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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARACENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERIAS

Problema de la Jerarquía de lasConstantes de Acoplamiento

en la Base de Invariantes Topológicosde Cobordismos 4-Dimensionales

TESISQUE PARA OBTENER EL TITULO DE

LICENCIADO EN FISICAPRESENTA

FELIX ALBERTO CARDONA MACIELDirector: Dr. Alfonso Manuel Hernández Magdaleno

Invierno, 2011

Dedicado a

mis padres, Félix y Ortencia,

siempre constantes

iii

Un poema

El sueño

La noche nos impone su tareamágica. Destejer el universo,las ramificaciones infinitasde efectos y de causas, que se pierdenen ese vértigo sin fondo, el tiempo.La noche quiere que esta noche olvidestu nombre, tus mayores y tu sangre,cada palabra humana y cada lágrima,lo que pudo enseñarte la vigilia,el ilusorio punto de los geómetras,la línea, el plano, el cubo, la pirámide,el cilindro, la esfera, el mar, las olas,tu mejilla en la almohada, la frescurade la sábana nueva, los jardines,los imperios, los Césares y Shakespearey lo que es más difícil, lo que amas.Curiosamente, una pastilla puedeborrar el cosmos y erigir el caos.

Jorge Luis Borgesde La cifra (1981).

v

Agradecimientos

Deseo agradecer infinitamente al Arquitecto José Luis Márquez Arteaga porquedesde temprana edad despertó en mi el interés por esta bella ciencia, la Física,con sus clases llenas de imaginación y matemática.Mis padres, quienes me han apoyado incondicionalmente en mis estudios y mehan demostrado que con trabajo, dedicación y humildad uno alcanza sus metas.Mil gracias a mis abuelos, Elena y José, así como a mis tíos Javier y Patricia.An meine Deutsche Familie, meine Tanten Olga y Toya, meinen Onkel Herbertund Gerd, Sigrid, Danilo, Erik y Leslie. Mein Sebas und Nadine, immer nebenmir. Danke an alle, meine Deutsche Liebste Familie.A mis profesores de la preparatria 7, Rafael Francisco Flores Zavala, J. EleazarSánchez Valenzuela y José Cruz Gómez Machuca, muchas gracias por en-señarme el camino y oportunidades que ofrecen las Olimpiadas de Física.Deseo agradecer especialmente a los maestros Jesús Ricardo Reyes Ortega yJuan Manuel Márquez por sus recomendaciones en el inicio de mis estudios dematemática abstracta y formas diferenciales. Al maestro Juan Martín Casillasque me dio la oportunidad exponer mis pocos conocimientos y que siempre buscaapoyar a los alumnos en temas académicos.A mi tutor Mario Flores Pérez, que me ha guiado adecuadamente en los pro-cesos académicos y administrativos de mi formación. A Luis Navarrete por suscomentarios a lo largo de la carrera. Al Dr. Fermín Aceves, que siempre apoyalas actividades académicas de sus alumnos.Naturalmente, a mis amigos Francisco de Anda, Mónica Ramírez y JesúsOrendain por su apoyo conceptual durante estos años de aprendizaje. Agradezcoy aprecio los comentarios de gran ayuda de Lázaro Islas y la gran ayuda deAdrián León.Mis tutor de la tesis, el doctor Alfonso Hernández que me ayudó a comprenderen su totalidad el algoritmo explicado aquí.An alle, die das Wissen teilen geniessen.

vii

ResumenLas constantes de acoplamiento de las fuerzas fundamentales de la naturaleza son números

adimensionales que nos dan una idea de qué tan intensa es la interacción. Éstas constantessiguen un orden jerárquico de acuerdo a su magnitud. Primero, buscamos describir tal jerarquíapor medio de un modelo cuya materia prima son las esferas homológicas fibradas de Seifert.A través de un proceso matemático desarrollado con estas esferas homológicas, obtenemos unacuatro-variedad que interpretamos como un modelo de espaciotiempo cuyo invariante reproducecercanamente la jerarquía de las constantes de acoplamiento adimensionales. Segundo, éstasesferas homológicas tienen una representación de nudo y desde ahí les es asociado un Polinomiode Jones (invariante de nudos) que es atractivo para teorías contemporáneas.

ix

Descripción del problema y estructura deltrabajo¿Cómo es que las fuerzas fundamentales se distinguen unas de otras? ¿Qué es lo que hace a

una fuerza tan intensa a distancias muy pequeñas y a otra muy débil a distancias largas? Lasconstantes de acoplamiento son las responsables de que las características de una interacciónsean distintas de otra. Éstas constantes nos dicen el grado de su intensidad y por ello es posibleestablecer una jerarquía, en el sentido de establecer qué interacción es más intensa: interac-ción fuerte, electromagnética, débil, gravitacional y cosmológica. Existen varios problemas dejerarquía, uno de ellos es la masa de los quarks (ya que son considerados como partículas funda-mentales); otro, el del presente trabajo, es el de las constantes de acoplamiento adimensionales.El problema consiste en establecer una entidad matemática (variedad) que describa el estadoactual del Universo con sus interacciones (al menos las que los instrumentos puedan medir) yasí poder comparar las constantes de acoplamiento teóricas, reproducidas en este trabajo, conlas experimentales.En el capítulo 1 explicamos brevemente las características básicas de las fuerzas fundamen-

tales, sus partículas y sus constantes de acoplamiento adimensionales.Después desarrollamos operaciones con esferas homológicas fibradas de Seifert. En el Capítulo

2 aprendemos tres importantes conceptos: empalme de esferas homológicas por medio de laoperación plumbing, matriz de intersección racional característica del empalme y cobordismo4-dimensional.En el Capítulo 3, seleccionamos una familia de esferas homológicas pertinente y obtenemos

de ellas un invariante llamado de Euler. Este invariante nos da la pauta para obtener el primeracercamiento teórico de las constantes de acoplamiento. Después, con un proceso llamado finetuning logramos obtener una mejor familia compuesta de 5 esferas homológicas que al em-palmarlas, siguiendo los procedimientos del Capítulo 1, formamos una variedad 4-dimensional(cobordismo) y al obtener su matriz de intersección racional (invariante topológico) reproducecercanamente esta jerarquía de constantes de acoplamiento adimensionales en su diagonal prin-cipal. Esta 4-variedad es interpretada como el estado actual del Universo, con 5 interaccionesfundamentales.El empalme de dos o más esferas homológicas es de nuevo una esfera homológica, es decir,

el proceso puro de empalme de esferas homológicas es una 3-variedad. De modo que se puedeutilizar la familia de esferas homológicas (con la cual se creo el cobordismo 4-dimensional)para que por medio del empalme, obtengamos una nueva esfera homológica. Todas las esferashomológicas tienen una representación de nudo. En el Capítulo 4, aprendemos cómo obtener larepresentación de nudo para una esfera homológica y nos introducimos rápida y brevemente enteoría de Chern-Simons para obtener una posible aplicación de las esferas homológicas.

xi

Índice general

Dedicado a III

Un poema V

Agradecimientos VII

Resumen IX

Descripción del problema y estructura del trabajo XI

1. Constantes de acoplamiento adimensionales de las fuerzas fundamentales de lanaturaleza 1

2. Operaciones con esferas homológicas 52.1. Esfera homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Esfera homológica fibrada de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Ecuación Diofántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Diagrama de empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Grafos tipo plumbing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6. Espacios de lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7. Fracción Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8. Empalme de esferas por plumbing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9. Decorando el empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.11. Programas en Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.11.1. Programa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11.2. Programa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Reproducción de las constantes de acoplamiento 313.1. Familia de esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Número de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Fine tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Construyendo el Cobordismo 4-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5. Matriz de Intersección Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6. Interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

xiii

Índice general Índice general

4. Aplicación de esferas homológicas 474.1. Esfera homológica como Nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Polinomios de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Breve repaso a las Teorías de Yang-Mills y Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . 554.4. Las esferas homológicas como observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Conclusiones 63

A. Espacios de lentes 65A.1. Representaciones de una Esfera Homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.2. Movimientos de Kirby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

xiv

1 Capítulo 1.

Constantes de acoplamientoadimensionales de las fuerzasfundamentales de la naturalezaSabes hijo, este asunto del amor

es muy potente, muy fuerte.¿Más fuerte que la fuerza de gravedad?

Sí, en cierta forma sí. Yo diría que en estemundo no hay otra fuerza que lo iguale.

Este primer capítulo lo dedicamos a conocer brevemente las características de las FuerzasFundamentales de la Naturaleza. Las constantes de acoplamiento son números adimensionalesque nos dan una idea de qué tan relativamente intensas son dichas fuerzas. Los valores de lasconstantes de acoplamiento adimensionales de las Fuerzas Fundamentales son calculados aquíy comparados con [8].

1

CAPÍTULO 1. CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO ADIMENSIONALES DE LASFUERZAS FUNDAMENTALES DE LA NATURALEZA

Cuadro 1.1.: Interacciones básicas.Nombre p-partícula Emisor/Receptor Intensidad αNuclear Gluón, g Quarks αs = g2

s

~c ≈ 1Electromagnética Fotón, γ Part. cargadas electricamente αe = e2

~c

Débil Bosones Z0,W± m-partículas y fotones αw = g2w

√2m2

p

~cm2w≈ 10−6

Gravitacional ¿Gravitón? m-partículas αg = Gm2p

~c = 5,9×−39

Existen, por convención, cuatro interacciones básicas: gravitacional, electromagnética, fuertey débil. La interacción cosmológica no es aún reconocida como tal. El modelo más viable paracomprender dichas interacciones es el que ofrece la teoría cuántica llamado Modelo Estándar defísica de partículas. De allí que se puede cuantizar las interacciones electromagnética, fuerte ydébil, y aunque no existe aún una teoría cuántica de la gravedad, también puede ser manipuladapor tal modelo, pero cuyos resultados aún no son claros para la comunidad científica.Comenzamos al decir que existen dos tipos de partículas: con masa,m-partículas y portadoras,

p-partícula. Todas las fuerzas entre m-partículas son mediadas a través de interacciones comosigue: una m-partícula emite una p-partícula que a su vez es absorbida por otra m-partícula;esto causa una fuerza entre ambas m-partículas. Algunas veces la emisión o absorción de unap-partícula podría transformar una m-parícula en otra m-partícula. Una p-partícula, además dedesaparecer al ser absorbida, podría desaparecer al crear el par m-partícula/m-antipartícula.Todos estos procesos elementales se desarrollan bajo leyes de conservación.La intensidad de la interacción gravitacional es muy débil en comparación con otra interacción.

En esta, un número muy grande de m-patículas se reunen para producir una fuerza de largoalcance, como los planetas, estrellas y galaxias. Esto es lo que hace que su rango de acción seainfinito. Su partícula portadora aún no ha sido detectada experimentalmente porque porta unacantidad de energía muy pequeña.La interacción electromagnética domina la estructura de la materia desde escalas de átomos

hasta obtejos del tamaño de un asteroide, es decir, rige sobre 15 o 16 órdenes de magnitudlineal. Su p-partícula, el fotón γ, es el único que puede viajar libremente en el espacio portandoenergía e información. Los fotones pueden ser facilmente emitidos y detectados.La función principal de la interacción débil es transformar un quark o un leptón en otro

quark u otro leptón, respectivamente, por emisión de uno de sus tres p-partículas correspon-dientes: bosones vectoriales Z0,W+ y W−. Casi inmediatamente la p-partícula emitida decaeen un par de quark/antiquark o un par de leptón/antileptón. Así, todas las m-partículas (osus antipartículas) están sujetas a la interacción débil así como los fotones y todos los bosonesvectoriales. Su rango de acción es del orden de 10−18 m.Finalmente, la interacción que rige dentro del rango de 10−15 m son las p-partículas que

corresponden a la interacción fuerte llamadas gluones, que mantienen juntos tres quarks paraformar bariones, tal como el protón (que consiste de dos u-quarks y un d-quark, todos dediferente color, lo que hace incoloro al protón). Entendemos por color a un tipo de carga que losquarks portan, carga de color. En contraste con la carga eléctrica, que es de un tipo, la cargade color es de tres diferentes tipos denotados como red R, green G y blue B y sus anti-cargas

2


e µ τ W±

νe

d

u

νµ ντ Z0

s b g

c t γ

Figura 1.1.: Modelo Estándar de partículas elementales.

de color como R, G y B. Cada quark porta uno de los tres tipos de carga de color al igualque el antiquark. La particular combinación de quark/antiquark de la forma RR o GG o BBtiene carga cero, esto es, es incoloro. Un quark y un antiquark, a través del intercambio degluones, forman combinaciones que duran muy poco, llamadas mesones. Los mesones tambiénson incoloros.De las cuatro intensidades de las interacciones α en el Cuadro 1.1, no están normalizadas

tres: αe, αw y αg. Esto no significa que tengan dimensión. De hecho, las intensidades de lasinteracciones normalizadas son las constantes de acoplamiento adimensionales. La propuesta esque

αe = e2

~c→ αe = e2

4πε0~c,

αw =g2w

√2m2

p

~cm2w

→ αw = GF

~c

(mec

~

)2,

αg =Gm2

p

~c→ αg = 8πGm2

e

~c,

donde GF es la constante de Fermi ( GF

(~c)3 =√

2g2w

8m2w

= 1,16637(1)× 10−5 GeV −2) y me la masadel electrón.Comprobando los cálculos para las constantes de acoplamiento adimensionales, al lado de

buenas tablas [1],

Constante de acoplamiento adimensional de la fuerza fuerte αs:

αs = g2s

~cαs ≈ 1.

(1.1)

3


Constante de acoplamiento adimensional de la fuerza electromagnética αe:

αe = e2

4πε0~c

= (1,602× 10−19 C)2

4π(8,854× 10−12 F/m)(1,055× 10−134 Js)(3× 108 m/s)

αe = 0,00729481 ≈ 1137 .

(1.2)

Constante de acoplamiento adimensional de la fuerza débil αw:

αw = GF

~c

(mec

~

)2,

= (1,16637× 10−5 GeV −2)(

(9,11× 10−31 kg)(3× 108 m/s)2

1,6× 10−10 J/GeV

)2

αw = 3,054× 10−12.

(1.3)

Constante de acoplamiento adimensional de la fuerza gravitacional αg:

αg = 8πGm2e

~c

= 8π(6,67× 10−11 m3/kgs2)(9,11× 10−31 kg)(1,055× 10−34 Js)(3× 108 m/s) ,

αg = 6,85× 10−45.

(1.4)

Constante de acoplamiento adimensional de la fuerza cosmológica αc:

αc = ρΛ = ρvacρP≈ 1,48× 10−123 (1.5)

donde la densidad de energía del vacío cosmológico ρΛ está dado en unidades de Planck.

4

2 Capítulo 2.

Operaciones con esferas homológicasLa línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas;

el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito devolúmenes... No, decididamente no es éste, more geométrico, el mejor modo de iniciar mi relato.

Fragmento de El libro de arena,El Libro de Arena, 1975,por Jorge Luis Borges.

En este capítulo, desarrollamos los conceptos y las técnicas básicas de operaciones aplicablesa esferas homológicas. Comenzamos con la construcción de esferas homológicas que bajo ciertascondiciones reciben el nombre de esferas homológicas fibradas de Seifert, cuya representaciónutilizada en esta tesis es a través de grafos. Bajo ciertas operaciones y movimientos podemosempalmar dos esferas cuya frontera y matriz de intersección se analizan.

5

2.1. ESFERA HOMOLÓGICACAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

Figura 2.1.: Esfera homológica de Poincaré resultante al pegar las caras opuestas de un dodeca-hedro. Tomado desde This Week’s Finds in Mathematical Physics, (Week 241) porJohn C. Baez.

