valoración agraria: contrastes estadísticos para índices y...

1. INTRODUCCIÓN

El método de valoración conocido como de las dos betas o, en gene-ral, de las dos funciones de distribución fue presentado por Balleste-ro, E. (1971). Este método supone una mejora del método sintético yfue formalizado posteriormente por su autor; Ballestero E. (1973)describe el método de las dos Betas en la forma siguiente: «La variablevalor de mercado de un bien obedecerá estadísticamente a la función de dis-tribución F. Por su parte, el índice, parámetro o variable explicativa obedece-rá estadísticamente a otra función de distribución G. Suponemos que las fun-ciones F y G tienen forma de campana o similar, entonces el método de las dosBetas establece una relación entre ambas variables».Para ello es preciso adoptar la siguiente hipótesis: si el Índice Li deun activo Fi es mayor que el L j de otro activo Fj, el valor de mercadoVi correspondiente al primer activo será también mayor que el valorde mercado Vj correspondiente al segundo. A partir de ello, conoci-da la distribución F del valor de mercado y la G del índice, el valorde mercado Vk correspondiente a un índice Lk se establece median-te la transformación:

– Estudios Agrosociales y Pesqueros, n.º 199, 2003 (pp. 93-118).

(*) Catedrático del Departamento de Economía Aplicada de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresaria-les de la Universidad de Almería.

(**) Catedrático del Departamento de Métodos Cuantitativos de la Facultad de Ciencias Económicas y Empre-sariales de la Universidad de Granada.

(***) Licenciada en Ciencias Financieras y Actuariales. Becaria de KPMG Auditores.

Valoración agraria: contrastesestadísticos para índices y

distribuciones en el método de lasdos funciones de distribución

JOSÉ GARCÍA PÉREZ (*)

RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO (**)

LINA BEATRIZ GARCÍA GARCÍA (***)

93

Vk = Ø(Lk) ⇔ F(Vk) = G(Lk) [1]

Palacios, Callejón y Herrerías (2000) han presentado una formaliza-ción rigurosa del método:Dado un activo a valorar, se consideran dos variables aleatorias rela-cionadas con el mismo: la variable L, que representa al índice elegi-do para el activo; y la variable V, valor de mercado del activo. Se supo-ne que el valor que alcanza el activo V es función del valor que tomasu índice L, esto es V=Ø(L), donde Ø es una función estrictamentecreciente sobre un cierto intervalo [L1,L2] soporte de la distribuciónL.Si L tiene una distribución de probabilidad cuya función de distri-bución es G(L), entonces V es una variable aleatoria cuya función dedistribución es:

F(V) = P[V ≤ v] = P[Ø(L) ≤ v] = P[L ≤ Ø–1(v)] = G(Ø–1 (v))

o equivalentemente,

G(l) = P[L ≤ l] = P [Ø(L) ≤ Ø(l)] = P [V ≤ Ø(l)] = F [Ø(l)]

donde se ha tenido en cuenta que Ø es estrictamente creciente.Es evidente que si F es estrictamente creciente sobre el intervalo[Ø(L1), Ø(L2)], entonces F es invertible sobre el citado intervalo;luego a partir de la última expresión se obtiene Ø(l)=F–1(G(l)), defi-nida entre (L1,L2) ⇒ (Ø(L1), Ø(L2)) que es una biyección que trans-forma valores del índice en valores de mercado.A partir de aquí, si el valor del índice para un determinado bien esL0, entonces su valor de mercado debe de ser:

V0 = Ø(L0) = F–1(G(L0))

Desde la presentación del método de las dos betas por Ballestero E.(1973) , se han publicado numerosas aportaciones: artículos, libros,trabajos de investigación, tesis doctorales; en todos ellos se ha idoextendiendo la aplicación de este método , Ballestero y Caballer(1982), Caballer (1993), Caballer (1994), Caballer(1998) , Caballer(1999) y , Ballestero y Rodríguez (1999) extienden su uso a la valo-ración de arboles frutales e inmuebles , Alonso y Lozano (1985)hacen una aplicación a la valoración de fincas en la comarca de Valla-dolid; Guadalajara (1996) presenta una serie de casos prácticos,Cañas, Domingo y Martínez (1994) realizan una aplicación prácticaen la provincia de Córdoba; Romero (1977) hace una extensión delmétodo utilizando distribuciones uniformes y triangulares; García,

94

José García Pérez, Rafael Herrerías Pleguezuelo y Lina BeatrizGarcía García

Cruz y Andújar (1998) presentan una revisión de la aplicación en dis-tribuciones triangulares; García, Trinidad y Gómez (1999) extiendenel método a la utilización de una clase especial de distribuciones tra-pezoidales; Herrerías, García y Cruz (2001) extienden el método aluso de distribuciones trapezoidales de cualquier tipo; García, Cruz yRosado (2000, 2002) presentan una extensión del método al casomultiíndice bajo la hipótesis de independencia entre los índices;García, Cruz y García, L. B. (2002 a) extienden el uso del método delas dos funciones de distribución a las familias de funciones Meso-cúrticas, de Varianza Constante, Caballer y Beta Clásica, aportandoun método para seleccionar la distribución más adecuada a cadacaso y presentando al mismo tiempo un programa informático queresuelve el problema de la inversión; Herrerías Velasco (2002) en suTesis Doctoral, sin publicar aún, ha extendido el método de las dosfunciones de distribución al caso bivariante de forma exhaustiva y engeneral al caso multivariante sin hipótesis de independencia; García,Cruz y García L.B. (2002 b) presentan una aplicación econométricade la extensión multiíndice del método de las dos funciones de dis-tribución; García (2002) (trabajo de investigación sin publicar) harealizado una extensión utilizando funciones de distribución de lafamilia de Pearson. En resumen, todos los trabajos mencionados seenmarcan en las tres líneas siguientes:

a) Aplicaciones prácticas del método de las dos funciones de distri-bución.

b) Extensión del método a distribuciones, uniformes, triangulares,trapezoidales, subfamilias de las distribuciones Betas como laCaballer, la mesocúrtica o la de varianza constante, distribucionesde la familia de Pearson, etc.

c) Utilización de dos o mas índices, bajo el supuesto de indepen-dencia o no, e implementación de aplicaciones econométricas

En este trabajo se plantean dos cuestiones que no habían sido plan-teadas hasta ahora:

1.ª ¿En qué medida las funciones de distribución elegidas paramodelizar el comportamiento del índice y/o del activo, conside-radas como variables aleatorias, son adecuadas?

