Cinemática vectorial¿Qué estudia la cinemática vectorial?

Vector posición, itinerario y trayectoria

y

x

)(tr

x(t)

y(t)

jtyitxt ˆ)(ˆ)()( rFunción itinerario:

Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria:

y = f (x)

x = f (t)

y = f (t)

Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

A continuación veremos un ejemplo...

Vector posición, itinerario y trayectoria

x = 3 t

y = 2 t2

Ejemplo 1.El itinerario de una partícula que se mueve en el plano x – y es el siguiente:

jtit ˆ2ˆ3 2r 0 < t < 5 s, x : m

Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

- Determinar la posición de la partícula en los instantes t = 1, 2, 3, 4 s

t (s) x (m)

y (m)

1 3 22 6 83 9 184 12 32

-Dibujar la trayectoria de la partícula.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x (m)

y (m)Vector posición, itinerario y trayectoria

-¿Posición en t = 2 s?

-¿Posición en t = 3 s?

-¿Cuál es la ecuación de la trayectoria?

2

92 xy

Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria

Vectorposición

en t = 2 s

Vectorposición

en t = 3 s

)(ˆ8ˆ6)2( mji r

)(ˆ18ˆ9)3( mji r

jtit ˆ2ˆ3 2r

Vectores desplazamiento y Velocidad mediay

x

Posición inicial

1r

2r

r

1r2r

jyix

jyyixxˆˆ

ˆ)(ˆ)( 1212

12

rr

rrr

Velocidad media:

jtyi

tx

tmˆˆ

rv -¿Cuál es el desplazamiento de la

partícula entre t = 2 s y t = 4 s? 6i+24j m-¿Cuál es el vector velocidad media de la partícula en ese intervalo? 3i+12j m/s

Posición después de un intervalo tDesplazamiento:

jtit ˆ2ˆ3 2rEn el ejemplo 1:

Velocidad instantánea

dtd

trrv

lim

jdtdyi

dtdx ˆˆ v

jviv yxˆˆ v

vr

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.

v

xv

yv Nótese que el movimiento en el plano puede considerarse como la combinación de dos movimientos ortogonales.

Volvamos al ejemplo 1:- ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo?

jtit ˆ2ˆ3 2rPuesto que:

Entonces:

jtidtd ˆ4ˆ3 rv

- ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 2 s?

)/(ˆ8ˆ32 smjit v- ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 3 s?

)/(ˆ12ˆ33 smjit vRepresentemos estos vectores velocidad en el gráfico de la trayectoria...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x (m)

y (m)

Vectores velocidad

)2(v

)3(v

smv /54.8)2(

smv /4.12)3(

smvsmv

y

x

/8/3

smvsmv

y

x

/12/3

Componentes:

Módulo:

Componentes:

Módulo:

)/(ˆ8ˆ32 smjit vVelocidad en t = 2 s

Velocidad en t = 3 s)/(ˆ12ˆ33 smjit v

Aceleración media

1v 2v

1vv

ttm

12 vvva

En el intervalo t hay un cambio de velocidad:

12 vvv Se define la aceleración media como:

Como:

jviv

jvvivv

jviv

jviv

yx

yyxx

yx

yx

ˆˆ

ˆ)(ˆ)(

ˆˆ

ˆˆ

1212

222

111

vv

vv

Por lo tanto el vector aceleración tiene la misma direccón que el vector v.

va

jt

vi

tv yx

mˆˆ

a

Aceleración instantánea

jdt

dvi

dtdv

dtvd

tv

yx ˆˆ

lim

a

a

jaia yxˆˆ a

En el ejemplo 1 teníamos que la posición en función del tiempo era:

jtit ˆ2ˆ3 2rY la velocidad en función del tiempo:

jti ˆ4ˆ3 v

Entonces:- ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo?

2/ˆ4

ˆ)4(ˆ)3(

smj

jdt

tdidt

d

a

a

La aceleración de la partícula es constante, apunta en la dirección del eje y y su módulo es 4 m/s2.

Lanzamiento de un proyectil

vox

vx

vy

ovv v

voy

y

x

En todo lanzamiento

jg ˆa en que2

2

/10

/8.9

smg

smg

Es decir:

oxx

x

vva

0

oyy

y

vtgv

ga

oox xtvx ooy ytvtgy 2

21

Si consideramos que: senvvyvv ooyoox cos

se obtiene para el itinerario las siguientes ecuaciones:

oo xtvx )(cos

oo ytsenvtgy )(21 2

Ejemplo 2:Desde el origen se lanza un proyectil con una velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 66,8° con la horizontal.a) Determine la máxima altura ym que alcanza el proyectil.

tsenvtgy o )(21 2

senvtgv oy

en que yo = 0, vo = 76,2 m/s, = 66,8°

Pero para y máxima vy = 0 y, por lo tanto, g

senvt oym

y, sustituyendo t en la ecuación para y, se obtiene:

gsenvy o

m 2

22

Reemplazando los datos: ym = 245,3 metros.

