Universidiad de los Andes

Monografia de Grado

Estudio de variaciones de temperatura enAntares A por medio de líneas de

Absorción

Autor:Felipe Beron

Supervisor:Benjamín Oostra

Presentada de acuerdo a los requerimientospara el grado de Físico

en laFacultad de Ciencias

23 de enero de 2019

ii

«He aquí mi pequeña contribución al conocimiento del universo y el mundo que nos rodea.»

Felipe Berón

iii

UNIVERSIDIAD DE LOS ANDES

Resumen

Facultad de Ciencias

Departamento de Física

Estudio de variaciones de temperatura en Antares A por medio de líneas de Absorción

por Felipe Beron

En esta monografía de grado se hace un resumen de los fenómenos y la física detrás de losespectros estelares y por qué gracias a estos es posible utilizar líneas espectrales en el métodopropuesto para medir temperatura. Se presenta un análisis global de los datos observacionales yteóricos a partir de los cuales se seleccionan parejas de líneas. Con estas se hacen modelos paracalcular temperatura. Una vez se establecen los modelos se calculan las temperaturas a partirde los datos observacionales y se evalúa la validez de los valores encontrados además de buscarpatrones en el tiempo y correlación con la velocidad radial medida en trabajos previos.

v

Agradecimientos

Me gustaría agradecerle a Benjamín Oostra por su trabajo creando el Observatorio de laUniversidad de los Andes y a Maria Gracia Batista por mantenerlo y todo el trabajo que estoimplica. Es un enorme privilegio poder contar con esta herramienta y espero poder verlo crecer.Les agradezco también las incontables nocturnas que le han dedicado a la toma de los espectrosde Antares que hicieron posible esta monografía y que muestran que es posible hacer astronomíade calidad con datos tomados en el país.

También me gustaría agradecer a mi padres por apoyarme en esta búsqueda por el conoci-miento, por nutrir mi curiosidad, por animarme a sacarle todo el provecho posible a esta etapa ydarme la oportunidad de estudiar Física e Ingeniería Mecánica en la Universidad de los Andes.

Quiero agradecerles también a mis amigos Sofía y Juan, sin cuya compañía, apoyo y consejono sé si hubiera llegado a completar esta larga tarea.

No puede faltar mi profesor de Física en el colegio, Diego Mahecha, por hacer de esta unamateria entretenida y fascinante y tal vez sin darse cuenta, inspirarme a querer entender el uni-verso desde lo inimaginablemente pequeño hasta lo inimaginablemente grande.. . .

vii

Índice general

Resumen iii

Agradecimientos v

1. Características del Proyecto 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Trabajos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Antares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2. Line Depth Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3. Antares en la Universidad de los Andes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. LRDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.2. Calibración Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Marco teórico 7

2.1. Naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Radiación de cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

viii

2.3. Interacción de la luz y la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1. Modelo semi-clásico del átomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Formación de líneas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1. Ecuación de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2. Ecuación de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.3. Combinación de las ecuaciones de Saha y Boltzmann . . . . . . . . . . 18

2.5. LDRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Resultados 25

3.1. Análisis intensidad y frecuencia de líneas identificadas . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Escala de temperatura y selección de parejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. LDRs de las líneas seleccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Calibración Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Temperatura Encontradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5.1. Histogramas temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.2. Diagramas temperatura contra velocidad radial . . . . . . . . . . . . . 39

4. Análisis y Conclusiones 43

4.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Bibliografía 47

ix

Índice de figuras

2.1. Radiación de cuerpo negro a diferentes temperaturas Carroll y Ostlie, 2007. . . 9

2.2. Comparación de varios modelos para densidad espectral copiado de (Zettili, 2009). 11

2.3. Clasificación espectral de Harvard adaptado de (Carroll y Ostlie, 2007). . . . . 15

2.4. Ocupación relativa del primer estado excitado en el átomo de hidrógeno contratemperatura a partir de la ecuación de Maxwell copiado de (Carroll y Ostlie, 2007). 17

2.5. NII/Ntot para el hidrógeno a partir de la ecuación 2.21 donde nekBT = Pe =20 N/m2 en función de la temperatura copiado de (Carroll y Ostlie, 2007). . . . 18

2.6. Fracción de átomos de hidrógeno en el primer estado exitado frente al núme-ro total de átomos a partir de las ecuaciónes 2.19 y 2.21 con Pe = 20 N/m2

copiado de (Carroll y Ostlie, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7. Dependencia de la intensidad de las líneas espectrales con la temperatura copia-do de (Carroll y Ostlie, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8. LDRs corregidos contra índices de color B−V y R− I copiado de (Gray y Brown,2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9. Relación entre temperatura e índices de color para las estrellas del programa de(Gray y Brown, 2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.10. Temperatura efectiva para VY Ari a partir de LDR copiado de (Catalano y col.,2002). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1. Profundidad promedio de las líneas identificadas. Las barras de error representanuna desviación estándar de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Velocidad radial promedio (absoluta) de las líneas identificadas. Las barras deerror representan la variación de la muestra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

x

3.3. Porcentaje de los espectros donde se identifica cada línea. . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Profundidad de las líneas de hierro identificadas en Antares contra temperaturasegún VALD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5. Profundidad de las líneas de otros elementos identificadas en Antares contratemperatura según VALD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6. Parejas de líneas seleccionadas y sus correspondientes longitudes de onda. . . . 30

3.7. LDR calculado para la pareja NaFeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8. LDR calculado para la pareja NaFeB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9. LDR calculado para la pareja NaFeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10. LDR calculado para la pareja NaSi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.11. LDR calculado para la pareja CaFeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.12. LDR calculado para la pareja CaFeB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.13. LDR calculado para la pareja CaFeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.14. LDR calculado para la pareja CaSi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.15. Modelos de LDR a temperatura para las líneas seleccionadas con sus intervalosde confianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.16. Coeficientes de ajuste para los modelos LDR a temperatura. . . . . . . . . . . 35

3.17. Temperatura calculada para pareja NaFeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.18. Temperatura calculada para pareja NaFeB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.19. Temperatura calculada para pareja NaFeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.20. Temperatura calculada para pareja NaSi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.21. Temperatura calculada para pareja CaFeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.22. Temperatura calculada para pareja CaFeB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.23. Temperatura calculada para pareja CaFeC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

xi

3.24. Temperatura calculada para pareja CaSi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.25. Histogramas de temperatura para las parejas de Calcio . . . . . . . . . . . . . 39

3.26. Valores de temperatura contra velocidad de la pareja para las parejas de Calcio. 40

3.27. LDR como función de la velocidad media de las líneas V I 6251.83, Fe I 6252.57,y Ti I 6261.11 para una temporada de observación. Las flechas indican la direc-ción del tiempo. El pánel (f) ilustra el comportamiento genérico inferido in-cluyendo las direcciones de aumento de temperatura y aumento de velocidad.Copiado de (Gray, 2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

xiii

Constantes Físicas

Permitividad del vacío ε0 = 8.854 187 817 6 × 10−12 C/Nm2

Permeabilidad magnética del vació µ0 = 1.256 637 061 44 × 10−6 N/A2

Constante de Stefan-Boltzmann σ = 5.670 373 × 10−8 W/m2K4

Velocidad de la luz c0 = 2.997 924 58 × 108 m s−1

Constante de Planck h = 6.260 707 0 × 10−34 J sConstante de Boltzman kB = 1.380 648 52 × 10−23 J K−1

Todas los valores se obtienen de www.nist.gov

xv

Notación

λ Longitud de onda mν Frecuencia Hzµ Masa reducida eV/c0

2

~B Campo Magnético T~E Campo eléctrico N C−1

Ei Energía del nivel i eVI Intensidad medida en λ de la líneaLDR Line-Depth-RatioNi Número de átomos en el nivel de energía iP Potencia total emitida por área W/m2

T Temperatura Kd Profundidad de líneagi Degeneración del nivel de energía im Masa kgme Masa del electrón eV/c0

2

t Tiempo s

1

Capítulo 1

Características del Proyecto

1.1. Introducción

Antares es una estrella super-gigante roja variable, la más brillantes de la constelación Es-corpión, que se observa en el hemisferio sur. Tiene una clasificación espectral de tipo M0.5Iab(Simbad_Antares), una masa de entre 15 y 18 M�, un radio entre 800 y 900 R� (Rodríguez D.,2018) , una temperatura de aproximadamente 3570 K (Pugh y Gray, 2013a) se encuentra a unadistancia de 550 años luz. Por su ubicación en el diagrama de Hertzsprung-Russell se clasificacomo dentro de la rama Post-AGB (Asymptotic Giant Branch) (posterior a la rama asintótica degigantes) (Carroll y Ostlie, 2007). Antares se encuentra en el final de su vida evolutiva, lo queimplica que ya ha fusionado la gran mayoría de su hidrógeno y se encuentra fusionando helio yotros elementos más pesados. Esto hace que la estrella sea más fría que el sol, pero debido a sutamaño es más luminosa que este. Antares hace parte de un sistema binario, por esto el nombreAntares A. Su compañera, llamada Antares B, es de tipo espectral B2.5V, tiene 7M�, 5,2R� yuna temperatura de 18500 K; si bien es mayor al sol su radio es dos órdenes de magnitud menora Antares A y por lo tanto no hace una interferencia significativa en el estudio de esta.

