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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA DE LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA

TEMA:

LA METODOLOGÍA APROPIADA EN LA ENSEÑANZA DE MATRICES Y DETERMINANTES

Autora:

Daza Espinoza Alicia Marlene

Directora de Tesis:

Dra. Patricia Campana

QUITO - ECUADOR

MARZO 2015

i

CARTA DE CERTIFICACIÓN DEL DIRECTOR

En mi calidad de Tutora del Trabajo de Grado presentado por la señora

Alicia Marlene Daza Espinoza, para optar el Grado Académico de Licenciada

en Ciencias de la Educación – Mención MATEMÁTICA cuyo título es: La

metodología apropiada en la enseñanza de matrices y determinantes en la

“UNEDI” extensión Pimampiro.

Considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para

ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del Jurado

examinador que se designe.

En la ciudad de Ibarra a los dos días del mes de marzo del 2015.

Dra. Patricia Campana TUTORA DE LA CARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ii

DECLARACIÓN DE AUTORÍA

Yo, Alicia Marlene Daza Espinoza declaro bajo juramento que el trabajo aquí

descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para

ningún grado o calificación profesional; que he consultado las referencias

bibliográficas que se incluyen en este documento y que no he plagiado dicha

información.

Alicia Marlene Daza Espinoza

iii

DEDICATORIA

A Dios: por darme la vida, inteligencia y permitirme cumplir mis sueños,

A mi esposo, Compañero Comprensible Mauricio,

A mi hija: Melissa parte importante en mi vida,

A mis hermanas: por su apoyo incondicional

Marlene Daza

iv

AGRADECIMIENTO

En la realización de este trabajo colaboraron varias personas importantes que

sin su contingente no hubiera sido posible llevar a un feliz término y a las que

quiero dar gracias públicamente:

A la generación de maestros quienes con su capacidad, paciencia,

responsabilidad y colaboración, permitieron reforzar los conocimientos,

potenciar la experiencia como docente y llegar a ejecutar esta investigación

con proyección, acorde a diferentes enfoques de los asesores institucionales

y de especialidad que ayudaron y fueron los ejes fundamentales para el

desarrollo exitoso de este proyecto; a los colegas y amigos que dieron su

aporte creativo y critico siendo el soporte que promovió su elaboración

A los estudiantes (adolescentes y adultos) de la institución investigada y en

general a la comunidad educativa por su colaboración en el proceso de

recolección de información.

A los familiares por entenderme resignadamente que con su perseverancia

impulsaron a que siga estudiando y pueda terminar este trabajo,

v

ÍNDICE DE CONTENIDOS Portada ............................................................................................................ i

Carta de certificación del director ..................................................................... i

Declaración de autoría .................................................................................... ii

Dedicatoria ..................................................................................................... iii

Agradecimiento .............................................................................................. iv

Índice de contenidos ....................................................................................... v

Índice de tablas .............................................................................................. xi

Índice de figuras ........................................................................................... xiii

Resumen ejecutivo ....................................................................................... xv

INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1

CAPÍTULO I................................................................................................... 3

EL PROBLEMA ............................................................................................. 3

1.1 Tema de investigación. ......................................................................... 3

1.2 Planteamiento del problema ................................................................. 3

1.3 Formulación del problema .................................................................... 4

1.4 Preguntas directrices ............................................................................ 4

1.5 Objetivos ............................................................................................... 5

1.5.1 Objetivo General: ........................................................................... 5

1.5.2 Objetivos Específicos: .................................................................... 5

1.6 Justificación .......................................................................................... 6

CAPÍTULO II .................................................................................................. 8

MARCO TEÓRICO ........................................................................................ 8

2. Fundamentación Teórica......................................................................... 8

2.1 Metodología de la enseñanza aprendizaje ........................................... 8

2.1.1 Método ........................................................................................... 9

2.1.2 Clasificación de los métodos de enseñanza ................................. 10

2.1.3 Métodos actuales, contemporáneos de la enseñanza de

Matemática ............................................................................................ 10

2.1.3.1 Método heurístico ................................................................... 11

2.1.3.2 Método de solución de problemas ......................................... 11

vi

2.1.3.3 Métodos Modernos Tecnológicos ......................................... 12

2.1.3.4 Métodos básicos que se emplean en Matemática ................. 14

2.1.3.4.1 Método experimental ....................................................... 14

2.1.3.4.2 Método de IBERCIMA ...................................................... 14

2.1.3.4.3 Método científico .............................................................. 15

2.1.4 Técnica ......................................................................................... 15

2.1.4.1 Técnicas del aprendizaje activo ............................................. 15

2.1.4.2 Técnicas del aprendizaje acelerado ....................................... 16

2.1.5 Estrategias metodológicas ........................................................... 16

2.2 Álgebra ............................................................................................... 17

2.2.1 Fundamentos históricos ............................................................... 17

2.2.2 Definición de Álgebra ................................................................... 18

2.2.3 Tipos de Álgebra .......................................................................... 19

2.2.3.1 Álgebra lineal ......................................................................... 19

2.2.3.1.1 Origen de matrices y determinantes ................................ 19

2.2.3.1.2 Definición de matriz ......................................................... 20

2.2.4 Clases de Matrices ....................................................................... 21

2.2.4.1 Operaciones de Matrices ....................................................... 26

2.2.4.1.1 Suma de matrices ............................................................ 26

2.2.4.2 Propiedades de la suma ........................................................ 27

2.2.4.3 Demostración de dos propiedades ......................................... 28

2.2.4.3.1 Resta de matrices ............................................................ 29

2.2.4.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz ..................... 30

2.2.4.3.3 Producto de dos matrices ................................................ 32

2.2.4.3.4 Ecuación lineal o de primer grado .................................... 34

2.2.4.3.4.1 Definición de ecuación ............................................... 34

2.2.4.3.4.2 Ecuación lineal (notación) .......................................... 35

2.2.4.3.4.3 Ecuación lineal con una incógnita.............................. 36

2.2.4.3.4.4 La ecuación lineal o de primer grado con dos

incógnita ...................................................................................... 36

2.2.4.3.5 Sistema de ecuaciones lineales ....................................... 36

vii

2.2.4.3.5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas .................................................................................... 37

2.2.4.3.5.2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas 37

2.2.4.3.5.3 Aplicación de la teoría de matrices en la resolución

de sistemas de ecuaciones lineales ............................................ 38

2.2.4.3.5.3.1 Método de Gauss.- Matriz escalonada ................ 39

2.2.4.3.5.3.................................................................................... 46

2.2.4.3.6 Función Determinante ...................................................... 50

2.2.4.3.6.1 Determinante de una matriz 2x2 ................................ 50

2.2.4.3.6.2 Determinante de una matriz 3x3 ............................... 51

2.2.4.3.6.3 Aplicación de la función determinante en la

resolución de sistemas de ecuaciones ........................................ 53

2.2.4.3.6.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas ......................................................... 53

2.2.4.3.6.3.2 Resolución de Sistemas de ecuaciones con tres

ecuaciones y tres incógnitas .................................................... 56

2.2.4.3.6.3.2.1 Método de Sarrus .......................................... 57

2.2.4.3.6.3.2.2 Método de Cofactores ................................... 58

2.2.4.3.6.3.2.3 Aplicación de Determinantes mediante el

proceso de cofactores ........................................................... 59

2.3 MARCO INSTITUCIONAL .................................................................. 63

2.3.1 Naturaleza de la unidad educativa a distancia de Imbabura ........ 64

2.3.2 Visión y Misión de la UNEDI ......................................................... 65

2.4 Fundamentación legal ........................................................................ 67

2.5 Hipótesis ............................................................................................. 70

2.6 Variables de la investigación .............................................................. 71

2.7 Operacionalización de variables ......................................................... 71

CAPÍTULO III ............................................................................................... 72

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ................................................. 72

3.1 Diseño de la investigación .................................................................. 72

3.1.1 Según el tipo de estudio ............................................................... 72

viii

3.1.2 Según las fuentes de consulta: investigación de campo-

bibliográfica ........................................................................................... 72

3.1.3 Métodos de la investigación ......................................................... 72

3.1.3.1 Métodos generales ................................................................. 72

3.1.3.2 Métodos específicos .............................................................. 73

3.2 Población ............................................................................................ 74

3.3 Técnicas e instrumentos de recolección de información .................... 74

3.3.1 Observación ................................................................................. 74

3.3.2 La encuesta .................................................................................. 75

CAPÍTULO IV .............................................................................................. 76

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ................................ 76

4. Presentación de resultados: Encuestas aplicadas a los estudiantes 76

4.1 La mayor parte de clases, el docente de matemáticas utiliza ............. 76

4.2 El docente para resolver dificultades de algebra relaciona con

experiencias vividas.................................................................................. 77

4.3 El docente cuando practica ejercicios de matemática (matrices)

interactúan con los estudiantes ................................................................ 78

4.4 El docente de matemática domina los conocimientos ........................ 79

4.5 El aprendizaje de algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza

................................................................................................................. 80

4.6 Si tiene Usted inconvenientes en el aprendizaje el profesor .............. 81

4.7 Cuando Usted realiza las tareas de algebra lo hace: ......................... 82

4.8 Algebra aprende mejor mediante Tabla: ............................................. 83

4.9 Cuál es la estrategia que más frecuentemente utiliza en Matemática 84

4.10 Los ejercicios del algebra le permiten desarrollar la memoria .......... 85

4.11 La matemática se enseñara de manera memorística sin razonar .... 86

4.12 Para mejorar el aprendizaje de matrices se debe crear o aplicar

nuevas metodologías de enseñanza (TIC) ............................................... 87

4.13 Los docentes han abordado el tema de matrices con determinado

grado de dificultad .................................................................................... 88

4.14 Las clases impartidas se caracterizan por ser .................................. 89

4.15 ¿Al resolver un sistema de ecuaciones ha resuelto por’? ................. 90

ix

4.16 Lugar en el que domina conocimientos de algebra en la enseñanza

de matrices ............................................................................................... 91

4.17 ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes en la aplicación

matrices y determinantes? ........................................................................ 92

4.18 ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de

Resolución de sistemas de ecuaciones? .................................................. 93

4.19 ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor

utilizando? ................................................................................................ 94

4.20 ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear

o aplicar nuevas metodologías de la enseñanza? .................................... 95

4.21 Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar

................................................................................................................. 96

4.22 ¿En la enseñanza del algebra utiliza material concreto? .................. 97

4.23 ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar el

proceso de enseñanza aprendizaje mediante las TIC. ............................. 98

4.24 Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja

más. .......................................................................................................... 99

CAPÍTULO V ............................................................................................. 100

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................................. 100

5.1 Conclusiones .................................................................................... 100

5.2 Recomendaciones ............................................................................ 101

CAPÍTULO VI ............................................................................................ 103

PROPUESTA ............................................................................................. 103

6.1 Tema ................................................................................................ 103

6.2 Presentación ..................................................................................... 103

6.3 Objetivos ........................................................................................... 104

6.3.1 Objetivo general ......................................................................... 104

6.3.2 Objetivos Específicos ................................................................. 104

6.4 Población - Objeto ............................................................................ 104

6.5 Localización ...................................................................................... 105

6.6 Desarrollo de la propuesta ................................................................ 106

6.6.1 Taller Nº 1................................................................................... 106

x

6.6.1.1 Tema .................................................................................... 106

6.6.1.2. Objetivo ............................................................................... 106

6.6.1.3 Actividades ........................................................................... 106

6.6.1.4 Cronograma ......................................................................... 114

6.6.2 Taller Nº 2................................................................................... 114

6.6.2.1 Tema .................................................................................... 114

6.6.2.2 Objetivo ................................................................................ 114

6.6.2.3 Actividades ........................................................................... 114

6.6.2.4 Ampliación de contenidos .................................................... 115

6.6.2.5 Cronograma 2 ...................................................................... 124

6.6.3 Taller Nº 3................................................................................... 124

6.6.3.1 Tema .................................................................................... 124

6.6.3.2 Objetivo ................................................................................ 124

6.6.3.3 Actividades ........................................................................... 125

6.6.3.4 Definición de la herramienta tecnológica WIRIS .................. 126

6.6.3.5 Contenidos de la página WIRIS ........................................... 127

6.6.3.6 Ventajas ............................................................................... 127

6.6.3.7 Apéndice de la Lista de iconos ............................................. 128

6.6.3.8 Icono de Matrices ................................................................. 133

6.6.3.9 Cronograma 3 ...................................................................... 136

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................... 137

ANEXOS .................................................................................................... 142

xi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Matriz FODA ..................................................................................... 66

Tabla 2.2 Operacionalización de variables ....................................................... 71

Tabla 3.1 Población .......................................................................................... 74

Tabla 4.1 Pregunta 1 de los estudiantes ........................................................... 76

Tabla 4.2 Pregunta 2 estudiantes ..................................................................... 77

Tabla 4.3 Pregunta 3 de estudiantes ................................................................ 78

Tabla 4.4 Pregunta cuarta de los estudiantes ................................................... 79

Tabla 4.5 Preguntas 5 planteada en la encuesta .............................................. 80


Tabla 4.7 Apoyo en tareas ................................................................................ 82


Tabla 4.9 Estrategias frecuentes pregunta 9 .................................................... 84

Tabla 4.10 Pregunta 10 .................................................................................... 85

Tabla 4.11 La Enseñanza de matemática debe ser repetitiva .......................... 86

Tabla 4.12 Pregunta 12 de los estudiantes ....................................................... 87

Tabla 4.13 Resultados de la Dificultad en abordar temas de matrices ............. 88

Tabla 4.14 Tipo de clase impartida ................................................................... 89

Tabla 4.15 Resultado de Pregunta 3 de docentes ............................................ 90

Tabla 4.16 Respuestas a pregunta 4 de los Docentes ..................................... 91



Tabla 4.19 Instrumentos utilizados en el proceso enseñanza aprendizaje ....... 94

Tabla 4.20 Pregunta 8 ...................................................................................... 95

Tabla 4.21 Alternativas aplicadas para mejorar el aprendizaje ......................... 96

Tabla 4.22 Resultados de la pregunta 10 de los docentes .............................. 97

Tabla 4.23 Resultados de la pregunta 11 ......................................................... 98

Tabla 4.24 Resultados de la pregunta 12 ......................................................... 99

Tabla 6.1 Población- Objeto ........................................................................... 105

Tabla 6.2 Desventajas de las TIC para estudiantes y docentes ..................... 110

Tabla 6.3 APLICACIÓN: datos de materiales y precios .................................. 113

Tabla 6.4 CRONOGRAMA 1........................................................................... 114

xii

Tabla 6.5 CRONOGRAMA 2........................................................................... 124

Tabla 6.6 TALLER 3: CRONOGRAMA 3 ........................................................ 136

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Relación: sujeto - objeto de investigación .......................................... 8

Figura 2.2 Conocimiento científico ...................................................................... 9

Figura 2.3 Clasificación de los métodos de enseñanza © Enrique Martínez-

Salanova Sánchez 1999 ................................................................................... 10

Figura 2.4 Proceso metodológico ERCA enseñanza- aprendizaje ................... 13

Figura 4.1 Clases que aplican los docentes ..................................................... 76

Figura 4.2 Relación de dificultades con experiencias vividas ........................... 77

Figura 4.3 Interactúan estudiantes-docente ...................................................... 78

Figura 4.4 Lugar de dominio de conocimientos ................................................ 79

Figura 4.5 Instrumentos en el aula .................................................................... 80

Figura 4.6 Actividades de recuperación ............................................................ 81

Figura 4.7 Tareas de algebra con apoyo .......................................................... 82

Figura 4.8 Medios de aprendizaje de estudiantes ............................................. 83

Figura 4.9 Estrategias utilizadas en matemática............................................... 84

Figura 4.10 Los ejercicio permiten desarrollar la mente ................................... 85

Figura 4.11 La enseñanza de matemática es memorística o repetitiva ............ 86

Figura 4.12 Sondeo de aplicación de metodologías ......................................... 87

Figura 4.13 Dificultad en abordar temas de matrices ........................................ 88

Figura 4.14 Tipo de clase impartida .................................................................. 89

Figura 4.15 Métodos de solución de ecuaciones usados por los docentes ...... 90

Figura 4.16 Lugar de dominio de conocimientos .............................................. 91

Figura 4.17 Aplicación de matrices y determinante .......................................... 92

Figura 4.18 Método más óptimo para resolver sistema de ecuaciones ............ 93

Figura 4.19 Instrumentos utilizados .................................................................. 94

Figura 4.20 Opciones sobre el mejoramiento del proceso de enseñanza ........ 95

Figura 4.21 Actividades de mejoramiento del aprendizaje ................................ 96

Figura 4.22 Utilización material concreto .......................................................... 97

Figura 4.23 Incorporación de TIC ..................................................................... 98

Figura 4.24 Incorporación de TIC ..................................................................... 99

Figura 6.1 Aprender a Aprender ..................................................................... 106

Figura 6.2 Profesionalización .......................................................................... 111

xiv

Figura 6.3 Diapositivas diseñadas en powert point ......................................... 116

Figura 6.4 Presentación de la pagina ............................................................. 127

Figura 6.5 Lista de iconos de la plataforma wiris (GUÍA) ................................ 129

xv


SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación

METODOLOGÍA APROPIADA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATRICES Y DETERMINANTES

Autora: Alicia Marlene Daza Espinoza Directora: Dra. Patricia Campana Fecha: Ibarra, 2013

RESUMEN EJECUTIVO

La sociedad demanda con urgencia de personas indicadas que se preocupen de realizar las funciones de: programar, emprender, dirigir y examinar las actividades, métodos, estrategias con proyección a conseguir cambios en la calidad de la educación de la situación actual del Ecuador, se cita algunos métodos contemporáneos para mejorar el proceso enseñanza aprendizaje que permitan descartar poco a poco el aprendizaje pasivo que atrae muchas dificultades y ayude a renovar las habilidades, destrezas de los estudiantes de la UNEDI; el presente estudio se enfoca en la necesidad prioritaria de aplicar nuevos métodos y si es posible apoyado por la tecnología que colabore en el nivel académico de los estudiantes. Es de suma importancia que los docentes sean conscientes, desarrollen su rol de maestros con responsabilidad generando líderes estudiantiles que aporten en una revolución educativa dotándose de las herramientas indispensables para una formación correcta en el nivel cognitivo, afectivo y psicomotriz de los estudiantes siendo la pauta la constante preparación tanto de docentes como estudiantes y exista un crecimiento personal y grupal con el fin de eliminar los obstáculos en el proceso de enseñanza, es importante que los estudiantes sean activos, participativos, críticos y creativos para lo cual se hace indispensable el aprendizaje de matrices y determinantes para resolver los problemas del entorno en la institución y cumplir con los objetivos, también se da conocer el universo de estudio, las encuestas, tabulación de resultados y algunas recomendaciones para conseguir una educación de calidad. Al final se complementa con la propuesta que consiste en talleres de capacitación sobre Matrices y Determinantes aprovechando las TIC mediante la participación interactiva de los docentes y estudiantes dando la pautas necesarias a la comunidad educativa con el fin de obtener los productos efectivos que logren insertarse en la sociedad y se desenvuelvan en cualquier campo profesional

DESCRIPTORES: Metodología innovadora. Mejorar aprendizaje de matrices y determinantes

1

INTRODUCCIÓN

La enseñanza de matemáticas necesita verdaderos cambios en las

instituciones educativas, este proyecto está orientado en conocer, si es

posible aplicar la metodología adecuada que intervienen en la enseñanza

de matrices y determinantes en los colegios, que permitan construir un

perfil de estudiantes interactivos, creativos, investigativos; dejando a un lado

los métodos tradicionales que forman estudiantes dependientes,

memorísticos, receptores que son los nudos principales de la educación

actual. En lo que se refiere a la selección del tema, planteamiento del

problema, objetivos y justificación (capítulo I), fue un reto tanto en la

elaboración, organización de la tesis como en la argumentación ya que

para emitir juicios acertados, analizar el contexto indispensable se apoyó en

suficientes fuentes de consulta

Las partes involucradas en la investigación deben tener afinidad con el tema

de algebra por lo que va enfocado al bachillerato y direccionado hacia

conocimientos básicos de algebra lineal, se dará a conocer el origen,

historia de algunos términos, definiciones, marco referencial, variables,

hipótesis etc. (capítulo II), clases de métodos aplicados y los recomendados

en el proceso enseñanza aprendizaje, muestra, población. (Capítulo III)

La estructura del marco teórico es muy amplia por lo que se acude a fuentes

de consulta variada (bibliografía, internet, citados en cada bloque o al

finalizar) luego de analizar, sintetizar rápidamente se procede a desarrollar

el trabajo que genere beneficios en el elemento humano, la institución y la

sociedad; los resultados alcanzados después de realizar la investigación

deben ser gratificantes, confiables para satisfacer las necesidades de la

comunidad educativa.

Seguidamente se relaciona la metodología más conveniente con la

terminología aplicada, datos de quien la creo, proceso de resolución de

2

sistema de ecuaciones de primer grado con dos y tres incógnitas mediante

determinantes, identificar las clases de matrices, espacios vectoriales,

encontrar la matriz inversa, simétrica y la transpuesta de una matriz dos por

dos.

Los instrumentos recomendados, (capitulo IV) la interpretación de los

resultados de las preguntas planteadas permiten detectar el nivel en que se

encuentra el grupo y se logra emitir conclusiones y recomendaciones

(capítulo V) Para lograr cambios evolutivos se realiza una propuesta

(capítulo VI) con la finalidad de optimizar la problemática encontrada en la

UNEDI aplicando los medios tecnológicos.

3

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1 Tema de investigación.

La Metodología apropiada en la Enseñanza de matrices y determinantes

(Algebra Lineal) del segundo curso del bachillerato en ciencias sociales en

la (Unidad Educativa a distancia de Imbabura UNEDI) durante el periodo

2012-2013

1.2 Planteamiento del problema

Evitar cualquier obstáculo educativo, eliminando las falencias del

aprendizaje rutinario en el colegio, siendo la problemática principal el no

innovar la metodología en la enseñanza de la matemática en especial de

una rama especifica del algebra lineal, que es matrices y determinantes:

desconocida para algunos; es así como los profesores siguen aplicando la

enseñanza tradicional que se caracteriza por no estimular a los alumnos al

aprendizaje autónomo, democrático; este problema se presenta en los

segundos cursos del bachillerato y en la especialidad de sociales; aplican

conceptos básicos para resolver ejercicios sobre sistemas de ecuaciones

donde el alumno es un mero receptor y el tutor únicamente es el

protagonista además la idea es evolucionar los métodos de enseñanza de la

matemática encaminada en mejorar el aprendizaje del algebra lineal en los

planteles educativos evitando la rutina, mejorando la motivación y

desarrollando sus destrezas y aplicando diferentes estrategias del

aprendizaje.

