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Valoración de Opciones Path Dependent de tipo Americano de Corto Plazo
en el Mercado USDCOP: Caso Opciones de Control de Volatilidad del Banco
de la República
Santiago Stozitzky Otálora
Categoría Libre
Valoración de Opciones Path Dependent de tipo Americano de Corto Plazo
en el Mercado USDCOP: Caso Opciones de Control de Volatilidad del Banco
de la República
Resumen
Este documento tiene como propósito aportar al mercado de opciones local
explicando una de las posibles metodologías aplicables para la valoración de
opciones exóticas que tienen características de tipo americano. Esto con el fin de
apoyar al desarrollo del mercado colombiano, en especial, con el entendimiento y
valoración de las opciones de control de volatilidad del USDCOP del Banco de la
República. Por lo tanto, este artículo expondrá una metodología de valoración de
opciones sobre el USDCOP de corto plazo de tipo americano mediante la
utilización de simulación de Monte Carlo, bajo la implementación de dos modelos
de mercado: el movimiento Browniano geométrico propuesto por Black y Scholes
(1973) y el de saltos propuesto por Merton (1976).
A lo largo del artículo se explorarán conceptos que ayudarán a desarrollar la
intuición matemática en la cual se basan los modelos de valoración de Black y
Scholes (1973) y Merton (1976). Adicionalmente se expondrá en detalle la
metodología de valoración de opciones americanas utilizando simulación de Monte
Carlo bajo el algoritmo propuesto por Longstaff y Schwartz (2001), todo lo anterior
desde la óptica del mercado colombiano de volatilidad.
Clasificación JEL: C63, C69 y G12
1. Introducción
Los mercados financieros mundiales cuentan con productos derivados (productos
cuyo precio depende de un activo subyacente) con los cuales se pueden realizar
tres actividades distintas: coberturas financieras, especulación y arbitraje. Uno de
estos productos son las opciones financieras, las cuales le dan el derecho al
comprador de ejercerla a un precio favorable a cambio del pago de una prima, lo
que implica que el vendedor estará obligado a cumplir la operación financiera
cuando la condición de ejercicio se cumpla1.
Este tipo de mercados son ampliamente usados a nivel mundial, especialmente en
los mercados de FX donde las opciones representan una porción importante del
volumen negociado diariamente:
Tabla 1 Montos Promedio Diarios Transados en Abril (Miles de Millones de USD ctes)
El mercado de opciones sobre FX representa cerca del 6% del mercado mundial
sobre este subyacente, y más importante aún, las opciones son cerca del 50% del
volumen negociado en los forwards (outright). Esta cifra en Colombia cambia de
manera importante, la proporción se encuentra cerca del 3.6% para el 2014 según
1 En el caso de las opciones Call, esta opción le da derecho al comprador del producto a comprar en una
fecha futura el activo subyacente a un precio determinado al momento del cierre de la operación, lo anterior a cambio de un pago de una prima. La función de pago de esta opción se puede expresar de la siguiente manera: (𝑆 − 𝐾)+, donde S representa el precio spot y K el precio pactado con anterioridad (Strike).
la información publicada en el Banco de la República, sin embargo, el mercado de
opciones colombiano se encuentra en pleno desarrollo como lo muestra la
siguiente gráfica (* a nov de 2014):
Gráfico 1 Volumen Transado Mercado de Opciones USDCOP
Conforme el mercado se desarrolla en términos de volumen transado, este
también evoluciona en su forma de operar. Al comienzo, cerca de 7 a 10 años
atrás, el mercado cotizaba las volatilidades esperadas a futuro a diferentes plazos.
Hoy en día se cotizan diferentes estrategias construidas con opciones que buscan
describir los 3 momentos de la distribución de probabilidad esperada (neutral al
riesgo – ver anexo 1-): la dispersión (nivel de volatilidad), la asimetría y la curtosis.
Esto se logra mediante el llamado smile de volatilidad que se muestra en el gráfico
2.
Gráfico 2 Ejemplo Volatilidades a un Mes en Colombia
El gráfico anterior ilustra lo que el mercado cotiza como volatilidad implícita a
diferentes deltas2 de las opciones Call a un vencimiento determinado. En el caso
colombiano se siguen las siguientes convenciones:
- El strike del at the Money (ATM) es la tasa forward al plazo
seleccionado.
- Los strikes del resto de puntos del smile son los que hacen que la
opción tenga el delta forward indicado en cada uno de ellos – ver eje x -
(25% y 10% de delta).
El fundamento detrás de variar la volatilidad en función del strike es la de ajustar el
precio a los riesgos inherentes en la ejecución (dinámica) del portafolio replicante.
Como se puede ver en el gráfico 2, es posible identificar tres aspectos:
- El nivel de volatilidad base es el ATM.
- La diferencia entre la volatilidad del cada uno de los extremos (90D - 10D o
75D - 25D) trata de reconocer que la distribución observada en los precios
de los activos subyacentes es asimétrica, en este caso, asimétrica positiva
(llamado como el skew del smile).
- La curvatura del smile (qué tan convexo es) busca reconocer qué tan
pesadas son las colas de la distribución (eventos extremos).
Es importante destacar que el proceso de Wiener (el cual se describirá en detalle
en la sección siguiente) incorporado en la modelación del Movimiento Browneano
Geométrico del modelo de Black y Scholes falla en reconocer los últimos dos
elementos, dado que este asume que los retornos del activo subyacente se
distribuyen normalmente.
2 Estos deltas son conocidos como Delta Forward, es decir, que el instrumento de cobertura es el forward. La
utilización de este instrumento simplifica la implementación de la superficie de volatilidad porque se cumple la siguiente condición:
𝜎∆𝐶𝑎𝑙𝑙 = 𝜎1−∆𝑃𝑢𝑡 Esto es importante en el momento de la calibración de los modelos por lo que se puede valorar solamente opciones Calls fácilmente, como se explicará más adelante en el documento.
Teniendo en cuenta el momentum que está tomando el mercado y las
particularidades que se tienen incorporadas en la cotización de la superficie de
volatilidad, es importante llevar este conocimiento a la valoración de productos
diferentes a las opciones Plain Vanila (las existentes en el mercado colombiano).
