VIBRACIONES LIBRES

VIBRACIONES LIBRES

INTRODUCCINAl haber analizado los diferentes tipos de movimiento en la Dinmica nos vamos a encontrar con el llamado MOVIMIENTO VIBRATORIO el cual es uno de los ms importantes para el Ingeniero Civil.Por eso es de gran inters el anlisis del movimiento vibratorio de partculas o de slidos rgidos que permiten solucionar una serie de problemas que se presentan tales como la respuesta de una estructura sometida a la accin del viento, de sismos o de ondas explosivas; las vibraciones que produce un motor en un edificio, las vibraciones que se producen por efecto del viento en las construcciones, las producidas en los puentes por cargas cclicas, etc.Una vibracin mecnica es la oscilacin repetida de un punto material o de un cuerpo rgido en torno una posicin de equilibrio. Las vibraciones que se producen en las estructuras a causa de terremotos o de la circulacin de vehculos prximos pueden daar e incluso destruir la estructura, por lo cual es misin del ingeniero eliminar o al menos reducir en todo lo posible el efecto de la vibracin mecnica mediante un proyecto adecuado.Cuando aplicamos una fuerza adicional, se desplaza un punto material o un cuerpo rgido que estaba en equilibrio estable entonces aparece una vibracin mecnica.Ejemplos:

Oscilacin circularOscilacin verticalOscilacin horizontal

La caracterstica comn que encontramos en estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras las cuales lo hacen volver a su posicin de equilibrio. Cuando el cuerpo alcanza su posicin de equilibrio tiene velocidad no nula y sobrepasa dicha posicin y as el movimiento se repite varias veces pasando en uno y otro sentido por su posicin de equilibrio.Las oscilaciones que se repiten uniformemente se llaman peridicas y las que no se repiten uniformemente se denominan aperidicas o aleatorias.

CONCEPTOS BSICOS VIBRACIN.Se denomina vibracin a la propagacin de ondas elsticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo. Afecta a materiales slidos, lquidos y gaseosos. La vibracin es la causa de generacin de todo tipo de ondas. Toda fuerza que se aplique sobre un objeto genera perturbacin.Es un trmino usado para describir movimientos oscilatorios de un cuerpo o un sistema de cuerpos. Las vibraciones se refieren a la oscilacin de un cuerpo o un sistema mecnico alrededor de su posicin de equilibrio. Los desplazamientos producidos generan en el sistema, fuerzas de tipo elstico que tienen a llevarlo a su posicin de equilibrio. Al cesar las fuerzas perturbadoras, las fuerzas elsticas aceleran el sistema hacia su posicin de equilibrio; al cual llegan con una velocidad determinada que hace sobrepase esta posicin.De esta manera se genera un movimiento vibratorio o un movimiento oscilatorio; que puede disminuir o mantenerse, segn se presente o no fuerzas de resistencias.Ej. : Los movimientos oscilatorios del terreno generados por un sismo ocasionan vibraciones en los edificios.

POSICIN DE EQUILIBRIOF (t) En la figura se muestra la accin de una fuerza perturbadora (F(t)),sobre un sistema .

Una fuerza ssmica ocasiona el movimiento de la estructura.OSCILACIN.Movimiento externo de los cuerpos de gran magnitud. En las oscilaciones hay conversin de energas cintica en potencial gravitatoria y viceversa. Movimientos que generan pequeas frecuencias.

DIFERENCIAS ENTRE VIBRACIN Y OSCILACIN

OSCILACINVIBRACIN

-Movimiento externo de los cuerpos de gran magnitud.-En las oscilaciones hay conversin de energas cintica en potencial gravitatoria y viceversa.-Movimientos que generan pequeas frecuencias.

Oscilacin horizontal-Movimiento interno de los cuerpos de menor magnitud.-En las vibraciones hay intercambio entre energa cintica y energa potencial elstica. Debida a la pequeez relativa de las deformaciones locales respecto a los desplazamientos del cuerpo.-Adems las vibraciones al ser de movimientos peridicos de mayor frecuencia. Generan ondas sonoras lo cual constituye un proceso disipativo que consume energa.

