V1NÂMCA VO VOVtLO VE 1SING COU CAMPOTRANSVERSO PARA WAS SUB-REPESACOPLADAS NA FASE VESOKVENAPA

CaAtoò Educuido Hexmuto fie Sá tíotta

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISmSmUTO DE CKMCMS EXATAS

30.000 • BELO HORIZONTE — MG

A presente tese, Intitulada: "PINÂMICA DO MODELO PE ISING COMCAMPO TRANSVERSO PARA DUAS REPES ACOPLADAS NA FASE PESORPENAPA", de autoriade CARLOS EDUARDO HBUMETO PE SX WTTCk, submetida S Comissão Examinadora,abaixo assinada, foi aprovada para obtenção do grau de MESTRE EM FÍSICA,em 27 defevereiro de 1984.

Belo Horizonte, 27 de fevereiro de 1984

^ 3 - 7.Prof. Antonio Sergio Teixeira Pires- Orientador do Candidato- Presidente da ComissãoDepartamento de Física - UFHG

Prof. Rfearda Schwartz SchorDepartamento de Física - UFMG

Prof.' Nilton Penha SilvaDepartamento de Física - UFMG

DINÂMICA DO MODELO DE ISING COM CAMPO

TRANSVERSO PARA DUAS SUB-RSDES ACOPLA

DAS NA FASE DESORDENADA

Carlos Eduardo Kerneto de Sa Motta

Tese apresentada à Tnivers idade Federal de " i n a s Gera is , como

r e q u i s i t o p a r c i a l para a obtenção do grau de MESTRE EM FÍSICA

Fevereiro - 1984

Ofereço este trabalho

à minha esposa

Maria Laura

AGRADECIMENTOS

•X minha esposa, Maria Laura, a meus pais, Renato e Hyla, e a

meus sogros, Rubens e Laura, pela compreensão, pela confiança

e pelo carinho desmedidos;

•ao neu orientador, Prof. Antônio Sérgio T, Pires, pela pacien

cia infinita e pelos valiosos ensinamentos;

•a meus irmãos Tiça, Nata, Nanda, Jair e KÍriam;

•a meus amigos, Ângelo e Ericsson, pelos gloriosos porres que

temos tomado juntos;

•ao Marcão e à Coca, pela força que deram para que eu continu-

asse a estudar Física;

•aos colegas Gastão A. Braga e Roberto Luís Moreira, pelo exem

pio de aplicação nos estudos e pela delicadeza com que sempre

se dispuseram a ajudar os colegas;

•aos professores Geraldo Alexandre Barbosa, Ramayana Gazzinellí,

Alaor S. Chaves, Francisco césar de Sá Barreto, Beatriz Alvaren

ga e Paulo Roberto Silva, pela atenção com que sempre me recebe

ram;

•ao Professor Nilton Penha Silva, pelo incentivo;

•aos demais colegas da Física, que certamente contribuíram com

seu quinhão para a realização deste trabalho;

•ao CNPq pelo auxílio financeiro;

•a mim mesmo e â rainha esposa» pelo trabalho datílográfico

(e minhas sinceras desculpas a meus dois dedos médios pela obs

tinação com que insisti em utiliza-los)*

"Tinha eu quatorze anos de idade

Quando o r eu pai n»e charaou

Per/juntou-me se eu queria

Estudar Filosofia, Medicina ou

Bncenhari a

Tinha eu de ser Doutor.

Mas a ninha aspiração

Era ter um violão para Tie tor -

nar sarabista

Ele então ne aconselhou:

Sambista não tem valor nesta

Terra de Doutor

E, Ai seu Doutor, o meu pai ti-

nha razão?

( "Quatorze anos", Paulinho da

Viola )

ÍNDICE

Pagina

I - Introdução

Capítulo II - Funções de Green

1.Propriedades das funções,de Green ....

2.Equações.de movimento

^•Funções correlação temporais .........

4.3e?resentaçoes espectrais ............

5.As funções absorção e relaxação ......

Capítulo III - 0 método das frações continuadas para

operadores acoplados

1.0 método de Kori para 1 operador .....

2.0 nétodo de Mori para operadores

acoplados

Capítulo IV - Cálculo das funções estáticas e dos

momentos ...............................

1.Calculo das funções de Green e das

funções correlação estáticas .........

2.cálculo das funções relaxaçao

estáticas ........,,.., • •

3.Cálculo dos momentos de Fzz(^,w) .....

3

7

7

9

11

12

16

22

23

34

49

49

55

57

Capítulo V - Discussão dos resultados 61Cap

Apêndice A - Calculo dos J M ^ ) •• 72

Apêndice B - Calculo da temperatura crítica • 73

Referências - 75

1.

RESUMO

Estudamos a dinâmica do Modelo de Ising tridi -

pensionai em un campo transverso para duas sub-rêdes acopladas

utilizando o método das frações continuadas para operadores a-

coplados. As funções correlação estáticas necessárias nr> estu-

do da dinâmica foran calculadas pelo método das funções de

Green na aproximação das fases aleatórias (HPA)# Calcula-ios a

função espectral na faixa T < T < oo para diversos valores

dos parâmetros do Hamiltoniano e do vetor de onda q.

2.

ABSTRACT

The dynamics of the two coupled sublattices trt

dinensional Ising model in a transverse field was studied by

means of a continued fraction expansion for coupled operators.

The static Correlation Functions necessary for studying the dv_

naraics were calculated with the Green1s Functions Method in

the Random Phase Aproxiaation (RPA). The spectral function was

calculated in the region T < T < CO for sone values of thec

Hamiltonian parameters and the wave vector q.

CAPÍTULO I

INTRODUÇSO

O modelo de Ising era um oampo transverso (MICT)

é descrito pelo Kamiltoniano

4= -e tem sido objeto de intenso estudo pois se aplica a uni grande

mrnero de problemas físicos.Stinchcombe* 'cita algumas destas

aplicações, ebtre as quais se encontram ferroeletricos do tipo

ordem-desordem, sistemas Jahn-Teller simples, sistemas ferro -

magnéticos com alta anisotropia uniaxial submetidos a campo ex

terno transverso, etc.

A dinâmica das flutuações do parâmetro de ordem

tem sido estudada por muitos pesquisadores, utilizando técni -

cas diversas, em toda a faixa de temperaturas ( 0 < T ^ « )• 0 me

todo da expansão da transformada de Laplace da função relaxa -

ção em frações continuadas proposto por Kori* 'tem mostrado

ser de grande valia e os estudos gira-n em torno dos vários cor

teB impostos à expansão para cada problema físico,

Apesar do MICT para una rê^e dado pela equação

(J.i) ser o objeto de maior interesse, o modelo para duas re-

des acopladas pode ser utilizado na descrição de alguns compos

tos como o Sal de Rochelle e a Thyourea^ ', 0 nosso objetivo

4.

neste trabalho é o de estudar a dinâmica deste sistema através

de uma extensão cio método de Kori para o problema dos operado-

res acoplados proposta por Pires* " • Pires e Gouvêa^ 'mostra

ran que o tratamento aplicado anteriormente a este tipo de pro

blema (que considerava os operadores como desacoplados) resul-

ta no aparecimento de amortecimento sem origem física.

0 KamiItoniano proposto é

Jonde S^- 'i'ou St" • conforme estejamos nos referindo à sub-rê

de S ou à sub-rêde T e onde os índices ifj se referem aos si ti,

os da rede. Aqui consideramos S= 1/2 e interação entre vizi —

nhos mais próximos para os spins situados sobre uma rede cúbi-

ca com um st)in de cada espécie (S ou T) por célula unitária.