Este artículo busca proponer una metodología, o algoritmo, de valoración de las
opciones de control de volatilidad que subasta el Banco de la República, esto para
que su precio sea consistente con los precios observados en el mercado Plain
Vanilla.
El documento estará dividido de la siguiente forma: la primera sección busca
explicar concisamente el modelo de Black y Scholes (B-S), junto a diferentes
características que se pueden encontrar en las funciones de pago de las opciones,
tales como las de ejercicio Europeo y Americano, con el objetivo de entender las
particularidades de las opciones subastadas por el Banco de la República.
Posteriormente se procederá con la valoración de la opción del Banco de la
República para control de volatilidad bajo este marco conceptual. Finalmente se
analizará el impacto de incorporar en el precio de las opciones del Banco de la
República los ajustes que incorpora el mercado en las opciones Plain Vanilla por
medio del smile de volatilidad. Dos anexos se incluyen al final donde se explica
qué se entiende por portafolio replicante, distribución de probabilidad neutral al
riesgo (medida neutral al riesgo) y el concepto de mercados completos.
2. Modelo de Black y Scholes
Este modelo busca describir el comportamiento del precio del activo subyacente
por medio de los rendimientos del mismo, bajo el fundamento de que los
inversionistas, u otros agentes, no están interesados en el nivel per se del activo
sino en su posible variación (Wilmott, 2007):
𝑅𝑖 =𝑆𝑖−𝑆𝑖−1
𝑆𝑖−1= 𝜇∆𝑡 [1]
Donde 𝑅 es el retorno entre 𝑖 y 𝑖 − 1, µ representa el retorno anualizado y 𝑆 el
precio del activo. Transcurridos 𝑛 períodos de longitud 𝛥𝑡, la expresión anterior se
puede escribir de la siguiente manera:
𝑆𝑖+𝑛 = 𝑆𝑖(1 + 𝜇Δ𝑡)𝑛
sabiendo que 𝑛 =𝑡
Δ𝑡. Cuando se hace cada vez más pequeño el intervalo de
tiempo se obtiene
limΔ𝑡→0 𝑆𝑖(1 + 𝜇Δ𝑡)𝑡
Δ𝑡 = lim𝑛→∞ 𝑆𝑖 (1 + 𝜇𝑡
𝑛)
𝑛
= 𝑆𝑖𝑒𝜇𝑡 [2]
La ecuación [2] describe el comportamiento del precio del activo subyacente como
la capitalización de los rendimientos de manera continua durante el periodo de
observación. Sin embargo, la expresión [2] asume que el rendimiento esperado del
activo es determinístico, por lo cual esta modelación no logra reconocer la
incertidumbre observada en los mercados. Dicha expresión se podría
complementar adicionándole un choque aleatorio al flujo de información entrante
al mercado3 que genera volatilidad en los precios de los activos. Por un momento
asuma que µ = 0 por simplicidad (sin pérdida de generalidad), entonces el modelo
en [1] quedaría expresado de la siguiente manera:
𝑅𝑖 =𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
𝑆𝑖−1= 𝜎Δ𝑡𝛽𝜉
Donde el exponente 𝛽 escala el intervalo de tiempo para hacerlo coherente con la
varianza de la distribución de probabilidad de 𝜉, la cual se definirá a continuación.
Esta caracterización tiene implícito que cada intervalo de tiempo es independiente
del resto (independiente e idénticamente distribuido).
Realizando un análisis similar al hecho en [2]
3 Este flujo de información se le modela en la teoría por medio de las filtraciones que se aplica a la sigma-
algebra generada por el proceso aleatorio. Ver (Williams, 1991).
limΔ𝑡→0
𝑛𝜎2Δ𝑡2𝛽 = limΔ𝑡→0
𝑡𝜎2Δ𝑡2𝛽−1 [3]
𝛽 debe tomar el valor de 1
2 (de otra forma el límite convergería a 0 o a infinito).
Uniendo [2] y [3] se obtiene el siguiente modelo:
𝑆𝑖+Δ𝑡−𝑆𝑖
𝑆𝑖= 𝜇∆𝑡 + 𝜎√Δ𝑡𝜉 [4]
Y haciendo Δ𝑡 → 0 en [1], se convierte en (asumiendo ahora que 𝜉 ∽ 𝑁(0,1))
𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊 [5]
Donde 𝑑𝑊 es un proceso de Wiener (movimiento Browneano), el cual tiene las
siguientes características:
a. 𝑊0 = 0
b. 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 ∽ 𝑁(0, |𝑡 − 𝑠|) para todo 𝑠, 𝑡 ∈ [0, ∞)
c. 𝑊𝑡1− 𝑊𝑡2
, … , 𝑊𝑡𝑖− 𝑊𝑡𝑖−1
son independientes e idénticamente distribuidos
para todo 𝑖
Aplicando el Lemma de Ito4 (cuya explicación se escapa al alcance del presente
artículo), se puede demostrar que la solución a [5] es la siguiente (y es única5):
𝑆𝑡 = 𝑆0𝑒(𝜇−1
2𝜎2)𝑡+𝜎𝑊𝑡 [6]
Conociendo el resultado de [6], es sencillo determinar la fórmula que encontraron
Black y Scholes en 1973 utilizando la fórmula general para la valoración de
cualquier tipo de derivado (ver anexo 1):
𝐶 = 𝔼𝑄[𝑒−𝑟𝑇(𝑆𝑇 − 𝐾)+] = 𝑆𝑒−𝑞𝑇𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝑑2) [7]
4 En resumen, el lemma de Ito establece que el diferencial de una función 𝐹(𝑡, 𝑋𝑡) esta dado por la siguiente
expresión (Bingham y Kiesel, 2004):
𝑑𝐹 =𝜕𝐹
𝜕𝑡𝑑𝑡 +
𝜕𝐹
𝑑𝑋𝑑𝑋 +
1
2
𝜕2𝐹
𝜕𝑋2(𝑑𝑋)2
5 En el anexo 1 se formaliza esta observación.
donde
𝑑1 =ln
𝑆𝐾 + (𝑟 − 𝑞 +
12 𝜎2) 𝑇
𝜎√𝑇, 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇
En donde se utilizó el hecho que 𝜇 es igual a 𝑟 − 𝑞 en el mundo neutral al riesgo
(se deriva del hecho que existe una y solo una sola martingala6 en este mercado
tal como se expone en el anexo 1).
