valuaciÓn de proyectos para empresas en ambientes …
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SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA
VALUACIÓN DE PROYECTOS PARA EMPRESAS EN
AMBIENTES DE ALTA VOLATILIDAD: EL CASO DE UNA
EMPRESA MEXICANA DEDICADA A LA EXTRACCIÓN DE
PLATA EN EL ESTADO DE ZACATECAS (2004-2010).
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS
(ECONOMÌA FINANCIERA)
P R E S E N T A:
ASTRID LÓPEZ MEJÍA.
MÉXICO D.F; DICIEMBRE DE 2011.
AGRADECIMIETOS.
En primer lugar debo de agradecer a Dios, por la maravillosa familia
que tengo y la hermosa vida que he tenido a su lado.
Al Instituto Politécnico Nacional por brindarme la oportunidad de
estudiar en sus aulas, con especial cariño a la Escuela Superior de Economía
y todos los que forman parte de ella gracias.
A mi mamá Virginia Mejía, por el gran ejemplo que siempre ha sido
para mí, pero sobre todo por el apoyo incondicional que siempre me ha
brindado, por todos los consejos y esas noches de desvelo cuidándome y
animándome a seguir adelante.
A mi papá Cayetano Reyes, que a su manera muy particular siempre
ha estado apoyándome y sintiéndose orgulloso de su hija.
Para mi familia en especial a mi abuela Senorina Ríos que siempre
estuvo ahí para cuidarme, pero sobre todo por darme su amor incondicional.
A mis tíos Guadalupe Mejía y Miguel Ángel Mejía, por ser parte de mi vida y
hacer cada día de esta único y especial.
A todos mis profesores de la maestría, por compartir su conocimiento y
por su paciencia al impartir clases.
Al Dr. Salvador Cruz le agradezco su amistad, el compartir su
conocimiento para la elaboración de este trabajo y por la paciencia que
siempre me ha tenido pero sobre todo por confiar en mí y claro por la frase
que jamás olvidare y que es la que más he escuchado durante estos dos años
“¿Y la tesis? ¿Dónde está?, ¿Ya la terminaste?; ¡Apúrate!”
Al Dr. Humberto Ríos, por su guía durante la elaboración de este
trabajo, por sus consejos y su incondicional apoyo durante esta etapa de mi
vida.
Al Dr. Francisco Venegas, porque desde que me dio clases en la
licenciatura me enseño que el aprender no tiene que ser aburrido y
complicado; sino que puede y debe ser divertido.
Al Dr. Francisco López, por apoyarme con las herramientas necesarias
para la elaboración de este trabajo de investigación.
A la Dra. Alicia Bazarte, gracias por su invaluable ayuda, sus consejos;
por estar ahí siempre con una sonrisa para alentarnos a seguir adelante y por
brindarnos un espacio en el cual podemos trabajar.
Al M.C. Héctor Allier, por su constante apoyo, comprensión y su gran
amistad durante estos años.
Para Arturo Martínez, gracias por ayudarme a entender el significado
de la frase “Sólo con el corazón se puede ver bien, lo esencial es
invisible para los ojos”, que aparece en el libro El Principito.
Y por último pero no menos importante quiero agradecerles a mis
amigos, con la siguiente frase del libro Persona Normal “La familia que te
tocó en suerte es importante, la familia que construirás es más
importante… Los amigos son la familia que elegiste; a ellos, respeto,
amor a raudales, palabras de oro, lealtad absoluta, confianza. Si das tú
palabra es como si dieras tú vida, es más importante que cualquier
contrato”. Esperando que exprese todo lo que ustedes significan para mí
gracias, Maribel, Samantha, Patricia Aleyda, Patricia Macías, Ana Lilia,
Octavio, Luis y con un especial cariño para Ángeles, Marcela y Ma. Teresa.
“En los momentos de crisis, sólo la imaginación es más importante que el conocimiento”. Albert Einstein.
I
ÍNDICE
ÍNDICE ................................................................................................................ I Siglas y Abreviaturas. ..................................................................................... III Glosario. ........................................................................................................... IV Índice de cuadros y gráficas. ........................................................................ VII Resumen. ....................................................................................................... VIII Abstract. ........................................................................................................... IX Introducción ...................................................................................................... X Capítulo I. Métodos tradicionales de valuación de proyectos. .................... 1
1.1 El valor presente neto (VPN) o valor actual neto (VAN), sus ventajas y limitaciones…………………………………………………………………………1
1.2 Tasa Interna de Retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR), ventajas y limitaciones. .................................................................................................. 4
1.3 Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI) o Periodo de Recuperación de Inversión (PRI), ventajas y limitaciones. .................................................. 7
1.4 Anualidad equivalente o método del Valor Anual Equivalente (VAE), ventajas y limitaciones. ................................................................................. 9
1.5 Valor Económico Agregado (EVA), ventajas y limitaciones. ................ 11
1.6 Retorno Sobre la Inversión (ROI) o Rendimiento del Activo (ROA), ventajas y limitaciones. ............................................................................... 15
Capítulo II. La valuación de un proyecto minero usando Flujos de Efectivo Descontados y opciones reales. .................................................... 18
2.1 Problema de Optimización Dinámica Estocástica (PODE) que enfrenta el accionista del proyecto minero. ............................................................... 21
2.2.1 Los supuestos del análisis y sus implicaciones. ............................. 25
2.2.2 Las opciones reales como resultado de las condiciones de primer orden del PODE. ..................................................................................... 27
2.3 Opciones reales. ................................................................................... 29
II
Capítulo III. Valuación empírica del proyecto. ............................................. 32
3.1 Análisis de los flujos de efectivo. ....................................................... 32
3.2 Ajuste de ARMA y pronósticos. ......................................................... 34
3.3 Construcción de las tasas de descuento. .......................................... 37
3.4 Cálculo del valor de las opciones reales. .............................................. 38 Conclusiones .................................................................................................. 41
Apéndice I. Cálculo de Itô. .......................................................................... 43
Apéndice II. Simulación Monte Carlo. ......................................................... 45
Bibliografía. ................................................................................................. 51
III
Siglas y Abreviaturas.
ARMA: AutoRegressive Moving Average Model / Modelo Autoregresivo de
Media Móviles.
BDS: Brock Dechert y Scheinkman
CAE: Costo Anual Equivalente.
CAPM: Capital Assets Pricing Model / Modelo de Precios de Activos de
Capital.
CPO: Condiciones de Primer Orden.
DCF: Discounted Cash Flow / Flujos de Efectivo Descontados.
DF: Dickey-Fuller
DW: Durbin-Watson.
EDE: Ecuación Diferencial Estocástica.
EP: Economic Profit / Utilidad Económica.
EVA: Economic Value Added / Valor Económico Agregado.
JB: Jarque-Bera
KPSS: Kwiatkowski – Phillips – Schmidt - Shin
NPV o VPN: Net Present Value / Valor Presente Neto.
PODE: Problema de Optimización Dinámica Estocástica.
PRI: Periodo de Recuperación de Inversión.
ROA: Return on Assets / Rendimiento del Activo.
ROI: Return on Investment / Retorno Sobre la Inversión.
ROV: Real Opcion Value / Valoración de Opciones Reales.
TIR: Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad.
TMAR: Tasa Mínima de Rentabilidad Exigida.
TREMA: Tasa de Recuperación Mínima Atractiva.
TRI: Tiempo de Recuperación de Inversión.
UODI: Utilidad Operativa Después de Impuestos.
VAE: Anualidad Equivalente o Método del Valor Anual Equivalente.
VAN: Valor Actual Neto.
WACC: Weighted Average Capital Cost / Tasa Ponderada de Costos de
Capital.
IV
Glosario.
Acreedores: Se aplica a la persona que tiene derecho a pedir que se cumpla
una obligación, específicamente que se le pague una deuda.
Algoritmo: Conjunto finito de reglas que dan una secuencia de operaciones
para resolver todos los problemas de un tipo dado. De forma más sencilla,
podemos decir que un algoritmo es un conjunto de pasos que nos permite
obtener un dato.
Bono: Un bono es una obligación financiera contraída por el inversionista;
otra definición para un bono es un certificado de deuda es decir una promesa
de pago futura documentada en un papel y que determina el monto, plazo,
moneda y secuencia de pagos.
Cálculo estocástico: Modelo matemático en el que la ley de probabilidad que
da la evolución de un sistema depende del tiempo.
Calibración: Es el procedimiento de comparación entre lo que indica un
instrumento y lo que debiera indicar de acuerdo a un patrón de referencia con
un valor conocido.
Cartera de inversiones: Es el conjunto de activos financieros en los cuales
se invierte. Una cartera de inversiones, en general, está compuesta por una
combinación de algunos instrumentos financieros como son: acciones,
depósitos a plazo, efectivo, monedas internacionales, bonos, bienes raíces,
fondos mutuos entre otros.
Commodities: Es cualquier producto destinado a uso comercial, su
significado original se refiere a materias primas a granel, esto es productos
cuyo valor esta dado por el derecho que posee el propietario sobre el
producto, para comerciar con el y no solamente por el derecho que tiene de
usarlos.
V
Costo marginal: Es el incremento que sufre el costo cuando se incrementa la
producción en una unidad, es decir, el incremento del costo total que supone
la producción adicional de una unidad de un determinado bien.
Descontar: El proceso de deducir una tasa de interés a una suma de capital
determinada para encontrar el valor presente de esa suma cuando la misma
es pagable a futuro.
Distribución normal estándar aleatoria: Es una distribución de probabilidad
de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en
fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma
acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta
curva se conoce como campana de Gauss.
EBIT: Magnitud microeconómica que equivale al beneficio antes de intereses
e impuestos.
Empíricamente: Es un resultado inmediato de la experiencia, que solo se
funda en la observación de los hechos.
Estacionalidad: Característica que presentan algunas variables económicas
por las cual fluctúan regularmente a lo largo del Tiempo. El vocablo proviene
de estación pues es con el cambio de estaciones que se manifiesta con más
claridad este comportamiento.
Estrategia Corporativa: Es aquella que está relacionada con el objetivo y
alcance global de la organización para satisfacer las expectativas de los
propietarios y otros interesados en la organización.
Extracción: Se refiere al acto de sacar algo que se encuentra hundido,
inmerso o sepultado en alguna otra cosa o lugar.
Ingreso marginal: Variación que experimenta el ingreso total ante la venta de
una unidad adicional.