Las ecuaciones para este movimiento son:

oo xtvx )(cos

.cos ctevv ox

Continuación del ejemplo 2...b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance)

La simetría indica que si demora tym en alcanzar la máxima altura, demora el doble en llegar de vuelta al suelo. Por lo tanto:

gsenvt o

xm

2 y reemplazando en la ecuación para x,

0)(cos oo xporquetvx

gsenvx o

m cos2 2

22

seng

vx om o, lo que es igual:

Reemplazando los datos, xm = 420,5 metros.

Verifique que el alcance máximo se obtiene para un ángulo = 45°

Movimiento circular uniforme

y

x

P

jyix ˆˆ r

senryrx

cos

jsenrir ˆˆcos r r

v

Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en dirección contraria a los punteros del reloj.Nótese que Velocidad angular

.ctedtd

Unidades de : rad/s o s-1

Velocidad:

jdtdri

dtdsenr

dtd ˆcosˆ rv

.. cteperocter r

jrisenr ˆ)cos(ˆ)( v

En que:

y

x

P

jsenrir ˆˆcos r

r

vjrisenr ˆ)cos(ˆ)( v

Tenemos, entonces que:

Hagamos el producto punto entre estos dos vectores. Se obtiene: 0 rvEs decir, v es perpendicular a r en todo instante.El módulo de v se obtiene haciendo el producto punto:

2222222 )cos( rsenrv vvPor lo tanto:

rv y si consideramos que: T

2

en que T es el período del movimiento, obtenemos: T

rv 2

y

x

P

jtsenritr ˆ)(ˆ)(cos rr

v

jtritsenr ˆ)(cosˆ)( v

En resumen:Puesto que = cte.

rvT 2

en que T es el período del movimientoT

rv 2

tEn un MCU, el itinerario es:

y la velocidad en función del tiempo es:

Además, se cumple que:

Ejemplo 3.En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo.a) Anote los vectores posición y velocidad del astronauta en función del tiempo.

jtsenritr ˆ)(ˆ)(cos r pero, mrys 41

jtsenritr ˆ)(ˆ)(cos r y derivando obtenemos...

jtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 v 4ven que

b) Anote los valores de la rapidez del astronauta, su velocidad angular y el período de giro.

smv /57.1214.34 114.3 s

sT 222

y

x

P

a

vjtritsenr ˆ)(cosˆ)( v

ra 2en que T es el período del movimiento

2

24T

ra

Por lo tanto, el vector aceleración tiene dirección opuesta a r, es decir, apunta siempre hacia el centro de giro. Se le llama aceleración centrípeta.

Aceleración en el movimiento circular uniforme

dtdva

jtsenritr ˆ)(ˆ)cos( 22 a

Pero Por lo tanto:

jtsenritr ˆ)(ˆ)cos(2 a

a = -2 r

rva

2

Además se cumplen las siguientes relaciones:

Volvamos al ejemplo 3.En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo.c) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en función del tiempo.

jtsenit ˆ)(4ˆ)(cos4 r

jtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 v

d) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración centrípeta del astronauta?

jtsenit ˆ)(4ˆ)cos(4 22 a

222 /5.39414.3 smra

y

xr

v

Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s...

Sigamos con el ejemplo 3...

jtsenritr ˆ)(ˆ)cos( 22 a

f) Dibuje estos tres vectores.

e) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en el instante t = 0.5 s.

jtsenit ˆ)(4ˆ)(cos4 rjtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 v

r = 4 j (m)

a

v = -12.6 i (m/s)

a = -39.5 j (m/s2)

y

x

r

jtyitxt ˆ)(ˆ)()( r

Movimiento circular no uniforme

)(

cos

tsenry

rx

.ctedtd

sendtdrvx

senrvx

cosdtdrvy

cosrvy

sendtdrrax cos2 cos2

dtdrsenray

rv

dtdangularnaceleració

Las componentes de la velocidad son:

y el módulo de la velocidad es:Derivando se obtienen las componentes de la aceleración:

Componentes tangencial y normalDefinamos los siguientes vectores unitarios:

jvv

ivv

vT yx ˆˆˆ

v

jvvi

vv

N xy ˆˆˆ

0ˆˆ NT

Vector unitario tangente a la trayectoria.Vector unitario normal a la trayectoria.

Componente tangencial de la aceleración

vvava

vva

vvaTa yyxxyyxx

t

ˆa

Pero,v

vavavv

dtd

dtdv yyxx

yx

22 Por lo

tanto, dtdvat

T̂N̂

Componente normal de la aceleración (Aceleración centrípeta)

vva

vva

Na xyyxn ˆa

rsenran

)(cos 2232 Es decir,

2ran

rvan

2

NaTa ntˆˆ a

NrvT

dtdv ˆˆ

2

a

Tatˆ

Nanˆ

a

Por lo tanto, el vector aceleración en componentes tangencial y normal es el siguiente:

Ejemplos de aplicación de:

NrvT

dtdv ˆˆ

2

a1. Movimiento circular uniforme

Puesto que:

0dtdv N

rv ˆ

2

a

rva

2

a

y su módulo es

2. Objeto aumentando su rapidez en una trayectoria curva.

dtdvat

rvan

2

En que r es el radio de curvatura de la trayectoria.

tata

na

na

aa

a