2.1. Esfera homológicaSea f : (C3, 0) → (C, 0) una función analítica tal que ∇f(p) 6= 0 en cualquier punto p en

una vecindad del origen excepto en 0, entonces el conjunto de puntos donde la función es nula,estos es, (Y, 0) = ({f = 0}, 0) es llamado una singularidad de superficie normal. La variedadresultante de la intersección de la superficie Y con la 5-esfera de radio ε centrada en el origenes un enlace de singularidad, Σ = Y ∩ S5.

Definición 1. Sean p, q y r números primos relativos, entonces el enlace de singularidad,esto es, la intersección de una 5-esfera de radio ε entorno al cero con la superficie complejaY = xp + yq + zr = 0, es una 3-esfera homológica Σ(p, q, r),

Σ(p, q, r) := {xp + yq + zr = 0} ∩ S5 ⊂ C3. (2.1)

Esta esfera es homeomorfa a la 3-esfera si alguno de los números p, q o r son iguales a 1. Parael caso de {x2 + y3 + z5 = 0} ∩ S5 es la esfera homológica de Poincaré Σ(2, 3, 5). Ver pág. 16 de[2] para más detalles.

2.2. Esfera homológica fibrada de SeifertUna n-esfera homológica fibrada de Seifert Σ(a1, . . . , an) es construida considerando el pro-

ducto de una 1-esfera S1 y una 2-esfera S2 a la que le hemos extraido n-discos disjuntos, esto es,S1×F = S1×S2\int (D2

1 ∪ · · · ∪D2n), que es una 3-variedad orientable y compacta cuya frontera

∂ (F × S1) = ∂ [S1 × S2 \ (D21 ∪ · · · ∪D2

n)] = (∂D2i × S1) se compone de n-toros, i = 1, 2, . . . , n.

Su primer grupo de homotopía consiste de 〈x1, . . . , xn, h| [h, xi] = 1, xaii = h−bi , x1 · · ·xn = 1〉donde los generadores xi son representados por las curvas ∂D2

i según las curvas de frontera deF . Dados n-pares de números enteros (ai, bi), que son primos relativos y ai ≥ 2, pegamos losn-toros sólidos tal que el meridiano del i-mo toro sólido es adherido a una curva en (∂D2

i )× S1

isotópica a ai ·xi+bih. La imagen bajo este proceso de pegado de la curva {0}×S1 ⊂ D2i ×S1 es

6

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.3. ECUACIÓN DIOFÁNTICA

llamada la i-ma fibra singular. La variedadM((a1, b1), . . . , (an, bn)) que obtenemos por esta con-strucción es llamada de Seifert. Los enteros (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) son llamados invariantesde Seifert. Para más detalles, consultar [3] y Sección 1.6 de [4].La variedad de Seifert tiene una matriz asociada

A =

a1 0 . . . 0 b10 a2 0 b2... . . . ...1 1 . . . 1 0

(2.2)

cuyo determinante esdetA = a

∑ bkak

(2.3)

donde a = a1a2 · · · an. Si a∑ bk

ak= 1, la variedad de Seifert es una Z-esfera homológica fibrada

de Seifert.

Ejemplo 1. Particularmente, si i = 1, 2 y 3, la Z-esfera homológica de Seifert tiene una matrizasociada

A =

a1 0 0 b10 a2 0 b20 0 a3 b31 1 1 0

cuyo determinante a1a2a3

(b1

a1+ b2

a2+ b3

a3

)= b1a2a3 + b2a1a3 + b3a1a2 = 1, es decir

detA =3∑

i<j,k 6=i 6=jaiajbk. (2.4)

Ejemplo 2. Sin pérdida de particularidad, la 3-esfera homológica Σ(5, 6, 7) tiene una matrizasociada cuyo determinante es 42b1 + 35b2 + 30b3 = 1. Una manera de cumplir tal relación esque b1 = 3, b2 = −1 y b3 = −3. Una propuesta de algoritmo para encontrar las constantes b′is,i = 1, 2, 3, es explicado en la siguiente sección.

2.3. Ecuación DiofánticaDada una 3-esfera homológica Σ(a1, a2, a3), le es asociada una ecuación diofántica b1a2a3 +

b2a1a3 + b3a1a2 = 1 cuya tripleta (b1, b2, b3) no es única para cumplir tal relación. El siguientealgoritmo facilita su solución al lado del ejemplo 42b1 + 35b2 + 30b3 = 1.

Ejemplo 3. 1. Identifica el menor de los tres coeficientes y despeja su variable. En este caso,

b3 = 1− 42b1 − 35b2

30 .

7

2.3. ECUACIÓN DIOFÁNTICACAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

2. Aisla las variables con coeficientes enteros, pueden ser positivos o negativos.

z = 1− 30b1 − 12b1 − 30b2 − 5b2

30 = −b1 − b2 + 1− 12b1 − 5b2

30 .

3. Nombra a la fracción como α para tener una nueva ecuación diofántica.

α = 1− 12b1 − 5b2

30 → 30a = 1− 12b1 − 5b2.

4. Identifica el coeficiente más pequeño y despeja su variable.

b2 = 1− 12b1 − 30α5 .

5. Aisla las variables con coeficientes enteros.

y = −2b1 − 6α + 1− 2b1

5 .

6. Nombra a la fracción como β, identifica su coeficiente más pequeño y despeja su variable.

β = 1− 2b1

5 → 5β = 1− 2b1 → 2b1 = 1− 5β → b1 = 1− 5β2 .

7. Aisla nuevamente.b1 = −2β + 1− b

2 .

8. Nombra a la fracción como γ, identifica el coeficiente más pequeño y despeja

γ = 1− β2 → 2γ = 1− b→ b = 1− 2c.

9. Elimina algunas variables nuevas sustituyendo.

b1 = 1− 5β2 = 1− 5(1− 2γ)

2 = −2 + 5γ,

b2 = 1− 12b1 − 30α5 = 1− 12(−2 + 5γ)− 30α

5 = 5− 6α− 12γ,

b3 = 1− 42b1 − 35b2

30 = 1− 42(−2 + 5γ)− 35(5− 6α− 12γ)30 = −3 + 7α + 7γ.

Donde ahora, nuestro sistema de tres variables se reduce a uno de dos, de modo que paracualquier α y γ enteros siempre se cumple la relación 42(−2 + 5γ) + 35(5−6α−12γ) + 30(−3 +7α + 7γ) = 1.

Ejemplo 4. La esfera homológica Σ(2, 3, 7) tiene asociada la ecuación diofántica 21b1 + 14b2 +6b3 = 1 con soluciones como sigue.

8

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.3. ECUACIÓN DIOFÁNTICA

1. Identificamos la variable con el menor coeficiente: b3 y despejamos,

b3 = 1− 21b1 − 14b2

6 . (2.5)

2. Aislamos,

b3 =1− 18b1 − 3b1 − 12b2 − 2b2

6=−18b1 − 12b2 + 1− 3b1 − 2b2

6b3 =− 3b1 − 2b2 + 1− 3b1 − 2b2

6 .

3. Renombramos la nueva fracción para obtener una nueva ecuación diofántica,

α =1− 3b1 − 2b2

66α + 3b1 + 2b2 = 1.

4. Identificamos la variable con el menor coeficiente: b2 y despejamos,

b2 = 1− 6α− 3b1

2(2.6)

5. Aislamos,

b2 =1− 6α− 2b1 − b1

2=−6α− 2b1 + 1− b1

2b2 =− 3α− b1 + 1− b1

2

6. Remonbramos la nueva fracción para obtener una nueva ecuación diofántica,

β =1− b1

22β + b1 = 1,

7. donde b1 es la variable con el menor coeficiente y además es solución al sistema,

b1 = 1− 2β. (2.7)

8. Sustituimos (2.7) en (2.6),

b2 =1− 6α− 3(1− 2β)2

b2 =− 1− 3α + 3β,(2.8)

9

2.4. DIAGRAMA DE EMPALMECAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

9. y finalmente, sustituimos (2.7) y (2.8) en (2.5) para tener

b3 =1− 21(1− 2β)− 14(−1− 3α + 3β)6

b3 =− 1 + 7α.(2.9)

Así, la tripleta de las ecuaciones (2.7,2.8,2.9) es solución de 21b1 + 14b2 + 6b3 = 1 ∀α, β ∈Z.

El Programa 1 de la Subsección 2.11.1, desarrollado en Mathemática c©, facilita la soluciónde la ecuación diofántica.

2.4. Diagrama de empalmeUn diagrama de empalme ∆ es un grafo de árbol finito cuyos vértices suelen ser de tres tipos:

vértices con tres aristas adyacentes son llamados nodos. Cada nodo corresponde a una esferahomológica fibrada de Seifert Σ(a1, . . . , an). Las aristas adyacentes a un nodo son ponderadaspor a1, . . . , an, si éstos corresponden a fibras excepcionales. Cada nodo porta un signo (+) siΣ(a1, . . . , an) es orientado como un enlace de singularidad y un signo (−) en otro caso. Paramás detalles, consultar [5], pág. 148.

· · ·a32a21 a31 a22 a3r a2r

a11 a12 a1r

Figura 2.2.: Diagrama de Empalme ∆r.

Los otros dos tipos de vértices tienen solo unaarista adyacente y no son de nuestro interés.Usaremos diagramas de empalme ∆r con solonodos de valencia n = 3, como en la Figura2.2. Cada fibra tiene dos subíndices, air, dondei = 1, 2, 3 índica el número de la fibra excep-cional y r el número de esferas homológicas. Losdiagramas de empalme son usados para clasificarla topología de enlaces de singularidad de esferasde Z-homología, [5]. Los diagramas de empalme que se representan de esta manera son precisa-mente los que tienen pesos positivos y coprimos por parejas y con todos los determinantes dearistas siendo positivos. El determinante de arista det (emn) de una arista junto a dos nodos esel producto de dos pesos en la arista menos el producto de los pesos adyacentes a esta arista,es decir,

det (emn) = a3na3m − a1na2na1ma2m. (2.10)

Ejemplo 5. El determinante de arista para el empalme de dos esferas homológicasΣ1(a1, a2, a3) = Σ2(2, 3, 7) y Σ2(a1, a2, a3) = Σ2(2, 5, 11) es

det(e21) = a31a32 − a11a21a12a22

= (7)(11)− (2)(3)(2)(5)det(e21) = 17.

10

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.5. GRAFOS TIPO PLUMBING

2.5. Grafos tipo plumbing

Figura 2.3.: Ejemplo de grafo.

Un grafo simple es una colección de líneas (aristas) y pun-tos (vértices) consistente en la unión de vértices por aristas,como en la Figura 2.3. Un grafo tipo plumbing Γ es un grafoque no tiene ciclos (ver Figura 2.4) con la característica deque a cada uno de sus vértices vi se le asocian un entero ei,i = 1, . . . , s, y un D2-haz Y (ei) sobre S2 con el número deEuler ei. Si el vértice vi tiene di aristas que lo conectan en elgrafo Γ, escogemos di discos disjuntos en la base de Y (ei) yllamamos al haz del disco sobre el j-mo disco como Bij, demodo que Bij = D2 × D2. Entonces para dos vértices vi y

vj que son conectados por una arista identificamos Bij con Bkl al intercambiar la base y fibrascoordenadas. A esta operación se le llama plumbing cuyo resultado de aplicación sobre Γ es una4-variedad suave y simplemente conexa P (Γ). Su frontera ∂P (Γ), que denotaremos comoM(Γ),es usualmente llamada 3-variedad tipo plumbing. Ver [6, 7].Su segundo grupo de homología, H2(P (Γ),Z) tiene una base natural representada por las

secciones-cero de los haces con plumbing. Notamos que todas esas secciones son 2-esferas embe-bidas que pueden ser orientadas en tal manera que la forma de intersección de P (Γ) será dadapor la matriz A cuyas entradas

aij =

ei si i = j ;1 si i está conectado con j por una arista;0 otro caso.

(2.11)

Ejemplo 6. El grafo tipo plumbing Γ de la Figura 2.4 tiene una forma de intersección

A =

e1 1 0 0 01 e2 1 1 00 1 e3 0 00 1 0 e4 10 0 0 1 e5

.

e1

e2

e3

e4

e5

Figura 2.4.: Ejemplo de grafo tipoplumbing Γ.

Sea M = ∂P (Γ) una 3-variedad obtenida por plum-bing de acuerdo al grafo Γ, entonces M es una Z-esferahomológica si y solo si detA(Γ) = ±1. Distintos grafostipo plumbing pueden describir la misma variedad 3-dimensional. De hecho, los grafos tipo plumbing Γ1 yΓ2 describen la misma 3-variedad si y sólo si Γ1 puedeser obtenida desde Γ2 por una secuencia de movimientosllamados de Kirby que se muestran en la Figura A.8 delApéndice A.2.

11

2.6. ESPACIOS DE LENTESCAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

· · ·

· · ·

· · ·

b

tn1

t21

t11

tn2

t22

t12

tnmn

t2m2

t1m1

Figura 2.5.: Grafo en forma de estrella.

2.6. Espacios de lentes

Sea M una 3-variedad fibrada de Seifert sobre S2 con invariantes (b; (a1, b1), . . . , (an, bn)), conai ≥ 2. Puede ser considerado como el límite de la 4-variedad obtenida por plumbing de acuerdoal grafo en forma de estrella de la Figura 2.5.Dada una n-esfera homológica Σ(a1, a2, . . . , an), el cociente ai

bitiene relación con los enteros

tij asociados a cada vértice bajo aibi

= [ti1, . . . , timi ], i = 1, . . . , n donde

[t1, . . . , tk] = t1 −1

t2 −1

· · · − 1tk

. (2.12)

Una variedad de SeifertM es una Z-esfera homológica si y sólo si el determinante de la matrizA(Γ), que es asociado con el grafo tipo plumbing de la Figura 2.5, es ±1, esto es,

− b+n∑i=1

biai

= ±1a, (2.13)

donde a = a1a2 · · · an. Fijamos una orientación en M seleccionando +1 en la ecuación (2.13).

· · ·t1 t2 tn

Figura 2.6.: Cadena 1-d Γ.

Los espacios de lentes son un caso especial de variedadesfibradas de Seifert. Nuestra convención será que un es-pacio de lentes L(p, q) es obtenido por una descomposi-ción de Dehn sobre un nudo trivial1 en S3. Expandiendo−p/q = [t1, . . . , tn] en fracción contínua, obtenemos L(p, q)como la frontera de la 4-variedad obtenida por plumbing en

la cadena Γ de la Figura 2.6. Consultar Apéndice A.

1Del inglés unknot.

12

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.7. FRACCIÓN CONTÍNUA

2.7. Fracción Contínua

Cualquier fracción aibi

es posible descomponer en una fracción contínua con la forma de laecuación (2.12) a través del siguiente algoritmo.

1. Para la fracción aibi, tomamos el entero mayor t1.

2. Restamos t1 −aibi

= a

by tomamos su inverso.

3. Dividimos b

ay tomamos el entero mayor t2 y repetimos nuevamente el ciclo hasta

que obtengamos una fracción de la forma 1tk. Si la fracción es negativa, se tendrá

[−t1,−t2, . . . ,−tk].Enseguida algunos ejemplos.

Ejemplo 7. La fracción 53

1. 53 = 1.6, entonces tomamos 2.

2. Restamos 2− 53 = 1

3y cerramos el ciclo.

De modo que,53 = 2− 1

3 = [2, 3].

Ejemplo 8. La fracción 73

1. 73 = 2.3, entonces tomamos 3.

2. Restamos 3− 73 = 2

3 , su inverso 32 .

3. Dividimos 32 = 1,5, tomamos 2.

4. Retamos nuevamente, 2− 32 = 1

2 y cerramos.

Así,73 = 3− 1

2− 12

= [3, 2, 2].