*& ~Para *(= & os J, \ dao a interação real entre spins da mesma es

pécie e para «f 6 os JA têm a metade do valor da interação

real K. (j entre spins de espécies diferentes ( de maneira que

J?v +• J h s K , ) ). Os JLÍ< são os campos transversos aplicados a

cada sub-rêde.

0 estudo da dinâmica do sistema é levado a cabo

quando calculamos a função espectral longitudinal Fzz(q%w) da-

da por

cora

5.

definida no capítulo II. Un estudo semelhante ao que apresenta

mos foi realizado por Tommet e Huber* " 'e Borres 'para o

MICT para uma única rede na faixa de temperaturas Tc< i<<D >On

de T denota a temperatura de transição entre as fases ordenada

e desordenada»

Nocapítulo li descrevemos o método das funções

de Green que utilizamos para calcular as funções correlação e

relaxação estáticas*' • Estas funções são o ponto de partida

para os nossos cálculos. Apresentanos também alguns conceitos

da teoria da resposta linear para sistemas quânticos con gran-

de número de partículas* '** ' 'de maneira a explicitar o sig-

nificado físico das funções com que estamos a tratar»

Ho capítulo III apresentamos o método proposto

por Korí* 'para estudar a dinâmica de um operador» Era seguida

discutimos a utilização do método para o caso em que temos dois

(4 )operadores acoplados •

Mo capítulo IV apresentamos os cálculos das fun

ções relaxação e correlação estáticas, bem como dos segundo e

quarto momentos da função espectral F z(q,w).

Finalmente, no capítulo V, anresentamos e discu

timos os resultados dos cálculos numéricos efetuados para ai -

guns conjuntos ÍR parâmetros do Hamiltoniano, alguns valores

da temperatura e do vetor de on^a q que jul~amos ilustrar bem

6.

o comportamento do sistema. Os resultados foram dispostos de

maneira a permitir a comparação com aqueles obtidos por Tommet

e Huber e mostrara as características que aparecem devido

ao aconlamento de duas redes MICT.

No apêndice A efetuamos os cálculos dos J [ (q)

definidos no capítulo IV e no apêndice B aqueles que fornecemov

a equação que utilizamos para calcular a temperatura critica*

CAPÍTULO II

FUNÇÕES DE GREEN

Neste capitulo procuramos definir sucintamente

as funções de Green utilizadas na teoria estatística e apre -

sentamos suas propriedades» Deduzimos suas equações de movi -

mento e suas relações com as funções correlação temporais»

Utilizando de representações espectrais obtemos as condições

de contorno necessárias para o cálculo das funções de Green e

consequentemente para o cálculo das funções correlação»

Em seguida apresentamos resumidamente alguns

resultados da teoria da resposta linear para podermos definir

a função relaxação. Obtemos então os elementos necessários pa

ra o cálculo da função relaxação estática.

1.PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE GREEN

As funções de Green que utilizamos neste trába

lho são as funções avançada e retardada de Green definidas

por

4mW)1>r-- - íe(t-f) <[Att),6(tf>}> * «

Í A(»l6(W»*» ie(t'-t)<CA(t),B(t')3> * w

8.

Os operadores A(t) e B(t) são operadores na representação de

Heisenberg definidos por

Alt)* e /l(o| t e Bit)* e B w e ni-3onde A(O)sA e B(O)rB sâo os mesmos operadores na representa

çao de SchrOdinger e H é o Hamiltoniano do sistema sob estu

do. 0 termo [ 4/que aparece nas definições (3L*i'l ) e

(I/l«2) representa a média térmica do comutador(bósons) ou

ánticomutador(fénnions) dos operadores» A média térmica é em

geral tomada para o ensemble gran-canonico. Para os propési -

tos do presente trabalho é suficiente considerarmos a média

sobre o ensemble canônico e teremos, para o valor médio do

operador A

onde /?« é a matriz densidade ( ir/L*l) dada por

Pi = <- * / Z 1-1-5

e Z é a função partição do sistema; A s (R«T) onde L é a cons-

tante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta* Além disso

adotaremos sempre o comutador dos operadores(bosons), indican

do quando houver necessidade onde seriam modificados os re

sultados pelo uso do an ti comutador. As funções 0vt-V/e o(y-t)

são funções degrau de Heaviside definidas por

eu).o, t < o

9.

ou por L .

onde ovijé a função delta de Dirac. A derivada de 9(t)é dada

por

ie(ít)« ±S(i) I-MAs funções de Green são descontínuas para tst*

e, para um sistema em equilíbrio térmico, invariantes com re

laçâo a una translação temporal, ou seja.

2.EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

A equação de movimento para um operador na re-

presentação de Keisenberg é

* * ircom A(t) dada por (I'i'3 ). Usaremos daqui por diante um sis-

tema de unidades no qual n«l* Calculemos a derivada con rela

ção ao tempo da função de Green avançada:

Multiplicando a eq,(I«2.Z) por i e levando ea conta a equa-

ção (X'l'1) teiaos

10.

Ài

Adotando procedimento análogo para a função de Green retarda-

da ob tentos

uque é idêntica em forma à equação anterior.Estas equações mos

tram que as derivadas primeiras das funções de Green estão li.

gadas a funções de Green de "ordem superior", ou seja, fun -

ções de Green que envolves a derivada de um dos operadores .

Derivando estas funções de Green de "ordem superior" obtemos

equações da forma das equações (1»2»3) e (I"--Z«4) envolvendo

funções de Green de "ordem ainda mais superior", ou seja, fun

ções de Green que envolvem as derivadas segundas de un dos o-

peradores. Derivando um sem-número de vezes obtemos uma cadei,

a infinita de funções de Green acopladas entre si, 0 cálcu-

lo exato destas funções de Green envolve o cálculo de um gran

de número de comutadores que só pode ser efetuado para um nú

mero muito reduzido de problemas» 0 que se faz na prática é

desacoplar esta cadeia em algun ponto utilizando algum tipo

de aproximação, o que efetivamente faremos nos nossos cálcu -

los.

Alei do problema do desacoplamento temos tan

bem o problema das condições de contorno necessárias para re-

solver nosso conjunto de equações diferenciais* Estas condi .

11.

ções de contorno serão obtidas através da utilização de repre

sentações espectrais, que veremos logc adiante.

3.HJIÍÇÕSS CORRELAÇÃO TEMPORAIS

As funções correlação temporais são definidas

como a média ténaica do produto de operadores na representa -

ção de Keisenberg para tempos diferentes* As que nos interes-

sam são aquelas que envolvem dois operadores» funções do tipo

,W = <B(t')A(t)>

Em equilíbrio témico ad-iitimos a invariância

cors relação a una translação temporal escrevendo

Fto,** ft.t') = FA»,M (t-f)s FflMnU'-t) I3i

Esta característica das funções correlação (Tt'3-j) e(X'3'2)

estabelece iiraa relação importante entre ambas, que pode ser

observada se escrevemos explicitamente a rcédia térnica:

Utilizando en (I«3»7)o fato de que

tr(AB)c

12.

obteaos finalmente

Observamos também que as funções correlação, ao contrário das

funções de Green, não são descontínuas para tst 1. Para t s f

estas funções se reduzem às funções correlação para os opera-

dores na representação de SchrOdinger, isto é, à função de

distribuição do sistema que nos permite calcular OB valores

médios das várias grandezas dinâmicas •

4.REPRESE;:TAÇÕES ESPECTRAIS

a)das funções correlação temporais

Denotemos por L e |»^ r respectivamente, os

autovalores e autovetores do fíamiltoniano H :o

A matriz densidade para o sistema fica es-

crita como

Partindo do pressuposto de que os vetores | » ^ formam um con -

junto completo ortonormal vamos calcular nesta representação

as funções correlação temporais. Utilizando-nos da equação

(1'M'i) escreveaos a média do produto dos operadores:

i- £1

onde £ j l-»

rtílizando-nos das definições d«J-3) e definindo

obtenos de (J« *l .3)

<A(t)B(t')>= L £j êf 6- t1"-"*'*'^ fc« 1+5

er desenvolvendo raciocínio análogo.

