vectors i operacions amb vectors

VectorsOperacions amb vectors

Propietats de les operacions amb vectorsEstructura euclidiana de Rn

Producte Vectorial. Producte Mixt

VectorsGrau en Enginyeria Telematica

Juan Gabriel Gomila

Grau en Enginyeria Telematica

Universitat de les Illes Balears

[email protected]

17 de septiembre de 2015

Juan Gabriel Gomila Tema 2 - Vectors




Index1 Vectors

DefinicionsVectors fixsVectors lliures

2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors

3 Propietats de les operacions amb vectors4 Estructura euclidiana de Rn

Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat de Cauchy-Schwarz

5 Producte Vectorial. Producte MixtProducte VectorialProducte Mixt






1 VectorsDefinicionsVectors fixsVectors lliures

2 Operacions amb vectorsSuma i resta de vectorslliuresProducte de vector perescalarCombinacio lineal devectors

3 Propietats de les operacionsamb vectors

4 Estructura euclidiana de Rn

Producte escalarNorma o longitudDistancia entre dos puntsAngle entre dos vectorsDesigualtat deCauchy-Schwarz

5 Producte Vectorial. ProducteMixt

Producte VectorialProducte Mixt






Vectors

Els vectors tenen un paper fonamental no nomes al mon de lesMatematiques, si no tambe en la Fısica, Enginyeria i altres campscientıfics.Ja coneixem d’anys precedents les nocions de vectors en el pla o enl’espai. Els vectors en general tenen dues vessants ıntimamentlligades: l’algebraica i la geometrica.Veurem en primer lloc els vectors des del punt de vista geometric.






Vectors

Sigui K un cos

Punt en la recta KDonats un origen i una unitat de longitud, cada punt de la recta vedefinit per un i nomes un escalar del cos K i viceversa.

Punt en el pla K2

Donats un origen, dos eixos (rectes) i una unitat de longitud, unpunt del pla es una parella (x , y) on x i y son dos elements del cosK.

Punt en l’espai K3

Donats un origen, tres eixos (rectes) i una unitat de longitud, unpunt del pla es una parella (x , y , z) on x , y i z son dos elementsdel cos K.






Vectors

Punts a Kn

Un punt a l’espai Rn es defineix com una n-epla de nombres

X = (x1, x2, · · · , xn)

on n es la dimensio de l’espai Kn.

Coordenades del punt

Les coordenades de X son els valors x1, x2, · · · , xn del punt X .






Vectors fixs

Les seguents definicions ens permeten veure els vectors des d’unaperspectiva geometrica.

Vector fix

Un vector fix es una parella de punts A i B, que indicarem com~AB. El punt A s’anomena origen i el punto B extrem.

Normalment els vectors en el pla o en l’espai de tres dimensions essolen representar mitjancant segments acabats en una punta defletxa en un dels seus extrems.






Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que seobtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadassituado en el origen del vector.






Components d’un vector fix ~AB

Vector fix

Les components d’un vector fix ~AB son els vectors que s’obtenenen projectarlo sobre els eixos d’un sistema de coordenades situatsobre l’origen del vector.

Figura: Criteri de colors. Rojo:+ Verde:-. Les components poden serpositives o negatives






Vectors fixs

Components d’un vector fix ~AB

Si A = (ax , ay ) i B = (bx , by ) aleshores les components del vector~AB s’obtenen restant les coordenades del punt extrem B al punt

origen A:~AB = (bx − ax , by − ay )

El valor absoluts de les components del vector coincideix amb lalongitud dels catets del triangle rectangle format i tal que el vectorsigui la seva hipotenusa.






Vectors fixs






Vectors fixs

Caracteritzacio d’un vector fix (I)

En el context geometric, les 3 caracterıstiques d’un vector fix son:

Origen: el punt d’aplicacio on comenca el vector

Modul: la longitud del segment

Direccio: la de la recta a la qual pertany

Sentit: el que determina la punta de la flecha del vector.






Vectors fixs

Caracteritzacio d’un vector fix (II)

Tambe queda completament determinat amb:

Les seves componets

El punt origen






Vectors fixs

Caracteritzacio d’un vector fix (III)

O fins i tot si coneixem:

Les coordenades del punt origen

Les coordenades del punt extrem






Vectors equivalents

Vectors equivalents

Dos vectors ~AB i ~CD son equivalents si tenen les mateixescomponents, es a dir:

(bx − ax , by − ay ) = (dx − cx , dy − cy )

Figura: ~AB i ~CD son equivalents tot i tenir diferents origens i extrems.