1.2. Trabajos Previos

1.2.1. Antares

La variabilidad de Antares se conoce desde el estudio de Wright en 1907, por lo que estaestrella ha sido monitoreada para caracterizar y explicar este comportamiento. Spencer-Jones ensu estudio de 1928 analizó los espectros de Antares de donde derivó un periodo de 7,35 años ypropuso que la variabilidad de esta se debe a pulsaciones propias de la estrella y no a un efectode un sistema binario. Mas adelante Smith, Patten y Goldberg en 1989 estudiaron los espectrosde Antares enfocados en buscar patrones en la velocidad radial de escalas de tiempo menores.

2 Capítulo 1. Características del Proyecto

Encontraron variaciones de aproximadamente 2 km h−1 a las que les ajustaron una función sinu-soidal con un periodo de 260 ± 20 días. Adicionalmente determinaron que las fluctuaciones develocidad radial seguían un comportamiento estocástico.

En 2009, Gray comparó espectros del sol y varias estrellas pulsantes y propone que estaforma de variabilidad estocástica es inducida por celdas convectivas en la superficie de las estre-llas. A partir de lo anterior se considera que la variabilidad de Antares A se debe a pulsacionesradiales posiblemente causadas por fenómenos convectivos. Una evidencia de este fenómeno seobserva en los espectros como un mayor corrimiento al azul de las líneas de menor profundidadpues estas se originan en capas más interiores y por lo tanto deben recorrer más material antesde salir de la estrella.En 2012 usando el Sol como calibración Gray y Pugh encontraron que estacorrelación puede servir para descontar el efecto de la convección sobre la velocidad radial enestrellas gigantes-brillantes y super-gigantes, incluyendo Antares A. Sin embargo, en 2013 enun estudio específico a Antares los mismos autores encontraron una correlación opuesta.

1.2.2. Line Depth Ratios

En el último estudio mencionado, de los espectros se calculó la velocidad radial y la tempe-ratura de Antares. La temperatura se calculó con de un método desarrollado por Gray y Brownen 2001, que utiliza la relación de profundidad de parejas de líneas de absorción (Line Depth-Ratio, LDR de ahora en adelante) con índice de color y posteriormente con temperatura. En estese desarrolla una calibración para temperatura de varias parejas de líneas a partir de espectros deotras estrellas estables cuya temperatura es conocida. Se ajustan los LDRs para compensar lasdiferencias de metalicidad y magnitud absoluta en el visible de las estrellas respecto al prome-dio del grupo. En 2002, Catalano y col. utilizaron un método similar para medir exitosamentela variación de temperatura debida a manchas estelares, lo que da cuenta de la viabilidad delmétodo.

Ambos grupos utilizan una muestra de espectros de estrellas de temperatura conocida a loscuales les calculan sus LDRs para las parejas de interés y que posteriormente corrigen para elefecto de su gravedad superficial (que está relacionada con su magnitud absoluta) y su metali-cidad. Con los LDRs corregidos y las temperatura de las estrellas realizan una calibración detemperatura contra LDR para cada pareja, que posteriormente utilizan para calcular la tempera-tura con los LDRs de las estrellas de interés.

1.2.3. Antares en la Universidad de los Andes

Gracias a su localización, en el Observatorio de la Universidad de los Andes se cuenta conciertas ventajas frente a otros observatorios para hacer seguimiento espectral de Antares. Al estarcerca al ecuador se cuenta con una capa de aire menor y más tiempo de observación dentro de un

1.3. Objetivo General 3

año comparado con el Elginfield Observatory of Western University usado por Gray. Si bien setiene menos resolución espectral que el observatorio mencionado, el ensanchamiento propio delas líneas de Antares hace que esta desventaja no sea significativa. En este momento se cuentacon aproximadamente 300 espectros tomados desde el 2015 y se espera que el programa deobservación dure por lo menos hasta el 2020, lo que permitirá una caracterización mucho máscompleta de la variación.

Hasta la fecha el resultado más excepcional del proyecto es la observación indirecta de lagranulación estelar analizando el cambio en las posiciones de las líneas espectrales en los dia-gramas de granulación. Este estudio permitió definir seis tipos de granulaciones. La diversidadde diagramas de granulación da muestra de una constante alta variabilidad en la granulación,causado por la convección y mecanismos todavía desconocidos (Rodríguez D., 2018).

Se encontró también alta variabilidad en la velocidad radial medida por medio de líneasespectrales, fenómeno documentado en otros estudios. Se encontró que cada línea espectralreporta velocidades radiales diferentes como consecuencia de la granulación. Los valores paracada línea también presentan variación en el tiempo y muestran un patrón periódico en general,que empieza con bajas velocidades radiales y termina con mas valores positivos. Se observaronoscilaciones rápidas de algunas horas y también de días (Rodríguez D., 2018).

1.3. Objetivo General

Buscar variación de temperatura en los espectros de Antares tomados en la Universidad delos Andes entre 2015 y 2017.

1.3.1. Objetivos Específicos

Buscar parejas de líneas de absorción que sean sensibles a los cambios de temperaturaen la fotosfera de la estrella, y que sean claramente visibles en los espectros de Antaresobtenidos en el Observatorio Astronómico de la Universidad de los Andes.

Medir la razón de profundidad (LDR) entre dichas parejas de líneas de absorción mediantemétodos computacionales en los espectros obtenidos entre 2015 y 2017.

Analizar las LDRs encontrados en busca de fluctuaciones significativas en el tiempo.

Adaptar de la literatura una forma de calcular variaciones de temperatura a partir de lasvariaciones en las LDRs.

Buscar una correlación entre las variaciones de temperatura y las variaciones en velocidadradial indicadas por los espectros.

4 Capítulo 1. Características del Proyecto

1.4. Metodología

Por la forma en que se plantea el proyecto, se divide en dos partes en esencia independientesque al ser completadas permiten el desarrollo de una tercera tarea. Previo a la posibilidad deencontrar temperatura con LDRs la búsqueda de patrones se realizaba sobre estos, una vez setiene la calibración a temperatura buscar patrones sobre esta revela más información.

1.4.1. LRDs

En este trabajo se parte de la intensidad de líneas identificadas. Estas fueron calculadas porRodríguez D. (2018) y son el resultado de la simulación del continuo, normalización, identifica-ción de líneas y medición de su velocidad por medio de corrimiento al rojo . Se generan rutinasen MATLAB que leen la longitud de onda, intensidad, velocidad y fecha para ser manipuladosdentro del programa.

Una vez se tienen los datos dentro del ambiente de programación se resta el flujo normalizadoen el centro de cada línea a una unidad para obtener la profundidad (d = 1,0 − I). Se estudia laprofundidad promedio de las líneas de absorción y qué tan frecuentes son dentro de los datos.Esto permite identificar los primeros candidatos para calcular LDRs.