VI
Mercado financiero perfecto: Consiste en trasladar a los mercados
financieros el concepto de competencia perfecta, es decir que existe libertad
de entrada y salida, el precio es fijado fuera del mercado.
Optimo: se emplea cuando se quiere dar cuenta de aquello que resulta ser
muy bueno, que no puede ser mejor de lo que es.
Premio al Riesgo: Diferencia entre la tasa requerida de rendimiento sobre un
activo arriesgado y específico y la tasa de rendimiento sobre un activo libre de
riesgos, con la misma vida esperada.
Racionalidad: Es una capacidad humana que permite pensar, evaluar y
actuar de acuerdo a ciertos principios, para satisfacer algún objetivo o
finalidad.
Subyacente: El activo sobre el que se emiten una opción, unos futuros, un
swap u otros derivados
Tasa de descuento: Tasa utilizada para calcular el valor actual de los flujos
de caja futuros.
Valor intrínseco: Valor que se otorga a cada acción cuando se calcula el
valor de una empresa tomando como indicadores su actividad económica, su
evolución, expectativas, crecimiento, etc.
Varianza: Es aquella medida de dispersión que ostenta una variable aleatoria
respecto a su esperanza.
Volatilidad: Situación en la que el precio de un activo financiero está
expuesto a fluctuaciones extremas, durante un corto período.
VII
Índice de cuadros y gráficas.
Cuadros. Cuadro1. Decisión de la Inversión en base al Valor Presente Neto.
3
Cuadro 2. Decisión de la Inversión usando la Tasa Interna de Retorno.
5
Cuadro 3. Decisión de la Inversión usando el Valor Anual Equivalente. 11
Cuadro 4. Datos del modelo ARMA (1,1)
34
Cuadro 5. Prueba KPPS.
36
Cuadro 6. . Prueba BDS.
36
Cuadro 7. Valuación de Opciones Reales. 40
Gráficas Gráfica 1. Flujos de Efectivo. 32
Gráfica 2. Flujos estimados. 33
Gráfica 3. Prueba Jarque-Bera. 37
VIII
Resumen.
En la década de los 70`s, se desarrollo el análisis de opciones, que
posteriormente le daría paso al método de opciones reales, el cual es una
alternativa para evitar los errores que presentan los métodos tradicionales de
valuación de proyectos de inversión.
En un inicio el método de opciones reales se aplicaba en activos no
financieros o reales, posteriormente fue utilizado como una alternativa a los
métodos tradicionales de valuación de proyectos de inversión, siendo su
característica principal el incorporar la flexibilidad e incertidumbre; como
elementos que agregan valor al proyecto.
El objetivo del trabajo de investigación es demostrar que las opciones
reales son un buen método para valuar el proyecto de inversión de una
minera dedicada a la extracción de plata, ya que este método provee de un
valor monetario a la flexibilidad de decisión en la planeación, y por ello medir
de una manera mas precisa el riesgo al que se enfrentan los inversionistas.
Para este trabajo se utilizaron datos de la minera de Grupo Peñoles del
31 de marzo del 2000 hasta el día 30 de septiembre de 2010. Posteriormente
se realizó una proyección de 5 años de los flujos de efectivo, ya que es el
tiempo necesario para poder observar los resultados obtenidos del proyecto
de inversión. Utilizando herramientas como un modelo econométrico ARMA,
para posteriormente hacer uso del Método de Simulación Monte Carlo y
calcular el valor de las opciones reales.
Obteniendo resultados favorables para la investigación, ya que las
opciones reales resultaron ser un buen método para valuar los proyectos de
inversión para empresas en ambientes de alta volatilidad.
IX
Abstract.
In the 70`s, the analysis options was developed which, later, would give
way to real options method, this is an alternative method to prevent bugs in
traditional methods for valuating investment projects.
In the beginning the real options method was applied to non-financial or
real assets, was subsequently used as an alternative to traditional methods for
evaluate investment projects, and its main characteristic is to incorporate
flexibility and uncertainty as factors that add value to the project.
The aim of this research is to demonstrate that real options are a good
method to value the investment project of a silver extraction mine firm,
because this method provides a monetary value on planning flexibility
decisions, and therefore to measure more accurately the risk faced by
investors.
For this work we used mining Peñoles data from March 31, 2000 to
September 30, 2010. Then there was made a 5-year cash flows forecast, as it
is the time required to observe the results of the investment project. Using
tools as an ARMA econometric model, and then to use the Monte Carlo
simulation method to calculate the real options value.
Favorable results in this research were obtained, because real options
proved to be a good method for valuing investment projects for companies in
high volatility environments.
X
Introducción
La minería es una de las actividades económicas de mayor tradición en
México, es practicada desde la época prehispánica y fue una fuente de
expansión regional durante la colonia. Durante la paz porfiriana se convirtió
en uno de los escenarios de las tensiones sociales y a la postre en una de las
causas que incitaron la Revolución de 1910. Actualmente, es una fuente
importante de entrada de divisas.
La minería ha estado presente en el desarrollo del país como un factor
de modernización y avance al suministrar insumos a prácticamente a todas
las industrias, entre las que destacan las de la construcción, metalúrgica,
siderúrgica, química y electrónica.
Entre las múltiples ciudades que fueron fundadas cerca de las zonas
mineras, en la medida en que las expediciones en busca de metales
preciosos se fueron desplazando de las costas hacia el norte y centro del
país, se encuentran Hidalgo, Durango, Chihuahua, Guanajuato, Saltillo, San
Luis Potosí y Zacatecas, entre otras.
Por lo menos diez distritos mineros de México, en distintos periodos,
ocuparon los primeros lugares de producción de plata, dos de ellos han
sobrepasado la producción de un billón de onzas troy de plata1, estos son:
Hidalgo del Parral, en Chihuahua y Pachuca, en Hidalgo.
Durante el periodo enero-mayo de 2010, el índice del volumen físico de
la producción minero metalúrgica registró una variación positiva de 15.5 %
respecto a 2009, debido a los incrementos en los niveles de producción de la
wollastonita 57.5%, plomo 53.3%, dolomita 51.6%, grafito 49%, plata 47.1%,
diatomita 41.8 %, oro 39.9%, coque 39.6%, feldespato 20.7 % y fierro 20.5%.
1 Calderón Hinojosa, Felipe, Cuarto Informe de Gobierno, Economía y Generadora de Empleo, p.p. 232-238. Palacio Legislativo de San Lázaro, a los 10 días del mes de marzo de 2010.
XI
El comportamiento de los precios internacionales de los principales
metales fue al alza durante los cinco primeros meses de 2010, destacando los
incrementos del cobre en un 88.4%, molibdeno 87.2%, zinc 75.6 %, plomo
71.7%, dolomita 57.9%, manganeso 48.6%, plata 35.2% y oro 25%. El
desempeño del mercado internacional de los metales y minerales fue
influenciado fundamentalmente por el incremento en la demanda de estos.
En los últimos años se ha abierto una nueva etapa para que la minería
mexicana pueda enfrentar con éxito los retos de un mercado cambiante y
altamente competitivo. Se trata, en esencia, de propiciar una mayor
participación de los sectores privado y social en la actividad, al tiempo que se
ofrecen condiciones de seguridad jurídica y reglas claras, entre las que se
encuentran las de protección al ambiente, que permiten asegurar la
recuperación de inversiones altamente intensivas en capital.
En vista de la importancia de la minería para el desarrollo de algunas
regiones del país, es necesario valuar correcta e integralmente los proyectos
de inversión a realizarse en esta rama industrial. Un proyecto minero resulta
difícil de valuar dada la volatilidad mostrada por la cantidad de mineral
extraída, además de la volatilidad de su precio. Esto es especialmente cierto
en el caso de los proyectos relacionados con commodities como la plata.
Tal y como se mencionó en párrafos anteriores, la extracción de plata
es un proyecto intensivo en capital que generalmente es desarrollado en
varias etapas, durante las cuales el precio del metal variará en gran medida,
por lo que el supuesto de flujos de efectivo constantes para la empresa dista
de ser apegado a la realidad.
XII
En este entorno de volatilidad, la industria extractiva no puede
apegarse a la valuación tradicional de proyectos basada en el Valor Presente
Neto (VPN).La poca practicidad de este método radica tanto en los supuestos
de flujos, e inversiones, fijas como en el ignorar el valor que añaden al
proyecto las opciones de estrategia corporativa que, usualmente, son
valuadas mediante opciones reales, una explicación más amplia se encuentra
en, Trigeorgis, L (1996) y Dixit, A. K. y R. S. Pindyck (2000).
El objetivo de este trabajo de investigación, es demostrar que el uso de
opciones reales proporciona datos más precisos; sobre la valuación de
proyectos de inversión, en donde se presenta una alta volatilidad, ya que
toma en cuenta la flexibilidad de las decisiones corporativas.
El trabajo de investigación se divide en tres capítulos; en el primer
capitulo se describen los métodos tradicionales de valuación de proyectos, así
como sus ventajas y limitaciones, estos son; Valor Presente Neto (VPN), Tasa
Interna de Retorno (TIR), Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI), Valor
Anual Equivalente (VAE), Valor Económico Agregado (EVA) y Retorno Sobre
la Inversión (ROI).
En el segundo capitulo, se describe teóricamente la valuación del
proyecto minero, usando los Flujos de Efectivo Descontados (DCF) y la
Valoración de Opciones Reales (ROV). En el tercer capitulo, se realiza una
valuación empírica del proyecto, utilizando los flujos de efectivo de la
empresa, un modelo ARMA y sus pronósticos, las tasas de descuento, y se
calcula el valor de las opciones reales. Por ultimo se mencionan las
conclusiones, que se obtuvieron del trabajo de investigación.
1
Capítulo I Métodos tradicionales de valuación de
proyectos.
Los métodos tradicionales de valuación de proyectos son utilizados por
las empresas por la eficiencia que habían venido demostrando hasta ahora en
la toma de decisiones en ambientes estáticos, así como sus ventajas y
desventajas en su uso para la valuación de proyectos de inversión.
En 2009, Valencia y Gándara mencionan que existen diversas técnicas
para analizar la viabilidad de los proyectos de inversión, a continuación se
mencionan algunos de los métodos más usados.
1.1 El valor presente neto (VPN) o valor actual neto (VAN), sus ventajas y limitaciones.
El método más utilizado para la valuación de proyectos de inversión es el
VPN, el cual proviene de la expresión en inglés Net Present Value; consiste en
calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros,
originados por una inversión durante el periodo de existencia del proyecto. Es
decir, se trata de descontar al momento actual todos los flujos de caja futuros
del proyecto. Lo que es lo mismo, actualizarlos mediante una tasa.