En el sistema de educación a distancia se presentan deficiencias en las

personas adultas mayores de 15 años, especialmente en las que vuelven a

retomar los estudios después de mucho tiempo. Por lo que es

indispensable mejorar la enseñanza de la matemática, lo ideal será aplicar

las metodologías oportunas, actuales como el Método de Polya, las

4

Tecnologías de la Información relacionadas con su entorno, formando

estudiantes que adquieran fortalezas en los aspectos: cognitivo, afectivo,

reflexivo, crítico entre otros; por consecuencia se fortalecerá el aprendizaje

constructivista en los futuros bachilleres. Relacionar el proceso enseñanza

aprendizaje, las herramientas educativas, los temas de matrices y

determinantes con la solución de problemas económicos, geográficos,

políticos, sociales, que se aplique en la mayoría de establecimientos;

obtener la mejoras primero en las actividades cualitativas comprendiendo la

conducta de los educandos que inciten a: descubrir, explorar, describir la

información que se fundamenta en la realidad y en segundo lugar las

actividades cuantitativas deben ser objetivas están focalizadas a la

comprobación de la información, impulsando la innovación de la metodología

y lograr una enseñanza de calidad.

1.3 Formulación del problema

¿La metodología empleada por los docentes influye en el aprendizaje

Matrices y Determinantes (Algebra Lineal)en la Unidad Educativa a Distancia

de Imbabura (UNEDI) durante el periodo 2012- 2013 de los estudiantes de

segundo de bachillerato de la especialidad ciencias sociales del CAT

(Centro de Apoyo Tutorial ) Pimampiro?

1.4 Preguntas directrices

¿Cómo enseñan los docentes del Área de Matemáticas en el bachillerato?

¿Cómo mejorar la enseñanza de las matemáticas en el tema matrices?

¿Cuáles son los métodos contemporáneos de la enseñanza de la matemática?

¿Cuál es la terminología empleada en los diferentes tipos de matrices del

álgebra lineal

¿Qué metodología emplean los docentes actualmente?

¿Cómo emplear las TIC en el aprendizaje innovador de matrices y

determinantes?

¿Tiene relevancia la información científica en el marco teórico?

5

¿Cómo se originaron los temas básicos: matrices, determinantes, algebra?

¿La investigación será trascendental y positiva?

¿La propuesta planteada facilitará y determinará un aprendizaje comprensible?

1.5 Objetivos

1.5.1 Objetivo General:

Analizar y determinar la metodología apropiada como herramienta para el

aprendizaje innovador de Matrices y Determinantes en el segundo curso de

bachillerato ciencias sociales del Colegio: UNEDI (Unidad Educativa a

Distancia de Imbabura) 1

1.5.2 Objetivos Específicos:

1. Caracterizar la metodología utilizada por el docente en la enseñanza de

Matrices y determinantes

2. Identificar la necesidad de incorporar nuevos métodos de enseñanza

aprendizaje de la matemática.

3. Examinar los principales temas de matrices y determinantes que pueden

ser enseñados en la unidad educativa a distancia de Imbabura:

contenidos, clases de matrices, aplicación.

4. Relacionar puntualmente el análisis de los tópicos de Matrices,

Determinantes y su metodología en la enseñanza secundaria.

1NOTA: Según la nueva LOEI los colegios a distancia pasan a ser de modalidad semi presencial

6

1.6 Justificación

La importancia de realizar este proyecto es con el fin de ampliar la

experiencia como docente cumpliendo el reto de auto educar, retroalimentar

con información novedosa y sobre todo aplicar métodos vigentes y

contemporáneos de la enseñanza de matemática que se investigaron y

constan posteriormente en el marco lógico; siendo Matrices y Determinantes

un tema relevante en Álgebra, para la ejecución efectiva se tendrá que

modificar estrategias metodológicas acostumbrados de enseñanza para

conseguir consecuencias favorables, apoyándose de términos

investigados y confirmar los logros no solo mediante encuestas sino con

otro instrumento que es recolectar información de la experiencia de

docentes especializados y aplicar los conocimientos investigados clases

interactivas de álgebra lineal .

Es imprescindible el desarrollo evolutivo del proceso enseñanza aprendizaje

Matrices y Determinantes relacionando con el empleo de métodos

trascendentales, actuales, y rescatando lo favorable de los métodos

tradicionales en la resolución de ejercicios o problemas y en especial que

tengan intereses comunes del grupo, que permita a otros docentes tener

una fuente de consulta es decir sea una herramienta básica, donde pueda

constar: terminología empleada que motive comprender el lenguaje

matemático y pasos secuenciales de algunos procesos de resolución de

problemas sobre: sistema de ecuaciones, producto matricial, producto

escalar, y estimulando la relación interactiva tutor-estudiante y promoviendo

un aprendizaje integro, democrático, dando como resultado el perfil de un

bachiller capacitado en lo cognitivo, psicomotor y afectivo que pueda

insertarse en la sociedad siendo un ente productivo y sea valorado como un

ser humano donde se experimente la integración de grupos cooperativos

alejando los intereses del aprendizaje individuales.

Es importante realizar este proyecto para que sea una herramienta didáctica

en la enseñanza del área de matemática, donde los protagonistas son los

7

recursos humanos (docentes, estudiantes que son los beneficiarios directos,

y los beneficiarios indirectos los padres de familia y la comunidad educativa -

social).

Como estudiante-docente en esta asignatura lo principal de este proyecto es

que los logros que se obtengan generen modificación en el proceso

enseñanza aprendizaje y sean fiables, permitiendo que los conocimientos

adquiridos por el investigador se fortalezcan e incrementen, sean aplicables

a la realidad, es decir que se adapte a la enseñanza, disponer del tiempo

necesario, de los recursos económicos, humanos; el lugar conveniente

donde se pueda realizar las encuestas para verificar la información

cuantitativa y cualitativa mediante los parámetros medibles para realizar la

evaluación estadística correspondiente, previamente se tendrá que dos

jornadas, utilizando la bibliografía disponible que proyecte a formar mentes

de raciocinio lógico cuyas consecuencias sean positivas. Además se

espera que los conocimientos de Álgebra Lineal sean reforzados para que

desde hoy en adelante las clases sean más dinámicas, interactivas, aplicar

con facilidad el proceso de enseñanza ERCA (experiencia, reflexión,

conceptualización y aplicación) con la metodología investigada, que ayude a

planificar por destrezas. Para cumplir las expectativas planteadas en los

objetivos se cuenta con el lugar (aulas de la UNEDI) el elemento humano

disponible, los recursos bibliográficos, tecnológicos y por último concluir la

investigación, con los resultados verificables que ayuden a modificar y

mejorar la enseñanza de la matemática en la rama de álgebra Lineal en

especial en el desarrollo, clasificación, calculo matricial y aplicación de

determinantes llegando a su comprobación mediante destrezas mentales,

manuales y los algoritmos algebraicos o en la plataforma a través de la

tecnología.

8

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2. Fundamentación Teórica

2.1 Metodología de la enseñanza aprendizaje

Metodología se deriva de la palabra método y del sustantivo griego logos

que significa: explicación, tratado, estudio juicio. Representa el modo de

organizar el proceso de investigación, controlarlos resultados, presenta

posibles soluciones que se encamina a la toma de decisiones. La

metodología está encaminada a investigar, diferir, y aplicar el nivel crítico

sobre los métodos actuales y los tradicionales de la enseñanza de

matemática. Zorrilla, S. Torres. Cervo, L(1999) pp15-16

En conclusión se dirá que la metodología estudia al método que ayuda a

eliminar los nudos educativos y también existen otros que encaminan a una

investigación productiva. Se puede agregar diciendo que la metodología

relaciona al sujeto de la investigación (investigador) con el objeto de la

investigación (problema) .Tomando en cuenta la Pedagogía es parte de la

Didáctica, es un proceso sistemático de enseñanza por conseguir los

objetivos, estudia los medios de enseñanza, producción, aplicación,

seguimiento y evaluación de los métodos o medios (Abril, F,M.2004 PP 236-237)

Figura 2.1 Relación: sujeto - objeto de investigación

Fuente: (Torres, M. 1992, p 15)

De esto se deriva el conocimiento científico

Sujeto de la

investigación

Investigador

Objeto de la

investigación

Problema

Metodología

(Métodos)

9

= = +

Figura 2.2 Conocimiento científico

Fuente: (Torres, M. 1992, p 16)

2.1.1 Método

Etimológicamente se forma por dos vocablos griegos meta y odos que

significa el camino para llegar a obtener un objetivo. Es un elemento

indispensable en la ciencia porque facilita la verificación de los que se

afirma, conduce a los logros válidos, precisos no aproximados, tomados de

la realidad y que sean confiables. (Torres, M. 1992, p 16)

Algunos métodos que se usan en la enseñanza actual y contemporánea de

la matemática, de acuerdo a la materia y temas seleccionados; mediante su

utilización se evita que se haga repetitivo o rutinario, porque hostiga a los

estudiantes, cansa este aprendizaje tradicional.

En resumen podemos señalar que los métodos más usados son:

• DEDUCTIVO: parte de lo general a lo particular.

• INDUCTIVO: inicia desde lo particular hacia lo general.

• HEURÍSTICO: se analiza, se reflexiona y tiene un alto nivel critico

• COMPARATIVO: realiza diferenciación, analogías para llegar a resolver problemas

• PASIVO: este método lo aplican aquellas personas que son

espectadores únicamente y no actúan por inseguridad, por no conocer el

tema, miedo a expresarse en público, temor a equivocarse en realizar

ejercicios no es recomendable.

• ACTIVO: se refiere a que todos interactúan cuando existe la oportunidad, en

matemáticas es el más indicado tanto para el tutor como el estudiante que

son los protagonistas

Conocimiento

científico

Metodología

(vía)

Investigación

(Proceso)

10

• DOGMÁTICO: todo lo enseñado se basa en verdades respecto a la ciencia,

es indiscutible. (Achaerandio, L.1998.sp.)

2.1.2 Clasificación de los métodos de enseñanza

Figura 2.3 Clasificación de los métodos de enseñanza © Enrique Martínez-Salanova Sánchez 1999

Fuente: ( http://www.uhu.es) Elaborado por: Marlene Daza (3 de mayo 2012)

2.1.3 Métodos actuales, contemporáneos de la enseñanza de Matemática

En esta parte se nombra los métodos más actuales, de mayor aplicación y

según la necesidad establecida, luego de consultar se observa claramente

que se puede emplear variedad de métodos que ayuden a motivar,

Métodos de

enseñanza

Organización

de la materia

En cuanto a la

forma del

raciocinio

Relación con

ambiente

Aprobación de

lo enseñado

Categorización

del conocimiento

Acciones

externas

*Psicología

del alumno

*lógica de la

tradición

*Comparativo

*Deductivo

*Inductivo

*Simbólico o

Vervalistico

Intuitivo

*Dogmática

*Heurística

*Globalizado

*Especializado

*Pasivo

*Activo

11

investigar, comprender procesos, reflexionar, potenciar las capacidades en

la resolución de problemas y salir de la rutina por el uso permanente de los

métodos tradicionales: de inducción deducción y análisis.

Haciendo referencia a las exigencia actuales

“La formación de maestros/as debe ser una educación en la vida,

sustentada en la actividad docente y en la solución de problemas

sociales, garantizando la integración de la teoría y la práctica.......,

para formar maestros/as comprometidos con la satisfacción de las

crecientes necesidades acorde con el entorno social. Método de

enseñanza de la matemática, 2007(http://www.educando.edu.do) 5 de

mayo/ 2012

2.1.3.1 Método heurístico.- Es desarrollar la imaginación en la solución de

problemas después de un proceso de reflexión a mediano plazo empleando

el pensamiento; en otras palabras hay que identificar claramente el problema

para plantear su posible solución descubrir la verdad, practicar actividades

imaginativas poniendo en práctica su iniciativas y perspectiva en resolver los

problemas.

Sus etapas son:

� Descripción de propósitos

� Exploración experimental

� Socialización de resultados

� Evaluación

� Fijación (Pérez, A. 2006, PP 30)

2.1.3.2 Método de solución de problemas.- Es aplicable en el nivel medio

y superior ya que se pone a disposición las habilidades y destrezas de los

estudiantes, una aplicación de este método es: “los 4 pasos de POLYA”

consiste en:

� Comprender el problema

12

� Fijar un plan

� Ejecutar el plan

� Resolver el problema relacionando con otro” o examinar el problema (Guzmán,

M. 1991 .P.80) )

2.1.3.3 Métodos Modernos Tecnológicos.- Lo que permite

desempeñarse con efectividad creando talleres de capacitación

principalmente de las TIC, son medios interactivos que funcionan en parte

con la participación activa del usuario son los más útiles en el aprendizaje

independiente para docentes y extender a los estudiante , pero en la

actualidad en ocasiones sucede lo contrario (Abril, F,M.2004 PP 232)

Proceso metodológico ERCA

1. Experiencia: observación, estímulos de reacción.

2. Reflexión: relaciones de experiencias, el análisis.

3. Conceptualización: abstracción, estructura cognitiva, generalización del

conocimiento.

4 .Aplicación: Uso y transferencia de conocimientos en una situación nueva,

integración de todas las capacidades intelectivas, que permitan generar

conocimientos. Ciclo del aprendizaje (http://www.slideshare.net) PP 21

13

ENTORNO SOCIAL

CULTURAL

Figura 2.4 Proceso metodológico ERCA enseñanza- aprendizaje Fuente: (Rivera, F. Ciclo del aprendizaje. sp)

Innovación y ejemplos de prácticas idóneas.

Este proceso del inter-aprendizaje activo, no solo es, la experiencia,

reflexionar, conocer nuevos conocimientos y aplicarlos, sino que se vuelve

un espiral abierto del aprendizaje educativo y ampliación de nuevos

conocimientos, esto se aplica en todas las áreas o asignaturas de los

procesos andrológicos, de acuerdo a los intereses y necesidades de sus

propios actores principales y secundarios.

Definición y ámbitos de las buenas prácticas ( www.unesco.org )16-febrero-2012

Este proceso educativo para adultos con la misma metodología en el

Sistema Modular ha dado buenos resultados en años anteriores, ya que se

vuelve secuencial, inicial y terminal, la temática generadora está de acuerdo

a los problemas, necesidades, intereses y situaciones de las personas

participantes como en la alfabetización de individuos: Jóvenes y Adultos de

las comunidades rurales, los que no tienen acceso de transporte, no pueden

estudiar en la educación regular (presencial) ,no cuentan con el tiempo

necesario.

“La buena práctica docente es un conjunto de acciones que

desarrolla el profesorado introduciendo mejoras en las

Aplicación

Experiencia

Reflexión

Conceptualización

14

relaciones, procesos y actividades orientados a producir

resultados positivos” Definición y ámbitos de las buenas practicas

(www.unesco.org ) 16-febrero-2012

2.1.3.4 Métodos básicos que se emplean en Matemática.- estos métodos

se apoyan en:

Aplicación de juegos en el aprendizaje.- La función principal es distraer

a los estudiantes mediante dinámicas recreativas donde juegue la

imaginación y se diviertan aprendiendo. Mediante el juego se descubre las

aptitudes, comportamiento, costumbres que orientan y refuerzan conceptos

(Alpilio, w y Pérez 2006 A. PP 32)

Conocimientos históricos.- Se basa en la historia, acontecimientos o datos

sobresalientes para comprender las dificultades del hombre para resolver

problemas del entorno.

Tendencia a representación con figuras geométricas.- Este método es

muy aplicado en matemática porque si no se entendió el problema en el

contenido se lo transfiere a gráficos para su mejor comprensión

específicamente es el material como láminas, carteles, diapositivas con

diagramas, gráficos, tablas que se utiliza en la enseñanza de la matemática.

(Alpilio, w. y Pérez, A. 2006, PP 32)

2.1.3.4.1 Método experimental.- En nuestra área es fundamental poner en

práctica lo cognitivo y destrezas adquiridas donde se apruebe o se rechacen

algunos procesos según la dificultad llegando a ser comprobados.

.

2.1.3.4.2 Método de IBERCIMA (Programa Iberoamericano de Ciencia y

Matemática a nivel medio) Es el más utilizado en la actualidad debido que es

necesario en alguno campos: programar técnicas de estudio, instruye a

docentes especialmente de matemática, es herramienta de apoyo y permite

15

el aprendizaje demostrativo, transformador y está encaminado al

constructivismo.

2.1.3.4.3 Método científico.- Se acomoda a la realidad apartando los

sentimientos y sensaciones; usa la inteligencia para descubrir verdades

relacionarlas, generalizar, verificarlas y por último predice, explica y escribe

sus pasos: observación, recolección de datos, planteamiento del problema

hipótesis, experimentación y conclusión. (Caballero, S.1961 PP 19)

2.1.4 Técnica.- Proceso en el que se emplea métodos, instrucciones e

instrumentos con determinada habilidad y se lo hace en menor tiempo,

energía y dinero es aplicable en cualquier institución (Abril, F,M. 2004 PP 333)

2.1.4.1 Técnicas del aprendizaje activo

Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).- Aquí se parte del problema y el

alumno desarrolla su pensamiento en resolverlo aplicando su imaginación.

Se consigue el aprendizaje significativo por estimular el auto aprendizaje,

incrementar el desarrollo de habilidades cognitivas como el pensamiento

crítico, reflexivo, las acciones son elaboradas en grupo, se anima la

responsabilidad, el entusiasmo por aprender mediante el trabajo

cooperativo.( Morales, P. y Landa, V. (2004). Aprendizaje basado en problemas, en

Theoria, Vol.13. PP. 145) (http://web.archive.org)

13 marzo 2012

Método del Caso (MdC).- Debe el estudiante realizar sus propias

conclusiones y contribuir en solucionar los problemas mediante destrezas

adquiridas, la clase se vuelve dinámica por que coordinan el trabajo,

conocimientos adquiridos y el ambiente o entorno.

Enseñanza por proyectos: los estudiantes deben ser capaces de aprender

de sus investigaciones, aplicar conclusiones y recomendaciones, trabajar en

16

grupos cooperativos tal como lo hacen muchos estudiantes de la UTE que

son los protagonistas enfocando principalmente las habilidades y actitudes

Aprendizaje basado en proyectos. Galeana, L. PP1-17 (http://www.eduteka.org ) 15-

Marzo- 2012

2.1.4.2 Técnicas del aprendizaje acelerado.- Dentro de estas técnicas

están las que se relacionan con el funcionamiento del cerebro tanto del lado

derecho y del izquierdo, entre ellas están:

a) Construcción de mapas mentales

b) Relación maestro-estudiante ( Efecto Pigmalión )

c) Aprendizaje Cuántico

d) Inteligencias múltiples

e) Dibujos y Caricaturas

f) Todos podemos ser genios

g) Haciendo del aprendizaje una experiencia agradable que consta de tres

aspectos: cognitivo, psicomotor y afectivo (Oropeza, Moterrubio, R. 2004 ,

sp.)

2.1.5 Estrategias metodológicas.- Son aquellas acciones que nos ayudan

a conseguir las metas planteadas en los diferentes métodos.

Conjunto de técnicas y procedimientos organizados por el profesor con el

objeto de posibilitar en el alumno el procesamiento de la información, ya sea

a nivel profundo, o superficial. Se definen operacionalmente mediante las

respuestas proporcionadas por los profesores al instrumento elaborado

(Truffello, I. y Pérez 1989,sp)( Abril,M.2004, PP 160)

Es decir son actividades que deben hacer durante la etapa de

procesamiento de conocimiento ejemplo: leer, observar, escribir, crear,

definir, diferenciar, comparar, estudiar, analizar, reflexionar para dar posibles

soluciones a problemáticas, existe infinidad de estrategias metodológicas

que se las adapta o aplica según el entorno.

17

2.2 Álgebra

2.2.1 Fundamentos históricos.- Álgebra surgió con los babilonios (XI) por

la preferencia de remediar las dificultades de: cartografía, trueque de los

productos, mediciones topográficas, también aportaron los islámicos y se

fortaleció su acogida en el siglo (XI- XII)

Matemáticos griegos como Eudoxo de Chidos y Arquímedes hicieron un uso

informal de los conceptos de límite y convergencia cuando usaron el método

para calcular el área y volumen de regiones y sólidos. En la India del siglo

XII el matemático Bhaskara concibió elementos del cálculo diferencial, así

como el concepto de lo que ahora conocemos como el Teorema de Rolle

(Punto medio). como surge el álgebra lineal, 2014(http://es.wikipedia.org) 05-10-

2014

En el siglo XIV, el análisis matemático se origina con Madhava, en el Sur de

Asia, quien desarrolló ideas fundamentales como la expansión de series

infinitas, las series de potencias, series de Taylor, y la aproximación racional

de series infinitas. Además desarrolló las series de Taylor de funciones

trigonométricas —seno, coseno, tangente—, y estimó la magnitud de los

errores de cálculo truncando estas series. También desarrolló fracciones

continuas infinitas, integración término a término, y la serie de potencias de

pi. Sus discípulos de la Escuela de Kerala continuaron su trabajo hasta el

siglo XVII.

(http://es.answers.yahoo.com) 18-04-2012

El análisis en Europa se origina en el siglo XVII, en el que Newton y Leibnitz

inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo

infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y

publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que

Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había

comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de

nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus

18

trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una

desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría

haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido

también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una

carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan

claramente descritos tanto la geometría analítica como el análisis

matemático. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis

como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en

derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras

fueron desarrollados principalmente para un trabajo de aplicación. Las

técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de

problemas discretos mediante los continuos trabajos de investigación.

(http://es.answers.yahoo.com) 18-04-2012

Para solucionar los inconvenientes de ecuaciones lineales, cuadráticas y

determinantes participaron los egipcios y babilonios. En la evolución de dar

la respuesta a la gran problemática por aproximación, participó Fibonacci,

René Descartes que caracterizo la teoría de las ecuaciones con normas

legales de seguimiento en los problemas geométrica analítica.

Conforme pasado el tiempo el álgebra ha ido sufriendo cambios en base al

álgebra clásica que usaba símbolos en vez de números, operaciones

aritméticas, lo mismo sucede con las matrices se dice que es el idioma del

álgebra lineal. (http://es.answers.yahoo.com) 20-04-2012

2.2.2 Definición de Álgebra: es una parte de la Matemática que utiliza un

conjunto de números, letras, y signos para poder relacionar a diferentes

operaciones aritméticas. Se origina del latín algebra, y este, a su vez, se

deriva de un vocablo árabe que en español quiere decir “reducción” o

“cotejo”.

(http://definicion.de ) 15-10-2012

19

2.2.3 Tipos de Álgebra: actualmente comprende estructuras que se

agrupan dando lugar a la formación de: grupos, anillos y campos que se

encarga cada una de las algebras como son: álgebra booleana, álgebra

abstracta, álgebra vectorial, álgebra lineal, álgebra diferencial, álgebra

conmutativa, álgebra matrilineal, álgebra básica.