Sin embargo, también73 = 2− 1

−3= [2,−3].

13

2.8. EMPALME DE ESFERAS POR PLUMBINGCAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

Ejemplo 9. El negativo de la fracción anterior, −73 tiene una descomposición en fracción

contínua de−7

3 = −3− 1

−2− 1−2

= [−3,−2,−2],

pero también de−7

3 = −2− 13

= [−2, 3].

Ejemplo 10. La descomposición en fracción contínua de [±2,±2,±2,±2, ] = ±54 .

Ejemplo 11. Ambas fracciones, 73 y −7

3 tienen representaciones de grafos, como el de la Figura2.6 y que, a través de los movimientos de Kirby (Apéndice A.2) es posible reexpresar [3, 2, 2] como[2,−3] para la primer fracción y [−3,−2,−2] como [−2, 3] para la segunda, respectivamente.

Este tipo de descomposición de las fracciones se llama fracciones contínuas de Hirzebruch-Jung y tienen dos características:

la primera, la descomposición no es única y,

la segunda, ±ab

= [±t1,±t2, . . . ,±tk].

El Programa 2 de la subsección 2.11.2, desarrollado en Mathematica c©, sólo realiza fraccionespositivas, de modo que es sencillo encontrar el negativo.

2.8. Empalme de esferas por plumbing

I Jen e′m

Γ Γ′Figura 2.7.: Enlaces de grafos.en a a′ e′m

Figura 2.8.: Empalme de Γ y Γ′ a travésde los enteros a y a′.

Dadas dos esferas homológicas Σ y Σ′, descritas porlos grafos tipo plumbing Γ y Γ′, es posible empalmar-las por medio de la operación plumbing, a través desus fibras especiales, adhiriendo flechas a tales fibras,Γ y Γ′ reciben el nombre de enlaces de grafos, como semuestra en la Figura 2.7. Se denominan Γ0 y Γ′0 a losgrafos resultantes al remover de Γ el n-mo vértice pon-derado con en y todas sus aristas adyacentes, así comode Γ′ extraer el m-mo vértice ponderado como e′m y to-das sus aristas adyacentes, respectivamente. Con elloy bajo la regla de la ecuación (2.11), podemos obtenerdos enteros a y a′,

a = detA(Γ0)detA(Γ) y a′ = detA(Γ′0)

detA(Γ′) , (2.14)

que usamos para empalmar ambas esferas una vez seleccionadas las fibras especiales, como enla Figura 2.8. La nueva cadena resultante entre en y e′m es un espacio de lentes.

14

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.8. EMPALME DE ESFERAS POR PLUMBING

Ejemplo 12. Aplicar la operación de plumbing a las esferas Σ(2, 5, 7) y Σ(3, 5, 11) a través de lasfibras excepcionales 7 y 11. Para Σ(2, 5, 7) tenemos la ecuación diofántica 35b1 +14b2 +10b3 = 1para la cual b1 = 1, b2 = −1 y b3 = −2 son soluciones. Las fracciones ai

bitienen descomposición

21 = [2], −5

1 = [−5] y −72 = [−4,−2]. Por otro lado, para Σ(3, 5, 11) tenemos 55b1+33b2+15b3 =

1, donde b1 = 1, b2 = −3 y b3 = 3 cumplen con la igualdad. Las fracciones son 31 = [3],

−53 = [−2,−3] y 11

3 = [4, 3]. La Figura 2.9 ilustra el inicio de la operación de plumbing a travésde las fibras 7 y 11 por medio de flechas. Con ayuda de la ecuación (2.11), podemos obtener lasmatrices

A(Γ) =

2 1 0 0 01 0 1 1 00 1 −5 0 00 1 0 −4 10 0 0 1 −2

, A(Γ′) =

3 1 0 0 0 01 4 1 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 3 0 00 0 1 0 −2 10 0 0 0 1 −3

A(Γ0)

2 1 01 0 10 1 −5

, A(Γ′0) =

3 1 0 01 0 1 00 1 −2 10 0 1 −3

cuyos determinantes son detA(Γ) = 1, detA(Γ′) = −1, detA(Γ0) = 3 y detA(Γ′0) = 4, así losenteros dados por la ecuación (2.14) son a = 3 y a′ = −4. La Figura 2.10 muestra el empalmeya realizado y el espacio de lentes formado entre los vértices de peso 0 de ambas cadenas Γ yΓ′.

Como ya hemos visto, existe una relación entre los espacios de lentes y la representacióntipo plumbing de las esferas homológicas que es a través de la descomposición en fraccionescontínuas, ecuación (2.12). Alternativamente, por medio de un desarrollo matemático realizadoen [7], podemos encontrar el espacio de lentes L(p, q) que se forma al empalmar dos esferashomológicas Σ(a1, a2, a3) y Σ(α1, α2, α3), bajo las relaciones

p =a1a2α1α2 − a3α3,

q =b3p− α1α2

a3

(2.15)

donde b3 es la solución a la ecuación diofántica de la primera esfera.

Ejemplo 13. El espacio de lentes formado al empalmar las esferas homológicas de la Figura

15

2.8. EMPALME DE ESFERAS POR PLUMBINGCAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

I J

−5

2

0 −4 −2 3 4 0

3

−2

−3

Figura 2.9.: Inicio de operación de plumbing entre Σ(2, 5, 7) y Σ(3, 5, 11) a través de 7 y 11 paraobtener los enlaces de grafos Γ y Γ′. Dentro de los recuadros se encuentran Γ0 y Γ′0

−5

2

0 −4 −2 3 −4 3 4 0

3

−2

−3

Figura 2.10.: Empalme de las esferas Σ(2, 5, 7) y Σ(3, 5, 11) a través de las fibras 7 y 11 realizadorealizado por medio de plumbing.

16

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.9. DECORANDO EL EMPALME

2.10 entre los vértices de peso 0 es dado a través de la ecuación (2.15) como sigue

p =(2)(5)(3)(5)− (7)(11),=150− 77,

p =73,

q =(−2)(73)− (3)(5)7 ,

=−146− 157 ,

q =− 23.

Entonces, L(p, q) = L(73,−23), de hecho

−7323 = [−4,−3, 4,−3, 2, 4].

2.9. Decorando el empalmeSean P (Γ) una 4-variedad obtenida vía plumbing sobre un grafo Γ y Γ′ una cadena en Γ.

Al efectuar la operación de plumbing sobre Γ′ obtenemos una subvariedad P (Γ′) ∈ P (Γ) cuyafrontera es una 3-variedad espacio de lentes L(p, q). La cerradura de P (Γ), esto es P (Γ)\P (Γ′) esuna 4-variedad suave y compacta X0 cuya frontera orientada es ∂X0 = −L(p, q)tM(Γ), dondeM(Γ) = ∂P (Γ), que puede ser tomado como un cobordismo entre L(p, q) y ∂P (Γ), ver Figura2.11. En general, dos (n − 1)-variedades son cobordantes si su unión disjunta es la frontera deuna n-variedad. Considerando varias cadenas Γ′k en Γ, podemos establecer un cobordismo entreM(Γ) y una unión disjunta de varios espacios de lentes L. El conjunto de cadenas {Γ′k} debeser disjunta en el sentido de que dos de éstas cadenas no tienen un vértice común y las aristasde Γ no tienen punto final en una cadena y el otro punto final en el otro. Tales cobordismos sonllamados tipo plumbing.Los cobordismos tipo plumbing son representados por grafos decorados tipo plumbing. Un

grafo decorado es aquel cuyas cadenas Γ′k son dibujadas dentro de óvalos, como en la Figura2.12. Este cobordismo

∂X0 = −L(p, q) tM(Γ) (2.16)tiene una matriz B asociada cuyos elementos bij son números racionales. Tal matriz se llamaforma de intersección racional y puede obtenerse con los siguientes pasos.

1. Dibujamos dentro de círculos los espacios de lentes del empalme. Observamos que siemprehay vértices vi que quedan fuera de los círculos y estos determinan el tamaño de la matrizde intersección B, i× i. Renombramos a Γ′k como Γ′ji, donde j es el número de espacio delentes adyacente al i-mo vértice.

2. Identificamos Γ′ji. Si éste consta de un solo vértice, su determinante será el mismo vér-tice, en otro caso aplicamos la ecuación (2.11) para obtener detA(Γ′ji). Cuando de Γ′jiremovemos el vértice adyacente a vi obtenemos Γ′ji. Calculamos detA(Γ′ji).

17

2.10. EJEMPLOS CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

��

��

~ ~ · · · ~ ~��

EEEEE

L1(p, q) L2(p, q) Lk−1(p, q) Lk(p, q)

Figura 2.11.: Variedad que se le han extraído k-espacios de lentes.

· · ·vi vj��

Figura 2.12.: Grafo decorado.

3. Los elementos de la matriz de intersección racional B = [bij] son dados por

bii =vi −∑j

detA(Γ′ji)detA(Γ′ji)

bij =detA(Γ′ji)detA(Γ′ji)

.

(2.17)

Si un espacio de lentes une a dos vértices vi y vj y consta de tan sólo dos pesos, entonceses un grafo vacío, cuyo determinante detA(Γ′ji) = 1.

La matriz inversa de la matriz de intersección racional tiene entradas enteras.

2.10. EjemplosEjemplo 14. Para encontrar una descripción de enlace de Σ(5, 6, 7), necesitamos encontrar b1,b2 y b3 de la ecuación diofántica 42b1 + 35b2 + 30b3 = 1 referente a la ecuación (2.4). Con elPrograma 1 encontramos que, por ejemplo, b1 = 3, b2 = −1 y b3 = −3 cumplen. Para obtenerlas fracciones de la forma ai

bi, que pueden ser descompuestas en fracciones contínuas por medio

de la ecuación (2.12), aplicamos el Programa 2, de modo que

53 = [2, 3],

−61 = [−6] y

18

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS 2.10. EJEMPLOS

3 2 0 −2 3

−6

e1 e2 e3 e4 e5

e6Figura 2.13.: Grafo tipo estrella para Σ(5, 6, 7).

−73 = [−2, 3]

El diagrama de enlace para Σ(5, 6, 7) es descrito por el grafo de la Figura 2.13. Podemos obtenersu forma de intersección A1 de acuerdo con la ecuación (2.11),

A1 =

3 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 0 1 0 10 0 1 −2 1 00 0 0 1 3 00 0 1 0 0 −6

,

y calcular su determinante, detA1 = −1. Por tanto, Σ(5, 6, 7) es una Z-esfera homológica.

Ejemplo 15. Analizando la esfera homológica de Poincaré Σ(2, 3, 5). Armamos la ecuacióndiofántica 15b1 + 10b2 + 6b3 = 1 y aplicando el Programa 1 encontramos que b1 = 1, b2 = 1 yb3 = −4 de modo que las fracciones ai

binos llevan a su descomposición aplicando el Programa

2:

21 = [2],

31 = [3] y

−54 = [−2,−2,−2,−2].

Así, la esfera homológica de Poincaré tiene un grafo tipo estrella como el que se muestra en laFigura 2.14a. Aplicando los movimientos de Kirby blow-up y blow-down, ver Apéndice A.2, elresultado será el enlace correspondiente al grafo ponderado mostrado en la Figura 2.14c, esto seda destruyendo sucesivamente círculos con pesos −1, después de tres pasos obtenemos el grafotipo estrella de la Figura 2.14f. Ambas representaciones de grafo tipo estrella de las Figuras2.14a y 2.14f son equivalentes.

19


−2 −2 −2 −2 −2

3

2e1 e2 e3 e4 e5 e6

e8(a) Grafo tipo estrella para Σ(2, 3, 5).

1 −1 −2 −2 −2

3

−2 2

(b) Blow-up.2 −1 −2 −2 −2

3

2

(c) Blow-down.3 −1 −2 −2

3

2

(d) Blow-down.4 −1 0 2

3

(e) Blow-down.5 1 2

3

(f) Representación degrafo tipo estrellapara la EsferaHomológica dePoincaré Σ(2, 3, 5).

Figura 2.14.: Aplicando los movimientos de Kirby, blow-up y blow-down.

20


−3

2

0 −7

Γ(a) Σ(2, 3, 7)

2 6 0

−2

3Γ′(b) Σ(2, 3, 11)

−3

2

0

(c) Γ0

3

−2

0

(d) Γ′0

Figura 2.15.: Grafos tipo plumbing del Ejemplo 16.

Ejemplo 16. La operación de tipo plumbing puede aplicarse a las esferas Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 3, 11)a lo largo de fibras especiales de grado 7 y 11. Para Σ(2, 3, 7) tenemos la ecuación diofántica21b1 +14b2 +6b3 = 1, donde b1 = 1, b2 = −1 y b3 = −1 y obtenemos las fracciones contínuas condescomposiciones 2

1 = [2], −31 = [−3] y −7

1 = [−7]. Del mismo modo, para Σ(2, 3, 11) tenemos

las fracciones −21 = [−2], 3

1 = [3] y 112 = [6, 2]. Los grafos tipo plumbing asociados a estas

esferas se muestran en las Figuras 2.15a y 2.15b mientras que en 2.15c y 2.15d se muestran susrespectivos Γ0 y Γ′0 obtenidos al remover los pesos 7, de la primera esfera, y 6, 2, de la segundaesfera. Γ, Γ′, Γ0 y Γ′0 tienen una matriz de acuerdo a la ecuación (2.11),

A(Γ) =

−3 0 1 00 2 1 01 1 0 10 0 1 −7

, A(Γ′) =

2 1 0 0 01 6 1 0 00 1 0 1 10 0 1 −2 00 0 1 0 3

,

A(Γ0) =

−3 1 01 0 10 1 2

, A(Γ′0) =

−2 1 01 0 10 1 3

,

cuyos determinantes son detA(Γ) = −1, detA(Γ′) = 1, detA(Γ0) = 1 y detA(Γ′0) = 0, en-tonces, de acuerdo con la ecuación (2.14), a = −1 y a′ = 0. En la Figura 2.16 se muestra pasoa paso el procedimiento para unir por operación de plumbing ambas esferas a través de las fibras7 y 11. El empalme es logrado por medio de −1 y 0, como en la Figura 2.16c. Utilizando losmovimientos de Kirby, en especial 1.c del Apéndice A.2, podemos llegar al grafo tipo plumbingde la Figura 2.16k.

Ejemplo 17. Alternativamente, como explicamos en el Ejemplo 13, podemos usar la ecuación(2.15) para obtener la misma forma de este empalme entre las esferas Σ(a1, a2, a3) = Σ(2, 3, 7)

21


I

−3

2

0 −7

Γ(a) Σ(2, 3, 7)

J 2 6 0

−2

3Γ′(b) Σ(2, 3, 11)

−3

2

0 −7 −1 0 2 6 0

−2

3(c) Empalme de Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 3, 11) a través de los enteros −1 y 0.

−7 −1 0 2 6

(d) Cadena que une los vértices gener-adores.

−6− 1 −1 1− 1 2 6

(e) Apartir de aquí, aplicamos movimientos deKirby, 1.c.

−6 1 2 6

(f)

−7 + 1 1 1 + 1 6

(g)

−7 1 6

(h)

−8 + 1 1 5 + 1

(i)

−8 5

(j)

−3

−2

0 −8 5 0

−2

3(k) Finalmente, grafo tipo plumbing P (Γ) como em-

palme de las esferas Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 3, 11) a travésde las fibras 7 y 11.

Figura 2.16.: Operación de Plumbing para dos esferas homológicas.

22


y Σ(α1, α2, α3) = Σ(2, 3, 11) a través de las fibras 7 y 11,

p =a1a2α1α2 − a3α3,

=(2)(3)(2)(3)− (7)(11),p =− 41,

q =b3p− α1α2

a3,

=(−1)(−41)− (2)(3)7 ,

q =5,

es decir, existe un espacio de lentes L(−41, 5) entre los vértices de peso cero de estas esferas.Naturalmente que

−415 = [−9,−2,−2,−2,−2],

y por medio de movimientos de blow-up y blow-down (Apéndice A.2), como en la Figura 2.14,tenemos que

−415 = [−8, 5].