Posteriormente, se le resta el valor inicial de la inversión y el valor obtenido es
el VPN del proyecto. Para mayor información véase Ross, Westerfield (2003)
Mediante el uso del criterio de inversión del VPN, un proyecto nuevo o una
estrategia nueva es aceptada o se rechaza, el día de hoy, si el VPN > 0 ó si el
VPN < 0, respectivamente. Cuando un proyecto es aceptado bajo este criterio,
los planes de inversión ya no pueden ser modificados, es decir, la inversión
realizada es definitiva, no puede efectuarse ningún cambio.
2
Para las empresas es de suma importancia tomar la decisión correcta al
elegir las inversiones que le generen un mayor beneficio; una posible
alternativa para realizar esta elección es tomar en cuenta el comportamiento
del mercado, puesto que solo se toma en cuenta la oferta y demanda que se
genera; aun que no es suficiente para que los inversionistas tomen una
decisión adecuada.
Por eso, cuando se realiza la valuación de un proyecto de inversión, se
hace la previsión de los flujos de caja, es decir de los flujos que se generan en
un futuro.
Si las empresas poseen varios proyectos de inversión tienden a examinar
las diferentes alternativas para elegir un proyecto usando el VPN
correspondiente con cada proyecto, por lo general tomando la alternativa con el
valor más alto. Pero no siempre es así, existen ocasiones en las que las
empresas no escogen el proyecto que posee el valor, más alto , esto se debe a
razones tan diferentes como la imagen, la estrategia corporativa, u otras que
resultan importantes para la empresa.
Para calcular el VPN se utiliza la siguiente fórmula:
VPN = 0
1 11 1
n nt t
t tt i
Y EI
i i
,
(1.1)
donde: Yt: Representa el flujo de ingresos del proyecto.
Et: Sus egresos.
I0: La inversión inicial en el momento cero de la evaluación.
I: Es la tasa de descuento.
3
Nota: El subíndice t en los ingresos y egresos sólo explica la posibilidad de que
existan valores diferentes en el flujo de caja del proyecto.
Aunque es posible aplicar directamente la ecuación (1.1), la operación se
puede simplificar mediante:
VPN= ∑ - I0 (1.2)
Lo que es equivalente a
VPN= ∑ - I0 (1.3)
donde:
BNt: Representa el beneficio neto del flujo en el período t. Obviamente, BNt
puede tomar un valor positivo o negativo.
A continuación se presenta un cuadro donde se resumen las distintas
interpretaciones del VPN:
Cuadro 1. Decisión de la Inversión en base al Valor Presente Neto.
Elaboración propia, con información del manual de finanzas empresariales, “Valoración de proyectos de inversión productivos”
VPN Concepto Valor para la empresa Decisión
VPN > 0 La inversión produciría
ganancias por encima de la rentabilidad exigida ( r )
Si el VPN de un proyecto es Positivo, el proyecto Crea Valor.
El proyecto puede aceptarse
VPN = 0 La inversión produciría
ganancias por debajo de la rentabilidad exigida ( r )
Si el VPN de un proyecto es Cero, el Proyecto No Crea ni
Destruye Valor.
Dado que el proyecto no agrega valor monetario por encima de
la rentabilidad exigida (r), la decisión debería basarse en
otros criterios, como la obtención de un mejor
posicionamiento en el mercado u otros factores.
VPN < 0 La inversión no produciría ni ganancias ni pérdidas
Si el VPN de un proyecto es Negativo, el proyecto Destruye
Valor. El proyecto debería rechazarse
4
Las principales ventajas del VPN son:
Es sencillo de aplicar, ya que para calcularlo se usan operaciones
aritméticas simples.
Toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Da como resultado la decisión de aceptación o rechazo de un proyecto.
Traslada los flujos de caja futuros a un valor actual (una misma fecha).
Las principales limitaciones que tiene la utilización del VPN son:
El principal problema, es el de la valoración del activo que se creará al efectuar la inversión (una fábrica, un barco, etc.).
El VPN supone que los flujos que salen del proyecto se reinvierten con
el mismo valor del capital exigido por el mismo, lo cual no puede ser
cierto.
Presenta dificultades para establecer la tasa de interés apropiada para
realizar el descuento.
1.2 Tasa Interna de Retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR), ventajas y limitaciones.
La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una
inversión, es la tasa con la cual el VPN es igual a cero este es calculado con el
flujo de caja o cash flow anual trayendo todas las cantidades futuras de flujos
positivos y negativos a valor presente, para más detalles véase Gallardo, Juan
(1998).
5
La función de la TIR es servir como un indicador de rentabilidad de un
proyecto, mostrando cuál sería la tasa de interés más alta proporcionándole al
empresario la información necesaria para rechazar o aceptar el proyecto de
inversión.
Al efectuar la comparación de la TIR con la tasa de interés de mercado, se
usa una regla básica para la toma de decisiones, a continuación se muestra el
uso de dicha regla en el siguiente cuadro.
Cuadro 2. Decisión de la Inversión usando la Tasa Interna de Retorno.
Concepto Ecuación Decisión
Si la TIR es mayor que la tasa de
mercado (i).
TIR > i Se debe realizar el proyecto de inversión.
Si la TIR es menor que la tasa de
mercado (i).
TIR < i No se debe realizar el proyecto de inversión.
Si la TIR es igual que la tasa de
mercado (i).
TIR = i En este caso, al inversionista le resulta indiferente
realizar o no el proyecto de inversión.
Elaboración propia, con información de Anzil, Federico 2005, “Criterios de Decisión” Textos de Análisis Económico disponible en
www.econlink.com.ar
Como ya se ha mencionado anteriormente la TIR es una herramienta de
toma de decisiones de inversión; que se usa para conocer la factibilidad de las
diferentes opciones de inversión que tiene una empresa.
Existen otras definiciones de la tasa interna de retorno como la tasa de
descuento que iguala la suma del valor presente de los gastos con la suma del
valor presente de los ingresos previstos.
A continuación se muestra como se puede calcular la TIR aplicando la
siguiente ecuación:
∑ ∑ + I0 ,
(1.4)
6
donde: r es la tasa de retorno. Al simplificar y agrupar los términos, se obtiene
lo siguiente:
∑ - I0 = 0 ,
(1.5)
Que equivale a:
∑ – I0 = 0 (1.6)
Comparando esta ecuación con la 1.3, se puede observar que son
equivalentes al hacer el VPN igual a cero y determinar la tasa que le permite al
flujo actualizado ser cero.
La tasa calculada se compara con la tasa de descuento de la empresa. Si
la TIR es igual o mayor que ésta, el proyecto debe aceptarse y si es menor,
debe rechazarse.
El flujo de caja de un proyecto adopta una estructura tal, que más de una
tasa interna de retorno puede utilizarse para resolver la ecuación 1.6, esto se
conoce como tasas internas de retorno múltiples.
El número máximo de tasas diferentes será igual al número de cambios de
signo que tenga el flujo del proyecto, aunque esto no es condicionante del
número de tasas internas de retorno calculables.
7
Las principales ventajas de la TIR son:
Toma en cuenta todos los flujos de caja.
Mide la rentabilidad de los proyectos de inversión (costo de
oportunidad).
Tiene en cuenta el valor del dinero en cada momento.
Ofrece una tasa de rendimiento fácilmente comprensible.
Sus principales limitaciones son:
Presenta dificultad al realizar su cálculo.
Supone que los flujos de caja son reinvertidos y refinanciados con la
misma TIR.
Es inconsistente ya que las inversiones pueden ser simples esto es que
tengan una única TIR o pueden ser múltiples, quiere decir que existe más de
una tasa por lo que pueden ser inconsistentes.
1.3 Tiempo de Recuperación de Inversión (TRI) o Periodo de Recuperación de Inversión (PRI), ventajas y limitaciones.
Es uno de los métodos que en el corto plazo puede ser preferido por
algunos empresarios cuando se evalúan los proyectos de inversión dada su
facilidad de cálculo y aplicación. Esto es que mide la liquidez y el riesgo relativo
que presenta el proyecto, ya que permite anticipar los eventos en el corto
plazo, para mayor información consulte Gallardo, Juan (1998)
Se debe resaltar que la TIR es solo un instrumento financiero y que al igual
que el VPN y la TIR, sirve para mejorar el proceso de toma de decisiones.
8
Este método es una forma de evaluar en que periodo se recupera la
inversión inicial considerando una tasa mínima de rentabilidad exigida (TMAR)
y descontados los pagos futuros, el objetivo es encontrar en que periodo del
proyecto se llega a recuperar la inversión con los flujos que se generan en cada
uno de los años, esto resulta de dividir los costos y los ingresos esperados.
La TRI a pesar de no ser un indicador de rentabilidad muestra al
inversionista el tiempo aproximado de recuperación de la inversión a lo largo de
la duración del proyecto. Mientras más corto sea este periodo de recuperación
más atractivo se puede volver el proyecto, debido a que estos recursos pueden
ser usados para generar otro proyecto.
Si los flujos fueran idénticos y constantes en cada período, el cálculo se
simplificaría usando la siguiente formula:
PR =
(1.7)
donde:
PR, es el período de recuperación, que indica el número de períodos
necesarios para recuperar la inversión inicial Io, cuando los beneficios
generados en el proyecto en cada período son BN.
Si el flujo difiere entre períodos, el cálculo se realiza determinando por
suma acumulada el número de períodos que se necesitan para recuperar la
inversión
9
Las principales ventajas de la TRI son:
Es un método muy útil para realizar inversiones en situaciones de
incertidumbre y este método proporciona el tiempo mínimo necesario
para recuperar la inversión.
Es un método fácil de calcular.
Las principales limitaciones de la TRI son:
No toma en cuenta los flujos de efectivo después del propio periodo
de recuperación.
Ignora las ganancias posteriores al período de recuperación,
implicando que la aceptación del proyecto este dada por un factor de
liquidez más que de rentabilidad.
1.4 Anualidad equivalente o método del Valor Anual Equivalente (VAE), ventajas y limitaciones.
El método de anualidad equivalente consiste en expresar el valor actual
neto como un flujo de caja al dividirlo por el valor presente de la anualidad, es
decir, convertir en una anualidad con pagos iguales todos los ingresos y gastos
que ocurren. Cuando la anualidad resulta positiva, se recomienda que se
acepte el proyecto de inversión, y viceversa durante un período determinado,
para mayor información consultar Brealey, Myers y Allen (2006).
