Ecuaciónes Diferenciales

VARIACIÓN DE PARÁMETROS

Salvador Solis Valdez

Para explicar este tema comenzare con un ejemplo:

Solucion de y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)y’’ + 3y’ + 2y = 0

1. Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada:

m2 + 3m + 2 = 0

(m + 2)(m + 1) = 0

m1 = -2; m2 = -1

yh = C1 e-2x + C2 e-xç

y1 y2

Y ENCONTRAMOS Y1 Y Y2

2.- Por cramer hallamos W(y1; y2)

W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x

-2e-2x -e-x

3.- Hallamos

U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex)

W(y1; y2) e-3x

U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex sen (ex)

W(y1; y2) e-3x

4.Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx

• u1 =∫ u’1 dx

• = ∫-e2x sen (ex) dx

z= ex

haciendo dz = ex dx

dx = dz/z

= -∫z2 sen(z) dz/z

= -∫z sen(z) dz

integrando por partes v = z dv = dz

dw = -sen zdz w = cos z

= z cos z -∫cos z dz

= z cos z - sen z

= ex cos(ex) - sen (ex)

u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx

=∫z sen z dz/z = ∫senz dz

= -cos z = -cos(ex)

5. La solucion particular yp = u1y1 + u2y2

yp = u1y1 + u2y2

= [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex)

= -e-2x sen (ex)

6. La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2

y = yh + yp

= C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)

Espero que este ejemplo les haya ayudado