1.4.2. Calibración Temperatura

Se encontró que en la Vienna Atomic Line Database (VALD) se pueden generar espectrosteóricos utilizando el modelo de Kurucz (VALD3linelists - VALD Documentation) a partir de unatemperatura dada, el logaritmo de la gravedad normalizada y la micro-turbulencia. De VALDse obtienen las profundidades de cada línea en un rango de 3500 K a 5000 K con intervalosde 250 K (resolución máxima permitida por VALD) y con este se grafican las profundidadescontra temperatura de las líneas identificadas en Antares. La información llega en un correo contodas las líneas dentro del rango cuya intensidad supere un umbral previamente definido, lo queademás permite identificar posibles líneas mezcladas.

Con las parejas de líneas seleccionadas se generan LDRs teóricos para cada temperatura yse encuentran parámetros para un ajuste polinómico con la función polyfit de MATLAB. Estafunción encuentra los parámetros para el polinomio que mejor ajusta a los datos utilizando mí-nimos cuadrados. Ya que no se cuenta con una gran cantidad de puntos teóricos no se obtieneningún beneficio de utilizar métodos más avanzados para buscar parámetros. En caso de obtenerajustes deficientes por este método se utilizaran algoritmos de Cadenas de Markov de MonteCarlo (MCMC por sus siglas en inglés) para hacer ajustes de otro tipo.

1.4. Metodología 5

La principal diferencia entre este método y el utilizado por Catalano y col. y Gray y Brownestá en la disponibilidad de espectros estelares y la capacidad de procesarlos. Para obtener losLDRs de las parejas seleccionadas a partir de espectros observados es necesario hacer toda lareducción de los mismos. A cada espectro se le debe hacer una limpieza de ruido, simulación delcontinuo, normalización e identificación de las líneas y su profundidad. Aun cuando se cuentacon los programas y recursos para hacer este proceso, por la cantidad de espectros diferentes ysu disponibilidad, este proceso se sale de los objetivos del presente proyecto. Utilizar los datosde VALD permite reducir el tiempo necesario para generar una calibración a temperatura por elprecio de tener una muestra de menor tamaño, menor resolución en los intervalos de temperaturay que corresponden a un modelo teórico y no datos reales.

7

Capítulo 2

Marco teórico

La espectroscopia es una de las herramientas más poderosas de la astronomía. Entenderla forma y características del espectro de los objetos que presentes en nuestro universo nospermite conocer una gran cantidad de información de ellos a pesar de las enormes distanciasque nos separan. Los fenómenos que intervienen en la formación de un espectro conectan lafísica desde el nivel cuántico del átomo, pasando por los conjuntos estadísticos hasta escalasçlásicas"medidas en radios solares.

2.1. Naturaleza de la luz

La velocidad de la luz fue medida por primera vez por el astrónomo Ole Roemer en 1675.Roemer observó las lunas de Jupiter y cuánto tiempo les toma pasar por la sombra de este. Conlas leyes de Kepler podía predecir los siguientes eclipses. Sin embargo, observó que cuandola tierra estaba acercandose a Júpiter los eclipses ocurrían antes de lo predicho, y lo contrariopasaba cuando la tierra estaba alejándose. Con esta información infirió que la discrepancia sedaba por el tiempo que le toma a la luz viajar las distancias cambiantes; calculó que a la luz letoma 22 minutos viajar por el diámetro de la órbita terrestre, de la cual obtuvo una velocidad de2,2× 108m/s , no muy lejos de la velocidad ce la luz definida en 1983 como c0 = 2,99792458×108ms−1.

Por mucho tiempo la naturaleza de la luz fue objeto de debate. Por un lado, Newton afir-maba que debía consistir en una corriente continua de partículas, pues solo así se explicaría ladefinición de las sombras. Un contemporáneo de Newton, Christian Huygens afirmaba que laluz podía ser descrita por las cantidades propias de ondas; longitud de onda λ y una frecuenciaν, donde la velocidad de la luz estaría dada por c0 = λν. La interpretación de Newton prevalecióhasta el experimento de doble rendija de Thomas Young, donde utilizando luz monocromáticay dos rendijas delgadas logró producir un patrón de interferencia, que solo puede ser explicadopor un modelo ondas.

8 Capítulo 2. Marco teórico

La naturaleza de las ondas de luz no se entendió hasta que Maxwell condensó todo lo co-nocido sobre los campos eléctricos y magnéticos en las cuatro ecuaciones que se conocen hoyen día. Estas ecuaciones predicen la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a travésdel vacío con velocidad v = 1/

√ε0µ0, que al insertar los valores para las constantes fundamen-

tales ε0 y µ0 se obtiene la velocidad de la luz c0. Adicionalmente las ecuaciones de Maxwellimplican que las ondas electromagnéticas son trasversales compuestas por campos eléctricos ymagnéticos oscilantes perpendiculares entre ellos y la dirección de propagación, que ademáspresentan polarización; propiedad observada en la luz. La verificación experimental de que lasondas electromagnéticas efectivamente son ondas de luz fue producida por Hertz; quien logrógenerar ondas de radio y verificar que estas sufren reflexión, refracción y polarización.

Como se muestra en (Griffiths, 1999), en el vacío las ecuaciones de Maxwell son:~∇ · ~E = 0 ~∇× ~E = −∂~B∂t

~∇ · ~B = 0 ~∇× ~B = µ0ε0∂~E∂t

(2.1)

Para el campo eléctrico:

~∇× (~∇× ~E) = ~∇( ~∇ · ~E︸︷︷︸=0

) −∇2E

−∇2 ~E = ~∇× (−∂~B∂t

)

−∇2E = −∂

∂t(~∇× ~B)

∇2E = µ0ε0∂2 ~E∂t2

Para el campo magnético:

~∇× (~∇× ~B) = ∇( ~∇ · ~B︸︷︷︸=0

) −∇2~B

−∇2~B = ~∇× (µ0ε0∂~E∂t

)

−∇2~B = µ0ε0∂

∂t(~∇× ~E)

∇2 = µ0ε0∂2~B∂t2

2.2. Radiación de cuerpo negro 9

Tanto en el campo eléctrico como el magnético siguen la ecuación de onda tridimensional

∇2 f =1v2∂2 f∂t2

(2.2)

2.2. Radiación de cuerpo negro

Un fenómeno que intrigó a los físicos por mucho tiempo fue el brillo emitido por los objetosal calentarse. Era conocido que todos los objetos con temperatura mayor al cero absoluto emitíanenergía en forma de radiación de luz con variadas eficiencias. Un cuerpo que se considera emisorideal es aquel que es capaz de absorber toda la luz incidente e irradiarla con el espectro mostradoen la Figura 2.1 Ya que un emisor ideal no refleja luz, se les conoce como “cuerpo negro”.

Figura 2.1: Radiación de cuerpo negro a diferentes temperaturas Carroll y Ostlie,2007.

Un cuerpo negro de temperatura T emite luz en un espectro continuo con cierta energía entodos los valores de longitud de onda. La energía emitida tiene un máximo a una longitud deonda λmax que se hace menor conforme aumenta la temperatura del cuerpo. La relación linealentre λmax y la temperatura se conoce como la “Ley de desplazamiento de Wien"(ecuación 2.3)y consiste en que el producto entre estas dos magnitudes es una constante.

λmaxT = cte (2.3)

10 Capítulo 2. Marco teórico

Explicar la forma de la radiación de cuerpo negro no fue fácil, los primeros en tener aproxi-maciones serias fueron Wilhelm Wien en 1889 y Rayleigh en 1900. En 1879 J. Stefan encontróde forma experimental que la potencia emitida total por unidad de área radiada por un objeto detemperatura T está dado por:

P = aσT 4 (2.4)

Que se conoce como la Ley de Stefan-Boltzmann, donde el coeficiente a es menor o igual a1; para un cuerpo negro ideal a = 1.

A partir de la ley de Stefan-Boltzmann y con argumentos termodinámicos Wien obtuvo unaexpresión para la densidad de energía por frecuencia emitida por un cuerpo negro.

u(ν, T ) = Aν3 exp{−βν

T

}(2.5)

Donde A y β son constantes determinadas experimentalmente. Sin embargo, esta relaciónsolo funciona bien para altas frecuencias Carroll y Ostlie, 2007.

