unla organización de computadoras (2015) algebra de boole
TRANSCRIPT
![Page 1: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/1.jpg)
UNLA Organización de Computadoras (2015)
ALGEBRA DE BOOLE
![Page 2: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/2.jpg)
Indice
1. Reseña Histórica
2. Algebra de Boole
3. Postulados
4. Teoremas
5. Ejercicios
![Page 3: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Reseña Histórica Algebra de Boole
En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para eltratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso(variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipularrelaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a lastécnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitosmas económicos. Las expresiones booleanas serán unarepresentación de la función que realiza un circuito digital. En estasexpresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas (AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en lascuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quieredecir variables binarias).
![Page 4: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/4.jpg)
2.3 Definiciones
![Page 5: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/5.jpg)
2.3 Definiciones
![Page 6: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/6.jpg)
2 Postulados
Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del algebra y se verifica
a + b = b + aa * b = b * a
Posee dos elementos neutros, 0 y 1, que cumplen la propiedad de Identidad con respecto a cada una de las operaciones binarias sumay producto lógico
0 + a = a1 * a = a
Cada operación es distributiva con respecto a la otraa * (b + c) = a * b + a * c
a + b * c = (a + b) * (a + c)
Para cada elemento a del algebra existe un elemento denominado a tal que: a + a = 1 a * a = 0
![Page 7: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/7.jpg)
a
b
a + b
a b
=
a · b =
b
a
b + a
b a
b · a
0
a
0 + a
1 a
=
1 · a =
a
a
a
a
Postulados Circuitos de Conmutación
![Page 8: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/8.jpg)
a
a
a + a
a a
=
a · a =
1
1
0
0
a
a · (b + c) =
c
b
a
a · b + a · c
c
a
b
a + b · c
c
a b
=
a
b
(a + b) · (a + c)
a
c
Postulados Circuitos de Conmutación
![Page 9: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/9.jpg)
Teoremas
![Page 10: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Teoremas
1 = a + a = a + a * 1 = (a + a) * (a + 1) = 1 * (a + 1) = a + 1
b a O
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
b a Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
![Page 11: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Teoremas
a = a + 0 = a + a * a = (a + a) * (a + a) = a + a
![Page 12: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/12.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Teoremas
b a a + ab
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
a = 1 * a = ( 1 + b) * a = 1 * a + a * b = a + a * b
![Page 13: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/13.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Teoremas
![Page 14: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/14.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
0 = 1 y 1 = 0
a a a
0 1 0
1 0 1
Teoremas
![Page 15: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/15.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Teoremas
![Page 16: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorema 1Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD. Teorema 2Para cada elemento a de un algebra de Boole se verifica:a + 1 = 1a * 0 = 0Se demuestra a continuación la primera igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1 igualdad y con ello queda demostrada por dualidad la segunda. 1= a+ ~a = a + ~a * 1 = (a + ~a)*(a + 1) = 1(a+1) = a + 1
Lógica Positiva y Negativa
![Page 17: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/17.jpg)
Compuertas Lógicas
![Page 18: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/18.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Álgebra Booleana
Operación OR:
Si una de las entradas es 1, entonces la salida es 1
![Page 19: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/19.jpg)
[ Sistemas Digitales ] Álgebra Booleana
Compuerta OR:
xx + y
y
![Page 20: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/20.jpg)
x y xy
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
[ Sistemas Digitales ] Álgebra Booleana
Operación AND:
Si una de las entradas es 0, entonces la salida es 0
![Page 21: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/21.jpg)
[ Sistemas Digitales ] Álgebra Booleana
Compuerta AND:
xxy
y
![Page 22: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/22.jpg)
x x
0 1
1 0
[ Sistemas Digitales ] Álgebra Booleana
Operación NOT:Operación NOT:
La salida es la negación de la entrada
![Page 23: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/23.jpg)
[ Sistemas Digitales ] Álgebra Booleana
Compuerta NOT:
x x
![Page 24: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/24.jpg)
Álgebra Booleana[ Sistemas Digitales ]
Ejercicio:
Encontrar w =xy + yz para todas las combinaciones.
![Page 25: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/25.jpg)
x y z xy yz w
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1
Álgebra Booleana[ Sistemas Digitales ]
Ejercicio: ( Tabla verdad)
Encontrar w =xy +yz para todas las combinaciones.
![Page 26: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/26.jpg)
010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101010101010100101010101010101010010101010110010101
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Un circuito combinacional es aquelcuya salida depende sólo de lasentradas.