2.2.3.1 Álgebra lineal.- Desde tiempos remotos se origina “por la necesidad

del hombre para explicar algunas actividades” como la igualdad de recursos

en la comunidad que dio lugar a los términos: variables, incógnitas, ecuación

lineal; y de esta manera obtener una distribución de cosechas de manera

equitativa. (http://es.answers.yahoo.com) 21-04 -12

La evidencia histórica de asuntos relacionados con esta asignatura es el

“libro de cálculo” que existe en documentos en el Museo de British (1600 a.C)

cuyo autor es el párroco Ahmes. Se debe señalar que los aportes que

realizaron los babilonios se aplicaron para resolver ecuaciones de primero,

segundo grado, y son complementos para las ecuaciones cuadráticas,

cubicas y se basan en la sustitución. Existen hechos ancestrales sobre los

matemáticos chinos del siglo III y IV se hicieron conocer durante la dinastía

han dado origen al sistema lineal y la solución, es así como hoy todavía se

encuentra vigente el “método de eliminación gaussiana” en la antigüedad se

conocía como la “regla de fan chen”. Los que mantuvieron el pensamiento

lineal fue Leonardo de Pisa(1180-1250) y Fibonacci con planteamientos

lineales de origen griego pitagórico que aportaron en problemas de esta

índole: lenguaje de vectores, espacios vectoriales. El filósofo y matemático

D´Alembert descubrió la solución del sistema AX=B, luego Euler la solución

general de AX=0.(http://aplicacionestesoem.wikispaces.com)22-04-20013

2.2.3.1.1 Origen de matrices y determinantes

Matrices: quien introdujo por primera vez el término “matriz” fue el

matemático inglés Josep Silvester que definió en el año 1850 a la matriz

como “arreglo cuadrilongo de tierra” y fue reconocido después como “arreglo

20

rectangular de términos” y Cayley desarrolló el álgebra matricial dando lugar a

las operaciones básicas, multiplicación de escalares, y mediante

determinante construyo la matriz inversa y verificó la matriz simétrica y la

anti simétrica. Camilo Jordán crea la “forma canoníca de Jordán” que se aplica

hasta la actualidad en sustituciones y combinaciones

(http://aplicacionestesoem.wikispaces.com) )27-04-2012

Determinante: se puede constatar que estos términos ya existían: (300 aC)

se utilizaba la tableta de arcilla o la forma de galleta para solventar las

dificultades; hace unos 200 años antes de Cristo fueron los chinos los que

han estado más cerca que los babilonios en los temas de matrices y

determinantes que se emplean en los sistemas lineales y simultáneos,

tuvieron más impulso en el siglo XVII.

Cramer fue el mentalizador en resolver sistemas de ecuaciones simultaneas

sin calculadora solo mediante el empleo de los coeficientes y dar pie a

medición de orbitas, calcular el número de semillas en un metro cuadrado

mediante los determinantes de una matriz (Luzardo, D. Peña, A.J.2006, pp. 153-

170)

2.2.3.1.2 Definición de matriz

Matriz es un conjunto ordenado de números reales dispuestos en filas o

renglones y en columnas. La matriz C es un arreglo rectangular de orden

mxn se lee “m por n”

NOTACIÓN Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos

con letras minúsculas y subíndices

La matriz C se escribe como C = ( �� ) =�� para este proyecto se

aplicara los corchetes

Un término cualquiera es �� donde i señala el número de fila y j el número

de columna (Grossman, S y Flores, J .2012, pp 46-50)

21

C =

��… ��⋯ �� ⋮ ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮�� … ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮��…. ��

��

Las matrices señaladas seguidamente se les conoce como vectores por

constar de una sola fila o una columna, sus elementos se agrupan en [ ]

corchetes rectangulares o en paréntesis también conocidos como signos de

agrupación circular ( ) y se las nombra con letras mayúsculas

Vector horizontal C= � ��… �� … ��( renglón i)

Ejemplo U= [2 -3 5]1x3 de orden 1 por 3

Vector columna ��⋮��⋮��

��(columna j) Ejemplo: B= � 4−1� de orden 2 por

uno

Con el fin de reducir el tiempo y el espacio, la notación de una matriz es

Amxn donde m=número de filas y n = número de columnas, es así el orden

C1X3 y de B2X1 los subíndices señala el tamaño de una matriz ( Daza, M.

1986, sp. ):

2.2.4 Clases de Matrices

Matriz cuadrática: es aquella que tiene igual número de filas y columnas

se denota con orden nxn. Ejemplo. E2X2 donde n=2 Y D3X3 y D n=3

(Muñoz, S,1994, pp171)

22

Ejemplo 1

E2x2= �� −� ! � = 4(6) – 3(-2) = 24+6 = 30

La matriz E la diagonal principal tiene los elementos {4,6}

D3x3 = " � −#� $ �− � # % = −## n es igual a 3= m

En D los números 2, 5 y 1 pertenecen a la diagonal principal. La matriz D es

de orden tres por tres quiere decir el número de filas es el mismo que el de

columnas entonces es matriz cuadrática o cuadrada.

Las matrices, en los ejemplos anteriores tienen como diagonales principales

los números que se encuentran en la raya de color tomate y se deduce que

una matriz en general es “ cuadrada”, Si C tiene en la diagonal principal los

elementos c11, c 22 c 33,……………c.nm;. a más de estar señaladas por la línea,

son los elementos que tienen igual número de fila y columna conforman la

diagonal principal, como los elementos que se encuentran en la ubicación

fila uno y columna uno1,1 fila dos y columna dos 2,2… 3,3………xnn

donde i= j

Ejemplo 2:

Una matriz C de orden n x m es cuadrada si n= m es decir igual número de

filas y columnas

C11 c12 ………………. c1n filas =i o renglones

c21 c 22. ……………………….c2n

Cnxm = C31 .,……………… . .. .c3n

.. ……………………

cn1 …………………………….. cnn

columnas= j

23

Una matriz es diagonal: cuando los términos que no pertenecen a la

diagonal principal son iguales a cero (Sáenz, R.1883, PP 149)

Ejemplo:

S= �1 00 −4� T="1 0 00 2 00 0 30%

Matriz simétrica: una matriz es simétrica si una matriz C tiene cij =cji es

decir “los términos simétricos a la diagonal son iguales” c21=c12, c13 = c31,

c23 = c32,…

Matriz transpuesta: se simboliza con la misma letra con una t como

exponente y se halla intercambiando filas por columna se simboliza como At

(Sáenz, R.1883, PP 149)

Ejemplos: escribir las matrices transpuestas de las matrices P, O y C

) = � �� $� O= " 1 2 −52 0 4−5 4 3 %

Matriz de productos C =�+,+,- ./012./012 �,3456-�

Las matrices transpuestas son las mismas matrices iniciales

Pt= ) = � �� $�

0t = 0= " 1 2 −52 0 4−5 4 3 %

Ct = �+,+,- ./012./012 �,3456-� = C

Se concluye diciendo que son matrices simétricas P, O, y C

24

Matriz Identidad: se denomina así cuando los elementos de la diagonal

principal son iguales a uno es decir los elementos aij=1 donde i= j, y lo demás

elementos son ceros donde i7 j (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 431)

A =

��

,,�,8 ………… . . ,�,�,��,� ………… . . ,� ,8,8�,88 ………… . . ,�,�,��,�8 ………… . . ,��

��es una matriz identidad si

,,,��, ,88 y ,�� = 1 y los otros elementos fuera dela diagonal son ceros

Ejemplo

X= �1 00 1� es una matriz identidad de segundo orden 2x2

Y= "1 0 00 1 00 0 1%matriz identidad de tercer orden 3x3

Matriz nula: se le identifica por tener todos los elementos igual a cero

(Sáenz, R.1883, PP 143)

R = "0 0 00 0 00 0 0%

Matriz inversa: se simboliza con la misma letra de la matriz inicial y se le

eleva al exponente menos uno P-1. Una matriz cuadrada tiene inversa del

mismo orden, cuando el producto de la matriz inicial por su inversa es igual a

la identidad del mismo orden. (Daza, Marlene, cuaderno de trabajo UC. 1986 Quito)

P x P-1= I ( I=matriz identidad)

P=�+ +�+� +��

Proceso para encontrar la matriz inversa P-1

1. Hallar el determinante de la matriz inicial en este caso : Determinante de P

es igual a la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales

como se muestra a continuación Det (A) = IPI = ++�� − +�+��

25

2. Se invierte los elementos de la diagonal principal (flecha gruesa Azul) los

números que corresponden a la posición p11 y p22 y los de la diagonal

secundaria se cambian los signos de p21 y p12 (flecha delgada color rojo) o

conocida como la matriz adjunta de orden 2x2 que es la transpuesta de la

matriz P pero los elementos que no están en la diagonal principal con signos

cambiados

Adj (P) =�+�� −+�−+� +� 3. La inversa de una matriz: si el determinante IPI ≠ 0 entonces la inversa

de P está definida de la siguiente manera:

P-1 = |;| Adj(P)

P-1 = |;| �+�� −+�−+� +� = <==<>>?<>=<>> �+�� −+�−+� +�

El producto de matrices PxP-1 =( P-1)x P =I( Grossman, S y Flores, J .2012, pp210-

212)

Ejemplo: encontrar la inversa de B: Si B= � �� $� El determinante de B es: IBI= (3)(5) – (2)(4) = 15 -8 = 7

Adj (B)= �5 −4−2 3 � Entonces B-1 =

@ABCAdj(B) = I �5 −4−2 3 � = �5/7 −4/7−2/7 3/7 �

Verificación: BxB-1 = I

Donde I de orden 2x2

FILAS COLUMNAS

BxB-1 = � �� $� �$/L −�/L−�/L /L � = I

Se multiplica cada número de la fila de la primera matriz B por cada uno de

los números de las columnas de la segunda matriz B-1 como indican las

flechas, este procedimiento se comprenderá mejor cuando se trate el

26

producto de matrices, el PARÉNTESIS indica que hay que multiplicar y luego

realizamos las sumas y restas según la jerarquía de operaciones

BxB-1 = M N$LO + � N− �LO N− �LO + � N LO� N$LO + $ N− �LO � N− �LO + $N LO Q

BxB-1 = � (#$ − R)/L (−#� + #�)/L(#S − #S)/L (−R + #$)/L � =�L/L SS L/L�

Simplificando los elementos de la matriz se obtienela matriz identidad

T = �# SS #� (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 462-464)

2.2.4.1 Operaciones de Matrices

2.2.4.1.1 Suma de matrices: para sumar dos o más matrices hay que tomar

en cuenta que el orden (mxn) de las matrices sea el mismo; si son de

orden diferente no se puede realizar la suma

Proceso: al sumar se trabaja con cada uno de sus elementos como muestra

a continuación, se suma los elementos de igual posición o localización en

las matrices. (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 445)

Sumar dos matrices de orden mxn donde C = �� y A=�,��la suma de C y

A es una matriz mxn, C+ A esta dada por

C=

��… ��⋯ �� ⋮ ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮�� … ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮��…. ��

�� A=

��,,�… ,�⋯ ,�,�,�� ⋮ ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,��

��

27

C+A = �� + ,�� =�� + ,�� + ,�… �� + ,�⋯ �� + ,�� + ,�� + ,�� ⋮ �� + ,��⋯ �� + ,��⋮ ⋮ ⋮�� + ,�� + ,�� … �� + ,��⋯ �� + ,��⋮ ⋮ ⋮�� + ,�� + ,�� + ,�� + ,��

��

C + A se obtiene al sumar las componentes correspondientes de las dos

matrices.(Grossman, S y Flores, J .2012, pp 48-53)

EJEMPLO

• Sumar las matrices P+S de orden 2x2

) = � �� $� S=�1 00 −4�

P+S =�3 + 1 2 + 02 + 0 5 − 4�= �4 22 1�

• Sumar las matrices T+O cuadradas de orden 3x3

T="11 0 00 2 00 5 30% O= " 1 2 −52 0 4−5 5 −30%

T+O = "1 + 1 0 + 2 0 − 510 + 2 2 + 0 0 + 40 − 5 5 + 5 30 − 30%

T+O =" 2 2 −512 2 4−5 10 0 %

Como una aclaración no puedo sumar LAS MATRICES P+O y S+T porque el

orden es diferente (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 445)

2.2.4.2 Propiedades de la suma 1. Conmutativa A + B = B + A

2. Asociativa A +UB + CW = UA + BW +C

28

3. Clausurativa A + B Son matrices reales entonces el resultado pertenece a

los reales

4. Modulativa A + O = A donde O Es una matriz nula

5. Invertiva B + U−BW = 0 es decir es la matiz inversa aditiva donde B

tiene los mismos elementos que –B pero con signo contrario

2.2.4.3 Demostración de dos propiedades 1. Conmutativa A + B = B + A Demostración

Sea A = �,�� mxn y B = �X�� mxn son matrices reales, entonces A + B = �,�� +X�� mxn Es una matriz real porque si sumo dos números reales el

resultado es otro número real

De igual forma si se suma las matrices B y A, Se tiene que B + A=�X�� +,�� mxn) X�� +,�� que son números reales

La suma de números reales ,�� +X�� =X�� +,�� orden de los sumandos no

altera la suma total

Entonces se tiene que A + B =�,�� +X�� mxn = B + A= �X�� +,�� mxn

cumple la propiedad conmutativa.

2. Asociativa A +UB + CW = UA + BW +C Sea A = �,�� mxn y B = �X�� mxn

Demostración

A, B y C son matrices reales

A = (aij ) mxn , B = ( bij ) mxn y C ( cij ) mxn

A +UB + CW = aij +�X�� + cij� mxn = aij + bij + cij UA + BW +C = �,�� + bij� + cij = aij + bij + cij

Como se cumple la propiedad asociativa de números reales, se obtiene

resultados iguales aij + bij + cij = aij + bij + cij entonces se cumple la propiedad

asociativa de suma de matrices A +UB + CW =UA + BW +C

29

2.2.4.3.1 Resta de matrices: para restar dos matrices, la matriz minuendo

se mantiene los signos, basta con cambiar los signos a todos los elementos

de la matriz del sustraendo (multiplicar por -1 a la matriz sustraendo) y se

efectúa la suma respectiva. NOTA: las matrices deben tener igual dimensión

es decir de igual orden (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 445)

Si tenemos dos matrices A Y B de orden mxn, se quiere restar B de A

Primeramente se utiliza el inverso aditivo de B (que es igual a multiplicar

(-1) por la matriz B

Inverso aditivo de B = (-1) B = -B que es la matriz sustraendo

Por definición de restas de matrices:

A - B = A+ (-B) = �,�� + (−X��)� mxn =�,�� − bij� mxn

Ejemplo: encontrar la matriz O-T

T = "11 0 00 2 00 5 30% O = " 1 2 −52 0 4−5 4 −30%

Las matrices tienen el mismo orden 3x3, por lo que la matriz resultante

tendrá el mismo orden

Cambio de signo a todos los elementos de la matriz T por ser el sustraendo.

O lo que es lo mismo multiplicar por menos uno, toda la matriz

SUSTRAENDO

-T= (-1) T = (−1) "11 0 00 2 00 5 30% = "−1 0 0−10 −2 00 −5 −30%

Por definición de resta de matrices O – T = O + (-T)

30

O - T = " 1 − 1 2 − 0 −5 − 02 − 10 0 − 2 4 − 0−5 − 0 4 − 5 −30 − 30%

Se realiza la suma algebraica luego de haber cambiado los signos de la

matriz que desea restar y se obtiene el resultado

0-T= " 0 2 −5−8 −2 4−5 −1 −60% Respuesta es una matriz cuadrada de orden 3 por 3

2.2.4.3.2 Multiplicación de un escalar por una matriz: un número real R

cualesquiera representa un escalar, se multiplica el escalar por todos y cada

uno de los elementos de la matriz: Si A = (aij) mxn y k cualquier número real,

Producto escalar kA = (kaij) mxn (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 446):

Ejemplo: O es una matriz cuadrada de orden tres por tres y ` es un escalar

O = " 1 2 −52 0 4−5 4 −30% y el `=4

`x O = 4" 1 2 −52 0 4−5 4 −30%

`xO = M4 4(1) 4(2) 4(−5)(2) 4(0) 4(4)4(−5) 4(4) 4(−30)Q

` x O = " 4 8 −408 4 16−20 16 −120% Respuesta

31

Ejercicios: Con los estudiantes formar grupos y decirles que organicen una

matriz con los integrantes una de dos por tres solo mujeres y otra con

hombres tres por dos pedirles que realicen en la pizarra un producto

matricial; luego utilizar material concreto: como un escalar una mesa y la

matriz de hombres solicitar que ejecuten el producto escalar.

Ejemplo: la matriz H de orden mxn donde m= 3 que es el número de filas

por n= 2 que señala el número de columnas (Daza, M. 1986. U.C sp)

H3X2 ="bcde PEDROjckl mdnjolpnkm qdr % escalar= (mesa) Multiplicando un escalar por la matriz H de orden 3 por 2

Mesa Us8t�W = "bcde upvnojckl mdnjolpnkm qdr %

Se multiplica el escalar por todos y cada uno de los elementos de la matriz

MesaUs8t�W = "wxyz{|}~ wxyz)��wxyz�|T� wxyz�}��wxyz��T� wxyz�}� %

Utilización de material concreto

Los estudiantes tienen la capacidad de asimilar los ejercicios con objetos

concretos por lo que podemos pedirles que traigan frutas, hortalizas, útiles

escolares y que formen matrices: cuadráticas, rectangulares, identidad,

diagonal, la transpuesta de determinada matriz y mediante la creatividad

formaran varias matrices y podrán demostrar cada una de las clases de

matrices e incluso podrá realizar la operaciones, comparando con los

enunciados anteriores se podrán inferir y sacar conclusiones.

32

Producto escalar: el producto escalar de dos vectores de igual tamaño o

dimensión es un escalar (es decir, un número) comúnmente se lo conoce

como producto interno o producto punto

Sean los vectores A y B dos vectores columna con igual número de

componentes

Sea A =

��,,�,8⋮,��

�� y B =

��XX�X8⋮X��

�� El producto escalar se denota A. B = ,X +,�X� +,8X8 +⋯……… .+,�X�

por definición es un número.

Si A= U,,�,8 ……,�W; A es vector renglón B vector columna de

igual dimensión .Se obtiene el mismo resultado �. � = ,X +,�X� +,8X8 +⋯……… .+,�X�

2.2.4.3.3 Producto de dos matrices: se define el producto de las matrices

Cmn por Anp si y solo si el número de columnas de la primera es igual al

número de filas de la segunda matriz, es decir n=n. El producto total se

consigue multiplicando cada uno de los elemento de las filas, por los

elementos de las columnas y el orden es mxp entonces las “matrices son

compatibles·”

Se debe aclarar que el producto de matrices no es conmutativo es decir

CAmp es diferente del producto ACpn siempre y cuando m=p (Zill,D. y Dewar J.

1996.PP 448)

33

(renglones i de C)por (columna j de A)

C=

��… ��⋯ �� ⋮ ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮�� … ��⋯ ��⋮ ⋮ ⋮��…. ��

��

A=

��,,�… ,�⋯ ,<,�,�� ⋮ ,��⋯ ,�<⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,�<⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,�<��

��

Si C =��es una matriz orden mxn y A =U,ijWde orden nxp se concluye

que el resultado de Cx A es otra matriz X de orden mxp; siempre y cuando

el número de filas o renglones de la primera matriz sea igual al número de

columnas de la segunda matriz.

Entonces una fila de la matriz nueva equivale a la suma de los productos

entre cada termino del renglón i de C por cada término de la columna j de A

X = (renglón i de C) . (Columna de j de A)

Generalizando

X = �� mp = �� × ,� + �� × ,�� + ��8 × ,8��⋯…….�� × ,�� X = producto de las matrices C por A =��U,ijW Entonces la respuesta: R= [�ij j] mp (Grossman, S y Flores, J .2012, pp 62-70)

Ejemplo 1: Si la matriz C tiene orden 3x2 y D es de orden 2x3 entonces la

matriz CxD es 3x3. Sea C3X2="2 −10 34 3 % y D2X3=�1 2 −32 3 5 � UCxDW3x3 =M 2.1 − 1.2 2.2 − 1.3 (2. −3) − 1.50.1 + 3.2 0.2 + 3.3 (0. −3) + 3.54.1 + 3.2 4.2 + 3.3 (4. −3) + 3.5 Q

34

UCxDW3x3 = " 0 1 −116 9 1510 17 3 %

EL PRODUCTO MATRICIAL no tiene la propiedad conmutativa, nótese que

CXD ≠ DXC (Sáenz, Rolando, 1998 .pp 158-160)

UDxCW2X2=�1 2 −32 3 5 � "2 −10 34 3 % UDxCW2X2 = �1.2 + 2.0 + (−3)42.2 + 3.0 + 5.4 1(−1) + 2.3 + (−3)32(−1) + 3.3 + 5.3 � UDxCW2X2 = �2 + 0 − 12 −1 + 6 − 94 + 0 + 20 −2 + 9 + 5� = �−10 −424 12� 2.2.4.3.4 Ecuación lineal o de primer grado

2.2.4.3.4.1 Definición de ecuación: es una igualdad matemática entre dos

expresiones algebraicas que tienen por lo menos una incógnita o valor

desconocido, y valores conocidos (números, coeficientes o constantes).

Estas expresiones se les conocen como miembros de la ecuación. Las

incógnitas se calculan mediante procesos que emplean las operaciones

básicas

Miembros de una ecuación: son expresiones que se encuentran en cada

lado del signo de la igualdad. Se llama primer miembro de una ecuación o de

una identidad a la expresión que se encuentra a la izquierda del signo de la

igualdad, y la expresión que está a la derecha del signo de la igualdad se

denomina segundo miembro.

Los datos: son valores conocidos que pueden ser números, constantes,

coeficientes o variables que son generalmente las primeras letras del

abecedario: a, b, c, d, e.

35

Las incógnitas: representan valores desconocidos se les simboliza con las

últimas letras del abecedario alfabeto u, w, x, y, z que se intenta hallar su

valor.

Términos: son las cantidades o expresiones algebraicas que están

relacionadas con otras mediante los signos + o – y también puede ser la

cantidad que se encuentran sola en un miembro.

Grado de una ecuación: si tiene una sola incógnita está dado por el mayor

de los exponentes, si es 1 es de primer grado, si es 2 es de segundo grado y

así sucesivamente.