El método también es conocido como el Costo Anual Equivalente (CAE)
consiste en utilizar los ingresos y gastos, que se generan durante un período
por poseer y operar un activo y estos son convertidos a una anualidad
equivalente uniforme.
10
Para éste método es necesario utilizar una tasa de interés mayor que el
costo de capital a esta tasa se le denomina TREMA (Tasa de Recuperación
Mínima Atractiva). De esta manera, no existe ningún riesgo en aceptar
proyectos con anualidades cercanas a cero, ya que en esta situación
significaría que el rendimiento obtenido es exactamente igual al mínimo
requerido. Además, el utilizar como valor de la tasa de descuento (i),la TREMA
tiene la ventaja de ser establecida muy fácilmente, porque en ella se pueden
considerar factores como:
1. El riesgo que representa un determinado proyecto.
2. La disponibilidad de dinero de la empresa.
3. La tasa de inflación prevaleciente en la economía nacional.
La formula utilizada es:
, %, ∑ , % , , % ,
(1.8)
donde:
A: Anualidad equivalente
p: Inversión inicial
St: Flujo de efectivo neto del año t
F: Valor de rescate
n: Número de años de vida del proyecto
i: Tasa de recuperación Mínima atractiva (TREMA)
11
También, la formula puede ser representada de otra forma, si se hace uso de la
identidad:
, %, , %, % (1.9)
Si además se supone que los flujos de efectivo netos de todos los años son
iguales la ecuación se transforma en:
, %, %
(1.10)
Por lo tanto, si:
Cuadro 3. Decisión de la Inversión usando el Valor Anual Equivalente.
Concepto Formula Decisión
Cuando la VAE, es mayor o igual a cero:
VAE 0 Se aceptar el proyecto de inversión.
Si la VAE, es menor que cero :
VAE < 0 Se rechaza el proyecto de inversión
Elaboración propia, con información de Gallardo, Juan, Preparación y evaluación de proyectos, México, McGraw Hill, 1998, pp.250
1.5 Valor Económico Agregado (EVA), ventajas y limitaciones.
Alfred Marshall fue el primero que expresó una noción de EVA, en 1980,
en su libro The Principles of Economics. Posteriormente Peter Drucker, se
aproxima al concepto de creación de valor, en el artículo que escribe para
Harvard Business Review.
12
Tomando en cuenta estos antecedentes, se puede llegar a la conclusión
de que antes de que apareciera formalmente el concepto de EVA, ya existían
aproximaciones hacia este método, aunque fue hasta hace poco tiempo que la
compañía consultora estadounidense Stern Stewart & Co., quienes
desarrollaron la metodología del EVA y la patentaron como una marca
registrada, dieron un concepto general basado en la teoría financiera y
económica.
Las iniciales EVA, proviene de la palabra en inglés Economic Value
Added o en español Valor Económico Agregado, también es llamado Economic
Profit (EP) o utilidad económica en español, este término es utilizado por la
empresa consultora Mc Kinsey & Co. Esto se debe simplemente a que cada
consultora ha desarrollado su propio concepto, aunque todos hablan de ideas
similares. En general el método EVA supone que el éxito de una empresa se
relaciona directamente, con la generación de valor económico.
El EVA o EP, es el producto que se obtiene de la diferencia entre la
rentabilidad de sus activos y el costo de capital requerido para adquirir los
activos, es decir, que a todos los ingresos operacionales se les deducen la
totalidad de los gastos operacionales, los impuestos y el costo de oportunidad
del capital y se obtiene el EVA.
El EVA se incrementará cuando el capital fresco se invierta en proyectos
con ganancias superiores al costo total del capital o si el capital pueda ser
reorientado o extraído de áreas de negocios que no proporciona un retorno
aceptable. Por el contrario, disminuirá cuando la administración dirija fondos a
financiar proyectos con ganancias menores al costo de capital o pase por alto
el fondeo de proyectos con ganancias aparentemente mayores al mismo.
13
Es decir el EVA, es el resultado que se obtiene una vez que se
cubrieron todos los gastos y la rentabilidad mínima esperada por los
accionistas.Los componentes básicos del EVA son la utilidad de operación, el
capital invertido y el costo de capital promedio ponderado, a continuación se da
una breve explicación:
La utilidad de operación.-Se usa para el cálculo del EVA es la Utilidad
Operativa Después de Impuestos (UODI), que incluye los ingresos de
operación, sin intereses ganados, dividendos y otros ingresos extraordinarios;
los gastos incurridos en la operación de la empresa, incluyendo depreciaciones
e impuestos, sin tomar en cuenta intereses a cargo u otros gastos
extraordinarios. En éste método es importante eliminar la depreciación de la
utilidad operativa.
El capital invertido.- Son los activos fijos más el capital de trabajo
operativo y otros activos; otra forma de llegar al capital invertido es mediante la
deuda de corto y largo plazo con costo más el capital contable. El capital de
trabajo operativo no toma en cuenta los pasivos con costo ni pasivos diferidos
de impuestos a corto plazo.
El costo de capital promedio ponderado.- Éste se obtiene de dos
fuentes: deuda con acreedores, sujeta a intereses, y el capital de los
accionistas. Tanto el promedio ponderado del costo de la deuda después de
impuestos como el costo del capital propio conforman el costo de capital
promedio ponderado.
14
Los métodos para calcular el EVA son:
Método Spread (extensión)
(1.11)
donde:
r: Tasa de rendimiento sobre el capital invertido.
CCPP: Costo de capital promedio ponderado.
CI: Capital invertido al inicio.
La fórmula para obtener la tasa de retorno del capital invertido es:
(1.12)
Método Residual:
(1.13)
donde:
UODI: Utilidad operativa después de impuestos
CI: Capital invertido al inicio
CCPP: Costo de capital promedio ponderado
Ventajas del EVA:
Provee una medición para la creación de riqueza que alinea las metas
de los administradores de las divisiones o plantas con las metas de la
compañía.
Permite determinar si las inversiones de capital están generando un
rendimiento mayor a su costo.
15
Permite identificar a los generadores de valor en la empresa.
Los administradores que son compensados en función del EVA toman
acciones consistentes con la generación de valor.
Combina el desempeño operativo con el financiero en un reporte
integrado que permite tomar decisiones adecuadas.
Desventajas del EVA:
No es comparable cuando existen diferencias en los tamaños de las
plantas o divisiones; por ejemplo, una gran planta o división puede tener
un EVA alto una pequeño planta un EVA bajo.
Es un cálculo que depende de los métodos de la contabilidad financiera
para la realización de los ingresos y el reconocimiento de los gastos.
Esto puede motivar a los administradores a manipular estos números.
Sobre enfatiza la necesidad de generar resultados inmediatos; por lo
tanto, esto desincentiva a los administradores para invertir en productos
innovadores o procesos tecnológicos que generan resultados en el largo
plazo.
1.6 Retorno Sobre la Inversión (ROI) o Rendimiento del Activo (ROA), ventajas y limitaciones.
El significado de las siglas ROI, provienen de las palabras en inglés
Return on Investment; y en español es el Retorno Sobre la Inversión; también
se le conoce con el nombre de Return on Assets (ROA) y en español como
Rendimiento o Retorno del Activo. El cual es un indicador financiero que mide
la rentabilidad de una inversión, es decir, la tasa de variación que sufre el
monto de una inversión o capital al convertirse en utilidades o beneficios. El
16
porcentaje de ganancia obtenido, es una tasa real, es decir, sin inflación, para
mayor información véase Ross, Westerfield, (2003).
Este método es ampliamente utilizado en el análisis de las entidades
financieras, ya que puede medir la rentabilidad de los activos o lo que es lo
mismo su capacidad para generar valor, y así obtener un beneficio.
Utilizando el ROI, después de varios años se puede medir si el tamaño
de una empresa es proporcional al aumento de la rentabilidad, o si es por el
contrario que este crecimiento de la rentabilidad, implica un deterioro para la
empresa.
La fórmula para calcular el ROI esta dada por:
(1.14)
El ROI puede ser usado para evaluar una empresa en marcha: si el ROI
es menor o igual que cero, significa que los inversionistas está perdiendo
dinero; y mientras más alto sea el ROI, significa que más eficiente es la
empresa al usar el capital para generar utilidades.
Principalmente, el ROI se usa al momento de evaluar un proyecto de
inversión: si el ROI es menor o igual que cero, significa que el proyecto o futuro
negocio no es factible; y mientras mayor sea el ROI, significa que un mayor
porcentaje del capital se va a recuperar al ser invertido en el proyecto.
Asimismo, el ROI permite comparar diferentes proyectos de inversión,
aquel que tenga un mayor ROI será el más rentable y, por tanto, el más
atractivo.
17
Finalmente, debemos señalar que el ROI, debido sobre todo a su
simplicidad, es uno de los principales indicadores utilizados en la evaluación de
un proyecto de inversión; sin embargo, debemos tener en cuenta que este
indicador no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, por lo que al
momento de evaluar un proyecto, siempre es recomendable utilizarlo junto a
otros indicadores financieros, tales como el VPN y la TIR.
Los métodos tradicionales de valuación de proyectos que se
mencionan anteriormente y que se han venido utilizando por las empresas por
su facilidad y eficiencia no tienen el mismo comportamiento cuando estos
proyectos se encuentran en ambientes de alta volatilidad ya que son métodos
restringidos a situaciones estáticas que no permiten valuar adecuadamente los
proyectos y por lo tanto la toma de decisiones no podría ser la adecuada; sin
embargo en este trabajo de investigación para poder realizar la valuación del
proyecto de inversión de la minera se utilizara el método de opciones reales
que se desarrollara en el siguiente capítulo.
18
Capítulo II La valuación de un proyecto minero usando
Flujos de Efectivo Descontados y opciones reales.
Franco Modigliani y Merton Miller en su artículo The Cost of Capital,
Corporation Finance and the Theory of Investment, publicado en American
Economic Review en 1958; mencionan “Que el valor de la empresa
desampalacada es el mismo que el de la empresa apalancada”; siempre y
cuando exista la irrelevancia de la estructura de capital, es decir, que la
empresa se encuentre en un ambiente donde no existan los impuestos, los
costos de quiebra y asimetrías de información.
En 1964 aparece el método Capital Asset Pricing Model mejor conocido
como CAPM; en español Modelo de Precios de Activos de Capital, propuesto
de manera independiente por Jack Treynor (1962), William Sharpe (1964),
Jonh Lintner (1965) y Jan Mossin (1966).