En 1900 Rayleigh partió de un modelo de una caja metálica con un pequeño orificio, que ac-túa como un cuerpo negro pues toda la luz que entra en ella es eventualmente absorbida despuésde sucesivas reflexiones. Consideró la radiación como ondas estacionarias de temperatura T connodos en la superficie metálica, equivalentes a osciladores armónicos pues son el resultado deosciladores armónicas de un gran número de electrones presentes en las paredes de la cavidad.En equilibrio térmico la energía electromagnética dentro de la cavidad es igual a la densidad deenergía de las partículas cargadas en las paredes de la cavidad; la energía total promedio quesale de la cavidad puede encontrarse multiplicando la energía promedio de los osciladores porel número de modos de las estacionarias con la radiación entre el intervalo de frecuencia ν yν+ dν:

N(ν) =8πν2

c30

(2.6)

Por lo tanto, la densidad de energía electromagnética está dada por:

u(ν, T ) = N(ν)〈E〉 =8πν2

c30

〈E〉 (2.7)

Donde 〈E〉 es la energía promedio de los osciladores. Para calcular este valor Rayleigh utilizó

2.2. Radiación de cuerpo negro 11

el teorema de equipartición de la energía (teoría clásica) según el cual todos los osciladores dela pared tienen la misma energía media independientemente de sus frecuencias:

〈E〉 =

∫ ∞0 E exp

{− E

kBT

}dE∫ ∞

0 exp{− E

kBT

} = kBT (2.8)

Por lo tanto se obtiene:

u(ν, T ) =8πν2

c30

kBT (2.9)

Figura 2.2: Comparación de varios modelos para densidad espectral copiado de(Zettili, 2009).

Esta fórmula solo tiene un buen ajuste para bajas frecuencias. En la figura 2.2 se muestracómo se ajustan los modelos de Wien y Rayleigh con los datos experimentales y la ley de Planckque se discutirá a continuación.

Planck de realizó una interpolación ingeniosa entre los resultados de Wien y Rayleigh. Con-trario a Rayleigh asumió que la energía de intercambiada entre la radiación y la materia debía serdiscreta. Postuló que la energía de la radiación de frecuencia emitida por una carga oscilatoriapodía tener únicamente múltiplos de hν, donde h es una constante universal y hν es la energíade un “cuanto” de radiación. Adicionalmente ν es la frecuencia de oscilación de una carga en la

12 Capítulo 2. Marco teórico

cavidad y a su vez de la radiación emitida por esta. Este postulado cambia la forma de encontrarla energía promedio de una integral a una suma sobre n.

〈E〉 =

∑∞n=0 nhν exp

{− nhν

kBT

}∑∞

n=0 exp{− nhν

kBT

} =hν

exp{

hνkBT

}− 1

(2.10)

Al remplazar en la fórmula para densidad de energía de Rayleigh se obtiene:

u(ν, T ) =8πν2

c30

hν

exp{

hνkBT

}− 1

(2.11)

Que es conocida como la Distribución de Planck y que tiene ajuste exacto con distribucionesde radiación experimentales. El valor de h, conocido ahora como constante de Planck, se obtienede hacer ajuste a los datos experimentales. La distribución de Planck se puede reescribir paraobtener la densidad de energía por longitud de onda:

u(λ, T ) =8πhc0

λ51

exp{

hc0λkBT

}− 1

(2.12)

Esta última es de gran importancia en el estudio de las estrellas pues el espectro de emisiónsigue una distribución de cuerpo negro, con lo cual es posible entonces encontrar una tempera-tura aproximada para esta. Si bien con la ley de Wien también es posible, como se muestra enla figura 2.2 esta falla para temperaturas típicas de estrellas. Si bien la distribución de Planck entérminos de la longitud de onda permite tener información de la “superficie” de emisión, comoestas están compuestas de gas es necesario tener en cuenta la interacción de la radiación emitidapor el “cuerpo negro” con el gas que lo cubre.

2.3. Interacción de la luz y la materia

Aproximadamente en 1805 William Wollaston pasó luz del sol a través de prismas paraproducir un espectro como el de un arcoíris. Descubrió que este no era en apariencia del todocontinuo pues tenía líneas negras donde la luz del sol había sido absorbida en longitudes deonda específicas. Para 1814 el astrónomo, óptico y físico alemán Joseph von Fraunhofer habíacatalogado 475 de estas líneas en el espectro del sol. Fraunhofer determinó que la longitud deonda de una de las líneas negras más prominentes corresponde a la longitud de onda de la luzamarilla emitida cuando se arroja sal a una llama.

2.3. Interacción de la luz y la materia 13

Los fundamentos de la espectroscopía moderna fueron establecidos por Robert Bunsen yGustav Kirchhoff. El mechero diseñado por Bunsen produce una llama sin color (en luz visible),lo que lo hace ideal para estudiar espectros obtenidos al quemar elementos. Bunsen y Kirchhoff

diseñaron un espectrómetro que pasa la luz de la llama a través de un prisma para ser analizado.Además de identificar 70 líneas de vapor de hierro con 70 líneas en el sol publicaron su tra-bajo titulado Chemical Analysis by Spectral Observations en donde desarrollan la idea de quecada elemento produce su propio patrón espectral. Kirchhoff resumió la producción de líneasespectrales en tres leyes (Carroll y Ostlie, 2007):

Un gas denso y caliente produce un espectro continuo sin líneas negras espectrales.

Un gas difuso y caliente produce líneas espectrales (líneas de emisión).

Un gas difuso y frio frente a una fuente que produce un espectro continuo genera líneasnegras espectrales (líneas de absorción) en el espectro continuo.

Si bien el gas en una estrella no se puede considerar frío para estándares de la tierra, elfenómeno descrito en la tercera ley de Kirchhoff es utilizado para identificar elementos en lasestrellas, velocidades radiales y en este estudio, temperatura.

2.3.1. Modelo semi-clásico del átomo de Bohr

Si bien en la actualidad el modelo de Bohr ha sido remplazado por el de Schrödinger quedescribe a los electrones por su función de estado que representan probabilidad, el modelo deBohr permite hacer una descripción adecuada para comprender el origen de los valores discretosobtenidos en los espectros de emisión y absorción.

Bohr parte de un modelo en el que los electrones orbitan el núcleo del átomo. Clásicamentela órbita no es estable pues un electrón que sufre aceleración emite radiación. Bohr postula queal igual que existe un cuanto para la energía E = nhν, el valor de momento angular que puedetener un electrón en un átomo también está cuantizado y que son las órbitas con estos valores lasson estables. Para probar su modelo asume que en el átomo de hidrógeno el momento angularsolamente puede tener valores n~. A partir de esto y tomando las energías cinéticas y potencialeléctrica de forma clásica e introduciendo la cuantización del momento angular encuentra queel radio de la órbita y la energía del electrón en un nivel n cumplen las ecuaciones:

rn =4πε0~

2

µe2 n2 (2.13)

En = −µe4

32π2ε20~

2

1n2 (2.14)

14 Capítulo 2. Marco teórico

Al valor que acompaña el n2 se le conoce como el radio de Bohr a0. Si bien el modelo deBohr viola el principio de incertidumbre pues asigna momento y posición precisos al electrón,su predicción de energía y radio corresponden a la energía y valor esperado del radio predichoen el planteamiento de Schrödinger.

La diferencia de energía entre dos niveles es entonces la energía del fotón absorbido o emi-tido cuando un electrón cambia de nivel:

hcλ

=

(−

µe4

32π2ε20~

2

1n2

high

)−

(−

µe4

32π2ε20~

2

1n2−low

)

1λ=

µe4

64π3ε20~

3c0

(1

n2low

−1

n2high

)(2.15)

La ecuación 2.15, con nlow = 2, se ajusta a la perfección con la serie encontrada por JohannesBalmer, que predice las longitudes de onda de las líneas emitidas por el hidrógeno.

Este modelo solamente es posible utilizarlo en átomos hidrogenoides, pues en átomos máscomplejos existen interacciones entre los espines de los electrones, entre el espín y la “órbita”además de apantallamiento. A pesar de sus falencias, el modelo explica la conexión entre losespectros de emisión/absorción y la naturaleza de los átomos y más importante aún, porque cadaátomo tiene un espectro único.

Todos los átomos deben seguir una serie de reglas de selección para conservar el momentoangular y el espín de los electrones cuando estos hacen saltos entre niveles de energía. Si bienincluso en el tratamiento de Schrödinger solamente hay un modelo analítico para el átomo deHidrógeno, es conocido que las funciones de estado de los electrones tienen una serie de númeroscuánticos {n, l, m} que rigen la energía y el degeneramiento (estados con la misma energía peronúmeros cuánticos y por lo tanto funciones de onda diferentes) y que dan origen a los niveles deenergía en los átomos.

2.4. Formación de líneas espectrales

En el año 1901 Annie Jump Cannon consolidó una clasificación estelar que se había estadodesarrollando en Harvard desde los años 1890. La secuencia ‘O B A F G K M’ representa unaescala de temperatura desde las estrellas azules y calientes tipo O hasta las rojizas y frías M,tipos que a su vez tienen subdivisiones desde 0 a 9 (A0-A9).

Las bases físicas de esta clasificación inicialmente resultaron inciertas. Por ejemplo, Vega,

2.4. Formación de líneas espectrales 15

de tipo A0, presenta líneas de absorción para el hidrógeno mucho más fuertes que las observadasen el Sol, de tipo G2. Por otro lado, las líneas de Calcio en el Sol son mucho mayores a las deVega. No se tenía claro si esta diferencia se debe a diferencia en composición química o a latemperatura de la superficie; Vega con una temperatura efectiva en la superficie de Te = 9500 Ky el Sol con Te = 5777 K.

Gracias al entendimiento de la naturaleza cuántica de la luz absorbida y emitida por losátomos fue posible explicar estas diferencias. Las líneas de Balmer por ejemplo requieren, comose mencionó anteriormente, que el átomo de hidrógeno se encuentre inicialmente en el primerestado excitado (n = 2). Se deduce entonces que las diferencias en los espectros de estrellascon diferentes temperaturas se dan por los electrones ocupando diferentes niveles de energíaen los átomos de los gases que las componen. Adicionalmente a estados excitados los átomostambién pueden estar ionizados, el nivel de ionización se denota con numerales romanos, dondeI se usa para átomos neutros, II para átomos que han perdido un electrón y así sucesivamente.Los átomos ionizados también tienen espectros diferentes a su misma especia neutra, pues sereducen las interacciones entre electrones y sus funciones de onda. En la figura 2.3 se muestrala clasificación espectral de Harvard.

Figura 2.3: Clasificación espectral de Harvard adaptado de (Carroll y Ostlie,2007).

Para explicar físicamente esta clasificación es necesario conocer la probabilidad de encontrarátomos con electrones en ciertos niveles de energía y qué cantidad de átomos se encuentran enlos diferentes grados de ionización. La física estadística da respuesta a estas preguntas.

Con la física estadística es posible hacer una descripción de sistemas con gran cantidad departículas sin la necesidad de conocer las propiedades de cada una de ellas y por el contrario

16 Capítulo 2. Marco teórico

utilizar propiedades macroscópicas como la temperatura, presión y densidad. Para un gas enequilibrio térmico la función distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann describe lafracción de partículas con velocidades entre ν y ν+ dν.

nν = n(

m2πkBT

) 32

exp{−

mν2

2kBT

}4πν2dν (2.16)

2.4.1. Ecuación de Boltzmann

Los átomos en un gas ganan y pierden energía cuando colisionan entre ellos. Como con-secuencia de esto la distribución de velocidades en la ecuación 2.16 produce una distribucióndefinida de los electrones en los orbitales atómicos. La distribución sigue un principio funda-mental de la física estadística, los niveles de mayor energía tienen menor probabilidad de estarocupados. Si sa es una serie de números cuánticos que representan un estado con energía Ea, ysb, Eb similarmente para otro estado. La relación entre la probabilidad P(sb) de que el sistemase encuentre en el estado sb y la probabilidad P(sa) de que el sistema se encuentre en el estadosa está dada por:

P(sb)

P(sa)=

exp{−

EbkBt

}exp

{−

EakBt

} = exp{−

Eb − Ea

kBT

}(2.17)

Donde exp{− E

kBT

}se conoce como el factor de Boltzmann.

Como se mencionó anteriormente los estados de energía de los átomos son degenerados;más de un conjunto de números cuánticos pueden tener la misma energía. A cada estado sele asigna un peso estadístico ga, que corresponde al número de estados que tienen la mismaenergía. La relación de encontrar el sistema en cualquiera de los estados con energía Eb, P(Eb)con la probabilidad de encontrar el sistema con cualquiera de los estados de energía Ea, P(Ea)está dada entonces por:

P(Eb)

P(Ea)=

gb

gaexp

{−

Eb − Ea

kBT

}(2.18)

Ya que las atmósferas estelares tienen una enorme cantidad de átomos la relación entre pro-babilidades de estado de energía y la relación entre número de átomos con esas mismas energíases indistinguible, por lo tanto:

2.4. Formación de líneas espectrales 17

Nb

Na=

gb

gaexp

{−

Eb − Ea

kBT

}(2.19)

Esto implica que entre mayor la temperatura mayor la cantidad de átomos en un estado exci-tado. Sin embargo, esta ecuación no es capaz de explicar por sí sola la variación en intensidadesde las líneas. Un ejemplo de esto es que para tener igual número de átomos en el estado base yen el primer estado excitado de un gas de hidrógeno se necesitan temperaturas de 85 000 K, peroel máximo de intensidad para las líneas de Balmer se encuentra en 9520 K.

Figura 2.4: Ocupación relativa del primer estado excitado en el átomo de hidró-geno contra temperatura a partir de la ecuación de Maxwell copiado de (Carroll

y Ostlie, 2007).

2.4.2. Ecuación de Saha

La ecuación de Saha permite conocer la relación entre el número de átomos en un estado deionización i+ 1 e i. Sí el átomo se encuentra en su estado base la energía necesaria para arrancarun electrón es χi. Sin embargo, como se mencionó previamente no todos los átomos están en elnivel base de energía, y por lo tanto χi es menor para los átomos en estados excitados. Para teneren cuenta esta distribución de estados se hace la función de partición Z. Si E j es la energía delnivel j con degeneramiento g j, la función de partición de un estado ionizado i es:

Zi =∞∑

j=1

g j exp{−

E j − Ei

kBT

}(2.20)

18 Capítulo 2. Marco teórico

La fracción de átomos en un estado inicial de ionización i y su siguiente estado de ionizacióni + 1 es:

Ni+1

Ni=

2Zi+1

neZi

(2πmekBT

h2

) 32

exp{χi

kBT

}(2.21)

La ecuación 2.21 es la ecuación de Saha. Ya que en el proceso de ionización se produceun electrón libre es de esperarse que la densidad de electrones haga parte de la relación. Ladensidad de electrones libre es inversamente proporcional al número de átomos ionizados, puesmás electrones aumentan la posibilidad de que sean nuevamente incorporados a los iones. Elnúmero 2 refleja los dos posibles espines del electrón libre.

Figura 2.5: NII/Ntot para el hidrógeno a partir de la ecuación 2.21 donde nekBT =Pe = 20 N/m2 en función de la temperatura copiado de (Carroll y Ostlie, 2007).

2.4.3. Combinación de las ecuaciones de Saha y Boltzmann

Al combinar la ecuación de Boltzmann con la ecuación se Saha se describen los fenómenosque compiten en determinar el número de átomos en cierto estado excitado, que a su vez deter-mina cuanta luz será absorbido por estos. La ecuación de Boltzmann muestra cómo al aumentarla temperatura aumenta la cantidad de átomos en estados excitados, mientras que la ecuación deSaha reduce la cantidad de átomos disponibles pues el número de átomos ionizados reduce lapoblación disponible para cierta línea. Si bien en la Figura 5 el máximo de población de átomoses aproximadamente de tan solo 8,5 × 10−6, debido a la enorme cantidad de gas en una estrellaestas líneas pueden ser observadas.