Raices o soluciones: son los valores que verifican o satisfacen una

ecuaciòn. (Galdós, L. 1989. Pp 329-330)

Ejemplo: la ecuación x+8 = 10

Primer miembro x+8

Segundo miembro 10

La incógnita es la letra x

Los valores conocidos son 8 y 10

Los términos son tres x,8 y 10

El grado de la incógnitas es de primer grado por que el exponente de la x es

uno

La raíz o soluciòn es 2 porque sólo para ese valor se cumple la ecuación

inicial

2.2.4.3.4.2 Ecuación lineal (notación) Una ecuación de la forma

,� + ,�� +,8�8�…………..+,�� = b es una

ecuación lineal con n incógnitas �, ��,…………..��

Donde ,, ,�, ,8…………..,� y b son

constantes

Y el grado mayor que tiene x es uno

36

2.2.4.3.4.3 Ecuación lineal con una incógnita

La ecuación de primer grado con una incógnita está representada de la

forma:

ax + b = 0

Donde a 7 0 y a, b son constantes arbitrarias

tiene única solución x= - ��

En consecuencia para resolver una ecuación de primer grado con una

incógnita se transpone todos los términos que tienen la incógnita a un

miembro de la ecuación y al otro miembro los términos conocidos

Ejemplo: Resolver la ecuación 5x +16 = -x+4

• Transposición de términos 5x + x = 4 -16

• Reducir términos semejantes 6x = -12

• Despejar el valor de x x = -12/ 6 dividiendo x = -2

2.2.4.3.4.4 La ecuación lineal o de primer grado con dos incógnita

La función lineal con dos incógnitas se representa por la expresión,� +X� + �, Donde a, b7 0 y su grafica es una línea recta.

La función lineal ,� + X� + � se transforma en ecuación de primer grado o

lineal con dos incógnitas, si la función se iguala a cero ,� + X� + � = 0(1) y además cumple las dos siguientes características:

• a, b7 0

• Si a, b y c son constantes y los literales x, y son las incógnitas

(Lehmann, Ch.1980, pp 84-98)

2.2.4.3.5 Sistema de ecuaciones lineales

En matemática un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o

más ecuaciones de primer grado con varias incógnitas que forman un

problema matemático, donde se debe calcular el valor de las incógnitas.

37

2.2.4.3.5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Se llama sistema de ecuaciones lineales al tener dos ecuaciones con dos

incógnitas (cantidades desconocidas) se lo representa de la siguiente

forma∶ ,� + ,�� = X Sistema 1 ,�� + ,�� = X� Donde ,,,�, ,�, ,��,son coeficientes X�X� Son números dados, términos libres, o los segundos miembros de

las ecuaciones

Se tiene tres casos de sistemas:

i) El sistema es consistente y las ecuaciones independientes. La solución

del sistema es única, común, es un par ordenado de números reales (x, y)

que satisfacen las ecuaciones. (Las rectas se intersecan en un punto) ,,��? ,�,� 7 0

ii) El sistema es consistente pero las ecuaciones son dependientes. Tiene

infinitas soluciones (las rectas coinciden),,��? ,�,� = 0

iii) El sistema es inconsistente. No tiene solución. (Las rectas son paralelas)

(Grossman, S y Flores, J .2012, pp. 1-6)

2.2.4.3.5.2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Se denomina sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a toda terna de

ecuaciones de primer grado con tres incógnitas ,� + ,�� + ,8� = � ,�� + ,�� + ,�8� = ��Sistema 2 ,8� + ,8�� + ,88� = �8 En este sistema de tres ecuaciones, las incógnitas son x, y, z, representan

las cantidades desconocidas que se tiene que hallar y las letras,,

38

,�, �,8son cantidades arbitrarias. Las tres ecuaciones determinan tres

planos.

Los términos independientes o libres son los que no están relacionados con

las incógnitas en este caso son los segundos miembros �, ��, ��8La

solución del sistema es una tripla ordenada (x, y, z) o terna de valores que

satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.

2.2.4.3.5.3 Aplicación de la teoría de matrices en la resolución de

sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver estos sistemas existe

varias formas pero en este capítulo se aplica matrices, se forma

primeramente la matriz de coeficientes mediante la siguiente notación:

En el sistema (1) de dos ecuaciones con dos incógnitas la matriz de

coeficientes es: � , ,�,� ,�� Para el sistema (2) de tres ecuaciones con tres incógnitas la matriz de

coeficientes es:

",,�,8,�,��,�8,8,8�,88 %

Matriz aumentada: es una notación matricial que consta igual que la matriz

de coeficientes pero se incrementa la columna de los términos

independientes o los segundos miembros como sigue a continuación:

Matriz aumentada del sistema (2)M,,�,8|�,�,��,�8|��,8,8�,88|�8Q

39

2.2.4.3.5.3.1 Método de Gauss.- Matriz escalonada

Para resolver mediante este método se aplica las operaciones

elementales:

1. Intercambiar entre si dos filas de la matriz:

~Fi← Fj

B=�3 45 6� B=�5 63 4�

2. Sustituir una fila por sí misma, multiplicar F por un escalar distinto de cero ~&Fi← Fj ; B=�3 45 6� Donde & es un número real distinto de cero.

~3F2← F2 = 3 �3 45 6� = � 3 415 18�

3. Sumar o restar a una Fila otra Fila multiplicada por un número

real (escalar) , ~&Fj + Fi← Fj

~2F2 + F1← F2 = � 3 413 16�

Con este método se trata de eliminar en base a la primera ecuación la

primera incógnita x de las restantes por + o -; se toma el primer término de la

ecuación uno c11x1 conocido en el álgebra como pivote, porque el primer

término se va eliminando de las siguientes ecuaciones, luego se utiliza el

primer término de segunda ecuación para eliminar de las restantes y así

sucesivamente se aplica este proceso para formar la matriz escalonada.

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas

C11x1 + c12 x2 +………………….+ c1n xn = b1 filas

c21 x2 + c 22.x2 ………………………… + c2n xn = b2

40

C31 x3 + .……………………… + c3n xn = b3

…. ……………………… ….. …

C m1 x1 + cm2x2 ……………………..c mn xn = bm

Sea C11 x1 de la ecuación inicial el pivote sistema inicial, para eliminar en la

segunda el primer término ecuación tendremos:

C11 x1 + c12 x2 +………………………+c1n xn = b1filas

C* 22.x2 +………………………. + c*2n xn = b2*

C**33 x3 + …… ….+ c**3n xn = b3**

……………………… ….. …

C**m2x2 + …………+c** mn xn = bm**

Luego se elimina el primer término en la ecuación tres y así sucesivamenteí

se sigue el proceso sucesivamente hasta que el sistema quede en la forma

escalonada.

C11x1 + c12 x2 +……………………….+.c1n xn = b1filas

C* 22.x2 +………………………. + c*2n xn = b2*

C**33 x3 + …………+ c**3n xn = b3**

…………. ….. …

……… +ck pn xn = bkp

(Sáenz Rolando,1983pp151-174)

41

Análisis del método de Gauss

1.- Si al realizar las eliminaciones de las incógnitas en forma escalonada de

los primeros términos del sistema se obtiene un absurdo es decir: 0= t, t es

cualquier número real entonces el sistema no tiene solución el sistema es

incompatible tiene 4 posibilidades:

• Los tres planos son paralelos.

• Dos planos paralelos y otro que los corta.

• Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos.

• Dos planos superpuestos y otro paralelo.

2.- Si p = n. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El sistema tiene solución única xn =�� si y solo si los tres planos se cortan

en un solo punto, es decir se intersecan las tres ecuaciones en un solo

punto o existe un haz de planos

3.-Si p < n es decir menos ecuaciones que incógnitas en la forma

escalonada, entonces el sistema tiene infinitas soluciones el sistema es

compatible indeterminado quiere decir:

• Son tres planos superpuestos.

• Existe un haz de planos

• Dos planos superpuestos y otro que los corta

Para encontrar una de las incógnitas, lo que se hace es dar valores

particulares a las variables libres (es toda variable que no aparece al inicio

de una ecuación de izquierda a derecha) y se va encontrando el valor de

cada variable dependiente.

Ejemplo x+ y + z =5 2y+6z=10 p < n, z = variable libre

(Daza, M.1986.U.C.sp)

En resumen: El Método de eliminación de Gauss aplicado a una matriz, la

transforma en una matriz equivalente que es escalonada por filas. Consiste

en los siguientes pasos:

42

Paso 1: Si es necesario, intercambiar la primera fila con otra, para que la

primera columna que no sea de ceros tenga un elemento no nulo en la

primera posición, el número 1.

Paso 2: Sumar a cada fila un múltiplo adecuado de la primera, de manera

que la primera columna que no sea de ceros tenga sólo un elemento no

nulo: el de la primera fila.

Paso 3: Ignorando temporalmente la primera fila, repetir todo el proceso con

las restantes filas. (Daza, M.1986.U.C.sp.)

Aplicación del método de Gauss por eliminación: plantear las ecuaciones y

resolver el sistema en el siguiente problema

PROBLEMA

Se concentran en un polideportivo 30 personas entre hombres, mujeres y

niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el

doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se

duplican al número de niños. Encontrar el número de personas: hombre,

mujeres, y niños que ingresaron al polideportivo

DATOS:

Según el problema las incógnitas son

x= número de hombres

y= número de mujeres

z= número de niños

SOLUCIÓN:

Planteo de las ecuaciones

1.- Primera ecuación Se concentran 30 personas en un polideportivo entre hombres, mujeres y niños:

x + y + z = 30

43

2.- Segunda ecuación Se conoce que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

x + 3y = 2z +20 realizando transposición de términos x + 3y + 2z = 20

3.- Tercera ecuación

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

x + y = 2z ordenando x + y - 2z = 0

Entonces el sistema planteado es

p�¡,�¢4£6-(1)(2)(3) x + y + z = 30x + 3y − 2z = 20x + y − 2z = 0

Matriz de coeficientes"1 1 11 3 −21 1 −2% matriz aumentada"1 1 11 3 −21 1 −2

⋮ 30⋮ 20⋮ 0 %

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

~F2 − F1← F2 = "1 1 10 2 −31 1 −2⋮ 30⋮ −10⋮ 0 %

~F3 − F1← F3 = " 1 1 12 −3−3

⋮ 30⋮ −10⋮ −30% El sistema en forma escalonada ~−1/3F3← F3 = " 1 1 12 −31

⋮ 30⋮ −10⋮ 10 % Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación despejando z

44

~3/2F3 + F2← F2 = " 1 1 11 1

⋮ 30⋮ 10⋮ 10% Entonces y = 10 Reemplazando z=10 , y=10 en la ecuación 1 se obtiene que x=10 x + y + z = 30;

Solución única del Sistema COMPATIBLE DETERMINADO es¦� = 10� = 10� = 10

RESPUESTA: el número de mujeres, de hombres y el número de niños es igual a 10 personas EJERCICIOS: 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x + 3y + 4z = 1F1x + y = 2F22x + 4y + 4 = 3F3

La matriz ampliada del sistema es:

"1 +3 41 +12 4 4⋮ 1⋮ 2⋮ 3%

~F2 − F1← F2 = " 1 +3 4−2 −42 4 4⋮ 1⋮ 1⋮ 3%

~F3 − 2F1← F2 = " 1 +3 4−2 −4−2 −4⋮ 1⋮ 1⋮ 1%

~F3 − F2← F3 = " 1 +3 4−2 −4 ⋮ 1⋮ 1⋮ %

Como el número de ecuaciones ( 2) es menor que el número de incógnitas

(3) el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO tendrá infinitas

soluciones

De la ecuación 2 se despeja y: y=�§¨?� =

??§¨?�

45

Reemplazamos el valor de y, en la ecuación F1 x + 3 N−1−4�−2 O + 4z =1 2x − 3y − 124z + 8z = 2

2x - 4z = 5

Despejando x =©�§¨� ; y=

??§¨?�

Como las incógnitas x, y están en función de z, para todo valor z

perteneciente a los números Reales entonces la x, y: serán otros números

reales.

Si z = 0

x = 5/2

y = ½ Una de sus respuesta es: (x, y, z) = (5/2, ½, 0)

2. Encontrar la solución del sistema del sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas −1� +2� −3�−1� +8� −27�2� −2� −2�

= −2 F1= 0 F2= 2 F3

La matriz ampliada del sistema es:

"−1 +2 −3−1 +8 −272 −2 −2⋮ −2⋮ 0⋮ 2 % ~F2 − F1← F2 = "−1 +2 −3+6 −242 −2 −2

⋮ −2⋮ 2⋮ 2 % ~F3 + 2F1← F2 = "−1 +2 −3+6 −24 2 −8

⋮ −2⋮ 2⋮ −2% F2← F3 = "−1 +2 −3+2 −8 6 −24⋮ −2⋮ −2⋮ 2%

~F3 − 3F2← F3 = "−1 +2 −3+6 −24 0⋮ −2⋮ −2⋮ 8%

El sistema es INCOMPATIBLE no tiene solución porque se obtiene un

absurdo 0 = 8

46

2.2.4.3.5.3.2 Método de Gauss Jordán es un algoritmo del álgebra lineal

para determinar las soluciones de ecuaciones lineales trabaja solo con los

coeficientes de las incógnitas y términos independientes, se le conoce como

la matriz aumentada si bien el método de Gauss obtiene soluciones del

sistema mediante la reducción del sistema inicial en otro equivalente en el

que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior; es decir la

matriz de coeficientes la transforma en una matriz triangular superior, el

método de Gauss Jordán continua con el proceso y le transforma en una

matriz diagonal

(Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 468-472)

EJEMPLO 1:

Resolver el siguiente sistema lineal ¦� + 2� + � = −64� − 2� − � = −42� − � + 3� = 19

Matriz aumentada = "1 2 1 ⋮ −64 −2 −1 ⋮ −42 −1 3 ⋮ 19%

Primeramente transformar la matriz aumentada del sistema de ecuaciones

lineales en una forma escalonada mediante operaciones elementales

Empezamos usando la primera fila para introducir cero debajo de la primera

fila los términos cuya posición son 2,1; 3,1 y 3,2 para que se convierta en

matriz diagonal superior

"1 2 1 ⋮ −64 −2 −1 ⋮ −42 −1 3 ⋮ 19%

~−4F1 + F2← F2 = "1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 202 −1 3 ⋮ 19%

47

~−2F1 + F3← F3 ="1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 200 −5 1 ⋮ 31%

~− �ª�+ F3 ← F3 = "1 2 1 ⋮ −60 −10 −5 ⋮ 200 0 7/2 ⋮ 21%

Se convierte el término de posición 2.2 de la diagonal principal en uno

~− «ª� ← F2 ="1 2 1 ⋮ −60 1 1/2 ⋮ −20 0 7/2 ⋮ 21%

Y queda transformada en Forma escalonada o en forma de matriz

triangular superior al multiplicar el termino 7/2 por 2/7. Todos los términos

bajo la diagonal principal son ceros

~2/7F3← F3 = "1 2 1 ⋮ −60 1 1/2 ⋮ −20 0 1 ⋮ 6 %

Por ultimo Hacemos ceros los términos de posición 1,2; 1,3 y 2,3 es decir los

números 2, 1 y 1/2

~−2F2 + F1← F1 = "1 0 0 ⋮ −20 1 1/2 ⋮ −20 0 1 ⋮ 6 % Y llegamos a la reducción de la matriz aumentada, esta transformada en la

matriz diagonal o en forma de matriz escalar reducida donde cada

ecuación tiene como pivote el uno, o cada columna es igual a uno

~− �F3 + F2← F2 = "1 0 0 ⋮ −20 1 0 ⋮ −50 0 1 ⋮ 6 %

Tenemos que la solución es todos los elementos de la derecha según el

orden de las incógnitas (Zill, D. y Dewar J. 1996.PP 468-472)

48

Solución =¦¬ = −2 = −5® = 6

El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO, los tres planos se cruzan en

el punto: (-2,-5,6) en tres dimensiones y la solución es única porque cada

uno de sus columnas tiene como pivote el uno

EJEMPLO 2:

Encontrar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

¦ � + � + � = 7� − � + � = 32� + 2� + 2� = 10

Matriz ampliada o aumentada: "1 1 1 ⋮ 71 −1 1 ⋮ 32 2 2 ⋮ 10%

~F1 − F2← F2 = "1 1 1 ⋮ 70 2 0 ⋮ 42 2 2 ⋮ 10%

~−ª8� + F1← F3 = "1 1 1 ⋮ 70 2 0 ⋮ 40 0 0 ⋮ 2%

Como ya se tiene un absurdo es decir 0 = 2 ya no hay necesidad de seguir

resolviendo ya se deduce que el sistema no tiene solución es un sistema

INCOMPATIBLE

Pero podemos continuar eliminando o haciendo ceros:

~−ª�� + F1← F13 ="1 0 1 ⋮ 50 1 0 ⋮ 20 0 0 ⋮ 2%

49

No se puede llegar a la matriz identidad de la matriz de los coeficientes o a

la forma de matriz escalonada reducida para ver que cada columna tenga

como pivote el uno especialmente la tercera columna.

EJEMPLO 3:

Identificar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:

¦� − � + � = 5¯1� + 3� + � = −9¯2� − 9� + 5� = 33¯3

Matriz ampliada o aumentada: "1 −1 1 ⋮ 51 3 1 ⋮ −91 −9 5 ⋮ 33%

Eliminamos el término de la posición: 2,1

~F2 − F1← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 −4 2 ⋮ 141 −9 5 ⋮ 33% Simplificamos la fila dos

~½F2← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 71 −9 5 ⋮ 33%

Haciendo cero el término de posición: 3,1 ~F1 − F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 8 −4 ⋮ −28% Simplificando F3 ~½F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 2 −1 ⋮ −7% ~F2 + F3← F3 = "1 −1 1 ⋮ 50 −2 1 ⋮ 70 0 0 ⋮ 0% ~−½F2← F2 = "1 −1 1 ⋮ 50 1 −1/2 ⋮ −7/20 0 0 ⋮ 0 %

50

~F1 − F2← F1 = "1 0 1/2 ⋮ 3/20 1 −1/2 ⋮ −7/20 0 0 ⋮ 0 %

El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO por que 0 = 0 donde z

puede tomar cualquier valor por lo que el sistema tiene infinitas

soluciones el sistema de ecuaciones quedaría así:

± � +� � = 8�� − � � = − I�-¢� = ²

Entonces Conjunto solución = ± ® = ² = − I�+ � ²¬ = 8�− � ²

2.2.4.3.6 Función Determinante: el determinante puede hallar solo de

“matrices cuadradas” son las matrices de orden mxn con igual número de

filas m y de columnas n. Su notación det(A) es lo mismo que la matriz entre

“dos barras” Que significa determinante de A y donde A es cualquier matriz,

m=n (Daza, M. 1986 U. C, sp )

NOTA: No confundir las barras con valor absoluto ³ ³ es la notación de

determinante

2.2.4.3.6.1 Determinante de una matriz 2x2: el determinante de P es: igual

al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal

secundaria ) = �+ ´#�´�# ´�� Matriz de orden dos por dos

El determinante de P se denota con la palabra det o la letra en barras como

sigue: det(P) escrito con barras = I P I

Multiplicar multiplicar diferencia

IP I = ³+ ´#�´�# ´��³= ( p 11)(p22 ) - ( p21)(p1 2)

51

(p 11)(p22) producto de los elementos de la diagonal principal

( p21)(p12) producto de los elementos de la diagonal secundaria (Muñoz, S,

1994, pp174)

Ejemplo (con frutas) partir de un determinante

Se les pedirá a los estudiantes que escriban la matriz de dicho determinante

Y el proceso contrario a otro grupo

Det (P) = naranja pera-maíz trigo

El proceso contrario es una matriz de orden dos por dos donde:

Naranja lleva posición + Pera la posición ´��

Maíz la posición ´�# y trigo es de posición ´�� y formamos la matriz P de

las frutas

Matriz inicial=�£,�,£µ, 5�¢¶43,¢� +6�,� = Respuesta

2.2.4.3.6.2 Determinante de una matriz 3x3: se debe tomar en cuenta que

para aplicar determinantes se lo hace solo en matrices cuadradas, entonces

se puede a matrices de orden 4x4 y así sucesivamente podemos

generalizar de orden nxn; para definir este determinante se aplicará lo que

se definió en el determinante de orden 2x2. (Zill,D. y Dewar J. 1996.PP 454-460)

Para evaluar matrices de grado mayor a dos se requiere de algunos

conceptos

Menor y cofactor

Menor: En toda matriz cuadrada A de orden n (n ≥ 2) el menor q¢µ se

define como determinante de la matriz de orden n-1 obtenida después de

eliminar la fila i-esima y la columna j-esima de A.

Cofactor: si se tiene una matriz B de mxn. El cofactor ij de B, se denota por ¸��

52

¸�� = (−1)��│q¢µ│ Se puede concluir lo siguiente: si i+j es par es igual a 1 y si se tiene i+j

impar es -1.

Generalizando se puede decir que los signos van alternados, pero siempre

respetando los signos de los elementos de la matriz (Zill,D. y Dewar J.

1996.PP455)

Sea la matriz P de orden tres por tres P="+ +� +8+� +�� +�8+8 +8� +88%

Determinante de P = IPI = + ³+�� +�8+8� +88³ − +� ³+� +�8+8 +88³ + +8 ³+� +��+8 +8�³

Ejercicio:

Det( U ) =I U I =º+,+á 3,3á ¼¢µ41 2 34 5 6 º La palabra papá tiene posición 11 entonces 1+1 =2 es positivo si es par

La palabra mamá tiene la posición 12 entonces 1+2 = 3 es negativo si es

impar y así se puede analizar el signo de cualquier elemento tomando en

cuenta el cofactor

IUI =+,+á ³2 35 6³ - 3,3á ³1 34 4³+ hijo³1 24 5³ =

Tomamos en cuenta la fila 1 con los signos alternados siempre empieza

positivo porque todos sus elementos son positivos, donde cada elemento se

transforma en un escalar y se relaciona con el Determinante dos por dos de

las filas y columnas que quedan de eliminar la fila y la columna

correspondiente.

Det (U) = papá (2x6 - 5x3) - mamá (1x4 - 4x3) + hijo (1x5 - 4x2)

= papá (12 - 15) - mamá (4 - 12) + hijo (5 - 8)

|c| = -3papá + 8mamá - 3 hijo

53

Solo se toma en cuenta una fila o una columna estimulemos nuevas

estrategias, aplicar el método de cofactores y recordando que solo los

términos que tienen i+ j = numero par son positivos es decir solo u11, u 22,

u13…….. (Muñoz, S, 1994, pp175)

2.2.4.3.6.3 Aplicación de la función determinante en la resolución de sistemas de ecuaciones 2.2.4.3.6.3.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas.- Resolver el sistema quiere decir que se encuentra los

valores de las dos incógnitas que satisfacen las ecuaciones.

