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VALUACIÓN DE VALUACIÓN DE ACTIVOS E INVERSIONES Alejandro Diosdado Rodríguez Administración de Riesgos Financieros Ernst & Young (México) [email protected]

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VALUACIÓN DEACTIVOS E INVERSIONESVALUACIÓN DEACTIVOS E INVERSIONES

Alejandro Diosdado RodríguezAdministración de Riesgos Financieros

Ernst & Young (México)[email protected]

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Temario

1. Entorno de la Inversiones

2. Valuación de Activos No Financieros

3. Valuación de Activos Financieros (Bonos)

4. Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

5. Instrumentos Financieros Derivados

Valuación de Activos e InversionesPage 2

1. Entorno de la Inversiones

2. Valuación de Activos No Financieros

3. Valuación de Activos Financieros (Bonos)

4. Estructura Intertemporal de Tasas de Interés

5. Instrumentos Financieros Derivados

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El Entorno de las Inversiones

TierrasInmueblesEquiposTecnologíaOtros

PréstamosBonosAcciones

Conjunto de ActivosReales

Conjunto de ActivosFinancieros

Valuación de Activos e InversionesPage 3

TierrasInmueblesEquiposTecnologíaOtros

PréstamosBonosAcciones

Usados para crear bienes y servicios(Tangibles e Intangibles) Rendimientos Variables Lado Activo del Balance

Derechos “generados” para reclamaractivos reales.

Rendimientos Fijos y Variables

Lado Activo y Pasivo del Balance

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Activos – Valuación, Rendimiento y Riesgo

Tanto los activos reales, como los activosfinancieros que soportan dichos activos reales,representan cierto riesgo para la empresa y paralos inversionistas.

Dependiendo el tipo de inversionista, existendiversos niveles de aceptación de riesgo yrendimiento requerido (desde aversión absolutahasta indiferencia completa al mismo).

Valuación de Activos e InversionesPage 4

Tanto los activos reales, como los activosfinancieros que soportan dichos activos reales,representan cierto riesgo para la empresa y paralos inversionistas.

Dependiendo el tipo de inversionista, existendiversos niveles de aceptación de riesgo yrendimiento requerido (desde aversión absolutahasta indiferencia completa al mismo).

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Valuación de un Activo

Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento deun activo para determinar su valor razonable.

Influyen en el valor del activo tres factores principales:

► Flujos de efectivo► Momento en que ocurren los flujos► Rendimiento requerido (en función del riesgo)

Valuación de Activos e InversionesPage 5

Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento deun activo para determinar su valor razonable.

Influyen en el valor del activo tres factores principales:

► Flujos de efectivo► Momento en que ocurren los flujos► Rendimiento requerido (en función del riesgo)

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Modelo Básico de Valuación

► El valor de cualquier activo es el valor presente detodos los flujos de efectivo futuros que se esperaproporcione durante el periodo de tiempo relevante.

► Es decir, el valor del activo se determina aldescontar los flujos de efectivo esperados usandoun rendimiento requerido acorde con el riesgo delactivo.

Valuación de Activos e InversionesPage 6

► El valor de cualquier activo es el valor presente detodos los flujos de efectivo futuros que se esperaproporcione durante el periodo de tiempo relevante.

► Es decir, el valor del activo se determina aldescontar los flujos de efectivo esperados usandoun rendimiento requerido acorde con el riesgo delactivo.

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Valuación de ActivosValuación de ActivosNo FinancierosNo Financieros

Valuación de ActivosValuación de ActivosNo FinancierosNo Financieros

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (1)

Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y comoparte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI porsus siglas en inglés).

La información disponible del edificio es la siguiente:

Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%Seguro $10,000Impuestos $8,000Mantenimiento y mejoras $22,000

Método de Flujos de efectivo descontados después deimpuestos. Este método liga el valor de una propiedad a latasa de impuesto marginal de un inversionista

Valuación de Activos e InversionesPage 8

Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y comoparte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI porsus siglas en inglés).

La información disponible del edificio es la siguiente:

Ingresos Brutos potenciales por Renta $250,000Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection 5%Seguro $10,000Impuestos $8,000Mantenimiento y mejoras $22,000

NOI = $250,000 – (250,000 * 0.05) - $10,000 - $8,000 - $22,000 = $197,500

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (2)

Valor del Inmueble (Perpetuidad)

Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas(market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como unaperpetuidad:

Valor del Inmueble: NOI / market rate

Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000

Valuación de Activos e InversionesPage 9

Valor del Inmueble (Perpetuidad)

Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas(market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como unaperpetuidad:

Valor del Inmueble: NOI / market rate

Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (3)

Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.

Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionistaadquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y elresto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.

La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)

El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 porintereses + 8,997 por pago a capital)

La tasa impositiva del inversionista es del 28%

La depreciación anual estimada es de $45,000

Valuación de Activos e InversionesPage 10

Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.

Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionistaadquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y elresto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.

La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)

El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 porintereses + 8,997 por pago a capital)

La tasa impositiva del inversionista es del 28%

La depreciación anual estimada es de $45,000

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (4)

Cálculo de los utilidad neta después de impuestos

Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos:

Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500- Depreciación - $ 45,000- Intereses - $ 148,000= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500- Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240

El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendríaun inversionista en el futuro.

Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivocomo la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago querealiza como abono a capital del préstamo hipotecario.

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Cálculo de los utilidad neta después de impuestos

Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos:

Utilidad Neta Operativa (NOI) $ 197,500- Depreciación - $ 45,000- Intereses - $ 148,000= Utilidad Neta Antes de Impuestos = $ 4,500- Impuestos (NI * Tasa impositiva) - $ 1,260= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI) =$ 3,240

El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendríaun inversionista en el futuro.

Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivocomo la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago querealiza como abono a capital del préstamo hipotecario.

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (5)

Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)

Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240+ Depreciación + $ 45,000- Pago de Capital - $ 8,997= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243

Bajo esta metodología, es posible conocer para los añossubsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calculartanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa internade rendimiento del proyecto (TIR)

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Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)

Utilidad Neta después de Impuestos $ 3,240+ Depreciación + $ 45,000- Pago de Capital - $ 8,997= Flujo de Efectivo después de Impuestos: $ 39,243

Bajo esta metodología, es posible conocer para los añossubsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calculartanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa internade rendimiento del proyecto (TIR)

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (6)Cálculo del Valor Presente Neto

Supongamos que el inversionista planea vender el edificio dentro detres años en $1’950,000. Dentro de 3 años, el saldo remanente delpréstamo hipotecario es de $1,450,000. Asumiendo que el costo decapital es de 10% y los flujos de efectivo después de impuestos son lossiguientes: Año 1 Año2 Año 3

Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500- Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389- Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600Depreciación $45,000 $45,000 $45,000Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887FCF $39,243 $38,991 $38,714

Utilidad x Venta $500,000Total Año 3 $538,714

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Año 1 Año2 Año 3Utilidad Neta Operativa (NOI) $197,500 $197,500 $197,500- Depreciación -$45,000 -$45,000 -$45,000- Intereses -$148,000 -$147,100 -$146,111= Utilidad Antes de Impuestos $4,500 $5,400 $6,389- Impuestos (NI * Tasa impositiva) -$1,260 -$1,512 -$1,789Utilidad Neta Después de Impuestos $3,240 $3,888 $4,600Depreciación $45,000 $45,000 $45,000Pago de Capital $8,997 $9,897 $10,887FCF $39,243 $38,991 $38,714

Utilidad x Venta $500,000Total Año 3 $538,714

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (7)

Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:

El Valor Presente de los flujos de efectivo es:

EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:

Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viabley puede ser aceptado.

649,472$10.1

721,53810.1991,38

10.1243,39$

32

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Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:

El Valor Presente de los flujos de efectivo es:

EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:

Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viabley puede ser aceptado.

649,102$000,370$649,472$

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Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (8)

Cálculo de la TIR:

Resumiendo, los flujos de efectivo de la inversión son los siguientes:

0CF$370,000-0 Año

1CF39,243$1 Año

Valuación de Activos e InversionesPage 15

1CF39,243$1 Año

3CF38,991$2 Año

3CF$538,7213 Año

20.18%TIR

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Resumen de Variables y supuestos de la Valuación

► Determinación del NOI (Renta, Tasa dedesocupación, seguro, impuestos ymantenimiento).

► Tasa de Crecimiento de las Rentas.

► Tasa de Préstamo Hipotecario.

► Depreciación Anual.

► Costo de Capital.

► Valor del Inmueble a la fecha de venta.

Valuación de Activos e InversionesPage 16

► Determinación del NOI (Renta, Tasa dedesocupación, seguro, impuestos ymantenimiento).

► Tasa de Crecimiento de las Rentas.

► Tasa de Préstamo Hipotecario.

► Depreciación Anual.

► Costo de Capital.

► Valor del Inmueble a la fecha de venta.

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Valuación de ActivosValuación de ActivosFinancierosFinancieros

Valuación de ActivosValuación de ActivosFinancierosFinancieros

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Activos Financieros

Permiten la transferencia de fondos de los individuos consuperávit hacia quienes demandan recursos para invertir enActivos Reales. Existen 3 clases de activos financieros:

► Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estosactivos está parcialmente relacionado con la evolucióneconómica del emisor (Bonos, Préstamos).

► Renta Variable: el retorno depende totalmente de laperformance del emisor (Acciones).

► Derivados: su rendimiento depende de la evolución delprecio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).

Valuación de Activos e InversionesPage 18

► Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estosactivos está parcialmente relacionado con la evolucióneconómica del emisor (Bonos, Préstamos).

► Renta Variable: el retorno depende totalmente de laperformance del emisor (Acciones).

► Derivados: su rendimiento depende de la evolución delprecio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).

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Bonos: Componentes

Valor Nominal (Par Value, Face Value)Valor Nominal (Par Value, Face Value)Tipo de CupónTipo de Cupón

►► Cupón ceroCupón cero►► Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)►► Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Tiempo al vencimiento (Maturity)Tiempo al vencimiento (Maturity)Opciones Adheridas (Call, Put)Opciones Adheridas (Call, Put)

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Valor Nominal (Par Value, Face Value)Valor Nominal (Par Value, Face Value)Tipo de CupónTipo de Cupón

►► Cupón ceroCupón cero►► Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)►► Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)

Tiempo al vencimiento (Maturity)Tiempo al vencimiento (Maturity)Opciones Adheridas (Call, Put)Opciones Adheridas (Call, Put)

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Riesgo de tasa de interésRiesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará endirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionistatiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, unincremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdidade capital.

Riesgo de reinversión:Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a lasque se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe elinversionista provocará una pérdida de ingresos.

Riesgo de llamada:Riesgo de llamada:► El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con

certeza.► Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el

inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.

Riesgos en un Bono

Valuación de Activos e InversionesPage 20

Riesgo de tasa de interésRiesgo de tasa de interés: El precio de un bono típico cambiará endirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionistatiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, unincremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdidade capital.

Riesgo de reinversión:Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a lasque se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe elinversionista provocará una pérdida de ingresos.