Ejemplo 18. Para obtener la matriz de intersección racional del grafo resultante del empalmede las esferas Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 3, 11) a través de las fibras especiales 7 y 11, Figura 2.16k, tene-mos que decorarlo, esto es, quitarle los espacios de lentes obtenidos a través de las fraccionescontínuas. En la Figura 2.17 se ilustra el grafo decorado. Observamos que la matriz de inter-sección, dada por el número de vértices exteriores a los círculos, son dos, así el tamaño detal matriz es 2 × 2 y el número de espacios de lentes j = 1, 2 y 3. Nombramos a las cade-nas Γ′ji. Observamos que Γ′11 tiene un determinante de detA(Γ′11) = 2, mismo valor que suúnico vértice ponderado; análogamente, detA(Γ′21) = −3, detA(Γ′22) = 3 y detA(Γ′32) = −2.La extracción del peso adyacente a v1 y v2, hace a las cadenas anteriores vacías, por tanto,detA(Γ′11) = detA(Γ′21) = detA(Γ′22) = detA(Γ′32) = 1. Para Γ′31 = Γ′12 aplicamos la ecuación(2.11) y obtener A,

A =(−8 11 5

)

cuyo determinante detA(Γ′31) = −41 = detA(Γ′12). Sin embargo, la extracción del peso adya-cente a v1 y v2 los hace cadenas con pesos únicos, así, detA(Γ′31) = 5 y detA(Γ′12) = −8. Loselementos de la diagonal principal de B, b11 y b22, podemos obtenerlos por medio de la ecuación

23


(2.17),

b11 =v1 −detA(Γ′11)detA(Γ′11) −

detA(Γ′21)detA(Γ′21) −

detA(Γ′31)detA(Γ′31) ,

=0− 12 + 1

3 + 541 ,

=− 11246

b22 =v2 −detA(Γ′12)detA(Γ′12) −

detA(Γ′22)detA(Γ′22) −

detA(Γ′32)detA(Γ′32) ,

=0− 841 −

13 + 1

2 ,

=− 7246 .

Los elementos no diagonales b12 y b21 están dados por la ecuación (2.17). Ya que los vérticesv1 y v2 están unidos por la misma cadena Γ′31 = Γ′12, entonces b12 = b21 y además esta cadenase compone de dos vértices, entonces detA(Γ′31) = 1 = detA(Γ′12). Entonces b12 = − 1

41 = b21.Así, la matriz de intersección racional del grafo decorado de la Figura 2.17 es

B =

− 11

246 − 141

− 141 − 7

246

, B−1 =(−42 3636 −66

).

Observa que B−1 es matriz entera.Finalmente, los espacios de lentes son dados a través de las fracciones ai

bi: L(2,−1), L(3, 1),

L(41, 5), L(2, 1) y L(3,−1), ecuación (2.12). Entonces, el cobordismo que representa a la Figura2.17 es, de acuerdo a la ecuación (2.16),

∂X0 = −L(2,−1) t L(3, 1) t L(41, 5) t L(2, 1) t L(3,−1) tM(Γ) (2.18)donde M(Γ) = ∂P (Γ) es el empalme de las esferas homológicas Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 3, 11) a travésde las fibras especiales 7 y 11.

Ejemplo 19. Empalmamos las esferas Σ(a1, a2, a3) = Σ(2, 3, 7) y Σ(α1, α2, α3) = Σ(2, 35, 71)a través de las fibras excepcionales 7 y 71 por medio del método alternativo, con la ecuación(2.15) de la Sección 2.8.

1. Las ecuaciones diofánticas son 35b1 + 14b2 + 10b3 = 1 y 2485b1 + 142b2 + 70b3 = 1 de laprimera y segunda esferas con soluciones (1,−1,−2) y (1,−17,−1), respectivamente. Conesto, las fracciones contínuas son 2

1 = [2] y −51 = [−5] para la primera esfera, 2

2 = [2] y

−3517 = [−3,−2, . . . ,−2] (16 veces −2) para la segunda esfera. Observa que podemos hacer

movimientos de blow-up y blow-down para obtener que −3517 = [−2, 17].

24


−3

2

0 −8 5 0

−2

3Γ′11

Γ′21

Γ′31 Γ′12

Γ′22

Γ′32

v1 v2

��

��

��

Figura 2.17.: Grafo decorado tipo plumbing como una 4-variedad.

2. Entre los pesos cero de ambas esferas se encuentra el proceso de empalme obteniendo unespacio de lentes L = L(p, q) que es calculado con la ecuación (2.15), como sigue

p =a1a2α1α2 − a3α3,

=(2)(5)(2)(35)− (7)(71),p =203,

q =b3p− α1α2

a3,

=(−2)(203)− (2)(35)7 ,

q =− 68,

así, L = L(203,−68) y la fracción −20368 = [−3,−68] es la cadena es la cadena que une

ambas esferas.

3. Nombramos las cadenas e identificamos las que cuentan con un solo vértice, para te-ner sus determinantes y sus matrices: detA(Γ′11) = 2 = detA(Γ′12), detA(Γ′21) = −5 ytambién detA(Γ′11) = detA(Γ′21) = detA(Γ′12) = 1 pero no para detA(Γ′22) = 17, queresulta de aislar el peso −2 junto a v2 = 0. Dado que Γ′31 = Γ′32, entonces detA(Γ′31) =203 = detA(Γ′32), pero detA(Γ′31) = −68 y detA(Γ′32) = −3. Aplicando la ecuación (2.17)

25


encontramos los elementos diagonales de la matriz de intersección,

b11 =v1 −3∑j=1

detA(Γ′j1)detA(Γ′j1) ,

=0− 12 + 1

5 + 68203 ,

b11 = 712030 ,

b22 =v2 −3∑j=1

detA(Γ′j2)detA(Γ′j2) ,

=0− 12 + 17

35 + 3203 ,

b22 = 12030 .

Como ambos vértices generadores comparten la misma cadena Γ′31 = Γ′32, entoncesdetA(Γ′31) = 1 = detA(Γ′32), así los elementos no diagonales son

b12 = − 1203 = b21.

La matriz de intersección racional es

B =

71

2030 − 1203

− 1203

12030

, B−1 =(−70 700700 −4970

).

El hecho de que el inverso de la matriz de intersección racional B sea entera, confirmaque nuestro proceso está bien realizado.

4. El cobordismo X0 es dado por la unión disjunta de los espacios de lentes y el empalme delas esferas, es decir,

∂X0 = −L(−2, 1) t L(5,−1) t L(203,−68) t L(−2, 1) t L(35, 17) tM(Γ)

donde M(Γ) es el empalme de Σ(2, 3, 7) y Σ(2, 35, 71) a través de las fibras de grados 7 y71.

26

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.11. PROGRAMAS EN MATHEMATICA

2.11. Programas en Mathematica

2.11.1. Programa 1

Solución a una Ecuación Diofántica de la forma ax+ by + cz = 1.

Clear["Global‘*"]v = {42, 35, 30};ords = Ordering[v, 3, Greater];g = Sort[v, Greater];eq = v[[1]] x + v[[2]] y + v[[3]] z;k1 = 1;done = 0;While[done != 1,If[(k1 + 1) g[[3]] <= g[[1]] && (k1 + 1) g[[3]] <= g[[2]], k1 = k1 + 1, done = 1]]

eqa = a == (1 - (g[[1]] - k1 g[[3]]) x - (g[[2]] - k1 g[[3]]) y)/g[[3]];z[x_, y_] := -k1 x - k1 y + a;aux = Evaluate[y /. Flatten[Solve[eqa, y]]];den = Denominator[aux];aux2 = -Coefficient[aux, x]*den;aux3 = Coefficient[aux, a];k2 = 1;While[done == 1, If[(k2 + 1) den <= aux2, k2 = k2 + 1, done = 0]]eqb = b == (1 - (aux2 - k2 den) x)/den;y[x_] := aux3 a - k2 x + b;aux = Evaluate[x /. Flatten[Solve[eqb, x]]];den = Denominator[aux];aux2 = -Coefficient[aux, b]*den;k3 = 1;While[done != 1, If[(k3 + 1) den <= aux2, k3 = k3 + 1, done = 1]]eqc = c == (1 - (aux2 - k3 den) b)/den;bb = Evaluate[b /. Flatten[Solve[eqc, b]]];xx = -k3 b + c;xf = FullSimplify[xx /. b -> bb];yf = FullSimplify[y[xx] /. b -> bb];zf = FullSimplify[z[xx, y[xx]] /. b -> bb];xyz[aa_, cc_] := {xf, yf, zf} /. {a -> aa, c -> cc}vec = {"x", "y", "z"};sol[aa_, cc_] := MatrixForm[vec[[ords]]] == MatrixForm[xyz[aa, cc]]Row[{a, " = ", Slider[Dynamic[\[Alpha]], {-10, 10, 1}],Dynamic[\[Alpha]]}]Row[{c, " = ", Slider[Dynamic[\[Chi]], {-10, 10, 1}], Dynamic[\[Chi]]}]

27

2.11. PROGRAMAS EN MATHEMATICACAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS

Dynamic[sol[\[Alpha], \[Chi]]]Print["Prueba: Sustitucion de x y z en"]Row[{eq, " = ", Dynamic[g[[1]] xyz[\[Alpha], \[Chi]][[1]] +

g[[2]] xyz[\[Alpha], \[Chi]][[2]] +g[[3]] xyz[\[Alpha], \[Chi]][[3]]]}]

Print["Comportamiento de las combinaciones de numeros"]ParametricPlot3D[{xyz[aa, cc][[1]], xyz[aa, cc][[2]],

xyz[aa, cc][[3]]}, {aa, -10, 10}, {cc, -10, 10}]

28

CAPÍTULO 2. OPERACIONES CON ESFERAS HOMOLÓGICAS2.11. PROGRAMAS EN MATHEMATICA

2.11.2. Programa 2

Descomposición en Fracción Contínua

(** User variables **)p = 5; (* p/q variables *)q = 3;iMax = 10; (* Maximum number of iterations (Fail-Safe so it doesn’t \get stuck) *)

(** System variables **)an = {}; (* Subscript[a, n] list of integers *)div = p/q; (* Definition of the division for speed of computation *)jmax = 1;

(** Loop **)Do[divs = div;If[div < 0,If[i == 1,an = Append[an, Floor[Abs[div]]],an = Append[an, Ceiling[div]]],

an = Append[an, Ceiling[div]]];div = 1/(an[[i]] - divs);If[Denominator[div] == 1,an = Append[an, div];Break[], jmax = jmax + 1;]

, {i, 1, iMax}]If[jmax > iMax,Row[{Style["!Warning: ", Red, Italic, Bold],

Style["You may need a bigger iMax", Red]}]]

(* Result display *)Row[{"\!\(\*SubscriptBox[\"a\", \"n\"]\) = ", an}]Row[{"n = ", Length[an]}]

29

3 Capítulo 3.

Reproducción de las constantes deacoplamiento

La tijera y la carta me estorbaban para sacar los discos. Saqué un primer puñado y sentíque aún quedaban dos o tres. Una suerte de cosquilleo, una muy leve agitación, dio calor a mimano. Al abrirla vi que los discos eran treinta o cuarenta. Yo hubiera jurado que no pasabande diez. Las dejé sobre la mesa y busqué los otros. No precisé contarlos para verificar que sehabían multiplicado. Los junté en un solo montón y traté de contarlos uno por uno. La sencillaoperación resultó imposible. Miraba con fijeza cualquiera de ellos, lo sacaba con el pulgar y elíndice y cuando estaba solo, eran muchos. Comprobé que no tenía fiebre e hice la prueba muchasveces.

Fragmento de Tigres azules,La memoria de Shakespeare, 1983,

por Jorge Luis Borges.

En este capítulo, analizamos los detalles técnicos y cálculos que se desarrollan en [8, 9].Por medio de los invariantes para grafos tipo plumbing de esferas homológicas, desarrollamoslos cálculos para obtener la matriz de intersección racional y construimos el cobordismo 4-dimensional cuya interpretación física es interesante de analizar.

31

3.1. FAMILIA DE ESFERASCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

3.1. Familia de esferasNaturalmente que existen infintas esferas homológicas Σ = Σ(ai, aj, ak) como números primos

relativos ai, aj y ak se encuentren. Acontinuación, se explica el algoritmo utilizado en [8] paraseleccionar esferas homológicas pertinentes.

Sea pi el i-mo número primo del conjunto de números positivos, esto es, p1 = 2, p2 = 3,p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, p6 = 13, p7 = 17, p8 = 19 y p9 = 23. Entonces, la secuenciaprimaria es definida como

{Σn−1(p2n, p2n+1, q2n−1)}donde qi =

∏i

pi y n ∈ Z+ y distinto de cero. Por ejemplo, los primeros términos son

Σ0(1, 1, 2), Σ1(2, 3, 5), Σ2(7, 11, 30), Σ3(13, 17, 2310) y Σ4(19, 23, 510510).

Se define una k±-operación sobre la esfera homológica resultando otra esfera homológicabajo la regla

Σ±k1

(a

(1)1 , a

(1)2 , a

(1)3

)= Σ(a1, a2a3, ak1 ± 1),

donde a = a1a2a3 y k1 ∈ N. Por ejemplo, para Σ(2, 3, 5) tenemos Σ±k1 = Σ(2, 15, 30k1± 1).Esta nueva esfera homológica tiene los invariantes de Seifert a(1)

1 = a1, a(1)2 = a2a3 y

a(1)3 = ak1 ± 1. Una segunda aplicación da

Σ±k1k2

(a

(2)1 , a

(2)2 , a

(2)3

)= Σ(a1, a2a3(ak1 ± 1), ak2(ak1 ± 1)± 1).

con nuevos invariantes de Seifert a(2)1 = a1, a(2)

2 = a2a3(ak1±1) y a(2)3 = ak2(ak1±1). Esta

k±-operación puede aplicarse l-veces. Tomamos la k+-operación en el caso especial en quek1 = k2 = . . . = kl = 1 llamándola como la l-ma derivada de una esfera homológica Σn,Σ(l)n

(a

(l)1 , a

(l)2 , a

(l)3

).

Así, la familia de esferas necesarias es

{Σ(a

(l)1n, a

(l)2n, a

(l)3n

)= Σ

(p

(l)2n, p

(l)2n+1, p

(l)2n−1

)|n, l ∈ Z+}. (3.1)

Por ejemplo, las derivadas para las esferas homológicas

Σ(l)1 (2, 3, 5)

• Σ(1)1 (2, 3, 5) = Σ(2, 15, 31)

• Σ(2)1 (2, 3, 5) = Σ(2, 465, 931)

• Σ(3)1 (2, 3, 5) = Σ(2, 432915, 865831)

• Σ(4)1 (2, 3, 5) = Σ(2, 374831227365, 749662454731)

Σ(l)2 (7, 11, 30)

• Σ(1)2 (7, 11, 30) = Σ(7, 330, 2311)

32

CAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO3.2. NÚMERO DE EULER

• Σ(2)2 (7, 11, 30) = Σ(7, 762630, 5338411)

• Σ(3)2 (7, 11, 30) = Σ(7, 4,07123× 1012, 2,84986× 1013)

• Σ(4)2 (7, 11, 30) = Σ(7, 1,16025× 1026, 8,12172× 1026)

Σ(l)3 (13, 17, 2310)• Σ(1)

3 (13, 17, 2310) = Σ(13, 39270, 510511)• Σ(2)

3 (13, 17, 2310) = Σ(13, 20047766970, 2,60621× 1011)• Σ(3)

3 (13, 17, 2310) = Σ(13, 5,22487× 1021, 6,79233× 1022)• Σ(4)

3 (13, 17, 2310) = Σ(13, 3,5489× 1044, 4,61357× 1045)

Σ(l)4 (19, 23, 510510)• Σ(1)

4 (19, 23, 510510) = Σ(19, 11741930, 223092871)• Σ(2)

4 (19, 23, 510510) = Σ(19, 2,6195× 1015, 4,97704× 1016)• Σ(3)

4 (19, 23, 510510) = Σ(19, 1,30373× 1032, 2,4771× 1033)• Σ(4)

4 (19, 23, 510510) = Σ(19, 3,22948× 1065, 6,136× 1066)

3.2. Número de EulerEl número de Euler es un invariante topológico que caracteriza a las superficies. Tomamos el

cálculo del número de Euler e(n)(l) , proporcionado en [8], para la l-ma derivada de la n-ma esfera

homológica e(n)(l)

(Σ(l)

(n)(a))como

e(n)(l)

(Σ(l)

(n)(a1, a2, a3))

= a−1 (3.2)

donde a = a1a2a3, n = 0, . . . , 4, l ≤ n y n es el número de la esfera homológica en la familia.Los números de Euler son

e(0)(0) = 0,5

e(1)(1) = 1,08× 10−3,

e(2)(2) = 3,51× 10−14,

e(3)(3) = 2,17× 10−46,

e(4)(4) = 2,66× 10−134.

Observemos que reproducen cercanamente las constantes de acoplamiento de las fuerzas funda-mentales de la naturaleza, en las ecuaciones (1.1-1.5). Sin embargo, aún tenemos que modularla técnica para acercarnos más al valor de dichas constantes.

33

3.3. FINE TUNINGCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

3.3. Fine tuningSe entiende como fine tuning al ajuste que realiza la k-operación sobre las esferas homológicas.

La k-operación nos permite modular las operaciones para encontrar con mayor acercamientoal valor de las constantes de acoplamiento. Para ello necesitamos volver a los conceptos de laSección 2.4. Con el conjunto {Σ(l)

n } podemos construir un diagrama de empalme que representala unión de varios subdiagramas cuyas formas de intersección son definidas positivas si y solosi el deterinante de arista det(en+1,n) > 0. El diagrama de empalme que utilizamos es ilustradoen la Figura 3.1.Comenzamos calculando los determinantes de aristas para determinar el valor mínimo de k(l)

n+1tal que det(en+1,n) > 0.

l = 1. La familia de esferas homológicas es

Σ(1)1 (2, 3, 5) = Σ(2, 15, 30k(1)

1 + 1),Σ(1)

2 (7, 11, 30) = Σ(7, 330, 2310k(1)2 + 1),

Σ(1)3 (13, 17, 2310) = Σ(13, 39270, 510510k(1)

3 + 1)Σ(1)

4 (19, 23, 510510) = Σ(19, 11741730, 223092870k(1)4 + 1).

• k(1)n+1, n = 0, 1, 2 y 3. Usamos det (en+1,n) = a3na

(1)3,n+1 − a1na2na

(1)1,n+1a

(1)2,n+1 > 0.

◦ n = 0

det(e10) = a30a(1)31 − a10a20a

(1)11 a

(1)21

= 2(30k(1)1 + 1)− (1)(1)(2)(15)

= 60k(1)1 − 28

de donde det(e10) > 0 si k(1)1 = 1. Entonces, det(e10) = 32.

◦ n = 1

det(e21) = a31a(1)32 − a11a21a

(1)12 a

(1)22

= 5(2310k(1)2 + 1)− (2)(3)(7)(330)

= 11550k(1)2 − 13855


◦ n = 2

det(e32) = a32a(1)33 − a12a22a

(1)13 a

(1)23

= 30(510510k(1)3 + 1)− (7)(11)(13)(39270)

= 15′315, 300k(1)3 − 39′309, 240

de donde det(e32) > 0 si k(1)3 = 3. Entonces, det(e32) = 6′636, 660.

34

CAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO3.3. FINE TUNING

◦ n = 3

det(e43) = a33a(1)34 − a13a23a

(1)14 a

(1)24

= 2310(223092870k(1)3 + 1)− (13)(17)(19)(11741730)

= 515344529700k(1)3 − 49303521960


Así, las primeras derivadas (l = 1) son

Σ(1)1 = Σ(2, 15, 31),

Σ(1)2 = Σ(7, 330, 4621)

Σ(1)3 = Σ(13, 39270, 1531531)

Σ(1)4 = Σ(19, 11741730, 223092871).

(3.3)

l = 2. Tomamos la familia de esferas homológicas (3.3) y aplicamos la k-operación (segundaderivada),

Σ(2)2 (7, 330, 4621) = Σ(7, 1524930, 10674510k(2)

2 + 1),Σ(2)

3 (13, 39270, 1531531) = Σ(13, 60143222370, 781861890810k(2)3 + 1)

Σ(2)4 (19, 11741730, 223092871) = Σ(19, 2619496256206830, 49770428867929770k(2)

3 + 1).

• k(2)n+1, n = 1, 2 y 3. Usamos det (en+1,n) = a

(1)2n a

(2)3,n+1 − a

(1)1n a

(1)3n a

(2)1,n+1a

(2)2,n+1 > 0.

◦ n = 1

det(e21) = a(1)21 a

(2)32 − a

(1)11 a

(1)(31)a

(2)12 a

(2)22

= 15(5338410k(2)2 + 1)− (2)(31)(762630)(7)

= 80076150k(2)2 − 330981405

de donde det(e21) > 0 si k(2)2 = 5. Entonces det(e21) = 69399345.

◦ n = 2

det(e32) = a(1)22 a

(2)33 − a

(1)12 a

(1)32 a

(2)13 a

(2)23

= 330(781861890810k(2)3 + 1)− (7)(4621)(13)(60143222370)

= 258014423967300k(2)3 − 25290886582030700

de donde det(e32) > 0 si k(2)3 = 99. Entonces det(e32) = 252541390731960.

35

3.3. FINE TUNINGCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

◦ n = 3

det(e43) =a(1)23 a

(2)34 − a

(1)13 a

(1)33 a

(2)14 a

(2)24

=39270(49770428867929770k(2)4 + 1)

− (13)(1531531)(19)(2619496256206830)=1,9544847416436× 108k

(2)4 − 9,90924411028882× 109

de donde det(e43) > 0 si k(2)4 = 508. Entonces det(e43) = 1,95383772606679×107.

Así, las segundas derivadas (l = 2) son

Σ(2)2 = Σ(7, 1524930, 53372551)

Σ(2)3 = Σ(13, 60143222370, 77404327190191)

Σ(2)4 = Σ(19, 2619496256206830, 25283377864908300000).

(3.4)

l = 3. Derivamos el conjunto (3.4)

Σ(3)3 = Σ(13, 1551783913978620000000000, 20173190881722100000000000k(3)

3 + 1)Σ(3)

4 = Σ(19, 66229713661389900000000000000000000, 1,25836455956641× 1022k(3)4 + 1).

• k(3)n+1, n = 2 y 3. Usamos det (en+1,n) = a

(2)2n a

(3)3,n+1 − a

(2)1n a

(2)3n a

(3)1,n+1a

(3)2,n+1 > 0.

◦ n = 2

det(e32) =a(2)22 a

(3)33 − a

(2)12 a

(2)32 a13(3)a(3)

23

=1524930(6,05194936137986× 1011k(3)3 + 1)

− (7)(53372551)(13)(4,65534566259989× 1010)=9,228799139649× 1019k

(3)3 + 1524930− 2,26105583157765× 1010

de donde det(e32) > 0 si k(3)3 = 246. Entonces, det(e32) = 9,22875677600367×109.

◦ n = 3

det(e43) = a(2)23 a

(3)34 − a

(2)13 a

(2)33 a

(3)14 a

(3)24

= 60143222370(1,25836455956641× 1022k(3)4 + 1)

− (13)(77404327190191)(19)(6,622971366139× 1022)= 7,56820995285297× 1032k

(3)4 + 60143222370

− 1,26623720721185× 1037

de donde det(e43) > 0 si k(3)4 = 16732. Entonces det(e43) = 7,56820995121997×

1032

36

CAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO3.4. CONSTRUYENDO EL COBORDISMO 4-D

Así, las terceras derivadas son

Σ(3)3 = Σ(13, 4,65534566259989× 1024, 1,48877954289945× 1028),

Σ(3)4 = Σ(19, 6,622971366139× 1034, 2,10549558106652× 1040).

(3.5)

l = 4. Para la cuarta derivada encontramos k(4)4 = 41575, entonces

Σ(4)4 = Σ(19, 1,39446369449357× 1075, 1,10152173387284× 1081). (3.6)

3.4. Construyendo el Cobordismo 4-DEl algoritmo de la Sección 3.2 nos indica que debemos considerar a la familia {Σ(n)

n },n = 0, 1, 2, 3, 4, es decir, las esferas homológicas que forman el subdiagrama de empalme dela columna derecha en la Figura 3.1. Tales son

Σ(0)0 =Σ(1, 1, 2)

Σ(1)1 =Σ(2, 15, 31)

Σ(2)2 =Σ(7, 1524930, 53372551)

Σ(3)3 =Σ(13, 4,65534566259989× 1024, 1,48877954289945× 1028)

Σ(4)4 =Σ(19, 1,39446369449357× 1075, 1,10152173387284× 1081).

(3.7)

Esto significa que debemos empalmar esferas a través de sus fibras de mayor grado, es decir,Σ(0)

0 con Σ(1)1 a través de las fibras 2 y 31, Σ(1)

1 con Σ(2)2 a través de 15 y 53372551, . . . El primer

empalme por medio de operación de plumbing se muestra en la Figura 3.2, donde en 3.2a semuestra la representación de grafo tipo plumbing para ambas esferas, que es extensa, pero através de los movimientos de Kirby blow-up y blow-down obtenemos 3.2b donde identificamoslas subcadenas y en 3.2c pegamos a través de los enteros a = 0 y a′ = −1, y por medio de losmovimientos de Kirby obtenemos a 3.2d donde finalmente extraemos los espacios de lentes paradecorarlos y encontrar su respectiva matriz de intersección de 2×2. Sin embargo, no es así comotenemos que interpretar este diagrama, sino como uno y mismo con 5 vértices generadores quepueden ser unidos uno con otro por medio de un espacio de lentes Li+1(−pi+1, qi+1), donde

pi+1 =a1ia2ia1,i+1a2,i+1 − a3ia3,i+1

qi+1 = 1a3i

(b3ipi+1 − a1,i+1a2,i+1)(3.8)

donde i = 0, 1, 2 y 3, y b3i es la solución a la ecuación diofántica asociada a la i-ma esferahomológica. Los espacios de lentes que hay entre Σi y Σi+1 de la familia de esferas homológicas,ecuación (3.7), son

37

3.4. CONSTRUYENDO EL COBORDISMO 4-DCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

Σ(l)4

Σ(l)3

Σ(l)2

Σ(l)1

Σ(l)0

k(4)4

a(4)14

a(4)24

a(4)34

k(3)3

a(3)13

a(3)23

a(3)33

k(2)2

a(2)12

a(2)22

a(2)32

k(1)1

a(1)11

a(1)21

a(1)31

a10

a30

a20

k(3)4

a(3)14

a(3)24

a(3)34

k(2)3

a(2)13

a(2)23

a(2)33

k(1)2

a(1)12

a(1)22

a(1)32

a11

a31

a21

k(2)4

a(2)14

a(2)24

a(2)34

k(1)3

a(1)13

a(1)23

a(1)33

a12

a32

a22

k(1)4

a(1)14

a(1)24

a(1)34

a13

a33

a23

a14

a24

a34a34

Figura 3.1.: Diagrama de empalme de esferas homológicas Σ(l)n , n = 0, . . . , 4 y l ≤ n.

38


I J

1

0 1 −31 0

1

2

−3−2

−2

−2

−2−2−2

(a) Representación original de las esferas.

I J

1

0 1 −31 0

1

2

−27

(b) Dentro de los rectángulos se encuentran Γ′ y Γ′0.1

0 1 0 −1 −31 0

1

2

7 −2(c) Empalme a través de los enteros 0 y −1.

1

0 1 −31 0

1

2

−2 7

v1 v2

Γ′11

Γ′21 Γ′31 Γ′12 Γ′22

Γ′32��

��

�� (d) Grafo decorado.

Figura 3.2.: Plumbing de Σ(1, 1, 2) y Σ(2, 15, 31) a través de las fibras 2 y 31.

39


i = 0. Σ(1, 1, 2) y Σ(2, 15, 31).

1. La ecuación diofántica asociada a Σ(1, 1, 2) es 2b10 + 2b20 + b30 = 1, entonces b30 = 1.

2.

p1 =a10a20a11a21 − a30a31

=(1)(1)(2)(15)− (2)(31)p1 =− 32

q1 = 1a30

(b30p1 − a11a21)

=12 [(1)(−32)− (2)(15)]

q1 =− 31.

El espacio de lentes entre Σ(0)0 y Σ(1)

1 es L1(32,−31).

i = 1. Σ(2, 15, 31) y Σ(7, 1524930, 53372551).

1. La ecuación diofántica asociada a Σ(2, 15, 31) es 465b11 + 62b21 + 30b31 = 1, entoncesb31 = −1.

2.

p2 =a11a21a12a22 − a31a32

=(2)(15)(7)(1524930)− (31)(53372551)p2 =− 1334313781

q2 = 1a31

(b31p2 − a12a22)

= 131 [(−1)(−1334313781)− (7)(1524930)]

q2 =42698041.


2 es L2(1334313781, 42698041).

i = 2. Σ(7, 1524930, 53372551) y Σ(13, 4,65534566259989 × 1010, 1,48877954289945 ×1014).

1. La ecuación diofántica asociada a Σ(7, 1524930, 53372551) es 81389404196430b12 +373607857b22 + 10674510b32 = 1, entonces b32 = −5.

40


2.

p3 =a12a22a13a23 − a32a33

=(7)(1524930)(13)(4,65534566259989× 1024)− (53372551)(1,48877954289945× 1028)

p3 =− 7,93953604871798× 1035

q3 = 1a32

(b32p3 − a13a23)

= 11524930

[(−5)(−7,93953604871798× 1035)− (13)(4,65534566259989× 1024)

]q3 =2,60324606657255× 1030.


3 es L3(7,93953604871798× 1035, 2,60324606657255×1030).

i = 3. Σ(13, 4,65534566259989 × 1024, 1,48877954289945 × 1028) yΣ(19, 1,39446369449357× 1075, 1, 10152173387284× 1081).1. La ecuación diofántica asociada a Σ(13, 4,65534566259989 ×

1024, 1,48877954289945×1028) es 1,53603206658128×10156b13 +2,09289129435839×1082b23 + 2,64948101953779× 1076b33 = 1, entonces b33 = 4,58085298779971× 1027.

2.

p4 =a13a23a14a24 − a33a34

=(13)(4,65534566259989× 1024)(19)(1,39446369449357× 1075)− (1,48877954289945× 1028)(1, 10152173387284× 1081)

p4 =− 1,63992286310376× 10109

q4 = 1a33

(b33p4 − a14a24)

= 11,48877954289945× 1028

[(4,58085298779971× 1027)

× (−1,63992286310376× 10109)− (19)(1,39446369449357× 1075)]

q4 =5,04590863236847× 10108.


4 es L4(1,63992286310376× 10109, 5,04590863236847×10108).

La Figura 3.3 representa el cobordismo buscado ∂X0, como el de la ecuación (2.16), dondeL(p, q) representa la unión de los 4 espacios de lentes calculados más los 7 espacios de lentescorrespondientes a cada esfera homológica y M(Γ) que es el empalme de la familia de esferashomológicas, ecuación (3.7), a través de sus fibras excepcionales correspondientes.

41


L4, Γ′33, Γ′14

L3, Γ′32, Γ′13

L2, Γ′31, Γ′12

L1, Γ′30, Γ′11

L5, Γ′34

L6, Γ′24

L7, Γ′23

L8, Γ′22

L9, Γ′21

L10, Γ′20

L11, Γ′10

Σ(4)4

Σ(3)3

Σ(2)2

Σ(1)1

Σ(0)0

v4

v3

v2

v1

v0

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�

�

�

Figura 3.3.:42

CAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO3.5. MATRIZ DE INTERSECCIÓN RACIONAL

3.5. Matriz de Intersección RacionalComo se dijo en la Sección 2.9, el cobordismo tiene una matriz de intersección racional cuyos

elementos están dados por la ecuación (2.17). Ahora, procedemos a encontrar tal matriz asociadaal cobordismo de la Figura 3.3.

b00.En la Figura 3.2d tenemos el resultado de empalmar Σ(0)

0 y Σ(1)1 a través de las fibras 2 y

31, sin embargo, como alternativamente mencionamos en la Sección 2.8, dado el espacio delentes entre los vértices generadores de ambas esferas, es posible tener una representaciónen fracciones contínuas para ambos grafos tipo plumbing, de hecho, la cadena Γ′31 = Γ′12

de la Figura 3.2d, [0,−31] = −p1

q1= −32

31 que también tiene una descomposición de

[−2,−2, . . . ,−2] (31-veces). En esta misma Figura, observamos que detA(Γ′11) = 0 =detA(Γ′21) así que detA(Γ′31) = 32 detA(Γ′31) = −31. De modo que

b00 = 3132 = 0,96875.

b11.Por un proceso similar al anterior, tenemos que la representación en fracción contínua delespacio de lentes L2 es

133431378142698041 = [32, 2, 2, 2, 10674511]

de modo que la al desarrollar la matriz A(Γ′31) y obtener su determinante detA(Γ′31) =2220779040 y al extraer el vértice adjunto a v1 de esta cadena, que es 31, tenemos quedetA(Γ′31) = 160115231, así,

b11 = 1601152312220779040 = 7,21154× 10−3.

De la misma forma, podemos encontras las entradas restantes,

b22 =9,8413× 1023

5,5924× 1035 = 1,75988× 10−12,

b33 = 1,0044× 1071

2,7259× 10114 = 3,68478× 10−44,

b44 = 9,5887× 1011

3,6102× 10145 = 2,65601× 10−134.

Mientras que los elementos no diagonales sonb01 =3,125× 10−2 = b10,

b12 =1,441× 10−8 = b21,

b23 =1,931× 10−29 = b32,

b23 =3,112× 10−89 = b32.

43

3.6. INTERPRETACIÓNCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

Cuadro 3.1.: Tabla comparativa del número de Euler, de los elementos de la diagonal principalde B y de las constantes de acoplamiento adimensionales de las fuerzas fundamen-tales.

n e(n)n bnn α αn/bnn

0 5,00× 10−1 9,69× 10−1 αs = 1 1.031 1,07× 10−3 7,21× 10−3 αe = 7,30× 10−3 1.012 3,51× 10−14 1,76× 10−12 αw = 3,04× 10−12 1.733 2,17× 10−46 3,68× 10−44 αg = 6,86× 10−45 0.194 2,70× 10−134 2,66× 10−134 αc = 1,25× 10−123 -

Entonces, la matriz de intersección racional B es

B =

9,7× 10−1 3,1× 10−2 0 0 03,1× 10−2 7,2× 10−3 1,4× 10−8 0 0

0 1,4× 10−8 1,8× 10−12 1,931× 10−29 00 0 1,931× 10−29 3,7× 10−44 3,1× 10−89

0 0 0 3,1× 10−89 2,7× 10−134

. (3.9)

En esta matriz observamos que los elementos de la diagonal principal reproducen muy cercana-mente los valores de las constates de acoplamiento de las fuerzas fundamentales, ver el Apéndice??. La matriz inversa de la ecuación (3.9) es una matriz de entradas enteras:

B−1 =

2 −30 1,1× 107 −9,5× 1023 1,1× 1069

−30 930 −3,3× 108 2,9× 1025 −3,5× 1070

1,1× 107 −3,3× 108 1,4× 1014 −1,3× 1031 1,5× 1076

−9,5× 1023 2,9× 1025 −1,3× 1031 1,1× 1048 −1,3× 1093

1,1× 1069 −3,5× 1070 1,5× 1076 −1,3× 1093 1,6× 10138

. (3.10)

En el Cuadro 3.1 se muestran los valores calculados por medio del número de Euler (Sección3.2) y a través de la matriz de intersección racional B.

3.6. InterpretaciónComo explicamos en la Sección 2.9, la Figura 3.3 muestra una 4-variedad P (Γ), esto es, una

serie de empalmes de grafos Γ que se les han extraído las subcadenas Γ′ para realizar la operaciónde plumbing. Cuando de P (Γ) extraemos P (Γ′) obtenemos una 4-variedad compacta y suaveX0. A la unión disjunta de los espacios de lentes (3-variedad) y la frontera de P (Γ), esto es−L(p, q)tM(Γ), es una 4-variedad simbolizada con ∂X0. El signo negativo indica la extracciónde los espacios de lentes en este proceso. Esta 4-variedad ∂X0, por ser suave y compacta, tieneinvariantes topológicos, de los cuales usamos dos: el Número de Euler (Sección 3.2) y la Matrizde Intersección Racional (Sección 3.5).

44

CAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO3.6. INTERPRETACIÓN

El número de Euler, como dijimos, reproduce la jerarquía de las constantes de acoplamientoadimensionales, sin embargo necesitamos refinar esta técnica para lo cual utilizamos el Diagra-ma de Empalme de la Figura 3.1 que representa unificación en las estructuras de empalme delas esferas homológicas y nos permite conocer la familia de derivadas exactas de estas esferas,ecuación (3.7). Con ello, procedemos a empalmarlas por medio de la térnica alternativa a laoperación plumbing vista en la Sección 2.8, obteniendo el diagrama tipo plumbing de la Figura3.3 que es el cobordismo ∂X0 = −L(p, q) tM(Γ), donde M(Γ) es el empalme de las esferashomológicas a través de sus correspondientes fibras excepcionales. Finalmente, de ∂X0 encon-tramos su invariante topológico, la Matriz de Intersección Racional, ecuación (3.9), de tamaño5× 5 porque tenemos 5 vértices generadores.El diagrama tipo plumbing de la Figura 3.3 no debe ser interpretado como el empalme de

las esferas Σ(0)0 y Σ(1)

1 , de Σ(1)1 con Σ(2)

2 , ..., pues obtendríamos cuatro matrices de intersecciónracionales, sino como una y misma cadena Γ que se le ha aplicado la operación de plumbingpara obtener la 4-variedad P (Γ).Dado que esta matriz de intersección racional (3.9), en su diagonal principal, reproduce cer-

canamente la jerarquía de las constantes de acoplamiento adimensionales de las fuerzas fun-damentales de la naturaleza, podemos interpretar el diagrama tipo plumbing de la Figura 3.3como el estado actual del universo, donde interaccionan las cinco fuerzas fundamentales [8]. Sinembargo, nada nos impide empalmar las restantes esferas homológicas. Tal acción se ilustra enla Figura 3.4, donde en la segunda columna se han empalmado las esferas homológicas Σ(0)

1 , Σ(1)2 ,

..., Σ(3)4 , en la tercera Σ(0)

2 , Σ(1)3 y Σ(2)

4 , en la cuarta Σ(0)3 y Σ(1)

4 y finalmente Σ(0)4 , obteniendo

matrices de intersección racionales de tamaños 4×4, ..., 1×1, respectivamente. Entonces, puestoque nuestro modelo (primer columna) se interpreta como el estado actual del Universo (interac-ción de las fuerzas fundamentales), las columnas restantes a la izquierda se interpretan como lasinteracciones en etapas anteriores del Universo, donde aún existían fuerzas unificadas, sin dis-tinción. De modo que la 1×1-matriz de la esfera homológica aislada de la Figura 3.4 representael inicio de Universo donde las fuerzas fundamentales se encuentran unidas. Cada columna seinterpreta entonces, como un cambio de topología que sufre el Universo, distinguiéndose cadafuerza fundamental durante las etapas de evolución.

45

3.6. INTERPRETACIÓNCAPÍTULO 3. REPRODUCCIÓN DE LAS CONSTANTES DE ACOPLAMIENTO

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Figura 3.4.: Diagrama tipo plumbing que representa diferentes etapas del Universo.46

4 Capítulo 4.

Aplicación de esferas homológicasEn el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página

par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estabanumerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios:un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño. [...] -No puede ser, pero es.El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, laúltima. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender quelos términos de una serie infinita admiten cualquier número.

Fragmento de El libro de arena,El Libro de Arena, 1975,por Jorge Luis Borges.

En este capítulo, basado en [4], explicamos cómo una esfera homológica tiene una repre-sentación de nudo. Después, ayudados de [10] coprendemos el algoritmo para obtener el Poli-nomio de Jones de un nudo. Posteriormente, damos un resumen en teorías de norma basadosen [11] y finalmente logramos conectar las esferas homológicas con dichas teorías de normaayudados por [11, 12, 13].

47

4.1. ESFERA HOMOLÓGICA COMO NUDOCAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS

4.1. Esfera homológica como NudoEsta sección está basada en la Lectura 3 de [4]. En tal lectura, Saveliev explica el algoritmo

necesario para conocer la representación de nudo que tiene una esfera homológica cuando ésta esvista como un grafo tipo plumbing, ver Apéndice A. Para ello necesitamos la siguiente definición.

Definición 2. Sean dos nudos K1 y K2 en unión disjunta (en el sentido de que están enlazados)y orientados en embedidos en la 3-esfera S3 o en R3. El número de enlace L(K1, K2) representael número de veces que cada curva da vueltas entorno a la otra.

Figura 4.1.: Ejemplos de número de enlace L = +2 y L = −2, respectivamente.

Ejemplo 20. La Figura 4.1 representa dos números de enlace entre dos nudos triviales: L = +2y L = −2, respectivamente.

Ejemplo 21. El número de enlace también pude ser calculado a través de la integral

L(K1, K2) = {γ1, γ2} = 14π

∮γ1

∮γ2

〈[d~r1, d~r2], ~r12〉r3

12, (4.1)

que es conocida como integral de enlace de Gauß, donde ~r12 = ~r1 − ~r2 y r12 su magnitud, [·, ·] y〈·, ·〉 representan los productos vectorial y escalar. La Figura 4.2a ilustra el enlace de dos nudostriviales.Dadas las parametrizaciones ~r1(t) = (0, 0, t1) y ~r2(t) = (cos t2, sin t2, 0), tenemos ~r12 =

(− cos t2,− sin t2, t1), r12 =√

1 + t21, d~r1 = (0, 0, dt1), d~r2 = (− sin t2, cos t2, 0)dt2, entonces

[d~r1, d~r2] =

∣∣∣∣∣∣∣i j k0 0 1

− sin t2 cos t2 0

∣∣∣∣∣∣∣ dt1dt2 = −

cos t2sin t2

0

dt1dt2,〈[d~r1, d~r2], ~r12〉 = (cos2 t2 + sin2 t2)dt1dt2 = dt1dt2. Así, al sustituir

{γ1, γ2} = 14π

∫ ∞−∞

∫ 2π

0

dt2d2

(1 + t21) 32,

= 12

∫ ∞−∞

2πdt1(1 + t21) 3

2,

48

CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS4.1. ESFERA HOMOLÓGICA COMO NUDO

(a) Dos nudos trivialesenlazados.

- χ

6tanh z

(b)

Figura 4.2.: Gráficos del Ejemplo 21.

haciendo t1 = sinh z, dt1 = cosh zdz, entonces

{γ1, γ2} = 12

∫ ∞−∞

cosh zdz(1 + sinh2 z) 3

2,

= 12

∫ ∞−∞

cosh zdz(cosh2 z) 3

2,

= 12

∫ ∞−∞

dz

cosh2 z,

= 12

[sinh zcosh z

]∣∣∣∣∣∞

−∞,

= 12 tanh z|∞−∞,

{γ1, γ2} = 1,

resultado obtenido con ayuda de la gráfica de la función tanh z, Figura 4.2b.

Dicho lo anterior, procedemos a describir la representación de nudo que tiene la esfera ho-mológica Σ(a1, a2, a3) como sigue,

1. Dada Σ(a1, a2, a3), encuentra la representación de grafo tipo plumbing y de enlace, comose explica en el Apéndice A.

2. Aplica movimientos de Kirby, como blow-up y blow-down y los representados en la FiguraA.8, para ambas representaciones.

Ejemplo 22. La esfera homológica Σ(3, 4, 7) tiene una ecuación diofántica de 28b1 + 21b2 +12b3 = 1 para lo cual la tripleta (1, , 1,−4) cumple. Entonces, las fracciones contínuas son 3

1 =

[3], 41 = [4] y −7

4 = [−2,−4]. Así, el grafo tipo plumbing que representa a la esfera homológicaΣ(3, 4, 7) se ilustra en la Figura 4.3a. Por medio de movimientos de blow-up es posible obtenerla forma del grafo tipo plumbing de la Figura 4.3b, que al pasar a su representación de enlacey haciendo blow-down 3 veces obtenemos el nudo representado en las Figuras 4.3c y 4.3d. Al

49

4.2. POLINOMIOS DE JONESCAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS

3 0 −2 −4

4(a) Representación de grafo tipo

plumbing para Σ(3, 4, 7).

−2 −2 −1 −2 −4

4(b) Aplicación de movimientos de Kirby

para obtener una representación análo-ga.

(c) (d) (e)

(f) (g)

Figura 4.3.: Representación de la esfera homológica Σ(3, 4, 7) de nudo K = 10132.

deslizar dos de las siete vueltas y enlazar con el nudo de peso -4, tenemos la Figura 4.3e, quepor dos movimientos de blow-down obtenemos el nudo de la Figura 4.3g. Tal nudo es conocidocomo K = 10132.

Para la esfera homológica que representa el estado actual de Universo obtenida por el empalmede las esferas homológicas de la familia (3.7) representada en la Figura 3.3 es podible tener unarepresentación de nudo.

4.2. Polinomios de JonesLos polinomios de Jones VK(t) son polinomios de Lourent en t asignados a un nudo K, es

decir, de la forma

. . . a−nt−n + a−(n−1)t

−(n−1) + . . .+ a−1t−1 + a0 + a1t+ ant

n + . . . ,

y satisfacen las relaciones

50

CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS4.2. POLINOMIOS DE JONES

Figura 4.4.: Relaciones de cruce: L+, L0 y L−, respectivamente.

1.1tV (L+)− tV (L−) =

(√t− 1√

t

)V (L0), (4.2)

2.V (K t©) = −

(1√t

+√t

)V (L), (4.3)

3.V (©) = 1, (4.4)

donde L+, L− y L0 se ilustran en la Figura 4.4. Los pasos a seguir para encontrar el polinomiode Jones VK(t) asociado a un nudo K son los siguientes:

1. Observa el nudo y selecciona un cruce.

2. Identifica con las relaciones de cruce y obtén ambos cruces restantes transformando elnudo. Observa que se vuelve más sencillo.

3. Coloca el nudo y sus dos transformaciones en la relación 1.

4. Repite el proceso hasta conseguir círculos.

Ejemplo 23. El polinomio de Jones asociado al nudo de trébol izquierdo se obtiene como sigue,

1. Observamos el nudo y seleccionamos un cruce, por ejemplo .

2. Entonces, L− es el trébol izquierdo y las transformaciones son L+ = =© y L0 = .

Observa que L+ es un círculo y de la relación 3, V ( ) = 1.