Sin embargo, aunque bajo este mercado (B-S) es posible encontrar el precio a
cualquier opción que cumpla las características que se estipulan en el teorema
mencionado en el anexo 1, esto no garantiza que sea posible encontrar una
fórmula cerrada para su valoración, como sí lo fue en el caso de las opciones Call
(ecuación [7]). Un ejemplo sencillo donde se puede observar lo anterior es el de
cambiar levemente la función de pago a (𝑆𝑡 − 𝐾)+ para 0 < 𝑡 ≤ 𝑇, la cual describe
una opción Call de tipo Americano, que se puede ejercer en cualquier momento
antes de su vencimiento.
Para este tipo de opciones no existe una formula cerrada para su valoración, por
lo cual se necesitan métodos numéricos que ayuden a calcular el valor esperado.
Los métodos más comunes son la simulación de Monte Carlo, métodos de
diferencias finitas y el Árbol Binomial.
En los métodos numéricos mencionados en el párrafo anterior, inicialmente se
procede a hacer una discretización (seleccionada cuidadosamente) de la ecuación
6 Un proceso estocástico 𝑋𝑡>0 es una Martingala si se cumplen las siguientes propiedades (Williams, 1991):
a. 𝑋𝑡 es medible en la sigma algebra ℱ b. 𝔼[|𝑋𝑡|] < ∞ c. 𝔼[𝑋𝑡|ℱ𝑠] = 𝑋𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 < 𝑡
Si un activo se puede expresar como una martingala el mercado es libre de arbitraje como se explica en el anexo 1 y 2.
diferencial7 expuesta en [5] con 𝜇 = 𝑟 − 𝑞, evaluando en cada Δ𝑡 la condición de
ejercicio tal como se explica a continuación:
Primero defina el precio de la opción como
𝑃 = 𝑍0
y
𝑍𝑡 = max ((𝑆𝑡 − 𝐾)+, 𝔼𝑄[𝑒−𝑟Δ𝑡𝑍𝑡+Δ𝑡|ℱ𝑡]) y 𝑍𝑇 = (𝑆𝑇 − 𝐾)+, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
[8]
Lo que en los libros de texto se conoce como Snell Envelope. De esta forma es
posible evaluar la condición de ejercicio en cada momento del tiempo que se esté
analizando y adicionalmente permite llevar registro del valor de la opción en cada
intervalo de tiempo (como se puede observar, este es un proceso recursivo hacia
atrás).
3. Valoración de la Opción Call de Control de Volatilidad del Banco de la
República
Según la DODM-143, las opciones que son subastadas por el Banco de la
República con el fin de intervenir el mercado cambiario para reducir la volatilidad
del mercado USDCOP se pueden definir de la siguiente manera: son opciones que
dan el derecho a comprar (o vender) dólares en cualquier día hábil desde su
emisión hasta su vencimiento 30 días después a la TRM vigente siempre y cuando
ésta se encuentre por encima (por debajo) del promedio móvil 20 más (menos) el
5%.
Como se puede ver, esta es una opción de tipo americano con una función de
pago que dependerá del nivel de la diferencia entre el promedio móvil de los
últimos 20 días hábiles y el precio actual de dólar. Esta función se podría
caracterizar de la siguiente forma:
7 Para el método de Diferencias Finitas se utiliza la ecuación diferencial parcial del valor de la opción.
(𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1)+1{𝑆𝑡−1≥(1+𝑓)
1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20𝑖=1 }
[9]
donde 𝑓 es el factor al cual debe estar por encima la TRM del promedio móvil y la
función indicadora 1{𝐴} es igual a 1 si se cumple la condición 𝐴, de lo contrario es
igual a 0.
Antes de proceder a describir el procedimiento para valorar estas opciones, es
importante analizar cómo se debería comportar su precio ante cambios en sus
parámetros, todo con el fin de adquirir cierto entendimiento de la función de pagos.
A simple vista podrían identificarse 3 parámetros que tienen influencia en el precio
de esta opción: 𝜎, 𝑓 y el valor que tome 1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20𝑖=1 . Inicialmente este análisis se
realizará de manera intuitiva, y en donde se requiera puntualizar ciertos aspectos
se procederá a describirlos.
a. Cambios en la volatilidad 𝜎
Como se puede observar en [6], a una mayor volatilidad se obtendrá una
distribución de probabilidad menos concentrada alrededor de su media, lo que
incrementa la probabilidad de ocurrencia de eventos extremos, que de otra
forma no ocurrirían cuando 𝜎 es pequeña. Esto se evidencia a continuación en
el gráfico 3.
Gráfico 3 Comparación Distribuciones de Probabilidad Normal
Al incrementar 𝜎 aumentará la probabilidad de encontrar 𝑆𝑡 > 𝑆𝑡−1, para todo 𝑡,
lo cual tiene impacto tanto en la liquidación de la opción como en el valor del
promedio móvil dentro de la función indicadora. Por lo tanto, el precio de la
opción (𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝) cumpliría la siguiente relación:
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝜎1) > 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝜎2), 𝜎1 > 𝜎2
b. Cambios en 𝑓
Para analizar este parámetro es importante entender cómo cambia la
probabilidad de ocurrencia del evento dentro de la función indicadora. Por el
momento asuma 𝑓1 ≤ 𝑓2, lo que implica que:
(1 + 𝑓1)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
≤ (1 + 𝑓2)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
porque 1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
21𝑖=1 > 0. Por consiguiente la probabilidad neutral al riesgo8
correspondiente a los siguientes dos eventos cumplen
𝑄 (𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓1)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
) ≥ 𝑄 (𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓2)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
)
8 Ver anexo 1
dado que
[𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓1)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
] ∩ [𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓2)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
]
= [𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓1)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
]
lo que implica que
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝑓1) > 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝑓2)
c. Cambio en el promedio móvil
La sensibilidad de 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝 dependerá de la nueva observación que entra
dentro del promedio móvil, que disminuirá o aumentara la distancia entre el
promedio y la tasa actual. Asumiendo que 𝑆𝑡 > 𝑆𝑡−21 y que el cambio en el
tiempo tiende a cero, es decir, que el cambio de 𝑡 − 1 a 𝑡 acaba de ocurrir
𝑡 = 𝑡 – 1 + 𝑑𝑡, se obtiene
1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
<1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
19
𝑖=0
Por lo cual
𝑄 (𝑆𝑡−1 ≥ (1 + 𝑓)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20
𝑖=1
) ≥ 𝑄 (𝑆𝑡−0 ≥ (1 + 𝑓)1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
19
𝑖=0
)
Entonces
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝑆𝑡−1) > 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝑆𝑡−1+𝑑𝑡)
3.1. Implementación de simulación de Monte Carlo para la valoración de
las Opciones del Banco de la República
El precio de la opción del Banco de la República estará determinado por la
siguiente expresión:
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝 = 𝔼𝑄 [𝑒−𝑟𝑇(𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1)+1{𝑆𝑡−1≥(1+𝑓)
1
20∑ 𝑆𝑡−𝑖
20𝑖=1 }
] [10]
Nótese que esta es una opción que se puede ejercer en cualquier momento, por lo
que es necesario implementar la técnica denominada Snell Envelope explicada en
[8] con el fin de encontrar su solución.