Riesgo de llamada:Riesgo de llamada:► El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con

certeza.► Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el

inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.

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Riesgo de crédito:Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principaly los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo dedefault). También se consideran las pérdidas potenciales debido a ladisminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).

Riesgo de inflación:Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos deefectivo de debido a la inflación.

Riesgo de tipo de cambio:Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en unamoneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo decambio.

Riesgo de liquidez:Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisiónpuede ser vendida lo más cerca posible de su precio.

Riesgos en un Bono

Valuación de Activos e InversionesPage 21

Riesgo de crédito:Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principaly los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo dedefault). También se consideran las pérdidas potenciales debido a ladisminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).

Riesgo de inflación:Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos deefectivo de debido a la inflación.

Riesgo de tipo de cambio:Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en unamoneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo decambio.

Riesgo de liquidez:Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisiónpuede ser vendida lo más cerca posible de su precio.

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Valuación de un Bono

Valuación de Flujos de DineroValuación de Flujos de Dinero

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presentede todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:

► los flujos esperados► la tasa de rendimiento (yield) apropiada

Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es

► Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez► El par value al vencimiento.

Valuación de Activos e InversionesPage 22

Valuación de Flujos de DineroValuación de Flujos de Dinero

El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presentede todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:

► los flujos esperados► la tasa de rendimiento (yield) apropiada

Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es

► Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez► El par value al vencimiento.

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Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta lamadurez T:

r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.

0 t1

$C1 $C2 $Ci

Valor Futuro

$CN

Valor Presente

tit2 tN=T

Valuación de un Bono (Flujos)

Valuación de Activos e InversionesPage 23

Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta lamadurez T:

r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.

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(1 )

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1

11 1

N N

C VNP

y y y

Y RN M m y C VN

m m

0 1

$C $C $C $C+ $VN

Precio

i2 N

R = tasa cupón (anual)Y = rendimiento actual (anual)m = frecuencia anual de pagos

Valuación de un Bono (Anualidad)

Valuación de Activos e InversionesPage 24

1

11 1

N N

C VNP

y y y

Y RN M m y C VN

m m

R = tasa cupón (anual)Y = rendimiento actual (anual)m = frecuencia anual de pagos

Precio de un bono cupón-cero: 1N

VNP

y

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Si la tasas de interés NO se mantienen constante (TasaRevisable) hasta la madurez T:

R1 ,…, RN son conocidas hoy, pero F1 ,…, FN no lo son (tasasforward).

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Valuación de Bonos Tasa RevisableTasas Forward

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Si la tasas de interés NO se mantienen constante (TasaRevisable) hasta la madurez T:

R1 ,…, RN son conocidas hoy, pero F1 ,…, FN no lo son (tasasforward).

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Relación Precio – Yield

El precio cambia endirección contraria acambios en la yieldrequerida.

Cuando la tasa cupón esigual a la yield requerida,el precio del bono seráigual al par value.

Precio

Valuación de Activos e InversionesPage 26

El precio cambia endirección contraria acambios en la yieldrequerida.

Cuando la tasa cupón esigual a la yield requerida,el precio del bono seráigual al par value.

YieldTasa Cupón

VN

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Bono a Premio y Bono a Descuento

VN

Bono a premio

Bono a la par

Bono a descuento

Valuación de Activos e InversionesPage 27

Pull to parPull to par::Según se acerca el momento de la madurez, el precio delbono converge a su valor nominal.

Madurez

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Yield To Maturity

El yield (o rendimiento) de cualquier inversión es la tasa de interés queigualará el valor presente de los flujos al precio o costo de la inversión.

1 1(1 )i

i

N Nr t i

i ti i

CP Ce

y

• P = precio de mercado• y = yield compuesto simple• r = yield compuesto continuo

Valuación de Activos e InversionesPage 28

1 1(1 )i

i

N Nr t i

i ti i

CP Ce

y

el yield calculado con esta relación es la TIR (tasa interna de retorno)

Rendimiento al vencimientoRendimiento al vencimiento (yield to maturity o YTM)

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Yield curve

Curva de tasas de rendimientosCurva de tasas de rendimientos (yield curve):

Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos dela misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.

Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estoscarecen de riesgo de default.

yield

Valuación de Activos e InversionesPage 29

Curva de tasas de rendimientosCurva de tasas de rendimientos (yield curve):

Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos dela misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.

Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno on-the-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estoscarecen de riesgo de default.

Madurezcorto plazo mediano plazo largo plazo

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Yield de un Portafolio

El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio opromedio ponderado de las YTM de los instrumentos quelo conforman.

Se debe calcular determinando los flujos de efectivo delportafolio y la tasa que igualará el valor presente dedichos flujos al valor de mercado del portafolio.

Valuación de Activos e InversionesPage 30

El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio opromedio ponderado de las YTM de los instrumentos quelo conforman.

Se debe calcular determinando los flujos de efectivo delportafolio y la tasa que igualará el valor presente dedichos flujos al valor de mercado del portafolio.

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Volatilidad en el Precio de los Bonos

Algunas de las medidas más utilizadas:Algunas de las medidas más utilizadas:

a) D*: Duraciónb) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01c) Conv: Convexidad

Valuación de Activos e InversionesPage 31

Algunas de las medidas más utilizadas:Algunas de las medidas más utilizadas:

a) D*: Duraciónb) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01c) Conv: Convexidad

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Duración

*

12

*

YTM1

/11

1 1 1

11

1 1

YTM

n n

n n

D Dm

n VN C YC

Y Y YD

P m

C VNP

Y Y Y

Rn M m Y C VN

m m

Valuación de Activos e InversionesPage 32

*

12

*

YTM1

/11

1 1 1

11

1 1

YTM

n n

n n

D Dm

n VN C YC

Y Y YD

P m

C VNP

Y Y Y

Rn M m Y C VN

m m

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Duración y PVBP

La duración es solamente una aproximación lineal. Asume que la relaciónprecio-rendimiento es lineal.