3. Colocamos en la relación 1,

1t− tV ( ) =

(√t− 1√

t

)V ( ) (4.5)

donde ahora el problema es L0. Volvemos a aplicar el proceso para L0.

51


a) Tenemos al nudo como L−, entonces L+ = y L0 = .

b) Aplicando las relaciones 2 y 3, vemos que V ( ) = −(

1√t

+√t

)y V (L0) = 1

c) Colocamos en la relación 1,

−1t

(1√t

+√t

)− tV ( ) =

(√t− 1√

t

)

y despejamos

V ( ) = 1t

[1t

(1√t

+√t

)−(√

t− 1√t

)],

= 1t

(− 1√

t3− 1√

t− 1√

t+ 1√

t

)

V ( ) = − 1√t5− 1√

t

(4.6)

La ecuación (4.6) muestra el polonomio de Jones asociado al enlace de dos círculos (enlacede Hopf).

4. Sustituimos la ecuación (4.6) en (4.5) y despejamos la incógnita,

V ( ) = 1t

[1t−(√

t− 1√t

)(− 1√

t− 1√

t5

)]

= 1t2

+ 1t− 1t3− 1t2− 1t4

V ( ) = − 1t4

+ 1t3

+ 1t.

(4.7)

El polinomio asociado al trébol derecho es V ( ) = t+ t3− t4 y es obtenido a través del mismoproceso como se ilustra en la Figura 4.5.

Ejemplo 24. El nudo es conocido como 63 y su polinomio de Jones es obtenido paso apaso en la Figura 4.6. Primero seleccionamos un cruce, como en la Figura 4.6b. Al identificarcon las relaciones de cruce de la Figura 4.4, tenemos

1t− tV (L−) =

(√t− 1√

t

)V (L0),

52

CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS4.2. POLINOMIOS DE JONES

Figura 4.5.: Proceso para obtener el polinomio de Jones asociado al trébol derecho.

ya que el nudo de la Figura 4.6c es trivial. Ahora nos ocupamos del polinomio del nudo dela Figura 4.6d, V (L0) y vemos que tiene dos polinomios a la vez: uno para el enlace de Hopfy otro para el tipo moño que hemos seleccionado en la Figura 4.6e. De ahí tenemos a L+ yaplicando las relaciones de cruce obtenemos las Figuras 4.6f (que es un enlace de Hopf) y 4.6g.Nuevamente, en la Figura 4.6g aplicamos las relaciones de cruce para obtener las Figuras 4.6h,4.6i y 4.6j. Al sustituir en cascada, encontramos que el polinomio de Jones para el nudo K = 63es

V63(t) = − 1t3

+ 2 1t2− 21

t+ 3− 2t+ 2t2 − t3. (4.8)

Ejemplo 25. El nudo que representa a la esfera homológica Σ(3, 4, 7) de la Figura 4.3 esK = 10132. Éste tiene un polinomio de Jones asociado

V10132(t) = − 1t7

+ 1t6− 1t5

+ 1t4

+ 1t2. (4.9)

que puede ser calculado en tablas.

Comentario: siempre es posible obtener una representación de nudo de cada esfera homológ-ica, como lo prueba Saveliev en [4]. Sin embargo, intuitivamente podemos decir que el polinomiode Jones que es obtenido de este nudo que representa a una esfera homológica es complicadode obtener a mano, sin embargo, me gustaría contactar con personas que desarrollar algoritmospara obtener polinomios de nudos y en todo caso contribuir a facilitar su obtención.

53


(a) Nudo 63 (b) Selección de uncruce: L−

(c) L+ = ©, en-tonces V (L+) =1.

(d) L0

(e) Selección de unnuevo cruce: L+

(f) L−: enlacede Hopf, en-tonces V (t) =− 1√t5− 1√t

(g) L0: dos enlaces deHopf.

(h) L−: aplicamoslas relaciones2 y 3, V (t) =(1 + t)(1 + t2) 1

t3

(i) L0: de las relaciones 2 y3, V (t) = (1 + t) 1√

t

(j) L− =©: V (t) = 1

Figura 4.6.: Obteniendo el polinomio de Jones asociado al nudo K = 63.

54

CAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS4.3. BREVE REPASO A LAS TEORÍAS DE YANG-MILLS Y CHERN-SIMONS

4.3. Breve repaso a las Teorías de Yang-Mills yChern-Simons

Esta sección está basada en los capítulos 3, 4 y 5 de la parte II del libro de Baez-Muniain [11].El modelo estándar se construye de teorías de norma no abelianas. Ahora tratamos de describirlas características importantes de la Teoría de Yang-Mills para el grupo de norma SU(2) comouna teoría isotópica de espín. Consideramos el caso donde los operadores de campo ψ y susrespectivos estados de la partícula desde una representación irreducible T = 1

2 del operador ψSU(2) es un isoespinor y T = 1

2~τ donde

~τ =

τ1τ2τ3

.donde τi son las matrices de Pauli. Entonces, bajo una transformación local SU(2), esto es,

ψ →ψ′ = ei2~τ ·~θ

= ei~τ ·~α

∂µψ →∂µψ′ = ∂(ei~τ ·~αψ

)= i~τ · ∂µαei~τ ·~αψ + ei~τ ·~α∂µψ

= ei~τ ·~α (∂µ + i~τ · ∂µ~α)ψ,

(4.10)

donde α = θ

2 es un vector isotópico. Introducimos un campo de norma para absorber el términoαµ~α y éste debe ser un vector en el isoespacio. Para ello, necesitamos introducir un campo deisovector ~Gµ, que es también un cuadrivector en el espaciotiempo, es decir, son tres cuadrivec-tores ~G1µ, ~G2µ y ~G3µ que rotan uno tras otro bajo rotaciones de isoespín SU(2). Con ello,definimos una derivada covariante

Dµψ =(∂µ + ig

~τ

2 ·~Gµ

)ψ, (4.11)

donde hemos usado 12~τ para los generadores ya que ψ es un espinor (T = 1

2). Tal derivada Dµψreemplazará a ∂µψ, exigiendo que

D′µψ′ = ei~τ ·αDµψ, (4.12)

es decir,

D′µψ′ = ei~τ ·~αDµψ

= ei~τ ·~α(∂µ + ig

~τ

2 ·~Gµ

)e−i~τ ·~αψ′

=[∂µ − i~τ∂µ~α + igei~τ ·~α

(~τ

2 ·~Gµ

)e−i~τ ·~α

]ψ′

(4.13)

55

4.3. BREVE REPASO A LAS TEORÍAS DE YANG-MILLS Y CHERN-SIMONSCAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS

esto nos dice queD′µ debe ser igual a la expresión dentro de los corchetes y más aún, comparandocon la ecuación (4.11) tenemos,

∂µ + ig~τ

2 ·~G′µ = ∂µ − i~τ∂µ~α + igei~τ ·~α

(~τ

2 ·~Gµ

)e−i~τ ·~α,

que al reordenar,~τ

2 ·~G′µ = ei~τ ·~α

(~τ

2 ·~Gµ

)e−i~τ ·~α − 1

g~τ · ∂µ~α. (4.14)

Esto significa, desde que ~τ rota como un isovector, que cada término

ei~τ ·~α(τ

2 ·~Gµ

)e−i~τ ·~α = ei~τ ·~α

τi2 e−i~τ ·~αGi

µ

= RTij

τj2 G

iµ,

así,

τiG′jµ = RT

ijτjGiµ −

2gτj∂µα

j,

G′jµ = RjiGiµ −

2g∂µα

j(4.15)

esto debido a la independencia de las matrices de Pauli. La ecuación (4.15) nos dice que elcampo de norma ha sido rotado, como lo haría un campo vectorial, y desplazado.La dinámica de este campo está dado por un tensor Fµν en términos de ~G bajo rotaciones en

el isoespacio, esto es,F iµν = ∂µG

iν − ∂νGi

µ. (4.16)

Para encontrar la forma explícita de F iµν primero consideramos una rotación por ~θ en la matriz

Rji = Rji(θ). De la ecuación (4.15),

F iµν = ∂µG

′jν − ∂νG′jµ

= ∂µ

(RjiG

iν −

2g∂να

j

)− ∂µ

(RjiG

iµ + 2

g∂µα

j

),

= Rji∂µGiν + [∂µRji(θ)]Gi

ν −Rji∂νGiµ − [∂νRji(θ)]Gi

µ,

= Rij

(∂µG

iν − ∂νGi

µ

)+ (∂µRji)Gi

ν − (∂νRji)Giµ.

(4.17)

Si consideramos hacer una transformación infinitesimal en la ecuación (4.14), para ~α muy pe-queño,

e±i~τ ·~α ≈ 1± i~τ · ~α,ei~τ ·~α

(~τ · ~Gµ

)e−i~τ ·~α = (1 + i~τ · ~α)

(τjG

jµ

)(1− i~τ · ~α),

= τjGjµ + iτiτjα

iGjµ − iτjτiαiGj

µ +O(α2),= ~τ · ~Gµ + i[τi, τj]αiGj

µ +O(α2),

56


para obtener desde ecuación (4.14),

~τ · ~G′µ = ~τ · ~Gµ + i[τi, τj]αiGjµ −

2g~τ ∂αµ~α +O(~α).

Nuevamente, esto es independiente de las matrices de Pauli,

~G′µ = ~Gµ − 2(~α× ~Gµ)− 2g∂µ~α +O(~α)

G′iµ = Giµ − 2εijkαjGk

µ −2g∂µα

i +O(α2).(4.18)

Si introducimos la ecuación (4.18) en (4.17), observamos que los términos extras que surgieronpor transformaciones locales en la parte derecha de la ecuación (4.17) deben venir de la derivadaactuando sobre ~α en el término ~α× ~Gµ y el tercer término de (4.18) produce ∂µ∂ν~α−∂ν∂µ~α = 0.También contiene a −2

[(∂µ~α)× ~Gν − ∂ν~α)× ~Gµ

]+ O(α) y esto sugiere que necesitamos un

término ~Gµ × ~Gν en ~Fµν para cancelar tal último término, es decir,

~Fµν = ∂µ ~Gν − ∂ν ~Gµ − g ~Gµ × ~Gν ,

F iµν = ∂µG

iν − ∂νGi

µ − gεijkGjµG

kν .

(4.19)

De manera general,F iµν = ∂µG

iν − ∂νGi

µ − gcijkGjµG

kν , (4.20)

donde cijk son las constrantes de estructura y F iµν y Gi

µ forman una representación adjunta delgrupo de norma, i, j, k = 1, . . . , n donde n es la dimensión de la representación adjunta delgrupo: n = 3 para SU(2) y SO(3), n = 8 para SU(3), etc. Así, el lagrangiano que es invarianteante transformaciones de SU(2) para el campo de norma es

L ∝ ~F µν ~Fµν =(∂µ ~Gν − ∂ν ~Gµ − g ~Gµ × ~Gν

)·(∂µ ~Gν − ∂ν ~Gµ − g ~Gµ × ~Gν

)=(∂µGiν − ∂νGiµ − gεijkGjµGkν

) (∂µG

iν − ∂νGi

µ − gεijkGjµG

kν

).

(4.21)

Naturalmente que al desarrollar el producto nos encontraremos con términos de ~G en primera,segunda, tercera y cuarta potencias. Los términos cuadráticos caracterizan usualmente a laenergía cinética, mientras que los términos con tercera (tres bosones de norma) y cuarta (cuatrobosones de norma) potencias representan interacciones de las partículas de norma entre ellas.Por ello, las partículas de norma no son partículas neutrales con respecto a la isocarga, esto es,por ejemplo, la manera en que el fotón es neutral con respecto a la carga eléctrica.En el lagrangiano de la ecuación (4.21), está escrito de manera general; si ~G es el cuadrivector

potencial ~A, tenemos las componentes del tensor

F iµν = ∂µA

iν − ∂νAiµ + gcijkA

kµA

kν ,

= dA+ A ∧ A(4.22)

57


y el lagrangiano es

LYM = −14F

µνiF iµν

= −14Tr(F ∧ ?F ),

(4.23)

así como el funcionalSYM = 1

e2

∫M

Tr(F ∧ ?F ) (4.24)

donde ? es el operador Hodge. Finalmente, los campos de norma deben formar una repre-sentación adjunta del grupo de norma, como lo hacen los generadores, esto significa que poseencarga. Los campos de norma tienen partículas de norma en interacción.El funcional en la teoría de Chern-Simons es similar al de la teoría de Yang-Mills,

SCS = 18π2

∫M

Tr(F ∧ F ),

con la diferencia de que A→ tA, de modo que desde la ecuación (4.22) tenemos,

dA = dt ∧ A+ tdA,

A ∧ A = t2A ∧ A,F = dt ∧ A+ tdA+ t2A ∧ A,

F ∧ F =(dt ∧ A+ tdA+ t2A ∧ A

)∧(dt ∧ A+ tdA+ t2A ∧ A

)= tdA ∧ dt ∧ A+ t2A ∧ A ∧ dt ∧ A+ tdt ∧ A ∧ dA+ t2dA ∧ dA+ t3A ∧ A ∧ dA+ t2dt ∧ A ∧ A ∧ A+ t3dA ∧ A ∧ A= 2tdt ∧ A ∧ dA+ t2dA ∧ dA+ 2t2dt ∧ A ∧ A ∧ A+ 2t3dA ∧ A ∧ A,

donde hemos usado dt ∧ dt = 0 y posteriormente, TrA ∧ A ∧ A ∧ A = 0. Tal producto puedeverse como un diferencial exterior, es decir,

F ∧ F = d(t2A ∧ dA+ 2

3t3A ∧ A ∧ A

),

entonces, el lagrangiano y su funcional son

LCS = d[Tr(t2A ∧ dA+ 2

3t3A ∧ A ∧ A

)],

SCS = 18π2

∫M

Tr(A ∧ dA+ 2

3A ∧ A ∧ A),

(4.25)

donde hemos aplicado el teorema de Stokes y regresado a tA→ A.¿Por qué tocar esta teoría? En el libro de Baez-Muniain, concretamente en las páginas 321-

325, ofrece una explicación clara de la relación de la ecuación de enlace de Gauß (21) y elpotencial vectorial del campo magnético,

w(L) =∫R3A ∧B,

58


Figura 4.7.: Un nudo es una relación de enlace embebida en S3.

dado que B = dA. Esta analogía con la acción de la teoría de Chern-Simons abre un panoramade posibilidades para introducir los conocimientos de nudos con tal teoría.Witten nos dice en sus artículos [12, 13] que la cuantización en la teoría de Chern-Simons

conlleva a observables de partículas. La trayectoria o el camino de la partícula podría ser comoun nudo. Pero, ¿cómo saber el posible destino de la partícula? La respuesta está en una teoríacuántica que es el Modelo Estándar de física de partículas. Cuando una partícula se muevedescribiendo una trayectoria de nudo K, existe un observable llamado amplitud de probabilidadque se interpreta como la probabilidad de la tal partícula llegue a su destino y ésta se calculacon el operador de Wilson WK . Naturalmete que para distintas trayectorias de nudos tenemosdistintas amplitudes de probabilidad. La excelente relación que Witten descubre en [12] es queel valor promedio del operador de Wilson para una partícula que describe un camino anudadoK es el polonomio de Jones JK . De hecho, el operador de Wilson es un invariante topológicopara la teoría de Chern-Simons.En resumen, nos dicen que un nudo es una relación de enlace embebida en la 3-esfera S3,

como se muestra en la Figura 4.7.Para dos nudos K1 y K2 es posible, por medio de una distorción contínua (movimientos de