Este modelo sirve para calcular el precio de un activo o una cartera de
inversiones, para activos individuales se utiliza la recta denominada Security
Market Line (SML), esta representa el retorno esperado de todos los activos de
un mercado en función del riesgo no diversificable. La línea SML permite
calcular la proporción de riesgo a recompensa, para cualquier activo en el
mercado.
La relación de equilibrio que describe el CAPM es:
(2.1)
donde:
E(ri) es la tasa de rendimiento esperada de capital sobre el activo i.
βim es el beta (cantidad de riesgo con respecto al Portafolio de Mercado), o también
19
, (2.2)
donde:
es el exceso de rentabilidad del portafolio de mercado.
(rm) Rendimiento del mercado.
(rf) Rendimiento de un activo libre de riesgo
El CAPM, integra el riesgo de mercado no diversificable a la valuación
de activos al descontar los flujos obtenidos de la empresa, con una tasa
adecuada, esto es, que los flujos de efectivo antes de intereses e impuestos, se
les aplicaría la tasa esperada, que se obtuvo del CAPM; y los flujos operativos
después de intereses e impuestos, se les aplica una tasa ponderada de costo
de capital (WACC Weighted Average Capital Cost), que a su vez utiliza la tasa
del CAPM junto a la tasa de deuda, en la estructura de capital.
La WACC, es la tasa de descuento que debe utilizarse para descontar
los flujos de fondos operativos, para valuar una empresa se utiliza este método
porque se puede tomar a los fondos como capital propio como de terceros, y la
WACC permite ponderar los costos de cada una de las fuentes de capital; a
continuación se muestra su formula:
(2.3)
donde:
Ke: Tasa de costo de oportunidad de los accionistas.
CAA: Capital aportado por los accionistas
D: Deuda financiera contraída
20
Kd: Costo de la deuda financiera
T: Tasa de impuesto a las ganancias
Aplicando los métodos mencionados anteriormente, se pueden hacer la
valuación de los flujos de un proyecto, usando el método de Flujos de Efectivo
Descontados por sus siglas en inglés DCF (Discounted Cash Flow) , en el que
se obtiene un estimado de los flujos futuros del proyecto, basándose en los
estados financieros pro-forma, y usando algunos supuestos sobre el
comportamiento de la empresa. Al obtener los flujos, el que se encuentra en el
tiempo cero es la inversión inicial de la empresa; y estos flujos son
descontados con una tasa adecuada (WACC).
En los últimos años, el tema de la valuación de empresas ha tenido
gran importancia, ya que juega un papel esencial, para la toma de decisiones
oportunas en relación con alianzas estratégicas, aporte de capital, entre otras.
Saavedra, M (2007), menciona que “El modelo de flujo de efectivo descontado,
toma en cuenta que el valor de la empresa esta dado por el efectivo disponible,
que espera generar en el futuro, descontado a una tasa que refleja los riesgos
de la empresa.
Otros autores como Nelson, J (2000) dice que el DFC se compone de
dos variables: los flujos de efectivo futuros y la tasa de descuento, también
menciona que la tasa de descuento, va a reflejar el riesgo de invertir en un
proyecto; por lo que los inversionistas piden altos rendimientos cuando el
riesgo es grande. Por otra parte López (2000) considera que “Una
característica del método DFC es que combina la información financiera con la
información del mercado de capitales”
Al respecto, Fernández (2008) menciona que el método DFC determina
el valor de la empresa a través de la estimación de los flujos de efectivo que
generará en el futuro para posteriormente descontarlos, a una tasa apropiada
según el riesgo de los flujos. También menciona que en la actualidad, se
recurre al uso del método de DFC, por que es el único método de valuación
21
conceptualmente “correcto” que es cada vez mas utilizado por las empresas, ya
que dicho método las considera como generadoras de flujos, y por lo tanto sus
acciones y su deuda son valuadas como otros activos financieros.
Anteriormente era común que las empresas valuaran sus proyectos de
inversión utilizando las cifras que obtenían de los libros contables; con el
tiempo fueron apareciendo nuevas técnicas como la del Valor Actual Neto
(VAN) y la Tasa Interna de Retorno (TIR), que forman parte del método de
valuación de Flujo de Caja Descontado (DFC); y es considerado el método más
completo para la valuación de proyectos.
En la actualidad se utiliza la técnica denominada Real Opcion Value o
en español Valoración de Opciones Reales (ROV), las opciones reales son
diferentes a las opciones financieras.
La mayoría de las empresas utilizan el método DCF para valorar las
inversiones potenciales; este método siempre ha sido de gran utilidad, la
pregunta es si se podría aplicar la técnica ROV en conjunto con el método
DCF; ya que así se podría proporcionar un valor más cercano a la realidad,
reflejando la incertidumbre y la variabilidad que se presenta; la técnica ROV
refleja valores adicionales en los proyectos, que probablemente sean omitidos
cuando solo se utiliza el método DCF.
Por lo que se dice que la técnica ROV no pretende desplazar al método
DCF, sino que complementarse con este ya que el ROV utiliza el método DFC
como una de sus herramientas.
2.1 Problema de Optimización Dinámica Estocástica (PODE) que enfrenta el accionista del proyecto minero.
Las mineras dependen de los cambios de las economías locales, ya
que sus gastos y sus beneficios obedecen al entorno macroeconómico y a las
decisiones estratégicas que se lleven acabo en la empresa. Estas últimas
22
suponen ser racionales y poseen la información adecuada para poder resolver
el problema de maximización que se presenta en un ambiente incierto.
Para la solución del problema de optimización dinámica que se plantea
en la investigación; se parte del supuesto de que el rendimiento del proyecto de
la minera, podrá ser modelado como un movimiento geométrico browniano con
tendencia.
El valor presente esperado, ,tF en el tiempo t, de un proyecto a través
del cálculo de los flujos de efectivo descontados puede describirse como:
E d ,ut s t
t
F e u
(2.4)
donde: s : Representa el flujo de efectivo esperado durante el desarrollo del proyecto
en el tiempo s. : Es la tasa de descuento apropiada según el sector y grado de apalancamiento del proyecto.
t : Sigma álgebra es toda la información relevante disponible en el tiempo t.
Se propone agregar al valor del proyecto, ,tF que es el valor de la prima
del, riesgo el cual se pretende modelar como una opción real. Para explicar
esta aproximación, se supone que existe un inversionista, adverso al riesgo, de
vida infinita que tiene acceso a un bono libre de riesgo crédito, ,tB cuyo
rendimiento, es decir el cambio porcentual está dado por la siguiente ecuación:
dd ,t
t
Br t
B
(2.5)
23
donde:
r :Es la tasa de interés libre de riesgo de incumplimiento que paga el bono.
Este inversionista también tiene acceso a un activo riesgoso, i.e., el proyecto,
,tF cuyo rendimiento está dado por un proceso de difusión de la forma:
1d d d ,t F F t tF t W F (2.6)
donde:
F : Es el rendimiento medio esperado del proyecto, F que es la volatilidad
instantánea del proyecto
1tW : Es un movimiento browniano, es decir, 1 (0, ),tW N t en cuyo caso se
cumple que 1 1E d 0 y Var d d .t tW W t
Aquí es cuando de forma natural, se da la necesidad de modelar el valor
de la empresa como un derivado, puesto, que el inversionista debe vender el
activo riesgoso a cambio de un precio de indemnización, ,K el cual, en el peor
de los casos, es determinado unilateralmente por el propio comprador.
Se puede decir que lo que se describió en el párrafo anterior es la
descripción de una posición corta en una opción de compra, , ,t tF t en la que
sólo falta especificar el plazo de vencimiento y la forma de ejercicio, i.e., las
condiciones de frontera; ambas características determinan el tipo de opción
analizada.
En el caso de los activo que provienen de la naturaleza es casi
impredecible el momento en que ocurre del acto de autoridad por parte de los
acreedores que hace necesaria la modelación a través de opciones
americanas, por lo que es posible suponer que el portafolio del inversionista
está conformado por posiciones largas en un bono, ,tB que paga una tasa libre
de riesgo y en el activo riesgoso, ,tF además de una posición corta en una
opción de compra sobre dicho activo, ,t esto es:
24
1 2 3( ),t t t t ta F B (2.7)
donde i representa la proporción de riqueza que el inversionista asigna a
cada activo en su portafolio.
Partiendo del supuesto de que solo se tiene una fecha de vencimiento,
en donde se decide si se ejerce o no la opción de compra del activo, se permite
convertir una opción de compra americana (se puede ejercer en cualquier
momento) en una opción de compra europea (fecha concreta de vencimiento);
lo que simplifica el problema de optimización para el accionista del proyecto
minero.
La naturaleza no financiera del subyacente hace necesaria la aplicación
de la metodología de opciones reales para su valuación, para mayores detalles
consultar Abel (1983), Trigeorgis (1996), Dixit y Pindyck (2000).
La metodología de opciones reales está basada en utilizar la tecnología
de opciones financieras en proyectos de inversión donde su aplicación
depende del comportamiento que tenga un proyecto principal que hace las
veces de subyacente. Tomando en cuenta lo anterior, la posición y tipo de
opción están establecidas por la naturaleza del proyecto a estudiar, en el caso
particular del riesgo de propiedad. Como se mencionó anteriormente, se trata
de una posición corta en una opción de compra es decir una opción real de
cierre.
La naturaleza incierta de la opción, i.e., por su naturaleza de derivado,
conduce a utilizar el cálculo de Itô en la formulación de la ecuación diferencial
estocástica que rige la prima. Aplicando las reglas del cálculo estocástico al
rendimiento de la opción europea de compra, se obtiene:
1
dd d , ,t
t
t W
(2.8)
25
Y es la ecuación diferencial estocástica (EDE) que representa el
rendimiento de la opción real de cierre que modela el riesgo. En este caso se
dice que:
22 2
2
1 1
2F t F tt t t
F Ft F F
y
1.F
t tF
(2.9)
Para terminar el planteamiento del problema de optimización dinámica
estocástica (PODE), se necesita establecer la función de beneficios que refleje
las preferencias crecientes a tasas decrecientes por los beneficios que
presenta el activo analizado. Para esto se propone una función de beneficios:
, , / ,t t t t tB F la cual se supone cóncava en concordancia con
agentes adversos al riesgo.
