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Matlab practicasTRANSCRIPT
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INSTITUTO TECNOLGICO DE QUERTARO
Elctrica-Electrnica Electrnica
DSP Propiedades de un producto interno
Medina Lpez Michel N DE CONTROL 10141446 Castellanos Galindo Jos Joaqun
24 de febrero del 2015
RESUMEN
El presente trabajo se va a comprobar las propiedades del producto interno mediante la utilizacin de seales
complejas. Utilizando el software de Matlab.
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INDICE
1. OBJETIVO ............................................................................................................................ 3
2. MARCO TERICO .............................................................................................................. 3
2.1 ESPACIOS DE HILBERT ............................................................................................ 3
3. DESARROLLO .................................................................................................................... 5
3.1 Propiedad 1 ................................................................................................................. 6
3.2 Propiedad 2 ................................................................................................................. 6
3.3 Propiedad 3 ................................................................................................................. 7
3.4 Propiedad 4 ................................................................................................................. 7
3.5 Propiedad 5 ................................................................................................................. 8
4. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 9
5. REFERENCIAS .................................................................................................................... 9
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1. OBJETIVO
El objetivo es utilizar Matlab para comprobar que sean verdicas las propiedades del producto
interno de seales complejas.
2. MARCO TERICO
2.1 ESPACIOS DE HILBERT
Es una generalizacin del concepto de espacio eucldeo. Esta generalizacin permite que
nociones y tcnicas algebraicas y geomtricas aplicables a espacios de dimensin dos y tres se
extiendan a espacios de dimensin arbitraria, incluyendo a espacios de dimensin infinita.
Ejemplos de tales nociones y tcnicas son la de ngulo entre vectores, ortogonalidad de vectores,
el teorema de Pitgoras, proyeccin ortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una
sucesin. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemtico David Hilbert quien los
utiliz en su estudio de las ecuaciones integrales.
Ms formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a
la norma vectorial definida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar
y para generalizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la
transformacin de Fourier, y son de importancia crucial en la formulacin matemtica de la
mecnica cuntica.
Como se explica en el artculo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto
interior en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.||
que se define como sigue:
H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto
significa que cualquier sucesin de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en
el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es
as tambin un espacio de Banach (pero no viceversa).
Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio eucldeo con
el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar
nociones desde los espacios de dimensin finita a los espacios de Hilbert de dimensin infinita
(por ejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, los ejemplos infinito-dimensionales tienen
muchos ms usos. Estos usos incluyen:
La teora de las representaciones del grupo unitarias.
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La teora de procesos estocsticos cuadrado integrables.
La teora en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulaciones
del problema de Dirichlet.
Anlisis espectral de funciones, incluyendo teoras de wavelets.
Formulaciones matemticas de la mecnica cuntica.
El producto interior permite que uno adopte una visin "geomtrica" y que utilice el lenguaje
geomtrico familiar de los espacios de dimensin finita. De todos los espacios vectoriales
topolgicos infinito-dimensionales, los espacios de Hilbert son los de "mejor comportamiento" y
los ms cercanos a los espacios finito-dimensionales.
Los elementos de un espacio de Hilbert abstracto a veces se llaman "vectores". En las
aplicaciones, son tpicamente sucesiones de nmeros complejos o de funciones. En mecnica
cuntica por ejemplo, un conjunto fsico es descrito por un espacio complejo de Hilbert que
contenga las "funciones de ondas" para los estados posibles del conjunto. Vase formulacin
matemtica de la mecnica cuntica.
Una de las metas del anlisis de Fourier es facilitar un mtodo para escribir una funcin dada
como la suma (posiblemente infinita) de mltiplos de funciones bajas dadas. Este problema se
puede estudiar de manera abstracta en los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una
base ortonormal, y cada elemento del espacio de Hilbert se puede escribir en una manera nica
como suma de mltiplos de estos elementos bajos.
Los espacios de Hilbert fueron nombrados as por David Hilbert, que los estudi en el contexto
de las ecuaciones integrales. El origen de la designacin, aunque es confuso, fue utilizado ya por
Hermann Weyl en su famoso libro la teora de grupos y la mecnica cuntica publicado en 1931.
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3. DESARROLLO
El primer pas para comprobar las propiedades del producto interno. Es el crear nuestras tres
seales x, y & z en Matlab. A continuacin mostramos las seales que vamos a utilizar en un
rango de -1 < t < 1.
() = sin() () = () = 3
Programacin en Matlab.
t=linspace(-1,1,100); %Definicion de intervalo x= sin(pi*t); %Primera funcion y= exp(t); %Segunda funcion z= t.^3; %Tercera funcion
Como se observa aqu tenemos ya definidas nuestras funciones. A continuacin vemos las
grficas de las tres funciones.
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3.1 Propiedad 1
x+ y ,z = x ,z + y ,z
Programacin en Matlab
a= (x+y); b= a.*z; subplot(2,2,1),plot(b); c= (x.*z)+(y.*z); subplot(2,2,2),plot(c);
Comprobacin grafica.
Por lo tanto se concluye que la primera propiedad es verdadera.
3.2 Propiedad 2
x , y = y , x : complejo conjugado
Programacin Matlab.
a= x.*y; subplot(2,2,1),plot(a); b= conj(y.*x); subplot(2,2,2),plot(b);
Comprobacin grafica.
Por lo tanto se concluye que la primera propiedad es verdadera.
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3.3 Propiedad 3
x , y = x , y
Programacin Matlab.
c = 10; %Alfa a= c.*x.*y; subplot(2,2,1),plot(a); b= c.*(y.*x); subplot(2,2,2),plot(b);
Comprobacin grafica.
Por lo tanto se concluye que la primera propiedad es verdadera.
3.4 Propiedad 4
x , y = x , y
Programacin Matlab.
c = -15; %Alfa a= (c.*y).*x; subplot(2,2,1),plot(a); b= c.*(x.*y); subplot(2,2,2),plot(b);
Comprobacin grafica.
Por lo tanto se concluye que la primera propiedad es verdadera.
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3.5 Propiedad 5
x , x 0
Programacin Matlab.
a= x.*x; % x Diferente de cero plot(a);
Comprobacin grafica.
Por lo tanto se concluye que la primera propiedad es verdadera.
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4. CONCLUSIONES
Se pudo de comprobar que efectivamente las propiedades del producto interno se cumplen para
cada uno de los casos.
5. REFERENCIAS
1. Wikipedia. http://es.wikipedia.org. [En lnea] [Citado el: 24 de 02 de 2015.]
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert.