variacion del esfuerzo en un punto

5/16/2018 Variacion Del Esfuerzo en Un Punto - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/variacion-del-esfuerzo-en-un-punto 1/11

VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO (CALCULO ANALITICO)

N

V

ESTADO INICIAL DEESFUERZOS

ESFUERZOS QUE

ACTUAN EN EL PRISMATRIANGULAR

A

A sen

A cos

DIAGRAMA DE CUERPO

LIBRE DEL PRISMA

TRIANGULAR

N

V

DIAGRAMA DE FUERZAS

(REDUCCION EN UN

PUNTO)



Sustituyendo 3, 4 y 5 en 1, tenemos:

Sustituyendo 3, 4 y 5 en 2, tenemos:

La expresión para puede obtenerse reemplazando el ángulo en la ecuación

6 por que el eje y forma con el eje x



De acuerdo a expresiones para reducir ángulos tenemos:

Por lo tanto:

De las ecuaciones 6 y 8 se deduce que la suma de los esfuerzos normales queactúan sobre dos planos cualesquiera perpendiculares entre si es constante e

igual a

La expresión para determinar el puede obtenerse reemplazando en la

ecuación para (ecuación 7) por el ángulo que el eje y forma en el

eje x.

El signo negativo indica que este esfuerzo cortante ( ) es de sentido contrario

al sentido del esfuerzo cortante pero ambos debelan tener la misma

magnitud.

Las ecuaciones 6, 7, 8 y 9 se conocen como ecuaciones de transformaciónpara esfuerzo plano, por lo que sirven para transformar las componentes de



esfuerzo de un conjunto de ejes de referencia a otro de ejes auxiliares y sonaplicables para esfuerzos en todo tipo de material.

Derivando con respecto a y posteriormente igualando a cero la ecuación 6tenemos:

Recordando que:

Entonces:

Por lo tanto:

Igualando a cero la derivada tenemos:

Derivando entre , tenemos

Ecuación para determinar los planos en los que aparecen los esfuerzosnormales máximo y mínimo (esfuerzos principales).

Derivando con respecto a la ecuación 7 y posteriormente igualando a cerotenemos:



Igualando a cero la derivada tenemos:

Permutando, tenemos:

Ecuación para determinar los planos en los que aparecen los esfuerzoscortantes máximo y mínimo.

La ecuación 11 es reciproca y de signo contrario a la ecuación 10 lo que indica

que los valore de definidas por ambas difieren en 90°, esto es, los planosde esfuerzo cortante máximo están inclinadas 45° respecto de los planos de losesfuerzos principales.

Sustituyendo el valor de de la ecuación 10 en la ecuación 6ª se obtienela ecuación para determinar la magnitud de los esfuerzos principales.

Dividiendo ambos miembros de la ecuación 6 por el tenemos:

Recordando que:



Ecuación para obtener la magnitud de los esfuerzos principales es decir losesfuerzos normales máximos y mínimo.

Sustituyendo el valor de de la ecuación 11 en la ecuación 7A se obtiene

la ecuación para determinar la magnitud de los esfuerzos cortantes máximo ymínimo

Dividiendo ambos miembros de la ecuación 7 por el , tenemos:



Multiplicando el numerador y el denominador por tenemos:



Ecuación para la obtención de la magnitud de los esfuerzos cortantes máximo ymínimo.

Si igualamos a cero la ecuación 2, significa ; entonces:

Se observa que los esfuerzos principales tienen ligar en los planos de nulo.



CIRCULO DE MORH

PUNTO X (σx, τxy) = PUNTO A

PUNTO Y (σy, τyx) = PUNTO B

σx + σy / 2

σx -σy / 2



CIRCULO DE MOHR

Las ecuaciones establecidas anteriormente se pueden utilizar en cualquier caso

de un estado bidimensional de esfuerzos, sin embargo existe una interpretación grafica

de estas ecuaciones debido al ingeniero alemán Otto Mohr (1882). Esta interpretación

utiliza un círculo, por lo que se ha llamado circulo de Mohr. Realizando el dibujo a

escala se pueden obtener los resultados gráficamente, aunque en general solo se suele

utilizar como esquema, y los resultados se obtienen analíticamente.

y

XO

x ( ) => A

y ( ) => B

REGLAS PARA LA APLICACIÓN DE CÍRCULO DE MOHR EN LOSESFUERZOS COMBINADOS

1) Se deben trazar ejes ortogonales, en el de las abscisas se localizaran los

esfuerzos normales y en el eje de las ordenadas se localizaran los esfuerzos

cortantes.

2) Se sitúan los puntos que representan los esfuerzos normales y cortantes que

actúan sobre las caras X y Y del elemento siendo X ( y Y

3) Reglas de los signos

a) Esfuerzos normales:

(+) Positivos si están a tensión y(-) Negativos si están a compresión

B

A

Eje y

H

C

G

F E

R

D

CIRCULO DE MOHR QUE CORRESPONDE A

UN ESTADO GENERAL

DE ESFUERZOS

(+) (-)

Eje x



PARA LA PARTICULA INFINITESIMAL

4) Se unen los puntos situados mediante una recta, el segmento de dicha recta

comprendida entre dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centroes la intersección con el eje de los esfuerzos normales.

5) Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, los componentes

del esfuerzo normal y cortante, están representados por las coordenadas de un

punto que se mueve a lo largo del círculo de Mohr.

6) El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella, representa

el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las

coordenadas de ese punto del círculo.

7) El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble delángulo entre las normales o los dos planos que representan estos dos puntos.

8) El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la

partícula en estudio.

(+) (-)

Momento NegativoMomento Positivo

variacion del esfuerzo en un punto

Documents