2.2.1 Los supuestos del análisis y sus implicaciones.
Después de haber obtenido las ecuaciones diferenciales que modelan
los rendimientos de los activos a los que puede tener acceso el inversionista,
se encuentra en posición de modelar el rendimiento de su riqueza, ,ta está
dada por la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE):
1 2 1 2d d d 1 d d .t t t t t t t ta a F a a B t (2.10)
Para encontrar la solución al problema, de maximizar la ecuación (2.4)
sujeta a la ecuación (2.10), es necesario establecer las tendencias óptimas de
cada uno de los activos a los que tiene acceso el inversionista, así como el
beneficio esperado óptimo.
Para ello se tiene que plantear la maximización del valor esperado de los
beneficios del inversionista descontados WACC por la tasa apropiada, ,
sujeto a la restricción presupuestal de su riqueza, esto es:
26
1 2 1 2
Maximizar E d
s. a.
d d d 1 d .
t
utt
t
t t t t t t t t
e u
a a F a a B
(2.11)
donde:
Ε, es, sigma álgebra que representa toda la información relevante disponible
hasta el tiempo t. Para resolver este problema, se recurre a la función de valor,
para más detalles véase Chiang, A 1992:
, max E dt
stt t
t
J a t e s
.
(2.11 a)
A partir de la cual se obtiene la siguiente ecuación:
, max E d d .t
t dts st t
t t
t t dt
J a t e s e s
(2.12)
Al observar que el segundo sumando dentro de la esperanza se puede
observar que es la misma funcional, J, evaluada un instante después del punto
de partida. El primer sumando se aproxima a su valor usando la diferencial de
Fréchet y se aplica el teorema del valor medio de la integral en el primer
sumando, con lo que se obtiene la siguiente ecuación:
2 2
1 2 1 2
1 2 1
1 2, ,
.
d2
d d
0 max E st t aa tt a t F Ft t t t
t
a t F t
t t t
J ae J J a r r r ta
o t J a W
(2.13)
Tomando las esperanzas, y dividiendo sobre dt y posteriormente se usa
el límite cuando dt tiende a cero, se obtiene:
27
2 2
1 2 1 21 2, ,
.2
0 max st t aa tt a t F Ft t t t
tt t t
J ae J J a r r ra
(2.14)
Posteriormente, se propone como candidato de solución la función separable
, ( / ) .tt tJ a t a e Después de realizar algunas sustituciones, se puede
obtener un Hamiltoniano como el que a continuación se muestra:
21 2 1 21 2, ,
1.
20 max tt t t
t F Ft t t ttt t t
aaa r r r
a
(2.15)
2.2.2 Las opciones reales como resultado de las condiciones de primer orden del PODE.
Al derivar la expresión con respecto de cada una de las variables de
decisión, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para las
condiciones de primer orden (CPO):
1 1
1 21
1 22
0: 0,
0: 1 0,
0: 1 0.
t tt
t tF F Ft tt
t t F t tt
H a
H a r a
H a r a
(2.16)
Al usar las dos últimas ecuaciones, se puede decir que los premios al riesgo de
los activos del portafolio son iguales, es decir:
.F
F
rr
(2.16 a)
Se sustituyen la media y la varianza del derivado; en este caso de la
opción real, dadas en las ecuaciones (2.6) y (2.8), se obtiene la ecuación
diferencial parcial de segundo orden de Black-Scholes (1973), Para más
detalles véase Venegas-Martínez (2008).
1 2, ,t t ty
28
22 2
210 .2t t FFr F r
t F F
(2.17)
La ecuación anterior modela el riesgo del activo. Utilizando los
supuestos antes mencionados, las condiciones de frontera de la opción real
son: max ,0TF K y 0, 0.T T La solución de la ecuación 2.17 está dada
por:
1 2
2
1 2 12
ln2
,
t
r T tt
t F
F
F N d Ke N d
F r T tK
d d d T tT t
(2.18)
En este caso el valor del proyecto minero, ,t está referido como función
del valor del proyecto original, ,tF el valor de la indemnización, K , la tasa libre
de riesgo de incumplimiento, r, la volatilidad del proyecto original, 2 ,F y el
tiempo que tiene el inversionista para tomar la decisión, T t .
Una vez establecida, la ecuación usando los supuestos antes
mencionados, se utiliza la solución de Black-Scholes como una aproximación
para el valor del riesgo de propiedad que enfrentan los inversionistas de una
empresa, lo que representa una posible expropiación, se puede establecer la
sensibilidad de este riesgo ante cambios en sus factores.
Quizás, el más importante de estos factores es la inversión ,K que se
deberá de pagar para acceder al proyecto y que puede ser establecida de
forma unilateral dependiendo del proyecto.
Un factor que se debe de considerar es la volatilidad del subyacente, i.e.,
del proyecto original, la cual se representa mediante ( ) / .F , se puede
29
observar una relación positiva entre la volatilidad del proyecto original, ,F y el
valor de la opción en una posición larga, ( ), es decir, 0. Invirtiendo el
signo dada la posición corta, se tiene que: 0, lo que significa que a mayor
volatilidad en el proyecto; aumentan los incentivos, aumentando con ello la
probabilidad de ejercicio de la opción real.
Resulta importante hacer notar que la solución a la ecuación (2.17) está
dada por la fórmula de Black-Scholes, la cual es válida si se tiene con una
estructura de plazos plana, mercados completos, divisibilidad perfecta del
subyacente y normalidad en la distribución de los rendimientos del activo
subyacente.
2.3 Opciones reales.
En el año de 1977 el profesor Stewart Mayers, utilizo por primera vez el
término de opciones reales, asimismo Black y Scholes (1973) y Merton
(1973a), aplicaron el concepto de opciones reales a las opciones financieras,
las cuales dependen de la incertidumbre que presenta el proyecto. Para
mayores detalles véase Venegas -Martínez (2008).
Las opciones reales aplican la metodología de las opciones financieras a
la valoración de inversiones empresariales. Los proyectos de inversión
presentan incertidumbre y cierto margen de flexibilidad; las opciones reales se
utilizan en proyectos de inversión empresariales flexibles como i.e abandonar
o vender el proyecto de inversión antes de terminar o prolongar la vida del
proyecto.
El método basado en opciones reales permite conocer la flexibilidad de
las decisiones de la empresa sin que se afecte la probabilidad de que ocurran
los eventos, ya que permite obtener probabilidades neutrales al riesgo.
30
No obstante, la valoración de proyectos de inversión, utilizando opciones
reales, supone una complejidad analítica mayor de la que presentan los
métodos clásicos.
Desde que Myers(1977) menciona la importancia de las opciones reales
en el valor de la empresa, se han presentado diversos trabajos en donde se
introduce el valor de las opciones reales de las empresas como un parte
importante en el valor de sus activos. Así el activo total de la empresa se
compone de dos elementos básicos: inversiones ejecutadas en funcionamiento
(que toma el valor de los activos tangibles e intangibles que tiene actualmente
la empresa) y las oportunidades futuras de inversión (opciones reales).
Cabe señalar que cuando se habla de opciones reales, y se presenta el
caso de una pérdida por el incumplimiento de las expectativas, no se perderá la
totalidad del proyecto de inversión, sino sólo la prima (inversión inicial)
correspondiente a la opción o el elemento de inversión.
El método de opciones reales se ha extendido en las empresas que
operan en ambientes de alta incertidumbre, muchos economistas opinan que
las opciones reales ayudan a hacer frente a la incertidumbre con racionalidad y
prudencia, i.e como en el caso de entrar en mercados internacionales, en los
cuales resulta muy difícil predecir el resultado que se obtendrá en los
proyectos.
El éxito obtenido con la aplicación de la teoría de opciones reales, se
basa en el grado de acierto a la hora de elaborar el análisis sobre los diferentes
factores y las tendencias que presenta la incertidumbre.
31
Es necesario mencionar que una opción real es similar a una opción
americana, pues los proyectos son ejecutables en cualquier punto en el tiempo,
no sólo al final del periodo de valuación del proyecto. Para mayor información
consultar Bhattacharya, (1978).
32
Capítulo III Valuación empírica del proyecto.
3.1 Análisis de los flujos de efectivo.
Las empresas elaboran un reporte de sus ventas y gastos generados, en
base a estos datos, obtienen un diferencial que les permite conocer la utilidad
obtenida durante ese periodo, a esto se le conoce como flujos de efectivo.
Los flujos de efectivo le permiten a la empresa, tomar decisiones sobre las
inversiones, implementar las medidas necesarias para el adecuado manejo de
los recursos de los propietarios, además de ser un indicador importante de la
liquidez de la empresa.
El valor de los activos y de la deuda se obtiene calculando el valor actual
de los flujos, descontados a diferentes tasas que reflejan el riesgo, de esta
forma se ven reflejados los fondos generados por las operaciones de la
empresa para los inversionistas.
A continuación se presenta los flujos de la empresa minera durante el
periodo del 31 de marzo de 2000 al 30 de septiembre de 2010.
Gráfica 1. Flujos de Efectivo.
Elaboración propia con datos de Economatica.
33
En la gráfica 1 se muestran los flujos derivados antes de impuestos, el
resultado operativo del EBIT.
Se puede observar que los flujos que presenta la empresa durante el año
2000 son negativos, esto se debe a que un año antes hubo una huelga en la
minera, y esto represento pérdidas para la empresa, pero a partir del año 2001
hasta el año 2010 presenta flujos positivos, los cuales reflejan la estabilidad
que ha tenido grupo peñoles durante dicho periodo.
A partir del análisis de los flujos mencionados anteriormente, se realizo una
proyección de 5 años, con el objetivo de verificar si la empresa seguía
presentando la misma estabilidad o se había presentado algún cambio.
A continuación se muestra una gráfica en la cual se puede observar que los
flujos pronosticados se comportan de manera estable, proporcionándole a la
empresa minera la estabilidad necesaria para poder seguir operando.
Gráfica 2. Flujos estimados.
Elaboración propia con datos de Economatica.
34
3.2 Ajuste de ARMA y pronósticos.
Los modelos ARMA, son comúnmente utilizados para series de tiempo,
respecto a estos existen diversas ideas algunas muy viejas y otras recientes,
en este caso se uso la serie de tiempo de los flujos de efectivo que presenta la
empresa minera del año 2000 al 2010.
Primero se modela el proceso aurorregresivo (AR) donde, se obtuvo un
AR(1), se dice que la serie sigue un proceso autorregresivo de primer
orden, el valor de los flujos en el tiempo t depende de su valor en el periodo
anterior y de un término aleatorio.