$40

$55

$70

$85

$100

$115

5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%

Precio Correcto Precio con D

Error

Precio

*

*

100001

323200

10032

32

D PPVBP

YVPVBP

YVD P

Valuación de Activos e InversionesPage 33

$40

$55

$70

$85

$100

$115

5.0% 6.0% 7.0% 8.0% 9.0% 10.0% 11.0% 12.0%

Precio Correcto Precio con D

–D*$

Rendimiento(Y)

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Teorema de Inmunización

Teorema de Inmunización:Teorema de Inmunización:Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfaceruna obligación (pasivo) en un horizonte determinado,independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde elpresente hasta el horizonte.

Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración delportafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún siel yield r cambia en Δr:

Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas secancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.

Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento totalserá el yield de hoy r, y:

Valuación de Activos e InversionesPage 34

Teorema de Inmunización:Teorema de Inmunización:Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfaceruna obligación (pasivo) en un horizonte determinado,independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde elpresente hasta el horizonte.

Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración delportafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún siel yield r cambia en Δr:

Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas secancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.

Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento totalserá el yield de hoy r, y:

( , ) ( , )V r r D V r D

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Teorema de Inmunización

$0

$200,000

$400,000

$600,000

$800,000

$1,000,000

$1,200,000

0 1 2 3 4 5 6

4.00% 8.00% 12.00%

Valuación de Activos e InversionesPage 35

$0

$200,000

$400,000

$600,000

$800,000

$1,000,000

$1,200,000

0 1 2 3 4 5 6

4.00% 8.00% 12.00%D = H

Cuando las tasas bajan, la pérdida por reinversión de cupones escompensada con un mayor precio del bono. Cuando las tasas suben,la pérdida por valor del bono, se compensa por la reinversión decupones.

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Convexidad

12

*

1 23 2

11

1 1

/11

1 1

1 /2 1 21

1 1 1Conv.

n n

n n

n n n

C VNP

Y Y Y

n VN C YCY Y Y

DP

n n VN C YC CnY Y Y Y Y

P

Valuación de Activos e InversionesPage 36

12

*

1 23 2

11

1 1

/11

1 1

1 /2 1 21

1 1 1Conv.

n n

n n

n n n

C VNP

Y Y Y

n VN C YCY Y Y

DP

n n VN C YC CnY Y Y Y Y

P

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Convexidad

$0.00

$50.00

$100.00

$150.00

$200.00

$250.00

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%

P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C

Se define como el grado de curvatura de la relación precio-rendimiento, alrededor de cierto nivel de tasas de interés.

Valuación de Activos e InversionesPage 37

$0.00

$50.00

$100.00

$150.00

$200.00

$250.00

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%

P correcto Nuevo Precio por D* Nuevo Precio por D*+C

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Aproximación Numérica de la Duración yConvexidad

YTM actual

Precio o valor para unyield y

Cambio de yield

0

( )

y

P y

yDenotamos:

Calculamos:

Aproximamos:

0 0

0

0

( )

( )

( )

P P y

P P y y

P P y y

Precio actual

Precio para una disminución deyield

Precio para un aumento de yield

Valuación de Activos e InversionesPage 38

*

0

02

0

2

2Conv

( )

P PD

P y

P P P

P y

Denotamos:

Calculamos:

Aproximamos:

0 0

0

0

( )

( )

( )

P P y

P P y y

P P y y

Precio actual

Precio para una disminución deyield

Precio para un aumento de yield

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Duración y Convexidad de un Portafolio

La Duración de un portafolio con “n” activos será:

La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:

“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total delportafolio

Por tanto:

1 1 2 21

...n

P n n i ii

D w D w D w D w D

1 1 2 21

Conv Conv Conv ... Conv Convn

P n n i ii

w w w w

Valuación de Activos e InversionesPage 39

La Duración de un portafolio con “n” activos será:

La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:

“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total delportafolio

Por tanto:

ii

Pw

P

1 2 ... 1nw w w

1 1 2 21

Conv Conv Conv ... Conv Convn

P n n i ii

w w w w

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Estructura IntertemporalEstructura Intertemporalde Tasas de Interésde Tasas de Interés

Estructura IntertemporalEstructura Intertemporalde Tasas de Interésde Tasas de Interés

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Bonos del Gobierno

►El Gobierno de México emite los siguientes bonos:

► Cupón ceroCupón cero:►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)

madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)► Cupón fijoCupón fijo:

►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fijamadurez de 3 a 5 años (cupón semestral)

► Cupón FlotanteCupón Flotante:►BREMS►Bondes►Bonos IPAB►Udibonos

Valuación de Activos e InversionesPage 41

►El Gobierno de México emite los siguientes bonos:

► Cupón ceroCupón cero:►CETES: Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)

madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)► Cupón fijoCupón fijo:

►BONOS-M: Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fijamadurez de 3 a 5 años (cupón semestral)

► Cupón FlotanteCupón Flotante:►BREMS►Bondes►Bonos IPAB►Udibonos

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Insumos para la construcción de curvas cero

Valuación de Activos e InversionesPage 42

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Problemas de valorar usando la Yield Curve

Ejemplo:Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y unbono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1año.¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y quevence en 1 año?

Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valorreal del bono.

Cetes (A) B CValor Nominal 100 100.00 100.00Cupón 0.00% 8.00 10.08YTM 7 8.00 ????Frecuencia 180 180DXV 180 360 360Precio 96.62 100.00 ????# Títulos 1.00 1.00 1.00

Valuación de Activos e InversionesPage 43

Ejemplo:Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y unbono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1año.¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y quevence en 1 año?

Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valorreal del bono.

Cetes (A) B CValor Nominal 100 100.00 100.00Cupón 0.00% 8.00 10.08YTM 7 8.00 ????Frecuencia 180 180DXV 180 360 360Precio 96.62 100.00 ????# Títulos 1.00 1.00 1.00

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► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero(strips):► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104

► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?

► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que deberíatener el mismo yield de 7%.

► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:

Problemas de valorar usando la Yield Curve

Valuación de Activos e InversionesPage 44

► Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero(strips):► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104

► ¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?

► El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que deberíatener el mismo yield de 7%.

► Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:

2

$4 $104$100

1.0351

2Y

precio de Bono B =

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► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta devalorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:

Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%

► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) serádescontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.

2

$5.04 $105.04$101.9662

1.035 1.0401 precio de Bono C =

Problemas de valorar usando la Yield Curve

Valuación de Activos e InversionesPage 45

► El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta devalorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:

Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%

► La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) serádescontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.

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►► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurezdada.

►► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero degobierno.

► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno acualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero apartir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.

► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de laEstructura Intertemporal de Tasas de InterésEstructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interestrate). Este proceso se logra, mediante un proceso de “Bootstrapping”

Curva Cero

Valuación de Activos e InversionesPage 46

►► Tasa Spot o Tasa CeroTasa Spot o Tasa Cero (spot rate)Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurezdada.

►► Curva Spot o Curva CeroCurva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero degobierno.

► Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno acualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero apartir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.

► La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero TeóricaCurva Cero Teórica(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de laEstructura Intertemporal de Tasas de InterésEstructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interestrate). Este proceso se logra, mediante un proceso de “Bootstrapping”

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Curva cero futura (Tasa Forward Implícita)

► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte deinversión de 1 año tiene dos alternativas:

► A1: comprar un bono cupón cero a un año► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis

meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seismeses.

► ¿Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativasserían equivalentes?

y0.5= 5.25%

y1= 5.50%

Valuación de Activos e InversionesPage 47

► Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte deinversión de 1 año tiene dos alternativas:

► A1: comprar un bono cupón cero a un año► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis

meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seismeses.

► ¿Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativasserían equivalentes?

0Hoy

0.56 meses 1

año

y0.5= 5.25%

E(f)= ???%

2

5.75%0.055 0.0525

1 1 12 2 2

ff

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Instrumentos FinancierosInstrumentos FinancierosDerivadosDerivados

Instrumentos FinancierosInstrumentos FinancierosDerivadosDerivados

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Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)

► Sea M un activo que paga según el resultado dellanzamiento de una moneda:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $m del activo Men el mercado?

M: $m = ¿?

p = 0.5 $2

Valuación de Activos e InversionesPage 49

► Sea M un activo que paga según el resultado dellanzamiento de una moneda:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $m del activo Men el mercado?

M: $m = ¿?

p = 0.5 $0

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► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana.► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:

► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismomercado que el ejemplo anterior?

S: $2

p = 0.5

p = 0.5

$5

$1D: $d

si S=$5(p = 0.5)

si S=$1(p = 0.5)

$2

$0

Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)

Valuación de Activos e InversionesPage 50

► S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana.► D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:

► M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:

► ¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismomercado que el ejemplo anterior?

si S=$1(p = 0.5)

M: $1p = 0.5

p = 0.5

$2

$0

p = 0.5

p = 0.5

$2

$0D: $d = ¿?

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► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, comprouna unidad de S:

► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S.► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si

$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutralal riesgo)

# Títulos Riqueza Inicial-2 Vendo 2 unidades de D -D2 $21 Compro una Unidad de S +S -$2

$0D Paga Valor de S Riqueza Final

Escenario 1S=$5, p=0.5 -$4 $5 $1Escenario 2S=$1, p=0.5 $0 $1 $1

p=1

Probabilidad Neutral al Riesgo

Valuación de Activos e InversionesPage 51

► Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, comprouna unidad de S:

► A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S.► Se dice que D es un derivadoderivado, con subyacentesubyacente S.► Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitrajearbitraje) si

$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutralal riesgo)

D Paga Valor de S Riqueza FinalEscenario 1S=$5, p=0.5 -$4 $5 $1Escenario 2S=$1, p=0.5 $0 $1 $1

p=1

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Instrumentos Financieros Derivados

►► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futurosdependen funcionalmente de del valor de otro título o variable demercado (subyacentesubyacente) .

► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:

► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc.

► … o una variable de mercado:

► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.

► Se pueden utilizar con varios fines:► cobertura de cierto riesgo,► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),► Derivado Implícito

Valuación de Activos e InversionesPage 52

►► Instrumento DerivadoInstrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futurosdependen funcionalmente de del valor de otro título o variable demercado (subyacentesubyacente) .

► El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:

► acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc.

► … o una variable de mercado:

► tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.