Se definiaos a transformada de Fourier temporal da função cor

relação PSA(t-t') por

?"*'obtemos de

e da equação

- f i ( - ) « ' * €f-<fc-wj.A fvnção I(w) I denominada função espectral e carrega consigo

todas as informações sobre as flutuações do sistema,

b)das funções de Green

Vamos definir a transformada de Fourier e

14.

sua inversa para as funções de Green avançada e retardada (da

qui por diante denominadas G e G . respectivamente):& r

-00

4 f * Gr,, «) Í"1 dt

Efetuemos a transformada para a função G ( t - t 1 ) , com X*t-t*

í

lM(eKi)[ j

Para prosseguirmos, utilizamo-nos da seguinte definição da

função 81») :

onde aqui e no restante deste trabalho, £ é positivo tendendo

a zero. Levando (I'*f»'J) â (I'M»(2) e efetuando a integração

era ¥ ,temos

i f i . «J-U'+CE

15.

Caso estejamos tratando com anticorautadores(férmions) em

(I'l'l|£), substituímos aqui e em todo lugar («• -J ) por(?+i)

Efetuando a transformaãa de Fourier da função

avançada obtemos

L t2lf í

tSe admitirmos v como variável complexa (tt>i:C€~*M ) podemos de

finír uma única função de Green no plano complexo como

r—09

A função definida desta maneira tem um corte no eixo r ea l . Ho

entanto, é analí t ica tanto no scni-plano superior como no se-

mi-plano inferior •

Com a seguinte definição da função delta de

Dirac

x-ie

podemos mostrar que I(w) é proporcional ao salto de G(w)

quando da passagem pelo eixo real se efetuarmos a diferença

00

L= - i

16.

Este resultado é fundamental pois será através dele que no

cap.IV calcularemos as funções correlação estáticas* Prosse —

guimo8 neste capítulo com una breve exposição da teoria que

liga os elementos com que estamos a tratar e esclarece o sig-

nificado físico de cada uma destas funções*

5.AS FDNÇÍfeS ABSORÇÃO E RELAXADO

Na teoria da resposta linear desenvolvida por

Kubo ' para sistemas quânticos com grande número de partícu

Ias. supomos a princípio que tal sistema esteja em equilíbrio

térmico e que possa ser descrito pelo Haniltoniano H . Pertur

bamos o sistema adiabáticarnente uor un potencial do tipo

onde A é operador independente do tempo e F(t) uma função que

depende exclusivamente desta variável. Seja B o operador asso

ciado à resposta do sistema à perturbação H1• Fazemos o valor

médio de B(que corresponde ao valor médio da grandeza associa

da para o sistema em equilíbrio térmico) igual a zero e chama

•nos ÜB(t) à variação de B causada pela.perturbação* 0 resul-

tado principal da teoria diz que

J-00

onde / \ representa a média térmica para o sistema em equilí-

brio

IX

A susceptibilidade dinâmica do sistema é defi-

nida como a resposta a uma excitaçao do tipo it1'- 'oft :

Comparando ( I » ^ ) e (&•$*• 4) temos

com »s t-t* •

/\lUl)é, em geral, complexa e podemos escrever

onde A^ w) é usualmente denominada função resposta e K })%h ~ ~ (5 )

função absorção, 0 teoreraa da flutuação-dissipação J faz aconexão entre X M * W '

e as flutuações do sistema, descritas pe

Ias funções correlação temporais. Ag* VHl) e )\jj|lwjestão amar.

radas pelas relações de Kramers-Kronig^ *:

-

onde P representa a parte principal de Cauchy da integral,

Vanos definir a função absorção como função do

tempo por

18.

e a transformada de Laplace de OCgnCi)

Levando em ( X*£.4o ) a ultima expressão para

v> 0 »

-CO M

onde A«*íi) é açora função analítica em todo o plano comolexo,

com exceção do eixo real. A (ui) pode sêr obtida de/( 12.) quan-

do nos aproximamos do eixo real "por cinja"(pelo domínio físi-

co, com t-t1 > 0 ) :

Uma característ ica importante da função h^fme dada por

1*8

que diz que o sistema não pode dissipar mais energia do que

absorve*

Definimos a função relaxação do sistema por

e de (I'í-13 ) obtemos que

19.

Esta denominação é muito apropriada como mostraremos a seguir.

Consideremos na eq.(I[*5»2 ) que F(t) possa ser

escrita como

con 8 \T ) dí.da por (UM» 6 ) . Assumir tal forma para F(t) sig-

nifica dizer que o sistema foi submetido em ta-oo a uma,força

constante que foi desligada subitamente era trO, quando supo-

mos que todos os processos transientes já tenham relaxado.

Temos

= i \m <[B(í-V))A])FoPara t > 0 teremos

onde utilizamos a definição de X^(i)dada por (I-S^S ),Recor

rendo à definição ( Jt^-li) da função relaxação obtemos

X

i JL f

JL R B / I ( O J.S.I1

2a

que levado à eq. (IT'S* II) resulta em

Supomos que para t-> a> , AJ?(0"*O, e que » R B A Í ( S O ) = 0 , O que

nos permite escrever que

Vemos agora o porquê da denoninação "função relaxação1*: esta

função descreve a naneira pela qual o sistema relaxa quando

"desligamos11 abruptamente a perturbação F(t)#

Vaiios agora obter uma expressão para RgA(t) em

termos dos operadores A e B( t ) . Começados da equação (I-£*l9)

integrando ambos os lados com relação a t ' de 0 a t para ob -

ter

[[onde utilizaTíos a definição (1'T.^ ),Utilizando a propriedade

dt'3'í) da invariância do traço tenos

RBA(t)- RM<o) s - í t r f

Para pros3eg--ínos,observemos que

a.que integrada d e O a f t : i _e dividida por Z resulta em

* • * • *

Levando a Ç$.>Ç.2S) à (IT* í» 25) e utilizando novamente a pro

priedade (Jf#3,5) temos

RM(«-

a

Identificados em (ÜD3*&) a expressão para R^A(t) que denota

remos agora de outra forma, de acordo co^ a literatura vigen

te, escrevendo.para a função relaxação dos operadores A e

B(t)

(A ,BW) = J P <e À Ve A H B(t )>

22.

CAPÍTULO III

O MÉTODO DAS FRAÇÕES CONTINUADAS

PARA OPERADORES ACOPLADOS

Neste capítulo, iniciamos por expor o métodof 1 )

proposto por fóorP para expandir a transformada de Laplace

da função relaxação em frações continuadas para urn único op£

rador» Em seguida discutimos o método para o caso em que t£

mos dois operadores acoplados, isto é, quando a função rela-

xação que envolve os dois é não-nula. Tratamos o corte da ex-

pansão como foi sugerido por Pires " • Calculamos os coefici,

entes da expansão em termos dos momentos da função espectral

ro(A^,rt) que pode ser recuperada da transformada de Laplace

de '""

As funções relaxação que apareceu aqui são a-

quelas definidas pela expressão (]I»3'23) para os operadores

je\ot. e <J-Õ"A f com e< e A s 3 r T designando as duas sub-redes

do nosso problema. No entanto, a definição (I'3'2-i) está in-

completa pois consideramos o valor médio de um doe operadores

envolvidos como sendo nulo. A definição correta para dois ope.

r f

23.