VIBRACIN LIBRE. Las vibraciones libre tambin llamadas vibraciones laterales o vibraciones propias; las originan y mantiene fuerzas tales como las fuerzas elsticas o las gravitatorias, las cuales solo dependen de la posicin y movimiento del cuerpo.En las vibraciones libres no existen fuerzas externas que muevan el sistema.Las vibraciones libres son causadas por fuerzas perturbadoras o fuerzas de excitacin instantnea, que crean en el sistema un desplazamiento con respecto a su posicin de equilibrio.

VIBRACIN FORZADA.Las vibraciones forzadas las originan y mantiene fuerzas peridicas aplicadas exteriormente, fuerzas que no dependen de la posicin y del movimiento del cuerpo. PERIODO ().Es el tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento. Al movimiento que se completa durante un periodo se le denomina ciclo. El periodo se expresa en segundos por ciclo o simplemente en segundos. CICLO.Movimiento que se completa durante un periodo. FRECUENCIA .Es la inversa del periodo o sea es el nmero de ciclos por unidad de tiempo. La unidad de la frecuencia, el ciclo por segundo (cps) recibe tambin el nombre de Hertz (Hz).

AMPLITUD(A).La amplitud de una oscilacin, es el desplazamiento mximo que sufre el cuerpo respecto a su posicin de equilibrio.

ELONGACIN ().Es el desplazamiento en cualquier punto que sufre el cuerpo respecto a su posicin de equilibrio. Para entender mejor estos conceptos veremos el grafico siguiente:

CONSTANTE DE ELASTICIDAD DE RESORTE (K).Necesaria para alargar o comprimir el resorte una unidad de longitud (En el S.I. Newton/metro). POSICIN DE EQUILIBRIO. Es la posicin en la cual un cuerpo se encuentra en equilibrio esttico. POSICIONES EXTREMAS.Son las posiciones alejadas de la posicin de equilibrio en donde las velocidades son cero. MOVIMIENTOS PERIDICOS. Son movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales. MOVIMIENTO ARMNICO. Es la forma ms simple de movimiento peridico y se representa mediante una funcin seno o coseno.

FUERZAS QUE INTERVIENEN EN UN SISTEMA VIBRATORIOLas fuerzas que actan sobre la masa comprenden las tres clases generales:1. LA FUERZA EXCITADORA (t). Fuerza aplicada extremadamente que ocasiona el movimiento del sistema.2. FUERZA RESTAURADORA (s). Fuerza que ejerce el resorte sobre la masa en su posicin original.3. FUERZA AMORTIGUADORA (d). La fuerza siempre acta en direccin tal que se opone al movimiento del sistema y ocasiona la disipacin de energa.4. FUERZA DE INERCIA. dada por la masa.

Haciendo sumatoria de fuerzas:

Toda esta sumatoria de fuerzas es igual a la masa por la aceleracin. Entonces la ecuacin se puede escribir como:

ECUACIN GENERAL DIFERENCIAL DEL PROBLEMA DE LA VIBRACIN

A partir del anlisis de las fuerzas que intervienen en un movimiento vibratorio se Podr deducir la Ecuacin general del movimiento vibratorio es:

Consideraremos un sistema en el que exista una fuerza restauradora lineal, una fuerza amortiguada viscosa y una fuerza excitadora sinusoidal:

Sustituyendo estos trminos en la ecuacin de movimiento dada se tendr:

Haciendo un cambio de variable: = Frecuencia circular natural c es una constante

Dividimos la ecuacin entre m, luego reemplazamos:

TIPOS DE VIBRACIONESSe establece los siguientes tipos de vibraciones segn las fuerzas que actan.

No amortiguadasAmortiguadasVibraciones forzadasVibraciones libresVibraciones

AmortiguadasNo amortiguadas

VIBRACIONES LIBRESCuando la fuerza perturbadora o de excitacin F(t) son nulas ,entonces la ecuacin general diferencial de la vibracin quedara de la siguiente forma.

Describen las vibraciones y respuestas de la masa m cuando se suelta de su posicin que no sea de equilibrio, las vibraciones reciben el nombre de vibraciones libres.

1. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS.