2.5. LDRs 19

Figura 2.6: Fracción de átomos de hidrógeno en el primer estado exitado frente alnúmero total de átomos a partir de las ecuaciónes 2.19 y 2.21 con Pe = 20 N/m2

copiado de (Carroll y Ostlie, 2007).

Si bien la figura 2.6 representa bien el comportamiento de una línea para un elemento estano es igual en atmósferas estelares. Esto se debe principalmente al componente de densidadde electrones en la ecuación de Saha. Mayor cantidad de elementos con diferentes energías deionización aumentan la densidad de electrones y por lo tanto hace más difícil la ionización. Sibien la figura 2.7 permite hacer una visualización de por qué para diferentes clases espectrales seobservan diferentes líneas con diferentes intensidades estas también dependen en cierta medidade la composición química de la estrella y la abundancia relativa de los diferentes elementos quepueden aportar a la ionización.

Cabe añadir que la ecuación de Saha solamente se puede aplicar cuando el gas se encuen-tra en equilibrio termodinámico, de forma que la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann sea aplicable. Adicionalmente la densidad del gas debe ser menor que aproxima-damente 1 kg/m3 pues la cercanía de iones puede distorsionar los orbitales atómicos y cambiarlas energías de estos, lo que produce ensanchamiento de las líneas espectrales.

2.5. LDRs

A pesar de los factores que cambian las distribuciones presentadas en la Figura 2.7, en estase evidencia cómo se relaciona la relación de profundidad de parejas de líneas espectrales conla temperatura. Es fácil observar que en el rango de temperatura que se espera en Antares, entre3000 y 4000 K las relaciones entre líneas de Calcio neutro, Calcio una vez ionizado y Hierro

20 Capítulo 2. Marco teórico

Figura 2.7: Dependencia de la intensidad de las líneas espectrales con la tempera-tura copiado de (Carroll y Ostlie, 2007).

neutro presentan variabilidad que puede ser útil para determinar la temperatura. Se utilizan LDRsy no intensidades de líneas únicas pues como se observa estas pueden tener la misma intensidadpara diferentes temperaturas, además de depender de la resolución espectral de los instrumentos.

Es importante señalar que la temperatura de una estrella no es la misma en todas sus regionesy es por esto que se hacer una distinción de acuerdo a el proceso físico que la describe (Carrolly Ostlie, 2007):

La temperatura efectiva se obtiene a partir de la Ley de Stefan-Boltzmann (Eq. 2.4) yestá definida para un nivel específico de la estrella.

La temperatura de excitación está definida por la ecuación de Boltmann (Eq. 2.19).

La temperatura de ionización está definida por la ecuación de Saha (Eq. 2.21).

La temperatura cinética se obtiene de la distribución de Maxwell-Boltzmann (Eq. 2.16).

La temperatura de color se obtiene de ajustar la forma del espectro continuo de la estrellacon la función de Planck(Eq. 2.12).

En este orden de ideas la temperatura medida por los LDRs corresponde tanto a la de excita-ción como a la de ionización, y por las condiciones de validez de la ecuación de Saha, también

2.5. LDRs 21

a la cinética. Adicionalmente cabe mencionar que esta depende del estado de las especies quí-micas de la pareja que se utilice. Así como al medir velocidad radial por efecto Doppler se midela velocidad del conjunto, al medir la temperatura por este método se tiene la información della región que ocupan los gases y no de una profundidad específica. Adicionalmente este métododepende de que ambos gases en la pareja estén a la misma temperatura, lo que se espera sucedaen las mismas regiones; la velocidad radial de las líneas resulta útil pues se supone que si ambaslíneas de una pareja tienen una velocidad similar el gas que las produce se debería encontrar enla misma región.

El primer ejemplo de la utilidad de los LDRs para el estudio de temperatura en las estrellas sepresenta en (Gray y Brown, 2001). Como se mencionó previamente, en este estudio se utilizaronestrellas estables con temperaturas conocidas. A los espectros de estas estrellas se les hace lareducción para normalizar el espectro, identificar líneas de interés, medir su profundidad y conesta calcular LDRs de parejas seleccionadas. A los LDRs calculados se les hace una correcciónque depende de su metalicidad y su magnitud absoluta (que está relacionada con la gravedadsuperficial) pues como se mostró con anterioridad, la abundancia a de los elementos y la presióndel gas afectan las intensidades de las líneas.

En la figura 2.8 se muestran las relaciones entre índices de color y LDRs corregido de dosparejas de líneas de las estrellas del programa de observación contra los índices de color B − Vy R − I. A partir de estas relaciones es posible pasar de un LDR de esas parejas específicas aíndices de color, que pueden después ser traducidas a temperatura utilizando las relaciones en lafigura 2.9.

Figura 2.8: LDRs corregidos contra índices de color B − V y R − I copiado de(Gray y Brown, 2001).

22 Capítulo 2. Marco teórico

Figura 2.9: Relación entre temperatura e índices de color para las estrellas delprograma de (Gray y Brown, 2001).

En el otro estudio mencionado, (Catalano y col., 2002), se realiza en esencia el mismo pro-cedimiento con una muestra de estrellas diferente, pero adicionalmente miden la temperaturade varias estrellas utilizando las calibraciones encontradas. En la figura 2.10 se muestran lastemperaturas calculadas a partir de nueve parejas de líneas diferentes LDR. Si bien no todascoinciden, ’un rango de temperatura de ≈ 200 K para objetos a distancias atronómicas es unmuy buen estimado y es suficiente para observar variaciones e identificar patrones’ (Catalanoy col., 2002).

2.5. LDRs 23

Figura 2.10: Temperatura efectiva para VY Ari a partir de LDR copiado de (Cata-lano y col., 2002).

25

Capítulo 3

Resultados

En esta sección se muestra en primera instancia los promedios y desviación estándar para laprofundidad de línea y velocidad de las líneas y qué tan frecuentes son en los datos. Después,las intensidades de líneas espectrales teóricas para las líneas de hierro y otros elementos encon-tradas en los espectros de Antares. De estas se seleccionan algunas parejas de líneas y se lescalculan LDR teóricos que se relacionan cada uno con una temperatura. Para estos datos se en-cuentran parámetros para un modelo polinómico de cuarto orden para la temperatura en funciónde LDR para las parejas de líneas encontradas. Con estos modelos se encuentra la temperaturade Antares a partir de los LDRs calculados con espectros medidos. Adicionalmente se muestranlos diagramas de temperatura contra velocidad.

3.1. Análisis intensidad y frecuencia de líneas identificadas

En esta sección se muestran los datos de profundidad de línea, velocidad radial y porcentajede los espectros donde es identificada cada línea.

26 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.1: Profundidad promedio de las líneas identificadas. Las barras de errorrepresentan una desviación estándar de la muestra.

Si bien la profundidad va a ser relativa a la normalización del espectro, es de esperarse queaquellas con menor profundidad tengan una relación señal ruido mayor a las más profundas.Mientras la profundidad sea tal que se identifique la línea, líneas menos profundas implicanmenor contribución del ruido propio de los instrumentos. En la figura 3.1 se ve que las líneasNa 6155, Si 6156, FeC 6165 y Co 6250 son las de menor profundidad, y la profundidad de laslíneas no supera 0,45. De las líneas mencionadas solamente fue útil Si 6156.

Figura 3.2: Velocidad radial promedio (absoluta) de las líneas identificadas. Lasbarras de error representan la variación de la muestra.

En la figura 3.2 se grafican las velocidades promedio de las líneas para buscar parejas quetengan velocidades similares. Esto ya que es de esperarse que el gas que las genera esté aproxi-madamente en el mismo nivel de la fotosfera de la estrella. Esto es importante pues al medir latemperatura con dos líneas si están en niveles diferentes de la fotosfera los LDRs pierden validezpues estos asumen que ambos gases están a la misma temperatura.

3.2. Escala de temperatura y selección de parejas 27

Figura 3.3: Porcentaje de los espectros donde se identifica cada línea.

En la figura 3.3 se observa que la gran mayoría de las líneas fueron identificadas en másdel 98 % de los espectros. Las de menos frecuencia son las de Silicio 6155, Ca 6156 y FeC6158, que están en alrededor del 90 % de los espectros. Estas son a su vez la líneas de menorprofundidad, lo cual puede ser la causa de la menor tasa de detección.