radores quaisquer é dada por

f_ «tâGfiOsão as transformadas de Fourier das funções re-

laxaçao normalizadas

z J

1.0 MÉTODO D3 KOHI PARA 1 0P33AD0R

Vamos tratar daqui por diante apenas com a par

te dos operadores que descreve as flutuações da grandeza asso

ciada em torno do seu valor médio. 0 operador A(t) será por -

tanto definido por

(i) A(il 4 l > m.j.J

Nesta acepção, recuperamos a forma (H'3>2^) para a função

relaxação de dois operadores A e B

onde usamos o conjugado ccnnlexo do operador B apenas para

deixar evidentes algumas propriedades da função relaxaçâor

com a qual passaremos a tratar*

Podemos encarar a eq.(I<i<2) como um "produ-

te escalar" entre operadores do tipo ( H t - 1 0 ) pois a função

relaxação, tem neste sentido, as mesmas propriedades que o

produto escalar dos vetores, quais sejam:

a) (A,A*)£O*> (A ,**)*= (B,A*)

Além disso , o que é mais importante nesta definição de pro-

duto escalar é a "heróiticidade" do operador de Liouvilie (L)

definido por

4 A(t) - A(l) - [

ou de UTia maneira mais formal por?l_t •« ,

fl(t) = e fl(0) 1 - ^A propriedade de "hermiticidade" do operador de Liouville fi

ca expressa como

OV»)- (A/IB)*) UMPodemos mesmo, já que tratamos a função relaxação como UTD pro

duto escalar, adotar a notação de Dirac para os nossos opera-

dores escrevendo

. Aft) —?

. Alo) -*

• (L/1,6*) —> <BlL*>- * <BL|A>

25.

Utilizando-nos das definições acima, definimos

um projetor, operador que projeta um certo "vetor" na "dire -

ção" de um outro. Assim, o projetor para a "direção" do "ve -

tor1» 1 A / é definido por

Ri l&> = QUB)

Este projetor tem, obviamente, as mesmas características dos

projetores de vetores;

P A 1 * P» ; P * = P« 11.11Podemos tarabéra definir o projetor Q. que projeta sobre a "di.

reçao perpendicular" àquela definida pelo operador 1A^ por

= 0 ; (JÁ

DenoraineTios Ifjj(t)^ ao operador que desejamos

estudar. Começados por projetar no sentido de d-'^-ll), o o-

perador )fQ(t)^ em duas partes: una "paralela" à "direção1» de

terminada pelo operador | (O^slf-^ e a outra na "direção

perpendicular". Podemos escrever

com

cono em (Iff. i • li ) •

2screve:no8 a eqtiação 4e -noviitento para o

dor J ^ Q Í * ) / com a ajuda Ao operador de Liouville

* do\\.(i)>

ou fAplicamos o projetor Q Q = 1 - Po & eq.íflT-i- fc ) notando que

onde u t i l i z a n o s a ( S T i ^H).

Definindo | fj z 1 0 ^ ] ^ e I ^ H Q Q I ^ , e levando na ( I H | I 1 )

obtemos

I f.'(i» - i li I f.'(«> = ft, ft) I fi > 1 -l •»cuja solução formal é

e.(s)lf.(t-s)>«ls i-a

co.

Levando a ( ^ J l - 2 o ) a ( I T - l - l S ) temos finalmente

I • • r

Antes de prosseguirmos, notamos que

pois m(t))= t l|i> ss c t'((culf*/sc Q»l[«7 1-j.a

e portanto

pois O o l ^

Comparando agora as eq. (BT-l^J ) e (fll'l'U )

vemos que são semelhantes em forma . Adotamos o mesmo procedi

mento para o operador | f . ( t ) / projetando-o através do pro je -

Orna «taíírtiçó* i*mí* »'»>teressente. fa*"« 0$ Lj (j« l,2( " ; n) feria W*

27.

tor i

/

em duas partes:

"* Bift-s)'O

com

L

0 importante nesta passagem é notar que vTi.lflvw/sO e que

^folflftlVO' ou seja, que geramos um espaço de 3 dimensões

con» três operadores "ortogonais" entre si. Se efetuarmos a

transformada de Laplace em (JL-l-Ü) e (DJl-Zt) obtemos

A semelhança das eq.( (T'i-21 )» ( fl-l-2i ) e

'I'I'V ) sugere que podemos estender este processo "ad infi-

nitumwf gerando operadores "perpendiculares" entre si e esten,

dendo a exnressão (11'1-li ) para |fQ(z)/ eu termos dos \ f,

Obteremos depois íe renetir o processo n vezes:

28.

com

(D = Goto Bjfe)- • • 9^(O l j - 8« » 9 ü l f > £ » f f t ) > J

I-i*

Destas definições ve -os que as funções "ilw são a chave pa

ra a solução do nosso nroblema e que quantas mais destas fun

ções conhecemos, mais oodemos nos estender na descrição de

|fo(i)> (no sentido de (f-i- U )).

Sste processo de projetar de|fQ(t)/as partes

"paralelas" a |fQ^ r \^i>) » etc,corresponde a retirar, a ca

da vez, mais informações sobre o comportamento coerente do

sistema. No entanto, não se sabe ainda muito bera até que pon

to podemos estender o processo pois, ao que parece, em deter-

minadas situações um número menor de projeções descreve a di-

nâmica de |fo(t) / com mais precisão, üstes limites são atual

mente o objeto de maior interesse da teoria.

Vamos proceder, no que se segue, de maneira a

obter uma expansão para os Orfe) • Começamos por projetar

|£ í / com o auxílio do projetor P- :

onde

Os iv. forara assim denominados pois estão relacionados com os

primeiros momentos das distribuições 0! (w) • Estes coeficien9

tes são em muitos casos nulos e esta condição implica em ad

mirável redução nos cálculos. Pode-se mostrar que

se < i t l f W i i | j > = 0 para t« j - i , j - l , - - • , « •Utilizando esta propriedade podemos afiraar que se )f../ for

j

hermitiano ( no sentido de que f, = f/* ), iw. é nulo. Isso se

deve ao fato de que, para operadores hermitianos,

Trabalhamos agora com o segundo membro do lado direito da eq»

onde utilizados a (BI-i-3? ) e a (flI'1-39 )• Substituímos es-

te resultado na eq.(fiL-l-HO ) e nultiplicamo-la à esquerda por

LLífcC " obtendo

Mas

H ique levada â (]£• 1. Hl) resulta em

= Irtj. If j

3a

Finalmente, multiplicando à esquerda por j f . } e dividindo por

/ f . | f . ) obtemosJ J

Utilizando-nos da eq.(I.|.3i ) escrevemos

-t

"ODa definição de ft(l)fi da propriedade (JI-i-H ) do produto esca

lar é fácil ver que

0*(-t) =donde

onde efetuamos a mudança de variáveis s-> -s.

Substituindo (ll'i-HS ) na ( JJT-A-H ) obteaos finalmente

coa

A., 1,- ^lj«il/,-»^ H I So

Efetuando a transformada de Laplace em (!J-i'i9) temos U!aa

fórmula de recorrência que nos pernite achar 0:(vse conhece-

0mos 0;+l

31.

• (*\ i i

2 - tU): + ^ j

Os A j que aparecem nestas equações foram assim denominados

por que estão relacionados com o desvio quadrático médio das

distribuições 0:(w),como veremos logo adiante.

Através de

2 - ÍW, 4 ál

An?»+

obtemos a função espectral

II

que está relacionada» pelo teorema da flutuação-dissipação

com a função correlação f-fgit)^ e que portanto descreve o

espectro de flutuações do sistema.

Antes de passarmos ao problema que envolve do

is operadores, vanos calcular alguns dos | f . e alguns dos cp.

eficientes da expansão (JJ-i.^l) nara efeito de ilustração.