Kx

A este tipo de vibraciones las originan y mantienen fuerzas tales como las fuerzas elsticas o las gravitatorias. Estas fuerzas solo dependen de la posicin y el movimiento del cuerpo.

Y se dice que es no amortiguada cuando fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora (rozamiento, resistencia del aire, amortiguamiento viscoso, etc.) sean despreciables. Las vibraciones libres no amortiguadas se repiten as mismas indefinidamente mientras que las vibraciones libres amortiguadas llegaran a desaparecer.En este caso la masa vibra sin prdida de energa y la ecuacin diferencial de movimiento ser:

ANLISIS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN: Fuerzas de Inercia: la gravedad Fuerza Restauradora (kx): Fuerza elstica del resorte

APLICANDO DINMICA DEL MOVIMIENTO.Aplicando la segunda ley de Newton Podemos describir la ecuacin diferencial del movimiento horizontal de la masa.

Tenemos la ecuacin diferencial del movimiento del bloque: O sea La ecuacin obtenida es la ecuacin diferencial del movimiento armnico simple. Donde indica que la aceleracin del bloque es proporcional a su desplazamiento respecto a la posicin de equilibrio y est dirigida hacia la posicin de equilibrio.

Dividimos entre la masa m

Cambio de variable: Donde: : Frecuencia circular natural o pulsacin propia.

Ecuacin diferencial lineal ordinaria homognea

La integral general de la ecuacin diferencial lineal ordinaria homognea es:..1Donde B y C son contantes de integracin que hay que determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. .SOLUCIONES ALTERNATIVASOtra forma tambin de escribir la solucin tambin sera:

.2

..3 Para comprobar que las ecuaciones (1) y (2) son iguales Desarrollamos la ecuacin (2)

Ahora como las ecuaciones (1) y (2) tienen que ser iguales:

Esta ecuacin se cumple:Si , y , entonces

O Si , y , entonces

Por lo tanto las ecuaciones (1) y (2) sern iguales si Donde : Es el ngulo de fase; que es la cantidad en que debe desplazarse la solucin para lograr una simple funcin seno o coseno.

La velocidad y la aceleracin el bloque se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuacin (1, 2 y 3) Velocidad.

Aceleracin.

Frecuencia natural .Se denomina frecuencia angular de la partcula oscilante.

Periodo de oscilacin.Como la curva coseno (*) y la curva seno (**) se repiten cada vez que el ngulo aumenta radianes entonces el periodo de oscilacin vendr dado por:

Una frecuencia de oscilaciones de equivale a una frecuencia natural de Frecuencia.

2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADASEl anlisis de las vibraciones libres no amortiguadas hecho anteriormente solo es una idealizacin de sistemas reales, ya que no tiene en cuenta las prdidas de energa en los rozamientos. Una vez en movimiento, esos sistemas idealizados vibraran indefinidamente con amplitud constante. Sin embargo, los sistemas reales pierden energa en los rozamientos y llegan a pararse a menos que exista una fuente de energa que los mantenga en marcha. Cuando la energa que pierda el sistema sea pequea, los resultados sern a menudo de acuerdo con los sistemas ideales, al menos durante intervalos de tiempo cortos. Para intervalos de tiempo ms prolongados y cuando las prdidas de energa no sean pequeas, habr que incluir los efectos de las fuerzas de rozamiento.Existen varios tipos de fuerzas de rozamiento que pueden robar energa mecnica de un sistema en vibracin .Entre las fuerzas de rozamiento ms comunes, podemos citar: el rozamiento fluido (tambin llamado fuerza de amortiguamiento viscoso), que aparece cuando los cuerpos se mueven a travs de fluidos viscosos; el rozamiento seco(tambin llamado rozamiento de coulomb), que aparece cuando un cuerpo se desliza a travs de una superficie seca, y el rozamiento interno, que aparece cuando se deforma un cuerpo slido.2.1. AMORTIGUADOR VISCOSO LINEALEl amortiguamiento viscoso tiene lugar de manera natural cuando sistemas mecnicos tales como un pndulo oscilan en el aire o en el agua. Tambin presentan amortiguamiento viscoso los amortiguadores del tipo representado simblicamente en la figura, que se aaden a propsito a los sistemas mecnicos para limitar o regular la vibracin. Consiste este tipo de amortiguador en un embolo que se mueve en el interior de un cilindro lleno de un fluido viscoso.