► Se pueden utilizar con varios fines:► cobertura de cierto riesgo,► especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),► Derivado Implícito

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Clasificación de InstrumentosFinancieros Derivados

► Los tipos de instrumentos derivados básicos son:

►►ForwardsForwards:► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio

prefijado

►►FuturosFuturos:► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado

►►OpcionesOpciones:► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado

►►SwapsSwaps:► intercambio de dos flujos de dinero en el futuro

Valuación de Activos e InversionesPage 53

► Los tipos de instrumentos derivados básicos son:

►►ForwardsForwards:► obligación de comprar/vender en el futuro a un precio

prefijado

►►FuturosFuturos:► como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado

►►OpcionesOpciones:► derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado

►►SwapsSwaps:► intercambio de dos flujos de dinero en el futuro

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Determinación de Precios Forward bajo laprobabilidad neutral al riesgo (libre de arbitraje)

0rTF S e

( )0

er r TF S e

0er TrTS e Fe

Precio Forward sobre subyacentes que nogeneran ingresos

rTteFS 0

Precio Forward sobre divisas

Valuación de Activos e InversionesPage 54

( )0

er r TF S e

ft(T1,T2)

yt(T1)

yt(T2)

T1 T2t

2 1 2 1

2 1 1 21 ( ) 1 ( ) 1 ( , )T t T t T T

t t ty T y T f T T

PrecioForward sobre

tasas deinterés

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Precio del Swap

► Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculodel precio se basa en el principio de no arbitraje:

► Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una partetendrá que compensar a la otra con un pago por adelantadoigual a la diferencia de los valores presentes.

► Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a lastasas de mercado vigentes en el momento.

fijo flotanteVP VP

Valuación de Activos e InversionesPage 55

► Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculodel precio se basa en el principio de no arbitraje:

► Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una partetendrá que compensar a la otra con un pago por adelantadoigual a la diferencia de los valores presentes.

► Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a lastasas de mercado vigentes en el momento.

swap fijo flotanteV VP VP

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Contratos de Opciones

►► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta(Opción putOpción put) en un momento futuro.

► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoptionpremiumpremium).

► Terminología:►► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put)►► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el

comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender(put) el subyacente

►► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato►► PrimaPrima: valor de mercado del contrato

Valuación de Activos e InversionesPage 56

►► OpciónOpción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,pero no la obligación, de realizar una compra (Opción callOpción call) o una venta(Opción putOpción put) en un momento futuro.

► Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (optionoptionpremiumpremium).

► Terminología:►► EjercicioEjercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put)►► Precio de ejercicioPrecio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el

comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender(put) el subyacente

►► Fecha de expiraciónFecha de expiración: en la que vence el contrato►► PrimaPrima: valor de mercado del contrato

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Option Payoffs

Max { ST–K , 0} Max { K–ST , 0}

Valuación de Activos e InversionesPage 57

Max { ST–K , 0}

-Max { ST–K , 0} = Min { K–ST , 0}

Max { K–ST , 0}

-Max {K–ST , 0} = Min {ST–K , 0}

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Clasificación de Opciones

► Por sus condiciones de “Fecha de Ejercicio”, puedenclasificarse en:

► Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en lafecha del contrato “Fecha de Ejercicio”

► Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado, de manera espontánea.

► Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado en fechas específicas.

Valuación de Activos e InversionesPage 58

► Por sus condiciones de “Fecha de Ejercicio”, puedenclasificarse en:

► Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en lafecha del contrato “Fecha de Ejercicio”

► Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado, de manera espontánea.

► Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicioanticipado en fechas específicas.

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Clasificación de Opciones

► Por sus condiciones de “Payoff”, pueden clasificarse en:

► No dependientes de la trayectoria del precio delsubyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependenexclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de latrayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmenteexisten fórmulas analíticas “cerradas” para determinar suvalor.

► Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólodel valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de unoo más valores de éste durante la vida del contrato.Regularmente requieren de un modelo o aproximaciónnumérica (árbol binomial o simulación) para determinar suvalor.

Valuación de Activos e InversionesPage 59

► Por sus condiciones de “Payoff”, pueden clasificarse en:

► No dependientes de la trayectoria del precio delsubyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependenexclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de latrayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmenteexisten fórmulas analíticas “cerradas” para determinar suvalor.

► Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólodel valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de unoo más valores de éste durante la vida del contrato.Regularmente requieren de un modelo o aproximaciónnumérica (árbol binomial o simulación) para determinar suvalor.

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Ejemplos de Opciones

NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Plain Vanilla (call, put, swaption)► Exóticas

► Barrera Europea► Binomial (cash “K”or nothing)► Chooser

DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Americana, bermuda► Exóticas

► Barrera Americana► Lookback► Asiática

Valuación de Activos e InversionesPage 60

NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Plain Vanilla (call, put, swaption)► Exóticas

► Barrera Europea► Binomial (cash “K”or nothing)► Chooser

DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA

► Americana, bermuda► Exóticas

► Barrera Americana► Lookback► Asiática

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Opción de Compra (Call)

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

20 30 40 50 60 70

Stock Price ($)

Payo

ff ($

)

K

R ise = C u -C d

Slope =

R un = S u -S d

du

du

ss

ccD e lta

Valuación de Activos e InversionesPage 61

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

20 30 40 50 60 70

Stock Price ($)

Payo

ff ($

)

K

R ise = C u -C d

Slope =

R un = S u -S d

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Métodos Numércos (Árbol Binomial)

S0

S1= dS0

S1= uS0

S2= u2 S0

S2= ud S0

S2= d2 S0

S3= u 3S0

S3= u2 dS0

S3= ud2 S0

S3= d3 S0

0 1 2 3

u

d

u

u

u

u

u

d

d

d

d

d

Valuación de Activos e InversionesPage 62

S0

S1= dS0

S1= uS0

S2= u2 S0

S2= ud S0

S2= d2 S0

S3= u 3S0

S3= u2 dS0

S3= ud2 S0

S3= d3 S0

0 1 2 3

u

d

u

u

u

u

u

d

d

d

d

d

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Árbol Binomial de Precios de un Activo

