variantes del problema de coloreo de grafos

¿Que es un grafo?Problemas de coloreo de grafos

Complejidad algorıtmica

Variantes del problema de coloreo de grafos

Flavia Bonomo

Departamento de MatematicaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

14 de diciembre de 2005

Flavia Bonomo Variantes del problema de coloreo de grafos



¿Que es un grafo?

I Un grafo esta formado por un conjunto de vertices y unconjunto de aristas que unen pares de vertices.

I Es un objeto matematico abstracto pero se usa para modelarproblemas reales.




Grafos en la vida real

Red de subtes





2

226

205

33

5

152

22

23

237

Rutas entre ciudades





Moleculas





Draw de un torneo de tenis





Relaciones sociales




El Teorema de los 4 coloresDefinicionesAplicaciones

Pintar mapas





El Teorema de los 4 colores

Teorema

Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limıtrofestengan el mismo color, y usando 4 o menos colores.

I 1852: De Morgan le plantea por carta (no existıa el e-mail!)un problema a Hamilton, que habıan planteado dos de susalumnos, los hermanos F & F Guthrie.

I Entre 1879 y 1976 se presentaron varias demostraciones queresultaron tener falacias logicas.

I 1976: demostracion computacional de Appel, Haken y Koch.

I 1997: nueva prueba computacional pero mucho mas sencilla(Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).





Coloreo de grafos

Colorear un grafo consiste en asignar un “color” (usualmente unnumero) a cada vertice de manera tal que vertices distintos recibancolores distintos.

Formalmente, un coloreo de un grafo G = (V ,E ) es una funcionf : V → N tal que f (v) 6= f (w) si v es adyacente a w .





k-coloreo

Dado un grafo G = (V ,E ), un k-coloreo de G es un coloreo f parael cual f (v) ≤ k para todo v ∈ V (solo hay k colores disponibles).

Un grafo G es k-coloreable si existe un k-coloreo de G .

k=3 k=3





List-coloreo

Dado un grafo G = (V ,E ) y una lista finita L(v) ⊆ N de colorespara cada vertice v ∈ V , G es list-coloreable si existe un coloreo fpara el cual f (v) ∈ L(v) para cada v ∈ V (Vizing, 1976).

1,2

1,3

1

2,3

3

2,3

21,3

1,2

1,3

1

2,3

3

2,3

21,3





µ-coloreo

Dado un grafo G = (V ,E ) y una funcion µ : V → N, un µ-coloreode G es un coloreo f para el cual f (v) ≤ µ(v) para cada verticev ∈ V .

Un grafo G es µ-coloreable si existe un µ-coloreo de G .

3

1

3

3

2

2

3

2

3

1

3

3

2

2

3

2





Aplicaciones

Estamos organizando un congreso de matematicos, y cualquierhotel de la ciudad tiene capacidad para alojar a todos losmatematicos, pero hay algunos que estan peleados a tal punto queno pueden alojarse en el mismo hotel.





Aplicaciones

Si hay k hoteles en la ciudad, una distribucion valida es equivalentea un k-coloreo valido del “grafo de enemistades”, donde cada colorrepresenta un hotel.

k=cant. hoteles





Aplicaciones

Si ademas de peleadores son muy caprichosos, y cada uno tieneuna lista de hoteles preferidos, una distribucion valida esequivalente a un list-coloreo valido en el “grafo de enemistades”,donde cada color representa un hotel.

1,21,3,5

2,41,5

2,3

2,4,5

3





Aplicaciones

Si no son taaan caprichosos, pero cada uno tiene una pretensionmınima de cantidad de estrellas, una distribucion valida esequivalente a un µ-coloreo valido en el “grafo de enemistades”,donde cada color representa un hotel, ordenados por categorıa, y elµ es el maximo de los hoteles dentro de la categorıa pretendida.

23

35

2

5

3

1,23

4,5




Algoritmos para coloreoClases de complejidad

Relacion entre k-coloreo, list-coloreo, µ-coloreo

El problema de µ-coloreo es un problema intermedio entrek-coloreo y list-coloreo.

I Una reduccion trivial de k-coloreo a µ-coloreo se obtienedefiniendo µ(v) = k para todo v .

I Una reduccion de µ-coloreo a list-coloreo se obtiene definiendoL(v) = {1, . . . ,min{µ(v), |V (G )|}}.

3

3

3

3

3

3

3k=3 3





Relacion entre k-coloreo, list-coloreo, µ-coloreo

El problema de µ-coloreo es un problema intermedio entrek-coloreo y list-coloreo.