Consideramos no que se segue {^(t)/ como sendo hemitiano#

Fará | fA t)y hermitiano todos os ijw. são nulos,

como se pode ver da discussão que precede a eq. (ÜT-J.- HB )• Da

eq. (flI'1-Mf )r com j=-0, segv.e-se que

32.

e COTI j s 1

D a e q . ( J f f . l . J J )

Utilizando a definição áe P» e o fato de que

obteraos

Continuados fazendo j = 2 na eq. (flT'l'H4):

I p + Af

Usando a eq. (Hl-LH ) ternos

que substituído juntamente com (J[. 1-5Í) ea ( JT-1.Í6 ) dá

Agora, a partir de

P i . I f .

onde j fi / representa a enésina derivada de |f 0^ com relação

ao tempo,para tsO, obteraos

Venos de (J.i, (3) que jf^ ,\f£) »|f2") e i fj) 8^° ort°S° "

nais entre si e consideranos assiT bem ilustrada a maneira de

se obter os | f./ •

33.

Efetuamos agora o cálculo dos coeficientes

Ai e &| da expansão ( QT*1*CZ )» o que corresponde a adotar-

mos a aproximação de três pólos para 0#(*J substituindo àl%00

por alguma função prl-determinada de z. Definiios a função es

pectral por

**que tem por momentos os 4 M / dados por

-o»

Para ns2 temos

f | f / | f > = ifPara n = 4 ,

. AÍ At* (A?)1

ou seja,

34

2. O MÉTODO DE KORI PARA

OPERADORES ACOPLADOS

Antes de analisarmos o método para os operado-

res acoplados, vamos dissertar ligeiramente sobre a projeção

de vetores do espaço tridimensional quando os eixos do siste-

ma de coordenadas não são perpendiculares. Consideremos em

primeiro lugar um sistema de coordenadas cartesianas XYZ com

eixos mutuatiente perpendiculares, coao na figura abaixo»

X1

Definimos o operador que projeta sobre o plano

XOY pelo diadico

m-2-L

onde i e j são vetores situados sobre os eixos X e Y resp3c-

tivamente e não necessariamente unitários, A projeção do ve-

tor V sobre o plano XOY ê dada pelo produto escalar entre

o projetor X\ti e o vetor V:

35.

- V « )/*?li -h Vy " / nr-2.2yConsideremos agora o sistema de eixos X'YZ

cora o eixo X1 situado no plano X0\ e formando um ângulo

con o eixo Y. Se desejamos utilizar tal sistema de eixos üara

descrever o nosso espaço vetorial devemos saber como projetar

os vetores sobre o plano X'OY • 0 projetor Ix'oy pode ser ob

tido se projetamos sobre o plano XOY o vetor unitário C / c;

que define a direção do eixo X1 e eliainaiios de (Dt-2'1 ) o

vetor (- :

L (f.7")1 I 1 J >*Apesar dos coeficientes dos ternos ii*'e[ L sereti idênticos

e destes vetores comutarem com relação ao produto escalar, es

crevemos o projetor de maneira a explicitar a sua simetria*

Note-se que as projeções sobre os eixos Xf e Y contêm agora

dois termos cada uma. Este é o resultado do acoplamento entre

os vetores, ou seja, do fato de que L • L£Q.

Consideremos agora a seguinte matriz:

e procuremos por sua inversa, à qual denominaremos Y :

36.

L .i' i TK'2'S

Vamos escrever o produto escalar entre os veto

res em termos de seus módulos e do ângulo 0 • Escrevemos tam-

bém a matriz /\ nestes termos;

?x0

\

—r-Stfc

Comparando os termos do projetor com os elementos da matriz

notaaos que este pode ser escrito como

Obtivemos finalmente uiia forma concisa para o projetor

con a definição das matrizes G e X e passaios agora a tra

tar do método de iíori para os operadores acoplados.

Quando utilizamos o método de Mori para descre

ver a dinâmica de nais de um operador deparaao-nos com proble,

ma semelhante. Consideremos o caso em que os operadores estão

desacoplados (quando o produto escalar dos dois é nulo).Neste

37.

caso a dinâmica de cada tra dos operadores é independente da

dinâmica cio outro e, se,denominamos fQ(t) e *n^*^ a o s °9era<*2.

res que desejamos estudar, basta-nos calcular (ff(t),fT) e

2 2 ~ *

(f-.(t),f0) para obtermos uma descrição completa da dinâmica

do sistema.

Poderíamos nos utilizar desta descriçao,para o

caso em que os operadores estivessem acoplados,como uma pri -

meira aproximação (desprezando (fr(t),f0) e (fo(t),ff) ). Tal

aproximação é, no entanto, contraproducente pois, em primeiro

lugar, introduz um alr.r^.mento de linha sei origem física í

Além disso, COTIO já foi dito anteriormente, ao projetarmos de

um operador a perte "paralela" aos operadores |f./(cada vezj

mais carregados de aleatoriedade quando aumenta j) estamos re

tirando informações sobre o comportamento coerente da varia -

vel associada. Se os operadores estão acoplados, parte da co£

rência observada no comportamento da grandeza associada a fT

é devida à sua interação com a grandeza associada a fQ (e vi-

ce-versa) e desprezar o acoplamento implica em perder esta fa

ceta coerente na descrição de ambos.

Começamos definindo um "vetor"coluna |f_(t)^

cujas componente? Jf (t)) (is 1,2) são os operadores que dese-

jamos estudar. Denominamos os vetores pertencentes ao Bub-ej3

paço o< ncr |f^(t)> , |f ^ , |f ^ , etc., e suas compo -

nentes por Jf^(t)^ , If^ , | fl^ , etc, respectivamente ,

con i = 1,2. Os tlO: , A: , 0*(i) Sefinidos para o problema detf 6 o

38.

um operador são agora as matrizes lUL , u ^ , G«c(tl de elemen

tos itJ^ f A ^ , 6<V>) respectivamente com cí denotando o

sub-espaço a que pertencem e i,j denotando suas linhas e colu

nas. Os projetores e os operadores de Liouville são matrizes

caracterizadas por elementos do tipo "O^ÍL, Let*ii «Definimos

ea analogia com (ffl'i-'l ) e (Bl«2iS) as natrizes G ^ e X ^ s

«Os elementos de G ^ são os

Definimos também as ^^( t ) com elementos

Os projetores para o sub-espaço «d sao definidos por

Re. i. XilfiXficomo eia ( U. Z. }• ) •

Adotando a mesma linha de raciocínio da primei^

ra seção deste capítulo, projetamos lfo(t)} sobre o "plano11

gerado nelos Ifi } :

onde utilizamos a definição (ID-^. S )• Definimos as matrizes

39.

e escrevemos a ( Dt« A* 11) como

que, em termos da notação matricial, fica

como em (flt. i»IM). Continuamos procedendo de maneira completa

mente análoga àquela da seção anterior, relembrando apenas

que estamos tratando com "vetores-coluna" e matrizes. As equa

ções de movimento para as componentes de lfo(t)/ são

cuja solução é

Como em (IQ • i. ZZF) temos correspondentemente

0

que em termos das componentes fica

k o Ic

Os |f, / definidos desta maneira gerau UTJ "hiperplano" orto -

gonal àquele gerado pelos | fQ } e prosse^uiaos, como an te r i -

ormente, gerando mais destes "hioerr>lanos" ortogonais e esten

dendo a descrição do nosso vetorJf_(t)y •

COTIO no caso em que teraos uu onerador, a chave

4a

do nosso desenvolvimento é o conjunto das matrizes 6lc(t)p&ra

as quais obtemos uma relação de recorrência como a (JI.i»5í ):

9-cU) 5 [ ? I - Ití* + 8*+i (O A

onde I é a matriz identidade» Os elementos das matrizes

e A «d são dados por

- U*

Coao vatios tratar com operadores hermitianos

todas as matrizes t*»U.terão elementos nulos e escrevemos a

( DJ.2- W ) e^ termos da$

Definindo as matrizes auxiliaresJIT. 2.