8/27(2/3)3=8/271

12/27(1/3)(2/3)2=4/273

6/27(1/3)2(2/3)=2/273

1/27(1/3)3=1/271

Probabilidadtotal: P(S3=x)

Prob. portrayectoria

Núm. detrayectorias

P(Ω)=18

8/27(2/3)3=8/271

12/27(1/3)(2/3)2=4/273

6/27(1/3)2(2/3)=2/273

1/27(1/3)3=1/271

Probabilidadtotal: P(S3=x)

Prob. portrayectoria

Núm. detrayectorias

P(Ω)=18

S0

S1

S1

S2

S2

S2

x=8.64

x=5.04

x=2.94

x=1.71

TOTAL

S3P(H)=1/3P(T)=2/3

H

T

u=1.2d=0.7

Valuación de Activos e InversionesPage 63

8/27(2/3)3=8/271

12/27(1/3)(2/3)2=4/273

6/27(1/3)2(2/3)=2/273

1/27(1/3)3=1/271

Probabilidadtotal: P(S3=x)

Prob. portrayectoria

Núm. detrayectorias

P(Ω)=18

8/27(2/3)3=8/271

12/27(1/3)(2/3)2=4/273

6/27(1/3)2(2/3)=2/273

1/27(1/3)3=1/271

Probabilidadtotal: P(S3=x)

Prob. portrayectoria

Núm. detrayectorias

P(Ω)=18

S0

S1

S1

S2

S2

S2

x=8.64

x=5.04

x=2.94

x=1.71

TOTAL

S3P(H)=1/3P(T)=2/3

H

T

u=1.2d=0.7

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Modelo de Cox-Ross Rubinstein

► El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelobinomial para simular precios de un activo y lo adapta para valoraropciones de tipo Europeo y Americano.

► El principal reto del modelo consiste en:

► Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r):

u = Monto fijo al cual crece sd = Monto fijo al cual decrece sp = Probabilidad de que ocurra u1-p = Probabilidad de que ocurra d

Valuación de Activos e InversionesPage 64

► El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelobinomial para simular precios de un activo y lo adapta para valoraropciones de tipo Europeo y Americano.

► El principal reto del modelo consiste en:

► Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r):

u = Monto fijo al cual crece sd = Monto fijo al cual decrece sp = Probabilidad de que ocurra u1-p = Probabilidad de que ocurra d

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Ejemplo PUT – Europeo

S = 50T=2yr ∆t = 0.40K = 52,r = 5%σ = 30%

129.11540

106.80130

88.34353 88.343530 0

73.07573 73.075731.21088 0

60.44656 60.44656 60.446563.707454 2.498793 0

50 50 507.085107 6.412333 5.156553

41.35885 41.35885 41.3588510.82913 10.67695 10.64115

34.21108 34.2110815.78894 16.75925

28.29862 28.2986221.66243 23.70138

23.4079727.56237

19.3625332.63747

Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000

Valuación de Activos e InversionesPage 65

t

t

eud

eu

1

129.11540

106.80130

88.34353 88.343530 0

73.07573 73.075731.21088 0

60.44656 60.44656 60.446563.707454 2.498793 0

50 50 507.085107 6.412333 5.156553

41.35885 41.35885 41.3588510.82913 10.67695 10.64115

34.21108 34.2110815.78894 16.75925

28.29862 28.2986221.66243 23.70138

23.4079727.56237

19.3625332.63747

Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000du

dep

tr

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Ejemplo PUT – Americano

S = 50T=2yr ∆t = 0.40K = 52,r = 5%σ = 30%

129.11540

106.80130

88.34353 88.343530 0

73.07573 73.075731.21088 0

60.44656 60.44656 60.446563.824623 2.498793 0

50 50 507.670889 6.654124 5.156553

41.35885 41.35885 41.3588511.91813 11.17591 10.64115

34.21108 34.2110817.78892 17.78892

28.29862 28.2986223.70138 23.70138

23.4079728.59203

19.3625332.63747

Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000

Valuación de Activos e InversionesPage 66

129.11540

106.80130

88.34353 88.343530 0

73.07573 73.075731.21088 0

60.44656 60.44656 60.446563.824623 2.498793 0

50 50 507.670889 6.654124 5.156553

41.35885 41.35885 41.3588511.91813 11.17591 10.64115

34.21108 34.2110817.78892 17.78892

28.29862 28.2986223.70138 23.70138

23.4079728.59203

19.3625332.63747

Node Time:0.0000 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000

t

t

eud

eu

1

du

dep

tr

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Alternativas Analíticas al Modelo Binomial

► Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NOdependientes de la trayectoria del subyacente:► Black – Scholes para valorar opciones europeas y otras

soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes

► Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria)► Barone-Adesi and Whaley Approximation

► Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a lasOpciones Americanas:► Simulación MonteCarlo

Valuación de Activos e InversionesPage 67

► Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NOdependientes de la trayectoria del subyacente:► Black – Scholes para valorar opciones europeas y otras

soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes

► Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria)► Barone-Adesi and Whaley Approximation

► Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a lasOpciones Americanas:► Simulación MonteCarlo

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Modelo de Black – Scholes

rFdS

FdS

dt

dF

dS

dFrS

2

222

2

Ecuación Diferencial Estocástica de Black-Merton-Scholes

SdWSdtdS

Valuación de Activos e InversionesPage 68

SdWSdtdS

Para resolver esta ecuación, es necesario una establecer unacondición de frontera, por ejemplo, en el caso de un CALLEuropeo:

]0,)([),( KTSMAXTsF

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Modelo de Black – Scholes

► Para una Opción call:

► Para una Opción put:

► donde:

2 0 1

payoff max( ,0)T

rT

K S

p Ke N d S N d

0 1 2

payoff max( ,0)T

rT

S K

c S N d Ke N d

2

21( )

2

d x

N d e dx

Valuación de Activos e InversionesPage 69

► Para una Opción call:

► Para una Opción put:

► donde:

2 0 1

payoff max( ,0)T

rT

K S

p Ke N d S N d

2 20 0

1 2 1

ln ln2 2

S Sr T r T

K Kd d d T

T T

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Modelo de Black

► Para una Opción call:

► Para una Opción put:

► donde:

0 1 2

payoff max( ,0)

(0, )

TV K

c z T F N d KN d

Valuación de Activos e InversionesPage 70

► Para una Opción call:

► Para una Opción put:

► donde:2 2

0 0

1 2 1

ln ln2 2

F FT T

K Kd d d TT T

2 0 1

payoff max( ,0)

(0, )

TK V

p z T KN d F N d

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Interpretación Gráfica de Black – Scholes

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

20 30 40 50 60 70

Sto ck P rice ($ )

R un =

x

)1(dNDelta

Valuación de Activos e InversionesPage 71

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

20 30 40 50 60 70

Sto ck P rice ($ )

R un =

x

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Supuestos del modelo de Black – Scholes

► Los supuestos del modelo son:

► No existen oportunidades de arbitraje en el mercado► Los precios futuros del subyacente siguen una distribución log-

Normal► El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo

de manera continua (trading continuo).► No hay costos de transacción► La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo

largo de la vida de la opción.► La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de

la vida de la opción.

Valuación de Activos e InversionesPage 72

► Los supuestos del modelo son:

► No existen oportunidades de arbitraje en el mercado► Los precios futuros del subyacente siguen una distribución log-

Normal► El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo

de manera continua (trading continuo).► No hay costos de transacción► La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo

largo de la vida de la opción.► La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de

la vida de la opción.

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Simulación MonteCarlo

► El método Monte Carlo permite encontrar solucionesaproximadas de problemas matemáticos que involucranvariables aleatorias dependientes del tiempo.

► Requiere de un procedimiento para calcular realizacioneso trayectorias de variables aleatorias, dependientes deltiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo unMovimiento Browniano Geométrico.

► Donde r es una tasa de interés constante, s es lavolatilidad instantánea y

Valuación de Activos e InversionesPage 73

► El método Monte Carlo permite encontrar solucionesaproximadas de problemas matemáticos que involucranvariables aleatorias dependientes del tiempo.

► Requiere de un procedimiento para calcular realizacioneso trayectorias de variables aleatorias, dependientes deltiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo unMovimiento Browniano Geométrico.

► Donde r es una tasa de interés constante, s es lavolatilidad instantánea y ),0(~ dtNdWt

tttt dWSdtrSdS

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Movimiento Browniano Geométrico

tt dWdtrSd

2

2

1)(ln

tttt dWSdtrSdS

Asumiendo un Movimiento Browniano Gemétrico

A partir de cálculo estocástico se obtiene la ecuación para simularprecios de un activo:

Valuación de Activos e InversionesPage 74

tt dWdtrSd

2

2

1)(ln

r

ttSS ttt

ˆ2

1ˆexp 2

tt dWdtrSd

2

2

1)(ln

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Simulación Montecarlo

Simulación Montecarlo

9.00

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Días simulados (dt)

Tray

ecto

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el S

ubya

cent

e (M

XP/U

SD)

Strike Price=K

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► Útil para valuar opciones dependientes de la trayectoria(asiáticas y barreras americanas)

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Días simulados (dt)

Tray

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XP/U

SD)

Strike Price=K

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Problemas del Movimiento BrownianoGeométrico

► Es siempre positivo► Su media crece exponencialmente► Apropiado para precios de acciones, divisas y

algunos commodities, pero no apropiado parasimular la evolución de tasas de interés.

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► Es siempre positivo► Su media crece exponencialmente► Apropiado para precios de acciones, divisas y

algunos commodities, pero no apropiado parasimular la evolución de tasas de interés.

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Alternativas al Movimiento BrownianoGeométrico

Otros Modelos Estocásticos:

► Vasicek► Cox-Ingersoll-Ross► Modelo de Dothan► Modelos Multifactoriales► Black-Derman-Toy (BDT)

Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio yno arbitraje.

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Otros Modelos Estocásticos:

► Vasicek► Cox-Ingersoll-Ross► Modelo de Dothan► Modelos Multifactoriales► Black-Derman-Toy (BDT)

Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio yno arbitraje.

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Bibliografía

► Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives6ª. Ed. Prentice-Hall.

► Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis andStrategies 6ª. Ed. Prentice-Hall.

► Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets andtheir Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub.

► Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros yEconómicos. 1ª Ed. Thomson

Valuación de Activos e InversionesPage 78

► Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives6ª. Ed. Prentice-Hall.

► Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis andStrategies 6ª. Ed. Prentice-Hall.

► Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets andtheir Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub.

► Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros yEconómicos. 1ª Ed. Thomson

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Hacia la Implementación del NuevoRégimen de Solvencia

“Valuación de Activos e Inversiones”

Gracias por su atención!

Alejandro Diosdado RodríguezAdministración de Riesgos Financieros

Ernst & Young (México)[email protected]

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