3.2. Escala de temperatura y selección de parejas

Para generar los datos a partir de VALD se utilzó log g ≈ 0 (Catalano y col., 2002), micro-turbulencia de = 9.5 km s−1 (Ohnaka y col., 2013), los intervalos 6151 Å − 6201 Å y 6210 Å −6255 Å, profundidad normalizada mínima de 0,05 y temperaturas desde 3500 K a 4250 K enintervalos de 250 K.

En las figuras 3.4 y 3.5 se muestran las intensidades teóricas de las líneas en los espectrosde Antares generadas por VALD. Se separan entre líneas de hierro y de otros elementos para serconsistentes con la forma en que fueron entregados los datos y facilitar la lectura.

28 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.4: Profundidad de las líneas de hierro identificadas en Antares contratemperatura según VALD.

En la figura 3.4 se puede observar que todas las líneas de hierro aumentan su profundi-dad dentro del rango de 3500K a 4250K. Las dos líneas con mayor pendiente son Fe B y FeC, que adicionalmente tienen menor profundidad que el resto. Una pendiente alta es deseablepues permite mejor resolución ya que implica mayor variación de LDR dado un cambio en latemperatura.

3.2. Escala de temperatura y selección de parejas 29

Figura 3.5: Profundidad de las líneas de otros elementos identificadas en Antarescontra temperatura según VALD.

Dentro del rango de temperatura de interés, en la figura 3.5, se observa que la línea de Si6155,13 aumenta, mientras que las líneas de Ca A 6156,02 y Na 6154,21 disminuyen con latemperatura. Las demás líneas presentan muy poca variación en el rango de interés y por lotanto no son útiles para el estudio.

Para mayor resolución se busca que una aumente y otra disminuya, para así lograr un mayorcambio en el LDR dado un cambio en la temperatura. En las figuras anteriores se observan seiscandidatos para la medición. Las líneas Fe A, Fe B, Fe C y Si aumentan con la temperaturamientras que Na y Ca A disminuyen. Con estas líneas es posible hacer ocho parejas de LDR.Como se muestra en la figura 3.3 las líneas Si, Ca A y Fe C son las menos frecuentes en losespectros, pero de todos modos la de menor frecuencia, Fe C, es identificada en el 89,7 % delos espectros lo que no reduce la muestra de manera significativa. El tamaño de la muestra paracada LDR se reducirá al número de espectros en los que se identifiquen ambas líneas.

En la figura 3.6 se muestran las líneas seleccionadas con sus longitudes de onda en reposocorrespondientes.

30 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.6: Parejas de líneas seleccionadas y sus correspondientes longitudes deonda.

3.3. LDRs de las líneas seleccionadas

En las figuras 3.7 a 3.14 se muestran los LDRs de las parejas seleccionados en los espectrosde Antares. Contrario a lo que se esperaba dado los resultados de otros estudios no se observa uncomportamiento oscilatorio. Durante el proceso de reducción de los datos se resta a los espectrosel ruido de fondo, por esto las mayores fuentes de error sobre los datos son la relación señal-ruido (S/N por sus siglas en inglés) (Rodríguez D., 2018).

Figura 3.7: LDR calculado para la pareja NaFeA.

3.3. LDRs de las líneas seleccionadas 31

Figura 3.8: LDR calculado para la pareja NaFeB.

Figura 3.9: LDR calculado para la pareja NaFeC.

Figura 3.10: LDR calculado para la pareja NaSi.

32 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.11: LDR calculado para la pareja CaFeA.

Figura 3.12: LDR calculado para la pareja CaFeB.

Figura 3.13: LDR calculado para la pareja CaFeC.

3.4. Calibración Temperatura 33

Figura 3.14: LDR calculado para la pareja CaSi.

3.4. Calibración Temperatura

En la figura 3.15 se muestra los LDR teóricos con su línea de ajuste y los intervalos deconfianza de una desviación que son utilizados para calcular la incertidumbre de la temperatura yen la figura 3.16 los valores para los coeficientes. Como se mencionó previamente, este ajuste seobtiene por medio de la función polyfit para las parejas de hierro y un ajuste logarítmico para lasparejas con silicio pues los modelos polinómicos fallan en el ajuste por el fenómeno de Runge.De la función polyfit se obtiene también una estructura de MATLAB que es utilizada por lafunción polyval para estimar las incertidumbres de las temperaturas calculadas. Los coeficientescorresponden al modelo de la ecuación 3.1.

Para hacer el ajuste logarítmico se construyó un programa de Cadenas de Markov de MonteCarlo (MCMC por sus siglas en ingles). Dada la naturaleza aleatoria del método en cada vez quese utiliza el método este arroja una pareja de parámetros diferentes. Se utilizó esta propiedad paraestimar la incertidumbre de los parámetros, para esto se corrió el algoritmo de MCMC 500 vecesy los resultados fueron guardados en una lista, el valor del parámetro se toma como el promediode la lista de cada uno y la incertidumbre como una desviación estándar. Los coeficientes parael modelo corresponden a la ecuación 3.2 y su incertidumbre se calcula de acuerdo a la ecuación3.3.

34 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.15: Modelos de LDR a temperatura para las líneas seleccionadas con susintervalos de confianza.

3.5. Temperatura Encontradas 35

Figura 3.16: Coeficientes de ajuste para los modelos LDR a temperatura.

Cabe resaltar de la figura 3.15 la gráfica que corresponde a la pareja CaSi las líneas delintervalo de confianza no se ven. Esto se debe a que la forma en que el algoritmo utilizadopara evaluar la incertidumbre se basa en la variación en los coeficientes encontrados en cadaiteración, variación que fue muy pequeña para estos datos pues tienen una buena aproximaciónal modelo en la ecuación 3.2, lo que se traduce en una incertidumbre de aproximadamente 3 K ;este es un caso donde la incertidumbre sobre la medida de LDR tendría mayor peso.

T = a(LDR)4 + b(LDR)3 + c(LDR)2 + d(LDR) + e (3.1)

T = a ln LDR + b (3.2)

δT =√(ln LDRδa)2 + (δb)2 (3.3)

3.5. Temperatura Encontradas

En las figuras 3.17 a 3.24 se muestran las temperaturas calculadas para los LDRs encontra-dos utilizando las funciones de las figuras 3.15 y 3.15 utilizando polyval o el modelo logarítmicode la ecuación 3.2 para las líneas de Si. Las temperaturas calculadas con parejas de Sodio con-sistentemente tienen menor temperatura, pero adicionalmente la de NaFeC que se muestra enla figura 3.19 reporta temperaturas menores a 3500 e incertidumbre que llega al cero absoluto.Al comparar la figura 3.9 con el rango de LDR esperado en el ajuste para la pareja en la figura3.15 es evidente que los valores de LDR en Antares son mucho mayores, lo que implica menortemperatura, lo que explica los valores e incertidumbres.

36 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.17: Temperatura calculada para pareja NaFeA.

Figura 3.18: Temperatura calculada para pareja NaFeB.

Figura 3.19: Temperatura calculada para pareja NaFeC.

3.5. Temperatura Encontradas 37

Figura 3.20: Temperatura calculada para pareja NaSi.

Figura 3.21: Temperatura calculada para pareja CaFeA.

Figura 3.22: Temperatura calculada para pareja CaFeB.

38 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.23: Temperatura calculada para pareja CaFeC.

Figura 3.24: Temperatura calculada para pareja CaSi.

3.5.1. Histogramas temperatura

Como no se observa un patrón claro en la temperatura se hacen los histogramas de tempera-tura para las parejas de Calcio, que se muestran en la figura 3.25. En los histogramas se observandistribuciones con valor máximo central, aproximadamente normales. Los histogramas permitenver también de forma más clara la dispersión y el rango de las temperaturas encontradas.