^^ l ffl.2-

teTios

m

Os n ^ são expressos e^ termos dos monentos de

F?^ (qfw)= 2??e(01* (2 = iw)) cono veremos posteriormente. Os

41.

cálculos destes momentos são razoavelmente conpliçados para o

Hamiltoniano ea questão de maneira que fazemos uma aproxima -

ção para GQ(z) substituindo a matriz A^fe/nor unia matriz cons

tante* • .Tal aproximação corresponde à de três pólos para ua

operador* "'e será razoável se A, v) variar lentamente com re-

laçãoaos tempos de relaxação próprios do processo dinâmico

que está sendo analisado. Efetuaremos o cálculo da matriz A =

de elenentos constantes) após analisarmos as expres-

soes para os ^T^esi termos dos momentos de P. (q,w).

?:n prineiro lucrar, efetuaremos os cálculos pa-

ra a matriz A^*viXo. A matriz XQ será obtida da matriz Go

que calculados cora a ajuda das funções de Green no próximo ca

pí tu lo . Vejanos a nat r iz G,:

Da ( DT -1• *#V ) com iw = 0 obteraos

Portanto

rf $\i>= - fh = ft?

Os elementos da -atriz G, sao i~uain aos momentos de segun-

da ordem de F?^(q^,w) e serão calculados no capítulo seguinte.

Prosseguimos efetuando o cálculo de ü^sG^Xi*

42.

A matriz X, é obtida da G, . A matriz G« tea elementos

Mas

e como Io ' [ • / =

te-aos

Substituindo a expressão para | f| / na ( ÜLZ-30) e lembrando

que se |f^ / e lf"0 / são herraitianos

temos

1 f>

Kas Ai&oAj. = Aj.«TJ- se os operadores |f0 } são henni.

tianos» Obteraos finalmente

Passa-nos agora ao cálculo de £3?63X2que, apee

sar de não ter sido utilizada nos cálculos, i lustra o método

COT que esta-sos a tratar» A natriz X é obtida de G2 • Cal

culenos G, :

Teaos

Tenos também que

e finalmente

Levando este resultado à (E'2'3^) obtenios

/1 f»

>

Definindo M t = < f/ I f/ > « <lf I L 5 I Btenos

43.

+ £> tff\

Da definição (Bl-X-Io) dos projetores temos

pois se |fr' são hermitianos

44.

Vemos que o cálculo de G_ envolve o.cálculo

do sexto nojento que é extremamente difícil no nosso caso, fa

to que , de una certa maneira, jttstifica a aproxinaçao utili-

zada.

Vamos tratar açora do corte imposto à expansão.

A aproximação mais simples consiste, cono já foi dito anteri-

ormente, em substituir a matriz AjU)por uia natri?: >\ àr ele-

mentos constantes» Fazemos

Utilizando as matrizes auxiliares definidas era (fiT'Z«Z3 ) e

checamos a

Da definição dos A^+^Wtemos

ou

6i(t)X.4t,Para z =0 ,

Da definição ( ffl*Z-0 ) ternos

GÁi) = <\Í\\tW> = <f»» I í l j t fíPodemos expressar a exponencial por meio de u"ia série

f* / , Os cálculos não são difíceis embora se

jam longos. Apresentamos os resultados:

Kote-se que para potências de t maiores que a segunda já nes-

secitamos do cálculo de no-nentos de orderr. aaior do que a quar

ta . /proximamos G1(t) por

- 6» - 1 I a r

e substituiinos na (H'l.TZ,) para obter

- i0

Este resultado levado a. d » ! . ^ ) fornece

* A a. fAproxíaamos \ I - i A j , v } por una função Gaussiana:

i

i2

aproximação que I adequada para tempos pequenos. Além disso ,

G í W * 6l(i) (?ve deve ir a zero quando \ç—*to .Esta aproxima -

ção teT portanto o comportamento adequado também para t-*eo •

4 6 .

L e v a m o s a ( Q I • ! • £ * ? ) à ( ! ! • £ • S Í ) l e m b r a n d o q u e A x é m a t r i z

2 x 2 :

oPara efetuar a integração, diagonalizaraos a matriz « 2 atra -

vés de una transformação de similaridade utilizando-nos da na

triz U cujas colunas são os autovetores de "2, :

ocom

1 j AS*• a? t

e

Efetuamos agora a integração lembrando que e sr Fe U~ :

:Io caso ei que ternos apenas m operador, o cor

te equivalente consiste em substituir a função correlação (ou

47.

função memória, como é denominada em alguns textos) de 3- or-

dem 01 \w por uma exponencial

82W =e a aproximação e razoável, como já foi dito anteriormente,se

A ^ i, , onde % é o maior tempo de relaxação caracter ís t ico

do processo que está sendo estudado. No nosso caso, o análogo

da função wllfcJ é a matriz

Efetuando a inversão temos

R i W = A

com

j,2

A matriz Aj é definida-positiva:

A matriz A é, portanto, também definida-positiva, ou seja.

e z^fZ- são grandezas essencialmente negativas. Redefinino -

Ias

e tédios para a matriz P

— Ali f+Au/

Efetuando a transformada de Laplace inversa temos

\

com .MvPodemos escrever ainda a Rp(t) como

o que pode ser verificado se di^çonalizatnos a matriz \

efetuamos a transformada de Laolace»

' «

49.

CAPÍTULO IV

CÁLCULO DAS FUNÇÕES ESTÁTICAS

E DOS MOMENTOS

Neste capítulo calculamos as funções relaxação

e correlação estáticas e o segundo e quarto momentos Se

oue dão os elementos das matrizes G_, G-, G~ , definidas no

capítulo anterior.

1.CALCULO DAS FUNÇÕES DE GREEK E DAS

FUNÇÕES CORRELAÇÃO ESTÁTICAS

Tonemos o Hamiltoniano (!•!)

CO31

Suit) = e 5u e H.i.2Efetuemos a transformada de Fourier

Sí (?,«) -- 4. j at Su (ti t

50.

->com a somatória era q percorrendo todos os vetores da rede re_

cíproca, R. denotando a posição do i-ésirao spin da rede e N

o mraero de spins da rede. 0 Hamiltoniano fica

- V2

comHi e

Das relações de comutação para os operadores

de spin

[Si* J S;]T3 r l 5i5 Jitemos

Scí^Sf <i,i.u.-L 52

H

onde utilizados o fato de que, para uma rede cúbica simples,

Efetuados arora a transformada de Fourier para

as equações de movimento (JSL'2'3 ) das funções de Green:

4 <x»,B3>

51.

Prescindindo dos índices r e a calculamos as funções de Green

de nosso interesse:

u f (?,*), (0 \ (-iT,u

O próximo passo é o desacoplamento da fvmção

de Green que aparece no terceiro tôrmo de (QJ. |> 15 ).Utiliza

raos para este propósito a aproximação das fases aleatórias

(RPA) onde supomos que os spins estão desacoplados. Mesta a

proxinação temos

que dá para o terceiro terno da (33 • | •IS

Para o nosso modelo e na faixa de temperaturas com que esta

raos tratando

52.

Levamos a ( 5 • I • R" ) à ( Q«l»lí) e obtemos

i

cue substituída na (I3«i'l4) resulta e*n

depois de umas poucas manipulações. Definindo as matrizes

k,üj) e G(?,w) de ele-nentos

Cl<S5>

escrevemos a ( Ul'l'il) cono

onde I é a matriz identidade. Obtenos finalnente as funções

de Green desejadas escrevendo em forma natricial

53.