Geometricament, les longituds dels segments de la rectadeterminats per la parella de punts i els sentits d’ambdos vectorsson iguals.






Vectors equivalents

Exercici

Trobau un vector equivalent a ~AB on A = (1, 2) i B = (5, 4)

Sol: Punts qualssevol C i D tals que:

(dx − cx , dy − cy ) = (4, 2)






Vectors equivalents

Exercici

Trobau un vector equivalent a ~AB on A = (3, 4) i B = (7, 6) amborigen al punt A′ = (−1, 0).

Sol:B ′ = (3, 2)






Vectors lliures

Tots els vectors fixs equivalents entre sı tenen les mateixescomponents. En aquest sentit es pot establir una relaciod’equivalencia que identifica tots els vectors fixs equivalents i elsrepresenta per un unic representant de la classe d’equivalenciacorresponent, el vector lliure. Aquest representant defineix unconjunt infinit de vectors i els representa a tots ells.






Vectors lliures

Vectors lliures

El conjunt de tots els vectors fixs equivalents entre si s’anomenavector lliure. Un vector lliure no te un origen fix, si no que es potubicar a qualssevol punt de l’espai. Cada vector fix es unrepresentant del vector lliure.






Vectors lliures

Vectors fix en l’origen

Es de tos els representants del vector fix, aquell que te el seu puntorigen a l’origen de coordenades.

En aquest cas, les coordenades del punt extrem coincideixennumericament amb les components del vector, ja que el puntorigen es 0 = (0, 0).






Vectors lliures

Per tant, tot vector lliure te un representant situat a l’origen decoordenades on el punt extrem te les mateixes coordenades que lescomponents del vector. En aquest sentit podem dir:

Resultat

Existeix una correspondencia un a un entre els vectors lliures ipunts segons la qual cada punt P = (a, b) s’identifica amb unvector ~OP = (a, b).






Vectors lliures

Caracteritzacio d’un vector lliure (I)

Per caracteritzar un vector lliure necessitam modul, direccio isentit.

Caracteritzacio d’un vector lliure (II)

Tambe el podem caracteritzar coneixent-ne les components.

El modul, al igual que en els vectors fixs ve donat per la longituddel segment i la direccio i sentit venen definits per l’angle queforma el vector amb la direccio positiva de l’eix OX .






Vectors lliures

Exercici

Troba modul, direccio i sentit del vector de components (7,-5).

Sol: modul=√

74 i tanα = −57

Exercici

Donat el vector de modul 8 i que forma un angle de 135o amb l’eixOX , calcula les seves components

Sol:(8 cos 135, 8 sin 135)





Suma i resta de vectors lliuresProducte de vector per escalarCombinacio lineal de vectors













Suma de vectors lliures

Definicio

Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn), aleshores

~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2, · · · , un + vn)

Geometricament es el vector format per la diagonal delparalelogram que te als dos vectors sumands com a costats i origenel mateix que ambdos.






Suma de vectors lliures

Si s’han de sumar mes de dos vectors, resulta mes util la segonaconstruccio grafica. Basta col·locar cada origen dels vectorssumands sobre l’extrem del vector sumand precedent.






Resta de vectors lliures

Definicio

Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn), aleshores

~u − ~v = (u1 − v1, u2 − v2, · · · , un − vn)

Geometricament se realitza la suma entre el vector minuend il’oposat del substraend.






Resta de vectors lliures

Una petita observacio: en realitzar la resta ~u − ~v cercam un vector~w tal que si se li suma al substraend ha de donar el minuend:






Obtencio de les components d’un vector ~AB

Si tenim un vector ~AB obtingut a partir dels punts A i B idibuixam els vectors ~OA i ~OB

aleshores podem veure com ~AB, ~OA i ~OB formen un trianglevectorial i podem escriure les relacions

~OA + ~AB − ~OB = ~0⇒ ~AB = ~OB − ~OA







Exercici

Obteniu ~SR a partir de ~OR = (−1, 4) i ~OS = (−3,−2)

Exercici

Obteniu ~PR − ~PS a partir de ~OR = (−1, 4), ~OS = (−3,−2) i~OP = (3, 0).






Producte per escalar

Definicio

Sigui ~u = (u1, u2, · · · , un) ∈ Kn i sigui λ ∈ K aleshores

λ~u = (λu1, λu2, · · · , λun) ∈ Kn







En l’exemple anterior ~v = (4,−2) i 2~v = (8,−4). A mes, lalongitud de ~v = 2

√5u.l i la de 2~v = 4

√5, d’on observam que en

duplicar el vector, tambe duplicam el seu modul o longitud. Encanvi la direccio i sentit de ~2v coincideix amb la de ~v . Vegem queno sempre sera aixı.







