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88 INVESTIGACIN Y CIENCIA, mayo 2015

Juegos matemticos

por Bartolo Luque

Dos es igual a uno... luego yo soy el papa de Roma

EnLos matemticos no son gente seria,de Claudi Alsina y Miguel de Guz-

mn, dos de los grandes divulgadores es-paoles de matemticas, se comenta unaancdota muy conocida atribuida a Ber-trand Russell (1872-1970). Parece ser que,durante una de sus exposiciones, el lso-

fo y matemtico comenz a explicar cmoa partir de una proposicin falsa poda de-ducirse cualquier cosa. Alguien le pregun-t: Quiere decir que, si 2 + 2 = 5, enton-ces usted es el papa de Roma?.

Russell respondi al vuelo con la si-guiente demostracin: Si 2+ 2 = 5, con-

vendrn conmigo en que, si restamos 2a cada lado de la igualdad, obtendremosque 2 = 3. Si invertimos la expresin, lle-garemos a 3 = 2, de lo cual, al restar 1 a

cada lado, nos quedar 2 = 1. Dado que el

papa de Roma y yo somos dos personas, yque 2 = 1, entonces el papa y yo somos una

persona. Luego yo soy el papa de Roma.Con su agnosticismo beligerante y su pe-culiar humor britnico, Russell nos ilustraaqu cmo, en efecto, un enunciado falso

permite demostrar cualquier otro.El tema ha llegado a ser motivo de

reexin incluso en la literatura. En la

celebrrima novela 1984, publicada en1949 por George Orwell (1903-1950), el

protagonista, Winston Smith, elucubrasobre si el Estado poseer suciente capa-cidad de manipulacin para convertir en

una verdad aceptada un enunciado como

dos ms dos es igual a cinco. Y en Lavida, el universo y todo lo dems(1982),el tercer libro de los cinco que conformanla serie de ciencia ccin surrealista e hi-larante Gua del autostopista galctico, deDouglas Adams, se describen las bistro-

matemticas: As como Einstein observ

que el espacio no es absoluto, sino quedepende del movimiento del observadoren el tiempo, los nmeros no son absolu-tos, sino que dependen de movimiento delobservador en los restaurantes.

Pero, sin duda, la palma se la llevauno de los cuentos de la recopilacinLa

historia de tu vida(1988), de Ted Chiang.La ccin de marras, tituladaDividido

entre cero, trata sobre un inquietante des-cubrimiento realizado por Renee, una ma-temtica genial. Ella misma lo describeen los siguientes trminos: He descu-

bierto un formalismo que permite igualar

cualquier nmero con cualquier otro. Esapgina demuestra que 1 y 2 son iguales.[...] No hay operaciones ilegtimas, no hay

trminos mal denidos, no hay axiomas

independientes que estn asumidos deforma implcita, no hay nada. La demos-tracin no emplea absolutamente nada

prohibido. [...] La aritmtica como siste-ma formal es inconsistente. [...] Acabo derefutar la mayor parte de las matemti-cas; ahora ya no tienen sentido. En elcuento, ningn matemtico es capaz deencontrar fallos en la demostracin de

Renee.

A continuacin presentar seis de-mostraciones de la igualdad 2 = 1. Por

supuesto, se trata de sosmas: razona-mientos que formalmente aparentan serirreprochables, pero que incluyen uno o

varios errores que conducen a resulta-dos absurdos. Un ejemplo clsico es elsiguiente: Lo que no perdiste, lo tienes;

no perdiste los cuernos, por tanto, tienescuernos.

Los sofismas constituyen una exce-lente herramienta didctica y una fuentede disfrute matemtico por el reto querepresentan. Encabezar cada falacia conun texto extrado del cuento de Chiang.

Tmense su tiempo. Al nal encontrarn

una breve disquisicin, supuestamente

iluminadora, sobre cada una de ellas.

1 Existe una prueba muy conocida quedemuestra que 1 es igual a 2. Comienza

con varias defniciones: Si a = 1; si b= 1.

Termina con la conclusin a= 2a; es de-

cir, 1 es igual a 2. Escondida discretamente

en el medio hay una divisin entre cero,

y en ese punto la prueba se ha extrali-

mitado, vaciando y anulando todas las

reglas. Dar por buena una divisin entre

cero permite no solo demostrar que 1 y 2

son iguales, sino que dos nmeros cuales-

quiera (reales o imaginarios, racionales oirracionales)son iguales.

Todos hemos tropezado alguna vezcon demostraciones algebraicas falaces

que nalizan con la identidad 2 = 1. Lamayora suelen ser poco sutiles, ya que se

sustentan en una divisin entre 0 ms o

menos enmascarada en algn paso.Con toda seguridad han visto la si-

guiente, pero no puedo resistirme a queaparezca en esta seleccin: a= b; a2= b2;a2= ab; a2 ab= a2 b2; a(a b) = (a+ b)(a b); a= a+ b; a= 2a; 1 = 2.