2.ª ¿Hasta qué punto podemos afirmar que el índice o los índicesseleccionados para valorar el activo son realmente representati-vos del mismo?

Hasta ahora, la adecuación del índice o los índices elegidos para lle-gar a la valoración de bien no ha sido cuestionada de ninguna

Valoración agraria: contrastes estadísticos para índices y distribuciones en el método de las dos funciones...

95

forma, se acepta que los índices elegidos representan adecuada-mente el activo a valorar y se aplica el método. Del mismo modo, seeligen unas u otras funciones de distribución para simular el com-portamiento del índice o del activo según su versatilidad, su facili-dad de manejo, o su sencillez, etc., sin cuestionarse cuál de ellasrepresenta de forma más adecuada el comportamiento del índice odel activo.

En este trabajo se van a presentar una serie de tests estadísticos quepretenden contrastar si el índice o índices elegidos para valorar elactivo (en general bienes agrícolas) son realmente representativosdel mismo, cuestionándose simultáneamente si las funciones de dis-tribución utilizadas, para simular su comportamiento, son las ade-cuadas para el índice y el activo.

En el apartado dos se construyen y desarrollan los tests, obte-niéndose los estadísticos correspondientes; en el apartado tres sepresenta una aplicación de los mismos al caso de la valoración deTierras en los campos de El Ejido (Almería); y en el apartadocuatro se comentan las conclusiones y posibles líneas de investi-gación.

2. TESTS ESTADÍSTICOS PARA LA ADECUACIÓN DEL ÍNDICE

Si elegimos una función de distribución para el índice G(L), y otrapara el valor del activo F(V), la determinación del valor del activo v(que sólo depende del índice L), conocido el valor del índice, L, seobtendrá resolviendo:

V = Ø (L) ⇔ G(L) = F(v) [2]

Como es sabido, en este método de valoración, apropiado espe-cialmente cuando se dispone de pocos datos, las funciones de dis-tribución F y G son obtenidas a partir de los valores mínimos a, a’para el índice y el activo, de los valores máximos b, b’ para el índi-ce y el activo, y de los valores modales m, m’ para el índice y el acti-vo; es decir, la función de distribución para el índice G quedarádeterminada por los valores a, m, b, y la función de distribuciónpara el activo F quedará determinada por los valores a’, m’ y b’.Todos estos valores se determinan inicialmente a partir de losdatos disponibles. En caso de acudir al sistema Pearson, se añadenlos valores de subasta, o la confianza en los datos, véase García(2002).

96


2.1. Una medida sobre la adecuación del modelo (1)

Si se suponen conocidos a, b, m (s, en el caso de sistemas Pearsonia-nos) para el índice, y a’, b’, m’ (s’), para el valor del activo, se puedeelegir el modelo estadístico G(L) para el índice y F(V) para el valoractivo, de tal modo que, aplicando [2] al valor m’, se podría obtenerun valor m* para la moda del índice (2).

m’ = Ø(m*) ⇔ G(m*) = F(m’) [3]

Si además se dispone de una serie de datos durante un periodo t=1,... ,n se podría obtener una serie de valores teóricos de la moda delíndice m*t , t=1 ... n que podrían compararse con la serie de valoresreales para la moda del índice mt , t=1 ... n, utilizando [3]. Se supo-ne que las funciones de distribución G y F no están afectadas por elmomento temporal y que no cambian en todo el periodo t=1 ... n.Una medida de la adecuación del modelo sería:

[4]

donde:

mt = valor real para la moda del índice en el momento temporal t,del periodo t=1 ... n , en valores deflactados.

m*t = valor proporcionado por la relación teórica [3] para cadamomento temporal t, del periodo t=1 ... n , en valores deflac-tados.

La regla de actuación será:

1) Determinar los valores más frecuentes de V y L para un periodot=1 ... n expresados en valores constantes o deflactados.

2) Determinar los valores mínimo, máximo y modal de la serie paradefinir las funciones de distribución de V y L.

Qm m

mt t

tt

n

==∑( – )*

*

2

1


97

(1) Para analizar la adecuación del índice y su capacidad para interpretar los valores del activo, así como losmodelos probabilísticos que los representan son los adecuados, debemos disponer de una serie de valores para el índi-ce y otro para el activo, aconsejamos trabajar con valores en unidades monetarias constantes.

(2) En principio pudiera pensarse que esta hipótesis no está de acuerdo con lo afirmado por el profesor Balleste-ro, E. (1991) cuando mantiene: «ni el principio ni el razonamiento matemático obligan a que exista una corres-pondencia entre las modas respectivas de las dos distribuciones», pero no es así, ya que la hipótesis planteada aquíincluye una serie de observaciones para índice y activo y la correspondencia planteada es dentro de la misma distri-bución para la moda real y la moda estimada.

3) Para cada valor real más frecuente de la serie de L, calcular suvalor teórico.

4) Obtener el valor de Q.

Está claro que valores de Q próximos a cero indican una gran ade-cuación del modelo; por el contrario, valores grandes de Q señalarí-an poca adecuación del modelo a las estimaciones realizadas.El problema principal de la medida de Q es que no se conoce su dis-tribución estadística, por lo que no sirve como test estadístico paravalorar la adecuación.Se ha de señalar que la adecuación, en este caso, encierra una doblecondición, a saber:

1. Adecuación del índice. Se quiere comprobar con ello si el índice ele-gido para representar al activo es realmente representativo o no.

2. Adecuación del modelo. Se quiere comprobar si el modelo esta-dístico elegido para representar ambas distribuciones teóricas,G(L) y F(V), es el correcto.

