REPRESENTACION POR VARIABLES DEESTADO

GILBER PIMENTEL, DAVID BONILLA, JORGE ORTIZ

February 16, 2015

Entre las formas de modelar un sistema matematicamente se encuentrala de describir al sistema mediante la representacion de variables de estado.Buscar un modelo matematico es encontrar una relacion matematica entre lassalidas y las entradas del sistema. En particular la representacion interna (rep-resentacion por variables de estado) relacionaran matematicamente las salidascon las entradas a traves de las variables de estado como paso intermedio.La forma mas general de representacion por variable de estado de un sistemacontinuo esta dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios delas variables de estado en funcion de estas mismas variables, las entradas y eltiempo; y la segunda que define la salida en funcion de las variables de estado,las entradas y el tiempo. As tenemos:

Ecuacion de estado :x = f(x(t), u(t), t)

Ecuacion de salida :y(t) = g(x(t), u(t))

Aqu consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m com-ponentes respectivamente. Esta forma de representacion es valida para lossistemas continuos no-lineales y variantes en el tiempo en forma general. Siel sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de dependerexplcitamente del tiempo:

Ecuacion de estado :x = f(x(t), u(t))

Ecuacion de salida :y(t) = g(x(t), u(t))

Si el sistema representado por las ecuaciones, es un sistema lineal, la depen-dencia de xe y, pasa a ser lineal:

x = A(t) x(t) + B(t) u(t)

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y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)Donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas),C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientesdel tiempo. Si ademas de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, lasmatrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo:

x = A x(t) + B u(t)y(t) = C x(t) + D u(t)

En general la dimension de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si enparticular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denominaSISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesenmayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).

EJEMPLOConsidere un sistema multivariable (MIMO) con dos entradas (u1, u2) y

dos salidas (y1, y2), expresado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales:

....y1 + 2y1 + y2 3(y1 + y2) + t(y1 y2) = u1

y2 + 5y2 3y1 + 2(y2 y1) = u2Este sistema es linear variante en el tiempo. Para determinar una de-

scripcion por variable de estado para el mismo, asignemos nombres a las sigu-ientes variables:

x1 = y1, x2 = y1, x3 = y1, x4 = y2, x5 = y2

Entonces al reemplazar en las ecuaciones obtenemos:

x3 + 2x3 + x5 3(x2 + x5) + t(x1 x4) = u1x5 + 5x5 3x2 + 2(x4 x1) = u2

Reemplazando la primera ecuacion dentro de la segunda de manera que soloquede la derivada primera de x3 en la primera ecuacion, obtenemos las ecua-ciones de estado, considerando que: x1 = y1 = x2, x2 = y1 = x3, que escrita enforma matricial es:

x1x2x3x4x5

=

0 1 0 0 00 0 1 0 0

(2 + t) 0 2 2 + t 80 0 0 0 12 3 0 2 5

x1x2x3x4x5

+

0 00 01 10 00 1

[u1u2

]

Y ademas, como x1 = y1 y x4 = y2 la ecuacion de salida es:

2

[y1y2

]=

[1 0 0 0 00 0 0 1 0

] x1x2x3x4x5

Notase que la matriz D es igual a cero en este ejemplo, esto es: las salidasno dependen en forma directa de las entradas (el sistema es estrictamente pro-pio).

REFERENCIAS

1. http : //www.ib.cnea.gov.ar/ dsc/capitulo2/Capitulo2.htm2. http : //www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001619/lecciones/descargas/estadouno.pdf

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