Los amortiguadores viscosos que vamos a considerar son lineales, es decir, el mdulo de la fuerza de amortiguamiento viscoso es directamente proporcional a la celeridad con que se extiende o comprime el amortiguador.

La constante de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento viscoso .su unidad en el sistema SI es el y en el sistema ingles es la .el sentido de la fuerza de amortiguamiento viscoso siempre es opuesto a la velocidad.ANLISIS DE FUERZAS QUE INTERVIENEN: Fuerzas de Inercia: la gravedad Fuerza Restauradora (kx): Fuerza elstica del resorte Fuerza Amortiguadora (c):

Luego la ecuacin del movimiento de la masa es:

Dividiendo (1) entre la masa se tiene:

Luego definimos: , ; realizamos el cambio de variable en (2) y tenemos: ,

Donde Esta ecuacin describe las variaciones de muchos sistemas amortiguados de un grado de libertad. La forma de solucin, y en consecuencia el carcter del comportamiento predicho del sistema depende de si n es menor, igual o mayor que. Segn estos se ven los siguientes casos: Amortiguamiento sobre amortiguado Amortiguamiento crticamente amortiguado Amortiguamiento subamortiguado.Retomando la ecuacin general para una vibracin libre amortiguada, se tiene:

Esta es una ecuacin lineal homognea de segundo orden, de coeficientes constantes.Estas ecuaciones tienen importantes propiedades, tales como:

Si x1(t) es solucin de (3), C1x1 (t) tambin lo ser. Si x1(t) y x2(t) son soluciones, x1(t) + x2(t) tambin lo ser (principio de superposicin) Si x1(t) y x2(t) son soluciones linealmente independientes, la integral general de la ecuacin vendr dada por C1x1 (t) + C2x2 (t). (La integral contiene 2 constantes arbitrarias).

Las funciones x1(t) y x2(t) son linealmente independientes si y solo si la igualdad:x1(t) + x2(t) 0 (4)

Se satisface nicamente cuando = = 0.Cuando se cumpla (4), siendo y distintos de cero, diremos que x1(t) y x2(t) son linealmente dependientes.La condicin general (es decir, la condicin necesaria y suficiente) para que un conjunto de funciones x1, x2, x3,, xn sean linealmente dependientes es que el determinante wronskiano de las mismas sea idnticamente nulo

(5)

Donde x(n) es la n-sima derivada de x respecto de tLa teora de ecuaciones diferenciales ordinarias nos dice que la solucin de toda ecuacin diferencial ordinaria con coeficientes constantes tiene siempre la forma:

Entonces estas ecuaciones de la forma (3), pueden reducirse mediante la sustitucin

Entonces: Sustituyendo (6) y (7) en (3); donde (3):

Se tiene: , dividindolo entre tenemos:

A la ecuacin (8) es una ecuacin algebraica que recibe el nombre de ecuacin caracterstica de segundo grado en , cuya solucin es:

Donde:

CASOS PARTICULARES DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS.

i. CASO SOBRE AMORTIGUADO O SUPERCRTICO

En estas condiciones es evidente que no habrn oscilaciones, y la partcula regresar a la posicin de equilibrio sin rebasarla o rebasndola una vez a lo sumo.Para unas condiciones iniciales dadas (xo,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento ms tiempo emplear el sistema en quedar en reposo en la posicin de equilibrio.

En este caso particular se va a cumplir en la ecuacin caracterstica que: Si la raz cuadrada es un nmero real. No obstante, debido a que tenemos un nmero negativo n fuera del radical y el valor de la raz es menor que n se deduce que 1 y 2 sern nmeros negativos.Donde 1 y 2 sern nmeros reales negativos. El movimiento no es una vibracin, sino que Y decrece con el tiempo y tiende a cero cuando t . Este tipo movimiento frecuentemente se llama movimiento aperidico y podra burdamente caracterizarse por un amortiguador para el cierre de una puerta.En este caso las races dadas por la ecuacin caracterstica son ambas reales y negativas pues .La solucin general para este caso:

Entonces reemplazando

Donde C1 y C2 son constantes que se determinan de las condiciones inciales.

ii. CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO Para el caso crticamente amortiguado se cumple h = 0 Entonces la ecuacin , tiene una raz repetida,

En este caso podr comprobarse por sustitucin directa que , es tambin solucin y como , y, son linealmente independientes (ya que el determinante wronskiano de no se anula), la solucin general de la ecuacin (8) para el caso crticamente amortiguado vendr dada por:

Donde C1 y C2 son constantes que se determinan de las condiciones iniciales en

Las ecuaciones indican que el movimiento del sistema no es oscilatorio cuando n. Ellas estn expresadas en trminos de funciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condicin n = define la cantidad mnima de amortiguamiento necesaria evitar un comportamiento oscilatorio debido a lo cual se le llama caso crticamente amortiguado.El concepto de amortiguamiento crtico tiene importantes implicaciones en el diseo de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortiguamiento en la suspensin de un auto para que su movimiento no sea oscilatorio, aunque demasiado amortiguamiento hara muy rgida la suspensin.

= Donde: En este caso es decir son soluciones reales e iguales. Entonces Por lo tanto reemplazamos en la ecuacin:

iii. CASO SUB AMORTIGUADO O SUBCRTICO Cuando la fuerza disipativa es pequea en comparacin con la fuerza de restitucin, el carcter oscilatorio del movimiento se conserva pero la amplitud de la vibracin disminuye con el tiempo y, finalmente el movimiento cesar. Este sistema se conoce como osciladorsubamortiguado. En el movimiento con una constante de resorte y una partcula masiva dadas, las oscilaciones se amortiguan con ms rapidez a medida que el valor mximo de la fuerza disipativa tiende al valor mximo de la fuerza de restitucin.

Donde: En este caso es decir son soluciones complejas y conjugadas.Puede interpretarse como que el trmino en que interviene el amortiguamiento es de menor significacin en relacin con n; la influencia del amortiguamiento tiene a desaparecer cuando y el movimiento se aproxima a las vibraciones libres no amortiguadas.Se define Cantidad que se denomina pseudopulsacin.Entonces

=; donde i es la unidad imaginaria.Las races pueden escribirse entonces como:

Y la solucin puede escribirse como la combinacin lineal de las soluciones particulares:

Hacemos :

. Primera solucin

Hacemos y

.. Segunda solucinPor tanto la solucin general de este caso es:

Tambin podemos considerar:

Dnde, es el ngulo de fase y A, B, C constantes a determinar.

NOTA: las constantes A, B, C se determinaran de las condiciones iniciales del problema.

EJEMPLOS DE VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS1. Un carrito que pesa est unido a tres resortes y rueda sobre un plano inclinado, segn como se indica en la figura. Las constantes de los resortes son . Si se desplaza el carrito hacia arriba del plano inclinado una distancia de a partir de su poscicion de equlibrio y se suelta con una velocidad inicial de hacia la parte superior del plano cuando , determinar a) El periodo , la frecuencia y la pulsacin de la vibracin resultante.b) La posicin del carrito en funcin del tiempo.c) La amplitud de la vibracin resultante.

Solucin.a. Primero trazamos el diagrama de cuerpo libre del carrito, en cual la coordenada mide la posicin del carrito a lo largo del plano inclinado, siendo para la posicin de equilibrio. En esta posicin (antes de haber perturbado al carrito), las fuerzas de los resortes son proporcionales a sus deformaciones

, y

Ahora aplicando la ecuacin de equilibrio tenemos

Como no sabemos cunto se han alargado o comprimido los resortes antes de unirlos al carrito, no es posible determinar el valor de dichas deformaciones estticas, pero nos podemos dar cuenta que la ecuacin (1) nos da una relacin entre las deformaciones estticas y el peso del carrito.