2.2. Un primer test para la adecuación del índice y del modelo

Se puede suponer que, bajo las hipótesis H0 de

a) adecuación de los modelos probabilísticos elegidos,b) representatividad del índice respecto al valor del activo,

los valores m*t obtenidos a partir de la relación [3] se comporten de

acuerdo con el esquema:

mt = m*t + εt con εt i.i.d N(0, σ2) [5]

Es decir, los valores modales del índice obtenidos de [3] se distribu-yen en torno a los valores reales de la moda del índice. En el caso deque esta hipótesis fuese falsa, ocurriría:

E(εt) = µt ≠ 0 [6]

de modo que si se dispone de los datos para un periodo t, t=1 ... n,es evidente que el estadístico:

[7]

sigue una χ2 con n grados de libertad. Y a partir de aquí se puedeestablecer que el estadístico:

( – – ) ( – )( , )

*m mNt t t

t

nt t

t

n

t

nµ = µ = [ ]= = =∑ ∑ ∑

2

21

2

21

2

10 1

σε

σ

98


(8)

sigue una t de Student con n-1 grados de libertad. Véase Herrerías,Palacios y Pérez (1994) (3).Lógicamente, bajo la hipótesis nula H0, señalada anteriormente,debería ocurrir que µt = 0 t = 1,2...,n, y, por lo tanto [8] se convier-te en:

[9]

Con este estadístico se puede contrastar la hipótesis H0, aunque serápreciso puntualizar la potencia del test, ya que el estadístico [9], cuan-do falla la hipótesis nula (en cualquiera de sus dos condiciones) puedeno desplazarse hacia las colas de la distribución, y ello debido a:

a) Puede ocurrir que cuando sea µt ≠ 0 ∀ t sea µ– = 0.

b)

el no cumplimiento de H0 ocasionaría un incremento en el denomi-nador del estadístico de contraste, y, por lo tanto, una disminuciónen la t experimental.En definitiva, si con este contraste se rechaza H0, se debe intentarbuscar otro modelo probabilístico para F(V) y F(L), u otro índice,pero, en el caso de que se acepte, lo que procedería hacer es aplicaralgún test más potente; es decir, se trata de un test que sirve pararechazar, y resulta poco potente en el caso de aceptar.

2.3. Test para la coherencia del índice

En principio, el índice que se está utilizando para determinar, por elmétodo de las dos funciones de distribución, el valor del índice, puedevenir expresado como una función desconocida de valores del periodo:

Sint

t

n

t tt

n

1

n – 1( – ) –

( )( )( )µ µ

−− − µ >

= =∑ ∑2

1 1

21

0ε ε η

tn

n tt

n=

− [ ]=∑

ε

ε ε11

2

1( – )

tn

n t tt

n= µ

−µ µ[ ]

=∑

( – )

( – )–( – )

ε

ε ε11

2

1


99

(3) Se trata de un trabajo donde se desarrollan tests estadísticos para contratar el valor más probable en el ámbi-to de la metodología PERT.

mt = µ(t) + εt [10]siendo εt perturbaciones esféricas. Pero, además, esta función puedevenir dada como una combinación lineal de valores conocidos y rela-cionados con el índice; es decir:

[11]

siendo Xi(t) algún valor conocido y relacionado con el índice.(Generalmente los índices se expresan como funciones de caracte-rísticas cuantitativas más generales y conocidas. Se supone que estascaracterísticas son independientes entre sí, o se agrupan en una, lasque sean dependientes).De este modo, sí se dispone, a lo largo de n periodos (n > k) de paresde valores (m’1 , m1) , (m’2 , m2) , ... , (m’n , mn) correspondientes alvalor del activo y al valor del índice. Teniendo en cuenta [10] y [11],se puede escribir:

[12]

Se plantea así un modelo lineal general en el que se dan las hipóte-sis del Teorema de Gauss-Markov, si se considera que las perturba-ciones aleatorias son esféricas y, que las variables exógenas son line-almente independientes; por lo tanto, se podrá obtener un estima-dor ELIO de los parámetros del modelo:

b̂ = (X’ X)–1 X’ M– [13]

Si se llama M̂ = Xb̂, teniendo en cuenta [11] y [12], a partir del cita-do trabajo de Herrerías, Palacios y Pérez (1994) puede establecerseque: El estadístico:

[14]

se distribuye según una F de Snedecor de [k, n-k] grados de libertad,utilizando este estadístico se puede decidir si los valores de la moda

F =

Xb – M̂ '

ˆ ' ˆ

[ ] −[ ]

−[ ] −[ ]−

Xb M

kM M M M

n k

M =

m

m

X X ... X

X X ... X

... ... ..

X X ... X

b

b1

2

1 2 k

1 2 k

1 2 k

1

2

...

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

... .

( ) ( ) ( )

...

m

t t t

t t t

t t t bn n n n k

=

+

1 1 1

2 2 2

ε11

2ε

ε

ε...

n

Xb

= +

µ = ∈=∑( ) ( )t b X t Ri ii

k

bi1

100


del índice para los distintos periodos m1 ... mn son coherentes con losvalores que se obtienen utilizando la relación [3] y los valores delactivo para los mismos periodos m’1, m’2, ... , m’n, es decir, m*

1, m*2,

... , m*n.

Concretamente, en el caso de que se den las siguientes circunstan-cias:

a) El índice sea representativo del activo que queremos valorar.b) Los modelos probabilísticos elegidos para representar al índice y

el activo sean los adecuados.c) Las variables exógenas X1(t) ... Xk(t) tengan capacidad para expli-

car el comportamiento de µ(t).Se cumplirá que mt = m*

t + εt, es decir, m*t = µ(t), y, por lo tanto, la

hipótesis nula que resume las condiciones a), b) y c) anteriores seráH0: X

–b = M– *, donde –M*es el vector columna de los valores modales(m*1, m*2, ... , m*n) calculados a partir de los valores modales delactivo, correspondiente a periodos anteriores, utilizando [3].En definitiva, la expresión del estadístico [14] se transforma en:

[15]

Y, como se sabe, se distribuye según una F de Snedecor de [k,n-k]grados de libertad, por lo tanto.Si F<Fk,n-k(a), o F>Fk,n-k(a), se acepta o rechaza, respectivamente, lahipótesis H0 = µ(t) = M→∗ . Si se acepta la hipótesis, concluiremos quelos valores obtenidos a partir de la relación [3] están adecuados y soncoherentes con el modelo probabilístico subyacente, y los valores delperiodo para el índice, recogidos en el vector M→, pueden ser expli-cados por las variables exógenas:

Xi (tj) i=1...kj=1...n

2.4. Dificultades para el segundo test

Supóngase que al establecer el índice como una combinación linealde valores observables en el activo a valorar se tiene una mala espe-cificación en la muestra, expresión [11]; es decir, M→ = µ(t→)+ε→ pero

F =

M – M* ˆ ' ˆ

ˆ ' ˆ

*[ ] −[ ]−[ ] −[ ]

−

M M

kM M M M

n k


101

µ(t–)≠Xb–. En este caso se puede establecer, véase Palacios, Herreríasy Pérez (1994), que el estadístico:

[16]

donde D=X(X’ X)–1 y N=I-D se distribuye según una F de Snedecorcon [k, n-k] grados de libertad. Este permite contrastar si los valoresobtenidos para la moda del índice, a partir de la ecuación [3] y delos valores más frecuentes para el activo, se adaptan a la especifica-ción lineal del índice, es decir; bajo esta hipótesis, el valor del esta-dístico será:

[17]

que si se compara con el valor teórico Fk,n,–k(α) obtenido de las tablas,permite concluir con la aceptación o negación de la hipótesis H0.Se puede observar que si no existe error de especificación en lamuestra, entonces, µ(t) = X–b y, por tanto:

Dµ(t) = X(X’X)–1 X’ Xb = Xb = µ(t),

por lo que [17] coincidirá con [15], ya que:

Nµ(t–) = (I–D) µ(t–) = µ(t–) – Dµ(t–) = µ(t–) – µ(t–) = 0

3. APLICACIÓN PRÁCTICA: VALORACIÓN DE PARCELAS AGRARIASEN EL EJIDO (ALMERÍA)

En este apartado se tratará de aplicar los tests desarrollados ante-riormente al caso de la valoración de tierras destinadas al cultivointensivo en la provincia de Almería, municipio de El Ejido.El valor de las tierras en los últimos años ha sufrido variacionesimportantes y, como todos los bienes, ha estado sometido a la espe-culación. Históricamente el valor de las tierras de cultivo ha estadoligado a múltiples factores que van desde los de carácter personal alos puramente económicos. No resulta sencillo decir cuál de estosfactores puede haber tenido una influencia mayor; no obstante, seacepta, generalmente, que el valor de las tierras oscila con el éxito dela campaña, y éste, evidentemente, está relacionado con el volumen

F =

1

1k

M DM M DM

n kM M NM M M NM

ˆ ' ˆ

ˆ ' ˆ

* *

* *

−[ ] −[ ]−

− −[ ] − −[ ]

F =

1

1k

M D t M D t

n kM M N t M M N t

ˆ ( ) ' ˆ ( )

ˆ ( ) ' ˆ ( )

− µ[ ] − µ[ ]−

− − µ[ ] − − µ[ ]

102


de ingresos de la campaña, de manera que el activo a valorar será lahectárea de terreno factible de invernar (es decir, que reúna losrequisitos legales y disponga de la infraestructura necesaria paraello) y el índice serán los ingresos anuales por hectárea.Es importante señalar que el ingreso por ha (I/H) dependerá de lacesta de productos que el agricultor haya decidido plantar. Dentrode los ocho productos históricos (que aparecen en el cuadro 3), elagricultor selecciona una «cartera» de productos a plantar. Esta deci-sión determinará los ingresos por ha de la cosecha para el agricultor.Generalmente, esta decisión descansa en el «saber hacer» del agri-cultor y en su experiencia. Existen algunos trabajos científicos quehan tratado de analizar este proceso de toma de decisiones (García,Trinidad y Sánchez (1997); Alaejos y Cañas (1992); Alonso Sebastiány Rodríguez Barrio (1983); Alonso (1977); Arias (1994); Nieto Osto-laza (1969); Romero (1976)).En definitiva, la hipótesis de trabajo será considerar como activo lahectárea de terreno apto para invernar en la provincia de Almería, ycomo índice los ingresos anuales por hectárea, supuesto, claro está,que la producción se mantiene constante en todo el periodo t=1...ny que no hay progreso tecnológico alguno en el mismo. Esta suposi-ción no es muy restrictiva si se piensa en periodos de tiempo nodemasiado largos y en que la tecnología del cultivo en tales inverna-deros ha alcanzado ya un alto nivel tecnológico y por ello no haycambios notables en el mismo. Además, dichos ingresos estaránexplicados por los precios de los productos que componen la carte-ra en el año de referencia.Cuando se habla del valor de la hectárea de terreno, éste se refiereúnicamente al suelo y a la disposición de infraestructura que permi-ta su explotación, se excluye el valor del invernadero, debido a queexisten diferentes tipos de invernadero cuyos precios oscilan, apro-ximadamente, entre 6 millones y 35 millones de pesetas por hectá-rea. La información que se ha utilizado es la siguiente.La Delegación de Agricultura y Pesca dispone de una encuesta (4)sobre los precios de la tierra que nos permite elaborar el cuadro 1referida al campo de Dalías (cuadro 1).A partir de los datos expresados en valores constantes del ejercicio1988, se determinan los siguientes valores: un valor mínimo


103

(4) Esta encuesta es realizada por funcionarios de la Delegación y por empresas subcontratadas, sus resultadosse obtienen a partir de más de mil personas encuestadas, el cuestionario contempla otra serie de cuestiones que, eneste caso, no son de interés. Esta informacion no está publicada.

a’=2.500.000, un valor máximo b’=13.207.961,06 y un valor modalm’=5.000.000 para el activo.Respecto del índice Ingresos/Hectárea, se dispone de una serie his-tórica extraída de los datos publicados por la Consejería de Agricul-tura de la Junta de Andalucía. Estos datos son muy discutibles por-que en general existe ocultación de ingresos, basta con considerarque el coste medio de construir un invernadero es de 33 millones, ylos ingresos/hectárea publicados nos conduciría, mediante un análi-sis de viabilidad económica tipo VAN o TIR, a una situación com-prometida (véase López Gálvez et al. (2000)).Se puede considerar que en la información aportada por la Conse-jería de Agricultura de la Junta de Andalucía (CAJA), las hectáreasestán duplicadas, ya que cada agricultor suele obtener dos cosechasal año y, por tanto, se debería multiplicar el ingreso/hectárea por 2.(Algunos autores aconsejan multiplicar por 1,8). De todos modosestos ingresos van a ser considerados como un índice, y, por tanto, siaceptamos que la serie ha sido obtenida en unas condiciones simila-res a lo largo de estos años, es posible, que aun no siendo real, puedaservir como índice. La serie de datos disponibles para el índice esmás amplia, aquí sólo recogemos el mismo rango de datos del cua-dro 2.