Es decir:
• No depende de la salida• No depende del tiempo
![Page 27: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/27.jpg)
x y xy
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Compuerta AND:
xxy
y
TABLA DE VERDAD
![Page 28: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/28.jpg)
x y xy
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Compuerta NAND:
xxy
y
TABLA DE VERDAD
![Page 29: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/29.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation
Circuitos combinacionales
106
Compuerta OR:
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 30: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/30.jpg)
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Compuerta NOR:
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 31: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/31.jpg)
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Compuerta XOR (OR exclusivo):
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 32: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/32.jpg)
x y x+y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Compuerta XNOR (NOR exclusivo):
xx +y
y
TABLA DE VERDAD
![Page 33: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/33.jpg)
[ Sistemas Digitales ]
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w=xy +yz .
Circuitos combinacionales
![Page 34: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/34.jpg)
[ Sistemas Digitales ] Circuitos combinacionales
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w=xy +yz .
xy
w
z
![Page 35: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/35.jpg)
[ Sistemas Digitales ]
Primera Ley de DeMorgan:
•
Circuitos combinacionales
( x + y )= x y
x
yx + y = x y
![Page 36: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/36.jpg)
Arquitectura de ComputadoresPräsentation113
[ Sistemas Digitales ]
Primera Ley de DeMorgan:
•
Circuitos combinacionales
( x + y )= x y = xy
x
yxy
![Page 37: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/37.jpg)
[ Sistemas Digitales ]
Segunda Ley de DeMorgan:
• ( xy ) = x + y
Circuitos combinacionales
xxy = x+y
y
![Page 38: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/38.jpg)
[ Sistemas Digitales ]
Segunda Ley de DeMorgan:
• ( xy ) = x + y = x + y
Circuitos combinacionales
xx+y
y
![Page 39: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/39.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
Präsentation116
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compuertas NAND de dosentradas.
Circuitos combinacionales
![Page 40: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/40.jpg)
Arquitectura de Computadores
[ Sistemas Digitales ]
PräsentationD.Mery 117
Circuitos combinacionales
Ejercicio:
Diseñe el circuito combinacional que realice la función
w = x y + y z usando sólo compurtas NAND de dosentradas.
xy
w
z
![Page 41: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/41.jpg)
Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej.A, X, X)
Término producto: es un grupo de literales que seencuentran relacionados entre si por un AND(por ej.A·B, C·A, X ·Y· Z )
Término suma:es un grupo de literales que se encuentranrelacionados entre si por un OR
(por ej. A+ B, C + A, X + Y + Z )
Término normal: termino producto o termino suma en el queun literal no aparece mas de una vez
![Page 42: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/42.jpg)
Término canónico: termino en el que se encuentra exactamenteuno de cada uno de los literales de la función.Si el terminocanónico es un producto, se denominará mintérmino. Si esuna suma se denominará maxtérmino.
Forma normal de una función: es la que está constituida portérminos normales. Puede estar en la forma suma de términosproductos o productos de términos sumas.
Forma canónica de una función: es aquella constituidaexclusivamente por términos canónicos que aparecen una solavez.
2.3 Definiciones
![Page 43: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/43.jpg)
2.4 Forma Canónica
La importancia de la forma canónica, es el hecho de serUNICA. Como vimos anteriormente una función puede tenerinfinidad de representaciones, pero solo una representaciónen forma canónica.
Existen dos formas canónicas de una función: Suma deProductos o Producto de Sumas. (También de una maneramas formal Suma de mintérminos o Producto demaxtérminos)
Para obtener algebraicamente la forma canónica de unafunción podemos utilizar los teoremas de expansióncanónica:
![Page 44: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/44.jpg)
2.4.1 Forma Canónica suma de Productos
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicosproductos (mintérminos) sumados que aparecen una sola vez.Por ejemplo:
F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + XY’Z + X Y Z+ XYZ
Acada mintermino se le asocia un numero binario de n bitsresultante de considerar como 0 las variables complementadasy como 1 las variables no complementadas.Así por ejemploel mintermino X Y Z corresponde a combinación X=0, Y=0,Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimales 1.Aeste mintermino lo identificaremos entonces como m1.
![Page 45: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/45.jpg)
2.4.1 Forma Canónica suma de Productos
De esta forma, la función :
F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z
Se puede expresar como:
F(X,Y,Z) = m(1, 4, 5, 6, 7)
que quiere decir la sumatoria de los mintérminos 1,4,5,6,7.