Cuando el carrito se encuentre en una posicin arbitraria (positiva) estar reducido el alargamiento de los resortes 1 y 2 y y se abra aumentado el alargamiento del resorte 3 . Por lo tanto aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

Ahora bien la cantidad que est en el parntesis primero es cero por la ecuacin (1), entonces la ecuacin diferencial (2) se reduce a:

Luego hallamos Respuesta.La pulsacin propia

Respuesta.La frecuencia propia

Respuesta.El periodo

b. El desplazamiento y la velocidad del carrito se puede escribir de la forma

Pero aplicando las condiciones iniciales que nos dan encontramos las constantes B y C, en

Por lo tanto, y y ser

Respuesta.

De otra manera, la posicin y la velocidad del carrito se podra escribir de la forma

Y aplicando las condiciones iniciales

y , se tiene

y

Por tanto, la ecuacin que describe la posicin del carrito ser

Otra forma tambin seria

Aplicando las condiciones iniciales

y ,

Se tiene y

Por tanto, la ecuacin que describe la posicin del carrito ser

La solucin descrita por estas dos ecuaciones es la misma que representamos aqu en la figura.

c. Respuesta.Como el valor mximo de la funcin coseno es 1, la amplitud de la vibracin es

2. La plataforma P de kg mostrada descansa sobre cuatro rodillos. stos se pueden representar como cilindros homogneos de kg con r mm de radio; k=bN/m. Cul es la frecuencia natural de las vibraciones horizontales de la plataforma respecto a su posicin de equilibrio?

DESARROLLOLa energa cintica es la suma de la energa cintica de la plataforma P y de los cilindros homogneos.

La energa potencial es la energa almacenada en el resorte:

Sabemos que:yDado que es sistema es conservativo, T+V=const. Sustituimos en la relacin de la energa cintica y se reduce:

Derivamos con respecto al tiempo:

Hay dos posibles soluciones:

Dividimos entre :

Pero R=r mm=0.001(r)m

La primera puede ser ignorada, a partir de la cual la ecuacin del movimiento es:

Para un cilindro homogneo:

Entonces:

Simplificamos y :

La frecuencia es:

EJEMPLOS DE VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS1. Un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamientos, segn se indica en la figura. Determinar el coeficiente de amortiguamiento c del amortiguador nico que podra sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibracin del bloque.

SOLUCIN:

y estn en serie

Pero como estn en serie significa que la fuerza es la misma para cada resorte; esto es:

2. Una masa de 2 kg pende, en un plano vertical, de dos resortes y un amortiguador, segn se indica en la figura. Si se desplaza la masa 5 mm por debajo de su posicin de equilibrio y se suelta dndole una velocidad hacia arriba de 250 mm/s cuando t = 0, determinar:a) La ecuacin diferencial que rige el movimiento.b) El periodo de la vibracin resultante.C) La posicin de la masa en funcin del tiempo.d) El primer instante t1>0 en que la masa pasa por su posicin de equilibrio.

SOLUCIN:Como sabemos que :

(a)

(b)

(c)Resolviendo la ecuacin diferencial de la parte (a), se tiene:

Usando las condiciones iniciales:

(d)

Hacemos ; entonces tenemos:

3. Los dos boques de la figura penden, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que esta horizontal en la posicin de equilibrio. Si a = 15 cm y se suponen oscilaciones de pequea amplitud, determinar:a) El tipo de movimiento (subamortiguado, sobreamortiguado o con amortiguamiento critico). b) La frecuencia y periodo del movimiento (si procede).c) El valor de a que da amortiguamiento crtico.

SOLUCIN:

Reemplazando valores para tenemos:

(a)Resolviendo la ecuacin del movimiento, se tiene:

De aqu se observa que el radical es mayor que el cero; entonces:

Tipo de movimiento: sobreamortiguado.

(b)

Como entonces:

No hay frecuencia o periodo

(c)

Para que el amortiguamiento sea crtico debe cumplirse

De la ecuacin diferencial: Se tiene:

Tambin:

Como entonces:

4.Un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamientos, segn se indica en la figura. Determinar el coeficiente de amortiguamiento c del amortiguador nico que podra sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibracin del bloque.

SOLUCIN:

yestn en paralelo

Pero como estn en paralelo significa que la velocidad es la misma para cada resorte; esto es:Entonces:

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