2 En 1900, durante el Segundo Congre-so Internacional de Matemticos, David

Hilbert propuso una lista de los que con-

sideraba los 23 problemas sin resolver

ms importantes de las matemticas.El segundo punto era la peticin de una

prueba sobre la consistencia de la arit-

mtica. Semejante demostracin asegu-

rara la consistencia de buena parte de

las matemticas superiores. En esencia,

lo que la prueba deba garantizar era la

imposibilidad de demostrar que 1 es igual

a 2. Pocos matemticos lo consideraron un

asunto de importancia.

Observe la siguiente secuencia deidentidades:

1 = 12,

2 + 2 = 22,3 + 3 + 3 = 32,

4 + 4 + 4 + 4 = 42,. . .

Generalizando:

{

x+x+ +x=x2.xveces

Derivando esta ltima identidad a iz -quierda y derecha, obtenemos:

{

1 + 1 + + 1 = 2x,xveces

que nos conduce ax= 2xy, con ello, a1 = 2.

Bartolo Luque es fsico y profesor de matemticas

en la Universidad Politcnica de Madrid. Sus investigaciones

se centran en la teora de sistemas complejos.

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Juegos matemticos

2 Observemos que la funcinf(x) =x+x + + x que satisface la igualdadf(x) = x2est denida como la suma dextrminos, por lo que solo tiene sentidopara valores naturales dex. As pues, lafuncin no es continua y, por tanto, tam-poco derivable.

3 Recordemos que la funcin raz cuadra-da, a

, es multivaluada, ya que a2= (a)2.Es decir, no est definida de maneraunvoca, sino que proporciona dos resul-tados, los cuales podemos denotar como

+a

ya

. Esta sutileza se encuentra en labase de muchas falsas demostraciones, co-mo la siguiente: (1)(1)=1; (1)(1)=1;

11=1; i2=1; 1=1.

En el ejemplo nmero 3, el segundo

paso (extraer races a ambos lados) puede

parecer el origen de la falacia, pero no loes: basta con determinar el valor principal

de ambas races. El ardid se perpetra enel tercer paso, ya que no existe regla quegarantice que a/b = a/b

excepto si ay bson mayores que cero.

La nica manera de que dos nmerosxe y(distintos de cero) tengan el mismocuadrado es quex= yox= y. En nuestrocaso, podamos haberusado a/b = a/b

o a/b =a/b

. Si en el segundo miem-bro del tercer paso de la demostracin

empleamos el signo menos, la falacia seesfuma.

4 Al calcular una integral indenidaaparece siempre una constante arbitra-ria. En nuestro caso, la falacia se des-vanece si introducimos los lmites de

integracin:

1 dx= 1+ dx.xlogx xlogx1b

a

b

a

b

a

Puesto que la diferencia de una funcin

constante entre dos valores cualesquieraes siempre cero, la integral denida que

aparece a ambos lados de la igualdad esla misma, lo que evita la contradiccin.

5 El ejemplo clsico de este tipo de fala-cias es el siguiente:

0 = 0 + 0 + 0 +

= (1 1) + (1 1 ) + (1 1 ) +

= 1 + (1+1) + (1+1) + (1+1) +

= 1 + 0 + 0 + 0 + = 1 .

En 1703, el monje y matemtico Lui-gi Guido Grandi (1671-1742) sostuvo enQuadratura circuli et hyperbolaeque loanterior constitua una demostracin de

que Dios haba creado el mundo desde la

nada, dando visos de poder ultraterrenoa la ley asociativa de la suma.

Un siglo y medio despus, BernhardRiemann (1826-1866) demostr que los

trminos de una serie simplemente con-vergente siempre pueden reordenarse detal modo que su suma sea cualquier nme-ro nito dado, ms o menos innito. Solo

si una serie es absolutamente convergente(es decir, si la serie original converge y

tambin lo hace la formada por los valo-res absolutos de sus trminos) podemosalterar el orden y reagrupar los trminoscomo deseemos, ya que en tal caso obten-dremos siempre el mismo resultado.

6 La demostracin de Renee era impe-cable. Esta tambin... o no? Disctanla

con sus amigos y cuntenme sus conclu-siones. La matemtica al completo esten juego.

Paradojas matemticas. Eugene P. Northrop.Editorial UTEHA, Mxico, 1949.

Matemtica inslita: Paradojas yparalogismos. Bryan H. Bunch. EditorialRevert, 1987.

Mathematical fallacies, aws, and imam.

Edward J. Barbeau. The MathematicalAssociat ion of Americ a, 2000.

PARA SABER MS

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