El resultat de multiplicar un escalar λ 6= 0 per un vector ~v es unaltre vector ~u de la mateixa direccio que ~v , de sentit igual ocontrari segons si el signe de l’escalar es + o −, i de modul igual aλ vegades el de ~v

Figura: A la figura de la dreta, si el vector ~v = (1,−2) el multiplicam perl’escalar −2 obtindrem un altre vector ~u paralel a ~v i de components~u = (−2, 4).







Vectors paral·lels

Dos vectors ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn) sonparal·lels (o proporcionals) si existeix un valor λ 6= 0 tal que~u = λ~v .

Seran del mateix sentit si λ > 0 i de sentits oposats si λ < 0.







Exercici

Donats els punts A = (1, 2, 3),B = (0,−1, 2) i C = (−2,−7, 0), siD es el punt de coordenades (−1, x , 0) troba, si es possible, elvalor de x perque els vectors ~AB i ~CD siguin paral·lels. Raona elprocediment emprat.

Sol: el problema no te solucio.







Exercici

Donats els vectors ~u = (2, 3, 0) i ~v = (−3, 0, 1) troba el valor de kperque els vectors ~a i ~b siguin paral·les, on ~a = 2~u − ~v i~b = −3~u + k~v .

Sol: k = 32 .






Combinacio lineal

Combinacio lineal de vectors

Donats V = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} un conjunt de vectors de Kn iα1, α2, · · · , αk ∈ K es defineix la combinacio lineal dels vectors deV com el vector ~w :

~w = α1 ~v1 + α2 ~v2 + · · ·+ αk ~vk =k∑

i=1

αi ~vi

La combinacio lineal de vectors no es una opracio nova, si no quereuneix en un mateix lloc la suma de vectors i el producte perescalars. Per poder fer combinacions lineals de vectors, es necessarique tots ells tinguin el mateix nombre de components i el resultatsera un altre vector d’aquestes mateixes caracterıstiques.






Combinacio lineal

Exercici

Es el vector (2, 3) combinacio lineal de (3, 1) i (−6,−2)? Justificala teva resposta graficament.

Sol: no.





Propietats de les operacions amb vectors

En definir les operacions de suma i producte per un escalar conveprendre consciencia de les diferencies i similituds entre ambdues.

Llei de composicio interna

La suma de vectors s’anomena llei de composicio interna ja queopera entre elements d’un conjunt donat, Kn i el resultat es unaltre element d’aquest conjunt:

f :Kn ×Kn−→ Kn

(~u, ~v) 7→ ~u + ~v





Propietats de les operacions amb vectors

Llei de composicio externa

El producte d’un escalar per un vector te com a operands conjuntsdiferents: escalars per una banda i vectors per una altra. El resultatcau del costat dels vectors, i l’operacio s’anomena llei decomposicio externa:

f :K×Kn−→ Kn

(λ, ~v) 7→ λ~v





Propietats de la suma de vectors

Siguin ~u, ~v , ~w ∈ Kn i α, β ∈ K aleshores es compleix

Propietats

Llei associativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

Llei conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u

Element neutre de la suma: ~u +~0 = ~0 + ~u = ~u

Vector oposat: ~u + (−~u) = (−~u) + ~u = ~0





Propietats del producte de vectors per un escalar

Propietats

Llei distributiva del producte d’un escalar per la suma devectors: α(~u + ~v) = α~u + α~v

Llei distributiva del producte d’un vector per la sumad’escalars: (α + β)~u = α~u + β~u

Llei associativa del producte entre escalars i vectors:(αβ)~u = α(β~u) = β(α~u)

Element unitat: 1~u = ~u






Producte Escalar

El producte escalar es la tercera operacio basica entre vectors deRn.

Producte escalar

Siguin ~u = (u1, u2, · · · , un) i ~v = (v1, v2, · · · , vn) dos vectors deRn. Es defineix el producte escalar ~u · ~v com el nombre real

~u · ~v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

D’ell es deriven conceptes metrics com l’ortogonalitat, la norma,l’angle i s’obren camins a multiples aplicacions geometriques ifısiques de l’algebra lineal.






Producte Escalar

Exemple

Siguin ~u = (2, 3, 0) i ~v = (−1,−3, 1) dos vectors de R3. Calcula elseu producte escalar

Sol:~u · ~v = −11






Propietats del producte escalar

Propietats

Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~uDistributiva respecte de la suma: ~v · (~u + ~w) = ~v · ~u + ~v · ~wAssociativa i conmutativa entre escalars i vectors:

(λ~u) · ~v = λ(~u · ~v)

~u · (λ~v) = λ(~u · ~v)

Si ~u = ~0⇒ ~u · ~u = 0.

Si ~u 6= ~0⇒ ~u · ~u > 0.







Exercici

Donats els vectors ~u = (2,−1, 5), ~v = (−3, 4, 1) i ~w = (−1, 0, 5)

1 Comprovau que el producte escalar te la propietatconmutativa.

2 Comprovau que el producte escalar te la propietat distributivarespecte de la suma.

3 Comprovau que el producte escalar te la propietat associativaentre escalars i vectors.







Exercici

Demostrau que si ~u 6= ~0 aleshores ~u · ~u > 0






Norma d’un vector

Norma

Donat ~u = (u1, u2 · · · , un) ∈ Rn la seva norma o longitud vedonata per

||~u|| =√~u · ~u =

√u2

1 + u22 + · · ·+ u2

n

En molts de casos resulta util la norma al quadrat d’un vector:

||~u||2 = (√~u · ~u)2 ⇒ ||~u||2 = ~u · ~u






Norma d’un vector

Exercici

Donat ~u = (2, 3,−1) ∈ R3, calcula la seva longitud.

Sol:||~u|| =

√14






Norma d’un vector

Propietats

||~u|| > 0,∀~u 6= ~0

||λ~u|| = |λ|.||~u||||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v || (Desigualtat triangular)

||~u + ~v || = ||~u||+ ||~v || ⇔ ~u ⊥ ~v (teorema de Pitagoras)

||~u · ~v || ≤ ||~u|| · ||~v || (Desigualtat de Cauchy-Schwarz)






Norma d’un vector

Exercicis

Donat ~u = (2, 3,−1) comprovau que

||2~u|| = 2||~u||

|| − 2~u|| = | − 2|||~u|| = 2||~u||






Norma d’un vector

Vector unitari

Un vector unitari ~e es aquell que te norma 1:

||~e|| = 1

Per exemple el vector (1, 0, 0) es un vector unitari.






Norma d’un vector

Exercici

Donat el vector ~u = (2, 3,−1) comprova que si el dividim per laseva norma, obtenim un altre vector que es unitari

Exercici

Demotra que qualsevol vector ~u dividit per la seva norma es unitari.

Exercici

Donat el vector ~u = (2, 3,−1) troba un altre vector de la mateixadireccio, sentit pero de norma igual a 3.






Distancia entre dos punts


Donats dos punts A i B es defineix la distancia entre ambdos com

d(A,B) = || ~AB|| =√

~AB · ~AB

Aquest valor coincideix amb la intuicio geometrica quan A i B sondos punts del pla. Equival a la longitud del vector fix ~AB.

Exercici

Donats dos punts A = (1, 2) i B = (4, 3) troba la distancia entreambdos.

Sol:√

10.







Teorema

Donats dos vectors ~u i ~v i α l’angle que formen ambdos, aleshoreses verifica que

~u · ~v = ||~u|| · ||~v || · cosα







Per fer la demostracio emprarem un resultat previ.

Teorema del cosinus

En un triangle ABC qualsevol i siguin α, β, γ els angles i a, b, c elsangles dels costats respectivament oposats a aquests angles, llavors

b2 = a2 + c2 − 2ac cosα







Demostracio

En primer lloc dibuixam el vector ~u − ~v amb el que queda dibuixatun triangle. Aplicam la definicio de norma sota la forma||~w ||2 = ~w · ~w al vector ~u − ~v resulta

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)







Demostracio

D’altra banda si aplicam el teorema del cosinus al triangle formatper ~u, ~v i ~u − ~v

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)







Demostracio

Si comparam ambdues expresions obtenim el resultat:

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(~u · ~v)

||~u − ~v ||2 = ||~u||2 + ||~v ||2 − 2(||~u|| · ||~v | cosα)






Angle entre dos vectors

Com acabam de veure, si ~u i ~v formen un angle α aleshores podemdefinir el seu producte escalar com: ~u · ~v = ||~u|| · ||~v || cosα.


Es defineix l’angle que formen dos vectors com el valor real α:

cosα~u · ~v

||~u|| · ||~v ||

Exercici

Troba l’angle que formen els vectors (2, 3,−1) i (−2, 0, 3)

Sol: cosα = −√

18226







Vectors ortogonals

Dos vectors son ortogonals si el seu producte escalar es zero

~u ⊥ ~v ⇔ ~u · ~v = 0⇔ α =π

2

Vectors ortonormals

Dos vectors son ortonormals si son ortogonals i de norma 1.