104


Cuadro 1

EVOLUCIÓN DEL PRECIO/HECTÁREA EN PESETASEjercicio Precio/ha, v. corrientes Precio/ha, v. constantes

1988 2.500.000,00 2.500.000,00

1989 6.000.000,00 5.602.652,96

1990 5.000.000,00 4.361.879,23

1991 6.000.000,00 4.949.540,87

1992 4.500.000,00 3.509.300,58

1993 4.500.000,00 3.369.998,42

1994 5.500.000,00 3.932.502,08

1995 6.500.000,00 4.437.934,29

1996 8.000.000,00 5.276.833,78

1997 11.000.000,00 7.149.166,32

1998 20.000.000,00 12.824.417,10

1999 21.000.000,00 13.207.961,06

2000 20.000.000,00 12.355.556,43

Fuente: Encuesta anual precios de la tierra. Delegación Provincial de la Consejería de Agricultura y Pesca dela Junta de Andalucía de Almería.

En definitiva se dispone de la siguiente información:Los valores expresados en pesetas constantes del ejercicio 1988 nospermitirán obtener un valor mínimo a=1.676.668,18, un valor máxi-mo b =2.886.543,51 y un valor modal m=2.350.000, para el índice.Por otra parte, los ingresos/hectárea de cada periodo Lt se puedenconsiderar como una función de valores del periodo

Lt = µ–(t) + εt con εt � Ni(0, σ2)

o, dicho de otro modo:

La función µ(t) para cada periodo t, va a venir expresada medianteuna combinación lineal de los precios pi(t) o Pit de los productos quecomponen las carteras posibles de productos a plantar, de modo quese tendrá:

[18]µ = ===∑∑( ) ( ) ,t b p t b piti

k

i

k

1 1 111

t = 1...n

M

L

L

L

t

n

=

= µ +

1

2

...( ) ε


105

Cuadro 2

EVOLUCIÓN DE LOS INGRESOS POR HECTÁREA, EN PESETASEjercicio Ingresos/ha, c. corrientes Ingresos/ha, v. constantes

1988 1.996.178,00 1.996.178,00

1989 2.059.765,53 1.923.358,57

1990 2.085.443,00 1.819.290,10

1991 2.102.660,00 1.734.533,60

1992 2.276.672,50 1.775.450,70

1993 2.238.875,48 1.676.668,18

1994 3.310.295,00 2.366.862,18

1995 3.499.377,00 2.389.231,57

1996 4.376.175,00 2.886.543,51

1997 3.803.292,00 2.471.851,55

1998 4.416.222,00 2.831.773,65

1999 3.814.770,00 2.399.301,60

2000 4.184.847,00 2.581.120,82

Fuente: Consejería de Agricultura y Pesca de la Junta de Andalucía y elaboración propia.

En principio se puede aceptar que los precios de estos productos sonindependientes entre sí; los precios también están expresados enpesetas corrientes.

106


Por lo tanto, a lo largo de n periodos, con n>k, se dispondrá de lospares de valores (Vt, Lt) y se podría escribir:

[19]

En primer lugar se trata de seleccionar los productos cuyos preciostienen capacidad para explicar los ingresos por hectárea; para ellose realizará una regresión lineal simple tomando como variableexplicada los ingresos/hectarea y como explicativa los precios decada uno de los productos, en el cuadro 4 se recogen los resultados,en base a los cuales se decide considerar como variables explicativaspara los ingresos/hectárea las siguientes variables: precio tomate,precio pepino y precio melón.

M

L

L

L

p p

p p

p p

b

b

bn n n k n

=

=

+

1

2

11 21

12 22

1 2

1

2

1

2

... ... ... ...

... p

... p

... ... ...

... p

k1

k2

kn

εε

ε

Cuadro 3

PRECIOS CORRIENTES DE LOS PRODUCTOS BÁSICOS (1988-2000), EN PESETASEjercicio Tomate Judía Pimiento Pepino Berenjena Calabacín Melón Sandía

1988 42,8 131,4 59,6 54,8 70,2 47,9 46,3 26,3

1989 40,8 125,4 54,6 53 76,7 81,2 58 31,2

1990 60,1 119,6 104,2 40,1 59 75,5 50 26,8

1991 52,5 160,6 96,2 50,1 50,6 48,7 43,7 24,5

1992 51,48 180 80 65 98,5 33 54 23

1993 48 205 77 51 108 55 57 29

1994 70 244 118 73 104 70 67 44

1995 71 189 90 50 77 60 67 38

1996 83 170 95 68 78 101 81 45

1997 61 165 107 64 107 52 73 32

1998 75 201 113 68 80 98 76 34

1999 66 199 104 79 79 79 45 28

2000 89 196 115 82 60 69 70 35

Por lo tanto, se está ante un MLG en el que se supone que secumplen las hipótesis del Teorema de Gauss Markov; se puedeescribir:

–M = Xb– + e–

de donde:

b̂ = (X’ X)–1 X’ M–

Realizada la regresión múltiple (Anexo 1) se obtiene una F=23,403,lo que significa que el modelo es globalmente significativo al 95por ciento, mientras que el único parámetro que resulta indivi-dualmente significativo al 95 por ciento es el del precio del tomatey el término independiente. Este resultado muestra que no se estáante una buena regresión y que pueden existir problemas de mul-ticolinealidad.

Si se llama M–̂ = X b–̂ y para cada uno de los valores Vi (i=1...n) se obtie-

nen los correspondientes valores del índice L*i(i=1...n), utilizando la

relación 3, bajo los supuestos:

a) Las distribuciones subyacentes son betas clásicas.b) Las distribuciones subyacentes son de varianza constante.c) Las distribuciones subyacentes son Caballer.