![Page 46: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/46.jpg)
2.4.2 Forma Canónica producto de sumas
Es aquella constituida exclusivamente por términos
canónicos sumas (maxtérminos) multiplicados que aparecenuna sola vez. Por ejemplo:
F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z)
Análogamente al caso anterior, podemos simplificar laexpresión de la función, indicando los maxtérminos. Sinembargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cadamaxtermino se le asocia un numero binario de n bitsresultante de considerar como 1 las variablescomplementadas y como 0 las variables no complementadas.
![Page 47: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/47.jpg)
2.4.2 Forma Canónica producto de sumas
Así por ejemplo el maxtermino X + Y + Z corresponde acombinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numerobinario 100, cuyo valor decimal es 4.Aeste maxtermino loidentificaremos entonces como M4.
De esta forma, la función:
F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z)
se puede expresar como: F(X,Y,Z) = M(0,2,3) que quieredecir el producto de los maxterminos 0,2,3
![Page 48: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/48.jpg)
2.4.3 Forma Canónica
Teorema 1: Para obtener la forma canónica de una funciónsuma de productos se multiplicará por un termino de laforma (X + X ) donde falte un literal para que el termino seacanónico.
Teorema 2: Para obtener la forma canónica de una funciónproducto de sumas se sumará un termino de la forma X · Xdonde falte un literal para que el termino sea canónico.
![Page 49: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/49.jpg)
Otra manera importante de expresar expresiones booleanas esla forma normal. Tiene la misma estructura básica suma deproductos o producto de sumas, pero no se requiere que lostérminos sean minterminos o maxterminos.
Por ejemplo: La siguiente es una forma normal para suma deproductos: X Y + X Y Z
La siguiente es una forma normal para producto de sumas:(Y+X)(X + Z) Y
Nota: En general la forma más utilizada es: la suma deproductos
2.4.4 Forma Normal de Funciones Booleanas
![Page 50: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/50.jpg)
Algebra de Conmutación
Función de ConmutaciónTablas de VerdadFormas CanónicasMinterminos y MaxterminosMapas de Karnaugh
![Page 51: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/51.jpg)
Función de Conmutación
Una función de conmutación se puedeexpresar de tres maneras:
–
–
–
En forma Algebraica
Por una Tabla de Verdad
En forma Canónica
![Page 52: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/52.jpg)
Tablas de Verdad
La forma más intuitiva de representar una función deconmutación es por medio de una tabla de verdad.
La tabla de verdad expresa el valor de salida deuna función para cada combinación de entrada.
La tabla de Verdad permite modelar un tipo especialde sistema Digital llamado Sistema Combinacional.
![Page 53: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/53.jpg)
Ejemplo de Tablas de Verdad
Forma Algebraica:
F (X1, X2, X3)= X1 X2 + X2 X3
![Page 54: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/54.jpg)
X1 X2 X3 f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Ejemplo de Tablas de Verdad
Tabla de Verdad
![Page 55: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/55.jpg)
Formas Canónicas
Se llama termino canónico de una función deconmutación a todo termino en que figurantodas las variables de la función, ya seacomplementadas o sin complementar.
![Page 56: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/56.jpg)
X1 X2 X3
X1 X2 X3
X1 X2 X3
X1 X2 X3 f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Formas Canónicas
Problema:Dada una Tabla deVerdad, obtener la formaalgebraica
X1 X2 X3
![Page 57: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/57.jpg)
F (X1, X2, X3)= X1 X2 X3 + X1 X2 X3 +
X1 X2 X3 + X1 X2 X3
Para convertir se observa la combinación de entrada parala cual la salida toma el valor 1.La variable aparece sin complementar: si vale 1 para lacombinación en la cual la salida vale 1 y aparececomplementada si vale 0 para la combinación en la cual lasalida toma el valor 1.
La forma Algebraica queda:Formas Canónicas
![Page 58: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/58.jpg)
Formas Canónicas: Mintérminos
Se denomina mintérmino a un factor de unaexpresión booleana que está formado por el AND detodas las variables.Una función de conmutación corresponde al OR demintérminos. La función generada de esta manera sedenomina OR canónica de AND.