Esquemáticamente, una de las maneras como este problema puede ser resuelto,
y la que será implementada en este documento, es la que se describe en el gráfico
4.
Gráfico 4 Diagrama de Proceso de Valoración
A continuación se entrará en el detalle de la teoría detrás de cada uno de los
cuadros del gráfico 4 con el fin de entender su implementación.
3.1.1. Simulación de Monte Carlo
El método de simulación de Monte Carlo está basado en relacionar el concepto de
probabilidad con el volumen de observaciones obtenido al tomar una muestra del
experimento a analizar. La ley de los grandes números asegura que la estimación
de la probabilidad del evento que se desea calcular por medio de Monte Carlo
converge al valor real conforme el tamaño de la muestra aumenta. Por lo tanto,
dependiendo de cómo se formule el problema, y haciendo la muestra lo
suficientemente grande, este método puede ser lo suficientemente competitivo
respecto a otros métodos numéricos (Bingham y Kiesel, 2004).
En el caso de las opciones del Banco de la República, hay que realizar muestreos
de los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria 𝑆𝑡 en cada ∆𝑡 que se
considere conveniente. Lo anterior es importante dado que la opción a valorar se
conoce comúnmente como path dependent (“camino dependientes”), implicando
que el modelo utilizado para realizar la generación de los diferentes escenarios
requiera ser discretizado de alguna manera. Este proceso hay que definirlo
apropiadamente y de manera eficiente, de tal manera que se reduzca el error de
muestreo, dado que existen usualmente limitaciones computacionales por
hardware o tiempo.
Para ilustrar el punto anterior, podría ser pertinente analizar a qué tipo de orden
converge el error cuando se discretiza la solución de la ecuación diferencial.
Comenzando por la más sencilla, la ecuación a utilizar en la simulación seria [5],
la cual quedaría expresada de la siguiente manera usando el método de Euler
(Glasserman, 2003):
𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1 = (𝑟 − 𝑞)𝑆𝑖−1∆𝑡 + 𝜎𝑆𝑖−1(𝑊𝑖 − 𝑊𝑖−1)
Vale la pena recordar las propiedades del proceso de Wiener 𝑊, en el cual las
diferencias son independientes y normalmente distribuidas y la magnitud de la
varianza depende del tamaño del intervalo de tiempo. Por consiguiente, la
ecuación anterior se puede expresar de la siguiente manera:
𝑆𝑖 = 𝑆𝑖−1 + (𝑟 − 𝑞)𝑆𝑖−1∆𝑡 + 𝜎𝑆𝑖−1√∆𝑡𝑍𝑡 , 𝑍𝑡~𝑁(0,1) [11]
En donde se evidencia la existencia de dos fuentes de error: la longitud
seleccionada de ∆𝑡 (entre más pequeña ésta, menor el error) y el muestreo
realizado de 𝑍𝑡, el cual depende del tamaño de la muestra (Glasserman, 2003).
Por el otro lado, dado que se conoce la solución a la ecuación diferencial [5], es
decir [6], se puede disminuir el error debido al tamaño del intervalo de tiempo a
cero, excepto para los días en los que se desea monitorear el precio del activo.
Esto es una ventaja importante por lo que hace que el precio de la opción converja
más rápidamente a su precio real al momento de desarrollar la simulación
(Glasserman, 2003):
𝑆𝑖 = 𝑆𝑖−1𝑒((𝑟−𝑞)−
1
2𝜎2)∆𝑡+𝜎√∆𝑡𝑍𝑡 , 𝑍𝑡~𝑁(0,1) [12]
El método de simulación a utilizar es el expuesto en [12]9.
3.1.2. Estimación del Snell Envelope por Camino Simulado
Esta técnica matemática está diseñada para resolver problemas que necesitan
monitorear los posibles valores que pueda toma la función de pagos en el futuro
con el fin de evaluar si es óptimo o no ejercer la opción en el “presente”10 (en cada
instante 𝑡). Sin embargo, es necesario adaptar la formulación descrita en [10] para
ser implementado en un proceso de simulación de Monte Carlo. Longstaff y
Schwartz en 2001 propusieron una metodología aplicando Mínimos Cuadrados
Ordinarios11 para estimar el valor esperado en cada uno de los momentos de
ejercicio definidos en la simulación:
𝑍𝑛,𝑡 = max ((𝑆𝑛,𝑡 − 𝑆𝑛,𝑡−1)+
1{𝑆𝑛,𝑡−1≥(1+𝑓)
1
20∑ 𝑆𝑛,𝑡−𝑖
20𝑖=1 }
, 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝̂
𝑛,𝑡) [13]
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝̂
𝑛,𝑡= 𝐿(𝑆𝑛,𝑡, 𝑆𝑡, 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝𝑡
)
9 Usando 175.000 observaciones de Z por cada intervalo de tiempo, el cual se hizo de manera diaria, es decir
30 días, sumado a la utilización de variables antitéticas lo cual permite reducir la varianza del precio de la opción (Glasserman, 2003). 10
Existe un teorema que en resumen dice lo siguiente: Defina 𝑍𝑡 como un Snell envelope del proceso 𝑋𝑡, entonces el stopping time 𝜏 = 𝑖𝑛𝑓{𝑡 ≥ 0: 𝑍𝑡 = 𝑋𝑡} soluciona el problema de parada óptimo para 𝑋𝑡 Williams, 1991). Que en otras palabras quiere decir que es el mínimo costo del portafolio replicante con el cual se puede replicar una opción de tipo americano. 11
Recuerde que la regresión lineal es una manera de estimar el valor esperado condicional a un set de parámetros determinados y a un set de valores de las variables explicativas del modelo.