Regla de Cramer.- Es un teorema del álgebra lineal que es útil en la

resolución de problemas de sistemas lineales, mediante el uso de la función

determinante, tiene este nombre en honor a Gabriel Cramer

(1704- 1752) durante casi 200 años, fue fundamental en la enseñanza del

álgebra y de la teoría de ecuaciones, se obtuvo resultados exitosos en su

tiempo. (Grossman, S y Flores, J .2012, pp. 219-221)

Condiciones que debe cumplir el sistema lineal:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas

• Si A es una matriz del sistema de coeficientes entonces el

determinante de A es diferente de cero. Det (A) ≠ 0

• Por definición el sistema de Cramer es COMPATIBLE

DETERMINADO

Proceso de la regla de Cramer.- Para la enseñanza aplicamos las

ecuaciones con coeficiente literales en orden alfabético (Muñoz, S, 1994, pp176)

Definición

dx1 + ey1=f1 ecuación (1)

gx1 + hy1=f2 ecuación (2)

Por definición para aplicar la regla de CRAMER debe ser un sistema que

tenga el número de ecuaciones igual al número de incógnitas.

54

El primer paso es hallar el denominador D se halla con los coeficientes

numéricos o literales de los primeros miembros de cada ecuación que son:

d, e, g y h de la siguiente manera:

|v| = ½� 6¶ ¼½Determinante del Denominador = dh - ge

|v| = dh − ge

Para encontrar el valor de las incógnitas: x1, y1 se forma la matriz del

numerador reemplazando la columna de incógnita con los términos libres o

los segundos miembros de las ecuaciones.

Reemplazar los coeficientes de: x1, (d, g) y y1 (e,h ) por f1, f2 que son los

valores independientes o segundos miembros de la ecuaciones 1 y 2 dadas

anteriormente.

La columna de rojo reemplaza la columna de los coeficientes de la incógnita

x1

x = ½Á ÂÁ� Ã½½Ä ÂÅ Ã½ =

Á.Ã?Á�ÂÄÃ?ÅÂ f1,f2 reemplaza a la columna de los coeficientes de y1

Y =½Ä ÁÅ Á�½½Ä ÂÅ Ã½ = , ÄÁ�?ÂÁÄÃ?ÅÃ

El denominador es el mismo determinante al buscar las incógnitas.

Ejercicio 1:

Con números se comprenderá mejor el proceso de solución con el siguiente

sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

55

Æ2x + 8y = 203x + 10y = 11

La matriz de COEFICIENTES de este sistema es M2x2 =�2 83 10� Se halla la función determinante del denominador utilizando la matriz M de

coeficientes de x, y.

I M I= ³2 83 10³ = 2x10 - 3x8 = 20-24 = -4

= -4 es el mismo denominador para calcular el valor de la incógnita x

y la y

x = ³�« Ç «³³� Ç8 «³ =

�ÈÈ?ÇÇ?§ =�?§ = -28

y = ³� �«8 ³?§ =��?É«?§ =

?8Ç?§ =19/2(Lehman, Ch. 1980 PP.337 – 371)

Ejercicio 2

Resuelva el sistema siguiente de DOS ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS mediante la aplicación de determinantes (Regla de Cramer)

Æ,�XÊ�,��X�Ê�� Æ4� + 3� = 222� + 5� = 18

Se encuentra el determinante del denominador que es igual tanto para x

como para y; luego en el numerador se reemplaza los términos

independientes en el lugar de los coeficientes de la incógnita, en este caso

para hallar x se remplaza por 22 y 18 respectivamente.

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

==

−

−===

ba

ba

bc

bc

x

56

Como el denominador es el mismo para encontrar las incógnita ( y); solo hay

que reemplazar en donde está la incógnita por 22 y 18 que son los términos

libres o los segundos miembros de las ecuaciones, en el numerador de

acuerdo al orden en las ecuaciones iniciales.

(Lehman, Ch.1980 PP337- 340 )

De la misma manera se puede resolver ecuaciones simultáneas, sistemas

lineales de 3x3 o de más incógnitas.

2.2.4.3.6.3.2 Resolución de Sistemas de ecuaciones con tres

ecuaciones y tres incógnitas.- De la misma manera se puede resolver

ecuaciones simultáneas, sistemas lineales de 3x3 o de más incógnitas, en

este caso en particular quiere decir que hay que encontrar el valor de las tres

incógnitas que satisfacen las tres ecuaciones.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes literales, a, b y

c son los coeficientes de las incógnitas (x, y, z); los términos independientes

son d1, d2, y d3

a1 x+a2y+a3 z =d1

b1 x+b2 y+b3 z =d2 E =", ,� ,8X X� X8�1 �� 8%matriz de coeficientes

c1 x+c2 y+c3x =d3

El determinante del sistema se representa por la notación│p│ y por

definición es igual │p│ = º, ,� ,8X X� X8�1 �� 8º≠ 0 existe única solución

214

28

14

4472

14

182

224

22

11

22

11

==−

===

ba

ba

ca

ca

y

57

x=

º�= �> Ä=�= �> Ä>Ë Ë> ÄÌºº�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º , y= º�= Ä= �Ì�= Ä> �ÌË ÄÌ ËÌ ºº�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º

, z=ºÄ= �> �ÌÄ> �> �ÌÄÌ Ë> ËÌ ºº�= �> �Ì�= �> �ÌË Ë> ËÌ º

Los determinantes que se forman al reemplazar la primera, segunda y

tercera columna de │p│ respectivamente, por la columna de los segundos

miembros d1, d2, d3 se denotan como: │pÍ│, │pÎ│, │p¨│

Se pueden escribir aplicando la regla de Cramer, los valores de las

incógnitas son de la siguiente manera: x=│ÏÐ││Ï│ , y =

│ÏÑ││Ï│ , z

=│ÏÒ││Ï│……………

En general la regla de CRAMER se puede abreviar para todo sistema de n

ecuaciones con n incógnitas x1, x2, x3…………. xn. La matriz A es de orden

nxn si el determinante es diferente de cero; entonces se tiene solución

única por deducción se tiene que valor de cualquier incógnita con n

columnas es

xn = │ÓÔ││Ó│ (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.221)

2.2.4.3.6.3.2.1 Método de Sarrus.- Se utiliza para resolver el determinante

de dimensión tres por tres

Encontrar el determinante de la matriz E=º, ,� ,8X X� X8�1 �� 8º Forma (1): se procede a repetir las dos filas primeras a continuación de la

planteada de esta forma se halla el determinante del denominador que es el

mismo tanto para x, y, z.(González, J.Mancill,D.1986 lpp384-390)ÕÕ,1 ,2 ,3X1 X2 X3�1 �2 �3,1 ,2 ,3X1 X2 X3Õ

Õ

58

Forma (2): consiste en repetir las dos primeras columnas a la derecha de la

matriz de los coeficientes

Ejemplo:

Los tres productos que se dirigen para abajo color negro son positivos y los

tres que están dirigidos hacia arriba son negativos con flechas rojas

- - -

º, ,� ,8X X� X8�1 �� 8º, ,�X X��1 ��= ,X��8 + ,�X8� + ,8X�� −�X�,8 −��X8, −

�8X,� + + +

Los productos de la flecha roja son negativos y de la flecha negra son

positivos. “Este método no es efectivo para determinantes de orden mayor

de 3x3 ya que son respuestas equivocadas)

(Grossman, S y Flores, J .2012, pp177-178)

2.2.4.3.6.3.2.2 Método de Cofactores.- Otra forma resumida de hallar el

determinante del tercer orden es mediante determinantes de segundo orden

conocidos como método de cofactores, este tema se trató en el subtema

2.2.8.2 (determinante 3x3)p (González, J.Mancill,D.1986 lpp384-390)

Para desarrollar recordamos la importancia de los signos de cada término

por cofactores Æ ¢ + µ6-+,� = 1¢ + µ6-¢3+,� = −1

¸�� = (−1)�� │q¢µ│ de esta fórmula se deduce que los signos van como en

un tablero de damas "+ − +⋯ . .− + −⋯…+ − +⋯…% (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.179)

Sea │p│ = º, ,� ,8X X� X8� �� 8 º Aplicando cofactor en la primera columna se tiene:

59

º, ,� ,8X X� X8�1 �� 8 º = , ½X� X8�� 8½ − X ³,� ,8�� 8 ³ + � ³,� ,8X� X8³

2.2.4.3.6.3.2.3 Aplicación de Determinantes mediante el proceso de

cofactores El sistema de ecuaciones lineales al resolver por cofactores se lo

puede hacer mediante determinantes tomando como referencia una fila o

una columna

Sea A=

��,,�… ,�⋯ ,�,�,�� ⋮ ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,�� … ,��⋯ ,��⋮ ⋮ ⋮,�,��…. ,�� ,��

��matriz de orden nxn

Entonces el determinante de A esta dado por: │d│ = ,d�,�d��,8d8�………… . . +,�d� se denomina

expansión de cofactores, donde A11, A22, A33…, son el resultado de eliminar un

renglón, una columna (Grossman, S y Flores, J .2012, pp.180)

Ejercicio 1

Para resolver con este método se toma en cuenta solo una fila o una

columna tomando en cuenta los signos

Ejemplo Ö×Ø×Ù ¬ + L − ® = !−$¬ + � + !® = #SÚ¬ + R + �® = R

Evalué la matriz hallando el determinante de la matriz de coeficientes del

sistema anterior

B = " L −#−$ � !Ú R � %

60

Entonces se extrae el determinante de la siguiente forma:

Tomando en cuenta la 1ra columna, se coloca solo el número que multiplica

al determinante de segundo orden, como si fuera un escalar; y se elimina

tanto la fila como la columna de dicho número

Para resolver la matriz B por cofactores, tomar en cuenta la primera columna

con los signos correspondientes

Det (B) = 3³2 68 4³ – (-5)³7 −18 4 ³ +9³7 −12 6 ³=

IBI = 3(8-48) + 5(28+8) + 9 (42 + 2) aplicamos definición de det 2x2 = 3(-40) + 5(36) +9(44) se realiza los productos y luego las sumas = -120 + 180 + 396 = 456 Si tenemos de referencia la tercera fila de la matriz B se tendrá el mismo resultado.

IBI = 9³7 −12 6 ³ - 8³ 3 −1−5 6 ³ + � ³ 3 7−5 2³ = 9(42+2) -8(18 -5) + 4(6+35)

= 9(44) - 8(13) + 4(41)

= 396 - 104 + 164

= 456 El valor hallado es el determinante del denominador

Se plantea tres matrices diferentes una para cada incógnita con la diferencia

que en vez de la columna de las incógnitas se agrega la columna de los

valores independientes es decir los segundos miembros de las ecuaciones

planteadas que son 6,10, 8. Se coloca en el mismo orden.

61

Para calcular el valor de x la matriz del numerador es " 6 7 −110 2 68 8 4 % y el denominador es el determinante de los coeficientes que es|¸| = 456

¬=º ! I ?#S � ÉR Ç § º|C| =

º É I ?« � ÉÇ Ç § º§©É

Hallamos el determinante del numerador de x que se llamara NX

│ NX │ para calcular el determinante del numerador se aplica el método de

cofactores

│ NX │= 6³2 68 4³ - 10³7 −18 4 ³ + 8³7 −12 6 ³

= 6(8 - 48) - 10(28 +8) + 8( 42 + 2)

= 6 (-40) - 10(36) + 8(44)

= -240 – 360 + 352

│ NX │ = -248 es el numerador del determinante de x

Entonces se tiene que el valor del determinante de x es: ¬ =|ÛÐ||C| =?��R�$!

Para hallar Y, el denominador es el mismo = 456 y la matriz del numerador

se reemplazan los términos independientes en la columna de los

coeficientes de y es decir en la segunda columna

Segunda columna: reemplazar coeficientes de y por los segundos

miembros

= º 3 ! −1−5 #S 69 R 4 º|¸| = º 3 ! −1−5 #S 69 R 4 º

456 │NY │= determinante del numerador de la incógnita y

62

Calculando por cofactores mediante la segunda columna

│NY │= -6³−5 69 4³ + #S ³3 −19 4 ³ − R ³ 3 −1−5 6 ³ = -6 (-20-54) + 10(12 +9) - 8(18 - 5)

= -6(-74) + 10(21) - 8(13)

= 444 + 210 -10

= 550 numerador de Y

De lo que se deduce que el valor del determinante de y es:

= $$S�$!

Para calcular el valor de z reemplazamos los términos libres en la tercera

columna que le correspondiente a la incógnita z y en la columna 1 y 2 los

coeficientes de las incógnitas de x, y

Tercera columna

® = º 3 7 !−5 2 #S9 8 R º|¸| = º 3 7 !−5 2 #S9 8 R º

456

Mediante el método de cofactores se calcula el numerador de z que se

denota como Nz

│ Nz │= 6³−5 29 8³ − #S ³3 79 8³ + R ³ 3 7−5 2³ =6(-40-18) - 10(24 -63) + 8(6+35)

=6(-58) – 10 (- 39) +8 (41)

=-348 + 390 + 328

= 370

® = LS�$!

Se concluye que el conjunto solución son los valores de las incógnitas x, y, z

que se halló aplicando determinantes y el método de cofactores

63

Conjunto soluciónÖ×Ø×Ù� = − �§Ç§©É� = ©©«§©É� = 8I«§©É

simplificando

Ö×Ø×Ù� = − 8©I� = �I©��Ç� = Ç©��Ç

Verificación: se verifica el conjunto de los valores de las incógnitas, en una

de las tres ecuaciones iniciales, en este caso específico se toma en cuenta

en la ecuación número 1, aclarando que se lo puede hacer en cualquiera de

las ecuaciones del sistema dado.

3x + 7y - z = 6 ecuación (1)

3(− �§Ç§©É)+ 7©©«§©É − 8I«§©É = 6 multiplicando se tiene

?I§§§©É + 8Ç©«§©É − ?8I«§©É =Reduciendo fracciones

homogéneas

− §§©É + 8Ç©«§©É =

�I8É§©É = 6 restando y dividiendo

Entonces 6 = 6

Como los resultados son iguales en los dos miembros, quiere decir que las

soluciones son correctas, entonces queda comprobado los valores de las

incógnitas en la ecuación uno del sistema de la matriz B

2.3 MARCO INSTITUCIONAL

La UNEDI tiene como su patrono al fundador de la Educación a Distancia

“Monseñor Leónidas Proaño” se lo conocía como el apóstol de los indios y

fue nominado uno de los diez mejores hombres del Ecuador. La visión era

64

que la educación sea equitativa, los principios básicos y los valores que

predicaba eran: el amor, honestidad, fe, dignidad humana y formación

integral de la personalidad.

Sus oficinas centrales se encuentran funcionando en la Parroquia de

Caranqui en la Avenida el Retorno (sin número) Y Zacoto Puento cerca a la

Plaza de toros, cuenta con estructuras propias. (PEI de la UNEDI)

2.3.1 Naturaleza de la unidad educativa a distancia de Imbabura

La Unidad Educativa a Distancia de Imbabura, perteneciente al Sistema

Nacional “Monseñor Leónidas Proaño” SINEDE, viene funcionando

ininterrumpidamente desde 1993 con autorizaciones oficiales y convenios

especiales conferidos por el Ministerio de Educación y Cultura, la

Conferencia Episcopal Ecuatoriana y la CONFEDEC, publicada mediante los

siguientes acuerdos y convenios;

1- Acuerdo Ministerial 1544, del 29 de octubre de 1991, crea y autoriza el

funcionamiento de los Centros Regionales de Comunicación Educativa

con sus correspondientes Unidades Educativas en cada provincia.

2- Convenio de Cooperación Interinstitucional entre el Ministerio de

Educación y Cultura y la Confederación Ecuatoriana de Establecimientos

de Educación Católica – CONFEDEC- en el campo de la Educación a

Distancia, emitido el 29 de octubre de 1991 con el No. 21656

3- Convenio Básico de Cooperación Interinstitucional entre el Ministerio de

Educación y Cultura y la Conferencia Episcopal Ecuatoriana en el

Campo de la Educación a Distancia, emitido el 23 de julio de 1992.

Acuerdo Ministerial No. 6383, del 29 de diciembre de 1997 en donde se

amplía el Acuerdo Ministerial No. 4156 del 2 de septiembre de 1997,

65

exceptuando al Sistema Nacional de Educación a Distancia “Monseñor

Leónidas Proaño”, la dependencia directa de la DINEPP. …. (PEI de la UNEDI)

2.3.2 Visión y Misión de la UNEDI

Visión de la UNEDI

La Unidad Educativa a Distancia de Imbabura se propone ser una institución

educativa con excelencia en los procesos académicos y administrativos;

actualizada tecnológicamente, personal altamente calificado e infraestructura

física propia, destinada a lograr el desarrollo de participantes con alto grado

de valores humanos, cívicos, morales y cristianos. . (PEI de la UNEDI)

Misión de la UNEDI

La UNEDI es una institución de educación alternativa para los sectores

marginados de la educación regular presencial, que tiene como misión

esencial contribuir a la formación integral de bachilleres en ciencias y

técnicos con excelente calidad académica, y valores humanos, éticos,

cristianos y cívicos, capaces de continuar los estudios, insertarse y/o mejorar

su desempeño en el mercado ocupacional y ser ente activo en el desarrollo

de la comunidad. (PEI de la UNEDI)

Síntesis de la Visión y misión de la Institución: es una institución fisco

misional está enfocada en la educación a distancia con el fin de ayudar a los

ecuatorianos que no pueden obtener los beneficios que brinda la modalidad

presencial del sistema educativo nacional, debido a muchas circunstancias:

especialmente de carácter social, cultural, económico, al no tener el tiempo

necesario, por trabajo han tenido que abandonarlo sin lograr finalizar, es

decir está dirigido a las clases aisladas y pobres del país. (PEI de la UNEDI)

La matriz FODA está creada de acuerdo a las dificultades, beneficios que ha

logrado la UNEDI (Colegio Monseñor Leónidas Proaño). Centro de apoyo

66

tutorial Pimampiro, que es el lugar donde el investigador trabaja. Y se la

elaboró según información del PEI, se puede ver las falencias y fortalezas

que posee la institución son numerosas y están sintetizadas en la siguiente

matriz

Tabla 2.1 Matriz FODA INTERNAS

EXTERNAS

FORTALEZAS

• Liderazgo pedagógico

• Autonomía institucional

• Visión y metas compartidas

• Ambiente favorable.

DEBILIDADES

• Carece de facilitadores (institucionales)

• Las relaciones entre educandos y educadores es frágil

• No poseen recursos económicos propios para la adquisición de instrumentos técnicos

OPORTUNIDADES

• Refuerzo positivo y capacitación experimental

• Asesoría técnica para los PEI

• Demanda de clientes(estudiantes)

AMENAZAS

• Posibilidad que se cierre porque no quieren arrendar el local.

• No poseer competitividad

• Quejas de las otras instituciones

Elaborado por: Marlene Daza en base de PEI de la UNEDI

“El Ministerio de Educación y Cultura del Ecuador, en concordancia con las

políticas de democratización del sistema educativo nacional que viene

implementando, el 29 de octubre de 1991, mediante acuerdo No.1544, crea

y autoriza el funcionamiento del Centro Regional de Comunicación

Educativa del Norte del Ecuador (CRECERNORTE), con sus

correspondientes Unidades Educativas a Distancia y Extensiones cuya

influencia cubre las provincias de Carchi, Imbabura, Pichincha, Cotopaxi,

Tungurahua y otras (jornadas, utilizando la bibliografía disponible que

proyecte a formar mentes de raciocinio lógico cuyas consecuencias sean

positivas)(PTI.PEI, UNEDI, informe, reglamento interno)

67

La unidad educativa tiene 11 (C.A.T) centros de apoyo tutorial en la provincia

de IMBABURA

• Ibarra: Central sábado, la central Domingo, Central Martes y Central

miércoles

• C.A.T Carolina: del sábado, el domingo y martes

• C.A.T Pimampiro: sábado (lugar de investigación encuestas)

• C.A.T Atuntaqui: sábado

• C.A.T Selva Alegre, chal guayaco

La investigación no se la aplicará a todas las extensiones, únicamente a

una muestra de unos 40 estudiantes en total. Estos temas son tratados

más en la especialidad de informática y en segundo año de bachillerato

ciencias sociales y a unos 5 o 6 docentes de los CAT, en especial en el

cantón Pimampiro El total de tutores son 32 de todas las áreas, van

rotando de acuerdo a la necesidad. (PTI.PEI, UNEDI, informe, reglamento interno)

2.4 Fundamentación legal

Según la Constitución del 2008 Sección quinta LA EDUCACIÓN artículos 26,

27, 28, 29 se refiere al derecho que tienen las personas para beneficiarse

del estudio, las obligaciones del padre y del presidente de la república es

garantizar una educación pública, de calidad y mejore aprendizajes que se

relacionan con la enseñanza del tema de matrices y determinantes y se

encuentran en los contenidos de la malla curricular de matemática .Este

tema consta en mallas curriculares de segundo año de bachillerato

especialidad sociales y de informática (Breve análisis de Constituyente, A.

(2008).s.pp.) Centro de tesis, documentos, publicaciones y recursos educativos

(http://www.eruditos.net/ )

Se ha tratado los artículos de manera imparcial considerando los aspectos

positivos que traen cada uno de ellos, también los aspectos negativos

y dejando algunas inquietudes para ser puestas a manera de debate o un

foro con el resto de compañeros del curso, acudimos a la constitución

68

anterior la de 1.998 para revisar las mejoras o ciertos cambios, se acudió a

lectura de análisis de algunos artículos, esta información está sustentada en

la bibliografía .

ANTECEDENTES

Por disposición del Ministerio de Educación según Acuerdo Ministerial

Nº 312.

Acuerda:

Art. 1. Disponer, que para la obtención del título de bachiller, se sustituya el

trabajo práctico o de investigación por la participación obligatoria de las

estudiantes de los 2dos años de bachillerato de todas las instituciones

educativas, fiscales, fisco misionales, particulares a distancia, municipales,

en el Programa Nacional de Educación Básica para Jóvenes y Adultos y sus

proyectos.

Art. 2. Responsabilizará, a la División de Especies Valoradas de esta

cartera, la impresión y distribución de los certificados de participación

estudiantil en el Programa Nacional de Educación Básica para Jóvenes y

Adultos, con las Direcciones Provinciales de Educación, de acuerdo a la

normativa vigente.

Art.3. Determinar, que las divisiones provinciales, cantonales e

intercantonales de educación popular permanente, entreguen en la

secretaría de los establecimientos educativos, el certificado debidamente

legalizado de participación estudiantil con la calificación obtenida.

Disposición final.- El presente acuerdo entrará en vigencia a partir

de la fecha de su expedición, sin perjuicio de su publicación en el Registro

Oficial (Ibarra, 2 de Junio 20013.Articulos tomados del PEI de la Unedi)

Análisis del Art. 26

69

Todos los ciudadanos tenemos derecho a la educación durante toda nuestra

existencia y bajo ningún concepto se la puede negar el Estado. El

porcentaje correspondiente a educación se debe de respetar, para que la

educación llegue más y disminuir el grado de analfabetismo, considerando

que todos estamos inmiscuidos dentro del proceso de educación.

El gobierno tiene la obligación de brindarnos educación a todos sin ningún

tipo de restricción, para así llegar a una población de características de

educación de alta calidad.

En el Art. 26 "es deber del Estado", la familia y la sociedad tienen

participación activa y responsable en el proceso educativo. Además en esta

nueva constitución tal como lo destaca el Art. 47 en sus numerales 7 y 8 se

apoya la educación especial y ahora se la considera dentro de la educación

regular esto con el ánimo de "fomentar la inclusión e igualdad", permitiendo

su incorporación en la medida de lo médico, pedagógico y especializado a

diferencia del Art. 66 de la constitución de 1.998 donde se da un ítem aparte.

• Ineludible.- Que no se puede eludir, no se puede escapar.

• Inexcusable.- Que no se puede excusar, no hay pretexto.

• Prioritaria.- Anterioridad o precedencia de algo respecto de otra cosa

que depende o procede de ello.

• Inclusión social.- Que está considerado o dentro de la sociedad.

• Buen vivir.- Se considera como la satisfacción plena de las necesidades,

tanto objetivas como subjetivas de las personas y los pueblos.

• Deber.- Es una obligación, que no se puede negar

• Derecho.- Conjunto de principios y normas, expresivos de una idea de

justicia y de orden, que regulan las relaciones humanas en toda sociedad

y cuya observancia puede ser impuesta de manera coactiva.

• Familia.- Grupo de personas emparentadas entre sí que viven juntas.

Conjunto de ascendientes, descendientes, colaterales y afines de un

linaje. Hijos o descendencia. Conjunto de personas que tienen alguna

70

condición, opinión o tendencia común. (Según la constitución del año 2008 -

2015 )

Análisis del Art. 27

La educación debe estar dirigida a todo lo relacionado con la persona,

respetando todos sus derechos, género, raza, que sea encaminada a la

excelencia y útiles a la sociedad, en este siglo en Latinoamérica y

especialmente en el Ecuador se empezó con una crisis asociada a las

transformaciones planetarias ocasionando por consiguiente un nuevo orden

competitivo basado en el "conocimiento" se debe promover la creatividad en

la resolución de problemas, la finalidad de este artículo busca que los

ecuatorianos tengamos una igualdad de oportunidades, que sepamos

compartir nuestros conocimientos con los demás convivamos en un entorno

feliz proyectados en el buen vivir (Plan decenal de Educación del Ecuador, 2013, PP.

1-20)

En el contexto de la Educación de Adultos nuestro país a través del Plan

Decenal .En su Política IV.- Erradicación del analfabetismo y aprendizaje

continuo, está enfocado a dar servicio educativo al área hispana y bilingüe,

se ha iniciado en diseñar y elaborar materiales educativos modulares para

las 15 etnias que se encuentran en nuestro país comenzando con el quichua

que ya están puestos los materiales en ejecución, para ello se está

invirtiendo una serie de insumos Económicos, hacia la elaboración de

materiales modulares como: módulos para la educación de adultos( Plan

decenal de Educación del Ecuador, 2014, PP. 25-40)

2.5 Hipótesis

Las nuevas metodologías de la enseñanza de matemática basadas en las

TIC, mejoran el aprendizaje de Matrices y Determinantes.

71

2.6 Variables de la investigación

Variable independiente: La nuevas metodologías

Variable dependiente: enseñanza de Matrices y Determinantes

2.7 Operacionalización de variables Tabla 2.2 Operacionalización de variables VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ÍNDICESVI: Metodología Instrumentos

didácticos: sirven para aplicar en los métodos actuales para promover nuevos aprendizajes

Métodos Estrategias , Técnicas: TIC

40% de 35% 25%

VD: Enseñanza de Matrices y determinantes

La experiencia y Capacitación permite Verificar y reforzar los conocimientos estudiantiles. El docente investigador pondrá en práctica las diferentes métodos consultados y si es necesarios se aplicará los nuevos métodos e instrumentos tecnológicos

Matrices • Clases de matrices • Operaciones de

matrices • Solución de sistemas

lineales por métodos matriciales

Determinantes • Solución de sistemas

de ecuaciones Linealescon dos incógnitas

• Solución de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas o variables

60% 40%

Fuente: Variables que intervienen en la investigación Elaborado por: Marlene Daza

72

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

3.1 Diseño de la investigación

El sujeto investigador aplicó los siguientes tipos de investigación para que el

diseño se fortalezca cuantitativa y cualitativamente

3.1.1 Según el tipo de estudio: Investigación exploratoria- descriptiva

para averiguar condiciones, características, perfiles, procesos de resolución,

definiciones, mediciones mediante cuestionarios predeterminados, se

emitirán criterios en forma cualitativa y cuantitativa, en la narración se

aplicará análisis, resumen y el parafraseo para que no sea una real copia de

otros textos.

3.1.2 Según las fuentes de consulta: investigación de campo-

bibliográfica.- se recurrió a fuentes de consulta de primera mano para

monitorear el entorno social, cultural del colegio y constatar sobre los temas

que se relacionan, la metodología aplicada en el álgebra lineal de los cursos

donde se hará la investigación, los profesores especializados en dictar esta

cátedra, información de los diseños de otras investigaciones, bibliografía

personal y en el internet e incluso módulos o guías utilizadas.

3.1.3 Métodos de la investigación

3.1.3.1 Métodos generales: están encaminados para alcanzar los objetivos

planteados que pueden ser material o conceptual sobre la metodología de la

enseñanza MATRICIAL

� Método Científico: es quizás el más útil o adecuado de los métodos

generales, capaz de proporcionar respuesta a muchas interrogantes.

Respuestas que no se obtienen de inmediato de forma verdadera, pura y

completa, sin antes haber pasado por el error. Esto significa que el

73

método científico llega como un proceso, no como un acto donde se pasa

de inmediato de la ignorancia a la verdad. Este es quizás el método más

útil o adecuado, ya que es el único que posee las características y la

capacidad para auto corregir y superar, pero no el único. se basa en la

observación, hipótesis, experimentación, teoría y leyes.

� Métodos: inductivo- deductivo se relacionan estos dos métodos porque

se parte de la información previa para llegar a establecer propiedades,

leyes o lo contrario se inicia con leyes y en la experimentación se ocupa

de verificar los procesos indicados.

� Método analítico: se aplicó la reflexión, el razonamiento lógico para

comprender pausadamente los pasos respectivos en los procesos de

resolución de problemas, en el planteamiento de ejercicios con otra

simbología, etc.

� Método Sintético: para el desarrollo y principalmente para la escritura del

proyecto se usó con el fin de resumir se realizó esquemas gráficos y

lectura comprensiva.(Zorrilla, Torres y Cervo,1999,pp15-25)

3.1.3.2 Métodos específicos

� Histórico: para obtener ideas de ¿cuándo?, ¿cómo? ¿Dónde? y el

¿porque? de algunos términos, definiciones, aplicación de la información

narrando de acuerdo a su época y a los creadores relacionado con el

entorno socio cultural.

� Didáctico: para conseguir la información se utilizó instrumentos y

técnicas de lectura, se analizó y ordenó procesos, se resumió señalando

los más útiles que permitan aprender fácilmente que tienden a dirigir el

aprendizaje, desde la presentación y elaboración de los contenidos de la

materia hasta aplicar en la resolución de problemas de la vida,

74

3.2 Población

Universo: la población son los estudiantes de la UNEDI ( Unidad Educativa

a distancia de Imbabura), pertenecientes a la provincia de Imbabura; son el

conjunto de sujetos que tienen características comunes, los estudiantes

adolecentes mayores de 15 años, adultos mayores de 18 años del segundo

curso de Bachillerato de la unidad educativa a distancia, que con la nueva

ley de educación es modificada a educación semi presencial “Monseñor

Leónidas Proaño” la población en los diferentes Centros de Apoyo Tutorial

(CAT), exclusivamente en el CAT de Pimampiro la muestra es de 40

alumnos

Tabla 3.1 Población SUJETOS POBLACIÓN PORCENTAJE

Alumnos 2do. De Bachillerato

Sociales

40 100%

Docentes 5 100%

TOTAL 45 100%

Fuente: Secretaría de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza

Se trabajó con la población que es el número de estudiantes que fue

encuestado, en este caso es el universo, debido al número de sujetos

informantes.

3.3 Técnicas e instrumentos de recolección de información

Las técnicas son procedimientos que necesitan los métodos de investigación

para la recolección de información, son los dispositivos auxiliares y las que

se emplearon fueron dirigidas a estudiantes, que a la vez son padres de

familia porque son adultos y a los docentes

3.3.1 Observación es una ventaja de bajo costo, se consiguió información

veraz y directa en el planteo de: los problemas de investigación, objetivos,

contenido, hipótesis mediante esta técnica se llegó a formular la justificación

75

pero también será empleada en los logros conseguidos próximamente según

avance el trabajo se podrá emitir conclusiones pero evitando comentarios

subjetivos.

Los elementos son:

o Sujeto investigador: Marlene Daza

o Sujeto investigado. Estudiantes, docentes

o Instrumentos: cámara fotográfica, filmadora, cuestionario planificado.

o Marco teórico de estudio: La metodología que aplica contenidos de

algebra lineal

3.3.2 La encuesta Es aplicada para sondear el nivel cognitivo en lo que se

refiere a la metodología empleada en el aprendizaje de matemáticas con

los profesores que interactúan en la especialidad. Con los conocimientos

previos adquiridos ya se podrá aplicar el instrumento básico que es el

cuestionario establecido por el investigador y se podrá analizar los logros

alcanzados y se podrá proponer que nuevas metodologías aplicar

• De preparación: se plantea una prueba manejable aplicada a expertos

en la materia, arreglar un guión donde tome en cuenta lo planteado,

los prerrequisitos, la presentación de los que se ponen en contacto.

• De cuerpo o realización de la entrevista se basa en algunos principios

en el desarrollo de la misma:

- El ambiente debe ser confiable, agradable

- Las preguntas se presentan, con orden, de fácil comprensión, es decir

planificadas para que tengan tiempo a responder

- Naturalidad en la narración de las preguntas

• Cierre de la encuesta: agradecer a los participantes y decirles que la

información será procesada consecutivamente y confidencial

76

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

4. Presentación de resultados: Encuestas aplicadas a los estudiantes 4.1 La mayor parte de clases, el docente de matemáticas utiliza

Tabla 4.1 Pregunta 1 de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Clase Magistral 11 27.5

Clase participativa 20 50.0

Las dos anteriores 9 22.5

Total 40 100

Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.1 Clases que aplican los docentes Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN De los 40 estudiantes que corresponde al

100%, el 50 % son de tipo participativo, 27.5% manifiesta que las clases de

matemáticas dadas por el docente en su mayoría son de tipo magistral; y el

22,5% los dos métodos anteriores.

Los docentes, en sus clases, realizan actividades para que los estudiantes

participen activamente, fomentando un buen aprendizaje.

,27.5

50%

22.5

TIPOS DE CLASES APLICADAS POR DOCENTES

clase magistral 27.5%

participativa 50%

las dos anteriores 22,5%

77

4.2 El docente para resolver dificultades de algebra relaciona con experiencias vividas

Tabla 4.2 Pregunta 2 estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Siempre 15 37,5

Rara vez 17 42,5

Nunca 8 20,0

Total 40 100


Figura 4.2 Relación de dificultades con experiencias vividas Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN

De los 40 estudiantes que es el total equivalente al 100% ; los 15

estudiantes corresponde al 37,5 % relación con las experiencias vividas, el

42,5% lo hace en forma participativa y el 20% las dos alternativas

anteriores

La mayoría de veces el docente no relaciona con experiencias cercanas a

los estudiantes, esto dificulta el aprendizaje.

37%

43%

20%

RELACIONA LAS DIFICULTADES CON EXPERIENCIAS VIVIDAS

siempre 15

Rara vez 17

Nunca 8

78

4.3 El docente cuando practica ejercicios de matemática (matrices) interactúan con los estudiantes

Tabla 4.3 Pregunta 3 de estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Siempre 31 87,5

Rara vez 5 12,5

Nunca 4 10,0

Total 40 100

Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro. Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.3 Interactúan estudiantes-docente Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


Podemos observar que la mayoría del curso el 87, 5% interactuar los

estudiantes en las aulas, el 12,5 % lo hacen Rara vez y el 10 % Nunca

Los docentes y estudiantes son participativos en el aula y los pocos son los

que lo hacen en las aulas y apenas 4 estudiantes no lo hacen.

31

54

INTERACTUAN ESTUDIANTE-DOCENTE

Siempre 87.%

Rara vez 12.5%

Nunca 10%

79

4.4 El docente de matemática domina los conocimientos

Tabla 4.4 Pregunta cuarta de los estudiantes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Dentro del aula 17 42,51

Fuera del aula 3 7,5

Dentro y fuera 20 50

Total 40 100


Figura 4.4 Lugar de dominio de conocimientos Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN

Del cien por ciento de estudiantes, el 42,5 por ciento contestaron que

domina dentro del aula, los tres estudiantes corresponde el al 7,5% lo hace

afuera y los 20 estudiante contestaron que dentro y fuera el 5%

Medio curso de los estudiantes opina que los docentes dominan los

contenidos en todo lugar, sea en las aulas o fuera de ellas.

43%

7%

50%

LUGAR DE DOMINIO DE CONOCIMIENTOS

Dentro del aula 17

Fuera del aula 3

Dentro y fuera 20

80

4.5 El aprendizaje de algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza

Tabla 4.5 Preguntas 5 planteada en la encuesta Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia

relativa

Pizarrón y marcador 15 37,5

Textos y otros documentos 5 12,5

Programas de computación

y diapositivas

20 50

Total 40 100


Figura 4.5 Instrumentos en el aula Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS e INTERPRETACIÓN Del 100 por ciento de estudiantes, el 50 por

ciento creen que se debe utilizar programas de computadora, diapositivas, el

37.5% dicen que el pizarrón y el marcador, el 12,5% aprenden mejor cuando

el profesor usa textos y otros documentos.

Se deduce que el mayor número de horas del plantel utilizan programas de

computadora y un grupo mínimo de utilizan los textos y documentos

37%

13%

50%

INSTUMENTOS QUE SE USAN EN EL AULA

Pizarron

Textos

Programas comp

81

4.6 Si tiene Usted inconvenientes en el aprendizaje el profesor


Refuerza 33 82,5

Amplia de forma interactiva 7 17.5

Continua 0 0

Total 40 100


Figura 4.6 Actividades de recuperación Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


El 82,5% de del grupo de 40 estudiantes señalan que si el aprendizaje

tienen inconvenientes, el profesor realiza la actividad de refuerzo, y el 17,5

opina que el profesor amplia conocimientos por última alternativa donde dice

que el profesor continua es el cero por ciento.

El docente busca alternativas de recuperación para que los estudiantes no

se estanquen en los inconvenientes del aprendizaje

Rrefuerza 33; 82,5; 83%

Amplia 7; 17; 17%

Continua =0; 0; 0%

ACTIVIDADES DE RECUPERACIÒN

Rrefuerza 33

Amplia 7

Continua =0

82

4.7 Cuando Usted realiza las tareas de algebra lo hace:

Tabla 4.7 Apoyo en tareas Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Solo 30 75,5

Con ayuda de padres 2 5

Con ayuda de hermanos 4 10

Amigos 4 10

Total 40 100


Figura 4.7 Tareas de algebra con apoyo Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


Los estudiantes resuelven los ejercicios solos el 75,5 por ciento y el 10%

en forma equitativa lo hacen con ayuda de hermanos amigos En los

resultados se observa que los estudiantes resuelven los deberes con ayuda

de sus hermanos y amigos, y a la mayoría hacen los deberes solos y solo el

minino 2 estudiantes hacen con sus padre.

75%

5%

10%10%

APOYO EN TAREAS DE ÁLGEBRA

Solo 30

Con ayuda de padres2

Hermanos 4

amigos 4

83

4.8 Algebra aprende mejor mediante Tabla:


Habilidades

algebraicas

25 62,5

Juegos 6 15

Libros 3 7,5

Ninguno 6 15

Total 40 100


Figura 4.8 Medios de aprendizaje de estudiantes Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


El 62,5% de los 40 estudiantes aprenden algebra lineal específicamente

matrices mediante habilidades algebraicas, el 15% lo hacen mediante libros

y ninguno, y un 3% de los estudiantes mediante libros.

Pocos son los estudiantes que aprenden con libros, se incrementan las

actividades cuando aplican habilidades algebraicas

62%15%

8%15%

MEDIOS DEL APRENDIZAJE

Habilidades algebraicas62.5%

juegos 15%

Libros 7.5%

84

4.9 Cuál es la estrategia que más frecuentemente utiliza en Matemática

Tabla 4.9 Estrategias frecuentes pregunta 9 Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa

Leer 2 5

Analizar 7 17,5

Ejercitar 4 10

Las tres 27 67,5

Total 40 100

Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales de Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.9 Estrategias utilizadas en matemática Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


Se observa que en el aprendizaje de la matemática utilizan más las tres

estrategias casi con el porcentaje del 68% de los 40 alumnos que es el 100

por ciento equivalente 40 estudiantes, y que analiza el 17,5%, el 10%

ejercitan y el 5% la estrategia de leer.

Se puede observar que las notas mejoran cuando usan las tres estrategias

de aplicación en el área y no se obtiene logros deseados cuando lee

únicamente.

13%

45%25%

67,5

Estrategias -Matemáticas

Leer

Analizar

Ejercitar

Las tres

85

4.10 Los ejercicios del algebra le permiten desarrollar la memoria

Tabla 4.10 Pregunta 10 Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Siempre 36 90

Rara vez 3 7,5

Nunca 1 2,5

Total 40 100


Figura 4.10 Los ejercicio permiten desarrollar la mente Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por: MARLENE DAZA


De 40 estudiantes que le corresponde el 100%, los 36 estudiantes que es el

90% dice que permite el desarrollo de la memoria siempre; la respuesta rara

vez desarrolla la memoria tienen tres estudiantes que es el 7.5% contestaron

el 2.5% que es un solo estudiante señalando que nunca desarrolla la

memoria

Los ejercicios de algebra permiten que desarrollen la capacidad de reflexión

o razonamiento y por ende la memoria.

90%

7%

3%

LOS EJERCICIOS DESARROLLAN LA MEMORIA

Siempre 90%

Rara vez 7.5%

Nunca 2.5%

86

4.11 La matemática se enseñara de manera memorística sin razonar

Tabla 4.11 La Enseñanza de matemática debe ser repetitiva Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Siempre 7 17,5

Rara vez 10 25

Nunca 23 57,5

Total 40 100

Fuente: estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA

Figura 4.11 La enseñanza de matemática es memorística o repetitiva Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA


El 57.5% de 40ª estudiantes contestaron que nunca el aprendizaje de la

Matemática se la realiza sin razonar; el 17,5 por ciento contestaron que

siempre se realiza las matemáticas de manera memorística sin razonar y el

25% que corresponde a 10 estudiantes dieron la respuesta Rara

Según los sujetos encuestados la matemática no debe ser enseñada de

manera memorística, repetitiva, debe enseñarse con practicidad,

demostración, juegos deje de ser la enseñanza tradicional.

17%

25%58%

LA ENSEÑANZA MATEMÁTICA ES REPETITIVA

Siempre 7

Rara vez 10

Nunca 23

Total

87

4.12 Para mejorar el aprendizaje de matrices se debe crear o aplicar nuevas metodologías de enseñanza (TIC)


Siempre 33 82.5

Rara vez 5 12.5

Nunca 2 5

Total 40 100

Fuente: Estudiantes de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales Pimampiro Elaborado por MARLENE DAZA

Figura 4.12 Sondeo de aplicación de metodologías


ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del cien por ciento que son los cuarenta

estudiantes 33 estudiantes respondieron siempre se debe aplicar nuevas

metodologías, en el aprendizaje de matrices cinco estudiantes que es 12.5%

contestaron rara vez, y 2 respondieron que nunca se debe aplicar nuevas

metodologías corresponde al 5 por ciento.

Siempre se debe estar modificando la metodología y actualizando para que

no sea monótona la clase, implementar estrategias para que surjan efectos

de calidad en el aprendizaje.

82%

13%

5%

APRENDIZAJE DE ACTIVIDADES

Siempre 82.5

Rara vez 12,5

Nunca 5

88

Encuesta aplicada a Docentes

4.13 Los docentes han abordado el tema de matrices con determinado grado de dificultad

Tabla 4.13 Resultados de la Dificultad en abordar temas de matrices Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Siempre 1 20

Rara vez 2 40

Nunca 2 40

Total 5 100

Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.13 Dificultad en abordar temas de matrices Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA


De los 5 docentes del área de matemáticas de la UNEDI que representa el

100 por ciento, el porcentaje de 40 % equivale a las frecuencias de dos

docentes que dicen que rara vez y nunca han tenido dificultad y solo un

docente dice que tiene dificultad al abordar tema de matrices.

De los docentes encuestados de la institución en su mayoría no se les ha

presentado dificultades solo a uno de ellos se pronuncia que siempre y

señala diciendo que posee poca experiencia en estos temas

20%

40%

40%

DIFICULTAD EN ABORDAR MATRICES

1 Siempre 20%

2 Rara vez 40%

2 Nunca 40%

0 Ninguna

89

4.14 Las clases impartidas se caracterizan por ser

Tabla 4.14 Tipo de clase impartida


Figura 4.14 Tipo de clase impartida Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA


El 20 por ciento de los docentes imparten las clase magistral el 60 por ciento

aplican las dos, y el 20 por ciento que equivale a un docente un profesor

responden.

Se determina que las clases impartidas por los docentes encuestados no

son solo tradicionales sino que en la mayoría son de participación activa

entre docentes y estudiantes, uno de ellos aplica las dos formaciones, la

bancaria y la interactuar docente-estudiante

20%

60%

20%

0%

TIPO DE CLASE IMPARTIDA

1 Magistral 20%

3 Participativa 60%

1 las dos 20%

0 Ninguna 0%

Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Magistral 1 20

Participativa 3 60

Las dos 1 20

Ninguna 0 0

Total 5 100

90

4.15 ¿Al resolver un sistema de ecuaciones ha resuelto por’?

Tabla 4.15 Resultado de Pregunta 3 de docentes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Matrices y determinante

2 40

Adición y sustracción 2

40

Dentro y fuera 1

20

Total 5 100 Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.15 Métodos de solución de ecuaciones usados por los docentes Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA


Según los docentes encuestados en la resolución de ecuaciones aplican el

método de determinantes- matrices y el método por adición y sustracción y

el 10 por ciento de los docentes contestó que aplica otros.

Se interpreta que los docentes aplican de forma equitativa el método de:

determinantes- matrices, adición y sustracción, y un docente que no lo hace.

40%

40%

20%

MÈTODOS DE SOLUCIÒN DE ECUACIONES

2 Matrices ydeterminantes 40%

2 Adiciòn y sustracciòn40%

1 Otras 20%

91

4.16 Lugar en el que domina conocimientos de algebra en la enseñanza

de matrices

Tabla 4.16 Respuestas a pregunta 4 de los Docentes Alternativas Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Dentro del aula 1 20

Fuera del aula 0 0

Dentro y fuera 4 80

Total 5 100


Figura 4.16 Lugar de dominio de conocimientos Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del grupo encuestado el 20 por ciento contesta que domina los

conocimientos dentro del aula y el 80 por ciento señala que lo realiza dentro

y fuera de las aulas, no existe porcentaje sobre la que domina conocimientos

fuera del aula

De acuerdo a la tabulación, tabla y Figura se observa que la mayoría de

docentes de la UNEDI dominan conocimientos no solo en el aula sino en

cualquier lugar y solo un docente domina la ciencia dentro del aula.

20% 0%

80%

LUGAR DE DOMINIO DE CLASES

Dentro del aula 20%

Fuera del aula 0%

Dentro y fuera 80%

92

4.17 ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes en la aplicación matrices y determinantes?

Tabla 4.17 Respuestas a pregunta 5 de los Docentes Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa

Excelente 1 20

Muy bueno 2 40

Bueno 1 20

regular 1 20

Fuente: Docentes de matemáticas Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.17 Aplicación de matrices y determinante Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA


Del 100 por ciento de los docentes encuestados, el 20 por ciento de ellos

respondieron que existe aceptación de la aplicación de matrices y

determinantes es excelente, bueno y regular; el 40 por ciento manifiesta

que es muy bueno.

Quiere decir que la mayoría de los docentes tienen una aceptación muy

buena aplicando determinantes y matrices, pero a su vez existen tutores

donde se presenta beneplácito extraordinario, bueno y regular en forma

equitativa.

; 20%

40%20%

20%

APLICACIÒN DE MATRICES Y DETERMINANTES

1 : Exelente 20%2: Muy bueno 40% 1: Bueno 20%1 : Regular 20%

93

4.18 ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de Resolución de sistemas de ecuaciones?

Tabla 4.18 Respuestas a pregunta 6 de los Docentes


Figura 4.18 Método más óptimo para resolver sistema de ecuaciones Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN De los docentes encuestados, el 20 por

ciento contestaron que el método más óptimo de abordar el tema de

resolución de ecuaciones es por igualación, matrices y determinantes y otros

métodos.

Lo más óptimo para los docentes al resolver sistemas de ecuaciones es

abordar el método de adición y sustracción y en segundo plano esta resolver

por igual por los métodos de la tabla.

20%

40%20%

20%

MÈTODO OPTIMO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES

1: Igualaciòn 20%

1:Determinantes 20%

2: Adiciòn y Sustracciòn 40%

1;otros 20%


Igualación 1 20

Determinantes y matrices 1 20

Adición y Sustracción 2 40

Otro(sustitución ) 1 20

Total 5 100

94

4.19 ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor utilizando? Tabla 4.19 Instrumentos utilizados en el proceso enseñanza aprendizaje

Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.19 Instrumentos utilizados Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN según los encuestados el 40 por ciento es

de igual porcentaje tanto para docentes que utilizan el pizarrón y la taza

liquida como y los programas y diapositivas.

Se concluye diciendo que existen docentes que se actualizan y no solo

utilizan instrumentos tradicionales, sino también las TIC.

40%

20%

40%

INSTRUMENTOS UTILIZADOS

Pizarrón y tiza liquida 40%

Textos y documentos 20%

Programas y diapositivas20%

Alternativas Frecuencias absoluta Frecuencia relativa

Pizarrón y tiza liquida 2 40

Textos y documentos 1 20

Programas y diapositivas 2 40

Total 5 100

95

4.20 ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear o aplicar nuevas metodologías de la enseñanza?

Tabla 4.20 Pregunta 8


Figura 4.20 Opciones sobre el mejoramiento del proceso de enseñanza


ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN El 40% de los docentes se pronuncian que

siempre y Rara vez acerca de mejorar el aprendizaje mediante la aplicación

de nuevas metodología, y el 20 por ciento dicen que nunca.

Lo que da a entender es que existen profesores creativos y permiten mejorar

el aprendizaje. Pero existe un docente negativo que se pronuncia que nunca

se debe ser creativo.

40%

40%

20%

VentasSiempre 40%

Rara vez 40%

Nunca 20%


Siempre 2 40

Rara vez 2 40

Nunca 1 20

Total 5 100

96

4.21 Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar

Tabla 4.21 Alternativas aplicadas para mejorar el aprendizaje


Figura 4.21 Actividades de mejoramiento del aprendizaje Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN La encuesta realizada dio como respuestas

tres alternativas del 20%: integra grupos, continúa y amplían conocimientos

en forma interactiva y el cuarenta por ciento refuerza cuando se dificulta el

aprendizaje.

La mayoría de docentes cuando halla inconvenientes en el aprendizaje no

prosigue en sus clases normalmente, aclara y refuerza.

40%

20%

20%

20%

ACTIVIDADES DE MEJORAMIENTO DEL APRENDIZAJE

Refuerza 40%

Integra grupo 20%

Continua 20%

Amplia en formaintertactiva20%


Refuerza 2 40

Integra grupo 1 20

Continua 1 20

Amplia forma interactiva 1 20

Total 5 100

97

4.22 ¿En la enseñanza del algebra utiliza material concreto?

Tabla 4.22 Resultados de la pregunta 10 de los docentes

Fuente: Docentes de matemática Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.22 Utilización material concreto Fuente: Docentes de matemáticas de la UNEDI Elaborado por: MARLENE DAZA


El 20% de los docentes utiliza siempre material concreto en sus clases, más

del 50 por ciento lo hace rara vez y por último el 20% no utiliza.

Se puede interpretar que la mayoría de docentes tratan de que el proceso de

enseñanza aprendizaje sea verificable a nivel cognitivo, psicomotriz, y se

fortifique los conocimientos de los estudiantes

20%

60%

20%

UTILIZA MATERIAL CONCRETO

Siempre 20%

Rara vez 60%

Nunca 20%


Siempre 1 20

Rara vez 3 60

Nunca 1 20

Total 5 100

98

4.23 ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar el proceso de enseñanza aprendizaje mediante las TIC.

Tabla 4.23 Resultados de la pregunta 11

Fuente: Docente de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.23 Incorporación de TIC Fuente: Docentes de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN Del grupo de docentes encuestados el 60%

que equivale a tres tutores del área respondieron que siempre se debe

innovar los conocimientos mediante las Tics, el 20 % rara vez y en otro

20% nunca

Se puede decir que la mayoría de los docentes tiene conocimiento básicos

de tics y saben hacerlo por lo que están dispuestos a utilizar la tics, existe

uno que dice temporalmente, pero el otro se niega a innovar la enseñanza.

40%

40%

20%

INCORPORACIÒN DE TICS

3: Siempre 60%

1: Rara vez 20%

1: Nunca 20%


Siempre 3 60

Rara vez 1 20

Nunca 1 20

Total 5 100

99

4.24 Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja

más.

Tabla 4.24 Resultados de la pregunta 12

Fuente: Docente de matemáticas de la UNEDI. Elaborado por: MARLENE DAZA

Figura 4.24 Incorporación de TIC Fuente: Docentes de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza


Del 100 5 de docentes que son cinco, el cuarenta por ciento aplica el

proceso metodológico ERCA y el 20 por ciento señalo cada una de las

alternativas

Se puede Afirmar que los dos docentes siempre utilizan el ERCA, en cambio

un docente de los restantes escogieron cada una de las alternativas,

significa que un docente enseña por el meto heurístico, otro aplica las ti

20%

40%20%

20%

MÈTODOS ACUALES1: Heuristico 20 %

2 ERCA 40%

1:JUEGOS 2O%

1 LA TECNOLOGIA20%


Heurístico 1 20

Proceso (ERCA) 2 40

Juegos 1 20

La tecnología 1 20

Total 5 100

100

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Conclusiones

En base a los resultados se concluye:

• La metodología utilizada por el docente, se caracteriza por ser activa en la

mayoría de ocasiones, utilizando los principales recursos la pizarra,

marcadores y en algunos casos usan la tecnología desean innovar sus

conocimientos además de la aplicación de los métodos heurístico,

inductivo, deductivo del Centro de Apoyo Tutorial (CAT) en Pimampiro

.

• Los docentes de matemática en la UNEDI, para resolver las dificultades

del algebra rara vez relaciona con las experiencias vividas, se observa

que interactúan docente - educador. También dominan el nivel cognitivo y

afectivo logrando que los estudiantes aprendan mediante videos,

diapositivas y tareas. Los estudiantes se auto educan, pocos son

ayudados a cumplir con sus labores educativas.

• Como medios útiles del aprendizaje del algebra matricial son las

habilidades algebraicas, existen estudiantes que usan los libros para

resolver los ejercicios y lo hacen mediante estrategias de lectura,

análisis y ejercicio; se requiere aplicar métodos modernos, presentan

curiosidad por el uso de tecnología como calculadoras modernas,

consultas en internet, juegos numéricos, procesos de resolución etc.

• Se pudo cumplir con los objetivos planteados, que no consiste solo en

conocer la metodología contemporánea, sino analizar, caracterizar y

observar la utilidad que prestan en la enseñanza aprendizaje del tema de

matrices y determinantes.

101

• Al culminar esta tesis se consigue logros efectivos para la comunidad

educativa UNEDI, se logró incrementar la experiencia tutorial del

encuestador, y el desempeño de los encuestados en aspectos

metodológicos del aprendizaje y aplicación de matrices y determinantes

5.2 Recomendaciones

• Los docentes deben estar en constante capacitación, aplicar nuevos

métodos de enseñanza mediante estrategias de integración, para que las

propuestas de desarrollo estudiantil dejen de ser simplemente reflexiones

teóricas, motivar a los estudiantes el gusto por la matemática enfocadas

siempre en una participación critica, creativa, aprovechando al máximo

los recursos que poseen y si es posible gestionar para adquirir un

laboratorio de computo en cada CAT y aportar al progreso de la

educación.

• Es indispensable relacionar las experiencias, el entorno para dar solución

a los problemas y vivir en un ambiente equilibrado; introducir la tecnología

en los estudiantes adultos de la UNEDI para que se auto eduquen, se

les facilite sus labores educativas y se formen seres humanos que se

inserten fácilmente en la sociedad. Aplicar el método de Polya para

aprender de los errores y que los estudiantes construyan el conocimiento;

como dice el dicho “hay que enseñarle a pescar y no darle pescando”.

• Se necesita que los docentes del área de matemática incrementen las

habilidades algebraicas mediante la aplicación de las TIC y la

comprensión lectora de los módulos realizando un aprendizaje

significativo que permita satisfacer la curiosidad de los estudiantes en el

empleo de las herramientas tecnológicas que por desconocimiento no

logran disfrutar y estar al mismo nivel de otras instituciones educativas

102

• Implementar la metodología actual, resaltando los beneficios del proceso

de matrices y determinantes para resolver situaciones de la vida

cotidiana mediante solución de sistemas de ecuaciones computarizadas

que se informan en una guía y conseguir fines excelentes planteados en

un principio para que el desempeño estudiantil sea de calidad e inducir a

enfrentar la realidad.

• Ampliar y actualizar constantemente conocimientos del investigador a

través del mundo de la informática e interactuando con los estudiantes.

Guiar la formación de entes productivos, al finalizar este trabajo de tesis

fortalecer la experiencia y ser capaz de diseñar diapositivas ilustrativas

de matrices, y una guía informativa sobre su aplicación.

.

103

CAPÍTULO VI

PROPUESTA

6.1 Tema

Las TIC en el aprendizaje innovador de matrices y determinantes.

6.2 Presentación

Primeramente se va a conocer la grandiosa herramienta de las TIC mediante

talleres de capacitación dirigido a estudiantes, que conozcan las ventajas,

funciones, cuales son, programas; la enseñanza de matrices y

determinantes mediante diapositivas y en el último taller se enlaza al

programa Wiris se recibirá refuerzo de parte de los docentes de la UTE y

compañeros de informática de la Unidad que tienen experiencia suficiente

que permitan llegar a conocer y ejercitarse en este programa.

Se puede llegar a solucionar problemas de la vida diaria de una manera

fácil, comprensible y creadora complementando la pedagogía del algebra

en el aula con el empleo de programas informáticos establecidos para

resolver la variedad de algoritmos como hallar el valor de una matriz en

forma rápida que favorece la solución de sistemas de ecuaciones con dos

incógnitas, tres, y más también se puede decir que permite a los docentes

planificar con mayor exactitud , construyendo matriz de recursos por el

docente, tablas evaluativas e incluso hallar el tipo de matriz respectiva como

la matriz diagonal, inversa , cuadrática, transpuesta

104

6.3 Objetivos

6.3.1 Objetivo general

Promover la innovación tecnológica, incluyendo las TIC para propiciar

proceso de desarrollo sostenible de matrices y determinantes en los

docentes y estudiantes aprovechando la creación de diapositivas y las

posibilidades de verificar mediante Wiris.

6.3.2 Objetivos Específicos

1) Fortalecer el nivel académico de los estudiantes mediante el uso de los

ordenadores del centro de cómputo asesorados del tutor

correspondiente que les ayude a construir conocimiento de matrices y

determinantes

2) Apreciar los procesos técnicos como una herramienta indispensable en

la formación de nuevos profesionales de ciencias sociales con igualdad

de oportunidades para que se inserten con facilidad en la sociedad

3) Desarrollar una información clara de las tic entre docentes , estudiantes

y la comunidad para que resuelvan problemas del entorno, mejorando

el avance científico, tecnológico y las relaciones interpersonales

6.4 Población - Objeto

Población: los beneficiarios directos son los 10 docentes y 150 alumnos de

la UNEDI (Unidad Educativa a Distancia de Imbabura) Cantón Pimampiro

son personas que por la falta de recursos económicos, no tienen un colegio

cercano viven en las comunidades lejanas del casco urbano, donde no

existe transporte peor aún medios de comunicación; son aquellas que por

problemas personales no lo han podido hacer; no se toma en cuenta a

padres de familia porque en un 85 % son los mismos estudiantes.

105

Objeto: los beneficiarios directos son los 40 estudiantes mayores de 17

años del Segundo de Curso de Bachillerato en Ciencias Sociales

personas adultas mayores de 18 años que estudian a distancias, hoy por la

nueva ley de educación pasa a ser sistema de educación semi presencial de

Imbabura específicamente en el cantón Pimampiro del Centro de Apoyo

Tutorial (CAT) Pimampiro – del día Sábado periodo 2012-2013 además los

5 docentes del área de Matemáticas.

Tabla de la población

Tabla 6.1 Población- Objeto Población

Beneficiarios directos Beneficiarios indirectos

No de estudiantes

40 150

No de docentes

5 10

Total

45 160

Fuente: Secretaria de la UNEDI Elaborado por: Marlene Daza

6.5 Localización

El CAT de Pimampiro funciona en la escuela “Rosa Zarate” . Coordinador el

Msc. Franklin Miranda .El lugar donde funciona está ubicado en la parte

Urbana en el barrio San Pedro, calle Atahualpa; las tutorías cumplen con la

jornada pedagógica de ocho horas diarias, inicia a las ocho de la mañana

hasta las 16 horas. NOTA: El laboratorio de computación cuenta con 20

computadoras

106

6.6 Desarrollo de la propuesta 6.6.1 Taller Nº 1

Figura 6.1 Aprender a Aprender Fuente: imágenes. Aprender a aprender( https://www.google.com.ec)

6.6.1.1 Tema: Aprovechar las TIC y sus utilidades (técnica exposición) Partes de la exposición: introducción, desarrollo y conclusión

6.6.1.2. Objetivo: informar las características y Comprender la importancia

de aplicar las tic en el proceso enseñanza aprendizaje en especial de

matrices tanto a docentes como estudiantes.

6.6.1.3 Actividades

� Dinámica de Integración: trabajo con los recursos tecnológicos

Cada integrante inicia nombrando un instrumento tecnológico diferente,

luego se mueven los del grupo conforme el dinamizador inicia y nombra

otro instrumento, lo que se repite es ” cuando me voy a la oficina cojo el

computador.. y trabajo así, así, así, así y cuando Salí me encontré con

el celular….…..”. (Realizando movimientos chistosos creativos) Daza M

� Presentación de contenidos

� Introducción de las TIC

� Definición

107

� Estrategias del gobierno sobre el uso de las tic en la educación

� Ventajas y desventajas de las TIC

� La profesionalización

� Funciones y actividades de los docentes frente a las TIC

� Retos de los docentes para innovar conocimientos

� Desarrollo de Contenidos

A) Introducción de las TIC

La transformación profunda del sistema educativo hace que el currículo se

fundamente en inclusión , integración, y promueve los procesos tecnológicos

aplicados en la construcción de la ciencia y la tecnología conforme va

evolucionando la sociedad automáticamente la educación ya que es el motor

del desarrollo nacional tiene la obligación de emplear nuevas metodologías

la educación tiene que sufrir cambios, transformación potencial que es

consecuente con el rol del docente y las técnicas para enseñar a los

educandos. La aplicación de los instrumentos tecnológicos deben estar

enfocados en la formación de estudiantes y docentes que faciliten la

formación adecuada relacionando con las funciones y actividades en el

quehacer profesional.

Belloch,C ( 2011)

Recursos tecnológicos., TIC(http://www.uv.es) .18-08-2013

� Es indispensable capacitar a los docentes del Ecuador en el uso de

las tecnologías para enfocarse en una educación innovadora para

formar personas con responsabilidad social que permitan desarrollar

nuevas y mejores formas de vivir

108

� Los jóvenes adolescentes que son personas de bajos recursos podrán

acceder a la tecnología haciendo de esta, una herramienta

fundamental en diversos ámbitos como liderazgo, derechos humanos,

salud, historia, y que mejor escoger su profesión para consolidar

talento humano mediante el uso de tecnologías

Términos y condiciones: ( http://www.inclusion.gob.ec ) 23-10-2012

B) Definición Las TIC.- son tecnologías que nos ayudan a transferir,

procesar y divulgar información de manera instantánea, son consideradas

como el pilar fundamental de la brecha digital sobre la que se construirá una

sociedad de información que le permita salir del analfabetismo tecnológico

Gonzales, D (SF) la globalización de las TIC (http://es.slideshare.net))28 - 10 - 2012.

C) Estrategias del gobierno sobre el uso de las TIC en la educación

� Promocionar procesos sostenidos de formación académica

� Acrecentar la inversión en ciencia y tecnología

� Fortalecer los conocimiento de los docentes mediante curso de

nivelación

� Incorporar el acceso de internet a instituciones educativas en zonas

abandonadas del sector rural

� Regular a los docentes para que asuman la responsabilidad

educativa

� Promocionar los medios de comunicación alternativos locales.

Se puede agregar diciendo que los fines y objetivos en primer lugar deben

estar orientados a resolver problemas de subdesarrollo, es necesario definir

contenidos del currículo que permitan la comprensión y solución de

109

problemas colectivos, de una comunidad, país a nivel científico y

tecnológico. La educación debe estimular e incrementar las capacidades de

pensar, hacer, sentir y saber de los estudiantes quienes serán los

responsables del éxito o fracaso de la formación humana e integra como un

ente productivo; guiados por docentes capacitados en las nuevas

tecnologías del milenio ( Poso, A. Reyes, l . Reyes y W. Parea, G, 2009, pp. 30- 63)

D) VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS TIC

D.1) Ventajas

• Es una herramienta básica de la comunicación,

• Admite un ingreso equitativo a la información y descarta obstáculos

de espacio y tiempo

• Incrementa respuestas innovadoras para enfrentar a los retos que se

presentan en la educación en el presente y futuro

• Benefician la cooperación y colaboración de una variedad de

entidades

• Incentiva el seguimiento de nuevas profesiones de mercado , elevan

la calidad de vida de los individuos

• Incrementan el dialogo y son interactivos, creativos, y analíticos Poso,

A. Reyes, l . Reyes, W. y Parea, G .2009 (pp . 30- 63)

110

D.2) Desventajas para los estudiantes y docentes

Tabla 6.2 Desventajas de las TIC para estudiantes y docentes Desventajas de estudiantes Desventajas de docentes

• Incomunicación.

• Fatiga mental,.

• Pérdida de tiempo.

• Se reprimen o explotan sus

emociones.

• Carácter rebelde.

• Recursos educativos poco

didácticos.

• Gastos económicos

exagerados.

• Se vuelven adictos

• Carecen de conocimientos

• insuficiente mantenimiento de

los equipos, computadoras y

programas

• No estimulan estrategias de

desarrollo del pensamiento.

• Diferencias con relación a las

actividades.

• Problemas de mantenimiento

de los ordenadores.

• Se hace dependiente de los

sistemas informáticos.

• Existe demanda de entrega

total al internet

• No tener conocimientos

informáticos

• Inestabilidad emocional

Fuente: Padilla, J, .(http://jupiparo.blogspot.com) uso de las TIC consultado 13-11-1913

Diseño: Marlene Daza

111

E) La profesionalización mediante las TIC

Figura 6.2 Profesionalización

Fuente: Córdoba,S. Primer congreso de las tic en el proceso enseñanza aprendizaje( http://sadop-cordoba.blogspot.com) 3-08-2013

Diseño: Marlene Daza

F) Funciones de los docentes ante la aparición de las TIC

� Resaltar la función del profesor como mediador, y no como un personaje

autoritario que promueva la creación, construcción de conocimientos

para que sean educandos autónomos.

� Intervendrán los docentes en el trabajo progresivo de los estudiantes en

forma individual y personal

� Los docentes y estudiantes interactuaran para que el proceso de

enseñanza aprendizaje consigan productos de calidad, deberán

comprende la utilidad de aplicar en los tema de aplicación de matrices y

determinantes

� Verificar que los beneficios no son únicamente personales, están

enfocados en aprender a utilizar las TIC

Digitador(Internet ,

la weeb

Dinero electrónico Conocer el entorno

(mapas, croquis, planos)

Computadoras

de propósito fijo

Incrementar su

nivel cognitivo

La robótica Auditores

112

G) Actividades que el docente debe cumplir para integrar las TIC en el aula

Preparar el proceso enseñanza-aprendizaje

Elegir y presentar contenidos de las materias

Ofrecer información y explicación mediante las TIC

H) Los retos de los docentes en la innovación de conocimientos

Enseñar destrezas a los estudiantes para que puedan relacionar los

contenidos con el entorno, desarrollar un análisis crítico, creativo; promover

a los docentes para que utilicen las herramientas tecnológicas de la

información y de la comunicación en los procesos enseñanza-aprendizaje.

MINIMIZAR las limitaciones que puedan presentarse en el entorno social,

siempre habrá una herramienta tecnológica que los educandos y educadores

podrán utilizar.

INTEGRAR personas a la sociedad como entes profesionales, productivos y

en especial como seres innovadores (http:// www.oei.es)/metas2021)

LASTIC2.p (. consultado 15 de octubre 2013

I) Aplicación de formación matrices:

Las matrices se usan en el contexto de las ciencias como elementos que

sirven para clasificar valores numéricos tomando como referencia puntos de

vista o lo que se conoce como variables

• Ejemplo: una matriz de globos de dos colores con sus precios

respectivo y en paquetes de 2,5,10 a un precio de 5,6,7 centavos los

de color rojo y los amarillos 7,8,9 centavos, este enunciado le

colocamos en una tabla matricial acorde con el enunciado

113

Tabla 6.3 APLICACIÓN: datos de materiales y precios

Fuente: planteamiento de un problema. Uso de las tic 10 diciembre 10-12-1912 Diseño Daza, M

Esta tabla la podemos transformar, escribir en notación de una matriz A =" +2 +5 +100.5 0.6 0.70.7 0.8 0.9 %

Todo esto que se lo realizó paso por paso y se puede hacerlo con los

estudiantes es así que nace la necesidad de realizar la propuesta utilizando

las tic en el aprendizaje de matrices y determinantes.

J) Taller y evaluación

Se formará grupos de cinco personas, se entregara los marcadores y que

escriban la profesión que les atrae, dos ventajas y desventajas de los

estudiantes y docentes, de acuerdo a las tics que realicen algunos recortes

y por último que lo peguen en un papelote formando un collage

Color Paquete de 2 Paquete de 5 Paquete de 10

Rojos ( R) 0.5 0.6 0.7

Amarillos (A) 0.7 0.8 0.9

114

6.6.1.4 Cronograma Tabla 6.4 CRONOGRAMA 1 Actividad Responsable Recursos Tiempo

(minutos)

Dinámica de integración Dinamizador. Estudiantes. Docentes.

Humanos, celular,

cámara. juegos

creativos

10

Presentación de contenidos Expositor:

Marlene D.

Proyector,

computadora

5

Desarrollo de contenidos Marlene Daza Proyector ,pizarra

,carteles

computadora

15

Taller y Evaluación Estudiantes Cartulinas, recortes

de instrumentos,

goma, tecnológicos,

marcadores

20

Fuente: Imágenes del. Uso de las TIC 19-02-1913 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M.

6.6.2 Taller Nº 2:

6.6.2.1 Tema: aplicación de las TIC

6.6.2.2 Objetivo: Introducir las tic en la enseñanza de matrices y

determinantes a los estudiantes para mejorar la comprensión de la

clasificación de matrices mediante la proyección de diapositivas.

6.6.2.3 Actividades

Dinámica: Los submarinos (incrementar la confianza de los integrantes de

un mismo equipo de trabajo

� Proceso. Formar equipos de 3 A 6 integrantes, los que deben tomarse

de la cintura o del hombro. Todos los integrantes del equipo deben estar

"vendados" (sin ver) excepto el último. El juego se trata de que los

115

equipos tomados de la cintura y sin ver deben moverse por el terreno del

juego sólo guiados por las instrucciones del último de la fila (aprisa, a la

derecha, paren, continuar,…., etc..). El objetivo de cada submarino es

chocar a los otros submarinos y tratando de no ser chocado con los

otros integrantes.

[email protected] ( http://www.pjcweb.org) ( 25-04-2013)


� Matrices

� Clasificación de matrices, caracterización de cada una de ellas

� Ejemplificación

� Determinantes de matrices de orden 2x2 y de 3x3

� Aplicación de los determinantes en problemas sistemas

Solución de sistemas de ecuaciones

� Desarrollo de contenidos

Se lo hará simultáneamente con la proyección de las diapositivas y los

contenidos propuestos en la tesis en el fundamento teórico.

6.6.2.4 Ampliación de contenidos (Diseño de diapositivas) de: matrices,

clases y procesos de digitación, creación en la computadora mediante la

proyección de las diapositivas.

116

Figura 6.3 Diapositivas diseñadas en powert point

123

Formación de equipos de trabajo

Se lo hará en grupos de 3 o 4 estudiantes porque se les ira guiando con la

explicación del tutor mediador

� Trabajos en equipo:

Completar matrices en forma escrita, y luego activar los conocimientos

adquiridos con el uso de la computadora mediante herramientas existentes

(haciendo click en insertar- ecuación y el símbolo de matrices) formulen

matrices pongan el orden, identifique filas columna notación de matrices y

sus elementos, entre otros.

� Evaluación del taller

Verificar la escritura de matrices y citar 4 clases de matrices con sus

características; diferenciar las matrices de los determinantes y que lo hagan

en el laboratorio mediante las computadoras y en las hojas A4 manualmente

124

6.6.2.5 Cronograma 2 Tabla 6.5 CRONOGRAMA 2

Fuente: Imágenes del. Uso de las tic 13-11-1912 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M

6.6.3 Taller Nº 3 6.6.3.1 Tema Aplicación de las TIC en el aprendizaje MATRICES Y

DETERMINANTES mediante una guía de la plataforma Wiris

Primero se capacitara a docentes del área para que ayuden a transmitir

los conocimientos a los estudiantes en los centros tutoriales de la UNEDI,

exclusivamente en Pimampiro

6.6.3.2 Objetivo: introducir la plataforma en línea wiris (página del Municipio:

Pimampiro. Org/tics) para conocer las características, utilidad, ventajas, de

Actividad Responsable Recursos Tiempo

(minutos)

Dinámica de integración Dinamizador.

Estudiantes.

Docentes.

Humanos,

Ideas para dirigir a su

equipo, creativos

10

Presentación de

contenidos

Expositor:

Marlene D.

Proyector,

computadora

Diapositivas diseñadas

5

Desarrollo de contenidos

Marlene Daza Proyector

Computadora

Diapositivas, material

del aula

40

Taller y Evaluación Estudiantes Papel bond A4

Centro de computo

25

125

este, encaminado a conocer la herramienta básica del sistema educativo de

matemática.

www.wiris.com calculadora

6.6.3.3 Actividades

� Dinámica de Integración(MEDICIÓN DE MEMORIA se llama el teléfono)

Se la realiza con unas 5 personas y se le dice un mensaje a la primera el

resto está afuera y va pasando el mensaje a la siguiente, y se observa y

escucha que cada vez lo van modificando hasta que la quinta persona narra

y el mensaje es dicho con diferentes palabras


� Definición de la herramienta tecnológica WIRIS

� Como ingresar a la plataforma

� Contenidos de la página WIRIS

� Ventajas

� Conocer las ventanas, y los hipervínculos que se

relacionan con matrices

� Caracterizar y ver la utilidad de las ventanas e

hipervínculos,

� Ejemplificación

126

� Desarrollo de contenidos GUIA

6.6.3.4 Definición de la herramienta tecnológica WIRIS

WIRIS es una plataforma en línea para cálculos matemáticos creada

especialmente para el sistema educativo. Se puede acceder de forma

gratuita, contiene animaciones brindando variedad de oportunidades, no

necesita ningún tipo de conexión de software, solo la conexión a internet

Es una herramienta tecnológica de gran ayuda para la enseñanza de

matemática, ya que es muy amplia abarca varios niveles desde la primaria

hasta niveles superiores

(http://www.wiris.com) 02-12-2012

Existe varias formas o programas como enseñar las matemáticas entre ellos

tenemos: por Descartes, pizarra electrónica, Geogebra. Webquest, Wiris,

wiki paces y otros

127

Figura 6.4 Presentación de la pagina FUENTE: Página de programación (http://www.wiris.com) 02-12-2012

6.6.3.5 Contenidos de la página WIRIS

� Calculo del determinante de una matriz

� Permite encontrar la matriz transpuesta, inversa, identidad es una

guía para verificar lo que se aprende manualmente

� Análisis de ecuaciones de segundo grado

� Apoyo para Figura en el aula

(http://www.wiris.com) 02-12-2012

6.6.3.6 Ventajas.- Es una herramienta fundamental para el proceso

enseñanza aprendizaje por que presenta de una forma rápida sus respuesta,

con lenguaje explicito, tiene que tener unos requisitos previos: saber manejar

la computadora, conocimientos sobre enlace de, internet y navegación

comprender las pautas, ventanas, los hipervínculos relacionados

(http://www.wiris.com 02-12-2012

Desarrolla actividades en Álgebra, existe libertad de experimentar, y

confirmar de manera inmediata los resultados.

128

Admite compromiso de programación y repetición de ejercicios

Es herramienta de soporte audio visual, beneficioso en la transferencia de

conocimientos para los educadores.

De una forma dinámica comprende y mejora el aprendizaje saliéndose de la

rutina.

La representación gráfica es explicita y economiza tiempo en el diseño de

graficas en la pizarra que no están a escala.

D) Como ingresar a la plataforma

Para saber ¿qué es? ¿ cómo es? y ¿Dónde se aplica ? Se entra en la

página de

(http://www.wiris.com)

6.6.3.7 Apéndice de la Lista de iconos.- En la barra de herramientas se

encuentran imágenes siguientes muestran todos los iconos disponibles en

las pestañas.

129

A. Para extraer raíces o fracciones

1 2 3 4 5

Figura 6.5 Lista de iconos de la plataforma wiris (GUÍA)

A1. El primer bloque es para representar fracciones con la línea de división tanto horizontal como vertical, raíces cuadradas y raíces con cualquier índice

A2. Sirve para la potenciación o características con subíndices

A3. Son herramientas de los signos de agrupación de: paréntesis ( ), corchete [ ] , llaves{ } o barras I I

A4. Signos de las cuatro operaciones básicas: + suma, - resta, x multiplicación, ÷ / división

A5. Simbología empleada en la notación de conjuntos: € pertenencia conjuntos, subconjuntos, U unión, intersección

(http://www.wiris.com)05-01-2013

B. Simbología para conjuntos

1 2 3 4 5

B1. Son algoritmos que se usan en operaciones con los conjuntos

130

B2. En el bloque 2 se encuentra PI, semejanza, diferencia de conjuntos,

diferencia simétrica, conjunto vacío Ø

C. Simbología para lógica matemática

C1

C1 Este bloque de signos son de implicación hacia la derecha o la

izquierda según la dirección de la flecha, equivalencia lógica

http://www.wiris.com),10-01-2013

D Esta pestaña es la que nos conviene porque se aplica en matrices

D

D1 D2 D3

� Para crear una matriz, abre la pestaña Matrices y pulsa el icono D que

define cada signo de agrupación.

�¬. ¬¬ ¬� Ü Ü

131

D1.Si se escoge el icono de los paréntesis ( ) o signos de agrupación

redondos: son para escribir matrices, que se va llenando cada una de las

posiciones en los cuadros indicados, hay opciones para incrementar, filas,

columnas y también se puede borrar en la primera opción del editor, existe

las alternativas para guardar, copiar, eliminar e imprimir

Ý, � X⋮ ⋱ ⋮6 � ß

� Los corchetes U W, o signos de agrupación rectangulares son para

representar los determinantes o realizar el cálculo del determinante de

matrices señaladas

"r ⋯ à⋮ ⋱ ⋮á ⋯ â%

� Las barras verticales o signos de valor absoluto pero que no lo son,

|| =

Representa ningún signo de agrupación determinantes (quizás desees

añadir otros diferentes en ninguno, como llaves o barras dobles). Puedes

empezar a rellenar las posiciones con números o cualquier otra expresión

que necesites.( http://www.wiris.com)12-01-2013

D2 como se puede observar son opciones para representar matrices de

columnas o matrices de filas, en especial para trabajar con vectores, con

determinantes no; porque el orden de los determinantes es cuadrado como

2x2, 3x3,… es decir número de columnas igual al número de filas…

X: Se utiliza para hallar ecuaciones con números fraccionario, mixtos

radicales de diferente índice

132

X

R: Es aplicado para hallar el valor absoluto, hallar la negación,

complemento, equivalencia

R

i

Este icono permite calcular integrales, derivadas, límites, funciones

trigonométricas

(http://www.wiris.com) 2 -03-2013

Al final de esta ventana se encuentra estas opciones

133

‹ Apéndice: Lista de iconos - Versión 3.4 Recursos técnicos ›

Versión para imprimir

Hacer un clic en recursos técnicos y aparece al final la pestaña, como indica

la imagen siguiente es decir en la parte inferior lado izquierdo existe

opciones para: Relacionar expresiones algebraicas y símbolos dentro de

fórmulas pasó a paso y más abajito la opción para imprimir, en el lado

derecho se encuentra la opción para agregar signos de agrupación

(http://www.wiris.com), 25-03 -2013

Operaciones de matrices aplicando WIRIS editor

La creación y manipulación de matrices con WIRIS editores es muy

importante en el desarrollo de matrices, determinantes y específicamente

para resolver las operaciones matriciales, sistema de ecuaciones con esta

guía de fácil manejo que influye en un sencillo aprendizaje.

6.6.3.8 Icono de Matrices

En la pestaña de Matrices hay algunos iconos para crear matrices, vectores

y tablas. http://www.wiris. 6 28 -03-2013

134

En la parte superior derecha de tu editor, aparecerá una nueva pestaña, la Pestaña Contextual

http://www.wiris.com 2 -03-2013

Puedes hacer clic en cualquier icono para tener una tabla inicial. Entonces

aparecerá una nueva pestaña, con iconos para añadir y suprimir filas y

columnas Haz clic en ella y se puede añadir o eliminar filas y columnas de

forma sencilla como la ilustración de la siguiente página.

(http://www.wiris.com) 2 -03-2013

Se les explicará el proceso en la computadora o mediante la aplicación de la

página con un proyector o video.

135

� Integración de equipos de trabajo colaborativo-

Se lo hará trabajar en parejas, para que el proceso enseñanza aprendizaje,

sea personalizado para lograr algunos beneficios; deben ser capacitados por

alguien que ya domina estos conocimiento, aprender los docentes para que

sean un apoyo en la enseñanza de matemática y se generalice en toda la

UNEDI

� Trabajos en equipo:

Motivar el aprendizaje de esta plataforma con nombres objetos y con

números

� Evaluación del taller

Experimentar la utilidad de cada uno de los iconos ventanas y de relacionar

con destrezas de compresión y la técnica de observación pero

específicamente los temas de matrices que constan en la guía.

Dibuje el icono correspondiente de matrices y el de determinantes

Verificación del aprendizaje: uso y beneficios encontrados que en el centro

de cómputo.

136

6.6.3.9 Cronograma 3

Tabla 6.6 TALLER 3: CRONOGRAMA 3 Actividad Responsable Recursos Tiempo

(minutos)

Dinámica de integración

EL TELÉFONO

Dinamizador. Estudiantes. Docentes.

Humanos,

Ideas para dirigir a su

equipo, creativos

10

Presentación de

contenidos de la

Plataforma wiris

Expositor:

Marlene D y los

cuatro docentes

más del área de

matemática.

computadoras

Plataforma wiris o

calculadora wiris

GUIA

15

Desarrollo de contenidos

Marlene Daza Guía diseñada, con

sus gráficos sobre los

iconos, y aplicación

Computadora ,

material del aula

45

Fuente: Imágenes del. uso de las tic 11-04-2013 Diseño: Dra. Campana, P. y Daza, M

137

BIBLIOGRAFÍA

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Términos y condiciones: ( http://www.inclusion.gob.ec

TIC aplicando a la educaciónUMANE - Urdesa, Ave. Dátiles #215 y la

Tercera

PBX: 2882710 - Email:[email protected].

http://www.educando.edu.do/articulos/docente/los-metodos-en-la-enseanza-

de-la-matemtica-texto-completo.

http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/emat/ematactividades.htm

programas de compu y tecnología

http://www.slideshare.net/FreddyRivera

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bibliografía [en línea]. Sevilla: Universidad de Sevilla, Biblioteca. [Consulta: 13

agosto 2003] < http://bib.us.es/guias/menu.asp#ayudas>)

142

Anexos

• Cuestionarios de estudiantes

• Cuestionario de docentes

• Fotografías

A CUESTIONARIO – ESTUDIANTES


Mención: MATEMÁTICA Asignatura: PEI DE MATEMÁTICA

Sujeto investigador: MARLENE DAZA Especialidad. SOCIALES

Colegio: UNEDI Curso: ……………… Sujeto investigado: ……………

• Objetivo: conocer como es el proceso de aprendizaje de la matemática (algebra) e

Identificar la metodología utilizada por los docentes en la enseñanza.

• Instrucciones la encuesta es anónima para garantizar la veracidad de las respuestas.

• Marque con una x la respuesta correcta en los puntos suspensivos

CUESTIONARIO

1.-El método utilizado por el docente de matemática la mayor parte de clases se

caracteriza por ser:

a) Clase magistral (……) b) Participativa (…..) c) Las dos anteriores (…..)

2.- El docente ¿En la aplicación y solución de dificultades del algebra relaciona con

experiencias vividas?

a) Siempre (…) b) Rara vez (…..). c)) Nunca (…..)

3.-El docente cuando resuelve ejercicios de matemática (algebra)

¿Actúan docentes-estudiante a) Siempre (….) b)Rara vez (….) c) Nunca (….

4 -¿El docente en la enseñanza de matemática domina los conocimientos?

a) Dentro del aula (….) b) Fuera del aula (…..) c) Dentro y fuera (….)

5 –¿El aprendizaje del algebra se desarrolla mejor cuando el profesor utiliza?

a) Pizarrón y marcador …………………….. (……)

b) Textos y otros documentos …………… (……)

c) Programas de computación y diapositivas (……)

6. – Si tiene dificultades en el aprendizaje de matemática el profesor?

a) Refuerza (……) b) Amplia de forma interactiva (……) c) Continua (…. )

7.- ¿Cuando usted realiza las tareas de algebra lo hace?:

a) Solo (…) Con ayuda de: b) Sus padres (…) c) Hermanos (….) d) Amigos

(…).

8.- ¿Mejor aprende Usted la asignatura de matemática (algebra) mediante

a) Habilidad algebraicas (…. ) b) Juegos (….) c) Libros (….) d) Ninguno (….)

9.- En el aprendizaje de matemática utiliza más frecuente la estrategia?

a) Leer (….) b) Analizar (….) c) Ejercitar (….) d) Las tres (….)

10.-.Los ejercicios del algebra le permiten DESARROLLAR LA MEMORIA


11)¿Cree que se debe enseñar de manera memorística, repetitiva la matemática (algebra)

sin razonar?


12) Para mejorar su aprendizaje de matemática (algebra) se debe crear o aplicar nuevas

metodologías de enseñanza.


Los estudiantes de la UTE agradecen su colaboración

CUESTIONARIO A DOCENTES


Mención: MATEMÁTICA Asignatura: PEI DE MATEMÁTICA

Nombre del tutor-estudiante: MARLENE DAZA

Especialidad……………. Docente………………….

• Objetivo: conocer el proceso de enseñanza-aprendizaje del algebra (matrices) e

Identificar la metodología que aplica.

• Marque con una x la respuesta correcta en los puntos suspensivos

CUESTIONARIO

1. ¿Ha tenido problemas en abordar temas del algebra (matrices, determinantes?

a) Siempre……… b) Rara vez……….. c) Nunca………

2. ¿Las clases impartidas se caracterizan por ser?

a)……Clase magistral. b)……Participativa c)…. las dos d)…… Ninguna

3. ¿En la solución de un sistema de ecuaciones ha resuelto por?

a) Determinantes…. b) Adición y sustracción…. c) Matrices… d) Otro….

4. ¿En qué lugar domina conocimientos de algebra en la enseñanza de matrices?

a) Dentro del aula…… b) Fuera del aula…. c) Dentro y fuera del aula….

5. ¿Cómo calificaría la recepción de los estudiantes los temas de determinantes, matrices.

de ecuaciones:?

a) Excelente……. b) Muy bueno……. c) Bueno……. d) Regular……

6. ¿Señale el método que considera más óptimo al abordar el tema de resolución de

ecuaciones

a )Igualación ….. b) Sustitución…. c)Determinantes y matrices….. d)………

7. ¿El proceso enseñanza aprendizaje del algebra se desarrolla mejor

utilizando?

a) Pizarrón y marcador ………….. …. (……)

b) Textos y otros documentos …………… (……)

c) Programas de computación y diapositivas (……)

8. ¿Para mejorar el aprendizaje de matemática (algebra) se debe aplicar nuevas

metodologías de enseñanza?

a) Siempre…… b) Rara vez …….. c)) Nunca ..…..

9. ¿Si el aprendizaje es insuficiente que alternativas emplea para mejorar?

a) Refuerza……. b) integra grupos cooperativos……. c) continúa)…...

d) Amplia en forma interactiva……….

10. ¿ En la enseñanza del algebra utiliza material concreto?


11. ¿Cómo docente de matemáticas cree indispensable renovar los métodos en el proceso

de enseñanza aprendizaje mediante las TICS


12. Señale cuál de los métodos de enseñanza contemporánea maneja más

a) Heurístico……. b) Proceso metodológico ERCA…… c) Tecnológico……

Los estudiantes de la UTE agradecen su colaboración

FOTOGRAFÍAS

Fachada de la unidad educativa “MONS. LEÓNIDAS PROAÑO”

Logotipo de la UNEDI

Realización de la encuesta a Segundo de Bachillerato Ciencias Sociales (2012-2013)

Centro de Apoyo Tutorial PIMAMPIRO)

TALLER de Las TIC con los docentes del área de Matemática

Dinámica de integración .en PUCAHUAICO donde reposan los restos del patrono de La

UNEDI

Video Conferencia acerca de las metodologías de aprendizaje tradicional y las

actuales(wiris)

Mis compañeras del área de matemáticas en el centro de cómputo

Capacitación de matrices a Docentes para ingresar notas al Sistema

MARLENE DAZA Lcdo. MARCO BUITRON

RECTOR- UNEDI

PERSONAL DOCENTE

LA UNEDI se capacita mediante las tic para integrarse a la sociedad y cumplir los objetivos

del milenio

Objetivos de Desarrollo del Milenio Estado de Situación Cantón. Pimampiro PROVINCIA DE IMBABURA / ECUADOR

Capacitación del PROCESO de las TIC a los estudiantes

Conferencia de Retos Tecnológicos de la UNEDI

CONVIVENCIA Docentes y estudiantes de la UNEDI

universidad tecnolÓgica equinoccial...

Documents