F (X1, X2, X3)= OR (m0,m1,..,mn)F (X1, X2, X3)= (m0,m1,..,mn)
![Page 59: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/59.jpg)
Para el ejemplo anterior:
F (X1, X2, X3)= OR (1,3,5,6)
F (X1, X2, X3)= (1,3,5,6)
Formas Canónicas: Mintérminos
![Page 60: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/60.jpg)
X1 X2 X3 f
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
(X1 + X2 + X3)
Una forma alternativade expresar la funciónes examinándo lascombinaciones en las cuales vale 0
Formas Canónicas: Maxtérminos
(X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3)
![Page 61: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/61.jpg)
La función queda ahora:
F (X1, X2, X3)= (X1 + X2 + X3) (X1 + X2 + X3)
(X1 + X2 + X3) (X1 + X2 + X3)
Para convertir se observa la combinación deentrada para la cual la salida toma el valor 0. Lavariable aparece sin complementar si vale 0 parala combinación en la cual la salida vale 0 y
Formas Canónicas: Maxtérminos
aparece complementada si vale 1 para lacombinación en la cual la salida toma el valor 0.
![Page 62: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/62.jpg)
Se denomina maxtérmino a un factor de unaexpresión booleana que está formado por el OR detodas las variables.
Una función de conmutación corresponde al AND demaxtérminos. La función generada de esta manerase denomina AND canónica de OR.
F (X1, X2, X3)= AND (M0,M1,..,Mn)
F (X1, X2, X3)= P (M0,M1,..,Mn)
Formas Canónicas: Maxtérminos
![Page 63: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/63.jpg)
Para el ejemplo anterior:
F (X1, X2, X3)= AND (0,2,4,7)
F (X1, X2, X3)= P (0,2,4,7)
Formas Canónicas: Maxtérminos
![Page 64: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/64.jpg)
Dada una función en su forma algebraica,obtener la forma canónica:
F (A,B,C,D)= A C + A B C + A B C D= A C (B+B) (D+D) + A B C (D+D) + ABCD= ACBD + ACBD + ACBD + ACBD + ABCD + ABCD + ABCD
= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD
1101 1100 1001 1000 1011 1010 0011 13 12 9 8 11 10 3F (A,B,C,D)= (3,8,9,10,11,12,13)
Obtención de Formas Canónicas
![Page 65: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/65.jpg)
Dada una función en OR canónico de AND, obtenerla forma canónica AND canónico de OR.(DeMorgan)
F (A,B,C)= (0,1,2,7)
F (A,B,C)= (3,4,5,6)= A’BC + AB’C’ + AB’C + ABC’
F (A,B,C)’= (A+B’+C’) (A’+B+C) (A’+B+C’) (A’+B’+C)
F (A,B,C)= P (3,4,5,6)
Conversión entre Formas Canónicas
![Page 66: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/66.jpg)
Funciones Equivalentes
Dos funciones de conmutación son equivalentescuando sus expansiones en formas canónicas sonidénticas, es decir tienen el mismo valor de salidapara las mismas combinaciones de entradas.
Una forma similar de expresar lo mismo es que dosfunciones de conmutación son equivalentes cuandotienen la misma Tabla de Verdad.
![Page 67: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/67.jpg)
Minimización de Funciones
Minimizar una función de conmutación
F (X1, X2,.., Xn) es encontrar una función
G (X1, X2,.., Xn) equivalente a F y que contenga elmínimo número de términos y literales en unaexpresión OR de AND.
![Page 68: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/68.jpg)
Ejemplo:
F(A,B,C,D)= ACD + ACD + ACD + ACD + ABD
= (A+A)CD + (A+A)CD + ABD
= CD + CD + ABD
= (C+C)D + ABD
= (D+D)AB= A B
Minimización de Funciones
![Page 69: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/69.jpg)
Mapas de Karnaugh
El mapa de Karnaugh es un arreglo matricial detodas las posibles combinaciones que puedenasumir un grupo de variables.
Los mapas de Karnaugh son formas modificadas deTablas de Verdad que permiten minimizar funciones
![Page 70: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/70.jpg)
Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh permiten un diseñorápido de circuitos combinacionales demínimo costo, es decir, con el mínimonúmero de compuertas.
![Page 71: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/71.jpg)
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m0 m1
m2 m3
YX
Construcción de Mapas de Karnaugh
Para construir un Mapa de Karnaugh sesiguen los siguientes pasos:
Para una función de n variables, el MK tiene 2n celdas.En las coordenadas se anotan las combinaciones
1
según código de Grey.