El valor de 𝑍𝑛,𝑡 es estimado para cada una de las 𝑛 observaciones por cada 𝑡.
Adicionalmente, 𝐿 está definida como una regresión lineal especificada de la
siguiente manera12:
𝐿(𝑆𝑛,𝑡, 𝑆𝑡, 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝𝑡) ≔ 𝑉𝑃(𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠, 𝑡)
= 𝛼0 + 𝛼1𝑆𝑡 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑆𝑡𝑚 + 𝛼𝑚+1𝑀𝑜𝑣𝑡 + ⋯ + 𝛼2𝑚𝑀𝑜𝑣𝑡
𝑚 + 𝛼𝑚𝑆𝑡𝑚
+ 𝛼2𝑚+1𝑀𝑜𝑣𝑡𝑆𝑡 + ⋯ + 𝛼3𝑚(𝑀𝑜𝑣𝑡𝑆𝑡)𝑚
Donde 𝑉𝑃 significa el valor presente del valor que toma la función de pagos en un
tiempo superior a 𝑡, la variable 𝑚 denota el orden del polinomio a estimar por
medio de mínimos cuadrados, y la variable 𝑀𝑜𝑣 el promedio móvil conocido hasta
el momento 𝑡 (dado que esto influye en el precio futuro, tal como se explicó en el
numeral c anterior).
Con el fin de obtener una explicación detallada con ejemplos prácticos de la
implementación, el lector puede referirse al artículo “Valuing American Options by
Simulation: A Simple Least-Square Approach” de Longstaff y Schwartz publicado
en 2001. En él describen la metodología cuidadosamente y hacen una discusión
extensa de cuál es el valor óptimo de 𝑚. Para el presente artículo se utilizó 𝑚 = 2
dado que el error al incrementar su tamaño a 𝑚 ≥ 3 no mejoraba el centavo de
peso.
Se desarrolla todo lo anterior siempre teniendo en mente que el objetivo final es el
de estimar
𝑍0 =1
𝑛∑ 𝑍𝑛,0
𝑁𝑛=1 [14]
dado que esto corresponde al valor de 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝 definido en [10].
12
Como se puede evidenciar en la especificación del modelo de regresión se están teniendo en cuenta el nivel del spot y de la media móvil, dado que como se mostró anteriormente, esta tiene influencia en el valor de la opción en el futuro.
3.1.3. Comparación Modelo de Valoración Teórico Vs Precios Subastados
Utilizando 175.000 x 30 números aleatorios simulados (30 intervalos de tiempo y
175.000 caminos), más la implementación de variables antitéticas13, se logró
contar con 350.000 caminos (𝑛 = 350.000, 𝑇 = 30, ∆𝑡 = 1
365 y 𝑚 = 2),
obteniendo los siguientes precios teóricos para cada una de las fechas en las
cuales se subastaron opciones de este tipo por parte del Banco de la República14.
Tabla 2 Opciones Call Banco de la República
13
Esta técnica aprovecha que las variables simuladas provienen de una distribución de probabilidad simétrica lo que implica que un par de números aleatorios 𝜙 y - 𝜙 tenga la misma distribución de probabilidad. A este par se le llama variables antitéticas. 14
Se tomó como proxy de la volatilidad del USDCOP la volatilidad implícita ATM a un mes. Cabe destacar que la información de mercado referente a las tasas de interés y volatilidades ATM del mercado USDCOP no se muestran dado que cuentan con protección de derechos de autor por parte de Bloomberg.
Tabla 3 Opciones Put Banco de la República
Si solo se tienen en cuenta las observaciones con fechas posteriores a septiembre
de 2007, desde donde se encuentran precios consistentemente en el mercado de
volatilidad local, se encuentra que en las Calls la diferencia entre el precio
subastado y el estimado está en el orden del 73% y en las Puts en el 62%.
Hay que tener en cuenta que el mercado de opciones valora las opciones bajo la
metodología de B-S pero ajustando sus precios con la llamada superficie de
volatilidad. En este caso será pertinente el primer corte de dicha superficie que
corresponde al smile a un mes, dado el corto plazo de las opciones del Banco de
la República.
Existen otros modelos utilizados ampliamente en los mercados financieros
mundiales con los cuales se busca reconocer en alguna medida la asimetría y las
colas pesadas de las distribuciones de probabilidad de los retornos de los activos.
Quizá los más importantes sean los que incorporan una volatilidad estocástica
(aleatoria) que ajusta el proceso de Wiener de [6], y aquel que incorpora la
posibilidad de saltos del precio del activo subyacente dentro de la modelación.
En la práctica no es una decisión trivial la de seleccionar el modelo apropiado para
describir la distribución de probabilidad que el mercado imprime en la valoración
de opciones por medio de la superficie de volatilidad, especialmente para las de
corto plazo. Lo anterior se debe a que es posible encontrar movimientos de corto
plazo que bajo la distribución normal tienen probabilidad cercana a cero (Gatheral,
2006). En este sentido, si se asume el hecho de que el activo subyacente sigue
únicamente un proceso de difusión (proceso de Wiener), así sea con volatilidad
estocástica (cuyo comportamiento en el corto plazo tiende a tener volatilidad
constante), se hace imposible que este tipo de modelos reconozcan la posibilidad
de movimientos extremos en períodos de tiempo cortos (Gatheral, 2006).
Es por lo anterior que se decide utilizar el modelo de saltos propuesto por Merton
(1976) dado que este es capaz de reconocer el skew (asimetría) del smile de corto
plazo (Gatheral, 2006). Es importante mencionar que este es un modelo que
genera un mercado incompleto, lo que implica que sea necesaria la
implementación de un procedimiento de calibración para determinar la Martingala
que utiliza el mercado (para una explicación más detallada ver anexo 2).
