UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL“LISANDRO ALVARADO”

Decanato de Ciencias y TecnologíaLicenciatura en Ciencias Matemáticas

“La Integral Definida Vía Análisis Asintótico”

Trabajo Especial de Grado presentado por

Elismar Suárez

como requisito final

para obtener el título de Licenciado

en Ciencias Matemáticas

Área de Conocimiento: Análisis Matemático.

Tutor: Dr. Neptalí Romero

Barquisimeto, Venezuela. Febrero de 2012

Dedicado a mi Dios y a mi familia, que

siempre se encuentran a mi lado

bendiciéndome, aconsejando y

llenandome de mucha sabiduría.

AGRADECIMIENTOS

La presente Tesis se realizó con mucho esfuerzo en el cual, directa o indirec-

tamente, participaron varias personas leyendo, opinando, corrigiendo, teniéndome

paciencia, dando ánimo, acompañando en los momentos de crisis y en los momentos

de felicidad.

Agradezco al Dr. Neptalí Romero por haber confiado en mi persona, por la pa-

ciencia, por sus comentarios en todo el proceso de elaboración de la Tesis con sus

atinadas correcciones y por la dirección de este trabajo. A mis padres Josefina Quin-

tero, Elisve Suárez y mi abuelo Hipolito Quintero por los consejos, el apoyo y el

ánimo que me brindaron y que, de forma incondicional, entendieron mis ausencias y

mis malos momentos. A mi hermana Lulimar Suárez por la atenta lectura y opiniones

sobre este trabajo que desde un principio hasta el día de hoy sigue dándome ánimo

para terminar este proceso. Gracias también a mis queridos compañeros, que me

apoyaron y me permitieron entrar en su vida durante estos casi seis años de convivir

dentro y fuera del salón de clase. Joan Pérez, Glennimar Carreño, Marcos Pérez, Car-

los Cuicas, Ifigenia Romero, Laura Valladares, Yesenia Rivas e Iliana Vargas, gracias.

Por otro lado agradezco a la Universidad Centroccidental "Lisandro Alvarado", es-

pecificamente al Departamento de Matemática del Decanato de Ciencias y a todo

su personal docente, administrativo y obrero porque durante mis años de estudios

me brindaron la oportunidad de formarme profesionalmente como matemático, y sin

restarle importancia como también mis amigos y amigas de Lic. Cs Matemáticas,

Ing. Informática, Ing. Producción y Análisis de Sistema que me he encontrado en es-

ta carrera transformandose prácticamente en segundos hermanos y hermanas donde

juntos pasamos multiples horas de estudios y de intercambio de conocimientos en la

biblioteca y en la Asociación de Estudiantes de Matemáticas (AsoEM) la cual me

permitió relacionarme y formar parte de los grupos organizados Kalua, Cine Club,

Abrebrecha, Sociedad Bolivariana, el Colectivo “Frabricio Ojeda”, Centro de Estu-

diantes, y apoyar a los equipos de softball “Quinto Elemento” y “Tragonometria”, y

i

Elismar Suárez. ii

de kickingball “Quinto Elemento Girls”(del cual fuí miembro) y “Lady’s Tragonome-

tria”. También, les agradezco a mis alumnos de la preparaduria en Introducción a la

Computación y de Pre-cálculo por haber contribuido con mi desarrollo como docente.

Gracias a todos.

ÍNDICE

Agradecimientos i

1. Notas Históricas del Cálculo 1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Sir Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Gottfried Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass . . . . . . . . . . . . 10

1.2.5. Georg Friedrich Bernhard Riemann . . . . . . . . . . . . 11

1.3. El Rescate de Cavalcante y Todorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. El Enfoque Asintótico 15

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Formalización Asintótica de∫ b

a

ρ(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Aplicaciones 26

Referencias bibliográficas. 36

ii

CAPÍTULO 1

NOTAS HISTÓRICAS DEL CÁLCULO

§1.1. Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad.

Una vez construído, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álge-

bra, la aritmética y la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

Las matemáticas, forman la base de todas las ciencias que maneja el hombre, de-

bido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos.

Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente,

la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar

atención en el bagaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a

través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de al-

guna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que

seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual

de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos

y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos.

Una larga lista de personas trabajaron con los métodos “infinitesimales” pero hubo

que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática

que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días. Sus aplicaciones

son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma,

ha recibido su influencia; y las diferentes partes del esqueleto matemático interactúan

constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna. Newton y Leibniz

1

Elismar Suárez. 2

son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga

cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimien-

tos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Isaac Barrow (1630-1677) y Pierre

de Fermat (1601-1665), la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método

novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Sin la contribución

de estos y de muchos otros hombres más, el Cálculo de Newton y Leibniz segura-

mente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica

que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia

empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolu-

ción científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse

con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V

y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos

por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI

con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El extraordinario avance registrado

por la matemática, la física y la técnología durante los siglos XVIII, XIX y XX,

se le debe esencialmente al Cálculo y es por eso que se puede considerar como una

de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

Recordemos que en el período comprendido entre Leibniz a Weierstrass, el cálculo era

comúnmente conocido como el cálculo infinitesimal, y se sustentaba en la hipótesis

donde existen infinitesimales distinto de cero; es decir, misteriosos números dx con la

propiedad 0 < |dx| < 1/n para todos los n ∈ N. Se debe tener en cuenta que en ese

período no solo la teoría de los infinitesimales, sino también la teoría de los números

reales no tenían fundamento riguroso. Por lo tanto, la existencia de los infinitesimales

cero no debe ser descartada. El campo de los números reales R no tiene infinitesi-

males distinto de cero, pero no los números reales en la época de Leibniz y Euler;

los números reales fueron conceptualizados rigurosamente de forma independiente,

por Richard Dedekind (1831-1916) y Georg Cantor (1845-1918) durante la segunda

mitad de siglo XIX, su axiomática y propiedades se emplean sistemáticamente en

matemáticas y otras ciencias desde el comienzo del siglo XX.

Este trabajo se basa en la realización de una monografía sustentada fundamental-

mente en el estudio del artículo “A Lost Theorem: Definite Integrals in an Asymptotic

Setting” de Ray Cavalcante y Todor D. Todorov publicado en el volumen 115 de la

revista American Mathematical Monthly. Este artículo contiene un enfoque para la

Elismar Suárez. 3

utilización de la integral sin el uso de las Sumas de Riemann. El método presentado

alli tiene una larga e interesante historia; pues exhibe una axiomática para construir

la integral definida de funciones continuas en un intervalo [a, b], pero sin hacer uso

de las tradicionales Sumas de Riemann. El método, aunque simple, es riguroso y

quizá más elegante que la forma tradicional de introducir el concepto de∫ b

a

ρ(x)dx,

siendo ρ : [a, b] → R una función continua. Según los autores, el artículo fue escrito

para quienes enseñan cálculo, es muy accesible para estudiantes y puede ser parte

importante para proyectos de cálculo, análisis real e historia de la matemática.

Es importante resaltar que el método presentado por Cavalcante y Todorov tiene

profundas raíces históricas, que se ubican en el período entre Leibniz y Riemann.

Gran parte de la literatura publicada sobre el cálculo en la época fue escrita em-

pleando métodos muy similares, aunque utilizando el lenguaje de la época; los in-

finitesimales. Por ello este capítulo tiene doble propósito. El primero es presentar un

bosquejo histórico relacionado con el cálculo; y el segundo, describir muy sucinta-

mente los elementos del artículo de Cavalcante y Todorov. Además presentamos las

aplicaciones del método asintótico de estos autores y añadimos otra aplicación como

es el cálculo de área de una superficie de revolución.

§1.2. Reseña Histórica

En esta sección se presentará una breve descripción, en orden cronológico, de

los personajes fundamentales que fundaron el cálculo. La historia está muy bien

ilustrada y es bastante amplia como para ser cubierta en esta monografía, por lo

cual, sugerimos algunas referencias al respecto: [1], [3], [5], [6], [7], [8], [10], [11], [12]

y [13], y unas páginas web: [14], [15] y [16].

§1.2.1. Sir Isaac Newton

Isaac Newton nació en la casa feudal de Woolsthorpe, cerca de Grantham en

Lincolnshire, Inglaterra, el 4 de enero de 1643 y muere en Londres, el 31 de marzo de

1727. La vida de Isaac Newton puede ser dividida en tres períodos bastante distintos.

El primero abarca desde sus días de infancia hasta su ascenso a una cátedra en 1669.

El segundo período desde 1669 hasta 1687 fue el más productivo cientificamente.

El tercer período (casi tan largo como los otros dos combinados) se vió a Newton

Elismar Suárez. 4

Figura 1.1: Sir Isaac Newton

como un oficial del gobierno, excelentemente pagado, pero con poco interés por la

investigación matemática. Según de Moivre, el interés de Newton por las matemáticas

comenzó en el otoño de 1663 cuando compró un libro de astrología en una feria de

Cambridge y descubrió que no podía entender las fórmulas que contenía. Intentando

leer un libro de trigonometría, halló que carecía de conocimientos de geometría y por

ello decidió leer la edición de Barrow de Los Elementos de Euclides.

Regresando al principio, Newton leyó todo el libro con nueva perspectiva. Volvió

entonces al “Clavis Mathematica” de Oughtred y a “Géométrie” de Descartes. La

nueva geometría algebraica y analítica de Viète fue leída por Newton a partir de la

edición de Frans van Schooten de los trabajos reunidos de Viète publicada en 1646.

Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la recientemente

publicada por van Schooten; “Geometría Analítica” de Renato Descartes que apareció

en dos volúmenes en 1651-1659. El libro contenía importantes apéndices de tres de

los discípulos de van Schooten: Jan de Witt, Johan Hudde y Hendrick van Heuraet.

Newton también estudio el Álgebra de Wallis y parece que su primera obra matemáti-

ca original partió del estudio de este texto. Leyó el método de Wallis para hallar un

cuadrado de igual área que una parábola y una hipérbola. Newton tomó notas sobre

el tratamiento de Wallis de las series pero inventó sus propias demostraciones de los

teoremas escribiendo: “así lo hace Wallis, pero puede hacerse así”. Mientras Newton

tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas,

óptica, física, y astronomía. Mientras Newton permanecia en su casa, sentó las bases

para el cálculo diferencial e integral, descubrimiento independiente por Leibniz. El

Elismar Suárez. 5

método de fluxiones (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y

agudo análisis en que la integración de una función es simplemente el procedimiento

inverso a su diferenciación. Tomando la diferenciación como operación básica, New-

ton produjo métodos analíticos simples que unificaban muchas técnicas separadas

y desarrolladas anteriormente para resolver problemas aparentemente sin relación,

tales como hallar áreas, tangentes, las longitudes de las curvas y los máximos y

mínimos de las funciones. El “De Methodis Serierum et Fluxionum” de Newton fue

escrito en 1671, pero no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que

John Coilson publicó una traducción al inglés en 1736. Cuando la Universidad de

Cambridge reabrió, tras la plaga en 1667, Newton se presentó como candidato para

una beca. En octubre de ese año fue elegido para una beca en el Trinity College,

luego de su grado de Maestría, ganó la beca en Julio de 1668. En Julio de 1669

Barrow intentó asegurarse que los logros matemáticos de Newton debian ser dados a

conocer al mundo. Newton, en 1696 publica “Analysis per aequationes numero termi-

norum infinitos”, el cual representa la introducción al cálculo diferencial e integral.

En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio

reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz

y el color en el “Philosophical Transactions of the Royal Society”. El artículo fue en

general bien recibido pero Hooke y Huygens quienes objetaron el intento de Newton

de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de

pequeñas partículas en lugar de ondas.

Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la inves-

tigación.

§1.2.2. Gottfried Leibniz

Matemático, diplomático y filósofo alemán nacido en Leipzig, el 1 de julio de 1646

y fallecido en Hannover, el 14 de noviembre de 1716. Era hijo de Friedrich Leibniz,

un profesor de filosofía en Leipzig. Su madre, Catalina Schmuck, hija de un abogado

y la tercera esposa de Friedrich, fue quien lo crió ya que perdió a su padre a la edad

de 6 años. Aprendió de ella los valores morales y religiosos que luego influyeron en su

vida adulta y en su filosofía. En 1672 Leibniz fue a París bajo la tutela de Boineburg

con la idea de desviar la intención de Luis XIV de atacar Alemania. Lo primero

que intentó hacer en París fue tomar contacto con el gobierno francés, pero mientras

Elismar Suárez. 6

Figura 1.2: Gottfried Leibniz

aguardaba este encuentro tuvo contacto con matemáticos y filósofos, especialmente

Antoine Arnauld. Allí, en el otoño de 1672, comienza a estudiar Matemática y Físi-

ca con Huygens. Por consejo del cual, leyó el trabajo de SaintVincent sobre Suma

de Series e hizo algunos descubrimientos personales sobre este tema. Leibniz se da

cuenta que sus conocimientos de Matemática eran menores de los que a él le gus-

taría tener y por lo tanto decidió redoblar sus esfuerzos en esa materia. Además, fue

elegido miembro de la Royal Society de Londres el 19 de abril de 1673. En ese mismo

año todavía estaba tratando de encontrar una buena formalización de sus resulta-

dos ya que sus primeros cálculos eran un tanto desordenados. Leibniz se encontró

con Ozanam y resolvió uno de sus problemas, luego volvió a encontrarse con Huy-

gens que le dio trabajos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluze.

Comenzó a estudiar la geometría de los infinitesimales y envió sus descubrimientos

a Oldenburg en la Royal Society en 1674. Este le contestó que Newton y Gregory

habían encontrado métodos generales. Leibniz tenía el compromiso con la Royal So-

ciety de terminar su máquina calculadora para obtener un cargo allí. En agosto de

1675 Tschirnhaus llega a París y entabla amistad con Leibniz. Es en esta etapa, en

París, cuando empieza a trabajar sobre el desarrollo de su versión del Cálculo. El 21

de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la anotación

f(x)dx con el signo integral, y da la regla de la diferenciación de un producto. En el

otoño de 1676 descubre el diferencial de la potencia: d(xn) = nxn−1dx , para n entero

y fraccionario. Newton le envía una carta a Leibniz a través de Oldenburg que tarda

en llegarle. En ella le comenta algunos resultados a los que había llegado pero sin ex-

Elismar Suárez. 7

plicar los métodos. Leibniz responde inmediatamente. Newton, sin saber que su carta

había demorado en llegar, pensó que Leibniz había tenido 6 semanas para contestar.

Una de las consecuencias de la carta de Newton fue que Leibniz se dio cuenta que

debía apurarse en publicar sus métodos. Newton escribe una segunda carta a Leib-

niz el 24 de octubre de 1676 que recién la recibe en junio de 1677, porque estaba en

Hannover. Esta segunda carta, aunque de tono correcto, fue claramente escrita por

Newton porque estaba convencido que Leibniz le había robado sus métodos. En su

respuesta, Leibniz le expresa algunos detalles de los principios del Cálculo diferencial,

incluyendo la regla del diferencial de una función. Leibniz no pensó en la derivada co-

mo un límite, eso recién lo plantea D´Alembert. Leibniz quería permanecer en París

y acceder a la Academia de Ciencias, pero al no lograrlo, acepta la invitación del

duque de Hannover, Johann Friedrich, para ser bibliotecario y consejero en la Corte.

En octubre de 1676 deja París y se traslada a Hannover, donde permanece hasta su

muerte. Otro de sus grandes descubrimientos en Matemática fue El Desarrollo del

Sistema Binario. Perfeccionó este sistema en 1679, pero recién lo publicó en 1701.

Otros de los aportes de Leibniz fue su trabajo sobre Determinantes, que permi-

tió avanzar sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Aunque, nunca

publicó este trabajo, desarrolló muchas aproximaciones al tema con diferentes no-

taciones tratando de encontrar la más útil. En 1684 publica detalles de su artículo

“Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus” (Nuevos Métodos

para Máximos y Mínimos y para las Tangentes) sobre Cálculo diferencial en “Acta

Eruditorum”, una revista de Leipzig que se había fundado dos años antes. En este

artículo aparece la conocida flotación para las derivadas, las reglas de las derivadas de

las potencias, productos y cocientes. Pero no había demostraciones. En 1686 publica

en la misma revista un trabajo sobre Cálculo Integral donde aparece impreso por

primera vez el símbolo∫

. Al año siguiente aparece publicado “Philosophiæ Naturalis

Principia Mathematica” de Newton, aunque había sido escrito en 1671. Esta demoró

en aparecer, lo que generó una polémica con Leibniz. En ella se muestra también

como el signo integral puede expresarse, mediante expresiones algebraicas, curvas

como la cicloide. El vocablo trascendente, para las ecuaciones en las que la incógnita

figura en el exponente, se debe a Leibniz. En los últimos años Leibniz estuvo involu-

crado en la disputa sobre el invento del Cálculo. En 1711 leyó un trabajo de Keill

sobre “Philosophical Transactions of the Royal Society” de Londres en el cual acusó

Elismar Suárez. 8

a Leibniz de plagio. Leibniz demandó una retractación diciendo que él nunca había

escuchado hablar del cálculo de fluxiones. Keill le replicó que existían las dos cartas

de Newton enviadas a través de Oldenburg donde se habla del tema. Leibniz escribió

nuevamente a la Royal Society pidiéndoles que corrigieran los errores de Keill. Como

respuesta a esta carta la Royal Society designó un comité para pronunciarse sobre

la disputa. La posición de la Royal Society fue totalmente parcial en favor de New-

ton, ya que nunca le pidió a Leibniz que expusiera su posición. De hecho el informe

de la comisión fue escrito por el mismo Newton y publicado como “Commercium

epistolicum” a comienzos de 1713, pero Leibniz recién lo vio en el otoño de 1714.

Se enteró por una carta que recibió de Juan Bernoulli. Sin embargo, cuando New-

ton le escribió directamente, Leibniz contestó y dio una descripción detallada de su

descubrimiento del Cálculo diferencial. Todo parece indicar que Newton y Leibniz

descubrieron el Cálculo infinitesimal en el período comprendido entre 1666 y 1680, y

se considera que ambos produjeron los fundamentos del Cálculo con independencia

uno del otro. Sin embargo, el método de Newton no se publicó hasta 1711, mientras

que Leibniz en 1673 empezó a pensar en un sistema de Análisis matemático. La línea

metodológica, la terminología y la forma del Cálculo que Leibniz desarrolló fueron

superiores y hoy son preferidas a las de Newton. Ha sido considerado por algunos

como el último instruido en varias ciencias que consiguió unos conocimientos uni-

versales para su época. Fue un niño prodigio cuyos talentos universales persistieron

durante toda su vida. Sin duda, su intento de abarcarlo todo le hizo no haber si-

do un verdadero personaje de primera fila. Estudió Teología, Derecho, Filosofía y

Matemática, entrando posteriormente en la carrera diplomática. Las publicaciones

de Leibniz eran sumamente breves y poco claras. El primero en comprenderlas fue

Jacob Bernoulli, quien le enseñó a su hermano Juan algunos secretos del Cálculo.

Hacía 1690, Newton, Leibniz y los dos hermanos Bernoulli, eran las únicas personas

capaces de manejar el Cálculo diferencial e integral.

§1.2.3. Leonhard Euler

Leonhard Euler nació en Basilea, Suiza, el 15 de abril de 1707 y muere en San

Petersburgo, Rusia, el 18 de septiembre de 1783. La familia de Euler se trasladó a

Riehen cuando este tenía un año de edad, fue en Riehen, cerca de Basilea, donde

Leonhard se crió. Su padre, Pablo Euler, tuvo una gran formación matemática y

Elismar Suárez. 9

Figura 1.3: Leonhard Euler

fue capaz de enseñar a su hijo las matemáticas elementales, junto con otros temas.

Euler terminó sus estudios en la Universidad de Basilea en 1726. A través de las

solicitudes de Daniel Bernoulli y Jakob Hermann, Euler fue nombrado a la división

de físico-matemático de la Academia en lugar del puesto de fisiología que había sido

ofrecido originalmente. En San Petersburgo, Euler tenía muchos colegas que propor-

cionarían un entorno excepcional para él. En ningún otro lugar podría haber sido

rodeado por un grupo de eminentes científicos, incluyendo el analista y geómetra

Jakob Hermann, un pariente; Daniel Bernoulli, con el que Euler estaba relacionado

no solo por amistad personal, sino también por los intereses comunes en el campo

de las matemáticas y entre otros, el versátil estudioso Christian Goldbach, con quien

discutió Euler numerosos problemas de análisis y la teoría de números. La publi-

cación de numerosos artículos y de su libro sobre mecánica, presentan extensamente

la dinámica de Newton en la forma del análisis matemático, por primera vez, comen-

zó Euler en el camino hacia el trabajo matemático. El trabajo de Euler sobre las

matemáticas fue muy grande. Él era el escritor más prolífico de las matemáticas de

todos los tiempos y realizó un gran avance en el estudio del límite, la geometría

analítica, el álgebra, la teoría de números y la trigonometría moderna, donde

fue el primero en considerar sin, cos, entre otros. Euler introdujo y popularizó varias

convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y

muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del

concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer

alguna referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma

Elismar Suárez. 10

de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo

infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz. También in-

trodujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base

del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número

de Euler), la letra griega Σ como símbolo de las sumatorias y la letra i para hacer

referencia a la unidad imaginaria.

§1.2.4. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Figura 1.4: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Nació en Ostenfelde, Westphalia (actualmente Alemania), el 31 de octubre de

1815 y muere en Berlin, Alemania, el 19 de febrero de 1897. Weierstrass había toma-

do una decisión para convertirse en un matemático, mientras tanto curso de estudios

de finanzas públicas y de administración. Después de su decisión, él pasó un semestre

más en la Universidad de Bonn, y en su octavo semestre que terminaba en 1838, no

estudio los temas que inscribió y decidió dejar la universidad sin tomar los exámenes.

El padre de Weierstrass estaba molesto con su hijo pues desesperadamente abandono

sus estudios. Él fue persuadido por un amigo de la familia, el presidente de los tri-

bunales de justicia en Paderborn, para permitirle a Karl estudiar en la Academia

de Teología y Filosofía de Münster donde toma los exámenes necesarios para con-

vertirse en un maestro de escuela secundaria. El 22 de mayo 1839 Weierstrass fue

matriculado en la Academia de Münster. Weierstrass y Gudermann asistieron a con-

ferencias sobre las funciones elípticas, y asi Gudermann recomienda a Weierstrass

Elismar Suárez. 11

en sus estudios matemáticos. Después de ser promovido a profesor en Braunsberg,

Weierstrass obtuvo el permiso de un año de ausencia para dedicarse al estudio de

las matemáticas avanzadas. Weierstrass publicó una versión completa de su teoría

de la inversión de las Integrales Hiperelípticas en su próximo artículo llamado

“Theorie der Abelschen Functionen” en el “Diario de Crelle” en 1856. Las conferen-

cias de Weierstrass se dieron entre 1859 y 1860 se abordo el tema “Introducción al

análisis” en el que habla sobre los fundamentos de la materia por primera vez. En

1860-1861 fue profesor en el cálculo integral. También, es citado como el «padre del

análisis moderno», Weierstrass dio las definiciones actuales de continuidad, límite

y derivada de una función, que siguen vigentes hoy en día. Esto le permitió

demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar como el

teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema

de Heine-Borel.

§1.2.5. Georg Friedrich Bernhard Riemann

Figura 1.5: Georg Friedrich Bernhard Riemann

Nació en Breselenz, Hannover (actualmente Alemania), el 17 de septiembre de

1826 y muere en Selasca, Italia, el 20 de julio de 1866. Sus padres fueron Friedrich

Bernhard Riemann y Charlotte Ebell. Riemann era el segundo de sus seis hermanos,

dos varones y cuatro niñas. Su padre fue su maestro hasta los diez años de edad.

Riemann mostró un especial interés por las matemáticas. En la primavera de 1846

Riemann se matriculó en la Universidad de Göttingen. Su padre le animó a estu-

Elismar Suárez. 12

diar teología y así entró en la Facultad de Teología. Sin embargo, asistió a algunas

clases de matemáticas y le pidió a su padre si podía transferirse a la Facultad de

Filosofía para poder estudiar matemáticas. Riemann, tomó cursos de matemáticas

con Moritz Stern y Gauss. Fue nombrado para un puesto en Göttingen y trabajó

para su habilitación, grado que le permitiría convertirse en profesor. Pasó trein-

ta meses trabajando en su tesis, “Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch

eine trigonometrische Reihe” (Sobre la representación de una función por una serie

trigonométrica, 1854) en el cual dio a conocer las condiciones de una función para

tener una integral, lo que actualmente se conoce por la condición de Integrabilidad

de Riemann. Gauss eligió el artículo sobre la geometría. El artículo de “Riemann

Über die Hypothesen welche der Géométrie zu Grunde liegen” (Sobre las hipótesis

que se encuentran en los fundamentos de la geometría), publicado el 10 de junio de

1854, se convirtió en un clásico de las matemáticas. Continuo su tesis doctoral con las

funciones abelianas, donde había dejado y desarrollado la idea de las superficies de

Riemann y sus propiedades topológicas. Examinó los valores de múltiples funciones,

como un solo valor en una superficie de Riemann y resolvió problemas generales

de inversión que se habían resuelto para las integrales elípticas de Abel y Jacobi. El

artículo de Riemann sobre las Funciones Abelianas apareció en la revista “Crelle”.

Que contenía muchos conceptos inesperados, tanto asi que Weierstrass presentó un

primer trabajo general sobre “Las Funciones Abelianas” a la Academia de Berlín en

1857. La mayoría de los matemáticos se apartaron de Riemann pues tenía opiniones

bastante diferentes a las de los demás.

A objeto de enriquecer esta monografía creemos conveniente, aunque no lo nece-

sitamos para el desarrollo posterior, exponer algunas ideas acerca del significado de

la Integral de Riemann.

Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann inte-

grable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real posi-

tivo ε existe un δ positivo tal que si P es una partición de [a, b] con ||P || < δ y S(P, f)

es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f)−I| < ε. Usualmente para funciones

conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se

toman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo (notar que si no

supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier pun-

Elismar Suárez. 13

to del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos,

tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cada intervalo

[xk−1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto

que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado

que la función f es integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor;

en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos

al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

∫ b

a

f(x)dx = lımn→∞

1

n

n∑k=1

f(k

n)

Esto incluye a las funciones continuas, pero cabe mencionar que en esta clase de

funciones la axiomática presentada en [2] reduce considerablemente las dificultades.

§1.3. El Rescate de Cavalcante y Todorov

El artículo sobre el que se apoyó básicamente esta monografía en cierta forma

rescata una metodología para describir la integración de funciones continuas en el

intervalo [a, b]. De hecho, tal como lo resaltan Cavalcante y Todorov en [2], sus ideas

o mejor dicho, la axiomática introducida en [2] está implícita en muchos textos de la

literatura del cálculo publicada entre los siglos XVII y XVIII. Aunque, en el siguiente

capítulo mostramos en detalles el formalismo matemático del artículo [2], pensamos

que es ilustrativo presentar unas pequeñas ideas al respecto.

Consideremos una función continua ρ : [a, b] → R se mostrará, que existe una

función continua I : [a, b]×[a, b]→ R, dependiendo de ρ, de hecho única, que satisfacelas dos propiedades siguientes:

(A) Aditividad:

I(x, y) + I(y, z) = I(x, z) para todo x, y, z ∈ [a, b].

(B) Propiedad Asintótica:

I(x, x+ h) = ρ(x)h+ o(h) con h→ 0 para todo x ∈ [a,b], en el sentido que

lımh→0

I(x, x+ h)− ρ(x)h

h= 0.

Elismar Suárez. 14

(a) Propiedad (A) en el caso h > 0.(b) Propiedad (B) en el caso h > 0.

Sobre esta existencia se deduce que para todo x, y ∈ [a, b]; I(x, y) =

∫ y

x

ρ(s)ds en

particular∫ b

a

ρ(s)ds = I(a, b).

En su artículo, Cavalcante y Todorov, demuestran que las propiedades (A) y (B) son

una caracterización de la integral definida. De esta manera, se desarrolla la teoría de

la integral definida en [a, b] y sus aplicaciones sin usar Sumas de Riemann. Luego,

demuestran que si R es una antiderivada de ρ, entonces I(a, b) = R(b) − R(a).

Convencionalmente, esta fórmula es usada para evaluación explícita. Además, usan

axiomas similares a (A) y (B) para definir los conceptos de área bajo la curva, longi-

tud de arco, volúmenes de revolución, entre otros. La teoría elemental de integración

presentada en ese artículo abre las puertas para un método simple de enseñanza de

integración y de sus aplicación en cálculo, el príncipio del análisis real.

CAPÍTULO 2

EL ENFOQUE ASINTÓTICO

A objeto de presentar el enfoque asintótico de la integral definida en un intervalo

[a, b] de funciones continuas es necesario un conocimiento básico y elemental de

ciertas herramientas, y notaciones, del analisis asintótico. Para su comprensión son

necesarios los conocimientos estándares de: límite, continuidad y derivación a nivel de

cálculo elemental. En este capitulo presentamos los elementos del análisis asintótico

requeridos, y la formulación conceptual del enfoque asintótico de la integral expuesto

en [2].

§2.1. Preliminares

DEFINICIÓN 2.1. Denotamos por ◦(xn) el conjunto de todas las funciones f :

Dom(f) → R tales que Dom(f) ⊆ R, 0 ∈ Dom(f), y el lımx→0f(x)xn

= 0, donde

Dom(f) significa la clausura de Dom(f) en R. En resumen, es decir ◦(xn) =

f(x) : f(x)xn→ 0 cuando x → 0. Es costumbre escribir f(x) = ◦(xn) para denotar

que f ∈ ◦(xn) en el caso donde f es una función inespecificada ◦(xn). si n = 0, la

definición de arriba se reduce a f(x) = ◦(1) si f(x)→ 0 cuando x→ 0.

Ejemplo 2.1. x2 = ◦(x) pues x2/x → 0 cuando x → 0. Por el contrario, sinx 6=◦(x), ya que sinx/x → 1 cuando x → 0. En realidad, sinx = ◦(1) pues sinx → 0

cuando x→ 0.

15

Elismar Suárez. 16

Ejemplo 2.2. xmn = ◦(x) pues x

mn /x → 0 cuando x → 0, para o < n < m ó

m < n < o.

Ejemplo 2.3. Sea f : R → R una función que admite la siguiente expansión de

Taylor: f(x) = f(0) + f ′(0) + f ′′(0)x2

2!+ f ′′′(0)x

3

3!+ . . . fn−1(0) xn−1

(n−1)! + R(x), donde

R(x) = fn(c)xn

n!, para algún c ∈ R. Luego, es claro que el resto R(x) de esa expansión

es ◦(xn−1) pues:

lımx→0

R(x)

xn−1= lım

x→0fn(c)

xn

n!= 0.

Asi, por ejemplo la función coseno satisface:

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!+ ◦(x3).

TEOREMA 2.1. Sea f : [a, b]→ R una función y x ∈ (a, b). Entonces f es diferen-

ciable en x si, y solo si, f(x+ h)− f(x) = f ′(x)h+ ◦(h).

Demostración. Sabemos que f es diferenciable si, y solo si,

lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x)

Ahora, por definición de límites tenemos: para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si

|h| < δ, entonces |f(x+h)−f(x)h

− f ′(x)| < ε. De donde

lımh→0

f(x+ h)− f(x)− f ′(x)h

h= 0

Por lo tanto,

f(x+ h)− f(x) = f ′(x)h+ ◦(h).

LEMA 2.1. Si f(x) = ◦(xm) y g(x) = ◦(xn), entonces:

(a) f(x)± g(x) = ◦(xk), donde k = min(m,n).

(b) f(x)g(x) = ◦(xm+n).

(c) si f(x) = ◦(1), g(x) = ◦(1) y f es continua en 0, entonces f(g(x)) = ◦(1).

Elismar Suárez. 17

Demostración. Recordemos que f ∈ ◦(x) sí, y solo sí,

1. Dom(f) ⊂ R.

2. 0 ∈ Domf .

3. lımx→0

f(x)

xn= 0.

(a) Tomemos h = f ± g, con Dom(h) = Dom(f) ∩Dom(g). Sea k = min(m,n), y

supongamos que n < m, entonces k = n. Obviamente,

h(x)

xk=f(x)± g(x)

xk.

Ahora bien, debido a que,

f(x)

xn=

f(x)

xm.xn−m=f(x)

xmxm−n,

se tiene

lımx→0

f(x)

xn= 0,

y como

lımx→0

g(x)

xn= 0,

entonces

lımx→0

h(x)

xn= 0.

Así, h ∈ ◦(xn). El caso n > m, es análogo.

(b) Ahora hagamos h = f · g; es decir, h(x) = f(x) · g(x), para todo x ∈ Dom(f) ∩Dom(g). Sea k = m+ n entonces

lımx→0

h(x)

xk= lım

x→0

f(x) · g(x)

xk.

Dado que:

h(x)

xk=

f(x) · g(x)

xm+n

=f(x) · g(x)

xm · xn

=f(x)

xm· g(x)

xn,

entonces la hipótesis f ∈ ◦(xm) y g ∈ ◦(xn) implica que h ∈ ◦(xm+n).

Elismar Suárez. 18

(c) Lo único que debe mostrarse es que: lımx→0

f(g(x)) = 0, bajo la condición de

continuidad de f , y que:

lımx→0

f(x) = lımx→0

g(x) = 0.

Ahora bien, tomemos ε > 0 y supongamos δ > 0 tal que si |x| < δ, entonces

|f(x)| < ε. Para tal δ, seleccionamos ρ > 0 de forma que |g(x)| < δ siempre |x| <ρ. Entonces, por la continuidad de f y tomando |x| < δ, sigue que |f(g(x))| < ε,

con lo cual se tiene que, f(g(x)) ∈ ◦(1).

Observación 2.1. Es habitual en el análisis asintótico simplemente escribir ◦(xm)±◦(xn) = ◦(xmin(m,n)), ◦(xm) · ◦(xn) = ◦(xm+n) y ◦(◦(1)) = ◦(1) en lugar de (a), (b),

y (c) en el lema anterior, respectivamente. Cuando no haya confusión usaremos esta

notación.

LEMA 2.2. Si A ∈ R, entonces | A+ ◦(xn) |=| A | + ◦ (xn).

Demostración. Supongamos que A=0. Sea f ∈ | ◦ (xn)|; es decir, es claro que

f = |g|, donde g ∈ ◦(xn). Veamos como es lımx→0

f(x)

xn.

lımx→0

f(x)

xn= lım

x→0

|g(x)|xn

Dado que lımx→0

g(x)

xn= 0, entonces para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si |x| < δ, se

tiene |g(x)xn| < ε, de donde | ◦(xn) |= ◦(xn).

Ahora supongamos que A 6= 0. Para probar que | A+◦(xn) |=| A | +◦ (xn) debemos

verificar que:

| A+ ◦(xn) | 6 | A | + ◦ (xn),

y

| A+ ◦(xn) | > | A | + ◦ (xn).

Dado que,

| A+ ◦(xn) | 6 | A | + | ◦(xn) |,

Elismar Suárez. 19

sigue | ◦(xn) |= ◦(xn), que | A+ ◦(xn) |6| A | + ◦ (xn).

Para la otra desigualdad hagamos x = A+ ◦(xn) y y = A; dado que,

− | x− y |6| x | − | y |6| x− y |,

entonces

− | ◦(xn) |6| A+ ◦(xn) | − | A |6| ◦(xn) |,

así

− ◦ (xn) 6| A+ ◦(xn) | − | A |6 ◦(xn).

De donde se desprende la indentidad | A+ ◦(xn) |=| A | + ◦ (xn).

Observación 2.2. Es interesante resaltar la noción ◦(xn): es un conjunto de fun-

ciones con unas propiedades especiales. Así que el significado de | ◦(xn) | es el

conjunto de funciones que se expresan como valor absoluto de una función en ◦(xn).

Por lo que estrictamente, y muy formalmente, cuando escribimos | ◦(xn) |= ◦(xn),

es realmente en el contexto conjuntista que el conjunto | ◦(xn) | es parte del conjunto

◦(xn). Igual precaución debe tenerse para el significado de | A+◦(xn) |=| A | +◦(xn).

§2.2. Formalización Asintótica de∫ b

a

ρ(x)dx

En esta sección desarrollamos el formalismo matemático que conduce a la ex-

pansión asintótica de la integral definida de una función continua en un intervalo

[a, b]

LEMA 2.3. Sean a, b ∈ R con a < b y ρ : [a, b] → R una función continua. Si

I : [a, b]× [a, b]→ R es una función que cumple con los axiomas (A) y (B), entonces

I(a, x) satisface el problema con valor inicial ddxI(a, x) = ρ(x), I(a, a) = 0 en el

intervalo (a, b). En consecuencia, no hay más de una función I : [a, b] × [a, b] → Rque satisfaga las propiedades (A) y (B).

Demostración. Supongamos que I : [a, b]× [a, b]→ R es una función que satisface

(A) y (B). Dado que

I(a, x+ h)− I(a, x) = I(x, x+ h)

= (I(x, x+ h)− ρh) + ρh,

Elismar Suárez. 20

entonces,

d

dxI(a, x) = lım

h→0

I(a, x+ h)− I(a, x)

h

= lımh→0

I(x, x+ h)− ρ(x)h

h+ ρ(x)

= ρ(x)

pues el límite del lado derecho es igual a 0 por (B). Esto demuestra que ddxI(a, x) =

ρ(x). Por otra parte, I(a, a) + I(a, b) = I(a, b), de modo que I(a, a) = 0 por (A).

Supongamos ahora que J : [a, b]× [a, b]→ R es otra función que satisface los axiomas

(A) y (B). Sea ∆(x, y) = I(x, y) − J(x, y) para cada x, y ∈ [a, b]. De lo anteriorddx

∆(a, x) = 0 y ∆(a, a) = 0, y por lo tanto, ∆(a, x) = 0 para todo x en [a, b]. Así,

I(x, y)− J(x, y) = 0 para todo x, y ∈ [a, b], lo q demuestra que I : [a, b]× [a, b]→ Res la única función que satisface las propiedades (A) y (B) de la axiomática.

Observación 2.3. Observe que el resultado de unicidad presentado anteriormente

no implica división del intervalo [a, b] y las sumas de Riemann. Por el contrario,

se basa en el resultado más elemental del cálculo sobre que “todas las funciones con

derivada cero en un intervalo son constantes”.

DEFINICIÓN 2.2. Dada una función f : [a, b] → R, se dice que una función R :

[a, b]→ R es una antiderivada de f si R es diferenciable y ddxR(x) = f(x) para todo

x ∈ [a, b]. Se entiende que en los extremos es la derivada lateral.

DEFINICIÓN 2.3. Sea ρ : [a, b]→ R una función continua. Si I : [a, b]× [a, b]→ Res una función que satisface los axiomas(A) y (B), entonces, el valor I(a, b) se llama

la integral de ρ en [a, b]. Usaremos la notación habitual∫ baρ(x)dx

def= I(a, b).

Observación 2.4. Tenga en cuenta que los axiomas (A) y (B) son fácilmente mo-

tivados y se visualizan en los gráficos (a) y (b) del Capitulo 1. Observamos también

que si a 6 α 6 β 6 a, entonces la restricción que I � [α, β]× [α, β] también satisface

los axiomas (A) y (B) y así∫ βαρ(x)dx = I(α, β).

TEOREMA 2.2. Sea ρ : [a, b]→ R una función continua en [a, b].

(i) Si la integral I(a, x) de ρ en [a, x] existe para cada x en [a, b], entonces ddxI(a, x) =

ρ(x) en (a, b).

Elismar Suárez. 21

(ii) Si R(x) es una antiderivada de ρ en [a, b], entonces I(a, b) = R(b)−R(a).

Demostración. La primera se deriva directamente del Lema 2.3. Para la segunda,

tenemos ddxI(a, x) = ρ(x) y d

dxR(x) = ρ(x) para cada x, y ∈ [a, b]. De ello se deduce

que ddx

[I(a, x) − R(x)] = 0 en (a, b), lo que implica R(x) = I(a, x) + C para alguna

constante C. Por lo tanto, R(b)−R(a) = [I(a, b) + C − (I(a, a) + C)] = I(a, b).

COROLARIO 2.1. Si ρ : [a, b] → R tiene una antiderivada en [a, b], entonces la

integral de ρ en [a, b] existe.

Demostración. Sea R una antiderivada de ρ; es decir, para cada x ∈ [a, b] se

cumple ddxR(x) = ρ(x). Luego, la función I : [a, b]× [a, b]→ R definida por I(x, y) =

R(y)−R(x) para cada x, y ∈ [a, b], satisface (A) y (B) por Lema 2.3, donde además I

es única para x, y ∈ [a, b] y por la parte (ii) del Teorema 2.2. Si R es una antiderivada

de ρ en [a, b], entonces I(a, b) = R(b) − R(a) donde I(a, b) es el valor de la integral

de ρ en [a, b], por tal motivo la integral existe.

Observación 2.5. Las propiedades básicas de la integral se deducen inmediatamente

de la parte (ii) del Teorema 2.2 en el supuesto que las integrales existan. Por ejemplo,

este teorema implica la propiedad lineal:∫ b

a

[c1f(x) + c2g(x)]dx = c1

∫ b

a

f(x)dx+ c2

∫ b

a

g(x)dx

siempre que al menos dos de los tres integrales existan.

Siguiendo la argumentación hasta ahora desarrollado solo resta mostrar que

cualquier función continua ρ : [a, b] → R admite una antiderivada. Es este nuestro

objetivo para garantizar la existencia y unicidad de∫ baρ(x)dx. Sea [a, b] como antes

y x, y ∈ R con a 6 x < y 6 b. Recordemos que una partición de [x, y] es un conjunto

finito y ordenado de la forma P = {x0, x1, ..., xn}, donde x = x0 < x1 < · · · < xn = y.

Denotamos por ℘[x, y] el conjunto de todas las particiones de [x, y]. Sea ρ : [a, b]→ Runa función continua y recordemos que P = {x0, x1, ..., xn} ∈ [x, y].

L(P ) =n∑k=1

(minxk−16t6xkρ(t))(xk − xk−1),

y

U(P ) =n∑k=1

(maxxk−16t6xkρ(t))(xk − xk−1)

Elismar Suárez. 22

donde a L(P ) y U(P ) se le llaman suma inferior y superior de Darboux de ρ

determinados por P , respectivamente. Sean x, y, z ∈ R, a 6 x < y < z 6 b. Note que

si P ∈ ℘[x, y] y Q ∈ ℘[y, z], entonces P ∪Q ∈ ℘[x, z] y tenemos que L(P ) +L(Q) =

L(P ∪Q) y U(P ) +U(Q) = U(P ∪Q). El siguiente resultado se puede encontrar en

cualquier libro de texto contemporáneo sobre integración de Riemann.

LEMA 2.4. Sea ρ : [a, b]→ R una función continua. Entonces:

(i) Por cada dos particiones P y Q de [a, b] se tiene (min[a,b]ρ)(b − a) 6 L(P ) 6

U(Q) 6 (max[a,b]ρ)(b− a).

(ii) Para cada ε ∈ R+, existe una partición P de [a, b] tal que U(P )− L(P ) < ε.

Demostración.

(i) Nos enfocaremos en demostrar L(P ) 6 U(Q). En el caso donde P = Q el

resultado es obvio. Por otro lado, para algún intervalo [a, b] determinado por

P , tenemosmt∈[xk−1,xx]ρ 6Mt∈[xk−1,xx]ρ, ahora multiplicando a ambos lados por

(xk − xk−1) se tiene

mt∈[xk−1,xx]ρ(xk − xk−1) 6Mt∈[xk−1,xx]ρ(xk − xk−1).

En general, dadas las particiones P = (p1, . . . , pn) y Q = (q1, . . . , qn) de [a, b],

tomemos H un refinamiento común de P y Q donde H = (h1, . . . , hn). Así, por

lema (Sea P una partición de [a, b]; sea ρ : [a, b]→ R una función acotada. Si P ′′

es un refinamiento de P , entonces L(f, P ) 6 L(f, P ′′) y U(f, P ′′) 6 U(f, P ))

se concluye

L(f, P ) 6 L(f,H) 6 U(f,H) 6 U(f,Q).

(ii) Sea ε > 0, como ρ es continua, y por lo tanto uniformemente continua en [a, b],

existe δ > 0 tal que si t, t′ ∈ [a, b] y |t− t′| < δ, entonces

|ρ(t)− ρ(t′)| < ε

2(b− a).

Sea P = {x0, x1, . . . , xn} una partición de [a, b] tal que xk − xk−1 < δ para k =

1, . . . , n. Luego, teniendo Mk −mk 6 ε2(b−a) donde Mk = sup{ρ(x) : x ∈ [a, b]}

y mk = ınf{ρ(x) : x ∈ [a, b]}.

Elismar Suárez. 23

Por lo tanto,

U(P )− L(P ) =n∑k=1

(Mk −mk)(xk − xk−1)

6n∑k=1

(ε

2(b− a))(xk − xk−1)

=ε

2(b− a)(b− a)

=ε

2< ε

Con lo cual el lema queda demostrado.

TEOREMA 2.3. Si ρ : [a, b] → R es una función continua, entonces ρ posee una

antiderivada en [a, b]. Por lo tanto admite su integral en [a,b].

Demostración. Tomemos x, y ∈ R tales que a 6 x < y 6 b. Se observa que

el conjunto {L(P )|P ∈ ℘[x, y]} por el Lema 2.4(i) está acotado superiormente

por el número (maxx6t6yρ(t))(y − x); es decir, para todo P ∈ ℘[x, y], L(P ) 6

(maxx6t6yρ(t))(y−x). Por lo tanto, existe sup{L(P )|P ∈ ℘[x, y]} <∞. Ahora defin-

imos I(x, y) = sup{L(P )|P ∈ ℘[x, y]}. Queremos demostrar que I(x, y) satisface los

axiomas (A) y (B). Empezamos con (B): tenemos que (minx6t6yρ(t))(y−x) 6 I(x, y),

por la definición de I(x, y), ya que P = {x, y} es una partición del intervalo [x, y].

Haciendo y = x + h con h > o, sigue que (minx6t6x+hρ(t))h 6 I(x, x + h) 6

(maxx6t6x+hρ(t))h. Por la continuidad de ρ se tiene que

lımh→0+

I(x, x+ h)

h= ρ(x) (2.1)

Por otra parte, de manera análoga

(minx−h6t6xρ(t))h 6 I(x− h, x) 6 (maxx−h6t6xρ(t))h para h > 0,

Luego,

lımh→0−

I(x− h, x)

h= lım

h→0−−I(x+ h, x)

h

= lımh→0+

I(x− h, x)

h= ρ(x) (2.2)

Elismar Suárez. 24

De (2.1) y (2.2) sigue la función I, como antes definida, satisface el axioma (B).

Para demostrar (A) primero veamos que L(P ) 6 I(x, y) 6 U(P ) para cada partición

P ∈ ℘[x, y]. De hecho, la primera desigualdad se origina de la definición de I(x, y),

y la segunda desigualdad de la definición de I(x, y) y parte (i) del Lema 2.4. Ahora

supongamos que a 6 x < y < z 6 b, y sea Q ∈ ℘[y, z]. Así,

L(Q) 6 I(y, z) 6 U(Q),

y

L(P ∪Q) 6 I(x, z) 6 U(P ∪Q),

ya que P ∪Q es un partición de [x, z]. De estas desigualdades sigue:

L(P ) + L(Q)− U(P ∪Q) 6 I(x, y) + I(y, z)− I(x, z) 6 U(P ) + U(Q)− L(P ∪Q).

Ahora podemos elegir particiones P ∈ ℘[x, y] y Q ∈ ℘[y, z] tales que, U(P )−L(P ) <

ε/2 y U(Q)−L(Q) < ε/2, por la parte (ii) del Lema 2.4. Además, dado que L(P ) +

L(Q) = L(P ∪Q) y U(P ) + U(Q) = U(P ∪Q), entonces

U(P ∪Q)− L(P ∪Q) = U(P ) + U(Q)− L(P )− L(Q)

= (U(P )− L(P )) + (U(Q)− L(Q))

= ε/2 + ε/2

= ε.

Por consiguiente,

L(P ) + L(Q)− U(P ∪Q) = (L(P )− U(P )) + U(P ) + (L(Q)− U(Q))

+U(Q)− U(P ∪Q)

> −ε/2− ε/2

= −ε

ya que si U(Q)− L(Q) < ε/2, entonces L(Q)− U(Q) > −ε/2; y análogamente:

U(P ) + U(Q)− L(P ∪Q) = (U(P )− L(P )) + L(P ) + (U(Q)− L(Q))

+L(Q)− L(P ∪Q)

< ε/2 + ε/2

= ε

Elismar Suárez. 25

Finalmente, −ε < I(x, y) + I(y, z)− I(x, z) < ε, lo que implica que

I(x, y) + I(y, z) = I(x, z).

Así, el teorema está demostrado.

CAPÍTULO 3

APLICACIONES

En este capitulo emplearemos la noción asintótica antes expuesta para presen-

tar algunas aplicaciones clasicas del cálculo integral: área bajo una curva continua,

longitud de arco, volumen y áreas de sólidos de revolución.

DEFINICIÓN 3.1. Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] tal que f(x) > 0

para todo x ∈ [a, b]. Sea A : [a, b] × [a, b] → R una función en dos variables que

satisface las dos propiedades siguientes:

(a) A(x, y) + A(y, z) = A(x, z), para todo x, y, z ∈ [a, b].

(b) A(x, x + h) = ±R(x, x + h) + o(h), cuando h → 0±, para todo x ∈ [a, b],

donde R(x, x+h) denota el área del rectángulo con vértices (x, 0), (x+h, 0), (x+

h, f(x)), y(x, f(x)).

Figura 3.1: Área bajo la Curva.

26

Elismar Suárez. 27

El número A(a, b) es llamado el área bajo la curva y = f(x) sobre el intervalo

[a, b].

La definición anterior puede ser fácilmente motivada mediante (Figura 3.1). En

el siguiente teorema se deriva la fórmula de la integral de A(a, b) sin particiones o

sumas de Riemann.

TEOREMA 3.1. Sean f : [a, b] → R una función continua tal que f(x) > 0 para

todo x ∈ [a, b] y A : [a, b] × [a, b] → R una función que satisface los axiomas (a) y

(b) de la Definición 3.1. Entonces A(a, b) =

∫ b

a

f(x)dx, y recíprocamente la función

A : [a, b]×[a, b]→ R dada por A(x, y) =

∫ y

x

f(t)dt satisface (a) y (b) de la Definición

3.1. Así, los axiomas (a) y (b) son los únicos que determinan el área bajo la curva.

Demostración. Debemos encontrar la expansión asintótica de A(x, x+h) en poten-

cias de h cuando h→ 0 y extraer el coeficiente de h. Dado que R(x, x+h) = f(x) | h |,se tiene

A(x, x+ h) = ±R(x, x+ h) + ◦(h) = ±f(x) | h | + ◦ (h) = f(x)h+ ◦(h),

luego, por definición axiomática tenemos que haciendo ρ(x) = f(x) se cumple:

A(a, b) =

∫ b

a

f(x)dx = If (a, b).

Recíprocamente veamos A : [a, b]× [a, b]→ R dada por:

A(x, y) =

∫ y

x

f(t)dt = If (x, y)

satisface (a) y (b) de la Definición 4.1.

(a) Tomemos x, y, z ∈ [a, b], entonces

A(x, y) + A(y, z) = If (x, y) + If (y, z)

= If (x, z)

= A(x, z)

(b) Dado que A está expresado bajo una integral, entonces:

A(x, x+ h) = If (x, x+ h) = f(x)h+ o(h) cuando h→ 0, para todo x ∈ [a, b].

Elismar Suárez. 28

Además, queda claro que R(x, x + h) = f(x) | h |. Luego la función A satisface

(b).

A continuación se introduce el concepto de longitud de arco de manera asintótica

sin particiones o sumas de Riemann. Se supone que el lector sabe lo que es

la distancia euclidiana entre dos puntos, sin ningún conocimiento acerca de la

fórmula integral L(a, b) =

∫ b

a

√1 + f ′2(x)dx. El objetivo es la obtención de esta

fórmula a partir del concepto de distancia euclidiana entre dos puntos.

DEFINICIÓN 3.2. Sean f ∈ C1[a, b] y L : [a, b] × [a, b] → R una función que

cumple las siguientes dos propiedades:

(a) L(x, y) + L(y, z) = L(x, z), para todo x, y, z ∈ [a, b].

(b) L(x, x + h) = ±D(x, x + h) + ◦(h) cuando h → 0±, para todo x ∈ [a, b],

donde D(x, x+ h) es la distancia euclídea entre los puntos (x, f(x)) y (x+

h, f(x + h)). El número L(a, b) es llamado la longitud de arco de la curva

y = f(x) entre los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

La definición anterior puede observarse facilmente mediante (Figura 3.2).

En el siguiente teorema es donde se obtiene rigurosamente la fórmula para la

longitud de arco sin las particiones del intervalo o sumas de Riemann. Entre

otras cosas, demostrar la exactitud de la definición anterior y la existencia de la

longitud de arco.

TEOREMA 3.2. Sean f : [a, b]→ R una función de clase C1 y L : [a, b]×[a, b]→R una función que satisface los axiomas (a) y (b) de la Definición 3.2.Entonces

L(a, b) =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx

y recíprocamente la función L : [a, b]×[a, b]→ R dada por L(x, y) =

∫ b

a

√1 + (f ′(t))2dt

satisface (a) y (b) de la Definición 3.2; así los axiomas (a) y (b) son los únicos

que determinan la longitud de arco.

Elismar Suárez. 29

Figura 3.2: Longitud de Arco.

Demostración. Tomemos x ∈ [a, b] y h suficientemente pequeño de forma que

tenga sentido evaluar f en x + h. Adicionalmente, hagamos ∆y = f(x + h) − f(x);

recordemos que ∆y = f ′(x)h+ ◦(h). En tales condiciones tenemos:

L(x, x+ h) = ±D(x, x+ h) + ◦(h)

= ±√h2 + ∆y2 + ◦(h)

= ± | h |√

1 + (f ′(x)h+ ◦(h)

h)2 + ◦(h)

= h

√1 + (f ′(x))2 +

2f ′ ◦ (h)h

h2+ (◦(h)

h)2 + ◦(h)

= h√

1 + (f ′(x))2h+ ◦(h) + ◦(h)

= h[√

1 + (f ′(x))2 +√

1 + (f ′(x))2 + ◦(h)−√

1 + (f ′(x))2] + ◦(h)

= h[√

1 + (f ′(x))2 +◦(h)√

1 + (f ′(x))2 + ◦(h) +√

1 + (f ′(x))2] + ◦(h)

= h[√

1 + (f ′(x))2 + ◦(1)] + ◦(h)

= h√

1 + (f ′(x))2 + ◦(h) + ◦(h)

= h√

1 + (f ′(x))2 + ◦(h)

Luego, por la definición axiomática tenemos que haciendo ρ(x) =√

1 + (f ′(x))2 se

cumple:

L(a, b) =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx.

Recíprocamente veamos L : [a, b]× [a, b]→ R dada por

L(x, y) =

∫ y

x

√1 + (f ′(t))2dt = If (x, y)

satisface (a) y (b) de la Definición 3.2.

Elismar Suárez. 30

(a) Para cada x, y, z ∈ [a, b] sigue:

L(x, y) + L(y, z) = If (x, y) + If (y, z)

= If (x, z)

= L(x, z).

Por lo que L satisface (a).

(b) Dado que L está expresada por una integral, entonces:

L(x, x+ h) =√

1 + (f ′(x))2h+ o(h),

cuando h → 0. Además, es claro que D(x, x + h) =√h2 + (f(x+ h)− f(x))2,

de donde

D(x, x+ h) =√h2 + f ′(x)h2 + 2f ′(x)h ◦ (h) + (◦(h))2

=√

(1 + (f ′(x))2)h2 + 2f ′(x)h ◦ (h) + ◦(h2).

Por otra parte, es simple chequear a partir de esta fómula que:

D(x, x+ h) =√

(1 + (f ′(x))2)h2 | h | + ◦ (h).

Luego, la función L satisface (b).

A continuación, se obtendrá el volumen de un sólido de revolución desde una

óptica asintótica y axiomática.

DEFINICIÓN 3.3. Sea f : [a, b]→ R con f(x) > 0, a 6 x 6 b, y V : [a, b]× [a, b]→R una función que satisface las siguientes propiedades:

(a) V (x, y) + V (y, z) = V (x, z), para todo x, y, z ∈ [a, b].

(b) V (x, x + h) = ±U(x, x + h) + ◦(h), cuando h→ 0±, para todo x ∈ [a, b], donde

U(x, x + h) es el volumen del cilíndro obtenido al hacer girar el rectángulo con

vértices (x, 0), (x+ h, 0), (x+ h, f(x)) y (x, f(x)) sobre el eje x como se muestra

(Figura 3.3). El número V (a, b) se llama el volumen del sólido de revolución

generado por f alrededor del eje x.

Elismar Suárez. 31

Figura 3.3: Volumen de Revolución.

El siguiente teorema está en la misma dirección de los anteriores.

TEOREMA 3.3. Sean f : [a, b]→ R una función continua no negativa, a > 0 y V :

[a, b]×[a, b]→ R una función que satisface los axiomas (a) y (b) de la Definición 3.3.

Entonces V (a, b) = 2π

∫ b

a

xf(x)dx y recíprocamente la función V : [a, b]× [a, b]→ R

dada por V (x, y) = 2π

∫ b

a

xf(t)dt satisface (a) y (b) de la Definición 3.3. Así, los

teoremas (a) y (b) son los únicos que determinan el volumen de revolución.

Demostración. Es claro que U(x, x + h) =| π(x + h)2 − πx2 | f(x). Por lo tanto,

con la ayuda de lemas preliminares:

V (x, x+ h) = ±U(x, x+ h) + ◦(h)

= ± | π(x+ h)2 − πx2 | f(x) + ◦(h)

= ± | π(2xh+ h2) | f(x) + ◦(h)

= ±2πxf(x) | h | +πf(x)h2 + ◦(h)

= ±2πxf(x) | h | + ◦ (h) + ◦(h)

= 2πxf(x)h+ ◦(h).

Luego, por la definición axiomática tenemos y haciendo ρ(x) = 2πxf(x) se cumple:

V (a, b) =

∫ b

a

2πxf(x)dx.

Recíprocamente veamos que V : [a, b]× [a, b]→ R dada por

V (x, y) = 2π

∫ y

x

tf(t)dt = If (x, y)

Elismar Suárez. 32

satisface (a) y (b) de la Definición 3.3.

(a) Para todo x, y, z ∈ [a, b] tenemos:

V (x, y) + V (y, z) = If (x, y) + If (y, z)

= If (x, z)

= V (x, z).

(b) Dado que V está expresado por una integral, tenemos que para cada x ∈ [a, b],

V (x, x+ h) = If (x, x+ h) = 2πxf(x)h+ ◦(h).

De donde se deduce muy simplemente que V satisface (b).

Para concluir, agregamos a las aplicaciones expuestas, y contenidas en el artículo

[2], el cálculo del área de un sólido de revolución. Consideremos el cono truncado con

radios r y R, y con altura h.

Figura 3.4: Cono Truncado

Es bien conocido que el área de la superficie de este cono viene dada por:

AL = π(R + r)√h2 + (R− r)2.

Ver (Figura 3.4). Ahora, consideremos una función f : [a, b] → R de clase C1 y

no negativa, la gráfica de esta función genera una superficie en R3 al ser rotada

sobre el eje x. Nuestro proposito es obtener, con las mismas ideas de las aplicaciones

anteriores, el área de tal superficie. Eso es lo que se establece en el siguiente teorema.

TEOREMA 3.4. Sea f : [a, b] → R una función de clase C1 y no negativa, y

Γ : [a, b]× [a, b]→ R una función que satisface:

Elismar Suárez. 33

(a) Para todo x, y, z ∈ [a, b], Γ(x, y) + Γ(y, z) = Γ(x, z)

(b) Γ(x, x + h) = ±A(x, x + h) + o(h), cuando h → 0±, para todo x ∈ [a, b]. Acá

A(x, x+h) es el área del cono truncado de radios f(x+h) y f(x), y altura | h |.En estas condiciones

Γ(a, b) = 2π

∫ b

a

[f(x)√

1 + (f ′(x))2]dx.

Recíprocamente, si Γ : [a, b]× [a, b]→ R es definida, para cada x, y ∈ [a, b], por:

Γ(a, b) = 2π

∫ y

x

[f(t)√

1 + (f ′(t))2]dt,

entonces Γ satisface (a) y (b) de arriba.

Demostración. En primer lugar nótese que:

A(x, x+ h) = π(f(x+ h) + f(x))√h2 + (f(x+ h)− f(x))2;

es decir, A(x, x+h) = π(f(x+h)+f(x))D(x, x+h), donde D(x, x+h) es la distancia

entre (x, f(x)) y (x+h, f(x+h)). Por otro lado, observe que f(x+h)+f(x) = 2f(x)+

◦(1) cuando h→ 0. De esta forma: Γ(x, x+h) = ±π(2(f(x))+◦(1))D(x, x+h)+◦(h),

cuando h→ 0. Pero por el Teorema 3.2 tenemos que

D(x, x+ h) =| h |√

1 + (f ′(t))2dt, cuando h→ 0.

De esta forma, cuando h→ 0 sigue:

Γ(x, x+ h) = ±π(2f(x) + ◦(1)) | h |√

1 + (f ′(t))2 + ◦(h)

= 2πf(x)√

1 + (f ′(t))2h+ πh ◦ (1)√

1 + (f ′(t))2 + ◦(h)

= 2πf(x)√

1 + (f ′(t))2h+ ◦(h),

pues πh ◦ (1)√

1 + (f ′(t))2 = ◦(h). Como antes, la identidad

Γ(x, x+ h) = 2πf(x)√

1 + (f ′(t))2h+ ◦(h)

implica que

Γ(a, b) = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(t))2dx.

Elismar Suárez. 34

Supongamos ahora que Γ : [a, b]× [a, b]→ R es definida, para cada x, y ∈ [a, b], por

Γ(x, y) = 2π

∫ y

x

f(t)√

1 + (f ′(t))2dt.

Por tratarse de una fórmula integral, Γ satisface (a). La parte (b) también es inmedi-

ata pues sigue de las propiedades (B) de la integral If asociada a la función dada

por:

ρ(x) = 2πf(x)√

1 + (f ′(t))2.

Ver (Figura 3.5).

Figura 3.5: Área de Superficie de Revolución

§Sobre Los Autores

Hemos creído convenientemente expresar breves líneas sobre la identificación de

Ray Cavalcante y Todor Todorov.

Ray Cavalcante, fue un estudiante de licenciatura en matemáticas en la momento

de escribir este artículo, y actualmente es estudiante de posgrado en Cal Poly, San

Luis Obispo. Departamento de Matemáticas, California Polytechnic State Universi-

ty, San Luis Obispo, CA 93407, EE.UU. (rayCavalcante@gmail.com).

Todor Todorov, recibió su doctorado en Física Matemática de la Universidad

de Sofía, Bulgaria. Actualmente es profesor de matemáticas en la Cal Poly, San

Luis Obispo. Sus artículos se encuentran en análisis no-estándar, La teoría no lineal

de funciones generalizadas (la teoría de JF Colombeau), análisis asintótico, ordenó

compactificaciones de espacios topológicos, y la enseñanza del cálculo. Actualmente

trabaja en una versión estándar de la teoría lineal de funciones generalizadas y sus

Elismar Suárez. 35

aplicaciones a PDE. Departamento de Matemáticas, California Polytechnic State

University, San Luis Obispo, CA 93407, EE.UU. (ttodotrov@calpoly.edu).

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