Se obtendrían los siguientes resultados para M– *, recogidos en el cua-dro 5 (los cálculos se hacen en valores constantes y se pasan a valo-res corrientes):


107

Cuadro 4

SELECCIÓN DE VARIABLES RESULTADO DE LA REGRESIÓN SIMPLEF R cuadrado

Tomate 39,143 0,781

Judía 4,237 0,278

Pimiento 9,145 0,454

Pepino 11,67 0,515

Berenjena 0,126 0,011

Calabacín 5,582 0,337

Melón 15,509 0,585

Sandía 8,861 0,441

Fuente: Elaboración propia.

F(1,11,0,99) = 9,68

108


Cua

dro

5

VALO

RES E

STIM

ADOS

PARA

LOS I

NGRE

SOS (

RELA

CIÓN 3

) SUP

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DO BE

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AS, B

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Valo

res

real

es u

obs

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dos

Valo

res

estim

ados

pta/

hapt

a/ha

pta/

hapt

a/ha

pta/

hapt

a/ha

pta/

hapt

a/ha

pta/

hapt

a/ha

Eje

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gres

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gres

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Pre

cio/

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lor c

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Valo

r con

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Valo

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lor c

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.Va

lor c

orrie

nt.

corr

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eco

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nte

cons

tant

eco

nsta

nte

ingr

. est

imad

ingr

. est

imad

ingr

. est

imad

ingr

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imad

ingr

. est

imad

ing.

est

imad

beta

clá

sica

beta

clá

sica

varia

nza

cte.

varia

nza

cte.

Caba

ller

Caba

ller

1988

1.99

6.17

8,00

2.50

0.00

0,00

1.99

6.17

8,00

2.50

0.00

0,00

1.67

6.66

8,18

1.67

6.66

8,18

1.67

6.66

8,18

1.67

6.66

8,18

1.67

6.66

8,18

1.67

6.66

8,18

1989

2.05

9.76

5,53

6.00

0.00

0,00

1.92

3.35

8,57

5.60

2.65

2,96

2.31

6.90

0,00

2.48

1.21

7,40

2.33

3.00

0,00

2.49

8.45

9,23

1.97

1.00

4,57

2.11

0.79

0,64

1990

2.08

5.44

3,00

5.00

0.00

0,00

1.81

9.29

0,10

4.36

1.87

9,23

2.14

4.25

0,00

2.45

7.94

2,88

2.17

4.68

0,00

2.49

2.82

4,64

1.89

9.64

2,94

2.17

7.55

1,05

1991

2.10

2.66

0,00

6.00

0.00

0,00

1.73

4.53

3,60

4.94

9.54

0,87

2.23

0.69

0,00

2.70

4.11

7,48

2.25

4.82

0,00

2.73

3.36

8,68

1.93

4.72

9,56

2.34

5.34

4,28

1992

2.27

6.67

2,50

4.50

0.00

0,00

1.77

5.45

0,70

3.50

9.30

0,58

1.99

6.12

0,00

2.55

9.63

8,25

2.03

5.26

0,00

2.60

9.82

7,74

1.84

0.38

4,78

2.35

9.93

7,92

1993

2.23

8.87

5,48

4.50

0.00

0,00

1.67

6.66

8,18

3.36

9.99

8,42

1.96

7.91

0,00

2.62

7.77

4,23

2.00

7.79

0,00

2.68

1.02

6,48

1.82

8.96

7,71

2.44

2.24

2,90

1994

3.31

0.29

5,00

5.50

0.00

0,00

2.36

6.86

2,18

3.93

2.50

2,08

2.07

3.95

0,00

2.90

0.62

7,83

2.10

9.10

0,00

2.94

9.78

8,65

1.87

1.53

9,73

2.61

7.53

6,70

1995

3.49

9.37

7,00

6.50

0.00

0,00

2.38

9.23

1,57

4.43

7.93

4,29

2.15

6.03

0,00

3.15

7.81

9,40

2.18

5.61

0,00

3.20

1.14

3,61

1.90

4.36

6,78

2.78

9.22

2,03

1996

4.37

6.17

5,00

8.00

0.00

0,00

2.88

6.54

3,51

5.27

6.83

3,78

2.27

5.00

0,00

3.44

9.03

7,96

2.29

4.90

0,00

3.47

9.20

7,56

1.95

3.17

4,16

2.96

1.13

0,47

1997

3.80

3.29

2,00

11.0

00.0

00,0

02.

471.

851,

557.

149.

166,

322.

491.

730,

003.

833.

877,

792.

492.

360,

003.

834.

847,

142.

052.

035,

603.

157.

345,

99

1998

4.41

6.22

2,00

20.0

00.0

00,0

02.

831.

773,

6512

.824

.417

,10

2.87

7.09

0,00

4.48

6.89

3,99

2.84

8.73

0,00

4.44

2.66

5,86

2.48

3.24

5,37

3.87

2.68

3,41

1999

3.81

4.77

0,00

21.0

00.0

00,0

02.

399.

301,

6013

.207

.961

,06

2.88

6.54

3,00

4.58

9.45

9,55

2.88

6.54

3,00

4.58

9.45

9,55

2.88

6.73

4,90

4.58

9.76

4,66

2000

4.18

4.84

7,00

20.0

00.0

00,0

02.

581.

120,

8212

.335

.556

,43

2.86

2.91

0,00

4.64

1.72

0,08

2.84

8.73

0,00

4.61

8.72

9,63

2.40

2.52

6,52

3.89

5.28

6,82

Fue

nte:

Ela

bora

ción

pro

pia.

bajo las hipótesis:

a) El índice es representativo del activo que queremos valorar.

b) Los modelos probabilísticos elegidos (clásico, varianza constante,Caballer, etc.) para representar el índice y el activo son adecuados.

c) Los precios de la cartera de productos tienen capacidad paraexplicar el Ingreso por hectárea; es decir:

Lt = L*t + εt

siendo Lt los ingresos por hectárea observados y L*t los obtenidos a

partir del índice aplicando la relación [3].Bajo estas condiciones, la hipótesis nula sería Li = L*

i + et equivalen-te a M– = M–* + ε, o sea, H0: M

– * = Xb– y por lo tanto el estadístico:

[20]

sigue una F con k y n-k grados de libertad y nos permite contrastar lahipótesis nula.Si además:

[21]

entonces la expresión anterior se transforma en:

Pero es posible que el índice I/H no pueda ser explicado de unmodo adecuado por los precios de los productos, es decir, que losprecios de los productos no sean los que explican los ingresos por

F

L L

k

L L

n k

L L

L L

n kkk n k

i il

n

i il

n

i ii

n

i ii

n,

*

*( ˆ )

( ˆ )

( ˆ )

( ˆ )−

=

=

=

−

−

−

=−

−⋅ −

∑

∑

∑

∑

2

2

2

1

2

1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

...ˆ

M Xb

L

L

Ln

= =

1

2

F

M M M M

kM M M M

n k

k n k,

* *ˆ ' ˆ

ˆ ' ˆ

( )

− =

−[ ] −[ ]−[ ] −[ ]

−


109

hectárea, y, por lo tanto, se tenga una mala especificación de la mues-tra, lo que ha ocurrido en realidad, ya que, como se puso de mani-fiesto, la regresión podía presentar problemas de multicolinealidad,es decir:

M– = µ–(t) + ε pero –µ(t) ≠ Xb–

en ese caso, la hipótesis nula debería ser: H0: M–* = µ–(t), y siendo N y

D las matrices:

N = [I–X(X’X)–1 X’] y D=X(X’X)–1 X’

el estadístico de contraste sería:

[22]

Los resultados del contraste para la 1.ª hipótesis nula y para la 2.ªhipótesis nula se encuentran en los cuadros 6, 7 y 8 según las distri-buciones subyacentes utilizadas.

4. CONCLUSIONES Y LINEAS DE INVESTIGACIÓN

Como puede observarse en los cuadros 6 y 7 se rechaza la primerahipótesis nula y se acepta la segunda en los supuestos de distribuciónsubyacente de varianza constante y beta clásica, por lo tanto se puedeconcluir que las variables explicativas precios de los productos no tie-nen capacidad para explicar los ingresos por hectárea; sin embargo,el índice Ingresos por hectárea es representativo del activo precio dela hectárea y los modelos probabilísticos elegidos, es decir, modelode varianza constante y beta clásica son adecuados para representartanto al índice como al activo.Por otro lado, al rechazar ambas hipótesis, cuadro 8, en el supuestode distribución Caballer subyacente, se debe de concluir que estemodelo probabilístico no es adecuado para representar al Índice o alActivo, o a ninguno de los dos, o bien que el Índice no tiene capaci-dad para representar al activo.Los tests presentados en este trabajo, tienen como objetivo aceptar orechazar los modelos probabilísticos elegidos para simular el com-portamiento del índice y del activo, y contrastar la capacidad delíndice para representar al activo. Estos tests son los únicos que exis-ten en la literatura sobre el método de las dos funciones de distribu-

F kM DM M DM

n kM M NM M M NM

k n k,

* *

* *

ˆ ' ˆ

ˆ ' ˆ− =

−[ ] −[ ]−

− −[ ] − −[ ]

1

1

110



111

Cua

dro

6

BAJO

EL SU

PUES

TO DE

BETA

S CLÁ

SICAS

SUBY

ACEN

TES

(LOS C

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LA BE

TA CL

ÁSICA

)

Obt

enid

oVa

lor

Valo

res

de re

la-

estim

ado

orig

inal

esci

ón 4

.4en

lare

gres

ión

MM

*M̂

M*

- M̂M

- M̂

(M*–

M̂)’

(M*–

M̂)

(M –

M̂)’

(M –

M̂)