4. Implementación del Modelo de Saltos de Merton
El modelo de saltos propuesto por Merton es una extensión del modelo utilizado
por B-S dado que incorpora además de un proceso de difusión (de Wiener) uno de
saltos generado por medio de un proceso Poisson cuya magnitud de salto está
dada por una distribución de probabilidad lognormal:
𝑑𝑆𝑡
𝑆𝑡= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 + 𝑑𝐽𝑡 [15]
Donde 𝐽 es un proceso independiente de 𝑊. 𝐽 está dado por
𝐽𝑡 = ∑(𝑌𝑗 − 1)
𝑁𝑡
𝑗=1
𝑁𝑡 es un proceso de conteo Poisson(𝜆) de la cantidad de saltos de magnitud
𝑌𝑗~𝐿𝑁(𝜅, 𝛿2). La solución de [15] en el mundo neutral al riesgo es la siguiente:
𝑆𝑡 = 𝑆𝑒(𝑟−𝑞−𝜆𝜅−1
2𝜎2)𝑡+𝜎𝑊𝑡 ∏ 𝑌𝑗
𝑁𝑡𝑗=1 [16]
Merton (1976) demostró que la fórmula de valoración de una opción Call bajo este
proceso es
𝐶𝑆𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠 = ∑𝑒−𝜆(1+𝜅)(𝜆(1+𝜅)𝑇)𝑛
𝑛!∞𝑛=0 𝐶𝐵𝑆(𝑆, 𝑇, 𝐾, 𝑣𝑛
2, 𝑟𝑛) [17]
donde 𝑣𝑛2 = 𝜎2 +
𝑛𝛿2
𝑇 y 𝑟𝑛 = 𝑟 − 𝜆𝜅 +
𝑛 ln(1+𝜅)
𝑇.
Esta fórmula de valoración de opciones Call bajo un proceso de saltos permite
calibrar los parámetros del modelo (𝜅, 𝜆, 𝜎, 𝛿) con base en los precios observados
en el mercado utilizando un algoritmo de optimización adecuado15. Lo anterior por
lo que se está trabajando en un mercado incompleto, lo que implica que existen
infinitas medidas neutrales al riesgo (Bingham y Kiesel, 2004: 321).
Para cumplir el objetivo de valorar las opciones de control de volatilidad que
subasta el Banco de la República utilizando el modelo de saltos de Merton ya
calibrado, es importante explicar la manera de implementarlo tal como se hizo con
el movimiento Browneano que utilizaron Black y Scholes, que fue descrito en
secciones anteriores. Esta descripción se llevará a cabo con base en la que se
describe en Glasserman (2003), la cual sigue los mismos fundamentos explicados
para encontrar [12]:
Defina 𝑋𝑡 como
𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + (𝑟 − 𝑞 − 𝜆𝜅 −1
2𝜎2) Δ𝑡 + 𝜎√Δ𝑡𝑍𝑡
(1) + 𝑀
15
Para este artículo se utilizó una función de mínimos cuadrados ponderado implementada con un algoritmo de optimización que mezcla algoritmos Genéticos y Newton Raphson.
Con 𝑍𝑡(1)~𝑁(0,1) y 𝑀 está definida como
𝑀 = 𝜅𝒩 + 𝛿√𝒩𝑍𝑡(2), 𝑍𝑡
(2)𝑁(0,1) 𝑦 𝒩~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)
Aprovechando la propiedad de las distribuciones lognormales
∑ ln 𝑌𝑗 ~𝑁(𝑎𝑛, 𝑏2𝑛) = 𝑎𝑛 + 𝑏√𝑛𝑁(0,1)
𝑛
𝑗=1
se obteniene finalmente
𝑆𝑡+1 = 𝑒𝑋𝑡+1 [18]
4.1. Resultados Valoración Opciones de Control de Volatilidad con el
Modelo de Merton
Utilizando los mismos parámetros de la simulación anterior, se encuentra que los
precios de la opción del Banco de la República bajo el modelo de Merton calibrado
con los precios observados en cada una de las fechas de subasta16 son:
Tabla 4 Opciones Call Bando de la República (Modelo Saltos)
16
Se muestran fechas de subasta posteriores a septiembre de 2007 dado que es cuando se encuentran consistentemente datos de mercado con que calibrar el modelo de Merton.
Tabla 5 Opciones Put Bando de la República (Modelo Saltos)
En las tablas 4 y 5 se encuentra que nuevamente las opciones subastadas en
promedio están por debajo de su valor teórico. En el caso de las Calls esta
diferencia es del 47% en promedio y de las Puts un 13%. Llama la atención que
los precios de las opciones valoradas bajo este marco son inferiores al de B-S
utilizando la volatilidad ATM como proxy de la volatilidad instantánea. Este hecho
lo observan Longstaff y Schwartz (2001) cuando valoran la Put de tipo americano.
En este caso, cuando se trata de las opciones de control de volatilidad, la
probabilidad de ejercicio tiende a concentrarse en el corto plazo, por lo cual los
eventos de saltos no tienen el suficiente tiempo para materializarse. Observe lo
siguiente:
𝜎𝐴𝑇𝑀2 = 𝜎𝐷𝑖𝑓.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛
2 +𝑛𝛿2
𝑇≈ 𝜎𝐷𝑖𝑓.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛
2 + 𝜎𝑆𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛2
Según la fórmula de Merton para las Calls bajo un modelo de saltos. Como
𝜎𝑆𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛2 ≥ 0, necesariamente 𝜎𝐴𝑇𝑀
2 ≥ 𝜎𝐷𝑖𝑓.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛2 lo cual implica que
𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝜎𝐴𝑇𝑀, 𝑡 ≪ 𝑇) ≥ 𝐶𝐵𝑎𝑛𝑅𝑒𝑝(𝜎𝐷𝑖𝑓.𝑀𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛, 𝑡 ≪ 𝑇) dado que la probabilidad de
ocurrencia de saltos en periodos cortos de tiempo disminuye por lo que se
distribuye Exponencial con media 1/𝜆.
Ilustración 5 Parámetros Calibrados del Modelo de Saltos
Tabla 6 Promedio Histórico de los Parámetros
Los resultados de la calibración muestran que los parámetros 𝜅, 𝜎 y 𝛿 son
relativamente estables, es decir, que el promedio de la magnitud del salto y su
volatilidad no fluctúan de manera importante. Sin embargo, la probabilidad que le
da el mercado a que ocurran este tipo de eventos (medida por el valor de 𝜆) varia
en el tiempo (dependiendo del nivel del Skew del Smile de volatilidad) y con una
correlación aparente con la TRM17. Entre mayor nivel de 𝜆 mayor es la
probabilidad de observar un salto, es decir, menor tiempo entre eventos dado que
1/𝜆 es menor.