Reidermeister), obtener uno del otro, entonces se dice que tales nudos cumplen con invarianzade isotopía, K1 ∼ K2. La idea intuitiva es que tales movimientos son caminos posibles y que lasuma de todos los caminos posibles tiene relación con integral de camino de Feynman, donde siγ es un camino, un observable que podemos obtener son las amplitudes de transición sobre elespacio de caminos, es decir,

ei~S(γ)Dγ,

donde Dγ es una medida intrínseca del espacio (en el espacio 3-D, Dγ = dxdydz) de caminosy S(γ) es la acción. Las teorías de Yang-Mills, así como Chern-Simons, son invariantes antetransformaciones de norma y preservan su orientación, entonces el exponencial

eik4πSCS(A),

es también un invariante ante transformaciones de norma. Un loop en S es un mapeo contínuoγ desde el intervalo unidad a S, es decir,

γ : [0, 1]→ S

s 7→ γa(s),

59


cuyos extremos γ(0) = γ(1). Para una relación de enlace orientada entre nudos L, con compo-nentes dados por loops γ1, γ2, . . . , γn, el valor de expectación

〈W (γ1) ·W (γ2) · · ·W (γn)〉 ∝n∏i=1

W (Ki)eik4πSCS , (4.26)

donde i = 1, 2, . . . , n el número de nudos que intervienen en la relación de enlace. Entonces, estevalor de expectación tiene características interesantes:

es invariante bajo transformaciones de norma locales y por ello es un observable parateorías de norma,

es invariante bajo reparametrizaciones preservando la orientación del loop γ, esto es, in-variante ante isotopías y

es independiente de la selección del punto base en el loop γ.Dicho lo anterior, podemos establecer una relación directa entre las relaciones (4.26) y el invari-ante de nudos L(K1, K2, . . . , Kn)

L(K1, K2, . . . , Kn) ∝n∏i=1

W (Ki)eik4πSCS , (4.27)

esto es un invariante para cada representación de dimensión finita de un grupo. La vista ge-ométrica que Witten [12] nos ofrece, es considerar una esfera M es cortada cuando un nudo Cse encuentra embebido en ella. En la Figura 4.8a se aprecia una esfera pequeña S seleccionadoun cruce. Esto produce los hemisferios derecho e izquierdo. El hemisferio derecho contiene partedel nudo, Figura 4.8b. La idea de Witten es que el hemisferio derecho puede ser sustituido poruno de dos hemisferios que satisfagan ambas relaciones de enlace restantes (Figura 4.4), comoen la Figura 4.8c.Así, en el caso particular cuandoM = S3, para cada estado de la partícula corresponde a uno

de los obserbables (estados posibles que toma la partícula, Figura 4.9) y la combinación linealde ellos

αZ(L+) + βZ(L0) + γZ(L−) = 0

es también un observable proporcional a 〈n∏i=1

W (Ki)〉. La propuesta es que las constantes α, β

y γ sean también invariantes ante rotaciones de grado k, por ello

t = e2iπk+2 ,

y precisamente esas constantes son

tZ(L+)− 1tZ(L−) =

(√t− 1√

t

)Z(L0)

el polinomio de Jones VK(t) asociado a un nudo K, ecuación (4.2). De modo que, el observablede estas teorías, a saber, el operador de Wilson es proporcional al polinomio de Jones,

VK(t) ∝ 〈n∏i=1

W (Ki)〉LCS ,S3 . (4.28)

60


(a) Un nudo C embebido en una es-fera M . La esfera pequeña S se-lecciona un cruce.

(b) M ha sido cortada, al igual que el nudo C.

(c) Relaciones de cruce para nudos.

Figura 4.8.: Idea de Witten.

61

4.4. LAS ESFERAS HOMOLÓGICAS COMO OBSERVABLESCAPÍTULO 4. APLICACIÓN DE ESFERAS HOMOLÓGICAS

Figura 4.9.: Relaciones de cruce asociadas al nudo cortado.

4.4. Las esferas homológicas como observablesDesde que la matriz de intersección racional es un invariante de esferas homológicas operadas

por plumbing y reproduce la jerarquía de las constantes de acoplamiento adimensionales delas fuerzas fundamentales de la naturaleza, considero que son objetos matemáticos (variedadestopológicas) que ofrecen mucha información (cuando son vistas como nudos) a las teorías denorma, como lo es Chern-Simons. Es de esperarse que el polinomio de Jones sea muy largo ydifícil de calcular, ya que el nudo que representa al estado actual del Universo podrían ser 5nudos totalmente entrelazados. Sin embargo, es posible desarrollar algoritmos de computadoraque facilien estos cálculos.

62

5 Capítulo 5.

ConclusionesHe podido reproducir los cálculos en el proceso para encontrar la jerarquía de las constantesde acoplamiento adimensionales, como lo hicieron en [8, 9]. A través de esto, aprendí unanueva matemática, basado en estructuras abstractas que bajo operaciones establecidas esposible interpretar y/o proponer un modelo físico.

Dado que las esferas homológicas son variedades confiables, al menos como ingredienteprincipal para crear el cobordismo 4-dimensional que representa el estado actual de Uni-verso [8], es posible obtener de su empalme una representación de nudo asociado a unPolinomio de Jones que es el valor esperado del operador de Wilson en la Teoría SU(2)-Chern-Simons.

Perspectivas

Durante el tiempo de realización de esta tesis (semestre de invierno 2011), aprendí abuscar bibliografía referente a este trabajo, en las bases de datos de arXiv y SpringerLinkno encontrando una relación esferas homológicas → polinomios de Jones → teoría deChern-Simons. En un futuro próximo, deseo encontrar un algoritmo y automatizarlo encomputadora para obtener polinomios de Jones para la representación de nudo de unacomplicada esfera homológica asociada a la interpretación del estado actual del Universo.

Me quedan dos preguntas que comparto con ustedes: la primera, cada una de las 5 eta-pas del Universo es representada por las columnas de la Figura 3.4, ¿cómo se interpretafísicamente el cambio de cada etapa? y la segunda, si obtenemos el polinomio de Jones deesta esfera homológica asociada al estado actual del Universo, ¿qué podríamos predecir delUniverso?

63

A Apéndice A.

Espacios de lentes

5 3

−2

0

5 3

2

1

Ein Traum

Lo sabían los tres.Ella era la compañera de Kafka.Kafka la había soñado.Lo sabían los tres.Él era amigo de Kafka.Kafka lo había soñado.Lo sabían los tres.La mujer le dijo al amigo:Quiero que esta noche me quieras.Lo sabían los tres.El hombre le contestó: Si pecamosKafka dejará de soñarnos.Uno lo supo.No había nadie más en la tierra.Kafka se dijo:Ahora que se fueron los dos, he quedado solo.Dejaré de soñarme.

Jorge Luis Borgesde La moneda de hierro (1976).

Dado que los algoritmos de solución a la ecuación diofántica y desarrollo de la fracción con-tínua no son únicos, es posible tener distintas representaciones de esferas homológicas. En esteApéndice hacemos un resumen con ejemplos de los Movimientos de Kirby necesarios para sabersi dos o más esferas homológicas tienen la misma representación.

65

A.1. REPRESENTACIONES DE UNA ESFERA HOMOLÓGICAAPÉNDICE A. ESPACIOS DE LENTES

· · ·

−t1 −t2 −t3 −tn−1 −tn

Figura A.2.: Cadena de círculos.

−t1 −t2 . . .−tn

Figura A.3.: Cadena de círculos como una grafo.

A.1. Representaciones de una Esfera HomológicaDados un par de números positivos y coprimos entre si p, q, consideramos S3 como un sub-

conjunto de C2 consistente de los puntos (z1, z2) tales que z21 + z2

2 = 1. En S3 introducimos unarelación de equivalencia definida por (z1, z2) ∼ (z1ε, z2ε

q), donde ε = e2πip . El espacio cociente

de S3 por esta acción, S3/ ∼, es una 3-variedad llamada espacio de lentes L(p, q). Los espaciosde lentes están estrechamente relacionados con las variedades de SeifertM [(a1, b1), . . . , (an, bn)].El espacio de lentes L(a, b) es una variedad de Seifert con una fibra singular, esto es M(a, b),mientras que para dos fibras singulares M [(a1, b1), (a2, b2)] es L(a1b2 + a2b1, a1a2).

pl

qm6�

Figura A.1.: El toro como unespacio de lentesL(p, q).

Un 2-toro tiene dos generadores S1 × S1, los números p yq son el número de vueltas que la longitud y el meridianopueden dar, Figura A.1. Dicho lo anterior,

Proposición A.1. Cualquier espacio de lentes L(p, q) puedeser representado por una cadena de círculos entrelazados ytiene una descomposición en fracción contínua

p

q= t1 −

1

t2 −1

. . .− 1tn

=: [t1, t2, . . . , tn]

Con esto, podemos representar a un espacio de lentes como un grafo, donde cada vértice esponderado como −ti y significa el número de vueltas o de veces que el círculo i está enlazado conel círculo i+ 1. Esto se convierte en un mapa conceptual entre variedades de Seifert, espacios delentes y grafos. Si las variedades de Seifert representan espacios de lentes y los espacio de lentesson representados por grafos, entonces hay una manera de relacionar grafos con variedades deSeifert. De manera general, la variedad de Seifert M [(a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn)] asociada ala esfera homológica Σ(a1, a2, . . . , an), tiene una representación como el de la Figura A.2 conun grafo tipo estrella de la Figura A.3. En la Figura A.4 se ilustra una representación para

66

APÉNDICE A. ESPACIOS DE LENTESA.1. REPRESENTACIONES DE UNA ESFERA HOMOLÓGICA

a1

b1

a2

b2

a3

b3

b = 0

Figura A.4.: Descomposición de una 3-esfera homológica fibrada de Seifert.

2 2 0 −3 −2

−4(a) De grafo.

2 2 −3 −2

−4

0

(b) De enlace.

Figura A.5.: Representaciones para la esfera homológica Σ(3, 4, 5).

una 3-esfera homológica de Seifert. Cabe señalar que un círculo es un nudo trivial y que porcaracterísticas de los programas de diseño en LaTex, no los representamos como son; de maneraque para un círculo ponderado con n significa que enlaza n veces a otro.

Ejemplo 26. La 3-esfera homológica Σ(3, 4, 5) tiene una representación de grafo y de enlacecomo sigue. Obtenemos su ecuación diofántica, 20b1 + 15b2 + 12b3 = 1 para lo cual b1 = 2,b2 = −1 y b3 = −2 cumplen la igualdad. Las fracciones contínuas son 3

2 = [2, 2], −41 = [−4]

y 52 = [−3,−2]. Las Figuras A.5a y A.5b represetan a la esfera Σ(3, 4, 5): la primera con una

representación de grafo y la segunda con una representación de enlace. Los números indican elnúmero de vueltas que un nudo enlaza a otro.

Ejemplo 27. El espacio de lentes L(p, q) = L(7, 3) tiene una representación de enlace dadopor p

q= 7

3 = [3, 2, 2] que se ilustra en la Figura A.6.

67

A.2. MOVIMIENTOS DE KIRBY APÉNDICE A. ESPACIOS DE LENTES

−3 −2 −2

Figura A.6.: Espacio de Lentes L(7, 3) en representación de enlace.

−1n− 1

=−1

n

(a) n = 1.

+1n+ 1

=+1

n

(b) n = 1.

−1=

−1

(c) n = 2.

Figura A.7.: Movimientos de Kirby para diagramas de enlace.

A.2. Movimientos de KirbyDebido a que la descomposición en fracciones contínuas no es única, éstas representan dis-

tintos diagramas de enlace o de grafos, ¿pero representarán a la misma esfera homológica? Losmovimientos de Kirby, en representación de diagramas de enlace, nos ayudan a saber si dosespacios de lentes o diagramas de grafos son los mismos. Básicamente nos dicen que si a travésde un nudo N1 ponderado como ±1 pasa otro nudo N2 que lo enlaza n-veces es posible separarN1 y dar ± giro a N2. Los casos en que n = 1 y n = 2 se ilustran en la Figura A.7. A laoperación que consiste en separar componentes de peso ±1 es conocida como blow-down y suoperación inversa, de adherir componentes de peso ±1, se llama blow-up.Si tenemos diagramas de grafos, los movimientos se traducen en la siguiente forma y se ilustran

en la Figura A.8.

1. Eliminando componentes.a) Elimina una componente de Γ1 consistente de un vértice aislado con peso de ±1.

68

APÉNDICE A. ESPACIOS DE LENTES A.2. MOVIMIENTOS DE KIRBY

Γ′1

Γ′t

0 e3.

2.

1.c

1.b

e1 0 e2e1 + e2→

→

→

e1 ± 1 ±1 e2 ± 1 e1 e2

e± 1 ±1e

Figura A.8.: Movimientos de Kirby.

69

A.2. MOVIMIENTOS DE KIRBY APÉNDICE A. ESPACIOS DE LENTES

b) Para dos vértices unidos y uno de ellos tiene peso ±1 y el otro e± 1, podemos tenerun solo vértice con peso de e.

c) Para dos vértices con pesos de e1±1 y e2±1 separados por otro de peso ±1, podemosunirlos teniendo dos vértices con pesos e1 y e2 respectivamente.

2. Para dos vérices e1 y e2 separados por otro de valor 0, es equivalente tener a uno solo conpeso de e1 + e2.

3. En una cadena tipo estrella de Γ′1,Γ′2, . . . ,Γ′t, es equivalente tener la unión disjunta deΓ′1,Γ′2, . . . ,Γ′t.

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Bibliografía[1] Tegmark, Max, Aguirre, Anthony, Rees, Martin J., Wilczek, Frank, Dimensionless con-

stants, cosmology and other dark matters, (Phys. Rev. D 73, 023505 (2006). arXiv:astro-ph/0511774v3).

[2] Saveliev, Nikolai, Invariants for Homology 3-Spheres, (Springer, Heidelberg, 2002).

[3] Orlik, Peter, Seifert Manifolds, (Springer, Heidelberg, 1972).

[4] Saveliev, Nikolai, Lectures on the Topology of 3-Manifolds, (deGruyter Textbook, Berlín,1999).

[5] Eisenbud, David y Neumann, Walter D., Three-Dimensional Link Theory and Invariantsof Plane Curve Singularities, (Princeton, EEUU, 1985).

[6] Neumann, Walter D., A Calculus for Plumbing applied to the Topology of Complex SurfaceSingularities and Degenerating Complex Curves, (Trans. A. M. S., 1981).

[7] Saveliev, Nikolai, Fukumoto-Furuta Invariants of Plumbed Homology 3-Spheres, (PacificJournal of Mathematics, Vol. 205, No. 2, 2002).

[8] Efremov, Vladimir N., Hernández Magdaleno, Alfonso M., Moreno, Claudia, TopologicalOrigin of the Coupling Constants Hierarchy in Kaluza-Klein Approach, (International Jour-nal of Modern Physics A, Volume 25, Issue 13, pp. 2699-2733 (2010)).

[9] Hernández M., Alfonso M., Cosmología Topológica sobre los Cobordismos de Grafo y TeoríaTopológica del Campo, (Tesis doctoral, Universidad de Guadalajara, 2008).

[10] Murasugi, Kunio, Knot theory and its Applications, (Birkhäuser, 1996.)

[11] Baez, John C., Muniain, Javier P., Gauge Fields, Kanots and Gravity, (World Scientific,1994).

[12] Witten, Edward, Quantum Field Theory and the Jones Polynomial, (Comm. Math. Phys.Volume 121, Number 3 (1989), 351-399).

[13] Witten, Edward, Knots and Quantum Theory, (The Intitute Letter, Verano 2011)http://www.sns.ias.edu/ witten/papers/KnotsandPhysics.pdf.

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