(i

Passamos agora a tratar explicitamente com os

parânetros das duas redes (designadas pelos índices S e T )

escrevendo para as conponentes da matriz

„,

onde os + »0C|W)M (&,«">) são os elenentos de "(k|W; que lista

mos abaixo juntamente coa alguns outros parâmetros definidos

de Tianeira a tornar prática a manipulação das equações:

J* (K,«rt = (W2- ilí -t TV-O-T A c > 0.1-II

.1.3o

com

As freqüências w,(k) e W^ÍK) definea a relação de dispersão

54.

para as excitaçôes elementares do sistema descrito pelo HamiiL

toniano ( X>2 )*No caso en que o Hamiltoniano descreve um sis

tema ferroma^netico, o raodo que "provoca" a transição de fase

é o modo que tem K — 0 ( soft mode ), ou seja, o iiodo que tem

todos os spins alinhados. A freqüência deste modo vai a zero

na temperatura de transição. Podemos obter a equação que for-

nece a temperatura crítica fazendo

Uli z íl* - ÉJT + »A (* | - A l M = 0 13.1.3?com \Sx/ = xSx/ij1 e \T*^ S \TxXp • A equação obtida desta

naneira é idêntica àquela obtida no apêndice B,

Das eqn.açÕes ( ü ' ^'^" ) © ( í ' W » l t ) do capítulo

II ternos para t r . t ' = 0 que

€••0

Substituindo 10 por 10 "t C £ na equação ( Bi • I • 2 *) e uti l izando

a seguinte definição da função delta de Dirac

SM. Ue

obtemos para

Lim+tfe J

55.

e para o(= 8rM A / *V f 1

onde o ( : S s e ô s T e vice-versa. Integrando a (5»l»Wl) e a

obtenos finalmente as funções correlação es tá t i cas :

••*

onde

2.CÁLCULO DAS FniÇÕES RELAXAÇÃO ESTÍTICAS

"o capítulo II vinos que

i J R )

Se efetuaaos a transformada de Fourier na equação

e utilizados a ( !'*!'?) obtenos

56.

A equação (JT- «t»3>) é usa das formas do teorena da flutuação

dissiparão • Para t = 0 temos

= \

roo w

que e a função relaxação estática que desejamos calcular. No

te-se que para T muito grande, tal que k_T/ *& seja muito ma

or que quaisquer freqüências naturais do sistema, podemos fa

zer €fwi 1+4*1 e tereios

0 cálculo das funções relaxação fica nuito sin

pies já que conhece-nos as 1 Uoj«0 «0 temo (tl - 1 ) que aPâ

rece em ( TS. l.t) cancela COT O terno idêntico na expressão

para os I H^wí) e as integrais são imediatas. 0 resultado é ex

presso através da notação do capítulo anterior:

57.

GTo\- tf .f IT^> « ( T V T M T H

= J1T<TX> (Sis-ts)

Note-se oue fazendo T grande (ft peeueno ) CotA ( i i»j)w> _Jf « V» 1' / s t

e obtenos a ( 3«2 . i | ) .

3.CALCULO DOS KOHENTOS DE

Os nonentos da distribuição P^í^w) são defi

nidos por

fUtil izando a equação ( JS..f« 19) do cap í tu lo I I obtetnos os mo -

mentos de P r f atq,w) como a média de uma s é r i e de comutadores:

onde temos n-1 comutadores que envolvem o Ramiltoniano.

Passemos ao cálculo do se/nindo monentó

que no capí tu lo an t e r io r designamos por

.3.3

5%

Escrevemos os elementos da matriz M» explicitamente:

nT = MÍ S, oEfetuemos agora o cálculo do quarto momento \)J A^ô

pítulo anterior,designamos por f

Das relações de conutação ( ]5 • l* 8 ) temos

N Ke

BT.3.V

\) A ^ ô ^ no

Levando os resultados (TJ5 • S» ? ) e (GT.i.9 ) à (5(.i.^ ) temos

t ^ 1

59.

Podemos ver agora o porquê do cálculo das funções correlação

estáticas» Além das \Stf*t^J*a / que já calculamos, aparecem

também as X-'E^ -»i? A / • 0 problema e que a RPA fornece

valor nulo para as funções correlação longitudinais (T>T C-/

e tivemos que caminhar um pouco mais adiante fazendo a aproxjt

inação para as funções de Green, Entretanto, a RPA fornece um

valor não nulo para as funções correlação transversais e con-

sideramos esta aproximação suficiente:

Levando a (ÜLS-ll) à (ff.J-lO) temos para o último têrrao do

lado direito da equação

e finalmente

t 1° t

que escrita explicitamente em termos dos parânetros das redes

S e T fica

60.

t JU1 á [3s

M *r JU<T*> -

^ . A S HT <SXXT*>

A somatória era k que aparece na expressão do

quarto iionento foi efetuada numericamente com N— 60x60x60

pontos da rede do espaço recíproco. Os calores médios \ S * ^ e

^ T " ^ são apresentados nc apêndice B e as expressões para

os j [(o )sao apresentadas no apêndice A.

61

CAPÍTULO V

DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

O estudo da dinâmica do nosso sistena foi reali

zado para a faixa de temperaturas TC<T<CD através da função re-

laxação F Z(<f»w) para diversos valores dos parâmetros Xis, Jl-r,

3 fe do vetor de onda q» Para tenperatura infinita as fun -

ções relaxação e correlação são idênticas ( U»2«4 )• P a r a tem-

peraturas finitas os resultados podem ser vistos como uma ex -

tensão da teoria do car.po molecular aplicada às propriedades

dinâmicasv '.

Analisemos era primeiro lugar o comportamento do

sistena para temperatura infinita ( para efeito de cálculo t£

maraos T s 5T C), Fazendo variar a razão Sís/flf/ J para q » 0

obtivemos os resultados apresentados na fig.l, Para il5e ^ I T P S

quenos com relação a J a função Fzz(q,w) apresenta um pico cen

trai largo. Aumentando o valor de um dos parâmetros notamos

o aparecimento de um pico lateral de freqüência próxima àquela

do maior dos 11^. Quando ambos os ilusão /rrandes se comparados

a J,o pico central fica muito raso e muito largo e notamos o a

parecinento de dois picos ressonantes amortecidos, X medida

que crescem os •»»•. o caráter de F (qf\t) fica quase que exclu-

sivamente ressonante, corno se tivéssemos N spins livres prece]*

62.

sando em torno de Ji,e iiypara os spins em cada sub-rêde. A di

namica do sistema, no que diz respeito à razão Íl^/Jl^ J è si

milar à do HICT para um operador. Se os ^V são muito menores

que o valor quadrático médio do canoo interno flutuante ,

fW) apresenta um único pico central. Aumentando os

spins começam a precessar em torno destes campos e F (q,v;)

começa a apresentar um caráter ressonante. A largura dos picos

é resultado do amortecimento causado pelo acoplamento entre os

spins dado pelos J '.

Para T-»», FZZ(qfw) fica independente de q. lio

entanto, mesmo para temperaturas tão grandes como T=5T ainda

observamos uma pequena variação da função espectral com rela -

ção à variação de q. 0 aumento das freqüências em torno das

quais estão centrados os picos decorre da dependência da fre -

quência das excitaçôes elementares do sistema COT relação a q.