17
La TMR está normalizada con el valor vigente para el 22 de noviembre de 2007
5. Conclusiones
Este trabajo buscó generar conocimiento en la implementación de modelos y
algoritmos ampliamente usados a nivel mundial en casos de opciones path
dependent en el mercado USDCOP, aprovechando que el mercado colombiano
ya cuenta con una estructura de volatilidad a plazo y por diferentes niveles de
strike. El caso más conocido dentro del mercado local de este tipo de opciones
son las que el Banco de la República tiene dentro de su portafolio de intervención
como las son las opciones Call y Put para el control de volatilidad, las cuales
tienen unas particularidades únicas que las convierten en un reto para ser
valoradas.
Se exploró en su valoración el modelo Browniano geométrico sin y con la inclusión
de saltos bajo la metodología propuesta por Merton (1976). Claramente la
implementación de la valoración de este tipo de opciones implica un reto que se
buscó vencer mediante la utilización de simulación de Monte Carlo basado en el
algoritmo propuesto por Longstaff y Schwartz (2001). Esto, para reconocer de
manera eficiente la característica de ejercicio anticipado de las opciones de tipo
americano. A pesar que no se incorporó en el documento el código de
programación, o cuadros de Excel con el fin de explicar esta metodología, se
considera que se hizo un trabajo detallado buscando desglosar la implementación
de los modelos de valoración utilizados.
Se encontró que bajo cualquiera de los dos modelos las opciones subastadas por
el Banco en el pasado fueron compradas por debajo del precio teórico calibrado
con el mercado de opciones plain vanilla. Esto puede tener varias explicaciones,
entre ellas una baja demanda por las opciones al momento de la subasta o un
posible desconocimiento en el cómo valorar este tipo de opciones. Este articulo
busca eliminar esta última explicando una metodología para valorar de una
manera eficiente, tanto computacional como en tiempo, los derivados de tipo
americano con características path dependent.
Adicionalmente, este trabajo encontró que es posible que el mercado de opciones
plain vanilla, mediante la superficie de volatilidad, reconozca unas probabilidades
de salto con una correlación positiva con el nivel del spot (TRM en este caso).
Este hallazgo se deja para estudios posteriores que quieran explorar y estimar, de
existir, un modelo que explique la correlación observada, junto a la baja volatilidad
de la magnitud del salto.
Anexo 1. Valoración Neutral al Riesgo
Con el fin de ilustrar el concepto de valoración neutral al riesgo, el cual es
fundamental en la valoración de derivados, se utilizará un caso sencillo en tiempo
discreto, el cual explicará de manera muy simple y contundente el concepto detrás
de la fórmula de B-S. Asuma por un momento, un mundo donde el precio de un
activo 𝑆 se mueve discretamente en el tiempo a dos posibles estados: 𝑆𝑢 = 𝑆𝑢 y
𝑆𝑑 = 𝑆𝑑 donde 𝑢 y 𝑑 son los factores en los cuales cambia 𝑆. Adicionalmente
asuma la existencia de un bono el cual tiene como tasa de rendimiento 𝑟 y que se
cumple la condición 𝑢 > 𝑒𝑟𝑡 > 𝑑 (de lo contrario existiría oportunidad de arbitraje
en este mercado).
Por otro lado, asuma la existencia de un derivado cuya función de pagos es la
siguiente:
𝑓(𝑆1) = {𝐶𝑢 𝑆1 = 𝑆𝑢𝐶𝑑 𝑆1 = 𝑆𝑑
Con el fin de demostrar que 𝑓(𝑆1) es posible replicarlo sin asumir riesgo de
mercado, es posible construir un portafolio que genere el mismo flujo de caja
después de que pase el tiempo 𝑡. Este portafolio estaría compuesto de una
posición 𝛥 en el activo subyacente y una posición 𝛽 en el bono. Por consiguiente
es posible escribir el siguiente sistema de ecuaciones:
∆𝑆𝑢 + 𝛽𝑒𝑟𝑡 = 𝐶𝑢
Δ𝑆𝑑 + 𝛽𝑒𝑟𝑡 = 𝐶𝑑
Las cuales representan el supuesto que es posible replicar perfectamente la
función de pagos con el valor del portafolio replicante constituido hoy compuesto
por 𝛥 unidades del activo subyacente y 𝛽 unidades del bono. Es claro que este
sistema de ecuaciones tiene solución (2 incógnitas con 2 ecuaciones) por lo que
se puede llegar a expresar el precio 𝑃 de la opción de la siguiente manera (valor
del portafolio a precios de hoy):
𝑃 = 𝑒−𝑟𝑡 [𝑒−𝑟𝑡 − 𝑑
𝑢 − 𝑑𝐶𝑢 +
𝑢 − 𝑒−𝑟𝑡
𝑢 − 𝑑𝐶𝑑]
nótese que
𝑒−𝑟𝑡 − 𝑑
𝑢 − 𝑑+
𝑢 − 𝑒−𝑟𝑡
𝑢 − 𝑑= 1
En la ecuación anterior se podría interpretar que el precio de la opción es igual al
valor presente del valor esperado de la función de pago bajo cierta distribución de
probabilidad Bernoulli con probabilidad 𝑝 =𝑒−𝑟𝑡−𝑑
𝑢−𝑑. Esta distribución de
probabilidad “artificial”, la cual fue construida con base en un portafolio replicante,
es la llamada función de probabilidad neutral al riesgo (usualmente llamada 𝒬). Un
aspecto importante de esta distribución es que no depende de la probabilidad del
mundo real (en alguna literatura llamada física o 𝒫) de que 𝑆 sea 𝑆𝑢 o 𝑆𝑑.
Fíjese que si calcula el valor esperado de 𝑆1 bajo esta distribución de probabilidad
y se trae a valor presente, se obtiene el precio actual, es decir:
𝔼𝒬[𝑒−𝑟𝑡𝑆1] = 𝑆
Esta es una propiedad fundamental de la distribución de probabilidad neutral al
riesgo y se deriva del hecho que esta es una Martingala18.