I Una reduccion trivial de k-coloreo a µ-coloreo se obtienedefiniendo µ(v) = k para todo v .

I Una reduccion de µ-coloreo a list-coloreo se obtiene definiendoL(v) = {1, . . . ,min{µ(v), |V (G )|}}.

3

3

3

3

3

3

3k=3 3

1,2

1

1

1,2,3

1,2,3

2

1

1

3

3

3

2

1,2,3

1,21,22





Algoritmo para 2-coloreo

Un algoritmo para decidir si un grafo es 2-coloreable o no, usandouna pila, es el siguiente:

I Mientras queden vertices sin pintar:I Tomar un vertice sin pintar del grafo, pintarlo de 1 y ponerlo

en la pila.I Repetir el siguiente procedimiento, mientras la pila no quede

vacıa:I Sacar un vertice v de la pila. Para cada vecino, si esta pintado

del mismo color que v , devolver “no se puede”. Si estapintado del color contrario que v , nada. Si no esta pintado,pintarlo del color contrario que v y ponerlo en la pila.

1 1 2

2

1 2

2

1

1

2

2

1 2

2

1

1

2

21

1 1 2

2

1 2

2

1 2

2no se puede

1 2

2

1

1





Algoritmo para 2-coloreo

¿Cuantos pasos realiza el algoritmo?

A cada vertice lo “mira” una vez cuando lo pinta y apila, una vezcuando lo desapila, y una vez por cada vecino suyo.

Si hay n vertices, cada vertice tiene a lo sumo n − 1 vecinos, y elalgoritmo realiza a lo sumo ∼ n2 pasos.

Se die que el algoritmo es O(n2), y cuadratico en el tamano de laentrada.

Un grafo 2-coloreable se llama bipartito.





Algoritmo goloso para k-coloreo o µ-coloreo

El algoritmo goloso de coloreo consiste en ordenar de alguna formalos vertices y para cada vertice v , colorearlo del menor colordisponible (que no haya sido usado ya para alguno de sus vecinos).Si ese color es mayor que k o que µ(v), devolver “no se puede”.

1 1

2

1

2

2

1

2

2

3

1

3

2

3

2





Algoritmo goloso para k-coloreo o µ-coloreo

No siempre resuelve el problema. Puede llegar a no conseguir unk-coloreo, y sin embargo este existe.

Ejemplo:

1 11 1 12 1 12 3 1 22 1

Sin embargo, para cografos (grafos sin un camino de 4 verticesinducido), funciona tanto para k-coloreo como para µ-coloreo,ordenando los vertices en forma creciente respecto de µ.

Pero para grafos en general, no se conoce un algoritmo eficientepara k-coloreo.





Clases de complejidad

I P: problemas de decision que se pueden resolver en tiempoacotado por un polinomio en el tamano de la entrada.

Ejemplo: 2-coloreo, µ-coloreo de cografos.

I NP: problemas de decision tales que toda instancia derespuesta SI, tiene un “certificado” verificable en tiempopolinomial.

Ejemplo: k-coloreo, µ-coloreo o list-coloreo de grafos. Me danun coloreo y puedo chequear facilmente si es valido.

I NP-completos: problemas en NP tales que todo problema enNP se puede reducir polinomialmente a ellos.

Ejemplo: 3-coloreo, µ-coloreo de grafos bipartitos, list-coloreode cografos y de grafos bipartitos.





¿P 6= NP? La pregunta del millon...

Si existe un problema en NP-c ∩ P, entonces P=NP. No se conoceninguno, ası como tampoco se conoce un problema en NP \ P.

NPNP-c

P

si P=NP...

NPNP-c

P

si P=NP...





Complejidades

Problema Grafos Cografos Grafos Grafoscompletos Cografos bipartitos en general

k-coloreo P P [2] P NP-c [1]µ-coloreo P P [5] NP-c [5] NP-clist-coloreo P NP-c [4] NP-c [3] NP-c

[1] Karp, 1976.[2] Chvatal, 1984.[3] Hujter y Tuza, 1993.[4] Jansen y Scheffler, 1997.[5] B. y Cecowski, 2005.





¿Como se prueba que un problema es NP-completo?

Queremos probar que µ-coloreo es NP-completo para grafosbipartitos. Ya estaba demostrado que list-coloreo es NP-completopara grafos bipartitos. Entonces buscamos una reduccionpolinomial de ese problema al nuestro.

3 3

3 3

3 3

3 3

1 1

2

3

2

3

1 1

2

3

2

3

1,2

1,3

1

2,3

3

2,3

21,3

3 3

3 3

3 3

3 3


variantes del problema de coloreo de grafos

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