0 1
0
XYZ
0
1
00 01 11 10
n=2 n=3
![Page 72: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/72.jpg)
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
Construcción de Mapas de Karnaugh
ABCD
00 01 11 10
00
01
11
10
n=4
![Page 73: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/73.jpg)
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB 00
CD 00 01 11 10
Construcción de:Mapas de Karnaugh
Cada combinación de unos y ceros de unacelda se le asigna el equivalente decimal dela representación binaria.
01
11
10
![Page 74: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/74.jpg)
1 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 0 0
F (A,B,C,D)= (0,1,5,6,9,13,15)
ABCD
00
01
11
10
00 01 11 10
Dada la función obtener el MK
![Page 75: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/75.jpg)
Dado el MK obtener la función y simplificar
![Page 76: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/76.jpg)
Ejercicios Propuestos.Dado el MK obtener la función y simplificar
![Page 77: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/77.jpg)
1) Realizar agrupaciones de 1's con sus vecinos lo mayor posible pero siempre encantidades potencias de 2.
2) No dejar ningún 1 sin agrupar. Puede ocurrir que un 1 pertenezca a más de unaagrupación. No se pueden tomar agrupaciones dentro de agrupaciones.
3) Por cada agrupación de 1's resulta un producto de variables. Cuanto más 1's se agrupen, más sencilla resultará la expresión de esa agrupación. En MK de 5 variables, las grupaciones que tomen 1’s de las dos porciones deben ser simétricas respecto al eje central.
4) En cada agrupación, cada una de las variables puede aparecer en alguno de los siguientes casos:
a) Si siempre vale 1 -----> Se pone afirmada.b) Si siempre vale 0 -----> Se pone negada.c) Si cambia de valor (50% de los casos un valor y el otro 50% otro
valor)--> No se pone.
5) La expresión de la función booleana será la suma lógica de todos los productos que hayan salido.
Simplificación utilizando MK
![Page 78: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/78.jpg)
Construcción de:Mapas de Karnaugh
Dos celdas son adyacentes si difieren en una variable
![Page 79: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/79.jpg)
Construcción de Mapas de Karnaugh
Un subcubo es un conjunto de 2m celdascon valor 1, las cuales tienen la propiedadque cada celda es adyacente a m celdasdel conjunto.
![Page 80: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/80.jpg)
1 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
ABCD
00
01
11
10
00 01 11 10
Construcción de:Mapas de Karnaugh
SubcuboTamaño 4
SubcuboTamaño 4
SubcuboTamaño 8
![Page 81: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/81.jpg)
Minimización de una Función con MK
Un subcubo se puede expresar por untérmino algebraico que contiene n-mliterales donde n es el número de variablesy 2m es el tamaño del subcubo.
![Page 82: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/82.jpg)
Dado un MK Minimizar la función
![Page 83: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/83.jpg)
Dado un MK Minimizar la función
![Page 84: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/84.jpg)
En caso de que una agrupación de unos abarque las dos mitades, para que sea una agrupación válida se deben repartir los unos al 50% en ambas mitades. Puede ocurrir que dos agrupaciones formen una única agrupación. Para ello deben ser simétricas respecto al eje central del mapa. En este ejemplo ocurre con las señaladas en color rosa.
Minimización
![Page 85: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/85.jpg)
Minimización
En resumen:
–
–
–
–
1 celda representa un mintérmino
2 celdas adyacentes representan un término de 3variables.
4 celdas adyacentes representan un término de 2variables.
8 celdas adyacentes representan un término de 1variables.
![Page 86: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/86.jpg)
Construcción de MK: AND de OR
Una función se puede expresar también como elproducto (AND) de los subcubos necesarios paracubrir todos los ceros del MK.
Ejemplo : Minimizar
F(A,B,C,D) (0,2,5,8,10,13,14)
![Page 87: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/87.jpg)
00
01
11
10
F(A,B,C,D)(BD)(BCD)(ACD)
0 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
0 1 1 0
Construcción de MK: AND de OR
Para minimizar se agrupan ceros del mapa:
ABCD
00 01 11 10
![Page 88: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/88.jpg)
Simplificación como Suma de Productos y como Productos de Sumas
A continuación tenemos un ejemplo de una función F de 4 variables que se va a simplificarcomo suma de productos agrupando unos. En el mapa de la derecha está la función complementaria F , que también se simplifica como suma de productos agrupando unos.
![Page 89: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/89.jpg)
Fin
![Page 90: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/90.jpg)
EJERCICIO
![Page 91: UNLA Organización de Computadoras (2015) ALGEBRA DE BOOLE](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081504/5665b4991a28abb57c928a9d/html5/thumbnails/91.jpg)