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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Un sistema masa – resorte - amortiguador está formado por:

• Una masa, en donde se concentra toda la masa e inercia del sistema (energía cinética)

• Un resorte, donde se concentra toda la rigidez / flexibilidad del sistema (energía potencial elástica)

• Un amortiguador viscoso lineal, donde se concentran todas las fuentes de disipación de energía del sistema (energía de disipación)

mk

c

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

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Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

( ) ( ) ( ) ( )tttt fkxxcxm =++ &&&

( ) 00 x==tx

( ) 00 v==tx&Condiciones iniciales:

Ecuación diferencial, ordinaria, de 2do

orden, lineal, no-homogénea

Ecuación de movimiento (i): NewtonI. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

. . . Longitud indeformada del resorteg

x(t)m

kc

f(t)

p.e.e.

Loδs . . . Deformada estática del resorte ( kδs = mg )

f(t)

xc&

mg

N m

)( sxk δ+

x& x&&

p.e.e. . . . Posición de equilibrio estático

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Euro Casanova, 2006

Ecuación de movimiento (ii): LagrangeI. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. BibliografíaEnergía Cinética

Energía Potencial

Función de Disipación

Fuerza Generalizada

221 xcD &=

221 )()( xkxmgU ss +++−= δδ

221 xmT &=

)(tx fQ =

. . . Longitud indeformada del resorteg

x(t)

m

kc

f(t)

Loδs . . . Deformada estática del resorte ( kδs = mg )

p.e.e.

x& x&&

p.e.e. = Posición de equilibrio estático

xD

xU

xT

xT

tQx

&& ∂∂+

∂∂+

∂∂−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂=

( ) ( ) ( ) ( )tttt fkxxcxm =++ &&& ( ) 00 x==tx

( ) 00 v==tx&Condiciones iniciales:

Ecuación diferencial, ordinaria, de 2do

orden, lineal, no-homogénea

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Euro Casanova, 2006

La ecuación de movimiento se expresa:

Definiendo:

• Frecuencia natural del sistema:

• Factor de amortiguación:

( ) ( ) ( )( )

mf

xxx ttntnt =++ 22 ωζω &&&

mk

n =ω

02

≥=nm

cω

ζ[adimensional]

[r/s]

Ecuación de movimiento (iii)I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

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Euro Casanova, 2006

( ) ( ) ( ) 02 2 =++ tntnt xxx ωζω &&&

( )t

t Aex λ=

02 22 =++ nn ωλζωλ

dn iωζωλζ ±−=⇒<≤ 10

Sol. propuesta:

Ecuación característica:

Valores de λ en función de ζ:

• Sist. sub-amortiguado (oscila)

• Sist. críticamente-amortiguado (no oscila)

• Sistema sobre-amortiguado (no oscila)

21 ζωω −= ndFrecuencia natural

amortiguada

Ecuación de movimiento:

Respuesta Libre (i)

12 −±−= ζωζωλ nn

11 2 −±−=⇒> ζωζωλζ nn

nωλζ −=⇒=1

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

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Euro Casanova, 2006

( ) ( ) ( )[ ]tSenAtCosAex ddt

tn ωωζω

21 += −

Solución:

Dependen de las condiciones iniciales

0 4 8 12 16 20 24 28-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiem po [s]

x(t)[m]

Respuesta Libre (ii)

dn iωζωλ ±−=I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía( ) 00 xx t ==

( ) 00 vx t ==&

p.e.e. x(t)

mk

c

01 xA =

d

nxvAωζω 00

2+

=