Lo anterior es una comprobación de un teorema fundamental de las matemáticas
financieras que dice que un mercado es libre de arbitraje si y solo si existe una
martingala y existe una martingala si y solo si existe una estrategia replicante
(para profundizar en este tema puede referiste a (Bingham y Kiesel, 2004).
Con el fin de ser riguroso en este punto, el teorema dice lo siguiente (en tiempo
continuo):
18
Un proceso estocástico 𝑋𝑡>0 es una Martingala si se cumplen las siguientes propiedades (Williams, 1991): d. 𝑋𝑡 es medible en la sigma algebra ℱ e. 𝔼[|𝑋𝑡|] < ∞ f. 𝔼[𝑋𝑡|ℱ𝑠] = 𝑋𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 < 𝑡
Teorema
Defina 𝑓 como una variable aleatoria no negativa que es ℱ𝑇 – medible tal que
𝔼𝑄[𝑓2] < ∞. Adicionalmente considere una opción de tipo europea con función de
pagos 𝑓 en el momento T. Entonces existe una estrategia replicante con el
portafolio (∆, 𝛽) y el precio de una opción en el momento t=0 es (Bingham y Kiesel,
2004)
𝑃 = 𝔼𝒬[𝑒−𝑟𝑡𝑓|ℱ0]
Anexo 2. Mercados Incompletos
Con el fin de definir que es un mercado incompleto, es necesario entender a qué
se hace referencia por un mercado completo, por lo cual se va introducir la
siguiente definición:
“Un mercado ℳ es completo si toda función de pagos es ℱ𝑡-medible y existe un
portafolio replicante autofinanciado tal que el valor de la opción es igual al del
portafolio en 𝑇” (Bingham y Kiesel, 2004: 116). Esto lleva a que: “Un mercado ℳ
libre de arbitraje es completo si y solo si existe una única medida neutral al riesgo
𝒬 equivalente a 𝒫 bajo la cual el valor presente del precio del activo subyacente es
una martingala” ” (Bingham y Kiesel, 2004: 116).
Lo anterior formaliza la fundamentación utilizada para deducir la fórmula de B-S
que se expuso en secciones anteriores, que mencionó que al hacer 𝜇 = 𝑟 − 𝑞 se
encontraba la medida neutral al riesgo y que ésta era única. Se puede afirmar que
en el caso del modelo de B-S existe el portafolio replicante y que se puede hallar
el precio de cualquier opción mediante la implementación de este.
Ahora analice el siguiente ejemplo:
𝑓(𝑆1) = {
𝐶𝑢 𝑆1 = 𝑆𝑢𝐶𝑒 𝑆1 = 𝑆𝐶𝑑 𝑆1 = 𝑆𝑑
Implicando
∆𝑆𝑢 + 𝛽𝑒𝑟𝑡 = 𝐶𝑢
∆𝑆 + 𝛽𝑒𝑟𝑡 = 𝐶𝑒
∆𝑆𝑑 + 𝛽𝑒𝑟𝑡 = 𝐶𝑑
Es claro que el anterior sistema de ecuaciones solo tendrá solución en casos
específicos y que por lo general un sistema de ecuaciones 3 x 2 no tiene solución
dado que existen más ecuaciones que incógnitas. Por otro lado, usando el hecho
que de existir una medida neutral al riesgo 𝒬 = {𝑞1, 𝑞2, 𝑞3}, definida para cada uno
de los posibles estados de 𝑆1, se puede también valorar el precio de una opción
con la función de pagos 𝑓(𝑆1).
Partiendo de que:
𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 1
y
𝔼[𝑒−𝑟𝑡𝑆1] = 𝑒−𝑟𝑡(𝑆𝑢𝑞1 + 𝑆𝑞2 + 𝑆𝑑𝑞3) = 𝑆
Se puede demostrar que la medida neutral al riesgo en este caso toma la siguiente
forma:
𝒬 = {𝑞1, 𝑞2 = 𝑔(𝑞1), 𝑞3 = ℎ(𝑞1)}
específicamente
𝒬 = {𝑞1,𝑞1(𝑑 − 𝑢) + 𝑒𝑟𝑡 − 𝑑
1 − 𝑑,1 − 𝑒𝑟𝑡 − 𝑞1(1 − 𝑢)
1 − 𝑑}
Y como cada una de las probabilidades tienen que cumplir la condición 0 ≤ 𝑞𝑖 ≤ 1,
se puede deducir que 𝑞1 ∈ [𝑒𝑟𝑡−1
𝑢−1,
𝑒𝑟𝑡−𝑑
𝑢−1], por lo cual existen infinitas medidas
neutrales al riesgo dado que 𝑞1 puede tomar cualquier valor dentro del intervalo
anterior. Esto implica que existe un proceso estocástico para describir el valor
presente del precio del activo y que esta es una martingala, lo que hace que el
mercado ℳ donde se negocia 𝑆 sea libre de arbitraje, sin ser uno completo dado
que no tiene una única medida neutral al riesgo sino que inclusive pueden ser
infinitos. Esta última observación hace que sea necesario conocer el precio de
mercado de 𝑓(𝑆1) con el fin de identificar cual es la medida neutral al riesgo 𝒬 que
utiliza el mercado para valorar esta opción, y así, ser capaz de valorar otra función
de pagos que sea consistente con el precio de 𝑓(𝑆1). Este procedimiento
comúnmente se llama calibración.
6. Bibliografía
Bingham, N. y R, Kiesel. (2004). Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of
Financial Derivatives. Londres: Springer.
Black, F. y M. Scholes, (1973). The pricing of Options and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy. 81.637-654.
Gatheral, Jim. (2006). The Volatility Surface: A Practitioner’s Guide. New
Jersey: John Wiley & Sons.
Glasserman, P. (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering.
Springer.
Longstaff, F. y E. Schwartz. (2001) Valuating American Options by Simulation:
A Simple Least-Squares Approach. The Review of Financial Studies. 14/1.113-
147.
Merton, R. (1976). Option Pricing when Underlying Stock Retuns are
Discontinuous. Journal of Financial Economics. 3. 125-144.
Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge: Cambridge
University Press.
Wilmott. P. (2007). Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. Segunda
Edición. Inglaterra: John Wiley & Sons.