Mientras que los procesos de medias móviles MA, establecen una relación
de dependencia entre la variable que se modela y el ruido blanco et. En este
caso como sólo existe un retardo de la variable de ruido blanco será un
proceso de media móvil de primer orden, o MA(1).
En este trabajo los datos presentaron características de AR(1) y MA(1), al
mismo tiempo y por lo tanto resulta ser un modelo ARMA (1,1), esto significa
que existe un término autorregresivo, uno de media móvil y un termino
constante. Posteriormente se realizo un pronóstico de 5 años de los flujos de
efectivo de la empresa minera.
A continuación se muestra un cuadro con los datos más significativos del
modelo y su interpretación.
Cuadro 4. Datos del modelo ARMA (1,1)
Fuente: Elaboración propia con los datos obtenidos de Eviewa.
35
La prueba Durbin – Watson (DW) es usada para detectar la presencia de
autocorrelación en los modelos de regresión, la principal característica que
presenta es que la varianza es finita y por lo tanto se trata de un proceso no
explosivo. En este caso se puede observar que no existe autocorrelación, ya
que la relación entre los residuos será intermedia, por lo que el valor del
estadístico también presentará un valor intermedio, además de que el valor
esta dentro de los parámetros establecidos.
Dado que se habla de un modelo de series de tiempo, el tener un valor
de 0.664349 en el coeficiente de bondad de ajuste es considerado aceptable.
La serie no presenta tendencia, observando que en primeras diferencias es
estacionaria, una demostración formal está dada por medio de la prueba de
raíz unitaria de Dickey-Fuller (DF), en l a cual se observa que el modelo no
presenta raíces unitarias comprobando así que la serie es estacionaria.
Lo mencionado anteriormente se basa en las hipótesis que presenta la
prueba, la primera es la hipótesis nula que dice que existe raíz unitaria es decir
que la serie de tiempo no es estacionaria, y la hipótesis alternativa que la serie
de tiempo no tiene raíz unitaria, por lo que será estacionaria.
A continuación se muestra la prueba de estacionariedad Kwiatkowski –
Phillips – Schmidt - Shin (KPSS). En esta prueba los autores propusieron
contrastar como hipótesis nula la idea de estacionalidad con tendencias, esta
es la principal diferencia que existe con las otras pruebas de raíces unitarias.
La prueba KPPS, es muy útil ya que refleja si la serie es fraccionalmente
integrada, en el cuadro 5 se observa que el valor de la prueba es menor que el
de los tres estadísticos, por lo que se acepta la hipótesis nula de que existe
estacionariedad en la serie.
36
Cuadro 5. Prueba KPPS.
Elaboración propia con datos de EViews.
Posteriormente se realizo la prueba de independencia de residuos Brock
Dechert y Scheinkman (BDS), en 1987 e implementada en 1996 por LeBaron,
basada en un test estadístico sobre la hipótesis nula que dice, que una serie
temporal es Independiente e Idéntica Distribuida ( i.i.d.) . Comprueba que los
residuos no están relacionados en ningún nivel de inmersión, esto es una
norma de orden p aproximada mediante una partición del intervalo analizado, y
que por tanto, tienen la misma distribución de probabilidad.
La metodología consiste en realizar la prueba sobre los residuos de la
serie ajustada con el mejor retardo de un proceso autorregresivo, de esta
manera se plantea la idea de analizar la no linealidad.
En el cuadro 6 se puede observar que los residuos cumplen con el
supuesto de ser independientes e idénticamente distribuidos.
Cuadro 6. Prueba BDS
Elaboración propia con datos de EViws
37
La prueba de Jarque – Bera (JB), muestra si la asimetría y la curtosis
coinciden con una distribución normal, en este caso se puede observar en la
gráfica 3 que la serie no cumple con el supuesto de normalidad, pues el
estadístico cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula (normalidad).
Gráfica 3. Prueba Jarque-Bera.
Elaboración propia con datos de EViws.
3.3 Construcción de las tasas de descuento.
El Modelo de Valoración del Precio de los Activos Financieros o Capital
Asset Procing Model, conocido como CAPM, es una de las herramientas
más utilizadas en el ámbito financiero, ya que sirve para calcular la tasa de
retorno requerida para un determinado activo.
La teoría económica de la empresa dice que solo se debe de operar en el
punto donde el ingreso marginal sea exactamente igual al costo marginal. Por
lo que si se aplica este principio al supuesto de capital, se debe de considerar
la tasa de rendimiento de la inversión, como el ingreso marginal; mientras que
el costo marginal se considera equivalente al costo promedio ponderado de
capital, también conocido como WACC. En base a lo referido anteriormente, la
empresa solo debería invertir en aquellos proyectos en donde la tasa de
rendimiento sea igual a su costo de capital o sea superior a este.
38
En este caso se obtuvo el valor de beta mediante una regresión por
Mínimos Cuadrados Ordinarios; siguiendo el procedimiento sugerido en Ros
(2000). Posteriormente, se elaboro una distribución normal estándar
aleatoria para calcular la tasa corta Vasicek; esta se utilizo para elaborar el
rendimiento esperado del capital sobre el activo (ri).
A continuación, con estos datos se calculó la WACC, para los 5 años
que se pronosticaron, utilizando el ultimo punto calculado para traer a valor
presente los flujos de efectivo de la empresa, a continuación se suman los
valores obtenidos para los 5 años, se les restan los activos que posee la
empresa y se obtiene el Valor Actual Neto (VAN).
Por ultimo, el VAN es utilizado en la Simulación Montecarlo, en donde se
presentan los diferentes escenarios de las opciones reales, que se pueden
dar en la empresa minera.
3.4 Cálculo del valor de las opciones reales.
Durante la década de 1990 las opciones reales, fue el principal tema de
investigación en el campo de las finanzas y de la economía empresarial, y lo
sigue siendo en la actualidad.
Todos los proyectos de inversión implican algún grado de incertidumbre
y un margen de flexibilidad. En este caso se plantearon cuatro posibles
escenarios de opciones reales, que podrían presentarse en el proyecto.
Expansión del proyecto: Una empresa minera podría expandir el valor
presente de los flujos de efectivo esperados de un proyecto en una proporción
α. Por ejemplo, mediante el incremento en el nivel de ventas, precios,
capacidad de producción de la empresa minera, por lo cual requiere invertir una
cantidad K´ en el tiempo T.
39
Esta posibilidad estratégica tiene una opción asociada con el proyecto
subyacente existente. Si (1+ α) ST – K´ es el valor presente neto aumentado en
la producción α menos el costo de la inversión adicional K´ al tiempo T, el valor
intrínseco de esta opción está dado por:
Cе (ST,T;α,K´)=ST+αc(ST,T;K)
donde:
K=K´/α y c(ST,T;K) es el valor intrínseco de una opción europea de compra. En
particular, si el valor presente de los flujos de efectivo esperados es conducido
por un movimiento geométrico Browniano “neutral al riesgo”
Permanencia del proyecto: En proyectos mineros de inversión de etapas
múltiples se pasa de una etapa a la siguiente si el beneficio esperado es
positivo. En caso contrario, no se invierte en la siguiente etapa ni,
probablemente en todas las demás. De esta manera, cada etapa en que se
invierte también se adquiere una opción para permanecer en el proyecto en la
próxima etapa.
donde:
Cp (ST,T;K)=max(ST – K,0)
Cierre temporal: Se supone que el costo de cierre de la mina es C, el cual es
una proporción fija, ∂, del valor presente de los flujos efectivos esperados del
proyecto subyacente, ST, es decir C=∂ ST. Asimismo, suponga que esta opción
expira en T. Si los flujos de efectivo previstos son menores que los costos
variables, entonces, las operaciones se suspenden, lo cual genera un ahorro
en los costos variables. En este caso el valor intrínseco de la opción es:
Cx =(ST,T; ∂,K)= ST-min(XT, ∂ ST)-a, donde a representa los costos fijos.
40
Cierre permanente: La empresa minera se encuentra operando, con pérdidas,
y se podría tomar la decisión de cierre total, en T, si el valor presente de los
flujos de efectivo esperados en ST, es menor que cierto valor de recuperación
VT. En están consecuencia, el valor intrínseco de esta opción real es:
Cα(ST,T)=max(ST, VT)
Si VT> ST la opción se ejerce. Si VT=K, la opción sólo puede ser ejercida en T,
entonces se utiliza la fórmula de Black-Scholes para valuar una opción
europea, también se puede realizar con opciones reales de abandono tipo
americanas.
A continuación se presentan los resultados obtenidos.
Cuadro 7. Valuación de Opciones Reales.
Elaboración propia con datos de Economática
41
Conclusiones
Al inicio de este trabajo de investigación, se observo la problemática que
presentaba la empresa minera, dedicada a la extracción de plata en el estado
de Zacatecas, la cual al encontrarse en un ambiente inestable es decir de alta
volatilidad, era inseguro realizar inversiones en el mercado, aun que a pesar de
eso las efectuaban, utilizando los métodos tradicionales de valuación, pero
estos no se asemejan a la realidad.
Después de analizar la problemática que presentaba la empresa se
formulo la idea de valuar el proyecto de inversión de la empresa por medio de
un proceso de optimización dinámica estocástica, para valuar opciones reales,
sugiriendo cuatro posibles escenarios, expansión, permanencia, cierre temporal
y cierre permanente del proyecto.
Se tomaron 10 años para mostrar empíricamente que una empresa
minera es por naturaleza altamente volátil y por tanto un candidato idóneo para
ser tratado con opciones reales. A lo largo del trabajo se ha mostrado y
demostrado esta última afirmación.
Aunado a este hecho el ambiente macroeconómico en el cual se desenvolvió la
empresa también presento periodos de alta volatilidad introduciendo un nuevo
elemento de incertidumbre al análisis, estos elementos fueron parcialmente
captados mediante la calibración de un modelo de tasa corta Vasicek, lo cual
incorpora un elemento de realismo a la tasa de costo de capital usada en la
valuación.
Sobre este punto es necesario aclarar que parte de la estructura de
dependencia de los flujos de efectivo con la tasa de interés y el mercado se
perdió al ignorar la correlación entre estos la cual pudiera ser recuperada
mediante el uso de una función bivariada o saltos de valor extremos, los cuales
podrán ser incorporados en investigaciones subsecuentes.
42
Del mismo modo, y ante la evidencia empírica presentada se
incorporaron valuaciones a través de opciones reales para las más evidentes
posibilidades de decisión corporativa en el desarrollo de la empresa.