Ainda para T-»« e fazendo variar o acoplamento

entre as redes (J ) obtivemos os resultados mostrados na fi-

gura 3* 0 aumento da interação entre as redes amortece e alar-

ga os picos até que, para um acoplamento suficientemente forte

os picos se fundem num único pico muito raso e muito largo cen

trado numa freqüência intermediária entre iL^e -fl-T. Para o aco

plamento fraco o sistema se comporta como se fossem duas redes

KICT simples e F J(q,v/) apresenta as mesmas características

( £)que apresentam as curvas obtidas por Tommet e Huberv •

Como já havíamos dito anteriormente, para tempe

63.

raturas muito altas o sistema se comporta como se tivesse N

spins livres precessando em torno de freqüências próximas às

•U-o( e esperamos que, à medida que cresce T, estes picos fi -

quem cada vez mais finos e centrados em tomo dos -*\, * No en-

tanto, à medida que a temperatura decresce ( T •• T ) espera -

mos que a correlação entre o movimento dos spins aumente e que

o comportamento coerente do campo interno se torne mais anaren

te. Tomando •"•5/-"^/ J = 3/4/1 de maneira a deixar bastante cia

ros os resultados, fizemos variar T de Is 00 até T« 1.1T e ob-c

tivemos as cnrvas apresentadas na fig.4. 0 comportamento coe -

rente do campo interno de freqüência nula faz aparecer um pico

central a. medida que nos aproximamos de 7 enquanto diminuem

os üicos laterais. Ê interessante notar oue mesmo nara T=1.1Tc

ain-ia temos um pequeno pico lateral centrado em torno de uma

freqüência intermediária entre Ji5 e "**T»

Na fie»5 apresentamos os resultados para JÍ5/ST

il T/ J s 0.5/0.3/1 e J / J = 0.5. Notamos a ausêncis dos pi,

cos laterais e o aumento da intensidade do pico central segui-

do de um decréscimo em sua largura quando nos aproximamos de

V"* A r t

Fazendo variar o valor de q para JL$/ JLf/ J =3/4/1 e T s l i l T_ ob ti vemos o resultado apresentado na fig.6 .c

Notamos que o caráter ressonante se torna cada vez mais eviden

te quando tonamos valores de o cada vez mais distantes do cen-

tro da zona de 3ri l louin. t importante notar também o caráter

64.

crítico do modo que tem q = 0.

Abstiveao-nos de fazer uma variação mais ampla* f\ r\ SS TT ST

do conjunto de parâmetros {*i$t*Lr9 J , J , J ) , do vetorm^^ «tf 4W

de onda q e da temperatura T pois as combinações sao tantas

que tornam impraticável.uma análise completa. Estamos certos

no entanto de ter obtido resultados significativos no que diz

respeito aqueles obtidos.por Tonniet e Hiber^ 'para o KICT sim

pies» procedimento que pareceu ser o mais adequado frente a es

ta situação.

A Física do problema é similar àquela do MICT

simples e optamos por analisar aqui apenas as características

relevantes à diferença entre os dois modelos.

Por uma questão de simplicidade, limitamo-nos«v 77 ^^

a apenas um tipo de corte para a expansão de F (q,z) embora

pudéssemos estender os cálculos através da analogia com uma sé

rie de cortes propostos para o problema de um operador, Nao a

creditamos que o corte usado seja o correto para toda a faixa

de q e T e a possibilidade de utilizarmos outros tipos de cor-

te em estudos posteriores esta sendo estudada. 0 corte que ntí

lizaraos, além de ser sinples, permite a comparação COTI O S re

stiltados obtidos por Tomet e Iluber .

65.

FIGURAS

1. FZZ(cf,w) a T = oo com JLS /JlT/ J =

A ( 0.3 / 0.25 / 1 )

B ( 0.8 / 1 / 1 )

C K 1 / 2 / 1 )

D ( 2 / 3 / 1 )

E ( 3 / 4 / 3 )

J - J ss D para todas as curvas.

2. Fzz(q,w) a T*5 Tc para JL5/JlT/ J « 3/4/1, JSI JT1 JST

e vários valores de "q.

3. Pzz(?pw) a T«» para A*/JLr/ J «3/4/1, J S | JTI JS T e váriosSTvalores de K •

4. Pzz(3'Pw) com J L « M T / J - 3/4/1 f JSI J T =J S T para várias

temperaturas.

5. Fzz((T,w) para JU /-/tT / J^0.5/0 .3/ l , JS T /JS S /JT T .5/1/1

para várias temperaturas.

6. Fzz(q)w) para-A$/-A-T/ J =3/4/1 , Tss.1.1 T_ e vários valoresc

delf.

66.

F(q,w)

FIGURA 1

67.

F(q,w)o

FIGURA 2

68.

1.8

torLI-

Q

T=ooq=0

"J=Q6

250 350 450 55CW(K)

FIGURA 3

69.

T=I.ITcT = l.3TcT = I5TC

T = 2.0 Tc

100 200 300 400W(K)

FI0U?.A 4

70i

10 20 30W(K)

FIGURA 5

71.

F (q,w)

IT c?

FIGURA 6

72.

APÊNDICE A

CÍLCTJLO DOS J q )

Pe l a eçração ( |Y. l« 6 ) do c a p í t u l o IV temos

A aproximação a ser utilizada consiste em consi_

derar os spins coso estando dispostos sobre una rede cúbica de

parâmetro de rede a com interação entre vizinhos mais próximos.

A célula unitária tem um spin de cada espécie ( S ou T ) de na

neira que cada sr>in terá 6 vizinhos mais próxinos da mesma es-

pécie e 8 vizinhos mais próximos de espécie diferente. A soma

em ( n-1 ) terá o núrnero correspondente de termos.

Para c^sô temos

e nara

t W<*lfâ) tufè)*^ k-3onde q1»qp»Q-r sâo as projeções do vetor q sobre os eixos cris-

talinos. K fé a interação efetiva entre npins da Tiesma espé -

cie e se relaciona com os J r que aparecem no Hamiltoniano

(1-2) da seguinte maneira: K ^ f * "J"^ tf* A'*|

73.

APÊNDICE B

CÍLCÜLO DA TEMPERATURA CRÍTICA

Calculamos a temperatura c r í t i c a usando a apro-

ximação do campo médio (KFA). Nesta aproximação os spins não

estão correlacionados e cada spin "enxerga" apenas o campo mé-

dio criado pelos spins vizinhos» Para o nosso sistema con a a-

proxinação de interação en t re primeiros v iz inhos , sp ins de e s -

pécies di ferentes "enxergam" campos d i fe ren tes :

ÍT= U T A T ^ O K T ^ + W K S * ) ) 6-2

Nas equações acima, J 1(0)* J i(qVo) e representa o valor

médio do spin em cada sítio.

Os valores médios das componentes en x e z são

dados por

*0"Ae líT l J

74.

Perto de T , S /e ^T2^são muito pequenos (na fase ordenada)

e podemos despreza-los com relação a Jís e St-y escrevendo a e-

quação (B.'f) para o(sS,T:

Fazendo I*T c e substituindo o valor de T z dado pela ( B 4 )

na (B-6) obteaos a equação que fornece a temperatura crítica:

uA equação acima pode fornecer dois resultados; trabalha-nos sen-

pre com o maior deles. A condição para que a temperatura críti

ca seja nula ( não havendo portanto a transição de fase ) é da

da por

75

REFERÊNCIAS

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2. H.Mori - Prog. Theor. Phys. 3J» 399 (1965)

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ferroeletrics" North Holand Publishing

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5. A.S.T.Pires e M.S. de Oouvea - Can. J . Phys. 61, 1475 (1983)

6. T.N.Tonmet e D.L.Huber - Phys. Hev.B 11, 1971 (1975)

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Correlation functions" - Benjamin, Mew York, 1975

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longitudinal do modelo de Ising con canpo transverso en a l -

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13.L.A.A.Ribeiro - "Funções de Green aplicadas aos ferroelétri,

cos io tipo orfle*!i-desordem",TeRe de 1'estrado, Belo Horizonte

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14.L.Á.A.Hibeiro - "Dinâmica do Pseudo-Spins ea perroelétricoe

Hidro^enados", Tese de Doutorado, Eelo Horizonte (1979)