D,M

*N

.M*

M̂–

DM

*M

–M̂–N

M*

K2

* K

2L2

* L2

1.996

.178,0

01.6

76.66

8,18

1.979

.938,0

0-30

3.269

,8216

.240,0

091

.972.5

83.54

0,87

263.7

37.60

9,74

2.392

.190,8

6-71

5.522

,68-41

2.252

,8673

1.762

,6816

9.952

.424.1

05,44

35.47

6.626

.101,7

8

2.059

.765,5

32.4

81.21

7,40

2.148

.281,7

233

2.935

,68-88

.516,1

911

0.846

.165.1

43,97

7.835

.115.9

98,34

2.241

.281,9

923

9.935

,40-93

.000,2

7-32

8.451

,598.6

49.05

1.016

,1010

7.880

.449.2

77,47

2.085

.443,0

02.4

57.94

2,88

2.232

.745,5

622

5.197

,32-14

7.302

,5650

.713.8

33.39

0,08

21.69

8.044

.536,0

82.4

73.32

9,80

-15.38

6,92

-240.5

84,24

-131.9

15,65

57.88

0.774

.739,1

117

.401.7

37.64

5,14

2.102

.660,0

02.7

04.11

7,48

2.100

.883,9

260

3.233

,561.7

76,08

363.8

90.72

4.071

,903.1

54.44

6,31

2.562

.058,2

114

2.059

,27-46

1.174

,29-14

0.283

,1921

2.681

.722.8

58,17

19.67

9.374

.479,9

5

2.276

.672,5

02.5

59.63

8,25

2.688

.052,1

5-12

8.413

,90-41

1.379

,6516

.490.1

30.77

7,50

169.2

33.21

9.527

,702.9

77.86

7,56

-418.2

29,31

-289.8

15,40

6.849

,6583

.992.9

68.25

4,46

46.91

7.761

,84

2.238

.875,4

82.6

27.77

4,23

2.297

.542,8

333

0.231

,40-58

.667,3

510

9.052

.778.5

37,98

3.441

.857.9

56,02

2.412

.447,6

621

5.326

,57-11

4.904

,83-27

3.993

,9213

.203.1

20.45

9,87

75.07

2.667

.821,7

2

3.310

.295,0

02.9

00.62

7,83

3.770

.764,3

6-87

0.136

,53-46

0.469

,3675

7.137

.582.3

38,85

212.0

32.03

5.182

,573.7

97.88

5,40

-897.2

57,56

-27.12

1,03

436.7

88,20

735.5

50.48

8,53

190.7

83.93

2.464

,50

3.499

.377,0

03.1

57.81

9,40

3.221

.364,0

8-63

.544,6

827

8.012

,924.0

37.92

5.822

,3177

.291.1

85.91

1,03

3.097

.991,6

959

.827,7

112

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0.513

,792.7

12.22

4,17

445.1

21,82

693.7

25,07

-47.77

9,05

481.2

54.46

8.247

,072.2

82.83

8.008

,60

4.416

.222,0

03.8

72.68

3,41

4.011

.810,8

0-13

9.127

,3840

4.411

,2019

.356.4

28.88

3,08

163.5

48.42

1.111

,913.2

07.83

7,46

664.8

45,95

803.9

73,34

-260.4

34,75

646.3

73.12

3.633

,8467

.826.2

58.22

3,44

3.814

.770,0

04.5

89.76

4,66

3.279

.527,3

31.3

10.23

7,33

535.2

42,67

1.716

.721.8

53.57

8,87

286.4

84.71

3.647

,763.7

87.92

8,79

801.8

35,87

-508.4

01,46

-266.5

93,20

258.4

72.04

2.547

,4271

.071.9

34.89

7,48

4.184

.847,0

03.8

95.28

6,82

4.657

.875,4

8-76

2.588

,66-47

3.028

,4858

1.541

.465.0

84,78

223.7

55.94

5.729

,284.1

80.83

1,02

-285.5

44,20

477.0

44,46

-187.4

84,29

227.5

71.42

1.139

,2735

.150.3

57.89

2,80

k=4

n-

k=9

Pri

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ipó

tesi

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Seg

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F(e

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5197

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xper

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7,63

5489

634

F(4

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3,63

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,5)=

3,63

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,0,1

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Ace

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tesi

s

ción. El primer test se refiere a la adecuación del índice y no requie-re que éste sea, a su vez, explicado por variables exógenas del perio-do. El segundo test trata de comprobar la coherencia del índice ynecesita disponer de unas variables observadas a lo largo del perio-do que, en principio, expliquen el comportamiento del índice.Los conceptos de «adecuación » y «coherencia» han sido desarrolla-dos a lo largo del trabajo, y a partir de ellos es posible afirmar queambos tests se pueden aplicar de forma independiente, siempre quese disponga de los datos necesarios. Las herramientas Matemáticas y Econométricas utilizadas para lafundamentación teórica de los tests pueden parecer excesivamentecomplicadas. Sin embargo, la aplicación práctica puede desarrollar-se fácilmente en una hoja de cálculo, por lo que se puede considerara estos tests como un instrumento que no ha de presentar una grandificultad para su utilización, por lo profesionales de la valoración.De todos modos, es sabido que en cualquier campo científico las teo-rías emergentes necesitan un espacio de tiempo, generalmentelargo, para alcanzar una aceptación generalizada, en el mejor de loscasos. Las líneas de investigación a seguir serían:

– Encontrar nuevos tests que mejoren los presentados aquí.– Extender estos tests al caso multiíndice.

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116


Resumen del modelo

Modelo R R cuadrado R cuadrado correg. Error tip. de la estimación

1 ,941 (a) ,886 ,849 380861,9762

(a) Variables predictoras: (constante), pepino, melón, tomate.


117

Anexo 1

REGRESIÓN MÚLTIPLEVariables introducidas/eliminadas (b)

ModeloVariables introducidas Variables eliminadas

Método

1 Pepino, Melón, Tomate (a) Introducir

(a) Todas las variables solicitadas introducidas.(b) Variable dependiente: Ingresos.

ANOVA (b)

Modelo Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig.

Regresión 10184210731479,610 3 3394736910493,205 23,403 ,000 (a)

1 Residual 1305502604435,619 9 145055844937,291

Total 114897133335915,230 12

(a) Variables predictoras: (constante), pepino, melón, tomate.(b) Variable dependiente: ingresos.

Coeficientes (a)

Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizadost Sig.Modelo

B Error típ. Beta

(Constante) –1821783,404 657013,561 –2,773 ,022

Tomate 31014,847 11688,336 ,478 2,653 ,026

1 Melón 25235,425 12030,544 ,323 2,098 ,065

Pepino 23572,347 11100,533 ,302 2,124 ,063

(a) Variable dependiente: Ingresos.

RESUMEN

Valoración agraria: contrastes estadísticos para índices y distribucionesen el método de las dos funciones de distribución

En este trabajo se presenta una aportación original en el ámbito del método de valoraciónconocido como «de las dos betas» (en general método de las dos funciones de distribución),como es sabido, en este método el valor de un activo se establece a través del valor de uníndice de referencia seleccionado. El proceso exige estimar una función de distribuciónpara el índice y otra para el activo.En primer lugar se cuestiona el acierto de los índices elegidos para valorar los activos, a con-tinuación se analiza la adecuación de las distribuciones de probabilidad seleccionadas parasimular el comportamiento del índice y del activo. Posteriormente se presentan varios testsestadísticos, desarrollados a propósito de este método de valoración, que permiten contras-tar la representatividad de los índices y la adecuación de los modelos probabilísticos. El tra-bajo finaliza con una aplicación práctica sobre la valoración de parcelas agrícolas en elCampo de El Ejido (Almería), donde el activo a valorar es la hectárea de terreno agrícola yel índice es el ingreso anual por hectárea.

PALABRAS CLAVE: Valoración, método de las dos betas, test estadísticos.

SUMMARY

Agricultural valuation: statistical tests for indexes and distributions in the methodof the two distribution functions

In this work an original contribution in the fiel of the «two betas» valuation method (ingeneral method of the two distribution functions) is presented. As it is well-known, in thismethod the value of an asset is deduced from the value of a chosen reference index. Theprocess requires to estimate a distribution function for the index and another one for theasset. In first place, the success of the chosen index to value the asset is questioned; next, fitof the chosen probability distributions to simulate the behaviour both of the index and theasset is analysed. Later, several statistical tests for this valuation method are presented, thatallow us to contrast the representative ness of the inex and the fitting of th probabilisticmodel. This paper finished with a practical application about the valuation of agriculturalparcels in the Field of El Ejido (Almería, Spain), where the asset to be valued is the price ofa hectare of agricultural land and the index is the annual income per hectare.

KEYWORDS: Valuation, method of the two betas, statistical tests.

118


valoración agraria: contrastes estadísticos para índices y...

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