Como resultado teórico adicional, se encontró que una empresa minera
en ambientes de alta volatilidad, busca maximizar sus beneficios, pero se
enfrenta a una restricción de riqueza, establecida por la diferencia entre sus
ingresos y sus deudas, además de una estructura de plazo plana, un mercado
financiero perfecto dentro de un ambiente dinámico y estocástico. Todo esto
fue demostrado en el capitulo dos.
Los resultados obtenidos en esta tesis confirman mediante evidencia
empírica la teoría propuesta por Modigliani y Miller; en donde hablan sobre la
intranscendencia de la estructura de capital; así como los supuestos del trabajo
de Black y Sholes, pues en el optimo, las proporciones de riqueza de cada
activo desembocan en una ecuación diferencial parcial de segundo orden
similar a la propuesta en dicho trabajo seminal.
La evidencia empírica aportada a lo largo de este trabajo de
investigación, permite establecer que las hipótesis planteadas al inicio de la
misma son correctas, pues muestran que la aplicación de las opciones reales,
facilita una valuación aproximada a la realidad de los proyectos de inversión en
ambientes de alta volatilidad; al incorporar la flexibilidad de las decisiones
empresariales.
43
Apéndice I. Cálculo de Itô. En 1942, el matemático japonés Kiyoshi Itô desarrolló, lo que actualmente se
conoce como lema de Itô; en las finanzas, es usado frecuentemente; ya que es
una de las herramientas más útiles, para el cálculo estocástico.
Una ecuación diferencial estocástica es la notación simplificada de una integral
estocástica, las reglas que se establecen con la notación diferencial y los
resultados que a partir de ellas se desprenden son consistentes con las
propiedades de la integral estocástica.
La diferencial estocástica permite, obtener resultados de manera más rápida y
sencilla sobre la integral estocástica, como se puede observar en el desarrollo
del cálculo de Itô.
Consideré una función tSfy t , . Utilizando la regla dt2
t dW , es preciso
calcular la diferencial de tSfy t , tomando en cuenta los términos de
segundo orden en una expansión de serie de Taylor.
En el caso de las variables reales, la diferencial se calcula sólo con los
términos de primer orden ya que el producto de cantidades infinitesimales no
resultan ser útiles. La expansión en serie de Taylor de tSfy t , se realiza
hasta obtener los términos de segundo orden:
32
2
22
2
2 ,,2
,
2
1,,Rdt
t
tSfdtdS
tS
tSfdS
S
tSfdt
t
tSfdS
S
tSfdS t
tt
tt
t
ttt
t
tt
(2.19)
La sustitución de la ecuación (2.19) y la aplicación de las reglas de
diferenciación estocástica que se presentan a continuación, (dt)2 = 0, (dt) (dWt)
= 0, y un (dWt)3 = (dWt) (dWt) (dWt) = (dt) (dWt) = 0 y un (dWt)
2 = dt.
Se realiza, la sustitución de dWSdtSdS tttt en la integral
estocástica en el lema de Itô, y se obtiene:
44
2
2
2
2tdW
2dt
,
2
1
,,ttt
t
ttt
t
ttt dWSdtS
S
tSfdWSdtS
S
tSfdt
t
tSfdS
(2.20)
Conociendo que dt2 = 0, por lo que será anulado en la ecuación. Ya que la
regla de diferenciación dice que:(dWt)2 = dt. Y se reescribe de la siguiente
manera:
dtS
S
tSfdWSdtS
S
tSfdt
t
tSfdS t
t
ttt
t
ttt
222
2
,
2
1
,,
(2.21)
A continuación se agrupan dt´s con dt´s y dW´s con dW´s y se obtiene la ecuación del Lema de Itô:
dWS
S
tSfdtS
S
tSfS
S
tSf
t
tSfdS t
t
tt
t
tt
t
ttt
,
,
2
1
,, 222
2
(2.22)
45
Apéndice II. Simulación Monte Carlo.
El método de Monte Carlo, tiene sus orígenes, aproximadamente en el año
1944, aunque existen algunos eventos aislados presentados con anterioridad,
donde se hace aplica el método Monte Carlo, pero no fue hasta el año de 1949,
que en el artículo de Metropolis y Ulam, “The Monte Carlo Method”; que se
habla formalmente de dicho método.
La simulación Monte Carlo, es un método que trata de buscar soluciones
aproximadas a los problemas matemáticos, en los cuales intervienen variables
aleatorias que dependen del tiempo.
El método Monte Carlo tiene dos características principales:
a. Para usar el algoritmo del método Monte Carlo, es necesario desarrollar
un programa para efectuar una prueba aleatoria. Posteriormente la
prueba se repetirá N veces, de manera que cada ensayo sea
independiente de los demás y se tomara la medida de los resultados
obtenidos de todos los ensayos.
b. Frecuentemente, el error es proporcional a la magnitud; , donde
D es una constante y N es el número de experimentos. Es importante
mencionar, que para disminuir el error 10 veces es necesario aumentar
N a 100 veces; los diferentes valores que corresponden a D, son de
varios procedimientos del cálculo, por lo que es trascendental construir
un valor pequeño de D. Además, que la eficacia del método de
simulación Monte Carlo, se basa, en la eficacia de los números
aleatorios generados, esto es, que se necesita que tengan un alto grado
de aleatoriedad. Para una explicación más amplia véase, Venegas,
(2008).
46
Según John von Neumann, los números aleatorios que se generan con algún
algoritmo, reciben el nombre de números seudo-aleatorios.
Venegas (2008), señala que el método de congruencias o residuos lineales,
para la generación de números seudo-aleatorios; es uno de los algoritmos más
sencillos, para crear números aleatorios, a continuación se explica el algoritmo,
antes mencionado:
Primero se define:
≡ mod , n∈∣N∪{0}, 0dado,
donde:
Los números enteros a, b y m son constantes.
La operación aritmética que establece la ecuación anterior es:
,
donde:
z es un número entero y .
Posteriormente se describen las pruebas estadísticas ji-cuadrada y
Kolmogorov-Smirnov sobre la calidad de los números aleatorios generados por
Excel. Donde la prueba de bondad de ajuste es posiblemente la más
conocida de las pruebas estadísticas; se toman n observaciones
independientes y se definen k clases exhaustivas y mutuamente excluyentes
en las que cada observación puede caer.
47
donde:
es la probabilidad de que una observación caiga en la clase s y ; y el
número de observaciones que caen en la clase s , se define en el estadístico.
Al tomar en cuenta las siguientes identidades;
2 ,
⋯ = n
y
⋯ = 1,
Por lo que se puede describir a V como:
1
Al usar el generador de números aleatorios de Excel de una distribución
uniforme en el intervalo [0,1] para originar una muestra de tamaño n=10,000 y
que se define como k = 10 clases, en donde el número de grados de libertad
esta dado por v = k -1 = 9, por lo que la probabilidad de generar números
aleatorios en cada categoría es la misma de .
48
Por lo mencionado anteriormente, no se puede rechazar la hipótesis de que
Excel genera números aleatorios.
Se dice que una prueba de bondad de ajuste más apropiada que la ji-cuadrada
cuando la distribución bajo la hipótesis nula, , es continua esta basada en
la estadística de Kolmogorov-Smirnov. Para esta prueba no es necesario que
los datos se encuentren agrupados en clases y se puede utilizar con muestras
pequeñas.
Esta prueba consiste en comparar la función de distribución real observada en
la muestra ordenada, ,con la frecuencia acumulada teórica; que se puede
obtener a partir de la distribución de probabilidad.
Si esta comparación es lo suficientemente grande, entonces la hipótesis nula
se rechaza. A continuación se presenta el proceso para llevar a cabo una
prueba de Kolmogorov-Smirnov de aleatoriedad. Para una explicación más
amplia véase. Venegas (2008) :
1. Se toman n observaciones independientes de una variable aleatoria
: , ,…….. , , y se define la función de distribución empírica
mediante la ecuaión:
ú , ,…, , x
2. Se reordenan las observaciones en forma ascendente; como a
continuación se muestra: ≤ ≤ … ≤ ; a este proceso se le
conoce con el nombre de estadísticas de orden.
3. Se definen las estadísticas de Kolmogorov-Smirnov, y , las cuales
están expresadas por las ecuaciones:
1maxn j n j
jK n Fo X
n
49
y
1
1maxn j n j
jK n Fo X
n
donde:
nK , mide la desviación máxima cuando nF , esto es la muestra ordenada, es
mayor que la hipótesis nula 0F , y la estadística nK , mide la desviación máxima
de la muestra ordenada nF , que es menor que la hipótesis nula 0F .
La aplicación del Método Montecarlo para la estimación de opciones europeas de compra y venta. Suponemos que el activo subyacente, tiene un comportamiento de acuerdo a un movimiento geométrico Browniano; en un mundo neutral al riesgo; esto es:
t t t tdS rS dt S dW
donde: r; representa la tasa de interés constante, , es la volatilidad instantánea; y
(0, )tdW N dt .Los precios de las opciones europeas de compra y venta se
encuentran representados por las siguientes ecuaciones: Ecuación de la opción de compra (call):
)0, max ,0 /r T t
t T tc S T e E S K F
Ecuación de la opción de venta (put):
)0, max ,0 /r T t
t T tp S T e E K S F
Usando la ecuación t t t tdS rS dt S dW , y aplicando incrementos discretos, se
puede obtener que el precio del activo subyacente este dado por la ecuación:
t t t tS rS t S
donde: , es una variable normal estándar.
Aplicando el lema de Itô a la ecuación t t t tdS rS dt S dW da como resultado:
50
21ln
2t td S r dt dW
Y su forma discreta esta representada por la ecuación:
21exp
2t t t tS S r t
En donde, la serie de simulación de precios del activo subyacente es generada
con un valor oS y la generación de números aleatorios de n para obtener los
posibles valores de nS .
Venegas (2008) menciona que basándose en las ideas anteriores, se puede
plantea el siguiente algoritmo para establecer el valor de la opción:
Simular el comportamiento del subyacente, iniciando con el valor del
subyacente en el presente, es decir en oS , y siguiendo hasta la fecha de
termino de la opción T , lo cual aporta una posible trayectoria de los
precios del subyacente.
Calcular el valor intrínseco de la opción, para cada simulación.
Se repiten n veces los pasos anteriores.
Se calcula el promedio de los valores intrínsecos obtenidos.
Calcular el valor presente del promedio, con lo cual se obtiene el valor
de la opción.
Entre mayor sea el número de ejecuciones, la exactitud del resultado
será mejor.
51
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