3.5. Temperatura Encontradas 39

Figura 3.25: Histogramas de temperatura para las parejas de Calcio

3.5.2. Diagramas temperatura contra velocidad radial

En la figura 3.26 se muestran los datos de temperatura con la velocidad radial respecto aAntares a partir de la velocidad calculada por Rodríguez D. (2018) para las parejas de Calcio.Ya que cada línea tiene asociada una velocidad radial diferente se utiliza el promedio de las dos.Para calcular la velocidad radial respecto a Antares se utiliza el valor de velocidad promediode la estrella de 3.5 km s−1 (Simbad_Antares). La velocidad radial respecto al valor promediopermite saber si la estrella se encuentra en una etapa de expansión o contracción.

En estos diagramas se buscaba observar ciclos de convección como las observadas en Be-telgeuse por Gray (2008) que se muestran la figura 3.27. Cabe destacar que en esta se muestraúnicamente una temporada de observación mientras que en la figura 3.26 hay dos completas yel comienzo de una tercera. La diferencia en el número de datos se debe principalmente a ladisponibilidad de tiempo de observación en la Universidad.

40 Capítulo 3. Resultados

Figura 3.26: Valores de temperatura contra velocidad de la pareja para las parejasde Calcio.

El ciclo que describe un gas profundo y con "baja"temperatura que es calentado por la radia-ción de la estrella y por lo tanto aumenta su temperatura. Al aumentar su temperatura disminuyesu densidad lo que hace que se aleje de la estrella y aumente su velocidad. Una vez llega a unacapa exterior recibe menos radiación de esta y a su vez tiene mayor posibilidad de radiar suenergía, por lo que baja su temperatura. En este punto se hace más denso y cae nuevamentehacia la estrella donde comienza nuevamente el ciclo.

3.5. Temperatura Encontradas 41

Figura 3.27: LDR como función de la velocidad media de las líneas V I 6251.83,Fe I 6252.57, y Ti I 6261.11 para una temporada de observación. Las flechas indi-can la dirección del tiempo. El pánel (f) ilustra el comportamiento genérico inferi-do incluyendo las direcciones de aumento de temperatura y aumento de velocidad.

Copiado de (Gray, 2008)

43

Capítulo 4

Análisis y Conclusiones

4.1. Análisis

Para el análisis a continuación no se toman en cuenta los datos provenientes de la línea desodio pues consistentemente presentan mayor dispersión e incertidumbre. Se evaluó la posibi-lidad de que esta presentara mezcla con otras líneas adyacentes, mas según VALD las líneaspróximas, V 6152.4577 y Si 6155.1343 contra Na 6154.2255, tienen intensidad suficiente comopara ser identificadas. También, en el proceso de reducción de los datos uno de los criterios paraser identificada fue que la forma de la “línea” no presentara deformación que evidenciara mezcla(Rodríguez D., 2018), aunque puede que estén combinadas de forma que parezcan solo una.

En la figura 3.26 que muestran los diagramas de temperatura contra velocidad lo primeroque se observa es que de las cuatro líneas de Calcio tres de ellas están agrupadas alrededorde 4080 K, mientras que la pareja de CaFeC tiene en promedio una temperatura de 3830 K. Elcomportamiento anómalo da evidencia de algún problema con la línea Fe C, pues también en lafigura 3.19 de la pareja NaFeC se observan temperaturas por debajo de los 3500 K, mínimo delos LDRs a partir de VALD. Esta diferencia es posible que sea causada por mezcla de líneas,pues en un rango de ±0.2 Å alrededor de FeC hay tres líneas de TiO de similar intensidad. Otrofactor que puede inducir error es que todas las líneas excepto FeC se encuentran en un rango de6 Å, esto implica que si hay error en la normalización este afecta a FeC de manera diferente alresto de líneas utilizadas.

En la figura 3.26 se puede observar que los datos se agrupan alrededor de un área del espaciode estados dependiendo de si están en un proceso de expansión o contracción. Adicionalmentelos histogramas para temperatura en la figura 3.25 muestran una distribución aproximadamentenormal para la muestra.

Para las temperaturas medidas con las líneas CaFeA y CaFeB la incertidumbre es en prome-dio de 70 K, mientras que para CaSi es en promedio de 80 K. Estos valores corresponden a laincertidumbre en los parámetros en el ajuste polinómico y logarítmico con los datos de VALD,

44 Capítulo 4. Análisis y Conclusiones

sin incluir el propio de los LDRs. Se intentó también un ajuste logarítmico para los datos de Ca-FeA y CaFeB pero este arrojaba incertidumbres mucho mayores. En los datos para estas líneasen la figura 3.15 se observa que entre 3750 K y 4250 K se tiene una concavidad negativa en losdatos, los que los hace malos candidatos para un ajuste logarítmico.

4.2. Conclusiones

Con los datos que se poseen las parejas de líneas CaFeA, CaFeB y CaSi son las más útilespara medición de temperatura en Antares pues son presentan mayor consistencia entre ellas ymenor dispersión para una misma fecha. Por otra parte, las líneas Na y FeC a pesar de ser termo-sensibles no deben ser utilizadas pues presentan valores no compatibles con los modelados porVALD y esto lleva a medidas poco precisas (dispersas) e inexactas (valores muy alejados de lastemperaturas esperadas en una estrella).

Debido a la incertidumbre sobre la temperatura, no fue posible evidenciar una variaciónsignificativa de la temperatura. Para poder encontrar patrones de la oscilación es el tamaño delos periodos en que se agrupen los datos, pues al tener cambios de temperatura de tan solohoras de diferencia se introduce ruido al buscar variaciones en periodos grandes de tiempo.Los datos tomados en el 2016 pueden ser apropiados para este análisis, mas mientras se tenganincertidumbres de alrededor de los 80 K no es será posible hacer afimaciones robustas.

Contrario a lo que se esperaba no se observaron indicios de ciclos convectivos en los dia-gramas de temperatura contra velocidad. Los diversos periodos de oscilación de temperatura enla literatura y encontrados en este estudio no coinciden con los de la velocidad. Para poder ob-servar un patrón de ciclo convectivo la velocidad radial y temperatura deberían tener un periodoal menos similar y tener una diferencia de fase de aproximadamente un cuarto de periodo. Esposible que al agrupar los datos por días o meses aparezca este patrón pero dada la distribuciónde temperatura, al menos en los datos discutidos, esto es poco probable.

Utilizando las calibraciones más confiables se establece una temperatura de (4075 ± 61) K,mayor al reportado en la literatura. El valor de 3570 K reportado por Pugh y Gray (2013) seobtiene a partir de los índices de color, por lo que da información global de la Antares; mientrasque el valor aquí encontrado da información de una capa específica de la atmósfera de Antares.

4.3. Trabajos futuros

Los factores que más contribuyen a la incertidumbre en la temperatura son la calibración deVALD y la variación de los espectros en un mismo día. Para reducir el primero se debería buscarotra referencia en la que sea posible obtener mayor cantidad de puntos teóricos. Gray y Brown,

4.3. Trabajos futuros 45

2001 y Catalano y col., 2002 utilizan espectros de estrellas de temperatura conocida y uniformeen el tiempo para hacer su calibración, para mejorar la incertidumbre sobre las temperaturascalculadas podría replicarse este método, aunque este está sujeto a la posibilidad de conseguirespectros de buena calidad de una gran cantidad de estrellas. En el caso de los espectros sedebería hacer una revisión de las rutinas de reducción y adicionalmente comprobar que estasvariaciones no sean causadas por los instrumentos de medición.

Vale la pena buscar si es posible encontrar patrones en los datos del 2016 o en tomas futuras.Sería también de gran utilidad confirmar las variaciones con periodos similares a los reportadosen la literatura para tener una mayor confianza sobre el método y las medidas.

Ya que el programa de observación de Antares se encuentra aún en proceso es necesariohacer todo el tratamiento de los nuevos espectros tomados desde el 2018. Se deben unificar losmétodos para poder hacer el proceso de medición de velocidad radial y medición de temperaturade forma automatizada. Este último debería ser independiente de la calibración de temperaturay únicamente necesitar los parámetros y modelos que se obtengan como resultado.

En busca de mejorar la calidad de los espectros es posible que sea de utilidad cambiar elrango de longitudes de onda que se mide. Las líneas de TiO en el rango actual pueden generarun pseudo-continuo (por su gran número y proximidad una con la otra) que puede dañar lasmedidas de profundidad al inducir error en la normalización.

47

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