Per exemple, (0, 1) i (1, 0) son dos vectors ortonormals.







Exercici

Troba a perque (a, 0,−1, 3) sigui perpendicular a(1, 7, a− 1, 2a + 3).

Sol: a = −2

Exercici

Per quins valors de x son ortogonals (x ,−x − 8, x , x) i(x , 1,−2, 1)?

Sol: x = −2 i x = 4.






Desigualtat de Cauchy-Schwarz

Resultat

A partir de l’expressio

cosα~u · ~v

||~u|| · ||~v ||

i tenint en compte que el cosinus de qualssevol angle es sempremenor o igual que 1 podem obtenir:

|~u · ~v | ≤ ||~u|| · ||~v ||

Es a dir, que el producte escalar de dos vectors es menor o igualque el producte de les seves normes.






Projeccio ortogonal

Projeccio ortogonal

La projeccio ortogonal d’un vector ~v sobre un altre vector ~u es unvector paral·lel a ~u tal que sumat a un altre perpendicular a ~u dona~v






Projeccio ortogonal

Es tracta d’obtenir P~v (~u) = ~v1 coneguent els vectors ~u o ~v

Calcul de la Projeccio ortogonal

Descomponem el vector ~v = ~v1 + ~v2 on ~v1||~u i ~v2 ⊥ ~u.

~v1 = λ~u

~v = λ~u + ~v2 ⇒ ~v2 = ~v − λ~u~v2 · ~u = 0⇒ (~v − λ~u) · ~u = 0

λ = ~v ·~u~u·~u = ~v ·~u

||~u||

Per tant

P~v (~u) = ~v1 = λ~u =~v · ~u||~u||

~u






Projeccio ortogonal

Calcul de la Projeccio ortogonal

Projectau el vector ~v = (1, 2) sobre ~u = (3, 1).

Sol: P~v (~u) = 12 (3, 1).






Producte vectorial

Producte vectorial

Sguin ~u = (u1, u2, u3) i ~v = (v1, v2, v3) dos vectors de R3. Elproducte vectorial de ~u i ~v es defineix com el vector:

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)






Producte vectorial

Resultats

Si multiplicam escalarment:

~u · (~u ∧ ~v) = 0

~v · (~u ∧ ~v) = 0

D’on veim que es perpendicular a ~u i ~v .






Producte vectorial

Resultats

El sentit del producte vectorial es el que indicaria la regla de la madreta en dur el primer vector sobre el segon pel camı mes curt i demodul l’area del paral·lelogram determinat per ~u i ~v

||~u ∧ ~v || = ||~u|| · h = ||~u|| · ||~v || · senα






Producte vectorial

Producte vectorial com a determinant

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2)~i + (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣






Producte vectorial

Propietats

Propietat anticonmutativa: ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~uPropietat distributiva:

~u ∧ (~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w

(~v + ~w) ∧ ~u = ~v ∧ ~u + ~w ∧ ~u

Associativa de vectors i escalars:

α · (~u ∧ ~v) = (α · ~u) ∧ ~v = ~u ∧ (α · ~v)

~u ∧~0 = ~0 ∧ ~u = ~0

~u ∧ ~u = ~0






Producte mixt de tres vectors

Producte mixt

Sguin ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) i ~w = (w1,w2,w3) tresvectors de R3 distints del zero. El producte mixt de ~u, ~v i ~w esdefineix com el vector:

{~u, ~v , ~w} = ~u(~v ∧ ~w)

{~u, ~v , ~w} =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Si aquest determinant es zero, vol dir que alguna de les files escombinacio lineal de les restants, i que per tant un vector es potobtenir com a CL dels altres: son coplanaris.







Propietats

{~u, ~v , ~w} =u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1

{~u, ~v , ~w} = {~v , ~w , ~u} = {~w , ~u, ~v} = −{~v , ~u, ~w} =−{~u, ~w , ~v} = −{~w , ~v , ~u}







Propietats

Si els tres vectors son coplanaris, aleshores {~u, ~v , ~w} = 0

Si {~u, ~v , ~w} = 0 aleshores o algun vector es ~0 o els tresvectors son coplanaris







Propietats

Geometricament {~u, ~v , ~w} representa el volum delparal·lelepıped determinat pels tres vectors

Pista {~u, ~v , ~w} = ||~u|| · ||~v ∧ ~w || cosα, on ||~v ∧ ~w || = area de labase i ||~u|| cosα es la projeccio escalar del vector ~u sobre ladireccio perpendicular a la base, es a dir, l’altura.


vectors i operacions amb vectors

Education