mecánica para ingenieros (The

University of Texas, Austin). Pearson Education (1996). Tacoma Narrows Bridge Collapse. Stillman Fires Collection

http://archive.org


http://archive.org/

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